Kako sestaviti kote s pomočjo kompasa. Kako sestaviti kot, ki je enak danemu

Pri konstrukcijskih nalogah bomo upoštevali konstrukcijo geometrijskega lika, ki jo lahko naredimo s pomočjo ravnila in šestila.

Z uporabo ravnila lahko:

poljubna ravna črta;

poljubna premica, ki poteka skozi dano točko;

premica, ki poteka skozi dve dani točki.

S šestilom lahko opišete krog z danim polmerom iz danega središča.

S kompasom lahko na določeno črto narišete odsek iz dane točke.

Razmislimo o glavnih gradbenih nalogah.

Naloga 1. Sestavi trikotnik z danimi stranicami a, b, c (slika 1).

rešitev. Z ravnilom narišemo poljubno premico in na njej vzemimo poljubno točko B. S pomočjo šestila, ki je enako a, opišemo krožnico s središčem B in polmerom a. Naj bo C točka njegovega presečišča s premico. Z odprtino šestila, ki je enaka c, opišemo krožnico iz središča B, z odprtino šestila, ki je enaka b, pa krožnico iz središča C. Naj bo A presečišče teh krožnic. Trikotnik ABC ima stranice enake a, b, c.

Komentiraj. Da bi trije ravni odseki služili kot stranice trikotnika, mora biti največji med njimi manjši od vsote drugih dveh (in< b + с).

Naloga 2.

rešitev. Ta kot z ogliščem A in žarkom OM sta prikazana na sliki 2.

Narišimo poljubno krožnico s središčem v točki A danega kota. Naj bosta B in C točki presečišča kroga s stranicami kota (slika 3, a). S polmerom AB narišemo krog s središčem v točki O - izhodišče tega žarka (slika 3, b). Označimo presečišče te krožnice s tem žarkom kot C 1 . Opišimo krog s središčem C 1 in polmerom BC. Točka B 1 presečišča dveh krogov leži na strani želenega kota. To izhaja iz enakosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (tretje znamenje enakosti trikotnikov).

Naloga 3. Konstruirajte simetralo tega kota (slika 4).

rešitev. Iz oglišča A danega kota kot iz središča narišemo krožnico poljubnega polmera. Naj bosta B in C točki njegovega presečišča s stranicami kota. Iz točk B in C opišemo krožnice z enakim polmerom. Naj bo D njuno presečišče, različno od A. Žarek AD razpolovi kot A. To izhaja iz enakosti Δ ABD = Δ ACD (tretji kriterij za enakost trikotnikov).

Naloga 4. Na ta segment narišite pravokotno simetralo (slika 5).

rešitev. S poljubno, a enako odprtino šestila (večjo od 1/2 AB) opišemo dva loka s središčema v točkah A in B, ki se bosta sekala v točkah C in D. Premica CD bo želena navpičnica. Dejansko je, kot je razvidno iz konstrukcije, vsaka od točk C in D enako oddaljena od A in B; zato morajo te točke ležati na simetrali navpičnici na odsek AB.

Naloga 5. Ta segment razdelite na pol. Rešimo ga na enak način kot problem 4 (glej sliko 5).

Naloga 6. Skozi dano točko nariši premico, pravokotno na dano premico.

rešitev. Obstajata dva možna primera:

1) dana točka O leži na dani premici a (slika 6).

Iz točke O narišemo krožnico s poljubnim polmerom, ki seka premico a v točkah A in B. Iz točk A in B narišemo krožnice z enakim polmerom. Naj bo O 1 točka njunega presečišča, različna od O. Dobimo OO 1 ⊥ AB. Pravzaprav sta točki O in O 1 enako oddaljeni od koncev segmenta AB in zato ležita na simetrali, ki je pravokotna na ta segment.

Pri gradnji ali razvoju projektov domačega oblikovanja je pogosto treba zgraditi kot, ki je enak obstoječemu. Na pomoč priskočijo predloge in šolsko znanje geometrije.

Navodila

• Kot tvorita dve ravni črti, ki izhajata iz ene točke. To točko bomo imenovali vrh kota, premice pa bodo stranice kota.
• Uporabite tri črke za predstavitev vogalov: eno na vrhu, dve na straneh. Kot se imenuje začenši s črko, ki stoji na eni strani, nato se imenuje črka, ki stoji na vrhu, in nato črka na drugi strani. Uporabite druge načine za označevanje kotov, če vam je ljubše drugače. Včasih je imenovana samo ena črka, ki je na vrhu. Kote lahko označite z grškimi črkami, na primer α, β, γ.
• Obstajajo situacije, ko je treba narisati kot, tako da je enak že danemu kotu. Če pri izdelavi risbe ni mogoče uporabiti kotomera, se lahko rešite le z ravnilom in šestilom. Recimo, da morate na ravni črti, ki je na risbi označena s črkami MN, zgraditi kot v točki K, tako da je enak kotu B. To pomeni, da morate iz točke K narisati ravno črto, ki tvori kot s premico MN, ki bo enak kotu B.
• Najprej označite točko na vsaki strani danega kota, na primer točki A in C, nato povežite točki C in A z ravno črto. Dobite trikotnik ABC.
• Zdaj sestavi enak trikotnik na premici MN tako, da bo njegovo oglišče B na premici v točki K. Uporabi pravilo za sestavo trikotnika s tremi stranicami. Odsek KL odložimo od točke K. Mora biti enak segmentu BC. Dobite točko L.
• Iz točke K narišite krog s polmerom, ki je enak segmentu BA. Iz L narišite krožnico s polmerom CA. Poveži dobljeno točko (P) presečišča dveh krogov s K. Dobimo trikotnik KPL, ki bo enak trikotniku ABC. Tako boste dobili kot K. Enak bo kotu B. Da bo ta konstrukcija bolj udobna in hitrejša, od oglišča B odrinite enake segmente, z eno odprtino šestila, brez premikanja nog, opišite krog z enakim polmerom od točke K.

Pogosto je treba narisati (»konstruirati«) kot, ki bi bil enak danemu kotu, pri čemer je treba konstrukcijo opraviti brez pomoči kotomerja, temveč le s šestilom in ravnilom. Če vemo, kako sestaviti trikotnik s tremi stranicami, lahko rešimo to težavo. Naj bo na ravni črti MN(sl. 60 in 61) je potrebno graditi na točki K kot enak kotu B. To pomeni, da je treba od točke K narišite ravno črto s komponento MN kot enak B.

Če želite to narediti, označite na primer točko na vsaki strani danega kota A in Z in se povežite A in Z ravna črta. Dobimo trikotnik ABC. Konstruirajmo zdaj na premici MN ta trikotnik tako, da je njegovo vrh IN je bil na mestu TO: potem bo na tej točki zgrajen kot, ki je enak kotu IN. Sestavite trikotnik s tremi stranicami VS, VA in AC znamo: odložimo (slika 62) od točke TO odsek črte KL, enaka sonce; dobimo točko L; okoli K, saj blizu središča opišemo krog s polmerom VA, in okoli L – polmer SA. Pika R presečišča krogov povežemo z TO in Z, dobimo trikotnik KPL, enaka trikotniku ABC; v njem je kotiček TO= ug. IN.

Ta konstrukcija se izvede hitreje in bolj priročno, če je od zgoraj IN položite enake segmente (z enim raztapljanjem kompasa) in brez premikanja nog opišite krog okoli točke z enakim polmerom TO, kot blizu centra.

Kako razdeliti vogal na pol

Recimo, da moramo razdeliti kot A(Slika 63) na dva enaka dela s šestilom in ravnilom, brez uporabe kotomera. Pokazali vam bomo, kako to storiti.

Z vrha A na straneh kota postavite enake segmente AB in AC(Diagram 64; to storite tako, da kompas preprosto razpustite). Nato konico šestila postavimo na točke IN in Z in opišite loke enakih radijev, ki se sekata v točki D. Ravno povezovanje A in D deli kot A na pol.

Razložimo, zakaj je tako. Če je točka D Poveži z IN in C (slika 65), potem dobite dva trikotnika ADC in ADB, g ki imata skupno stran AD; strani AB enaka strani AC, A ВD enako CD. Trikotnika sta na treh stranicah enaka, kar pomeni, da sta kota enaka. SLAB in DAC, ležeče nasproti enakih stranic ВD in CD. Zato naravnost AD deli kot TI na pol.

Aplikacije

12. Sestavi kot 45° brez kotomera. Pri 22°30'. Pri 67°30'.

Rešitev: Če pravi kot razdelimo na pol, dobimo kot 45°. Če kot 45° razdelimo na pol, dobimo kot 22°30'. Če sestavimo vsoto kotov 45° + 22°30', dobimo kot 67°30'.

Kako sestaviti trikotnik z dvema stranicama in kotom med njima

Recimo, da morate na terenu ugotoviti razdaljo med dvema mejnikoma A in IN(Hudič 66), ki ju ločuje neprehodno močvirje.

Kako narediti?

To lahko naredimo: izberemo točko stran od močvirja Z, od koder sta vidna oba mejnika in izmerjena razdalja AC in sonce Kotiček Z merimo s posebno goniometrično napravo (imenovano str o l b i e). Po teh podatkih, torej po izmerjenih stranicah A.C. in sonce in kotiček Z med njimi sestavimo trikotnik ABC nekje na primernem terenu, kot sledi. Po merjenju ene znane strani v ravni črti (slika 67), na primer AC, gradite z njim na točki Z kotiček Z; na drugi strani tega kota se meri znana stran sonce Konci znanih stranic, tj A in IN povezana z ravno črto. Rezultat je trikotnik, v katerem imata dve stranici in kot med njima vnaprej določene mere.

Iz metode konstrukcije je razvidno, da lahko z dvema stranicama in kotom med njima sestavimo samo en trikotnik. torej, če sta dve strani enega trikotnika enaki dvema stranema drugega in sta kota med tema stranicama enaka, potem se taki trikotniki lahko nanesejo drug na drugega z vsemi točkami, to pomeni, da morajo biti tudi njihove tretje stranice in drugi koti enaki. To pomeni, da lahko enakost obeh stranic trikotnikov in kota med njima služi kot znak popolne enakosti teh trikotnikov. V kratkem:

Trikotnika sta na obeh stranicah in v kotu med njima enaka.

Cilji lekcije:

• Oblikovanje sposobnosti analize preučenega gradiva in veščin njegove uporabe pri reševanju problemov;
• Pokažite pomen pojmov, ki se preučujejo;
• Razvoj kognitivne dejavnosti in samostojnosti pri pridobivanju znanja;
• Gojenje zanimanja za predmet in občutek za lepoto.

Cilji lekcije:

• Razvijte spretnosti pri konstruiranju kota, ki je enak danemu, z uporabo merila, šestila, kotomerja in risalnega trikotnika.
• Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Učni načrt:

1. Ponavljanje.
2. Konstruiranje kota, ki je enak danemu.
3. Analiza.
4. Najprej primer gradnje.
5. Drugi primer gradnje.

Ponavljanje.

Kotiček.

Ravni kot- neomejena geometrijska figura, ki jo tvorita dva žarka (stranice kota), ki izhajata iz ene točke (vrh kota).

Kot se imenuje tudi figura, ki jo tvorijo vse točke ravnine, zaprte med temi žarki (Na splošno dva taka žarka ustrezata dvema kotoma, saj delita ravnino na dva dela. Eden od teh kotov se običajno imenuje notranji, in drugo - zunanje.
Včasih se zaradi kratkosti kot imenuje kotna mera.

Obstaja splošno sprejet simbol za označevanje kota: , ki ga je leta 1634 predlagal francoski matematik Pierre Erigon.

Kotiček je geometrijski lik (slika 1), ki ga tvorita dva žarka OA in OB (strani kota), ki izhajata iz ene točke O (vrh kota).

Kot je označen s simbolom in tremi črkami, ki označujejo konce žarkov in oglišče kota: AOB (črka oglišča pa je srednja). Koti se merijo s količino vrtenja žarka OA okoli oglišča O, dokler se žarek OA ne premakne v položaj OB. Za merjenje kotov se pogosto uporabljata dve enoti: radiani in stopinje. Za radiansko merjenje kotov glejte spodaj v odstavku "Dolžina loka" in v poglavju "Trigonometrija".

Stopinjski sistem za merjenje kotov.

Tukaj je merska enota stopinja (njena oznaka je °) - to je vrtenje žarka za 1/360 polnega obrata. Tako je polni zasuk žarka 360 o. Ena stopinja je razdeljena na 60 minut (simbol '); eno minuto – oziroma 60 sekund (oznaka “). Kot 90° (slika 2) se imenuje pravi; kot, manjši od 90 ° (slika 3), se imenuje oster; kot, ki je večji od 90 ° (slika 4), se imenuje top.

Ravne črte, ki tvorijo pravi kot, imenujemo medsebojno pravokotne. Če sta premici AB in MK pravokotni, potem to označimo z: AB MK.

Konstruiranje kota, ki je enak danemu.

Pred začetkom gradnje ali reševanjem katerega koli problema, ne glede na predmet, morate izvesti analizo. Razumejte, kaj piše v nalogi, preberite jo zamišljeno in počasi. Če imate po prvem dvomu ali kaj ni bilo jasno ali jasno, vendar ne popolnoma, je priporočljivo, da ga ponovno preberete. Če delate nalogo v razredu, lahko vprašate učitelja. V nasprotnem primeru vaša naloga, ki ste jo narobe razumeli, morda ne bo pravilno rešena ali pa boste našli nekaj, kar ni tisto, kar se je od vas zahtevalo, in bo obravnavano kot napačno in ga boste morali ponoviti. Kar se mene tiče - Bolje je, da porabite nekaj več časa za preučevanje naloge, kot da jo ponavljate znova.

Analiza.

Naj bo a dani žarek z ogliščem A, kot (ab) pa želeni. Izberimo točki B in C na žarkih a in b. Če povežemo točki B in C, dobimo trikotnik ABC. V skladnih trikotnikih so pripadajoči koti enaki in od tod sledi način gradnje. Če na stranicah danega kota na nek priročen način izberemo točki C in B in iz danega žarka v dano polravnino sestavimo trikotnik AB 1 C 1, ki je enak ABC (in to lahko storimo, če vemo, vse stranice trikotnika), potem bo problem rešen.

Pri izvajanju katerega koli konstrukcije Bodite zelo previdni in poskušajte vse konstrukcije izvesti previdno. Ker morebitna neskladja lahko povzročijo nekakšne napake, odstopanja, ki lahko privedejo do napačnega odgovora. In če se opravilo te vrste izvede prvič, bo napako zelo težko najti in popraviti.

Najprej primer gradnje.

Narišimo krog s središčem v vrhu tega kota. Naj bosta B in C točki presečišča krožnice s stranicami kota. S polmerom AB narišemo krožnico s središčem v točki A 1 – izhodišču tega žarka. Označimo presečišče te krožnice s tem žarkom kot B 1 . Opišimo krog s središčem v B 1 in polmerom BC. Presečišče C 1 zgrajenih krogov v navedeni polravnini leži na strani želenega kota.

Trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 sta na treh stranicah enaka. Kota A in A 1 sta ustrezna kota teh trikotnikov. Zato je ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Za večjo jasnost lahko iste konstrukcije obravnavate podrobneje.

Drugi primer gradnje.

Naloga ostane tudi, da z dane polpremice v dano polravnino odložimo kot, ki je enak danemu kotu.

Gradnja.

Korak 1. Narišimo krog s poljubnim polmerom in središčem v oglišču A danega kota. Naj bosta B in C točki presečišča krožnice s stranicami kota. In narišimo odsek BC.

2. korak Narišimo krožnico s polmerom AB s središčem v točki O – izhodišču te polpremice. Označimo presečišče krožnice z žarkom kot B 1 .

3. korak Zdaj opišemo krog s središčem B 1 in polmerom BC. Naj bo točka C 1 presečišče zgrajenih krožnic v navedeni polravnini.

4. korak Narišimo žarek iz točke O skozi točko C 1. Kot C 1 OB 1 bo želeni.

Dokaz.

Trikotnika ABC in OB 1 C 1 sta skladna trikotnika z ustreznima stranicama. In zato sta kota CAB in C 1 OB 1 enaka.

Zanimivost:

V številkah.

V predmetih okoliškega sveta najprej opazite njihove individualne lastnosti, ki razlikujejo en predmet od drugega.

Obilje posebnih, posameznih lastnosti zakriva splošne lastnosti, ki so lastne absolutno vsem predmetom, zato je te lastnosti vedno težje odkriti.

Ena najpomembnejših splošnih lastnosti predmetov je, da je vse predmete mogoče prešteti in izmeriti. To splošno lastnost predmetov odražamo v konceptu števila.

Ljudje so proces štetja, torej pojem števila, osvajali zelo počasi, skozi stoletja, v vztrajnem boju za svoj obstoj.

Da bi lahko štel, ne smemo imeti samo predmetov, ki jih je mogoče šteti, ampak tudi že imeti sposobnost, da pri obravnavanju teh predmetov abstrahiramo vse druge lastnosti razen števila, ta sposobnost pa je rezultat dolgega zgodovinskega razvoja, ki temelji na izkušnjah. .

Vsak človek se zdaj nauči šteti s pomočjo številk neopazno v otroštvu, skoraj sočasno s časom, ko začne govoriti, vendar je to štetje, ki ga poznamo, šlo skozi dolgo pot razvoja in je dobilo različne oblike.

Bili so časi, ko sta za štetje predmetov uporabljali samo dve številki: ena in dve. V procesu nadaljnjega širjenja številskega sistema so bili vključeni deli človeškega telesa, predvsem prsti, in če tovrstne "številke" niso bile dovolj, pa tudi palice, kamenčki in drugo.

N. N. Miklouho-Maclay v svoji knjigi "Izleti" govori o smešni metodi štetja, ki jo uporabljajo domorodci Nove Gvineje:

vprašanja:

1. Določite kot?
2. Katere vrste kotov obstajajo?
3. Kakšna je razlika med premerom in polmerom?

Seznam uporabljenih virov:

1. Mazur K. I. "Reševanje glavnih tekmovalnih problemov v matematiki zbirke, ki jo je uredil M. I. Skanavi"
2. Matematična podkovanost. B.A. Kordemskega. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: učbenik za izobraževalne ustanove"

Delali so na lekciji:

Levčenko V.S.

Poturnak S.A.

Lahko postavite vprašanje o sodobnem izobraževanju, izrazite idejo ali rešite pereč problem na Izobraževalni forum, kjer se mednarodno srečuje izobraževalni svet sveže misli in delovanja. Ob ustvarjanju blog, Ne boste le izboljšali svojega statusa kompetentnega učitelja, temveč boste pomembno prispevali k razvoju šole prihodnosti. Ceh izobraževalnih voditeljev odpira vrata vrhunskim strokovnjakom in jih vabi k sodelovanju pri ustvarjanju najboljših šol na svetu.