Naj sta v neki domeni G podana zvezno vektorsko polje a) k in zaprta usmerjena kontura L. Definicija 1. Kroženje vektorja a vzdolž zaprte konture L imenujemo črtni integral 2. vrsta iz vektorja a vzdolž konture L. Tukaj je dr vektor, katerega dolžina je enaka diferencialu loka L, smer pa sovpada s smerjo tangente na L, op- Sl. 31 določena z orientacijo konture (slika 31); simbol f pomeni, da je integral vzet po nadomestni konturi L. b Primer 1. izračunajte kroženje vektorsko polje po elipsi L: Po definiciji kroženja imamo Parametrične enačbe te elipse imajo obliko: , in zato, . Če nadomestimo te izraze v formulo (2), najdemo kroženje vektorskega polja. Rotor vektorja Stokesov izrek Rotor (vorteks) vektorskega polja Invariantna definicija polje rotorja Fizični pomen poljski rotor Pravila za izračun rotorja 8.1. Rotor (vrtinček) vektorskega polja Oglejmo si polje vektorja P, Q, R, ki so zvezni in imajo zvezne parcialne odvode prvega reda glede na vse svoje argumente. Definicija 2. Rotor vektorja "(M) je vektor, označen s simbolom rot a in definiran z enakostjo ali, v simbolični obliki, primerni za zapomnitev, Ta determinanta je razširjena z elementi prve vrstice, medtem ko je operacije množenja elementov druge vrstice z elementi tretje vrstice razumemo kot operacije diferenciacije, na primer definicija 3. Če imamo v neki domeni G rot a = 0, potem polje vektorja a v domeni G se imenuje irotacijski. Primer 2. Poiščite rotor vektorja 4 Po formuli (3) imamo Ker je rot a vektor, lahko obravnavamo vektorsko polje - polje rotorja vektorja a. Ob predpostavki, da imajo koordinate vektorja a zvezne parcialne odvode drugega reda, izračunamo divergenco vektorja rot a. Dobimo. Tako je polje vrtenja vektorja solenoidno. Izrek 7 (Stokes). Kroženje vektorja a vzdolž usmerjene zaprte konture L je enako rotorskemu toku tega vektorja skozi katero koli površino E, ki jo razteza kontura L. Predpostavlja se, da imajo koordinate vektorja a zvezne parcialne odvode v nekem območju G prostor, ki vsebuje ploskev E, in da je orientacija enotskega vektorja normale n° na ploskev EC G usklajena z orientacijo konture L, tako da se od konca norme krog okoli konture v danem smer se odvija v nasprotni smeri urinega kazalca. Ob upoštevanju tega in z uporabo definicije rotorja (3) prepišemo formulo (4) v naslednji obliki: Najprej razmislimo o primeru, ko sta gladka površina E in njena kontura L enolično projicirana na območje D xOy ravnino oziroma njeno mejo - konturo A (slika 32). Usmerjenost konture L povzroči določeno orientacijo konture A. Za določnost bomo predpostavili, da je kontura L usmerjena tako, da površina E ostane levo, tako da je normalni vektor n na površino E os Oz oster kot 7 (cos 7 >0). Naj sta enačba površine E in funkcija φ(x)y) zvezna in imata zvezna parcialna odvoda gf in ^ v zaprto območje D. Recimo, da integral Premica L leži na ploskvi E. Zato lahko z uporabo enačbe te ploskve r pod znakom integrala zamenjamo s ^(x, y). Koordinate spremenljive točke krivulje A so enake koordinatam ustrezne točke na krivulji L, zato lahko integracijo po L nadomestimo z integracijo po A. Uporabimo Greenovo formulo za integral na desni. Zdaj preidemo od integrala po območju D k integralu po površini E. Ker je dS = cos 7 da, potem iz formule (8) dobimo, da je normalni vektor n° na površino E določen z izrazom k. Od tod je jasno, da. Zato lahko enakost (9) prepišemo takole: Če upoštevamo E kot gladko površino, ki edinstveno projicira na vse tri koordinatne ravnine, podobno se prepričamo o veljavnosti formul Kroženje vektorskega polja. Rotor vektorja Stokesov izrek Rotor (vrtinec) vektorskega polja Invariantna definicija rotorja polja Fizikalni pomen rotorja polja Pravila za izračun rotorja S seštevanjem enakosti člen za členom dobimo Stokesovo formulo ( 5), ali na kratko Opomba 1. Pokazali smo, da je polje vektorske rotacije solenoidno, zato tok vektorske rotacije ni odvisen od vrste površine E, ki jo zajema kontura L. Opomba 2 Formula (4) je bila izpeljana ob predpostavki, da je površina £ enolično projicirana na vse tri koordinatne ravnine. Če ta pogoj ni izpolnjen, potem £ razdelimo na dele tako, da vsak del določeno stanje zadovoljni, nato pa uporabimo aditivnost integralov. Primer 3. Izračunajte kroženje vektorja vzdolž premice 1) z uporabo definicije; 2) po Stokesovem izreku. 4 1) Parametrsko definirajmo premico L: Potem 2) Poišči roto: Kos ravnine raztegnemo na konturo L Potem. Invariantna definicija rotorja polja Iz Stokesovega izreka lahko dobimo invariantno definicijo rotorja polja, ki ni povezana z izbiro koordinatnega sistema. Izrek 8. Projekcija rotorja a v katero koli smer ni odvisna od izbire koordinatnega sistema in je enaka površinska gostota kroženje vektorja a vzdolž obrisa ploščadi, pravokotno na to smer, tukaj (E) je ravna ploščad, pravokotno na vektor l; 5 - območje tega mesta; L - kontura mesta, usmerjena tako, da je obvod konture viden s konca vektorja n v nasprotni smeri urinega kazalca; (E) M pomeni, da se ploskev (E) skrči v točko M, v kateri je obravnavan vektor rot a, normalni vektor n na to ploskev pa ostane ves čas enak (slika 33). 4 Najprej uporabimo Stokesov izrek za kroženje (a,dr) vektorja a in nato za nastali dvojni integral- izrek o srednji vrednosti: kjer (skalarni produkt je vzet na neki sredini Mf mesta (E)). Ker območje (E) privlači k točki M, teži tudi povprečna točka A/c k točki M in zaradi predpostavljene kontinuitete parcialnih odvodov koordinat vektorja a (in s tem kontinuitete rot a) pridobiti Ker projekcija vektorja rot a na poljubno smer ni odvisna od izbire koordinatnega sistema, potem je sam vektor rot invarianten glede na to izbiro. Od tu dobimo naslednjo invariantno definicijo rotorja polja: rotor polja je vektor, katerega dolžina je enaka največji gostoti površinskega kroženja v dani točki, usmerjeno pravokotno na območje, na katerem je ta največja gostota dosežena je cirkulacija; v tem primeru je orientacija vrtenja vektorja skladna z orientacijo konture, pri kateri je cirkulacija pozitivna, glede na pravilo desnega vijaka. 8.3. Fizikalni pomen poljskega rotorja Pustimo, da se togo telo vrti okoli fiksna os I s kotno hitrostjo in. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da os I sovpada z osjo Oz (slika 34). Naj bo M(r) točka telesa, ki se proučuje, kjer je Vector kotna hitrost v našem primeru je enak from = wk, izračunajte vektor v linearna hitrost točke M, Od tod kroženje vektorskega polja. Rotor vektorja Stokesov izrek Rotor (vrtinec) vektorskega polja Invariantna definicija rotorja polja Fizični pomen rotorja polja Pravila za izračun rotorja Torej, vrtinec vrtilnega polja hitrosti trdna enaka na vseh točkah polja, vzporedna z osjo vrtenja in enaka dvakratni kotni hitrosti vrtenja. 8.4. Pravila za izračun rotorja 1. Rotor stalni vektor c je enak ničelnemu vektorju, 2. Rotor ima lastnost linearnosti konstantnih števil. 3. Rotor izdelka skalarna funkcija u(M) v vektor a(M) se izračuna po formuli
Vedeti na vsaki točki S, naklado najdete pri G okoli S. Razčlenimo ga S na S:
in 
- normalno na površinski element
S.
Naj vse S 0 , potem:
Stokesov izrek:
Cirkulacijski vektor 
po poljubni konturi G enak toku vektorja 
skozi poljubno površino S, omejen s to konturo.
3.7 Kroženje in rotor elektrostatičnega polja
Delo elektrostatičnih sil vzdolž katerega koli zaprtega tokokroga je enako nič.
tiste. kroženje elektrostatičnega polja vzdolž katerega koli tokokroga je nič.
Vzemimo katero koli površino S, ki temelji na konturi G.
Glede na Stokesov izrek:
;
saj je to za vsako površino S, To
Obstaja identiteta:
tiste. elektrostatične silnice ne krožijo v prostoru.
3.8 Gaussov izrek
Bomo našli 
elektrostatično polje. Za točkovni naboj je gostota črte številčno enaka 
Tok 
skozi katero koli zaprto površino je enako številu črt, ki gredo ven, tj. začenši z nabojem "+" in konča z nabojem "-":
Predznak toka se ujema z predznakom q, dimenzije so enake.
Naj bo n točkovne dajatve q i .
Tok vektorja elektrostatične poljske jakosti skozi zaprto površino je enak algebraični vsoti nabojev znotraj te površine, deljeni z 0.
4 Izračun polj z uporabo Gaussovega izreka
4.1 Polje enakomerno nabite neskončne plošče.
4.2 Polje enakomerno nabite sferične površine.
4.3 Polje dveh neskončnih vzporednih nasprotno nabitih ravnin
4.4 Polje volumsko nabite kroglice
4.1 Polje enakomerno nabite neskončne plošče
IN 
uvesti koncept površinske gostote
- naboj na enoto površine.
Neskončna plošča, nabita s konstantno površinsko gostoto + . Napetostne črte so pravokotne na obravnavano ravnino in usmerjene od nje v obe smeri.
Kot zaprto ploskev bomo zgradili valj, katerega osnove so vzporedne z ravnino, os pa je pravokotna nanjo, ker generatrisi valja sta vzporedni E, To cos =0 in tok skozi stransko površino je 0, in poln pretok skozi valj je enaka vsoti tokov skozi njegovo osnovo.
E'=E''=E,
to F= 2E S;
q = S
Iz tega sledi E ni odvisen od dolžine valja, tj. Površina polja na kateri koli razdalji je enaka v absolutni vrednosti, tj. Polje enakomerno naelektrene plošče je enakomerno.
4.2 Polje enakomerno nabite sferične površine
Z 
polmer sferične površine R s skupnim nabojem q.
Ker je naboj enakomerno porazdeljen, potem ima polje sferično simetrijo, tj. ravninske črte so usmerjene radialno.
Miselno zgradimo kroglo s polmerom r R. Ker r R, potem celoten naboj pade znotraj površine, v skladu z Gaussovim izrekom:
pri r R polje se zmanjšuje z razdaljo r po enakem zakonu kot točkovni naboj.
če r' R, potem zaprta površina ne vsebuje nabojev v notranjosti, sledi, da znotraj enakomerno nabite sferične površine ni elektrostatičnega polja E=0.
4.3 Polje dveh neskončnih vzporednih nasprotno nabitih ravnin
Naj bodo ravnine enakomerno nabite z nasprotnimi naboji s površinskimi gostotami + in - .
Polje najdemo kot superpozicijo, ki jo ustvarja vsaka od ravnin posebej.
Izven krožnika E = 0(robovi so odšteti, ker so črte usmerjene druga proti drugi).
V območju med letali
E = E + + E -
Potem 
Ta izrek vam omogoča, da izračunate kroženje vektorja vzdolž konture končne dolžine z uporabo rotorja tega vektorja.
Naklada vektorsko polje vzdolž zaprte pozitivno usmerjene konture L enako pretok rotorja to polje skozi katero koli gladko površino S , ki temelji na tej konturi:
.
(2.12)
Za dokaz teorema razmislimo o konturi s površino, ki jo pokriva (slika 2.6). Celotna kontura je razdeljena na osnovne konture enake orientacije (slika 2.10).
Kroženje po osnovnem tokokrogu je enako 
.
Vse sosednje konture ( 1 in 2 na sl. 2.10) imajo naslednjo značilnost: na skupni meji z enako vrednostjo polja se bo prispevek k kroženju vzdolž vsake od sosednjih kontur zgodil s spremembo predznaka (za konturo 1 -a b , in za 2 - b a ). Posledično se prispevek k kroženju vseh notranjih odsekov tokokrogov medsebojno kompenzira in samo odseki, ki pripadajo tokokrogu, ostanejo nekompenzirani L , kar na koncu daje (2.12) .
Poseben primer (2.12) v primeru, da se kontura nahaja na ravnini, je formula D. Greena (M. Ostrogradsky-D. Green):
.
(2.13)
Formuli (2.12) in (2.13) nam omogočata, da zmanjšamo izračun krivuljnega integrala druge vrste na izračun dvojnega integrala po območju S .
Obratni prehod po (2.12) se izvede podobno kot (2.8).
2.4. Operator opazovalca in Laplaceov operator
Pisanje formul vektorske analize je pri uporabi poenostavljeno radar operater
(operator W. Hamilton), ki je vektor 
. Ta vektor sam po sebi nima pomena, vendar nam omogoča, da kompaktno zapišemo formule (2.3), (2.5) in (2.9):
;
;
. (2.14)
Poleg tega operater nabla omogoča poenostavitev izračuna diferencialnih operatorjev višjega reda.
Treba je opozoriti, da s je treba ravnati previdno, pri uporabi pa ne pozabite, da ta operater ni le vektor , ampak tudi diferencial .
Na primer, poiščimo 
. Z uporabo dobimo 
. Po pravilih diferenciacija
najprej ukrepa operater izdelka prvi
množitelj in nato po drugo: . Kot rezultat dobimo. Postopek izračuna preko vektorskih koordinat bi zahteval za red velikosti več operacij.
Poskusite sami pridobiti formulo za razširitev, ki ni vključena v (2.15) 
. Pravilen odgovor je podan na koncu aplikacije 1
.
Nekatere identitete in operacije drugega reda.
;
;
;
;
Laplaceov operater ( , laplaški ) je operator drugega reda.
Všeč mi je , velja tako za skalar kot za vektor.
.
(2.17)
V primeru kartezični sistem koordinate (2.18) je poenostavljeno:
Informacije o krivuljnih koordinatnih sistemih, ki se pogosto uporabljajo v teoriji EMF ( cilindrični in sferične ) in vektorske operacije v njih so podane v Dodatek 2 .
2.5. Klasifikacija vektorskih polj
Vektorsko polje 
je podana enolično, če sta njen rotor in divergenca znani kot funkciji prostorskih koordinat.
Glede na vrednosti teh funkcij obstajajo potencial , vrtinec (elektromagnetni ) polje in generično polje .
Vektorsko polje 
potencialno
, če obstaja kakšna skalarna funkcija U
, ki je povezana z 
kot sledi: 
. funkcija U
klical potencial skalarnega polja
.
Potreben in zadosten pogoj potencialnost
je rotor enak nič
(
).
Solenoidno
(vrtinec
) imenujemo vektorsko polje 
, na vsaki točki katerega 
(nujen in zadosten pogoj), 
.
Solenoidno vektorsko polje 
lahko predstavljamo kot 
. V tem primeru vektorska količina 
klical potencial vektorskega polja
(
).
Ime polja te vrste mogoče razložiti s tem, da ga odkrili v solenoid , – induktor (lahko je z jedrom ali brez), katerega dolžina znatno presega premer.
Če vektorsko polje 
in 
, potem je to - generično polje
.
Poljubno vektorsko polje splošnega tipa lahko predstavimo kot vsoto potencialnega in vrtinčnega dela: 
, – kje v 
vključeno terenski viri
(
), in v 
–poljski vrtinci
(
).
Zdaj, po študiju integralnih in diferencialnih operacij ter osnovnih izrekov vektorske analize, lahko začnemo preučevati osnovo teorije EMF - Maxwellov sistem enačb .
Če poznamo rotor vektorja a na vsaki točki neke (ne nujno ravne) površine S, lahko izračunamo kroženje tega vektorja vzdolž konture G, ki omejuje S (kontura je lahko tudi neravna). Da bi to naredili, površino razdelimo na zelo majhne elemente. Zaradi svoje majhnosti se ti elementi lahko štejejo za ravne.
Zato lahko v skladu z (11.23) kroženje vektorja a vzdolž mejne konture predstavimo v obliki
kjer je pozitivna normala na površinski element
V skladu s formulo (11.21), če seštejemo izraz (11.29) čez vse , dobimo kroženje vektorja a vzdolž konture G, ki omejuje
Po izvedbi prehoda do meje, pri kateri vsi AS težijo k ničli (njihovo število neomejeno raste), pridemo do formule
(11.30)
Relacija (11.30) se imenuje Stokesov izrek. Njegov pomen je, da je kroženje vektorja a vzdolž poljubne konture G enako toku rotacije vektorja skozi poljubno površino S, omejeno z dano konturo.
Operater observatorija Pisanje formul za vektorsko analizo je močno poenostavljeno in olajšano, če uvedete vektorski diferencialni operator, označen s simbolom in imenovan Nabla operator ali Hamiltonov operator. Ta operator pomeni vektor s komponentami, torej
Sam po sebi ta vektor nima pomena. Pomen dobi v kombinaciji s skalarno ali vektorsko funkcijo, s katero se simbolično pomnoži. Torej, če pomnožite vektor y s skalarjem, dobite vektor
ki je gradient funkcije (glej (11.1)).
Če vektor y pomnožimo skalarno z vektorjem a, je rezultat skalar
ki ni nič drugega kot divergenca vektorja a (glej (11.14)).
Končno, če pomnožite y z a vektorsko, dobite vektor s komponentami: itd., ki sovpadajo s komponentami rota (glej (11.25) - (11.27)).
Zato z uporabo notacije vektorski izdelek z uporabo determinanta lahko zapišemo
(11-34)
Tako obstajata dva načina zapisovanja gradienta, divergence in rotorja:
Zapis z uporabo y ima številne prednosti. Zato bomo v nadaljevanju uporabljali tak zapis. Morate se navaditi, da prepoznate simbol z besedami "gradient" (tj. Ne recite "nabla", ampak "gradient phi"), simbol z besedami "divergenca a" in končno simbol z besedami "rotor a ”.
Ko uporabljate vektor y, se morate spomniti, da je diferencialni operator, ki deluje na vse funkcije desno od njega. Zato morate pri pretvarjanju izrazov, ki vključujejo y, upoštevati obe pravili vektorska algebra, takšna so pravila diferencialni račun. Na primer, odvod produkta funkcij je enak
V skladu s tem
Prav tako
Gradient neke funkcije je vektorska funkcija. Zato se nanj lahko uporabijo operacije divergence in rotorja.
