Inštitut za matematične probleme biologije. Matematične metode v biologiji

Zakoni evolucije, čeprav temeljijo na dejstvih, nimajo stroge matematične podlage. Prav to omogoča znanstvenikom različnih smeri, da jih različno razlagajo ali pa jih sploh ne prepoznajo. A vse to, dokler matematika ni prišla do teh zakonov.

Prva uporaba matematike v biologiji je povezana z obdelavo rezultatov opazovanj. Tako je bila vzpostavljena večina eksperimentalnih zakonitosti ... Vendar pa ta izjemno uporabna uporaba matematike v biologiji ni le ne edina, ampak niti najpomembnejša.

Eksperimentalni zakoni ne obstajajo le v biologiji. Veliko jih je v fiziki, tehniki, ekonomiji in na drugih področjih človeškega znanja. Toda ne glede na to, kateri znanosti tak zakon pripada, ima vedno eno resno napako: čeprav odgovarja na vprašanje "kako", ne odgovarja na vprašanje "zakaj".

Alkimisti so vedeli tudi, kako se snovi raztapljajo. Z merjenjem koncentracije raztopine je enostavno narisati krivuljo, ki jasno pokaže, da snov prehaja v raztopino najprej v velikih odmerkih, nato pa se ti odmerki postopoma zmanjšujejo, dokler se končno snov sploh ne raztaplja.

Podobne krivulje lahko najdemo v knjigah o gozdarstvu. Pridobljeni so iz stotin in tisočerih meritev in kažejo, da drevo najprej hitro raste, nato pa se rast upočasni in popolnoma ustavi.

Ti zakoni so eksperimentalni. Pojav opišejo precej natančno – povsem dovolj za prakso. A to je težko predvideti, če poznamo samo njih: lahko rečemo le, da se bo določena snov raztopila na tak in tak način, če se bodo pogoji, pod katerimi smo jo preučevali, ponovili. Enako je z drevesi. Ne da bi vedeli, zakaj rastejo tako ali drugače, je nemogoče napovedati, kaj se bo zgodilo z njihovo rastjo v različnih pogojih.

"Znanosti se zelo razlikujejo po stopnji, do katere so njihova dejstva predvidljiva, in nekateri trdijo, da biologija ni znanost. Ker bioloških pojavov ni mogoče vedno predvideti." Ta žalostna pripomba znanstvenika K. Willieja zadene bistvo. Za pridobitev statusa sodobne znanosti biologiji ni več dovolj podrobnih informacij o številnih in razpršenih dejstvih. Potrebujemo zakone, ki odgovarjajo na vprašanje "zakaj". In tu je bistvo matematične biologije.

Tako kot v fiziki poskušajo pri preučevanju biološkega pojava ugotoviti njegove matematične značilnosti. Na primer, če je bolnik na pregledu, potem so za analizo njegovega stanja potrebni numerični podatki - telesna temperatura, krvni tlak in sestava, srčni utrip itd., itd.

Toda običajno se preučuje le en vidik, nekaj je glavno, nekaj pa lahko zanemarimo. V astronomiji je na primer celoten globus predstavljen kot točka brez dimenzij. Zdi se, da ni nikjer bolj nesramno. Kljub temu se ti izračuni že več kot 300 let redno uporabljajo pri določanju časa mrkov in v naših letih pri izstrelitvi satelitov.

Vendar pa biologi pogosto zavračajo kakršne koli poenostavitve. Na enem zelo reprezentativnem biološkem seminarju so obravnavali model rasti dreves. Govorca, znanega strokovnjaka na svojem področju, je občinstvo sprejelo z naklonjenostjo. Vse je šlo dobro, dokler ni rekel fraze: "Ker je energija fotosinteze sorazmerna s površino lista, bomo zaradi preprostosti domnevali, da je list ploščat in nima debeline." Takoj so deževala začudena vprašanja: "Kako je to mogoče, tudi najtanjša pločevina ima debelino!" Spomnili smo se tudi iglavcev, pri katerih na splošno težko ločimo debelino od širine. Z nekaj težavami je bilo vendarle mogoče razložiti, da pri problemu, s katerim se govornik ukvarja, debelina pločevine ne igra nobene vloge in jo lahko zanemarimo. Toda namesto živega lista z vso njegovo neskončno kompleksnostjo lahko preučujemo preprost model.

Matematični model se preučuje z uporabo matematičnih sredstev. Zato se lahko za nekaj časa odvrnete od biološke vsebine modela in se osredotočite na njegovo matematično bistvo.

Vse to zahtevno delo, ki zahteva posebna znanja, biolog seveda opravlja v tesnem sodelovanju z matematikom, nekatere vidike pa v celoti zaupa matematiku specialistu. Kot rezultat takšnega skupnega dela dobimo biološki zakon, zapisan matematično.

Za razliko od eksperimentalnega odgovarja na vprašanje "zakaj" in razkriva notranji mehanizem preučevanega procesa. Ta mehanizem opisujejo matematični odnosi, vključeni v model. V modelu rasti dreves je na primer tak mehanizem diferencialna enačba, ki izraža zakon o ohranitvi energije. Po rešitvi enačbe dobimo teoretično krivuljo rasti - z neverjetno natančnostjo sovpada z eksperimentalno.

Leta 1931 je v Parizu izšla knjiga slavnega matematika V. Volterra "Matematična teorija boja za obstoj". V njem je bil obravnavan zlasti problem "plenilec-plen". Matematik je razmišljal takole: »Povečanje števila plena bo večje, čim več bo staršev, torej večje bo število plena v tem trenutku, po drugi strani pa bo število plena večje , pogosteje jo bodo srečali in uničili plenilci, zato je izguba plena sorazmerna z njeno številčnostjo.

Zakaj se spreminja število plenilcev? Njeno upadanje je samo zaradi naravne umrljivosti in je torej sorazmerno s številom odraslih osebkov. In njegov dobiček lahko štejemo za sorazmeren s prehrano, torej za sorazmeren s količino plena, ki so ga uničili plenilci."

Zadnji od teh problemov je zelo zanimiv. Njegovo bistvo je v tem, da kemične metode boja proti škodljivim vrstam pogosto ne zadovoljijo biologov. Nekatere kemikalije so tako močne, da poleg škodljivih živali uničijo tudi številne koristne. Zgodi se tudi obratno: potlačena vrsta se zelo hitro prilagodi kemičnim strupom in postane neranljiva. Strokovnjaki na primer zagotavljajo, da prašek DDT, katerega že vonj je v tridesetih letih prejšnjega stoletja pobijal stenice, stenice danes uspešno uživajo.

Tukaj je še en majhen primer, kako je matematični pristop razjasnil zmedeno biološko situacijo. V enem od poskusov so opazili neverjetno stvar: takoj ko so kapljico sladkornega sirupa kanili v kolonijo najpreprostejših mikroorganizmov, ki živijo v vodi, so se vsi prebivalci kolonije, tudi tisti najbolj oddaljeni, začeli premikati proti kapljica. Presenečeni eksperimentatorji so bili pripravljeni trditi, da imajo mikroorganizmi poseben organ, ki zaznava vabo na veliki razdalji in pomaga pri premikanju proti njej. Še malo in bi že hiteli iskat ta neznani organ.

Na srečo je eden od biologov, ki se spozna na matematiko, ponudil drugo razlago pojava. Njegova različica je bila, da se gibanje mikroorganizmov daleč od vabe ne razlikuje veliko od običajne difuzije, značilne za nežive delce. Biološke lastnosti živih organizmov se pokažejo šele v neposredni bližini vabe, ko se ob njej zadržujejo. Zahvaljujoč tej zamudi postane plast ob kapljici manj nasičena s prebivalci kot običajno in mikroorganizmi iz sosednje plasti hitijo tja po zakonih difuzije. Po istih zakonih prebivalci naslednje, še bolj oddaljene plasti drvijo v to plast itd. itd. Rezultat je tok mikroorganizmov v kapljico, ki so ga opazovali eksperimentatorji.

To hipotezo je bilo enostavno matematično preveriti in ni bilo treba iskati skrivnostnega organa.

Matematične metode so omogočile odgovore na mnoga specifična vprašanja biologije. In ti odgovori včasih presenetijo s svojo globino in milino. Vendar je o matematični biologiji kot uveljavljeni vedi še prezgodaj govoriti.

Osnove matematičnega modeliranja

Ta del predavanja “Matematični modeli v biologiji” obravnava osnovne koncepte matematičnega modeliranja. Na primeru najpreprostejših sistemov so analizirani glavni vzorci njihovega obnašanja. Poudarek ni na samem biološkem sistemu, ampak na pristopih, uporabljenih za ustvarjanje njegovega modela.

Poglej tudi:

Tema 1: Integracija podatkov in znanja. Cilji modeliranja. Osnovni pojmi

Tema 2: Modeli, opisani z avtonomno diferencialno enačbo

Tema 3: Modeli, opisani s sistemi dveh avtonomnih diferencialnih enačb

Tema 4: Hierarhija časov v bioloških sistemih. Hitre in počasne spremenljivke

Tema 5: Večstacionarni sistemi

Tema 6: Nihajni procesi

Tema 7: Kvazistohastični procesi. Dinamični kaos

Tema 8: Živi sistemi in aktivni kinetični mediji

Tema 9: Disipativne strukture

Matematična biologija je teorija matematičnih modelov bioloških procesov in pojavov. Matematično biologijo lahko uvrstimo med uporabno matematiko in aktivno uporablja njene metode. Merilo resnice v njej je matematični dokaz. Najpomembnejšo vlogo pri tem ima matematično modeliranje z uporabo računalnikov. Za razliko od čisto matematičnih ved se v matematični biologiji z metodami sodobne matematike preučujejo čisto biološki problemi in problemi, rezultati pa imajo biološko interpretacijo. Naloge matematične biologije so opisovanje zakonov narave na ravni biologije in glavna naloga je interpretacija rezultatov, pridobljenih med raziskovanjem, primer je Hardy-Weinbergov zakon, ki je zagotovljen s sredstvi, ki ne obstajajo iz nekaterih razlogov, vendar dokazuje, da je populacijski sistem mogoče in tudi predvideti na podlagi tega zakona. Na podlagi tega zakona lahko rečemo, da je populacija skupina samozadostnih alelov, v katerih je osnova naravna selekcija. Potem je sama naravna selekcija z vidika matematike neodvisna spremenljivka, populacija pa je odvisna spremenljivka, populacija pa se šteje za številne spremenljivke, ki vplivajo druga na drugo. To je število posameznikov, število alelov, gostota alelov, razmerje med gostoto dominantnih alelov in gostoto recesivnih alelov itd., itd. Naravna selekcija prav tako ne stoji ob strani in prva stvar, ki tu izstopa moč naravne selekcije, pod katero se razume vpliv okoljskih pogojev, ki vplivajo na lastnosti osebkov v populaciji, ki so se razvile med filogenezo vrste, ki ji populacija pripada.

• Aleksejev V.V., Krišev I.I., Sazykina T.G. Fizikalno in matematično modeliranje ekosistemov; Kom. doktorica hidrometeorologije in monitoringa okolja na Ministrstvu za ekologijo in naravo. viri Ros. Federacija. - Sankt Peterburg: Gidrometeoizdat, 1992.

• Bazykin A. D. Nelinearna dinamika interakcijskih populacij.

• Bailey N.T.J. Matematika v biologiji in medicini: Trans. iz angleščine - M.: Mir, 1970. - 326 str.

• Belincev B. N. Fizikalni temelji biološke morfogeneze.

• Bratuš A.S. Dinamični sistemi in modeli biologije / Bratus A. S., Novozhilov A. S., Platonov A. P. - M.: Fizmatlit, 2010. - 400 str. - ISBN 978-5-9221-1192-8.

• Deščerevski V. I. Matematični modeli mišične kontrakcije.

• Žabotinski A. M. Samonihanja koncentracije.

• Ivanitsky G. R., Krinsky V. I., Selkov E. E. Matematična biofizika celic.

• Malašonok G. I. Učinkovita matematika: modeliranje v biologiji in medicini: Uč. dodatek; Ministrstvo za šolstvo Ros. Federacija, Tamb. država Univerza poimenovana po G. R. Deržavin. - Tambov: Založba TSU, 2001 - 45 str.

• Marie J. Nelinearne diferencialne enačbe v biologiji. Predavanja o modelih.

• Molčanov A. M.(znanstveni urednik) Matematično modeliranje v biologiji.

• Matematično modeliranje življenjskih procesov. sob. Art., M., 1968.

• Menšutkin V.V. Matematično modeliranje populacij in združb vodnih živali.

• Nakhushev A. M. Enačbe matematične biologije: Učbenik. priročnik za mat in biol. specialist. univ. - M .: Višja šola, 1995. - 301 str. - ISBN 5-06-002670-1

• Uvod v matematično ekologijo. Založba L. Leningradske univerze, 1986, - 224 str.

• Petrosjan L. A., Zaharov V. V. Matematični modeli v ekologiji. - Sankt Peterburg: Univerzitetna založba St. Petersburg, 1997, - 256 str. - ISBN 5-288-01527-9

• Petrosjan L.A. in Zakharov V.V. Matematični modeli v analizi okoljske politike, Nova Science Publishers, 1997 - ISBN 1-56072-515-X

• Poluektova R. A.(znanstveni urednik) Dinamična teorija bioloških populacij.

• Raševski N. Nekateri medicinski vidiki matematične biologije. - M.: Medicina, 1966. - 243 str.

• Riznichenko G. Yu. Predavanja o matematičnih modelih v biologiji: Uč. priročnik za študente biologije. univerzitetne specialnosti. - M., Izhevsk: R&C Dynamics (PXD), 2002.

• Riznichenko G. Yu. Matematični modeli v biofiziki in ekologiji. - M.: IKI, 2003. - 184 str. - ISBN 5-93972-245-8

• Riznichenko G. Yu., Rubin A. B. Matematični modeli bioloških proizvodnih procesov: Učbenik. priročnik za univerze na področjih »Aplikacije«. matematika in računalništvo", "Biologija" in specialnosti. "Mat. modeliranje«. - M .: Založba Moskovske državne univerze, 1993. - 299 str. - ISBN 5-211-01755-2

• Matematično modeliranje v biofiziki. Uvod v teoretično biofiziko. - M.: RKhD, 2004. - 472 str. - ISBN 5-93972-359-4

• Romanovski Yu. M., Stepanova N. V., Chernavsky D. S. Matematična biofizika.

• Rubin A. B., Pytyeva N. F., Riznichenko G. Yu. Kinetika bioloških procesov.

• Svirežev ju. Nelinearni valovi, disipativne strukture in katastrofe v ekologiji.

• Svirežev Ju., Logofet D. O. Stabilnost bioloških združb.

• Svirezhev Yu, Pasekov V. P. Osnove matematične genetike.

• Smith J.M. Matematične ideje v biologiji. - M.: Mir, 1970. - 179 str.

• Teoretična in matematična biologija. per. iz angleščine - M.: Mir, 1968. - 447 str.

• Thornley J.G.M. Matematični modeli v fiziologiji rastlin.

• Fomin S.V., Berkenblit M.B. Matematični problemi v biologiji.

• Šnol E.E.(znanstveni urednik) Raziskave v matematični biologiji.

• Eigen M., Schuster P. Hiperciklični principi samoorganizacije molekul.

Matematika v biologiji Izpolnila učenka 8b razreda Marina Goncharova Šola 457, Sankt Peterburg študijsko leto

Biologi že dolgo uporabljajo matematiko. Sodobna biologija aktivno uporablja različne veje matematike: teorijo verjetnosti in statistiko, teorijo diferencialnih enačb, teorijo iger, diferencialno geometrijo in teorijo množic za preučevanje struktur in principov delovanja živih objektov. Ilya Ilyich Mechnikov ruski biolog, razvil teorijo imunosti Aleksander Fleming škotski znanstvenik, odkril penicilin Nikolaj Ivanovič Pirogov ruski znanstvenik in kirurg. Ustvaril teorijo o razvoju življenja na Zemlji. James Dewey Watson Francis Harry Compton angleški molekularni biologi. Odkrite so bile strukture molekul DNK

Genska koda je način kodiranja aminokislinskega zaporedja beljakovin z uporabo zaporedja nukleotidov, značilnega za vse žive organizme. Statistične metode imajo pomembno vlogo pri dešifriranju genetske kode, pa tudi pri sestavljanju kromosomskih zemljevidov. Alfred Sturtevant Sestavil prvi genetski zemljevid Primer genetskega zemljevida

Biokemija Biokemija je veda o kemijski sestavi živih celic in organizmov ter kemijskih procesih, na katerih temelji njihovo življenje. Termodinamične enačbe se pogosto uporabljajo v tej znanosti. Novitsky Alexey Ivanovich Ustvaril nauk o termodinamiki bioloških procesov. Ilya Prigogine Ustvaril tako imenovano neklasično termodinamiko Josiah Willard Gibbs Ustvarjalec matematične teorije termodinamike

Biologija in analitična geometrija Znanje geometrije se pogosto uporablja v biologiji. Vsak raziskovalni biolog mora svoje rezultate uskladiti s statičnimi kriteriji, ugotovljena razmerja pa so običajno prikazana s pomočjo krivulj iz analitične geometrije.

Avtomatizacija bioloških industrij Pri proučevanju in raziskovanju bioloških pojavov morajo biti znanstveniki sposobni nadzorovati kompleksno opremo in obdelovati njene odčitke. To zahteva znanje matematike. MRI aparat Uporablja se za pridobivanje slik notranjih organov Elektrokardiograf Določitev srčnega utripa in pravilnosti Umetno srce, primer biomedicinskega inženiringa.