Cili është këndi i një paralelogrami? Llogaritni shumën e këndeve dhe sipërfaqes së një paralelogrami: vetitë dhe karakteristikat

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte (Fig. 233).

Për një paralelogram arbitrar vlejnë vetitë e mëposhtme:

1. Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta.

Dëshmi. Në paralelogramin ABCD vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ACD dhe AC B janë të barabartë, pasi kanë një anë të përbashkët AC dhe dy palë kënde të barabarta ngjitur me të:

(si kënde tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC). Kjo do të thotë, dhe si brinjët e trekëndëshave të barabartë që shtrihen përballë këndeve të barabarta, gjë që duhej vërtetuar.

2. Këndet e kundërta të një paralelogrami janë të barabartë:

3. Këndet ngjitur të një paralelogrami, d.m.th., këndet ngjitur me njërën anë, mblidhen etj.

Vërtetimi i vetive 2 dhe 3 merret menjëherë nga vetitë e këndeve për drejtëza paralele.

4. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e tyre të kryqëzimit. Me fjalë të tjera,

Dëshmi. Trekëndëshat AOD dhe BOC janë kongruentë, pasi brinjët e tyre AD dhe BC janë të barabarta (vetia 1) dhe këndet ngjitur me ta (si kënde tërthore për drejtëzat paralele). Nga këtu del se brinjët përkatëse të këtyre trekëndëshave janë të barabarta: AO, që është ajo që duhej vërtetuar.

Secila nga këto katër veti karakterizon një paralelogram, ose, siç thonë ata, është vetia e tij karakteristike, d.m.th., çdo katërkëndësh që ka të paktën një nga këto veti është një paralelogram (dhe, për rrjedhojë, ka të tre vetitë e tjera).

Le të bëjmë vërtetimin për secilën pronë veç e veç.

1". Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le të ketë katërkëndëshi ABCD brinjët AD dhe BC, përkatësisht AB dhe CD të barabarta (Fig. 233). Le të vizatojmë diagonalen AC. Trekëndëshat ABC dhe CDA do të jenë kongruentë pasi kanë tre palë brinjë të barabarta.

Por atëherë këndet BAC dhe DCA janë të barabarta dhe . Paralelizmi i brinjëve BC dhe AD rrjedh nga barazia e këndeve CAD dhe ACB.

2. Nëse një katërkëndësh ka dy palë kënde të kundërta të barabarta, atëherë ai është paralelogram.

Dëshmi. Le . Që atëherë të dy anët AD dhe BC janë paralele (bazuar në paralelizmin e drejtëzave).

3. Formulimin dhe provën ia lëmë lexuesit.

4. Nëse diagonalet e një katërkëndëshi përgjysmojnë njëra-tjetrën në pikën e prerjes, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Dëshmi. Nëse AO = OS, BO = OD (Fig. 233), atëherë trekëndëshat AOD dhe BOC janë të barabartë, pasi kanë kënde të barabarta (vertikale!) në kulmin O, të mbyllur midis çifteve të brinjëve të barabarta AO dhe CO, BO dhe DO. Nga barazia e trekëndëshave konkludojmë se brinjët AD dhe BC janë të barabarta. Brinjët AB dhe CD janë gjithashtu të barabarta, dhe katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram sipas vetive karakteristike G.

Kështu, për të vërtetuar se një katërkëndësh i dhënë është paralelogram, mjafton të verifikohet vlefshmëria e njërës prej katër vetive. Lexuesi ftohet të provojë në mënyrë të pavarur një veçori tjetër karakteristike të paralelogramit.

5. Nëse një katërkëndësh ka një palë brinjë të barabarta paralele, atëherë ai është paralelogram.

Ndonjëherë çdo palë brinjë paralele të një paralelogrami quhet baza e tij, atëherë dy të tjerat quhen brinjë anësore. Një segment i drejtëz pingul me dy anët e një paralelogrami, i mbyllur midis tyre, quhet lartësia e paralelogramit. Paralelogrami në Fig. 234 ka një lartësi h të tërhequr në anët AD dhe BC, lartësia e tij e dytë përfaqësohet nga segmenti .

Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse doni të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me 100 pikë dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Tema e mësimit

• Vetitë e diagonaleve të një paralelogrami.

Objektivat e mësimit

• Njihuni me përkufizimet e reja dhe mbani mend disa të studiuara tashmë.
• Tregoni dhe vërtetoni vetinë e diagonaleve të një paralelogrami.
• Mësoni të zbatoni vetitë e formave gjatë zgjidhjes së problemeve.
• Zhvillimore - për të zhvilluar vëmendjen e studentëve, këmbënguljen, këmbënguljen, të menduarit logjik, të folurit matematikor.
• Edukative - përmes mësimit, kultivoni një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, rrënjosni aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë dhe pavarësinë.

Objektivat e mësimit

• Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit

1. Fjalët hyrëse.
2. Përsëritja e materialit të studiuar më parë.
3. Paralelogrami, vetitë dhe veçoritë e tij.
4. Shembuj detyrash.
5. Vetëkontroll.

Hyrje

"Një zbulim i madh shkencor ofron një zgjidhje për një problem madhor, por në zgjidhjen e çdo problemi ka një kokërr zbulimi."

Vetia e brinjëve të kundërta të një paralelogrami

Një paralelogram ka brinjë të kundërta që janë të barabarta.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Dhe le të kryqëzohen diagonalet e tij në pikën O.
Meqenëse Δ AOB = Δ COD sipas kriterit të parë të barazisë së trekëndëshave (∠ AOB = ∠ COD, si vertikalë, AO=OC, DO=OB, nga vetia e diagonaleve të një paralelogrami), atëherë AB=CD. Në të njëjtën mënyrë, nga barazia e trekëndëshave BOC dhe DOA, rezulton se BC = DA. Teorema është e vërtetuar.

Vetia e këndeve të kundërta të një paralelogrami

Në një paralelogram, këndet e kundërta janë të barabarta.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Dhe le të kryqëzohen diagonalet e tij në pikën O.
Nga ajo që u provua në teoremën për vetitë e brinjëve të kundërta të një paralelogrami Δ ABC = Δ CDA në tri brinjë (AB=CD, BC=DA nga ajo që u vërtetua, AC – e përgjithshme). Nga barazia e trekëndëshave del se ∠ ABC = ∠ CDA.
Është vërtetuar gjithashtu se ∠ DAB = ∠ BCD, që rrjedh nga ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema është e vërtetuar.

Vetia e diagonaleve të një paralelogrami

Diagonalet e një paralelogrami priten dhe përgjysmohen në pikën e prerjes.

Dëshmi.

Le të jetë ABCD paralelogrami i dhënë. Le të vizatojmë diagonalen AC. Le të shënojmë mesin O në të Në vazhdim të segmentit DO, do ta lëmë mënjanë segmentin OB 1 të barabartë me DO.
Sipas teoremës së mëparshme, AB 1 CD është një paralelogram. Prandaj, rreshti AB 1 është paralel me DC. Por përmes pikës A mund të vizatohet vetëm një drejtëz paralele me DC. Kjo do të thotë se rreshti AB 1 përkon me vijën AB.
Është vërtetuar gjithashtu se 1 para Krishtit përkon me para Krishtit. Kjo do të thotë se pika C përkon me C 1. paralelogrami ABCD përkon me paralelogramin AB 1 CD. Rrjedhimisht, diagonalet e paralelogramit priten dhe përgjysmohen në pikën e prerjes. Teorema është e vërtetuar.

Në tekstet shkollore për shkollat ​​e rregullta (për shembull, në Pogorelovo) vërtetohet kështu: diagonalet ndajnë një paralelogram në 4 trekëndësha. Le të shqyrtojmë një palë dhe të zbulojmë - ato janë të barabarta: bazat e tyre janë anët e kundërta, këndet përkatëse ngjitur me të janë të barabarta, si kënde vertikale me vija paralele. Kjo do të thotë, segmentet e diagonaleve janë të barabarta në çifte. Të gjitha.

A është kjo e gjitha?
Më sipër u vërtetua se pika e kryqëzimit i përgjysmon diagonalet - nëse ekziston. Arsyetimi i mësipërm nuk vërteton në asnjë mënyrë vetë ekzistencën e tij. Kjo do të thotë, një pjesë e teoremës "ndërpriten diagonalet e një paralelogrami" mbetet e paprovuar.

Gjëja qesharake është se kjo pjesë është shumë më e vështirë për t'u provuar. Kjo rrjedh, meqë ra fjala, nga një rezultat më i përgjithshëm: çdo katërkëndësh konveks do të ketë diagonale të kryqëzuara, por çdo katërkëndësh jo konveks nuk do të ketë.

Mbi barazinë e trekëndëshave përgjatë një brinjë dhe dy këndeve ngjitur (shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave) dhe të tjera.

Thales gjeti një zbatim të rëndësishëm praktik të teoremës mbi barazinë e dy trekëndëshave përgjatë një brinjë dhe dy këndeve ngjitur. Në portin e Miletit u ndërtua një distancues për të përcaktuar distancën nga një anije në det. Ai përbëhej nga tre kunja të shtyra A, B dhe C (AB = BC) dhe një vijë e drejtë e shënuar SC, pingul me CA. Kur një anije u shfaq në vijën e drejtë SK, ne gjetëm pikën D të tillë që pikat D, .B dhe E ishin në të njëjtën vijë të drejtë. Siç është e qartë nga vizatimi, distanca CD në tokë është distanca e dëshiruar nga anija.

Pyetje

1. A ndahen diagonalet e një katrori përgjysmë me pikën e kryqëzimit?
   
2. A janë të barabarta diagonalet e një paralelogrami?
3. A janë të barabartë këndet e kundërta të një paralelogrami?
4. Tregoni përkufizimin e një paralelogrami?
5. Sa shenja të një paralelogrami?
   
6. A mund të jetë një romb paralelogram?
   

Lista e burimeve të përdorura

1. Kuznetsov A.V., mësues i matematikës (klasat 5-9), Kiev
2. “Provimi i Unifikuar i Shtetit 2006. Matematikë. Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen e studentëve / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “Zgjidhja e problemeve kryesore të konkursit në matematikë të koleksionit të redaktuar nga M. I. Skanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Gjeometria, 7 - 9: tekst shkollor për institucionet arsimore"

Ne kemi punuar në mësim

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Ju mund të ngrini një pyetje në lidhje me arsimin modern, të shprehni një ide ose të zgjidhni një problem urgjent në forum arsimor, ku një këshill arsimor i mendimit dhe veprimit të freskët mblidhet ndërkombëtarisht. Duke krijuar blog, Ju jo vetëm që do të përmirësoni statusin tuaj si mësues kompetent, por gjithashtu do të jepni një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e shkollës së së ardhmes. Guildi i Drejtuesve Arsimor hap dyert për specialistë të rangut më të lartë dhe i fton ata të bashkëpunojnë për krijimin e shkollave më të mira në botë.

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte. Figura e mëposhtme tregon paralelogramin ABCD. Ka anën AB paralel me anën CD dhe anën BC paralel me anën AD.

Siç mund ta keni marrë me mend, një paralelogram është një katërkëndësh konveks. Le të shqyrtojmë vetitë themelore të një paralelogrami.

Vetitë e një paralelogrami

1. Në një paralelogram, këndet e kundërta dhe brinjët e kundërta janë të barabarta. Le ta vërtetojmë këtë veti - merrni parasysh paralelogramin e paraqitur në figurën e mëposhtme.

Diagonalja BD e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë: ABD dhe CBD. Ato janë të barabarta përgjatë anës BD dhe dy këndeve ngjitur me të, pasi këndet që shtrihen në mënyrë tërthore në sekuencën BD të drejtëzave paralele BC dhe AD dhe përkatësisht AB dhe CD. Prandaj AB = CD dhe
BC = pas Krishtit. Dhe nga barazia e këndeve 1, 2, 3 dhe 4 del se këndi A = kënd1 + kënd 3 = kënd2 + kënd 4 = kënd C.

2. Diagonalet e një paralelogrami ndahen përgjysmë me pikën e prerjes. Le të jetë pika O pika e prerjes së diagonaleve AC dhe BD të paralelogramit ABCD.

Atëherë trekëndëshi AOB dhe trekëndëshi COD janë të barabartë me njëri-tjetrin, përgjatë anës dhe dy këndeve ngjitur. (AB = CD meqenëse këto janë anët e kundërta të paralelogramit. Dhe këndi1 = këndi2 dhe këndi3 = këndi4 janë si kënde tërthore kur drejtëzat AB dhe CD priten me sekantet AC dhe BD, përkatësisht.) Nga kjo rrjedh se AO = OC dhe OB = OD, të cilat dhe duheshin vërtetuar.

Të gjitha vetitë kryesore janë ilustruar në tre figurat e mëposhtme.

Ky është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte.

Prona 1. Çdo diagonale e një paralelogrami e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë.

Dëshmi . Sipas karakteristikës II (kënde tërthore dhe brinjë e përbashkët).

Teorema është e vërtetuar.

Prona 2. Në një paralelogram, anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet e kundërta janë të barabarta.

Dëshmi .
Po kështu,

Teorema është e vërtetuar.

Vetia 3. Në një paralelogram, diagonalet përgjysmohen nga pika e prerjes.

Dëshmi .

Teorema është e vërtetuar.

Prona 4. Përgjysmuesja e këndit të një paralelogrami, duke kaluar në anën e kundërt, e ndan atë në një trekëndësh dykëndësh dhe një trapezoid. (Ch. fjalët - kulmi - dy barazcelësh? -ka).

Dëshmi .

Teorema është e vërtetuar.

Prona 5. Në një paralelogram, një segment i vijës me skajet në anët e kundërta që kalojnë nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve përgjysmohet nga kjo pikë.

Dëshmi .

Teorema është e vërtetuar.

Prona 6. Këndi midis lartësive të rënë nga kulmi i një këndi të mpirë të një paralelogrami është i barabartë me një kënd akut të një paralelogrami.

Dëshmi .

Teorema është e vërtetuar.

Prona 7. Shuma e këndeve të një paralelogrami ngjitur me njërën anë është 180°.

Dëshmi .

Teorema është e vërtetuar.

Ndërtimi i përgjysmuesit të një këndi. Vetitë e përgjysmuesit të këndit të një trekëndëshi.

1) Ndërtoni një rreze arbitrare DE.

2) Në një rreze të caktuar, ndërtoni një rreth arbitrar me qendër në kulm dhe i njëjti
me qendër në fillim të rrezes së ndërtuar.

3) F dhe G - pikat e prerjes së rrethit me brinjët e një këndi të caktuar, H - pika e prerjes së rrethit me rrezen e ndërtuar.

Ndërtoni një rreth me qendër në pikën H dhe rreze të barabartë me FG.

5) I është pika e kryqëzimit të rrathëve të traut të ndërtuar.

6) Vizatoni një vijë të drejtë përmes kulmit dhe I.

IDH është këndi i kërkuar.
)

Prona 1. Përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi ndan anën e kundërt në proporcion me brinjët ngjitur.

Dëshmi . Le të jenë x, y segmente të brinjës c. Le të vazhdojmë traun BC. Në rreze BC ne grafikojmë nga C një segment CK të barabartë me AC.