Herët a vonë, të gjithë fëmijët në shkollë fillojnë të mësojnë thyesat: mbledhjen e tyre, pjesëtimin, shumëzimin dhe të gjitha veprimet e mundshme që mund të kryhen me thyesa. Për t'i ofruar ndihmën e duhur fëmijës, vetë prindërit nuk duhet të harrojnë se si t'i ndajnë numrat e plotë në fraksione, përndryshe nuk do të mund ta ndihmoni në asnjë mënyrë, por vetëm do ta ngatërroni. Nëse duhet ta mbani mend këtë veprim, por thjesht nuk mund t'i sillni të gjitha informacionet në kokën tuaj në një rregull të vetëm, atëherë ky artikull do t'ju ndihmojë: do të mësoni të ndani një numër me një fraksion dhe të shihni shembuj të qartë.
Si të ndajmë një numër në një thyesë
Shkruani shembullin tuaj si një draft të përafërt që të mund të bëni shënime dhe fshirje. Mos harroni se numri i plotë është shkruar midis qelizave, pikërisht në kryqëzimin e tyre, dhe numrat thyesorë janë shkruar secili në qelizën e vet.
- Në këtë metodë, ju duhet ta ktheni thyesën me kokë poshtë, domethënë të shkruani emëruesin në numërues dhe numëruesin në emërues.
- Shenja e pjesëtimit duhet të ndryshohet në shumëzim.
- Tani gjithçka që duhet të bëni është të kryeni shumëzimin sipas rregullave që keni mësuar tashmë: numëruesi shumëzohet me një numër të plotë, por ju nuk e prekni emëruesin.
Sigurisht, si rezultat i këtij veprimi do të përfundoni me një numër shumë të madh në numërues. Ju nuk mund të lini një pjesë në këtë gjendje - mësuesi thjesht nuk do ta pranojë këtë përgjigje. Zvogëloni thyesën duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin. Shkruani numrin e plotë që rezulton në të majtë të fraksionit në mes të qelizave, dhe pjesa e mbetur do të jetë numëruesi i ri. Emëruesi mbetet i pandryshuar.
Ky algoritëm është mjaft i thjeshtë, edhe për një fëmijë. Pasi ta ketë përfunduar pesë ose gjashtë herë, fëmija do ta mbajë mend procedurën dhe do të jetë në gjendje ta zbatojë atë në çdo fraksion.
Si të pjesëtoni një numër me një dhjetor
Ekzistojnë lloje të tjera të thyesave - dhjetore. Ndarja në to ndodh sipas një algoritmi krejtësisht të ndryshëm. Nëse hasni një shembull të tillë, atëherë ndiqni udhëzimet:
- Së pari, konvertoni të dy numrat në dhjetorë. Kjo është e lehtë për t'u bërë: pjesëtuesi juaj është paraqitur tashmë si një thyesë, dhe ju e ndani numrin natyror që ndahet me presje, duke marrë një thyesë dhjetore. Kjo do të thotë, nëse dividenti ishte 5, ju merrni fraksionin 5.0. Ju duhet të ndani një numër me aq shifra sa ka pas presjes dhjetore dhe pjesëtuesit.
- Pas kësaj, duhet t'i bëni të dy thyesat dhjetore numra natyrorë. Mund të duket pak konfuze në fillim, por është mënyra më e shpejtë për të ndarë dhe do t'ju marrë disa sekonda pas disa seancave praktike. Thyesa 5.0 do të bëhet numri 50, thyesa 6.23 do të bëhet 623.
- Bëni ndarjen. Nëse numrat janë të mëdhenj, ose ndarja do të ndodhë me një mbetje, bëjeni atë në një kolonë. Në këtë mënyrë ju mund të shihni qartë të gjitha veprimet e këtij shembulli. Ju nuk keni nevojë të vendosni presje me qëllim, pasi ajo do të shfaqet vetë gjatë procesit të gjatë të ndarjes.
Ky lloj i ndarjes fillimisht duket shumë konfuz, pasi ju duhet ta ktheni dividentin dhe pjesëtuesin në një thyesë, dhe më pas përsëri në numra natyrorë. Por pas një praktike të shkurtër, menjëherë do të filloni të shihni ato numra që thjesht duhet t'i ndani me njëri-tjetrin.
Mos harroni se aftësia për të ndarë saktë thyesat dhe numrat e plotë me to mund të jetë e dobishme shumë herë në jetë, prandaj, një fëmijë duhet t'i njohë këto rregulla dhe parime të thjeshta në mënyrë të përsosur, në mënyrë që në klasat më të larta të mos bëhen pengesë për shkak të së cilës fëmija nuk mund të zgjidhë detyra më komplekse.
§ 87. Mbledhja e thyesave.
Mbledhja e thyesave ka shumë ngjashmëri me mbledhjen e numrave të plotë. Mbledhja e thyesave është një veprim që konsiston në faktin se disa numra (termi) të dhënë kombinohen në një numër (shumë), që përmban të gjitha njësitë dhe thyesat e njësive të termave.
Ne do të shqyrtojmë tre raste në vazhdimësi:
1. Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm.
2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm.
3. Mbledhja e numrave të përzier.
1. Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm.
Shqyrtoni një shembull: 1/5 + 2/5.
Le të marrim segmentin AB (Fig. 17), ta marrim si një dhe ta ndajmë në 5 pjesë të barabarta, atëherë pjesa AC e këtij segmenti do të jetë e barabartë me 1/5 e segmentit AB, dhe një pjesë e të njëjtit segment CD do të jetë e barabartë me 2/5 AB.
Nga vizatimi duket qartë se nëse marrim segmentin AD, ai do të jetë i barabartë me 3/5 AB; por segmenti AD është pikërisht shuma e segmenteve AC dhe CD. Kështu mund të shkruajmë:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Duke marrë parasysh këto terma dhe shumën që rezulton, shohim se numëruesi i shumës është marrë duke shtuar numëruesit e termave dhe emëruesi ka mbetur i pandryshuar.
Nga kjo marrim rregullin e mëposhtëm: Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini të njëjtin emërues.
Le të shohim një shembull:
2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm.
Le të shtojmë thyesat: 3 / 4 + 3 / 8 Së pari ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët:
Lidhja e ndërmjetme 6/8 + 3/8 nuk mund të shkruhej; ne e kemi shkruar këtu për qartësi.
Kështu, për të shtuar thyesa me emërues të ndryshëm, së pari duhet t'i reduktoni në emëruesin më të ulët të përbashkët, të shtoni numëruesit e tyre dhe të emërtoni emëruesin e përbashkët.
Le të shqyrtojmë një shembull (ne do të shkruajmë faktorë shtesë mbi fraksionet përkatëse):
3. Mbledhja e numrave të përzier.
Le të mbledhim numrat: 2 3/8 + 3 5/6.
Le t'i sjellim së pari pjesët thyesore të numrave tanë në një emërues të përbashkët dhe t'i rishkruajmë ato përsëri:
Tani shtojmë pjesët e plota dhe të pjesshme në mënyrë sekuenciale:
§ 88. Zbritja e thyesave.
Zbritja e thyesave përcaktohet në të njëjtën mënyrë si zbritja e numrave të plotë. Ky është një veprim me ndihmën e të cilit, duke pasur parasysh shumën e dy termave dhe njërit prej tyre, gjendet një term tjetër. Le të shqyrtojmë tre raste me radhë:
1. Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm.
2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.
3. Zbritja e numrave të përzier.
1. Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm.
Le të shohim një shembull:
13 / 15 - 4 / 15
Marrim segmentin AB (Fig. 18), e marrim si njësi dhe e ndajmë në 15 pjesë të barabarta; atëherë pjesa AC e këtij segmenti do të përfaqësojë 1/15 e AB, dhe pjesa AD e të njëjtit segment do të korrespondojë me 13/15 AB. Le të lëmë mënjanë një segment tjetër ED të barabartë me 4/15 AB.
Duhet të zbresim thyesën 4/15 nga 13/15. Në vizatim, kjo do të thotë se segmenti ED duhet të zbritet nga segmenti AD. Si rezultat, segmenti AE do të mbetet, i cili është 9/15 e segmentit AB. Kështu mund të shkruajmë:
Shembulli që bëmë tregon se numëruesi i diferencës është marrë duke zbritur numëruesit, por emëruesi ka mbetur i njëjtë.
Prandaj, për të zbritur thyesat me emërues të ngjashëm, duhet të zbrisni numëruesin e nëntrahendës nga numëruesi i minuendit dhe të lini të njëjtin emërues.
2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.
Shembull. 3/4 - 5/8
Së pari, le t'i reduktojmë këto thyesa në emëruesin më të ulët të përbashkët:
Mesmeja 6 / 8 - 5 / 8 është shkruar këtu për qartësi, por mund të anashkalohet më vonë.
Kështu, për të zbritur një thyesë nga një thyesë, së pari duhet t'i reduktoni ato në emëruesin më të ulët të përbashkët, pastaj të zbrisni numëruesin e minuendit nga numëruesi i minuendit dhe të nënshkruani emëruesin e përbashkët nën ndryshimin e tyre.
Le të shohim një shembull:
3. Zbritja e numrave të përzier.
Shembull. 10 3/4 - 7 2/3.
Le t'i zvogëlojmë pjesët thyesore të minuend-it dhe subtrahend-it në emëruesin më të ulët të përbashkët:
Ne zbritëm një të tërë nga një e tërë dhe një thyesë nga një thyesë. Por ka raste kur pjesa thyesore e asaj që zbritet është më e madhe se pjesa thyesore e asaj që zvogëlohet. Në raste të tilla, ju duhet të merrni një njësi nga e gjithë pjesa e minuend-it, ta ndani në ato pjesë në të cilat shprehet pjesa thyesore dhe ta shtoni atë në pjesën thyesore të minuend-it. Dhe pastaj zbritja do të kryhet në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëparshëm:
§ 89. Shumëzimi i thyesave.
Kur studiojmë shumëzimin e thyesave, do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:
1. Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë.
2. Gjetja e thyesës së një numri të dhënë.
3. Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë.
4. Shumëzimi i një thyese me një thyesë.
5. Shumëzimi i numrave të përzier.
6. Koncepti i interesit.
7. Gjetja e përqindjes së një numri të dhënë. Le t'i shqyrtojmë ato në mënyrë sekuenciale.
1. Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë.
Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë ka të njëjtin kuptim si shumëzimi i një numri të plotë me një numër të plotë. Të shumëzosh një fraksion (shumësues) me një numër të plotë (faktor) do të thotë të krijosh një shumë të termave identikë, në të cilin çdo term është i barabartë me shumëzuesin dhe numri i termave është i barabartë me shumëzuesin.
Kjo do të thotë që nëse duhet të shumëzoni 1/9 me 7, atëherë mund të bëhet kështu:
Ne e morëm lehtësisht rezultatin, pasi veprimi u reduktua në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. Prandaj,
Shqyrtimi i këtij veprimi tregon se shumëzimi i një thyese me një numër të plotë është i barabartë me rritjen e kësaj thyese aq herë sa ka njësi në numrin e plotë. Dhe meqenëse rritja e një thyese arrihet ose duke rritur numëruesin e saj
ose duke reduktuar emëruesin e tij 
, atëherë ne mund të shumëzojmë numëruesin me një numër të plotë ose të pjesëtojmë emëruesin me të, nëse një ndarje e tillë është e mundur.
Nga këtu marrim rregullin:
Për të shumëzuar një thyesë me një numër të plotë, ju shumëzoni numëruesin me atë numër të plotë dhe e lini emëruesin të njëjtë, ose, nëse është e mundur, pjesëtoni emëruesin me atë numër, duke e lënë numëruesin të pandryshuar.
Kur shumëzoni, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:
2. Gjetja e thyesës së një numri të dhënë. Ka shumë probleme në të cilat ju duhet të gjeni, ose të llogaritni, një pjesë të një numri të caktuar. Dallimi midis këtyre problemeve dhe të tjerave është se ato japin numrin e disa objekteve ose njësive matëse dhe ju duhet të gjeni një pjesë të këtij numri, i cili gjithashtu tregohet këtu me një fraksion të caktuar. Për të lehtësuar kuptimin, fillimisht do të japim shembuj të problemeve të tilla dhe më pas do të prezantojmë një metodë për zgjidhjen e tyre.
Detyra 1. Unë kisha 60 rubla; Kam shpenzuar 1/3 e këtyre parave për blerjen e librave. Sa kushtuan librat?
Detyra 2. Treni duhet të përshkojë një distancë midis qyteteve A dhe B të barabartë me 300 km. Ai ka kaluar tashmë 2/3 e kësaj distance. Sa kilometra është kjo?
Detyra 3. Në fshat ka 400 shtëpi, 3/4 e tyre janë tulla, pjesa tjetër prej druri. Sa shtëpi me tulla ka gjithsej?
Këto janë disa nga problemet e shumta që hasim për të gjetur një pjesë të një numri të caktuar. Zakonisht quhen problema për të gjetur thyesën e një numri të caktuar.
Zgjidhja e problemit 1. Nga 60 fshij. Kam shpenzuar 1/3 për libra; Kjo do të thotë që për të gjetur koston e librave duhet të ndani numrin 60 me 3:
Zgjidhja e problemit 2. Pika e problemit është se ju duhet të gjeni 2/3 e 300 km. Le të llogarisim fillimisht 1/3 e 300; Kjo arrihet duke pjesëtuar 300 km me 3:
300: 3 = 100 (kjo është 1/3 e 300).
Për të gjetur dy të tretat e 300, duhet të dyfishoni koeficientin që rezulton, d.m.th., të shumëzoni me 2:
100 x 2 = 200 (kjo është 2/3 e 300).
Zgjidhja e problemit 3. Këtu ju duhet të përcaktoni numrin e shtëpive me tulla që përbëjnë 3/4 e 400. Le të gjejmë fillimisht 1/4 e 400,
400: 4 = 100 (kjo është 1/4 e 400).
Për të llogaritur tre të katërtat e 400, herësi që rezulton duhet të trefishohet, pra të shumëzohet me 3:
100 x 3 = 300 (kjo është 3/4 e 400).
Bazuar në zgjidhjen e këtyre problemeve, mund të nxjerrim rregullin e mëposhtëm:
Për të gjetur vlerën e një thyese nga një numër i caktuar, duhet ta pjesëtoni këtë numër me emëruesin e thyesës dhe të shumëzoni herësin që rezulton me numëruesin e tij.
3. Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë.
Më herët (§ 26) u konstatua se shumëzimi i numrave të plotë duhet kuptuar si shtim i termave identikë (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Në këtë paragraf (pika 1) u vërtetua se shumëzimi i një thyese me një numër të plotë nënkupton gjetjen e shumës së termave identikë të barabartë me këtë thyesë.
Në të dyja rastet, shumëzimi konsistonte në gjetjen e shumës së termave identikë.
Tani kalojmë në shumëzimin e një numri të plotë me një thyesë. Këtu do të hasim, për shembull, shumëzimin: 9 2 / 3. Është e qartë se përkufizimi i mëparshëm i shumëzimit nuk vlen për këtë rast. Kjo është e dukshme nga fakti se ne nuk mund ta zëvendësojmë një shumëzim të tillë duke shtuar numra të barabartë.
Për shkak të kësaj, do të duhet të japim një përkufizim të ri të shumëzimit, d.m.th., me fjalë të tjera, t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë duhet kuptuar me shumëzimin me një fraksion, si duhet kuptuar ky veprim.
Kuptimi i shumëzimit të një numri të plotë me një thyesë është i qartë nga përkufizimi i mëposhtëm: shumëzimi i një numri të plotë (shumëfishuesi) me një thyesë (shumëfishuesi) do të thotë gjetja e kësaj fraksioni të shumëzuesit.
Përkatësisht, shumëzimi i 9 me 2/3 do të thotë të gjesh 2/3 e nëntë njësive. Në paragrafin e mëparshëm, probleme të tilla u zgjidhën; kështu që është e lehtë të kuptojmë se do të përfundojmë me 6.
Por tani lind një pyetje interesante dhe e rëndësishme: pse veprime të tilla në dukje të ndryshme, si gjetja e shumës së numrave të barabartë dhe gjetja e pjesës së një numri, quhen në aritmetikë me të njëjtën fjalë "shumëzimi"?
Kjo ndodh sepse veprimi i mëparshëm (përsëritja e një numri me terma disa herë) dhe veprimi i ri (gjetja e thyesës së një numri) u japin përgjigje pyetjeve homogjene. Kjo do të thotë se ne vijojmë këtu nga konsideratat se pyetjet ose detyrat homogjene zgjidhen me të njëjtin veprim.
Për ta kuptuar këtë, merrni parasysh problemin e mëposhtëm: “1 m leckë kushton 50 rubla. Sa do të kushtojnë 4 m pëlhurë e tillë?
Ky problem zgjidhet duke shumëzuar numrin e rublave (50) me numrin e metrave (4), d.m.th. 50 x 4 = 200 (rubla).
Le të marrim të njëjtin problem, por në të sasia e leckës do të shprehet si fraksion: "1 m leckë kushton 50 rubla. Sa do të kushtojnë 3/4 m nga një leckë e tillë?”
Ky problem gjithashtu duhet të zgjidhet duke shumëzuar numrin e rublave (50) me numrin e metrave (3/4).
Ju mund t'i ndryshoni numrat në të edhe disa herë, pa ndryshuar kuptimin e problemit, për shembull, merrni 9/10 m ose 2 3/10 m, etj.
Meqenëse këto probleme kanë të njëjtën përmbajtje dhe ndryshojnë vetëm në numra, veprimet e përdorura në zgjidhjen e tyre i quajmë të njëjtën fjalë - shumëzim.
Si të shumëzoni një numër të plotë me një thyesë?
Le të marrim numrat e hasur në problemin e fundit:
Sipas përkufizimit, duhet të gjejmë 3/4 e 50. Le të gjejmë fillimisht 1/4 e 50 dhe më pas 3/4.
1/4 e 50 është 50/4;
3/4 e numrit 50 është .
Prandaj.
Le të shqyrtojmë një shembull tjetër: 12 5 / 8 =?
1/8 e numrit 12 është 12/8,
5/8 e numrit 12 është .
Prandaj,
Nga këtu marrim rregullin:
Për të shumëzuar një numër të plotë me një thyesë, duhet të shumëzoni numrin e plotë me numëruesin e thyesës dhe ta bëni këtë produkt numërues dhe të nënshkruani emëruesin e kësaj thyese si emërues.
Le ta shkruajmë këtë rregull duke përdorur shkronja:
Për ta bërë plotësisht të qartë këtë rregull, duhet të mbahet mend se një thyesë mund të konsiderohet si një herës. Prandaj, është e dobishme të krahasohet rregulli i gjetur me rregullin për shumëzimin e një numri me një herës, i cili u parashtrua në § 38
Është e rëndësishme të mbani mend se përpara se të kryeni shumëzimin, duhet të bëni (nëse është e mundur) reduktimet, Për shembull:
4. Shumëzimi i një thyese me një thyesë. Shumëzimi i një thyese me një thyesë ka të njëjtin kuptim si shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë, d.m.th., kur shumëzoni një thyesë me një thyesë, duhet të gjeni thyesën që është në faktorin nga thyesa e parë (shumëzimi).
Domethënë, shumëzimi i 3/4 me 1/2 (gjysma) do të thotë të gjesh gjysmën e 3/4.
Si të shumëzoni një thyesë me një thyesë?
Le të marrim një shembull: 3/4 shumëzuar me 5/7. Kjo do të thotë që ju duhet të gjeni 5/7 e 3/4. Le të gjejmë fillimisht 1/7 e 3/4 dhe më pas 5/7
1/7 e numrit 3/4 do të shprehet si më poshtë:
Numrat 5/7 3/4 do të shprehen si më poshtë:
Kështu,
Një shembull tjetër: 5/8 shumëzuar me 4/9.
1/9 e 5/8 është,
4/9 e numrit 5/8 është .
Kështu, 
Nga këta shembuj mund të nxirret rregulli i mëposhtëm:
Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesin me numëruesin, dhe emëruesin me emëruesin, dhe produktin e parë ta bëni numëruesin dhe produktin e dytë emërues të produktit.
Ky rregull mund të shkruhet në formë të përgjithshme si më poshtë:
Gjatë shumëzimit, është e nevojshme të bëhen (nëse është e mundur) reduktime. Le të shohim shembuj:
5. Shumëzimi i numrave të përzier. Meqenëse numrat e përzier mund të zëvendësohen lehtësisht nga thyesat e papërshtatshme, kjo rrethanë zakonisht përdoret kur shumëzohen numra të përzier. Kjo do të thotë se në rastet kur shumëzuesi, ose shumëzuesi, ose të dy faktorët shprehen si numra të përzier, ato zëvendësohen me thyesa të papërshtatshme. Le të shumëzojmë, për shembull, numrat e përzier: 2 1/2 dhe 3 1/5. Le ta kthejmë secilën prej tyre në një fraksion të papërshtatshëm dhe më pas të shumëzojmë thyesat që rezultojnë sipas rregullit për shumëzimin e një fraksioni me një thyesë:
Rregulli. Për të shumëzuar numrat e përzier, fillimisht duhet t'i shndërroni në thyesa të papërshtatshme dhe më pas t'i shumëzoni sipas rregullit për shumëzimin e thyesave me thyesa.
Shënim. Nëse një nga faktorët është një numër i plotë, atëherë shumëzimi mund të kryhet bazuar në ligjin e shpërndarjes si më poshtë:
6. Koncepti i interesit. Kur zgjidhim probleme dhe kryejmë llogaritje të ndryshme praktike, përdorim të gjitha llojet e thyesave. Por duhet pasur parasysh se shumë sasi lejojnë jo çdo, por ndarje natyrore për to. Për shembull, ju mund të merrni një të qindtën (1/100) të një rubla, do të jetë një kopeck, dy të qindtat janë 2 kopekë, tre të qindtat janë 3 kopekë. Mund të marrësh 1/10 e rublës, do të jetë "10 kopekë, ose një copë dhjetë kopekë. Mund të marrësh një çerek rubla, d.m.th. 25 kopekë, gjysmë rubla, d.m.th. 50 kopekë (pesëdhjetë kopekë). Por ata praktikisht nuk e marrin atë, për shembull, 2/7 e një rubla, sepse rubla nuk ndahet në të shtatat.
Njësia e peshës, d.m.th kilogrami, lejon kryesisht ndarjet dhjetore, për shembull 1/10 kg, ose 100 g dhe fraksione të tilla të një kilogrami si 1/6, 1/11, 1/13 nuk janë të zakonshme.
Në përgjithësi, masat tona (metrike) janë dhjetore dhe lejojnë ndarjet dhjetore.
Megjithatë, duhet të theksohet se është jashtëzakonisht e dobishme dhe e përshtatshme në një shumëllojshmëri të gjerë rastesh të përdoret e njëjta metodë (uniforme) e nënndarjes së sasive. Përvoja shumëvjeçare ka treguar se një ndarje e tillë e justifikuar është ndarja e "qindës". Le të shqyrtojmë disa shembuj në lidhje me fushat më të ndryshme të praktikës njerëzore.
1. Çmimi i librave është ulur me 12/100 të çmimit të mëparshëm.
Shembull. Çmimi i mëparshëm i librit ishte 10 rubla. U ul me 1 rubla. 20 kopekë
2. Bankat e kursimeve u paguajnë depozituesve 2/100 e shumës së depozituar për kursime gjatë vitit.
Shembull. 500 rubla depozitohen në arkë, të ardhurat nga kjo shumë për vitin janë 10 rubla.
3. Numri i të diplomuarve nga një shkollë ishte 5/100 e numrit të përgjithshëm të nxënësve.
SHEMBULL Në shkollë kishte vetëm 1200 nxënës, nga të cilët 60 të diplomuar.
Pjesa e qindta e një numri quhet përqindje.
Fjala "përqind" është huazuar nga latinishtja dhe rrënja e saj "cent" do të thotë njëqind. Së bashku me parafjalën (pro centum), kjo fjalë do të thotë "për njëqind". Kuptimi i kësaj shprehjeje rrjedh nga fakti se fillimisht në Romën e lashtë kamata quhej parave që debitori i paguante huadhënësit "për çdo njëqind". Fjala "cent" dëgjohet me fjalë të tilla të njohura: centner (njëqind kilogramë), centimetër (thonë centimetër).
Për shembull, në vend që të themi se gjatë muajit të kaluar fabrika prodhoi 1/100 e të gjitha produkteve të prodhuara prej saj ishte me defekt, do të themi këtë: gjatë muajit të kaluar fabrika prodhoi një për qind të defekteve. Në vend që të themi: uzina prodhoi 4/100 produkte më shumë se plani i përcaktuar, do të themi: uzina e ka tejkaluar planin me 4 për qind.
Shembujt e mësipërm mund të shprehen ndryshe:
1. Çmimi i librave është ulur me 12 për qind ndaj çmimit të mëparshëm.
2. Bankat e kursimeve u paguajnë depozituesve 2 për qind në vit mbi shumën e depozituar në kursime.
3. Numri i të diplomuarve nga një shkollë ishte 5 për qind e të gjithë nxënësve të shkollës.
Për të shkurtuar shkronjën, është zakon të shkruhet simboli % në vend të fjalës "përqindje".
Sidoqoftë, duhet të mbani mend se në llogaritjet shenja % zakonisht nuk shkruhet në deklaratën e problemit dhe në rezultatin përfundimtar. Kur kryeni llogaritjet, duhet të shkruani një thyesë me emërues 100 në vend të një numri të plotë me këtë simbol.
Ju duhet të jeni në gjendje të zëvendësoni një numër të plotë me ikonën e treguar me një fraksion me një emërues 100:
Në të kundërt, duhet të mësoheni të shkruani një numër të plotë me simbolin e treguar në vend të një fraksioni me emërues 100:
7. Gjetja e përqindjes së një numri të dhënë.
Detyra 1. Shkolla mori 200 metër kub. m dru zjarri, me dru zjarri thupër që zë 30%. Sa dru zjarri thupër kishte?
Kuptimi i këtij problemi është se drutë e zjarrit të thuprës përbënin vetëm një pjesë të druve të zjarrit që i janë dorëzuar shkollës dhe kjo pjesë shprehet në thyesën 30/100. Kjo do të thotë që ne kemi një detyrë për të gjetur një thyesë të një numri. Për ta zgjidhur atë, duhet të shumëzojmë 200 me 30/100 (problemet e gjetjes së thyesës së një numri zgjidhen duke shumëzuar numrin me thyesën.).
Kjo do të thotë se 30% e 200 është e barabartë me 60.
Thyesa 30/100 e hasur në këtë problem mund të zvogëlohet me 10. Do të ishte e mundur të bëhej ky reduktim që në fillim; zgjidhja e problemit nuk do të kishte ndryshuar.
Detyra 2. Në kamp ishin 300 fëmijë të moshave të ndryshme. Fëmijët 11 vjeç përbënin 21%, fëmijët 12 vjeç përbënin 61% dhe në fund fëmijët 13 vjeç përbënin 18%. Sa fëmijë të çdo moshe ishin në kamp?
Në këtë problem ju duhet të bëni tre llogaritje, pra të gjeni në mënyrë sekuenciale numrin e fëmijëve 11 vjeç, më pas 12 vjeç dhe në fund 13 vjeç.
Kjo do të thotë se këtu do t'ju duhet të gjeni tre herë thyesën e numrit. Le ta bejme:
1) Sa fëmijë 11 vjeç ishin atje?
2) Sa fëmijë 12 vjeç ishin atje?
3) Sa fëmijë 13 vjeç ishin atje?
Pas zgjidhjes së problemit, është e dobishme të shtoni numrat e gjetur; shuma e tyre duhet të jetë 300:
63 + 183 + 54 = 300
Duhet gjithashtu të theksohet se shuma e përqindjeve të dhëna në deklaratën e problemit është 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Kjo sugjeron që numri i përgjithshëm i fëmijëve në kamp është marrë si 100%.
3 a d a h 3. Punëtori merrte 1200 rubla në muaj. Nga kjo shpenzoi 65% për ushqim, 6% për banesa dhe ngrohje, 4% për gaz, rrymë dhe radio, 10% për nevoja kulturore dhe 15% kursime. Sa para janë shpenzuar për nevojat e treguara në problem?
Për të zgjidhur këtë problem ju duhet të gjeni fraksionin 1200 5 herë.
1) Sa para u shpenzuan për ushqim? Problemi thotë se ky shpenzim është 65% e të ardhurave totale, pra 65/100 e numrit 1200.
2) Sa lekë keni paguar për një apartament me ngrohje? Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, arrijmë në llogaritjen e mëposhtme:
3) Sa para keni paguar për gazin, energjinë elektrike dhe radion?
4) Sa para janë shpenzuar për nevojat kulturore?
5) Sa para ka kursyer punëtori?
Për të kontrolluar, është e dobishme të mblidhni numrat që gjenden në këto 5 pyetje. Shuma duhet të jetë 1200 rubla. Të gjitha fitimet merren si 100%, gjë që është e lehtë për t'u kontrolluar duke shtuar numrat e përqindjes të dhëna në deklaratën e problemit.
Ne zgjidhëm tre probleme. Pavarësisht se këto probleme kishin të bënin me gjëra të ndryshme (dërgimi i druve të zjarrit për shkollën, numri i fëmijëve të moshave të ndryshme, shpenzimet e punëtorit), ato u zgjidhën në të njëjtën mënyrë. Kjo ndodhi sepse në të gjitha problemet ishte e nevojshme të gjendeshin disa për qind të numrave të dhënë.
§ 90. Pjesëtimi i thyesave.
Ndërsa studiojmë ndarjen e thyesave, do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:
1. Ndani një numër të plotë me një numër të plotë.
2. Pjesëtimi i një thyese me një numër të plotë
3. Pjesëtimi i një numri të plotë me një thyesë.
4. Pjesëtimi i një thyese me një thyesë.
5. Pjesëtimi i numrave të përzier.
6. Gjetja e një numri nga thyesa e tij e dhënë.
7. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.
Le t'i shqyrtojmë ato në mënyrë sekuenciale.
1. Ndani një numër të plotë me një numër të plotë.
Siç u theksua në departamentin e numrave të plotë, ndarja është veprimi që konsiston në faktin se, duke pasur parasysh produktin e dy faktorëve (dividend) dhe njërit prej këtyre faktorëve (pjesëtuesi), gjendet një faktor tjetër.
Ne shikuam ndarjen e një numri të plotë me një numër të plotë në seksionin mbi numrat e plotë. Aty hasëm dy raste të pjesëtimit: pjesëtimin pa mbetje, ose “tërësisht” (150: 10 = 15) dhe pjesëtimin me mbetje (100: 9 = 11 dhe 1 mbetje). Prandaj mund të themi se në fushën e numrave të plotë, pjesëtimi i saktë nuk është gjithmonë i mundur, sepse dividenti nuk është gjithmonë produkt i pjesëtuesit me numrin e plotë. Pas futjes së shumëzimit me një thyesë, mund të konsiderojmë çdo rast të pjesëtimit të numrave të plotë (përjashtohet vetëm pjesëtimi me zero).
Për shembull, pjesëtimi i 7 me 12 do të thotë gjetja e një numri prodhimi i të cilit me 12 do të ishte i barabartë me 7. Një numër i tillë është thyesa 7/12 sepse 7/12 12 = 7. Një shembull tjetër: 14: 25 = 14 / 25, sepse 14 / 25 25 = 14.
Kështu, për të pjesëtuar një numër të plotë me një numër të plotë, duhet të krijoni një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me dividentin dhe emëruesi është i barabartë me pjesëtuesin.
2. Pjesëtimi i një thyese me një numër të plotë.
Pjesëtojmë thyesën 6/7 me 3. Sipas përkufizimit të pjesëtimit të dhënë më sipër, kemi këtu prodhimin (6/7) dhe një nga faktorët (3); kërkohet të gjendet një faktor i dytë që, kur shumëzohet me 3, do të jepte produktin e dhënë 6/7. Natyrisht, ai duhet të jetë tre herë më i vogël se ky produkt. Kjo do të thotë se detyra e vendosur para nesh ishte zvogëlimi i fraksionit 6/7 me 3 herë.
Ne tashmë e dimë se zvogëlimi i një thyese mund të bëhet ose duke zvogëluar numëruesin e saj ose duke rritur emëruesin e saj. Prandaj mund të shkruani:
Në këtë rast, numëruesi 6 pjesëtohet me 3, kështu që numëruesi duhet të zvogëlohet me 3 herë.
Le të marrim një shembull tjetër: 5/8 pjesëtuar me 2. Këtu numëruesi 5 nuk pjesëtohet me 2, që do të thotë se emëruesi do të duhet të shumëzohet me këtë numër:
Bazuar në këtë, mund të bëhet një rregull: Për të pjesëtuar një thyesë me një numër të plotë, duhet të pjesëtoni numëruesin e thyesës me atë numër të plotë.(nëse është e mundur), duke lënë të njëjtin emërues, ose shumëzojeni emëruesin e thyesës me këtë numër, duke lënë të njëjtin numërues.
3. Pjesëtimi i një numri të plotë me një thyesë.
Le të jetë e nevojshme të pjesëtohet 5 me 1/2, d.m.th., të gjendet një numër që, pasi të shumëzohet me 1/2, do të japë produktin 5. Natyrisht, ky numër duhet të jetë më i madh se 5, pasi 1/2 është një pjesë e duhur. , dhe kur shumëzohet një numër prodhimi i një thyese të duhur duhet të jetë më i vogël se prodhimi që shumëzohet. Për ta bërë këtë më të qartë, le të shkruajmë veprimet tona si më poshtë: 5: 1 / 2 = X , që do të thotë x 1/2 = 5.
Ne duhet të gjejmë një numër të tillë X , e cila, nëse shumëzohet me 1/2, do të jepte 5. Meqenëse shumëzimi i një numri të caktuar me 1/2 do të thotë të gjesh 1/2 e këtij numri, atëherë, pra, 1/2 e numrit të panjohur. X është e barabartë me 5, dhe numri i plotë X dy herë më shumë, pra 5 2 = 10.
Pra 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Le të kontrollojmë: 
Le të shohim një shembull tjetër. Le të themi se dëshironi të pjesëtoni 6 me 2/3. Le të përpiqemi fillimisht të gjejmë rezultatin e dëshiruar duke përdorur vizatimin (Fig. 19).
Fig.19
Le të vizatojmë një segment AB të barabartë me 6 njësi dhe ta ndajmë secilën njësi në 3 pjesë të barabarta. Në çdo njësi, tre të tretat (3/3) e të gjithë segmentit AB janë 6 herë më të mëdha, d.m.th. e. 18/3. Duke përdorur kllapa të vogla, ne lidhim 18 segmentet që rezultojnë prej 2; Do të ketë vetëm 9 segmente. Kjo do të thotë se fraksioni 2/3 përmbahet në 6 njësi 9 herë, ose, me fjalë të tjera, fraksioni 2/3 është 9 herë më i vogël se 6 njësi të plota. Prandaj,
Si ta merrni këtë rezultat pa një vizatim duke përdorur vetëm llogaritjet? Le të arsyetojmë kështu: duhet të pjesëtojmë 6 me 2/3, d.m.th. duhet t'i përgjigjemi pyetjes sa herë 2/3 përmbahet në 6. Le të zbulojmë së pari: sa herë 1/3 përmbahet në 6? Në një njësi të tërë janë 3 të tretat, dhe në 6 njësi janë 6 herë më shumë, pra 18 të tretat; për të gjetur këtë numër duhet të shumëzojmë 6 me 3. Kjo do të thotë që 1/3 përmbahet në b njësi 18 herë, dhe 2/3 përmbahet në b njësi jo 18 herë, por gjysma e shumëfishtë, pra 18: 2 = 9 Prandaj, kur pjesëtojmë 6 me 2/3 kemi bërë si më poshtë:
Nga këtu marrim rregullin për pjesëtimin e një numri të plotë me një thyesë. Për të pjesëtuar një numër të plotë me një thyesë, duhet ta shumëzoni këtë numër të plotë me emëruesin e thyesës së dhënë dhe, duke e bërë këtë produkt numërues, ta pjesëtoni atë me numëruesin e thyesës së dhënë.
Le të shkruajmë rregullin duke përdorur shkronja:
Për ta bërë plotësisht të qartë këtë rregull, duhet të mbahet mend se një thyesë mund të konsiderohet si një herës. Prandaj, është e dobishme të krahasohet rregulli i gjetur me rregullin për pjesëtimin e një numri me një herës, i cili u parashtrua në § 38. Ju lutemi vini re se e njëjta formulë u mor atje.
Kur ndani, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:
4. Pjesëtimi i një thyese me një thyesë.
Le të themi se duhet të ndajmë 3/4 me 3/8. Çfarë do të thotë numri që rezulton nga pjesëtimi? Ai do t'i përgjigjet pyetjes se sa herë thyesa 3/8 gjendet në thyesën 3/4. Për të kuptuar këtë çështje, le të bëjmë një vizatim (Fig. 20).
Marrim një segment AB, e marrim si një, e ndajmë në 4 pjesë të barabarta dhe shënojmë 3 pjesë të tilla. Segmenti AC do të jetë i barabartë me 3/4 e segmentit AB. Tani le ta ndajmë secilin nga katër segmentet origjinale në gjysmë, atëherë segmenti AB do të ndahet në 8 pjesë të barabarta dhe secila pjesë e tillë do të jetë e barabartë me 1/8 e segmentit AB. Le të lidhim 3 segmente të tillë me harqe, atëherë secili nga segmentet AD dhe DC do të jetë i barabartë me 3/8 e segmentit AB. Vizatimi tregon se një segment i barabartë me 3/8 është i përfshirë në një segment të barabartë me 3/4 saktësisht 2 herë; Kjo do të thotë që rezultati i ndarjes mund të shkruhet si më poshtë:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Le të shohim një shembull tjetër. Le të themi se duhet të ndajmë 15/16 me 3/32:
Mund të arsyetojmë kështu: duhet të gjejmë një numër që, kur shumëzohet me 3/32, do të japë një prodhim të barabartë me 15/16. Le t'i shkruajmë llogaritjet si kjo:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numër i panjohur X janë 15/16
1/32 e një numri të panjohur X është,
Numrat 32/32 X make up .
Prandaj,
Kështu, për të pjesëtuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesin e fraksionit të parë me emëruesin e të dytës, dhe të shumëzoni emëruesin e fraksionit të parë me numëruesin e të dytës, dhe ta bëni produktin e parë numërues, dhe e dyta emëruesi.
Le të shkruajmë rregullin duke përdorur shkronja:
Kur ndani, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:
5. Pjesëtimi i numrave të përzier.
Kur pjesëtohen numrat e përzier, së pari duhet të shndërrohen në thyesa të pahijshme, dhe më pas thyesat që rezultojnë duhet të ndahen sipas rregullave për ndarjen e thyesave. Le të shohim një shembull:
Le t'i kthejmë numrat e përzier në thyesa jo të duhura:
Tani le të ndajmë:
Kështu, për të ndarë numrat e përzier, duhet t'i shndërroni ato në thyesa të papërshtatshme dhe më pas të ndani duke përdorur rregullin për pjesëtimin e thyesave.
6. Gjetja e një numri nga thyesa e tij e dhënë.
Ndër problemet e ndryshme të thyesave, ndonjëherë ka nga ato në të cilat jepet vlera e një fraksioni të një numri të panjohur dhe ju duhet ta gjeni këtë numër. Ky lloj problemi do të jetë anasjellta e problemit të gjetjes së thyesës së një numri të caktuar; atje ishte dhënë një numër dhe kërkohej të gjendej ndonjë thyesë e këtij numri, këtu ishte dhënë një thyesë e një numri dhe kërkohej që të gjehej vetë ky numër. Kjo ide do të bëhet edhe më e qartë nëse i drejtohemi zgjidhjes së këtij lloj problemi.
Detyra 1. Ditën e parë, xhamarët xhamatuan 50 dritare, që është 1/3 e të gjitha dritareve të shtëpisë së ndërtuar. Sa dritare ka në këtë shtëpi?
Zgjidhje. Problemi thotë se 50 dritare me xham përbëjnë 1/3 e të gjitha dritareve të shtëpisë, që do të thotë se ka 3 herë më shumë dritare në total, d.m.th.
Shtëpia kishte 150 dritare.
Detyra 2. Dyqani shiste 1500 kg miell, që është 3/8 e totalit të stokut të miellit që kishte dyqani. Cili ishte furnizimi fillestar i dyqanit me miell?
Zgjidhje. Nga kushtet e problemit del qartë se 1500 kg miell i shitur përbën 3/8 e stokut total; Kjo do të thotë që 1/8 e kësaj rezerve do të jetë 3 herë më pak, d.m.th për ta llogaritur atë duhet të zvogëloni 1500 me 3 herë:
1500: 3 = 500 (kjo është 1/8 e rezervës).
Natyrisht, e gjithë furnizimi do të jetë 8 herë më i madh. Prandaj,
500 8 = 4000 (kg).
Stoku fillestar i miellit në dyqan ishte 4000 kg.
Nga shqyrtimi i këtij problemi, mund të nxirret rregulli i mëposhtëm.
Për të gjetur një numër nga një vlerë e dhënë e thyesës së tij, mjafton që kjo vlerë të pjesëtohet me numëruesin e thyesës dhe rezultati të shumëzohet me emëruesin e thyesës.
Ne zgjidhëm dy problema për gjetjen e një numri duke pasur parasysh thyesën e tij. Probleme të tilla, siç është veçanërisht e qartë nga kjo e fundit, zgjidhen me dy veprime: pjesëtimi (kur gjendet një pjesë) dhe shumëzimi (kur gjendet numri i plotë).
Megjithatë, pasi të kemi mësuar pjesëtimin e thyesave, problemet e mësipërme mund të zgjidhen me një veprim, përkatësisht: pjesëtimi me një thyesë.
Për shembull, detyra e fundit mund të zgjidhet në një veprim si ky:
Në të ardhmen, ne do të zgjidhim problemet e gjetjes së një numri nga thyesa e tij me një veprim - pjesëtim.
7. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.
Në këto probleme do t'ju duhet të gjeni një numër duke ditur disa përqind të atij numri.
Detyra 1. Në fillim të këtij viti mora 60 rubla nga banka e kursimeve. të ardhura nga shuma që kam vënë në kursime një vit më parë. Sa para kam vënë në bankën e kursimeve? (Tavolinat e parave të gatshme u japin depozituesve një kthim prej 2% në vit.)
Kuptimi i problemit është se kam futur një shumë të caktuar parash në një bankë kursimi dhe kam qëndruar atje për një vit. Pas një viti, mora 60 rubla prej saj. të ardhura, që janë 2/100 e parave që kam depozituar. Sa para futa?
Rrjedhimisht, duke ditur një pjesë të këtyre parave, të shprehura në dy mënyra (në rubla dhe fraksione), duhet të gjejmë të gjithë shumën, ende të panjohur. Ky është një problem i zakonshëm i gjetjes së një numri duke pasur parasysh thyesën e tij. Problemet e mëposhtme zgjidhen me ndarje:
Kjo do të thotë se 3000 rubla janë depozituar në bankën e kursimeve.
Detyra 2. Peshkatarët realizuan planin mujor me 64% në dy javë, duke korrur 512 tonë peshk. Cili ishte plani i tyre?
Nga kushtet e problemit bëhet e ditur se peshkatarët kanë përfunduar një pjesë të planit. Kjo pjesë është e barabartë me 512 tonë, që është 64% e planit. Nuk e dimë se sa ton peshk duhen përgatitur sipas planit. Gjetja e këtij numri do të jetë zgjidhja e problemit.
Probleme të tilla zgjidhen me ndarje:
Kjo do të thotë se sipas planit duhet të përgatiten 800 tonë peshk.
Detyra 3. Treni shkoi nga Riga në Moskë. Kur ai kaloi kilometrin e 276-të, një nga pasagjerët pyeti një konduktor që kalonte se sa nga udhëtimi kishin kaluar tashmë. Për këtë konduktori u përgjigj: "Ne kemi mbuluar tashmë 30% të të gjithë udhëtimit." Sa është distanca nga Riga në Moskë?
Nga kushtet problematike është e qartë se 30% e rrugës nga Riga në Moskë është 276 km. Duhet të gjejmë të gjithë distancën midis këtyre qyteteve, d.m.th., për këtë pjesë, të gjejmë të gjithë:
§ 91. Numrat reciprokë. Zëvendësimi i pjesëtimit me shumëzim.
Le të marrim thyesën 2/3 dhe të zëvendësojmë numëruesin në vend të emëruesit, marrim 3/2. Ne morëm inversin e kësaj thyese.
Për të marrë një thyesë që është e kundërta e një thyese të caktuar, duhet të vendosni numëruesin e saj në vend të emëruesit dhe emëruesin në vend të numëruesit. Në këtë mënyrë mund të marrim reciprocitetin e çdo thyese. Për shembull:
3/4, anasjelltas 4/3; 5/6, anasjelltas 6/5
Dy thyesat që kanë vetinë që numëruesi i të parit të jetë emëruesi i të dytit dhe emëruesi i të parit është numëruesi i të dytit quhen. reciprokisht anasjelltas.
Tani le të mendojmë se cila thyesë do të jetë reciproke e 1/2. Natyrisht, do të jetë 2 / 1, ose vetëm 2. Duke kërkuar për fraksionin e anasjelltë të atij të dhënë, kemi marrë një numër të plotë. Dhe ky rast nuk është i izoluar; përkundrazi, për të gjitha thyesat me numërues 1 (një), reciprokët do të jenë numra të plotë, për shembull:
1/3, anasjelltas 3; 1/5, anasjelltas 5
Meqenëse në gjetjen e thyesave reciproke kemi hasur edhe numra të plotë, në vijim nuk do të flasim për thyesat reciproke, por për numrat reciprokë.
Le të kuptojmë se si të shkruajmë inversin e një numri të plotë. Për thyesat, kjo mund të zgjidhet thjesht: duhet të vendosni emëruesin në vend të numëruesit. Në të njëjtën mënyrë, ju mund të merrni inversin e një numri të plotë, pasi çdo numër i plotë mund të ketë një emërues 1. Kjo do të thotë se anasjellta e 7 do të jetë 1/7, sepse 7 = 7/1; për numrin 10 anasjellta do të jetë 1/10, pasi 10 = 10/1
Kjo ide mund të shprehet ndryshe: reciproku i një numri të dhënë fitohet duke pjesëtuar një me një numër të caktuar. Ky pohim është i vërtetë jo vetëm për numrat e plotë, por edhe për thyesat. Në fakt, nëse duhet të shkruajmë inversin e thyesës 5/9, atëherë mund të marrim 1 dhe ta ndajmë me 5/9, d.m.th.
Tani le të theksojmë një gjë prone numrat reciprokë, të cilët do të jenë të dobishëm për ne: prodhimi i numrave reciprokë është i barabartë me një. Me të vërtetë:
Duke përdorur këtë veti, ne mund të gjejmë numra reciprokë në mënyrën e mëposhtme. Le të themi se duhet të gjejmë inversin e 8.
Le ta shënojmë me shkronjë X , pastaj 8 X = 1, pra X = 1/8. Le të gjejmë një numër tjetër që është inversi i 7/12 dhe ta shënojmë me shkronjë X , pastaj 7/12 X = 1, pra X = 1: 7 / 12 ose X = 12 / 7 .
Kemi prezantuar këtu konceptin e numrave reciprokë në mënyrë që të plotësojmë pak informacionin rreth pjesëtimit të thyesave.
Kur e ndajmë numrin 6 me 3/5, bëjmë si më poshtë:
Kushtojini vëmendje të veçantë shprehjes dhe krahasojeni me atë të dhënë: .
Nëse e marrim shprehjen veç e veç, pa lidhje me atë të mëparshmen, atëherë është e pamundur të zgjidhet pyetja se nga erdhi: nga pjesëtimi i 6 me 3/5 ose nga shumëzimi i 6 me 5/3. Në të dyja rastet ndodh e njëjta gjë. Prandaj mund të themi se pjesëtimi i një numri me një tjetër mund të zëvendësohet duke shumëzuar dividentin me inversin e pjesëtuesit.
Shembujt që japim më poshtë konfirmojnë plotësisht këtë përfundim.
Ju mund të bëni gjithçka me thyesa, duke përfshirë ndarjen. Ky artikull tregon ndarjen e thyesave të zakonshme. Do të jepen përkufizime dhe do të diskutohen shembuj. Le të ndalemi në detaje në pjesëtimin e thyesave me numra natyrorë dhe anasjelltas. Do të diskutohet pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një numër të përzier.
Pjesëtimi i thyesave
Pjesëtimi është anasjellta e shumëzimit. Gjatë pjesëtimit, faktori i panjohur gjendet me prodhimin e njohur të një faktori tjetër, ku kuptimi i tij i dhënë ruhet me thyesat e zakonshme.
Nëse është e nevojshme të pjesëtohet një thyesë e përbashkët a b me c d, atëherë për të përcaktuar një numër të tillë duhet të shumëzoni me pjesëtuesin c d, kjo përfundimisht do të japë dividentin a b. Le të marrim një numër dhe ta shkruajmë a b · d c , ku d c është e anasjellta e numrit c d. Barazimet mund të shkruhen duke përdorur vetitë e shumëzimit, përkatësisht: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ku shprehja a b · d c është herësi i pjesëtimit të a b me c d.
Nga këtu marrim dhe formulojmë rregullin e pjesëtimit të thyesave të zakonshme:
Përkufizimi 1
Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët a b me c d, duhet të shumëzoni dividentin me reciprokun e pjesëtuesit.
Le ta shkruajmë rregullin në formë shprehjeje: a b: c d = a b · d c
Rregullat e pjesëtimit zbresin në shumëzim. Për t'u përmbajtur me të, duhet të keni një kuptim të mirë të shumëzimit të thyesave.
Le të kalojmë në shqyrtimin e ndarjes së thyesave të zakonshme.
Shembulli 1
Ndani 9 7 me 5 3. Shkruani rezultatin si thyesë.
Zgjidhje
Numri 5 3 është thyesa reciproke 3 5. Është e nevojshme të përdoret rregulli për ndarjen e fraksioneve të zakonshme. Ne e shkruajmë këtë shprehje si më poshtë: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Përgjigje: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Kur zvogëloni thyesat, ndani të gjithë pjesën nëse numëruesi është më i madh se emëruesi.
Shembulli 2
Ndani 8 15: 24 65. Shkruani përgjigjen si thyesë.
Zgjidhje
Për të zgjidhur, ju duhet të kaloni nga ndarja në shumëzim. Le ta shkruajmë në këtë formë: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Është e nevojshme të bëhet një reduktim, dhe kjo bëhet si më poshtë: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Zgjidhni të gjithë pjesën dhe merrni 13 9 = 1 4 9.
Përgjigje: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Pjesëtimi i një thyese të jashtëzakonshme me një numër natyror
Ne përdorim rregullin për pjesëtimin e një thyese me një numër natyror: për të pjesëtuar një b me një numër natyror n, ju duhet vetëm të shumëzoni emëruesin me n. Nga këtu marrim shprehjen: a b: n = a b · n.
Rregulli i pjesëtimit është pasojë e rregullit të shumëzimit. Prandaj, paraqitja e një numri natyror si thyesë do të japë një barazi të këtij lloji: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Konsideroni këtë ndarje të një thyese me një numër.
Shembulli 3
Pjesëtojeni thyesën 16 45 me numrin 12.
Zgjidhje
Le të zbatojmë rregullin e pjesëtimit të një thyese me një numër. Ne marrim një shprehje të formës 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Le të zvogëlojmë thyesën. Ne marrim 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Përgjigje: 16 45: 12 = 4 135 .
Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë
Rregulli i ndarjes është i ngjashëm O Rregulli i pjesëtimit të një numri natyror me një thyesë të zakonshme: për të pjesëtuar një numër natyror n me një thyesë të zakonshme a b, është e nevojshme të shumëzohet numri n me reciprokun e thyesës a b.
Në bazë të rregullit kemi n: a b = n · b a, dhe në sajë të rregullit të shumëzimit të një numri natyror me një thyesë të zakonshme, marrim shprehjen tonë në formën n: a b = n · b a. Është e nevojshme të merret në konsideratë kjo ndarje me një shembull.
Shembulli 4
Ndani 25 me 15 28.
Zgjidhje
Duhet të kalojmë nga pjesëtimi në shumëzim. Le ta shkruajmë në formën e shprehjes 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Le të zvogëlojmë thyesën dhe të marrim rezultatin në formën e thyesës 46 2 3.
Përgjigje: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier
Kur pjesëtoni një thyesë të përbashkët me një numër të përzier, lehtë mund të filloni të ndani thyesat e zakonshme. Ju duhet të konvertoni një numër të përzier në një fraksion të papërshtatshëm.
Shembulli 5
Ndani thyesën 35 16 me 3 1 8.
Zgjidhje
Meqenëse 3 1 8 është një numër i përzier, le ta paraqesim atë si një thyesë jo të duhur. Pastaj marrim 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Tani le të ndajmë thyesat. Ne marrim 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Përgjigje: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Pjesëtimi i një numri të përzier bëhet në të njëjtën mënyrë si numrat e zakonshëm.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Herën e fundit mësuam se si të mbledhim dhe zbresim thyesat (shihni mësimin "Mblidhja dhe zbritja e thyesave"). Pjesa më e vështirë e atyre veprimeve ishte sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.
Tani është koha për t'u marrë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Lajmi i mirë është se këto veprime janë edhe më të thjeshta se mbledhja dhe zbritja. Së pari, le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa pozitive pa një pjesë të plotë të ndarë.
Për të shumëzuar dy thyesa, duhet të shumëzoni veçmas numëruesit dhe emëruesit e tyre. Numri i parë do të jetë numëruesi i thyesës së re dhe i dyti do të jetë emëruesi.
Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni fraksionin e parë me fraksionin e dytë "të përmbysur".
Përcaktimi:
Nga përkufizimi rezulton se pjesëtimi i thyesave zvogëlohet në shumëzim. Për të "rrokullisur" një thyesë, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të shqyrtojmë kryesisht shumëzimin.
Si rezultat i shumëzimit, mund të lindë një fraksion i reduktueshëm (dhe shpesh lind) - ai, natyrisht, duhet të reduktohet. Nëse pas të gjitha reduktimeve thyesa rezulton e pasaktë, e gjithë pjesa duhet të theksohet. Por ajo që definitivisht nuk do të ndodhë me shumëzimin është reduktimi në një emërues të përbashkët: pa metoda të kryqëzuara, faktorë më të mëdhenj dhe shumëfish më pak të zakonshëm.
Sipas definicionit kemi:
Shumëzimi i thyesave me pjesë të plota dhe me thyesa negative
Nëse fraksionet përmbajnë një pjesë të plotë, ato duhet të shndërrohen në të pahijshme - dhe vetëm atëherë të shumëzohen sipas skemave të përshkruara më sipër.
Nëse ka një minus në numëruesin e një thyese, në emërues ose përballë saj, ai mund të hiqet nga shumëzimi ose të hiqet fare sipas rregullave të mëposhtme:
- Plus me minus jep minus;
- Dy negative bëjnë një pohuese.
Deri më tani, këto rregulla janë hasur vetëm në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave negative, kur është dashur të hiqet e gjithë pjesa. Për një punë, ato mund të përgjithësohen për të "djegur" disa disavantazhe menjëherë:
- Negativët i kryqëzojmë në dyshe derisa të zhduken plotësisht. Në raste ekstreme, një minus mund të mbijetojë - ai për të cilin nuk kishte shok;
- Nëse nuk ka mbetur asnjë minus, operacioni ka përfunduar - mund të filloni të shumëzoni. Nëse minusi i fundit nuk kalohet, sepse nuk kishte çift për të, e nxjerrim nga kufijtë e shumëzimit. Rezultati është një fraksion negativ.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Ne i kthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme, dhe më pas i heqim minuset nga shumëzimi. E shumëzojmë atë që ka mbetur sipas rregullave të zakonshme. Ne marrim:
Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se minusi që shfaqet para një thyese me një pjesë të plotë të theksuar i referohet në mënyrë specifike të gjithë thyesës, dhe jo vetëm të gjithë pjesës së saj (kjo vlen për dy shembujt e fundit).
Kushtojini vëmendje edhe numrave negativë: kur shumëzohen, ato mbyllen në kllapa. Kjo bëhet për të ndarë minuset nga shenjat e shumëzimit dhe për ta bërë të gjithë shënimin më të saktë.
Reduktimi i fraksioneve në fluturim
Shumëzimi është një operacion që kërkon shumë punë. Numrat këtu rezultojnë të jenë mjaft të mëdhenj, dhe për të thjeshtuar problemin, mund të përpiqeni të zvogëloni më tej fraksionin para shumëzimit. Në të vërtetë, në thelb, numëruesit dhe emëruesit e thyesave janë faktorë të zakonshëm, dhe, për rrjedhojë, ato mund të reduktohen duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Hidhini një sy shembujve:
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Sipas definicionit kemi:
Në të gjithë shembujt, numrat që janë zvogëluar dhe çfarë ka mbetur prej tyre janë shënuar me të kuqe.
Ju lutemi vini re: në rastin e parë, shumëzuesit u reduktuan plotësisht. Në vend të tyre mbeten njësi që, në përgjithësi, nuk kanë nevojë të shkruhen. Në shembullin e dytë, nuk ishte e mundur të arrihej një reduktim i plotë, por shuma totale e llogaritjeve ende u ul.
Megjithatë, mos e përdorni kurrë këtë teknikë kur mblidhni dhe zbritni thyesa! Po, ndonjëherë ka numra të ngjashëm që thjesht dëshironi t'i zvogëloni. Ja, shikoni:
Ju nuk mund ta bëni këtë!
Gabimi ndodh sepse kur mblidhet, numëruesi i një thyese prodhon një shumë, jo një produkt të numrave. Rrjedhimisht, është e pamundur të zbatohet vetia bazë e një thyese, pasi kjo veti merret në mënyrë specifike me shumëzimin e numrave.
Thjesht nuk ka arsye të tjera për zvogëlimin e thyesave, kështu që zgjidhja e saktë e problemit të mëparshëm duket si kjo:
Zgjidhja e duhur:
Siç mund ta shihni, përgjigja e saktë doli të ishte jo aq e bukur. Në përgjithësi, jini të kujdesshëm.
Numrat e zakonshëm thyesorë takojnë fillimisht nxënësit e shkollës në klasën e 5-të dhe i shoqërojnë gjatë gjithë jetës së tyre, pasi në jetën e përditshme shpesh është e nevojshme të merret parasysh ose të përdoret një objekt jo si një e tërë, por në pjesë të veçanta. Filloni të studioni këtë temë - ndan. Aksionet janë pjesë të barabarta, në të cilën ndahet ky apo ai objekt. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të shprehet, për shembull, gjatësia ose çmimi i një produkti si një numër i plotë duhet të merren parasysh. E formuar nga folja "për të ndarë" - për të ndarë në pjesë, dhe me rrënjë arabe, vetë fjala "fraksion" u ngrit në gjuhën ruse në shekullin e 8-të.
Shprehjet thyesore janë konsideruar prej kohësh si dega më e vështirë e matematikës. Në shekullin e 17-të, kur u shfaqën tekstet e para të matematikës, ato u quajtën "numra të thyer", gjë që ishte shumë e vështirë për t'u kuptuar nga njerëzit.
Forma moderne e mbetjeve të thjeshta thyesore, pjesët e të cilave ndahen nga një vijë horizontale, u promovua për herë të parë nga Fibonacci - Leonardo i Pizës. Veprat e tij datohen në vitin 1202. Por qëllimi i këtij artikulli është t'i shpjegojë lexuesit thjesht dhe qartë se si shumëzohen thyesat e përziera me emërues të ndryshëm.
Shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm
Fillimisht ia vlen të përcaktohet llojet e thyesave:
- i saktë;
- e pasaktë;
- të përziera.
Më pas, duhet të mbani mend se si shumëzohen numrat thyesorë me emërues të njëjtë. Vetë rregulli i këtij procesi nuk është i vështirë të formulohet në mënyrë të pavarur: rezultati i shumëzimit të thyesave të thjeshta me emërues identikë është një shprehje thyesore, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve të këtyre thyesave. . Kjo është, në fakt, emëruesi i ri është katrori i një prej atyre ekzistues.
Kur shumëzohet thyesa të thjeshta me emërues të ndryshëm për dy ose më shumë faktorë rregulli nuk ndryshon:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Dallimi i vetëm është se numri i formuar nën vijën thyesore do të jetë produkt i numrave të ndryshëm dhe, natyrisht, nuk mund të quhet katror i një shprehjeje numerike.
Vlen të merret parasysh shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm duke përdorur shembuj:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Shembujt përdorin metoda për reduktimin e shprehjeve thyesore. Ju mund të zvogëloni numrat numërues vetëm me numra emërues mbi ose nën vijën e thyesave;
Së bashku me thyesat e thjeshta, ekziston koncepti i thyesave të përziera. Një numër i përzier përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore, domethënë është shuma e këtyre numrave:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Si funksionon shumëzimi?
Janë dhënë disa shembuj për t'u shqyrtuar.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Shembulli përdor shumëzimin e një numri me pjesë e zakonshme thyesore, rregulli për këtë veprim mund të shkruhet si:
a* b/c = a*b /c.
Në fakt, një produkt i tillë është shuma e mbetjeve identike thyesore, dhe numri i termave tregon këtë numër natyror. Rast i veçantë:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ekziston një zgjidhje tjetër për shumëzimin e një numri me një mbetje thyesore. Thjesht duhet të ndani emëruesin me këtë numër:
d* e/f = e/f: d.
Kjo teknikë është e dobishme për t'u përdorur kur emëruesi pjesëtohet me një numër natyror pa mbetje ose, siç thonë ata, me një numër të plotë.
Shndërroni numrat e përzier në thyesa të pahijshme dhe merrni produktin në mënyrën e përshkruar më parë:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ky shembull përfshin një mënyrë për të paraqitur një fraksion të përzier si një fraksion të papërshtatshëm, dhe gjithashtu mund të përfaqësohet si një formulë e përgjithshme:
a bc = a*b+ c / c, ku emëruesi i thyesës së re formohet duke shumëzuar të gjithë pjesën me emëruesin dhe duke e shtuar atë me numëruesin e mbetjes thyesore origjinale, dhe emëruesi mbetet i njëjtë.
Ky proces gjithashtu funksionon në drejtim të kundërt. Për të ndarë të gjithë pjesën dhe pjesën e mbetur thyesore, duhet të ndani numëruesin e një fraksioni të gabuar me emëruesin e tij duke përdorur një "qoshe".
Shumëzimi i thyesave jo të duhura prodhuar në një mënyrë të pranuar përgjithësisht. Kur shkruani nën një rresht të vetëm thyese, duhet të zvogëloni thyesat sipas nevojës në mënyrë që të zvogëloni numrat duke përdorur këtë metodë dhe ta bëni më të lehtë llogaritjen e rezultatit.
Ka shumë ndihmës në internet për të zgjidhur edhe probleme komplekse matematikore në variacione të ndryshme programesh. Një numër i mjaftueshëm i shërbimeve të tilla ofrojnë ndihmën e tyre në llogaritjen e shumëzimit të thyesave me numra të ndryshëm në emërues - të ashtuquajturat kalkulatorë online për llogaritjen e thyesave. Ata janë në gjendje jo vetëm të shumëzojnë, por edhe të kryejnë të gjitha veprimet e tjera të thjeshta aritmetike me thyesa të zakonshme dhe numra të përzier. Është e lehtë për të punuar me të, ju plotësoni fushat e duhura në faqen e internetit, zgjidhni shenjën e operacionit matematikor dhe klikoni "llogarit". Programi llogarit automatikisht.
Tema e veprimeve aritmetike me thyesa është e rëndësishme gjatë gjithë arsimit të nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme. Në shkollë të mesme, ata nuk konsiderojnë më speciet më të thjeshta, por shprehje thyesore me numra të plotë, por njohja e rregullave për transformimin dhe llogaritjet e marra më herët zbatohet në formën e saj origjinale. Njohuritë bazë të zotëruara mirë japin besim të plotë në zgjidhjen me sukses të problemeve më komplekse.
Si përfundim, ka kuptim të citohen fjalët e Lev Nikolaevich Tolstoy, i cili shkroi: "Njeriu është një fraksion. Nuk është në fuqinë e njeriut të rrisë numëruesin e tij - meritat e tij - por çdokush mund të zvogëlojë emëruesin e tij - mendimin e tij për veten e tij dhe me këtë ulje t'i afrohet përsosmërisë së tij.
