Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.
Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.
Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.
Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.
Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati i "X" është i barabartë me një, dhe derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:
Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit;
Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pas njohjes me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.
Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta
| 1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh | |
| 2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë | |
| 3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi. | |
| 4. Derivati i një ndryshoreje në fuqinë -1 | |
| 5. Derivat i rrënjës katrore | |
| 6. Derivat i sinusit | |
| 7. Derivat i kosinusit |  |
| 8. Derivat i tangjentes |  |
| 9. Derivat i kotangjentes |  |
| 10. Derivat i arksinës |  |
| 11. Derivat i kosinusit të harkut |  |
| 12. Derivat i arktangjentit |  |
| 13. Derivat i kotangjentes harkore |  |
| 14. Derivat i logaritmit natyror | |
| 15. Derivat i një funksioni logaritmik |  |
| 16. Derivati i eksponentit | |
| 17. Derivat i një funksioni eksponencial |
Rregullat e diferencimit
| 1. Derivat i shumës ose diferencës |  |
| 2. Derivat i produktit |  |
| 2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant | |
| 3. Derivati i herësit |  |
| 4. Derivat i një funksioni kompleks |  |
Rregulli 1.Nëse funksionet
janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë
dhe
ato. derivati i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.
Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.
Rregulli 2.Nëse funksionet
janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë
dhe
ato. Derivati i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.
Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:
Përfundimi 2. Derivati i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.
Për shembull, për tre shumëzues:
Rregulli 3.Nëse funksionet
të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe
ato. derivati i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.
Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera
Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati i produktit dhe koeficienti i funksioneve".
Komentoni. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (domethënë një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.
Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).
Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.
Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .
Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si 
, më pas ndiqni mësimin “Derivati i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.
Nëse keni një detyrë si 
, më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.
Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin
Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati i tjetrit:
Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati i "x". Ne marrim vlerat e mëposhtme të derivateve:
Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:
Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:
Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:
Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. 
, atëherë mirë se vini në klasë "Derivati i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .
Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .
Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:
Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin për diferencimin e herësve, të cilin e kemi përsëritur dhe zbatuar në shembullin 4, dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:
Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .
Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni fuqie (x në fuqinë e a). Derivatet nga rrënjët e x janë konsideruar. Formula për derivatin e një funksioni fuqie të rendit më të lartë. Shembuj të llogaritjes së derivateve.
Derivati i x me fuqinë e a është i barabartë me një herë x me fuqinë e një minus një:
(1)
.
Derivati i rrënjës së n-të të x me fuqinë mth është:
(2)
.
Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni fuqie
Rasti x > 0
Konsideroni një funksion fuqie të ndryshores x me eksponent a:
(3)
.
Këtu a është një numër real arbitrar. Le të shqyrtojmë së pari rastin.
Për të gjetur derivatin e funksionit (3), ne përdorim vetitë e një funksioni fuqie dhe e transformojmë atë në formën e mëposhtme:
.
Tani gjejmë derivatin duke përdorur:
;
.
Këtu.
Formula (1) është vërtetuar.
Nxjerrja e formulës për derivatin e rrënjës së shkallës n të x në shkallën m
Tani merrni parasysh një funksion që është rrënja e formës së mëposhtme:
(4)
.
Për të gjetur derivatin, ne e transformojmë rrënjën në një funksion fuqie:
.
Duke krahasuar me formulën (3) shohim se
.
Pastaj
.
Duke përdorur formulën (1) gjejmë derivatin:
(1)
;
;
(2)
.
Në praktikë, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh formulën (2). Është shumë më e përshtatshme që fillimisht të transformohen rrënjët në funksione të fuqisë, dhe më pas të gjenden derivatet e tyre duke përdorur formulën (1) (shih shembujt në fund të faqes).
Rasti x = 0
Nëse , atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për vlerën e ndryshores x = 0
. Le të gjejmë derivatin e funksionit (3) në x = 0
. Për ta bërë këtë, ne përdorim përkufizimin e një derivati:
.
Le të zëvendësojmë x = 0
:
.
Në këtë rast, me derivat kuptojmë kufirin e djathtë për të cilin .
Kështu ne gjetëm:
.
Nga kjo është e qartë se për , .
Në , .
Në , .
Ky rezultat është marrë gjithashtu nga formula (1):
(1)
.
Prandaj, formula (1) është gjithashtu e vlefshme për x = 0
.
Rasti x< 0
Konsideroni funksionin (3) përsëri:
(3)
.
Për vlera të caktuara të konstantës a, ajo përcaktohet edhe për vlerat negative të ndryshores x. Domethënë, le të jetë a një numër racional. Atëherë mund të përfaqësohet si një fraksion i pakalueshëm:
,
ku m dhe n janë numra të plotë që nuk kanë pjesëtues të përbashkët.
Nëse n është tek, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet edhe për vlerat negative të ndryshores x. Për shembull, kur n = 3
dhe m = 1
kemi rrënjën kubike të x:
.
Është përcaktuar edhe për vlerat negative të ndryshores x.
Le të gjejmë derivatin e funksionit të fuqisë (3) për dhe për vlerat racionale të konstantës a për të cilën është përcaktuar. Për ta bërë këtë, imagjinoni x në formën e mëposhtme:
.
Pastaj,
.
Derivatin e gjejmë duke vendosur konstanten jashtë shenjës së derivatit dhe duke zbatuar rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks:
.
Këtu.
.
Por
.
Pastaj
.
Që atëherë
(1)
.
Kjo do të thotë, formula (1) është gjithashtu e vlefshme për:
Derivatet e rendit më të lartë
(3)
.
Tani le të gjejmë derivate të rendit më të lartë të funksionit të fuqisë
.
Ne kemi gjetur tashmë derivatin e rendit të parë:
.
Duke marrë konstanten a jashtë shenjës së derivatit, gjejmë derivatin e rendit të dytë:
;
.
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë derivate të rendit të tretë dhe të katërt: Nga kjo është e qartë se derivat i rendit të n-të arbitrar
.
ka formën e mëposhtme: vini re, se nëse a është një numër natyror
.
, atëherë derivati i n-të është konstant:
,
Atëherë të gjithë derivatet e mëpasshëm janë të barabartë me zero:
në .
Shembuj të llogaritjes së derivateve
Shembull
.
Gjeni derivatin e funksionit:
Zgjidhje
;
.
Le t'i kthejmë rrënjët në fuqi:
.
Pastaj funksioni origjinal merr formën:
;
.
Gjetja e derivateve të fuqive:
.
Derivati i konstantës është zero: Le të përcaktohet funksioni \(y = f(x)\) në një interval të caktuar që përmban pikën \(x_0\) brenda tij. Le t'i japim argumentit një rritje \(\Delta x \) në mënyrë që të mos largohet nga ky interval. Le të gjejmë inkrementin përkatës të funksionit \(\Delta y \) (kur lëvizim nga pika \(x_0 \) në pikën \(x_0 + \Delta x \)) dhe të hartojmë relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Nëse ka një kufi për këtë raport në \(\Delta x \rightarrow 0\), atëherë kufiri i specifikuar quhet derivat i një funksioni\(y=f(x) \) në pikën \(x_0 \) dhe shënojmë \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simboli y përdoret shpesh për të treguar derivatin. Vini re se y" = f(x) është një funksion i ri, por i lidhur natyrshëm me funksionin y = f(x), i përcaktuar në të gjitha pikat x në të cilat ekziston kufiri i mësipërm. Ky funksion quhet kështu: derivat i funksionit y = f(x).
Kuptimi gjeometrik i derivatitështë si më poshtë. Nëse është e mundur të vizatohet një tangjente në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën me abshisë x=a, e cila nuk është paralele me boshtin y, atëherë f(a) shpreh pjerrësinë e tangjentes. :
\(k = f"(a)\)
Meqenëse \(k = tg(a) \), atëherë barazia \(f"(a) = tan(a) \) është e vërtetë.
Tani le të interpretojmë përkufizimin e derivatit nga pikëpamja e barazive të përafërta. Lëreni funksionin \(y = f(x)\) të ketë një derivat në një pikë specifike \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Kjo do të thotë se afër pikës x barazia e përafërt \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \përafërsisht f"(x)\), d.m.th. \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot\ Delta x\). Kuptimi kuptimplotë i barazisë së përafërt që rezulton është si vijon: rritja e funksionit është "pothuajse proporcionale" me rritjen e argumentit, dhe koeficienti i proporcionalitetit është vlera e derivatit në një pikë të caktuar x. Për shembull, për funksionin \(y = x^2\) barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht 2x \cdot \Delta x \) është e vlefshme. Nëse analizojmë me kujdes përkufizimin e një derivati, do të zbulojmë se ai përmban një algoritëm për gjetjen e tij.
Le ta formulojmë.
Si gjendet derivati i funksionit y = f(x)?
1. Rregulloni vlerën e \(x\), gjeni \(f(x)\)
2. Jepini argumentit \(x\) një rritje \(\Delta x\), shkoni në një pikë të re \(x+ \Delta x \), gjeni \(f(x+ \Delta x) \)
3. Gjeni shtimin e funksionit: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Krijo relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Llogaritni $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ky kufi është derivati i funksionit në pikën x.
Nëse një funksion y = f(x) ka një derivat në një pikë x, atëherë ai quhet i diferencueshëm në një pikë x. Quhet procedura për gjetjen e derivatit të funksionit y = f(x). diferencimi funksionet y = f(x).
Le të diskutojmë pyetjen e mëposhtme: si lidhen me njëra-tjetrën vazhdimësia dhe diferencimi i një funksioni në një pikë?
Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në pikën x. Pastaj një tangjente mund të vizatohet në grafikun e funksionit në pikën M(x; f(x)), dhe, kujtojmë, koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me f "(x). Një graf i tillë nuk mund të "prishet" në pikën M, pra funksioni duhet të jetë i vazhdueshëm në pikën x.
Këto ishin argumente "praktike". Le të japim një arsyetim më rigoroz. Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në pikën x, atëherë vlen barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot \Delta x\). Nëse në këtë barazi \(\Delta x \) tenton në zero, atëherë \(\Delta y\) do të priret në zero, dhe ky është kushti për vazhdimësinë e funksionit në një pikë.
Kështu që, nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë x, atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë.
Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Për shembull: funksioni y = |x| është e vazhdueshme kudo, veçanërisht në pikën x = 0, por tangjentja me grafikun e funksionit në "pikën e kryqëzimit" (0; 0) nuk ekziston. Nëse në një moment një tangjente nuk mund të vizatohet në grafikun e një funksioni, atëherë derivati nuk ekziston në atë pikë.
Një shembull më shumë. Funksioni \(y=\sqrt(x)\) është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, duke përfshirë pikën x = 0. Dhe tangjentja me grafikun e funksionit ekziston në çdo pikë, duke përfshirë pikën x = 0 Por në këtë pikë tangjentja përkon me boshtin y, d.m.th., është pingul me boshtin e abshisës, ekuacioni i tij ka formën x = 0. Një drejtëz e tillë nuk ka koeficient këndi, që do të thotë se \(f. "(0)\) nuk ekziston.
Pra, u njohëm me një veti të re të një funksioni - diferencibilitetin. Si mund të konkludohet nga grafiku i një funksioni se ai është i diferencueshëm?
Përgjigja në fakt është dhënë më lart. Nëse në një moment është e mundur të vizatoni një tangjente në grafikun e një funksioni që nuk është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni është i diferencueshëm. Nëse në një moment tangjentja me grafikun e një funksioni nuk ekziston ose është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni nuk është i diferencueshëm.
Rregullat e diferencimit
Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi. Kur kryeni këtë operacion, shpesh duhet të punoni me koeficientët, shumat, produktet e funksioneve, si dhe "funksionet e funksioneve", domethënë funksionet komplekse. Bazuar në përkufizimin e derivatit, mund të nxjerrim rregulla diferencimi që e bëjnë këtë punë më të lehtë. Nëse C është një numër konstant dhe f=f(x), g=g(x) janë disa funksione të diferencueshme, atëherë sa vijon janë të vërteta rregullat e diferencimit:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabela e derivateve të disa funksioneve
$$ \left(\frac(1)(x) \djathtas) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \djathtas) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \djathtas) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \majtas(e^x \djathtas) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\tekst(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\tekst(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\tekst(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?
Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit
Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:
Derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.
Përndryshe mund të shkruhet kështu:
Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:
derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.
Kuptimi fizik i derivatit: derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.
Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:
Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:
Rregulli i parë: vendosni një konstante
Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .
Shembull. Le të llogarisim derivatin:
Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve
Derivati i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.
Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.
Gjeni derivatin e funksionit:
Rregulli i tretë: derivati i produktit të funksioneve
Derivati i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:
Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:
Zgjidhja: 
Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.
Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:
Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.
Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve
Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:
Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka kurthe në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.
Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.
