Ndërtimi i një rrafshi p pingul me rrafshin a mund të bëhet në dy mënyra: I) rrafshi p tërhiqet përmes një drejtëze pingul me rrafshin a; 2) rrafshi p vizatohet pingul me një drejtëz që shtrihet në rrafshin a ose paralel me këtë rrafsh. Për të marrë një zgjidhje unike, kërkohen kushte shtesë. Figura 148 tregon ndërtimin e një rrafshi pingul me rrafshin e përcaktuar nga trekëndëshi CDE. Një kusht shtesë këtu është që rrafshi i dëshiruar duhet të kalojë përmes vijës së drejtë AB. Rrjedhimisht, rrafshi i dëshiruar përcaktohet nga drejtëza AB dhe pingul me rrafshin e trekëndëshit. Për të vizatuar këtë pingul me rrafshin CDE, në të merren frontet CN dhe CM horizontale: nëse B"F" ± C"N" dhe B"G 1 CM\ atëherë BFX i rrafshit CDF. Rrafshi i formuar duke prerë vijat e drejta AB dhe BF është pingul me rrafshin CDE, Si kalon në pingul me këtë rrafsh? Kjo është e vërtetë, përfshirë edhe pinguljen e ndërsjellë të dy rrafsheve horizontale, në të cilat gjurmët horizontale janë reciproke pingule me gjurmët ballore të rrafsheve të projektuara reciprokisht pingule rrafshi p pingul me rrafshin e pozicionit të përgjithshëm a Nëse rrafshi p është pingul me rrafshin i dhe me rrafshin a, atëherë p 1 është drejtëza e prerjes së rrafshit a dhe rrafshit i. 0a 1р dhe, rrjedhimisht, h"0u 1 р", për sa i përket njërës prej vijave të drejta në rrafshin р. Pra, pinguliteti i gjurmëve horizontale të rrafshit të përgjithshëm dhe rrafshit të projektuar horizontalisht i përgjigjet pingulitetit të ndërsjellë të këtyre rrafsheve. Natyrisht, pinguliteti i gjurmëve ballore të rrafshit të projektuar ballor dhe rrafshit të pozicionit të përgjithshëm gjithashtu korrespondon me pingulitetin e ndërsjellë të këtyre planeve. Por nëse gjurmët me të njëjtin emër të dy rrafsheve në pozicionin e përgjithshëm janë reciproke pingule, atëherë vetë rrafshet nuk janë pingul me njëri-tjetrin, pasi asnjë nga kushtet e përmendura në fillim të këtij seksioni nuk plotësohet. Pyetje për vetëprovim 1. Si përcaktohet rrafshi në vizatim? 2. Çfarë është gjurma e një rrafshi në një plan projeksion? 3. Ku ndodhet projeksioni ballor i gjurmës horizontale dhe projeksioni horizontal i gjurmës ballore të rrafshit? L. Si përcaktohet në vizatim nëse një drejtëz i përket një rrafshi të caktuar? 5. Si të ndërtohet një pikë në një vizatim që i përket një rrafshi të caktuar? 6. Si ndodhet nt në sistem? dhe 713 aeroplani i pozicionit të përgjithshëm? 7. Çka janë planet e projeksionit ballor, projeksionit horizontal dhe projeksionit të profilit? 8. Si vizatohet rrafshi i projektimit të frotalit përmes një vije të drejtë në pozicionin e përgjithshëm të paraqitur në vizatim? 9. Çfarë pozicioni relativ mund të zënë dy plane? 10. Cila është shenja e paralelizmit të dy rrafsheve? 11. Si ndodhen në mënyrë të ndërsjellë gjurmët me të njëjtin emër të dy rrafsheve paralele me njëri-tjetrin? 12. Si vendoset pozicioni relativ i drejtëzës dhe rrafshit? 13. Cila është metoda e përgjithshme e ndërtimit të vijës së kryqëzimit të dy rrafsheve? 14. Cila është metoda e përgjithshme për ndërtimin e pikës së prerjes së drejtëzës me rrafshin? 15. Si të përcaktohet “dukshmëria” kur një drejtëz kryqëzon një rrafsh? 16. Nga se përcaktohet paralelizmi i ndërsjellë i dy rrafsheve? 17. Si të vizatohet një rrafsh paralel me një rrafsh të caktuar përmes një pike? 18. Si vendoset projeksioni i pingules me rrafshin? 19. Si të ndërtojmë plane reciproke pingule?
Ndërtimi i vijave dhe planeve reciproke pingule është një operacion i rëndësishëm grafik në zgjidhjen e problemeve metrike.
Ndërtimi i një pingule me një drejtëz ose plan bazohet në vetinë e një këndi të drejtë, i cili formulohet si më poshtë: nëse njëra nga anët e këndit të drejtë është paralele me rrafshin e projektimit dhe tjetra nuk është pingul me të, atëherë këndi projektohet në madhësi të plotë në këtë rrafsh.
Figura 28
Ana BC e këndit të drejtë ABC, e paraqitur në figurën 28, është paralele me rrafshin P 1. Rrjedhimisht, projeksioni i këndit ABC në këtë rrafsh do të përfaqësojë një kënd të drejtë A 1 B 1 C 1 =90.
Një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në këtë rrafsh. Kur ndërtoni një pingul nga një grup vijash të drejta që i përkasin aeroplanit, zgjidhni linja të drejta të nivelit - horizontale dhe ballore. Në këtë rast, projeksioni horizontal i pingulit kryhet pingul me horizontalen, dhe projeksioni ballor është pingul me pjesën e përparme. Shembulli i paraqitur në figurën 29 tregon ndërtimin e një pingule me rrafshin e përcaktuar nga trekëndëshi ABC nga pika K. Për ta bërë këtë, fillimisht vizatoni vijat horizontale dhe ballore në rrafsh. Pastaj, nga projeksioni ballor i pikës K vizatojmë një pingul me projeksionin ballor të ballit, dhe nga projeksioni horizontal i pikës - një pingul me projeksionin horizontal të horizontales. Më pas ndërtojmë pikën e prerjes së kësaj pingule me rrafshin duke përdorur rrafshin ndihmës të prerjes Σ. Pika e kërkuar është F. Kështu, segmenti që rezulton KF është pingul me rrafshin ABC.
Figura 29
Figura 29 tregon ndërtimin e një KF pingul me rrafshin ABC.
Dy rrafshe janë pingul nëse një drejtëz që shtrihet në një rrafsh është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara të rrafshit tjetër. Ndërtimi i një rrafshi pingul me këtë rrafsh ABC është paraqitur në figurën 30. Një drejtëz MN vizatohet përmes pikës M, pingul me rrafshin ABC. Projeksioni horizontal i kësaj vije është pingul me AC, pasi AC është horizontal, dhe projeksioni ballor është pingul me AB, pasi AB është frontal. Pastaj një vijë e drejtë arbitrare EF vizatohet përmes pikës M. Kështu, rrafshi është pingul me ABC dhe përcaktohet nga dy drejtëza të kryqëzuara EF dhe MN.
Figura 30
Kjo metodë përdoret për të përcaktuar vlerat natyrore të segmenteve në pozicionin e përgjithshëm, si dhe këndet e tyre të prirjes ndaj planeve të projektimit. Për të përcaktuar madhësinë natyrore të një segmenti duke përdorur këtë metodë, është e nevojshme të plotësoni një trekëndësh kënddrejtë në një nga projeksionet e segmentit. Këmba tjetër do të jetë ndryshimi në lartësi ose thellësi të pikave fundore të segmentit, dhe hipotenuza do të jetë vlera natyrore.
Le të shqyrtojmë një shembull: Figura 31 tregon një segment AB në pozicionin e përgjithshëm. Kërkohet të përcaktohet madhësia e tij natyrore dhe këndet e pjerrësisë së tij ndaj planeve ballore dhe horizontale të projeksioneve.
Ne tërheqim një pingul me një nga skajet e segmentit në një plan horizontal. Ne vizatojmë ndryshimin e lartësisë (ZA-ZB) të skajeve të segmentit mbi të dhe përfundojmë ndërtimin e një trekëndëshi kënddrejtë. Hipotenuza e saj është vlera natyrore e segmentit, dhe këndi midis vlerës natyrore dhe projeksionit të segmentit është vlera natyrore e këndit të prirjes së segmentit në planin P 1. Rendi i ndërtimit në planin ballor është i njëjtë. Përgjatë pingules ne vizatojmë ndryshimin në thellësi të skajeve të segmentit (YA-YB). Këndi që rezulton midis madhësisë natyrore të segmentit dhe projeksionit të tij ballor është këndi i prirjes së segmentit në planin P2.
Figura 31
1. Tregoni një teoremë për vetinë e këndeve të drejta.
2. Në cilin rast një drejtëz është pingul me një rrafsh?
3. Sa drejtëza dhe sa rrafshe pingul me një rrafsh të caktuar mund të vizatohen nëpër një pikë në hapësirë?
4. Për çfarë përdoret metoda e trekëndëshit kënddrejtë?
5. Si të përdoret kjo metodë për të përcaktuar këndin e prirjes së një segmenti në pozicionin e përgjithshëm ndaj planit horizontal të projeksioneve?
| Forma verbale | Forma grafike |
| 1. Dihet se për të ndërtuar një drejtëz pingul me një rrafsh, është e nevojshme të ndërtohet një vijë horizontale dhe një vijë ballore në rrafsh. a) Vini re se ndërtimi i një pingule është thjeshtuar, pasi anët e rrafshit Q(D ABC) janë drejtëza të nivelit: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - AC ballore (A 1 C 1; A 2 C 2) – horizontal . b) Merrni një vijë të drejtë l pika arbitrare K | |
| 2. Nëpër pikën K, që i përket drejtëzës l, ne kryejmë një direktivë n^Q, d.m.th. n 1 ^ A 1 C 1 dhe n 2 ^ A 2 B 2 . Aeroplani i dëshiruar do të përcaktohet nga dy linja kryqëzuese, njëra prej të cilave është dhënë - l, dhe tjetra - nështë pingul me rrafshin e dhënë: P( l n)^Q (D ABC) |  |
Fundi i punës -
Kjo temë i përket seksionit:
Gjeometria përshkruese - T.V. Khrustaleva
Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:
Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:
Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:
| Tweet |
Të gjitha temat në këtë seksion:
GJEOMETRI PËRSHKRUESE
Rekomanduar nga Qendra Edukative dhe Metodologjike Rajonale e Lindjes së Largët si një libër shkollor për studentët e specialitetit 210700 "Automatizimi, telemekanika dhe komunikimet hekurudhore"
Imazhe gjeometrike
1. Plani i projeksionit: p – arbitrar; p1 - horizontale; p2 – ballore; p3 – profili; S – projeksion qendror
Shënimi teorik i grupeve
Thelbi i metodës së projeksionit është se projeksioni Ap i disa imazheve gjeometrike
Projeksion qendror
Qendrore është një projeksion në të cilin të gjitha rrezet projektuese dalin nga një pikë S, e quajtur qendra e projeksionit. Në Fig. 1.3 jep një shembull të projeksionit qendror, ku p është e sheshtë
Projeksioni paralel
Projeksioni paralel është një projeksion në të cilin të gjitha rrezet projektuese janë paralele me njëra-tjetrën. Projeksionet paralele mund të jenë të pjerrëta (Fig. 1.7) dhe drejtkëndëshe (Fig. 1.8).
Vetitë e projeksioneve ortogonale
1. Projeksioni i një pike është një pikë (Fig. 1.9). Oriz. 1.9 2. Projeksioni i një vije në përgjithësi
Kthyeshmëria e vizatimit. Metoda Monge
Metoda e projektimit të projeksioneve në një plan, e diskutuar në § 2 dhe § 3, bën të mundur zgjidhjen e problemit të drejtpërdrejtë (duke pasur një objekt, mund të gjeni projeksionin e tij), por nuk lejon zgjidhjen e problemit të kundërt (duke pasur
Sistemi i dy rrafsheve pingul reciprokisht
Kthyeshmëria e vizatimit, siç u përmend më herët, d.m.th., përcaktimi i paqartë i pozicionit të një pike në hapësirë nga projeksionet e saj, mund të sigurohet me projeksion në dy pingulë reciprokisht
Sistemi i tre rrafsheve pingul reciprokisht
Në praktikë, kërkime dhe imazhe, një sistem i dy planeve reciprokisht pingul nuk ofron gjithmonë mundësinë e një zgjidhjeje të qartë. Kështu, për shembull, nëse lëvizni pikën A përgjatë boshtit
Vizatim kompleks dhe paraqitje vizuale e një pike në oktante I–IV
Le të shqyrtojmë një shembull të ndërtimit të pikave A, B, C, D në oktante të ndryshëm (Tabela 2.4). Tabela 2.4 Paraqitja vizuale oktante
Dispozitat e përgjithshme
Një vijë është një imazh gjeometrik njëdimensional që ka një gjatësi; bashkësia e të gjitha pozicioneve të njëpasnjëshme të një pike lëvizëse. Sipas përkufizimit të Euklidit: "Një vijë është gjatësi pa gjerësi". Kati
Nivelet e drejtpërdrejta
Përkufizimi Paraqitja vizuale Vizatim kompleks Një vijë horizontale është çdo vijë paralele me një vijë horizontale
Projektimi i vijave të drejta
Përkufizimi Paraqitja vizuale Vizatim kompleks Një vijë e projektuar horizontalisht është një vijë e drejtë pingul me
Ndërtimi i projeksionit të tretë të një segmenti bazuar në dy të dhëna
Në shembullin tonë, ne do të shqyrtojmë ndërtimin e një linje të përgjithshme në tremujorin e parë (Tabela 3.3). Tabela 3.3 Forma verbale
Metoda e trekëndëshit kënddrejtë. Përcaktimi i madhësisë natyrore të një segmenti të drejtëz dhe këndeve të prirjes së vijës së drejtë ndaj planeve të projeksionit
Ndërtimi i projeksioneve të një segmenti të drejtë në pozicionin e përgjithshëm dhe të veçantë bën të mundur zgjidhjen jo vetëm të problemeve pozicionale (vendndodhja në lidhje me rrafshet e projeksionit), por edhe ato metrike - duke përcaktuar gjatësinë nga
Përcaktimi i vlerës natyrore të një segmenti të linjës në pozicionin e përgjithshëm
Për të përcaktuar vlerën natyrore të një segmenti të drejtëz në pozicionin e përgjithshëm nga projeksionet e tij, përdoret metoda e trekëndëshit kënddrejtë. Le të shqyrtojmë sekuencën e këtij pozicioni (Tabela.
Dispozitat e përgjithshme
Dy vija të drejta në hapësirë mund të kenë vendndodhje të ndryshme: kryqëzohen (shtrihen në të njëjtin rrafsh). Një rast i veçantë i kryqëzimit është në një kënd të drejtë; mund të jetë paralel
Përcaktimi i dukshmërisë së vijave në raport me rrafshet e projektimit
Pikat konkurruese përdoren për të përcaktuar dukshmërinë e vijave në lidhje me planet e projektimit. Le të shqyrtojmë një vizatim kompleks të drejtëzave të kryqëzuara a dhe b (Fig. 4.1 dhe Fig. 4.2). Le të përcaktojmë se cila
Algoritmi për ndërtimin e vijave të kryqëzuara
Forma foljore Forma grafike 1. Nëpër pikën K vizatoni një drejtëz h|| p1 dhe drejtëza prerëse a
Planet e projektimit
Përkufizimi Imazhi pamor Vizatim kompleks Një rrafsh i projektuar horizontalisht është një rrafsh pingul
Aeroplanët e nivelit
Karakteristikat Paraqitja pamore Diagrami Rrafshi ballor është një rrafsh paralel me rrafshin p2. Kjo
Linjat e drejta të pozicionit të veçantë në aeroplan
Vijat e pozicionit të veçantë në rrafsh janë h horizontale, f ballore dhe vijat e prirjes më të madhe ndaj rrafsheve të projeksionit. Le të shohim paraqitjen grafike të këtyre rreshtave (Tabela 5.6). Ta
Algoritmi i ndërtimit frontal
Forma foljore Forma grafike Jepet rrafshi a (a|| b), pra a1 || b1; a2
Algoritmi për ndërtimin e projeksionit të dytë të pikës K
Forma verbale Forma grafike Plani a – i përcaktuar nga një figurë e sheshtë a (D ABC), K2 – projeksioni ballor i pikës K
Algoritmi për ndërtimin e një rrafshi paralel me një të dhënë
Forma foljore Forma grafike 1. Për zgjidhjen e problemës në një rrafsh të caktuar P(D ABC), merren çdo drejtëz të prerë. Për shembull, AB
Planet kryqëzuese
Dy plane kryqëzohen në një vijë të drejtë. Për të ndërtuar një vijë të kryqëzimit të tyre, është e nevojshme të gjenden dy pika që i përkasin kësaj linje. Problemi thjeshtohet nëse një nga aeroplanët kryqëzues është i zënë
Algoritmi për ndërtimin e një drejtëze paralele me një rrafsh
Forma foljore Forma grafike 1. Le të ndërtojmë në rrafshin P(D ABC) një drejtëz A1, që i përket rrafshit P.
Algoritmi për kryqëzimin e një drejtëze me një plan gjenerik
Forma foljore Forma grafike 1. Te ndertosh piken e prerjes se drejtes l me rrafsh
Algoritmi për ndërtimin e një pingule me një plan
Forma foljore Forma grafike 1. Për të ndërtuar një pingul me rrafshin P(D ABC) përmes pikës D, së pari duhet të
Tek kapitulli 3
1. Ndërtoni projeksionin e drejtëzës AB (Fig. 3) nëse: a) është paralel me p1; b) paralel me p2; c) paralel me OX; d) pingul me p1
Tek kapitulli 5
Në rrafshin e përcaktuar nga dy vija të drejta paralele, ndërtoni frontalin në një distancë prej 15 mm nga p1 (Fig. 9):
Tek kapitulli 6
1. Jepet rrafshi P(a|| b) dhe projeksioni ballor m2 i drejtëzës m që kalon nëpër pikën D. Ndërtoni një projeksion horizontal të drejtëzës m1 në mënyrë që drejtëza m të jetë paralele me rrafshin
Testet për kapitullin 3
Zgjidhni korrespondencën midis përcaktimit të segmentit AB dhe imazhit të tij (Fig. 6): 1. AB || p 1 2. AB || p 2 3. AB ^ p 1 4.
Testet për kapitullin 6
1. Në cilin nga vizatimet (Fig. 12) rrafshi S (D ABC) është paralel me rrafshin P(m C n).
Bibliografi e rekomanduar
1. GOST 2.001-70. Dispozitat e përgjithshme // Në koleksion. Sistemi i unifikuar i dokumentacionit të projektimit. Dispozitat themelore. – M.: Shtëpia Botuese Standarde, 1984. – F. 3–5. 2. GOST 2.104-68. Mbishkrimet kryesore // B
Nuk do të ishte ekzagjerim të thuhet se ndërtimi i vijave dhe planeve reciproke pingule, së bashku me përcaktimin e distancës ndërmjet dy pikave, janë veprimet kryesore grafike në zgjidhjen e problemeve metrike.
Parakushti teorik për ndërtimin e projeksioneve të vijave dhe planeve pingul me njëri-tjetrin në hapësirë në diagramin Monge është vetia e përmendur më parë (shih § 6)
projeksionet e një këndi të drejtë, njëra nga anët e së cilës është paralele me çdo plan projeksioni:
1. Vija reciproke pingule.
Për të qenë në gjendje të përdorni vetinë e shënuar për të ndërtuar dy drejtëza që kryqëzohen në një kënd prej 90° në një diagramë Monge, është e nevojshme që njëra prej tyre të jetë paralele me ndonjë plan projeksioni. Le të shpjegojmë atë që është thënë me shembuj.
SHEMBULL 1. Nëpër pikën A, vizatoni një vijë të drejtë l që pret vijën horizontale h në një kënd të drejtë (Fig. 249).
Meqenëse njëra nga brinjët h të këndit të duhur është paralele me rrafshin π 1, atëherë këndi i duhur do të projektohet në këtë rrafsh pa shtrembërim. Prandaj, përmes A" vizatojmë një projeksion horizontal l" ⊥ h". Shënojmë pikën M" = l" ∩ h". Ne gjejmë M" (M" ∈ h"). Pikat A" dhe M" përcaktojnë l" (shih Fig. 249, a).
Nëse në vend të një vije horizontale jepet një f ballore, atëherë konstruksionet gjeometrike për vizatimin e drejtëzës l ⊥ f janë të ngjashme me ato që sapo u morën parasysh me ndryshimin e vetëm që ndërtimi i një projeksioni të pashtrembëruar të një këndi të drejtë duhet të fillojë me një projeksion frontal (shih Fig. 249, b).
SHEMBULL 2. Nëpër pikën A, vizatoni një drejtëz l që pret drejtëzën a, të përcaktuar nga segmenti [BC], në një kënd prej 90° (Fig. 250).
Meqenëse ky segment zë një pozicion arbitrar në lidhje me rrafshet e projeksionit, ne nuk mundemi, si në shembullin e mëparshëm, të përdorim vetinë në lidhje me rastin e veçantë të projektimit të një këndi të drejtë, kështu që së pari duhet të transferojmë [BC] në një pozicion paralel me disa plane projeksioni.
Në Fig. 250 [BC] zhvendoset në një pozicion paralel me rrafshin π 3. Kjo bëhet duke përdorur metodën e zëvendësimit të planeve të projeksionit duke zëvendësuar rrafshin π 1 → π 3 || [Dielli].
Si rezultat i një zëvendësimi të tillë në sistemin e ri, x 1 π 2 / π 3 [BC] përcakton një vijë horizontale, prandaj të gjitha ndërtimet e mëtejshme kryhen në të njëjtën mënyrë siç u bë në shembullin e mëparshëm: pas pikës M. "U gjet 1, u përkthye në planet origjinale të projeksionit në pozicionet M" dhe M", këto pika së bashku me A" dhe A" përcaktojnë projeksionet e drejtëzës l.
SHEMBULL 3. Kryeni një projeksion horizontal të anës [BC] të këndit të drejtë ABC, nëse dihet projeksioni i saj ballor ∠A"B"C" dhe projeksioni horizontal i anës [A"B"] (Fig. 251) .
1. Lëvizeni anën e këndit [BA] në pozicionin || π 3 duke lëvizur nga sistemi i planeve të projeksionit xπ 2 / π 1 në x 1 π 3 / π 2 të ri
2. Përcaktoni një projeksion të ri ballor.
Nga B" 1 ndërtojmë një pingul me [B" 1 A" 1]. Në këtë pingul përcaktojmë pikën C" 1 (C" 1 hiqet nga boshti x 1 me një distancë |C x 1 C" 1 | = |C x C"| ).
4. Projeksioni horizontal C" përcaktohet si pika e prerjes së drejtëzave (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C".
2. Drejtëza dhe plani reciprokisht pingul.
Nga kursi i stereometrisë dimë se një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me të paktën dy drejtëza të kryqëzuara që i përkasin këtij rrafshi.
Nëse marrim jo vija të drejta kryqëzuese arbitrare në një rrafsh, por linjat e tij horizontale dhe ballore, atëherë bëhet e mundur të përdoret vetia e projeksionit të këndit të drejtë, siç u bë në shembullin 1, Fig. 249.
Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm; Le të supozojmë se nga një pikë A ∈ α duhet të rivendosim një pingul me rrafshin α (Fig. 252).
Nëpër pikën A vizatojmë drejtëzën horizontale h dhe f frontale të rrafshit α. Pastaj, sipas përkufizimit (AB), pingul me rrafshin α, duhet të jetë pingul me drejtëzat h dhe f, d.m.th. Por ana AM ∠ JU || π 1 , pra ∠VAM projektohet në rrafshin π 1 , pa shtrembërim, d.m.th. 
. Ana AK ∠ VAK || π 2 dhe, për rrjedhojë, edhe ky kënd është projektuar në rrafshin π 2 pa shtrembërim, d.m.th. 
. Arsyetimi i mësipërm mund të formulohet si teorema e mëposhtme: Në mënyrë që një vijë e drejtë në hapësirë të jetë pingul me një plan, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që në diagram projeksioni horizontal i vijës së drejtë të jetë pingul me projeksionin horizontal të horizontales së rrafshit, dhe projeksioni ballor me projeksioni ballor i pjesës ballore të këtij rrafshi.
Nëse rrafshi jepet me gjurmë, atëherë teorema mund të formulohet ndryshe: Që një drejtëz në hapësirë të jetë pingul me një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që projeksionet e kësaj drejtëze të jenë pingul me gjurmët me të njëjtin emër në rrafsh.
Marrëdhëniet e vendosura nga teorema midis një drejtëze në hapësirë pingul me rrafshin dhe projeksioneve të kësaj drejteje me projeksionet e vijave të nivelit (gjurmëve) të rrafshit nënvizojnë algoritmin grafik për zgjidhjen e problemit të vizatimit të një drejtëze pingul me rrafshin, si dhe ndërtimin e një rrafshi pingul me një drejtëz të caktuar.
SHEMBULL 1. Riktheni pingulën AD në rrafshin ΔАВС në kulmin A (Fig. 253).
Për të përcaktuar drejtimin e projeksioneve të pingules vizatojmë projeksione të h horizontales dhe f frontale të rrafshit ΔABC. Pas kësaj, nga pika A" rivendosim një pingul në h", dhe nga A" - në f".
SHEMBULL 2. Nga pika A, që i përket rrafshit α (m || n), ndërtoni një pingul me këtë rrafsh (Fig. 254).
ZGJIDHJE. Për të përcaktuar drejtimin e projeksioneve të pingulës l" dhe l", si në shembullin e mëparshëm, vizatoni një vijë horizontale h(h", h") përmes pikës A (A", A"), që i përket rrafshit α. . Duke ditur drejtimin h", ndërtojmë një projeksion horizontal të pingules l" (l" ⊥ h"). Për të përcaktuar drejtimin e projeksionit ballor të pingules përmes pikës A (A", A"), vizatoni f (f", f") ballore të rrafshit α. Për shkak të paralelizmit të f me rrafshin e projeksionit ballor, këndi i drejtë midis l dhe f është projektuar në π 2 pa shtrembërim, kështu që vizatojmë l" ⊥ f".
Në Fig. 255 e njëjta problem zgjidhet edhe për rastin kur rrafshi α jepet me gjurmë. Për të përcaktuar drejtimet e projeksioneve të pingules, nuk ka nevojë të vizatoni horizontalin dhe pjesën e përparme
beli, pasi funksionet e tyre kryhen nga gjurmët e rrafshit h 0α dhe f 0α. Siç mund të shihet nga vizatimi, zgjidhja zbret në vizatimin e projeksioneve l" ⊥ h 0α dhe l" ⊥ f 0α përmes pikave A" dhe A".
SHEMBULL 3. Ndërtoni një rrafsh γ pingul me një drejtëz të caktuar l dhe që kalon nga një pikë e caktuar A (Fig. 256).
ZGJIDHJE. Nëpër pikën A vizatojmë një vijë horizontale h dhe një vijë ballore f. Këto dy drejtëza të kryqëzuara përcaktojnë një rrafsh; që ajo të jetë pingul me drejtëzën l, është e nevojshme që drejtëzat h dhe f të bëjnë kënd 90° me l të drejtë. Për ta bërë këtë, ne vizatojmë h" ⊥ l" dhe f" ⊥ l". Projeksioni ballor h" dhe projeksioni horizontal f" janë paralel me boshtin x.
Rasti i shqyrtuar na lejon të zgjidhim problemin e dhënë në shembullin 3 në një mënyrë tjetër (f. 175 Fig. 251). Ana [BC] ∠ABC duhet t'i përkasë rrafshit γ ⊥ [AB] dhe të kalojë nëpër pikën B (Fig. 257).
Ky kusht përcakton rrjedhën e zgjidhjes së problemit, i cili është si vijon: pikën B e mbyllim në rrafshin γ ⊥ [AB], për këtë, përmes pikës B vizatojmë horizontalin dhe frontalin e rrafshit γ në mënyrë që h" ⊥ A. "B" dhe f" ⊥ A "B".
Pika C ∈ (BC), që i përket rrafshit γ, prandaj, për të gjetur projeksionin e saj horizontal, vizatojmë një vijë të drejtë arbitrare 1"2" deri në C" që i përket rrafshit γ; përcaktoni projeksionin horizontal të kësaj linje 1"2 " dhe shënoni pikën C mbi të" (C "përcaktohet nga kryqëzimi i linjës së lidhjes - pingulja e rënë nga C" me projeksionin horizontal të vijës së drejtë 1"2"). C" së bashku me B" përcaktojnë projeksionin horizontal (BC) ⊥ (AB).
3. Planet reciproke pingul..
Dy plane janë pingul nëse njëri prej tyre përmban një drejtëz pingul me rrafshin tjetër.
Bazuar në përkufizimin e pingulitetit të rrafsheve, problemin e ndërtimit të rrafshit β pingul me rrafshin α e zgjidhim në këtë mënyrë: vizatoni një drejtëz l pingul me rrafshin α; e mbyllim drejtëzën l në rrafshin β. Rrafshi β ⊥ α, meqë β ⊃ l ⊥ α.
Shumë plane mund të vizatohen përmes drejtëzës l, kështu që problemi ka shumë zgjidhje. Për ta bërë përgjigjen më specifike, duhet të specifikohen kushte shtesë.
SHEMBULL 1. Nëpër një drejtëz të dhënë vizatoni një rrafsh β pingul me rrafshin α (Fig. 258).
ZGJIDHJE. Përcaktojmë drejtimin e projeksioneve të pingules me rrafshin α, për këtë gjejmë projeksionin horizontal të horizontales (h") dhe projeksionin ballor të frontalit (f"); Nga projeksionet e një pike arbitrare A ∈ α nxjerrim projeksionet e pingules l" ⊥ h" dhe l" ⊥ f". Rrafshi β ⊥ α, meqë β ⊃ l ⊥ α.
SHEMBULL 2. Nëpër një pikë të dhënë A, vizatoni një rrafsh horizontal të projektuar γ, pingul me rrafshin α, të përcaktuar nga gjurmët (Fig. 259, a).
Rrafshi i kërkuar γ duhet të përmbajë një drejtëz pingul me rrafshin α, ose të jetë pingul me një drejtëz që i përket rrafshit α. Meqenëse rrafshi γ duhet të jetë horizontalisht i projektuar, atëherë vija e drejtë pingul me të duhet të jetë paralele me rrafshin π 1, d.m.th., të jetë horizontali i rrafshit α ose (i cili është i njëjtë) gjurma horizontale e këtij plani - h 0α Prandaj, përmes pikës horizontale të projeksionit A" vizatoni një gjurmë horizontale h 0γ ⊥ h 0α gjurmë ballore f 0γ ⊥ x bosht.
Në Fig. 259, b tregon planin ballor të projektuar γ, që kalon nëpër pikën B dhe pingul me rrafshin π 2.
Nga vizatimi shihet qartë se një tipar dallues i diagramit, në të cilin janë specifikuar dy rrafshe pingul reciprokisht, njëri prej të cilëve është i projektuar frontalisht, është pingulja e gjurmëve të tyre ballore f 0γ ⊥ f 0α, gjurma horizontale e projektimit ballor. plani është pingul me boshtin x.
Shenja e pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi na lejon të ndërtojmë drejtëza dhe plane reciproke pingule, domethënë të vërtetojmë ekzistencën e linjave dhe rrafsheve të tilla. Le të fillojmë duke ndërtuar një rrafsh pingul me një drejtëz të caktuar dhe duke kaluar nëpër një pikë të caktuar. Le të zgjidhim dy probleme ndërtimi që korrespondojnë me dy mundësi në vendndodhjen e një pike të caktuar dhe një vijë të caktuar.
Problema 1. Nëpër një pikë të dhënë A në një drejtëz të caktuar a, vizatoni një rrafsh pingul me këtë drejtëz.
Le të vizatojmë çdo dy rrafshe përmes drejtëzës a dhe në secilin prej këtyre rrafsheve përmes pikës A vizatojmë përgjatë një drejtëze pingul me drejtëzën a, duke i treguar ato b dhe c (Fig. 2.17). Plani a që kalon nëpër drejtëza bis përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën a (bazuar në pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit). Prandaj, plani a është ai i dëshiruari. Problemi është zgjidhur.
Problemi ka vetëm një zgjidhje (d.m.th., unike). Në të vërtetë, le të supozojmë të kundërtën. Më pas, përveç rrafshit a, përmes pikës A kalon një rrafsh tjetër P, pingul me drejtëzën a (Fig. 2.18). Le të marrim në rrafshin P çdo drejtëz që kalon nga pika A dhe nuk shtrihet në rrafshin a. Le të vizatojmë rrafshin y përmes drejtëzave prerëse a dhe . Rrafshi y pret rrafshin a përgjatë drejtëzës q. Drejtëza q nuk përkon me drejtëzën , pasi q shtrihet në dhe nuk shtrihet në a. Të dyja këto drejtëza shtrihen në rrafshin y, kalojnë nëpër pikën A dhe janë pingul me drejtëzën a pasi dhe në mënyrë të ngjashme meqë dhe. Por kjo bie ndesh me teoremën e njohur të planimetrisë, sipas së cilës në një rrafsh në çdo pikë kalon vetëm një drejtëz, pingul me një drejtëz të dhënë.
Pra, duke supozuar se dy rrafshe pingul me vijën e një kalimi nëpër pikën A, kemi arritur në një kontradiktë. Prandaj, problemi ka një zgjidhje unike.
Problema 2. Nëpër një pikë të dhënë A, jo e shtrirë në një drejtëz të caktuar a, vizatoni një rrafsh pingul me këtë drejtëz.
Nëpër pikën A vizatojmë një drejtëz b pingul me drejtëzën a. Le të jetë B pika e kryqëzimit të a dhe b. Nëpër pikën B vizatojmë edhe një drejtëz c, pingul me drejtëzën a (Fig. 2.19). Një plan që kalon nëpër të dy vijat e vizatuara do të jetë pingul me a sipas kriterit të pingulitetit (teorema 2).
Ashtu si në problemin 1, rrafshi i ndërtuar është unik. Në të vërtetë, le të marrim çdo rrafsh që kalon nëpër pikën A pingul me drejtëzën a. Një rrafsh i tillë përmban një drejtëz pingul me drejtëzën a dhe që kalon nga pika A. Por ekziston vetëm një drejtëz e tillë. Kjo është drejtëza b, e cila kalon nëpër pikën B. Kjo do të thotë se rrafshi që kalon nëpër A dhe pingul me drejtëzën a duhet të përmbajë pikën B, dhe vetëm një rrafsh kalon nëpër pikën B, pingul me drejtëzën a (problemi 1). Pra, pasi i kemi zgjidhur këto probleme ndërtimi dhe kemi vërtetuar veçantinë e zgjidhjeve të tyre, ne kemi vërtetuar teoremën e mëposhtme të rëndësishme.
Teorema 3 (rreth një rrafshi pingul me një drejtëz). Nëpër çdo pikë kalon një rrafsh pingul me një vijë të caktuar, dhe, për më tepër, vetëm një.
Përfundim (për rrafshin e pinguleve). Drejtëza pingule me një drejtëz të caktuar në një pikë të caktuar shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe e mbulojnë atë.
Le të jetë a një drejtëz e dhënë dhe A çdo pikë në të. Një avion kalon nëpër të. Me përkufizimin e pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi, ajo mbulohet
të mbuluara nga drejtëza pingul me drejtëzën a në pikën A, d.m.th. nëpër çdo pikë të rrafshit a kalon një drejtëz pingul me drejtëzën a.
Le të supozojmë se një drejtëz kalon nëpër pikën A dhe nuk shtrihet në rrafshin a. Le të vizatojmë një rrafsh P përmes tij dhe rrafshi P do të presë a përgjatë një drejtëze të caktuar c (Fig. 2.20). Dhe meqenëse rezulton se përmes pikës A në rrafshin P kalojnë dy drejtëza b dhe c, pingul me drejtëzën a. Kjo eshte e pamundur. Kjo do të thotë se nuk ka drejtëza pingule me drejtëzën a në pikën A dhe jo të shtrira në rrafshin a. Të gjithë shtrihen në këtë aeroplan.
Një shembull i përfundimit të Teoremës 3 jepet nga foletë në një rrotë, pingul me boshtin e saj: kur rrotullohen, ata vizatojnë një plan (më saktë, një rreth), duke marrë të gjitha pozicionet pingul me boshtin e rrotullimit.
Teorema 2 dhe 3 ndihmojnë në dhënien e një zgjidhjeje të thjeshtë për problemin e mëposhtëm.
Problemi 3. Nëpër një pikë në një plan të caktuar, vizatoni një drejtëz pingul me këtë rrafsh.
Le të jepet një plan a dhe një pikë A në rrafshin a. Le të vizatojmë një vijë a në rrafshin a përmes pikës A. Nëpër pikën A vizatojmë një rrafsh pingul me drejtëzën a (problemi 1). Plani do të presë planin a përgjatë një vije të drejtë b (Fig. 2.21). Le të vizatojmë një drejtëz c në rrafshin P përmes pikës A, pingul me drejtëzën b. Meqenëse (meqë c shtrihet në rrafsh
Dhe), më pas nga Teorema 2. Veçantia e zgjidhjes së saj përcaktohet në seksionin 2.1.
Koment. Rreth ndërtimeve në hapësirë. Le të kujtojmë se në kapitullin 1 studiojmë "gjeometrinë strukturore". Dhe në këtë pikë ne zgjidhëm tre probleme që përfshinin ndërtimin në hapësirë. Çfarë nënkuptohet në stereometri me termat "ndërtim", "vizatim", "shkruani" etj. Së pari, le të kujtojmë për ndërtimet në një rrafsh Në këtë mënyrë vërtetojmë ekzistencën e saj Në përgjithësi, kur zgjidhim një problem ndërtimi, vërtetojmë një teoremë për ekzistencën e një figure me vetitë e dhëna. kryerja e veprimeve më të thjeshta që çojnë në rezultatin e kërkuar Veprimet më të thjeshta janë vizatimi i rrathëve dhe gjetja e pikave të kryqëzimit të tyre.
Pra, në planimetri, zgjidhja e problemit të ndërtimit ka, si të thuash, dy anë: teorike - algoritmi i ndërtimit - dhe praktik - zbatimin e këtij algoritmi, për shembull, me një busull dhe një vizore.
Detyrës së ndërtimit stereometrik i ka mbetur vetëm njëra anë - ajo teorike, pasi nuk ka mjete për ndërtim në hapësirë, të ngjashme me një busull dhe një vizore.
Ndërtimet bazë në hapësirë merren si ato të parashikuara nga aksiomat dhe teoremat mbi ekzistencën e drejtëzave dhe planeve. Kjo është tërheqja e një drejtëze përmes dy pikave, vizatimi i një rrafshi (propozimet e pikës 1.1 dhe aksioma 1 e pikës 1.4), si dhe ndërtimi i një linje të kryqëzimit të çdo dy planesh të ndërtuar (aksioma 2 e pikës 1.4). Përveç kësaj, natyrshëm do të supozojmë se është e mundur të kryhen konstruksione planimetrike në plane tashmë të ndërtuara.
Zgjidhja e një problemi ndërtimi në hapësirë do të thotë të tregosh sekuencën e ndërtimeve bazë që rezultojnë në figurën e dëshiruar. Zakonisht, jo të gjitha ndërtimet bazë tregohen në mënyrë eksplicite, por referohen problemet tashmë të zgjidhura të ndërtimit, d.m.th. mbi pohimet dhe teoremat tashmë të vërtetuara për mundësinë e ndërtimeve të tilla.
Përveç konstruksioneve - teoremave të ekzistencës në stereometri, janë të mundshme edhe dy lloje të tjera problemash që lidhen me konstruksionet.
Së pari, detyrat janë në figurë ose vizatim. Këto janë probleme për prerjen e poliedrave ose trupave të tjerë. Ne në fakt nuk po ndërtojmë vetë seksionin, por vetëm e përshkruajmë atë
vizatim ose vizatim që tashmë e kemi. Ndërtime të tilla kryhen si planimetrike, duke marrë parasysh aksiomat dhe teoremat e stereometrisë dhe rregullat e imazhit. Problemet e këtij lloji zgjidhen vazhdimisht në praktikën e vizatimit dhe projektimit.
Së dyti, detyrat për ndërtimin e trupave në sipërfaqe. Detyra: "Ndërtoni pika në sipërfaqen e një kubi që janë të largëta nga një kulm i caktuar në një distancë të caktuar" - mund të zgjidhet duke përdorur një busull (si?). Detyra: "Ndërtoni pika në sipërfaqen e një topi që janë të largëta nga një pikë e caktuar në një distancë të caktuar" - mund të zgjidhet gjithashtu duke përdorur një busull (si?). Problemet e këtij lloji nuk zgjidhen në mësimet e gjeometrisë - ato zgjidhen vazhdimisht nga shënuesi, natyrisht, me saktësinë që mjetet e tij i lejojnë të arrijë. Por kur zgjidh probleme të tilla, ai mbështetet në gjeometri.
