domov
Eseji Gremo mimo! Tom in
stoletna zgodovina
na kratko in preprosto.
Po Poincaréjevi hipotezi je tridimenzionalna krogla edini tridimenzionalni predmet, katerega površino lahko neka hipotetična "hipervrvica" potegne na eno točko.
ja.......
Poincaréjeva domneva, ki ni več hipoteza, je "temelj" temeljev TOPOLOGIJE.
Topologija, beseda je precej znana (takoj se pojavi asociativna serija "Grafi" in "Omrežja")
enostavnejše - veja matematike,
raziskovanje fenomena kontinuitete, zlasti lastnosti prostora, ki ostanejo nespremenjene ob kontinuiranih deformacijah (povezanost, orientabilnost). Preprosto povedano, to so pojavi v našem okoliškem svetu, ki nam ne pridejo na misel, da bi jih izmerili ali razdelili, da bi
splošni primer
vsi so neprekinjeni.
Za razliko od geometrije topologija ne upošteva metričnih lastnosti predmetov.
No, spet gremo - neskončnost, brez meritev - brez znanosti,
in kontinuitete v izbranem objektu (območju) in objekt sam - to je prostor uporabe in aplikativne znanosti.
Na splošno je to filozofija - (preučuje splošne bistvene značilnosti in temeljne principe resničnosti).
Vizualno - odličen primer:
Homotopska enakovrednost kontinuitete krofa in vrčka -
Poincaréju - Po Poincaréjevi hipotezi je tridimenzionalna krogla edini tridimenzionalni predmet, katerega površino lahko neka hipotetična "hipervrvica" potegne na eno točko.
tridimenzionalna krogla
je površina štiridimenzionalne krogle.
od kod je prišlo?
Tukaj je kratka razlaga, ki je dostopna vsem (vključno z mano)
Na splošno matematiki obravnavajo vesolje kot neko tridimenzionalno "množico", z drugimi besedami, nek kompleksen, ukrivljen, na splošno gledano, predmet, ki ima tri dimenzije okoli vsake svoje točke (to pomeni, da se lahko premaknete iz njega v natanko treh medsebojno pravokotne smeri X).
Možna pa so tudi ukrivljena vesolja končne prostornine, na primer tridimenzionalna krogla, omenjena v Poincaréjevi domnevi. Kaj je to, je najbolje razumeti po analogiji z enodimenzionalno kroglo - krogom in dvodimenzionalno kroglo - površino tridimenzionalne krogle. Tridimenzionalna krogla je površina štiridimenzionalne krogle.
Dvodimenzionalno kroglo (do deformacije) lahko dobite tako, da vzamete navaden krog in zlepite vse njegove mejne točke v eno, kot da "zrušite" mejni krog v točko. (To lahko naredimo praktično za krog iz blaga, po obodu katerega je prišit elastični trak - zategnite elastiko in dobili boste “torbo” - deformirano dvodimenzionalno kroglo. Tako so izdelovali denarnice prej - spomnite se filmov o srednjem veku).
Podobno vzemite tridimenzionalno kroglico in zlepite, "zrušite" vse točke mejne krogle v eno. Dobili boste, natančno do deformacije, tridimenzionalno kroglo.
Predstavljajte si tudi sebe na mestu starodavnih ljudi, ki so bili verjetno prepričani, da je Zemlja ravna in je bodisi videti kot palačinka z robovi bodisi kot neskončna ravnina. Potem pa se je izkazalo, da če greš ves čas v eno smer, se na izhodišče vrneš z hrbtna stran- tj. potovanje okoli sveta.
Zdaj, če je vesolje tridimenzionalna krogla, potem se premika naprej svetlobni žarek- ves čas v ravni črti - na izhodišče se vračate tudi z nasprotne strani.
Predpostavimo zdaj, da ima naše Vesolje to lastnost, da je preprosto povezano, tj. poljuben "laso" (zanko), ki ga vržemo čez vesolje, VSEK lahko potegnemo do točke. (Točno tako, kot kavboji zategnejo običajni laso, vendar le dokler se zanka ne stisne do točke).
(To ne bi bilo tako, če bi na primer vzdolž celotnega vesolja izrezali neskončni tunel praznine v obe smeri. Potem ne bi mogli zategniti zanke, vržene čez tunel – tesno bi se ovila okoli njegovih robov in ne bi šel dlje bi).
Torej, predpostavimo (mimogrede, zelo verjetno), da ima naše resnično tridimenzionalno vesolje lastnosti 1. zaprtosti (brez "sten"-robov) 2. preprosto povezanega (kateri koli laso se potegne na točko) - potem Poincaré predlagal, da mora biti v tem primeru nujno tridimenzionalna krogla ali DEFORMIRANA tridimenzionalna krogla (tako kot npr. naša Zemlja ni popolna krogla, ampak je rahlo sploščena na polih).
Seveda se Poincaréjeva izjava nanaša na abstraktne tridimenzionalne mnogoterosti in naše vesolje je le ilustracija. (Tako kot je naša Zemlja lahko približno ponazoritev krogle in so matematiki že od časov starih Grkov dokazovali trditve o idealnih objektih – idealno ravnih črtah, krogih, kroglah – ti v resnični naravi ne obstajajo. Mimogrede , to je navdihnilo Platona, da je ustvaril svojo idealistično filozofijo, v kateri obstaja svet idealnih predmetov in realni predmeti- kot njihove popačene sence).
Kakšna je oblika našega vesolja?
Perelmanov dokaz nam omogoča zelo utemeljeno domnevo, da je vesolje ista tridimenzionalna krogla.
Izkazalo se je, da če je vesolje edina "figura", ki jo je mogoče skrčiti do točke, potem jo je mogoče raztegniti iz točke.
Kar služi kot posredna potrditev teorije veliki pok, ki pravi: iz te točke je nastalo vesolje.
Izkazalo se je, da je Perelman skupaj s Poincaréjem razburil tako imenovane kreacioniste - zagovornike božanskega začetka vesolja. Skratka: boga stvarnika ni.
In polivajo zrnje na mlin materialističnih fizikov.
Postalo mi je bolj jasno.
In strašljiva neskončnost neznanega se je umaknila.
5.2.1 Elipsoidi
Zapišimo elipsoid revolucije - ploskev, ki nastane kot posledica vrtenja elipse \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(z^2)(c^2) =1 \] okoli osi $z$. Ustrezno enačbo v skladu z (40) dobimo z zamenjavo $x \rightarrow \sqrt(x^2+y^2)$: \begin(equation) \frac(x^2+y^2)(a ^2) +\frac(z^2)(c^2)=1. (41) \label(ellipsd1) \end(equation) Glede na razmerje vrednosti $a,\,c$ dobimo več drugačen tip površine. Kadar $a>c$ se površina imenuje stisnjen vrtilni elipsoid, ko $a
Slika 17: Stisnjen vrtilni elipsoid.
Slika 18: Iztegnjeni vrtilni elipsoid.
Če koordinato $y$ raztegnemo, dobimo enačbo splošnega elipsoida \begin(equation) \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)+\frac (z^2 )(c^2)=1. (42) \label(ellipsd11) \end(equation) Če uvedemo odsek površja z ravnino, ki je vzporedna z osjo $z$ (tj. v enačbi določimo vrednost $z=z_0$), potem za elipsoide vrtljaja dobimo krožnico (pri $ |z_0| c$ se ravnina in elipsoid ne sekata).
1. Napišite parametrični opis elipsoida.
5.2.2 Hiperboloidi
Zapišimo enačbo hiperbole v koordinatah $(x,z)$ v obliki \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2)(a^2)=1, \] in razmislite o rezultatu vrtenja te krivulje okoli osi $z$. V tem primeru dobimo enačbo enolistnega vrtilnega hiperboloida: \[ \frac(z^2)(c^2)-\frac(x^2+y^2)(a^2)=1 , \]
Slika 19: Enolistni hiperboloid revolucije.
glej sl. 19. To je neomejena ploskev, povezana (tj. takšna, da lahko s fiksne točke dosežete katero koli drugo, ne da bi zapustili površino). Njeni preseki z ravninami $x=const, \, y=const$ so hiperbole, preseki z ravnino $z=const$ pa krogi. Drugačno površino dobimo, če upoštevamo rezultat rotacije hiperbole \[ \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1, \] okoli os $z$, pripadajoča ploskev se imenuje vrtilni hiperboloid z dvema listoma. Zapišimo njeno enačbo: \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1. \] Tudi to je neomejena površina, vendar je sestavljena iz "dveh kosov", glej sl. 19
Slika 20: Dvolistni hiperboloid revolucije.
Njegovi preseki z ravninami $x=const, \, y=const$ so hiperbole, preseki z ravnino $z=const$ (za tiste vrednosti $const$, za katere preseki obstajajo) pa so krogi. Mejni primer hiperboloida je krožni stožec- rezultat vrtenja okoli osi $z$ para ravnih črt \[ \frac(x^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2), \] glej sl. \ref(konus). Enačbo te površine dobimo kot rezultat standardnega postopka \[ \frac(x^2+y^2)(a^2)=\frac(z^2)(c^2). \]
Slika 21: Krožni stožec.
Prerezi te ploskve z ravninami $x=const \neq 0, \, y=const \neq 0$ so hiperbole, preseki z ravninami $z=const \neq 0$ pa krožnice. Prerezi z ravninami $x=0$, $y=0$ so pari sekajočih se premic, z ravnino $z=0$ pa točka. Seveda lahko s pomočjo koordinatnega raztezanja vrtilne ploskve pretvorimo v bolj splošne, o katerih tukaj ne bomo razpravljali.
1. Napišite parametrični opis krožnega stožca.
5.2.3 Paraboloidi
Če upoštevamo rezultat vrtenja parabole $x^2=2pz$ okoli osi $z$, dobimo paraboloid vrtenja \[ x^2+y^2=2pz, \] glej sliko. 22. 
riž. 22: Paraboloid revolucije.
Z raztezanjem $x$ in $y$ osi dobimo eliptični paraboloid \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z. \] Preseki te ploskve z ravninami $x=const, \, y=const$ so parabole, preseki z ravninami $z=const>0$ pa elipse. Če v zadnji enačbi spremenimo predznak drugega člena, dobimo hiperbolični paraboloid \[ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=2z, \ ] glej sl. 23.
riž. 23: Hiperbolični paraboloid.
Ta površina se uporablja za opis t.i. "sedlaste" točke. Njeni preseki z ravninami $x=const, \, y=const$ so parabole, preseki z ravninami $z=const \neq 0$ so hiperbole, z ravnino $z=0$ pa par sekajočih se premic.
1. Poiščite točke presečišča površine \[ \frac(x^2)(16)+\frac(y^2)(12)+\frac(z^2)(4)=1 \] z vrstica \[ \frac (x-4)(2)=\frac(y+6)(-3)=\frac(z+2)(-2). \] 2. Poiščite črte, ki potekajo skozi točko $(6,2,8)$ in v celoti ležijo na površini \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac( z ^2)(16)=1. \] 3. Narišite premico skozi točko $(5,1,2)$ tako, da seka površino \[ \frac(x^2)(9)+\frac(y^2)(4)-\frac (z^ 2)(1)=1. \] samo enkrat. 4. Izračunajte dolžino premera površine \[ \frac(x^2)(27)+\frac(y^2)(2)-\frac(z^2)(9)=1 \], ki poteka skozi točka $(4 , -8/9, 8/3)$. 5. Skozi točko $(2,1,-1)$ nariši naslednjo tetivo ploskve \[ \frac(x^2)(25)+\frac(y^2)(16)+\frac(z^2 )( 9)=1, \], ki bi bil na tej točki razdeljen na pol. 6. Poiščite premice, ki potekajo skozi izhodišče in v celoti ležijo na površini $y^2+3xy+2yz-zx+3x+2y=0$. 7. Površino $2x^2+10y^2-2z^2+12xy+8yz+12x+4y+8z-1=0$ zmanjšaj na najpreprostejšo obliko.
Sergey Duzhin, doktor fizike in matematike. znanosti, višji raziskovalec na podružnici v Sankt Peterburgu Matematični inštitut RAS
Zadnji veliki dosežek čiste matematike velja za dokaz Poincaréjeve domneve, ki jo je v letih 2002–2003 izrekel Grigorij Perelman, prebivalec Sankt Peterburga, izrečen leta 1904 in pravi: »vsaka povezana, enostavna, kompaktna tridimenzionalna mnogoterost brez meje je homeomorfna sferi S^3.«
V tej frazi je več izrazov, ki jih bom poskušal razložiti, da bodo splošni pomen postala razumljiva nematematikom (predvidevam, da je bralec dokončal srednja šola in nekaj od šolska matematika se še spominja).
Začnimo s konceptom homeomorfizma, osrednjega pomena za topologijo. Na splošno je topologija pogosto definirana kot "gumijasta geometrija", tj. kot veda o lastnostih geometrijskih slik, ki se ne spreminjajo med gladkimi deformacijami brez prelomov in lepljenja, ali bolje rečeno, če je mogoče vzpostaviti ena-proti- ena in medsebojno neprekinjena korespondenca med dvema predmetoma .
Glavna ideja najlažje razložiti klasičen primer skodelice in bagel. Prvo lahko z neprekinjeno deformacijo spremenimo v drugo.
Te slike jasno kažejo, da je vrč homeomorfen krofu, in to dejstvo velja tako za njihove površine (dvodimenzionalne mnogoterosti, imenovane torus) kot za napolnjena telesa (tridimenzionalne mnogoterosti z robom).
Naj podamo razlago preostalih izrazov, ki se pojavljajo v formulaciji hipoteze:
- Tridimenzionalni razdelilnik brez roba. To je geometrijski objekt, v katerem ima vsaka točka sosesko v obliki tridimenzionalne krogle. Primeri 3-raznoterosti vključujejo, prvič, celoten tridimenzionalni prostor, označen z R^3, kot tudi kateri koli odprtih sklopov točke v R^3, na primer notranjost polnega torusa (krofa). Če upoštevamo zaprt trdni torus, tj. dodamo njegove mejne točke (površino torusa), potem dobimo kolektor z robom - robne točke nimajo soseske v obliki krogle, ampak samo v obliki pol žoge.
- Povezan. Koncept povezljivosti je tukaj najpreprostejši. Kolektor je povezan, če je sestavljen iz enega kosa, ali, kar je enako, katerikoli dve njegovi točki sta lahko povezani z neprekinjeno črto, ki ne sega čez njegove meje.
- Preprosto povezani. Koncept preproste povezanosti je bolj zapleten. To pomeni, da se lahko katera koli zvezna zaprta krivulja, ki je v celoti znotraj danega razdelilnika, gladko skrči v točko, ne da bi zapustila ta razdelilnik. Na primer, navadna dvodimenzionalna krogla v R^3 je preprosto povezana (gumijasti trak, ki je kakor koli nameščen na površini jabolka, se lahko z gladko deformacijo gladko potegne na eno točko, ne da bi gumijasti trak strgal z jabolka ). Po drugi strani pa krog in torus nista preprosto povezana.
- Kompakten. Kolektor je kompakten, če ima katera koli njegova homeomorfna podoba omejene velikosti. Na primer, odprt interval na premici (vse točke segmenta razen njegovih koncev) ni kompakten, saj ga je mogoče zvezno razširiti na neskončno premico. Toda zaprt segment (s konci) je kompakten kolektor z mejo: za vsako zvezno deformacijo gredo konci do določenih točk, celoten segment pa mora iti v omejeno krivuljo, ki povezuje te točke.
Dimenzija razdelilnika je število prostostnih stopinj na točki, ki »živi« na njej. Vsaka točka ima sosesko v obliki diska ustrezne dimenzije, to je interval premice v enodimenzionalnem primeru, krog na ravnini v dveh dimenzijah, krogla v treh dimenzijah itd. Iz točke z vidika topologije obstajata samo dve enodimenzionalni povezani mnogoterosti brez roba: črta in krog. Od teh je le krog kompakten.
Primer prostora, ki ni mnogoterost, je na primer par sekajočih se črt – navsezadnje ima vsaka soseska na presečišču dveh črt obliko križa, nima soseske, ki bi je samo interval (in vse druge točke imajo takšne soseske). V takih primerih matematiki pravijo, da imamo opravka s posebno sorto, ki ima eno posebno točko.
Dvodimenzionalni kompaktni kolektorji so dobro znani. Če upoštevamo samo orientabilne ( zaradi pomanjkanja prostora ne bom govoril o neorientabilnih mnogoterostih, primer katerih je znamenita Kleinova steklenica - ploskev, ki je ni mogoče vgraditi v prostor brez samopresečišč) mnogoterosti brez meje, potem s topološkega vidika tvorijo preprost, čeprav neskončen seznam: in tako naprej. Vsak tak kolektor dobimo iz krogle z lepljenjem več ročajev, katerih število imenujemo rod ploskve.
Slika prikazuje ploskve rodu 0, 1, 2 in 3. Po čem se krogla razlikuje od vseh ploskev na tem seznamu? Izkazalo se je, da je preprosto povezana: na krogli je mogoče vsako zaprto krivuljo skrčiti v točko, na kateri koli drugi površini pa je vedno mogoče navesti krivuljo, ki je ni mogoče skrčiti v točko na površini.
Zanimivo je, da je mogoče tridimenzionalne kompaktne mnogoterosti brez meja klasificirati v nekem smislu, to je razvrstiti v določen seznam, čeprav ne tako preprosto kot v dvodimenzionalni primer, in imeti dovolj kompleksna struktura. Vendar pa 3D krogla S^3 izstopa na tem seznamu tako kot 2D krogla na zgornjem seznamu. Dejstvo, da se vsaka krivulja na S^3 skrči v točko, je dokazano tako preprosto kot v dvodimenzionalnem primeru. Toda nasprotna trditev, namreč, da je ta lastnost edinstvena specifično za sfero, tj. da na katerem koli drugem tridimenzionalnem mnogoterju obstajajo nekontraktibilne krivulje, je zelo težka in natančno sestavlja vsebino Poincaréjeve domneve, o kateri govorimo .
Pomembno je razumeti, da lahko raznolikost živi sama od sebe; nanjo lahko gledamo kot na neodvisen objekt, ki ni nikjer ugnezden. (Predstavljajte si, da živite kot dvodimenzionalna bitja na površini navadne krogle, ne da bi vedeli za obstoj tretje dimenzije.) Na srečo je mogoče vse dvodimenzionalne površine na zgornjem seznamu ugnezditi v običajnem prostoru R^3, kar naredi jih je lažje vizualizirati. Za tridimenzionalno kroglo S^3 (in na splošno za katero koli kompaktno tridimenzionalno mnogoterost brez meje) to ne velja več, zato je potrebno nekaj truda za razumevanje njene strukture.
Očitno najenostavnejši način Razložiti topološko strukturo tridimenzionalne krogle S^3 je s pomočjo enotočkovne kompaktifikacije. Tridimenzionalna krogla S^3 je namreč enotočkovna kompaktifikacija navadnega tridimenzionalnega (neomejenega) prostora R^3.
Najprej razložimo to konstrukcijo v preprosti primeri. Vzemimo navadno neskončno premico (enodimenzionalni analog prostora) in ji dodamo eno "neskončno oddaljeno" točko, ob predpostavki, da ko se premikamo po ravni črti v desno ali levo, na koncu pridemo do te točke. S topološkega vidika ni razlike med neskončno črto in omejenim odprtim segmentom črte (brez končnih točk). Tak segment je mogoče neprekinjeno upogniti v obliki loka, združiti bližje konce in prilepite manjkajočo točko v spoj. Očitno bomo dobili krog - enodimenzionalni analog krogle.
Enako, če vzamem neskončna ravnina in dodamo eno točko v neskončnosti, h kateri težijo vse premice prvotne ravnine, ki potekajo v katerikoli smeri, potem dobimo dvodimenzionalno (navadno) kroglo S^2. Ta postopek lahko opazujemo s pomočjo stereografske projekcije, ki za vsako točko P krogle, razen severni pol N, povezuje določeno točko na ravnini P."
Tako je krogla brez ene točke topološko enaka ravnini, dodajanje točke pa ravnino spremeni v kroglo.
Načeloma je popolnoma enaka konstrukcija uporabna za tridimenzionalno kroglo in tridimenzionalni prostor, le da je za njeno izvedbo potrebno vstopiti v četrto dimenzijo in tega ni tako enostavno prikazati na risbi. Tako da se bom omejil besedni opis enotočkovna kompaktifikacija prostora R^3.
Predstavljajte si, da našemu fizičnemu prostoru (ki ga po Newtonu smatramo za neomejen evklidski prostor s tremi koordinatami x, y, z) dodamo eno točko »v neskončnosti« tako, da pri premočrtnem gibanju v poljubnem smer, v katero prideš tja (tj. vsaka prostorska črta se sklene v krog). Nato dobimo kompakten tridimenzionalni mnogoterost, ki je po definiciji krogla S^3.
Lahko je razumeti, da je krogla S^3 preprosto povezana. Pravzaprav se lahko katera koli zaprta krivulja na tej krogli nekoliko premakne, tako da ne gre skozi dodano točko. Nato dobimo krivuljo v običajnem prostoru R^3, ki se zlahka skrči v točko preko homotetij, torej neprekinjenega stiskanja v vseh treh smereh.
Da bi razumeli, kako je strukturirana varieteta S^3, je zelo poučno razmisliti o njeni razdelitvi na dva polna torusa. Če odstranimo polni torus iz prostora R^3, bo ostalo nekaj nejasnega. In če je prostor strnjen v kroglo, potem se tudi ta komplement spremeni v trden torus. To pomeni, da je krogla S3 razdeljena na dva polna torusa, ki imata skupna meja- torus
Evo, kako lahko to razumete. Vdelajmo torus v R^3 kot običajno, v obliki okroglega krofa in narišimo navpično črto - os vrtenja tega krofa. Skozi os narišimo poljubno ravnino, ki bo sekala naš polni torus po dveh krogih, prikazanih na sliki zelena, dodatni del ravnine pa je razdeljen na neprekinjeno družino rdečih krogov. Sem spada središčna os, poudarjena bolj krepko, ker se v krogli S^3 premica sklene v krog. Iz te dvodimenzionalne slike z vrtenjem okoli osi dobimo tridimenzionalno sliko. Popoln komplet zasukani krogi bodo to zapolnili tridimenzionalno telo, homeomorfen trdnemu torusu, a videti nenavadno.
Pravzaprav bo osrednja os v njej aksialni krog, ostali pa bodo igrali vlogo vzporednic - krogov, ki sestavljajo navaden trdni torus.
Da bi imel s čim primerjati 3-sfero, bom dal še en primer kompaktne 3-mnogoterosti, in sicer tridimenzionalni torus. Tridimenzionalni torus je mogoče sestaviti na naslednji način. Za začetni material vzemimo navadno tridimenzionalno kocko:
Ima tri pare robov: levi in desni, zgornji in spodnji, sprednji in zadnji. V vsakem paru vzporednih ploskev v paru določimo točke, ki jih dobimo druga od druge s prenosom po robu kocke. To pomeni, da bomo predpostavili (čisto abstraktno, brez uporabe fizičnih deformacij), da sta na primer A in A" ista točka, B in B pa sta tudi ena točka, vendar različna od točke A. Vse notranje točke obravnavali bomo kocko kot običajno. Sama kocka je razdelilnik z robom, vendar se po končanem lepljenju rob zapre sam vase in izgine. Pravzaprav sta soseski točk A in A" v kocki (ležita na levi in desni zasenčeni ploskvi) polovice kroglic, ki se po lepljenju ploskev združita v celo kroglo, ki služi kot soseska ustrezna točka tridimenzionalnega torusa.
Če želite občutiti strukturo 3-torusa, ki temelji na vsakdanjih predstavah o fizičnem prostoru, morate izbrati tri medsebojno pravokotne smeri: naprej, levo in navzgor - in v mislih šteti, kot v fantazijske zgodbe, ki je pri premikanju v katero koli od teh smeri precej dolg, a končni čas, se bomo vrnili izhodišče, a z nasprotna smer. Tudi to je »kompaktifikacija prostora«, vendar ne enotočkovna, ki je bila prej uporabljena za konstrukcijo krogle, ampak bolj kompleksna.
Na tridimenzionalnem torusu obstajajo nekontraktibilne poti; na primer, to je segment AA" na sliki (na torusu predstavlja zaprto pot). Ni ga mogoče skrčiti, ker se morata za vsako neprekinjeno deformacijo točki A in A" premikati vzdolž svojih ploskev in ostati strogo drug proti drugemu ( drugače se bo krivulja odprla).
Vidimo torej, da obstajajo enostavne in neenostavno povezane kompaktne 3-raznoternosti. Perelman je dokazal, da je enostavno povezan kolektor natanko ena.
Začetna ideja dokaza je uporaba tako imenovanega "Riccijevega toka": vzamemo preprosto povezano kompaktno 3-množico, jo opremimo s poljubno geometrijo (tj. uvedemo neko metriko z razdaljami in koti), nato pa razmislimo njegov razvoj vzdolž toka Ricci. Richard Hamilton, ki je predlagal to idejo leta 1981, je upal, da bo ta razvoj našo raznolikost spremenil v kroglo. Izkazalo se je, da to ni res - v tridimenzionalnem primeru je Riccijev tok sposoben pokvariti kolektor, to je, da ga naredi ne-kolektorja (nekaj s singularnimi točkami, kot v zgornjem primeru sekajočih se črt) . Perelman je s premagovanjem neverjetnih tehničnih težav z uporabo težkega aparata parcialnih diferencialnih enačb uspel popraviti Riccijev tok blizu singularne točke tako, da se med evolucijo topologija mnogoterosti ne spremeni, ne nastanejo posebne točke in se na koncu spremeni v okroglo kroglo. Toda končno moramo pojasniti, kaj je ta Riccijev tok. Tokovi, ki sta jih uporabila Hamilton in Perelman, se nanašajo na spremembe v intrinzični metriki na abstraktnem mnogoterju in to je precej težko razložiti, zato se bom omejil na opis "zunanjega" Riccijevega toka na enodimenzionalnih mnogoterjih, vgrajenih v ravnino.
Predstavljajmo si gladko zaprto krivuljo na evklidski ravnini, izberimo smer na njej in v vsaki točki upoštevajmo tangentni vektor enotske dolžine. Nato se bo ta vektor pri prečkanju krivulje v izbrani smeri vrtel z nekaj kotna hitrost, ki se imenuje ukrivljenost. Na mestih, kjer je krivulja strmeje ukrivljena, se krivina (po absolutna vrednost) bo večji, in kjer je bolj gladek, bo ukrivljenost manjša.
Ukrivljenost bomo imeli za pozitivno, če se vektor hitrosti obrne proti notranjemu delu ravnine, ki ga naša krivulja deli na dva dela, in negativno, če se obrne navzven. Ta konvencija je neodvisna od smeri, v kateri gre krivulja. Na prevojnih točkah, kjer rotacija spremeni smer, bo ukrivljenost enaka 0. Na primer, krog s polmerom 1 ima konstantno pozitivno ukrivljenost 1 (če se meri v radianih).
Zdaj pa pozabimo na tangentne vektorje in, nasprotno, na vsako točko krivulje pritrdimo vektor, ki je pravokoten nanjo, enak po dolžini ukrivljenosti na dani točki in usmerjen navznoter, če je ukrivljenost pozitivna, in navzven, če je negativna , nato pa naredite, da se vsaka točka premakne v smeri ustreznega vektorja s hitrostjo, sorazmerno z njeno dolžino. Tukaj je primer:
Izkazalo se je, da se vsaka sklenjena krivulja na ravnini med takšno evolucijo obnaša podobno, tj. da se na koncu spremeni v krog. To je dokaz enodimenzionalne analogije Poincaréjeve domneve z uporabo Riccijevega toka (vendar je sama izjava v v tem primeru in tako je očitno, samo metoda dokaza ponazarja, kaj se dogaja v dimenziji 3).
Naj na koncu omenimo, da Perelmanovo sklepanje ne dokazuje samo Poincaréjeve domneve, temveč tudi veliko bolj splošno Thurstonovo geometrizacijsko domnevo, ki v v določenem smislu opisuje strukturo vseh na splošno kompaktnih tridimenzionalnih mnogoterosti. Toda ta tema presega obseg tega osnovnega članka.
