Numrat që janë racionalë. Thyesat e pafundme jo periodike

) janë numra me shenjë pozitive ose negative (numra të plotë dhe thyesa) dhe zero. Një koncept më i saktë i numrave racional tingëllon si ky:

Numër racional- një numër që paraqitet si thyesë e përbashkët m/n, ku numëruesi m janë numra të plotë, dhe emëruesi n- numra të plotë, për shembull 2/3.

Thyesat e pafundme jo periodike NUK përfshihen në bashkësinë e numrave racionalë.

a/b, Ku a∈ Z (a i përket numrave të plotë), b∈ N (b i përket numrave natyrorë).

Përdorimi i numrave racionalë në jetën reale.

Në jetën reale, grupi i numrave racionalë përdoret për të numëruar pjesët e disa objekteve të plotpjestueshëm, Për shembull, ëmbëlsira ose ushqime të tjera që priten në copa para konsumimit, ose për të vlerësuar afërsisht marrëdhëniet hapësinore të objekteve të zgjeruara.

Vetitë e numrave racionalë.

Vetitë themelore të numrave racionalë.

1. Rregullsia a Dhe b ekziston një rregull që ju lejon të identifikoni pa mëdyshje 1 dhe vetëm një nga 3 marrëdhëniet midis tyre: "<», «>" ose "=". Ky rregull është - rregulli i renditjes dhe formulojeni kështu:

• 2 numra pozitivë a=m a /n a Dhe b=m b /n b lidhen me të njëjtën lidhje si 2 numra të plotë m a⋅ n b Dhe m b⋅ n a;
• 2 numra negativë a Dhe b lidhen me të njëjtin raport me 2 numra pozitivë |b| Dhe |a|;
• Kur a pozitive dhe b- negative, atëherë a>b.

∀ a, b∈ P(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacioni i shtimit. Për të gjithë numrat racionalë a Dhe b ka rregulli i përmbledhjes, që i lidh ato me një numër të caktuar racional c. Në të njëjtën kohë, vetë numri c- Kjo shuma numrat a Dhe b dhe shënohet si (a+b) përmbledhje.

Rregulla e përmbledhjes duket kështu:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ P∃ !(a+b)∈ P

3. Operacioni i shumëzimit. Për të gjithë numrat racionalë a Dhe b ka rregulli i shumëzimit, i lidh me një numër të caktuar racional c. Numri c quhet puna numrat a Dhe b dhe shënojnë (a⋅b), dhe quhet procesi i gjetjes së këtij numri shumëzimi.

Rregulli i shumëzimit duket kështu: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo tre numra racionalë a, b Dhe c Nëse a më pak b Dhe b më pak c, Kjo a më pak c, dhe nëse a barazohet b Dhe b barazohet c, Kjo a barazohet c.

∀ a,b,c∈ P(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutativiteti i mbledhjes. Ndryshimi i vendeve të termave racionalë nuk e ndryshon shumën.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Asociativiteti shtesë. Rendi në të cilin shtohen 3 numra racional nuk ndikon në rezultatin.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0, ai ruan çdo numër tjetër racional kur shtohet.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Q a+0=a

8. Prania e numrave të kundërt. Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, dhe kur ato mblidhen, rezultati është 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutativiteti i shumëzimit. Ndryshimi i vendeve të faktorëve racional nuk e ndryshon produktin.

∀ a, b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Asociativiteti i shumëzimit. Radha në të cilën shumëzohen 3 numra racional nuk ka asnjë ndikim në rezultat.

∀ a,b,c∈ P(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponueshmëria e njësisë. Ekziston një numër racional 1, ai ruan çdo numër tjetër racional në procesin e shumëzimit.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Prania e numrave reciprokë. Çdo numër racional përveç zeros ka një numër racional të anasjelltë, duke shumëzuar me të cilin marrim 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit lidhet me mbledhjen duke përdorur ligjin shpërndarës:

∀ a,b,c∈ P(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Marrëdhënia ndërmjet relacionit të rendit dhe veprimit të mbledhjes. I njëjti numër racional i shtohet anës së majtë dhe të djathtë të një pabarazie racionale.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Lidhja ndërmjet relacionit të rendit dhe veprimit të shumëzimit. Ana e majtë dhe e djathtë e një pabarazie racionale mund të shumëzohen me të njëjtin numër racional jo negativ.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Aksioma e Arkimedit. Cilido qoftë numri racional a, është e lehtë të marrësh kaq shumë njësi sa që shuma e tyre të jetë më e madhe a.

Në këtë mësim do të mësojmë për shumë numra racionalë. Le të analizojmë vetitë themelore të numrave racionalë, të mësojmë se si të konvertojmë thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme dhe anasjelltas.

Ne kemi folur tashmë për grupet e numrave natyrorë dhe të plotë. Bashkësia e numrave natyrorë është një nëngrup i numrave të plotë.

Tani kemi mësuar se çfarë janë thyesat dhe kemi mësuar se si të punojmë me to. Një thyesë, për shembull, nuk është një numër i plotë. Kjo do të thotë që ne duhet të përshkruajmë një grup të ri numrash, i cili do të përfshijë të gjitha thyesat, dhe ky grup ka nevojë për një emër, një përkufizim dhe përcaktim të qartë.

Le të fillojmë me emrin. Fjala latine raporti përkthehet në rusisht si raport, pjesë. Emri i grupit të ri "numra racional" vjen nga kjo fjalë. Kjo do të thotë, "numrat racional" mund të përkthehen si "numra thyesorë".

Le të kuptojmë se nga cilat numra përbëhet ky grup. Mund të supozojmë se përbëhet nga të gjitha thyesat. Për shembull, të tilla - . Por një përkufizim i tillë nuk do të ishte plotësisht i saktë. Një thyesë nuk është një numër në vetvete, por një formë e shkrimit të një numri. Në shembullin e mëposhtëm, dy thyesa të ndryshme përfaqësojnë të njëjtin numër:

Atëherë do të ishte më e saktë të thuhej se numrat racional janë ata numra që mund të paraqiten si thyesë. Dhe ky, në fakt, është pothuajse i njëjti përkufizim që përdoret në matematikë.

Ky grup përcaktohet me shkronjën. Si lidhen bashkësitë e numrave natyrorë dhe të plotë me bashkësinë e re të numrave racionalë? Një numër natyror mund të shkruhet si thyesë në një numër të pafund mënyrash. Dhe meqenëse mund të përfaqësohet si një thyesë, atëherë është gjithashtu racionale.

Situata është e ngjashme me numrat e plotë negativë. Çdo numër i plotë negativ mund të përfaqësohet si një thyesë . A është e mundur që numri zero të paraqitet si thyesë? Sigurisht që mundeni, gjithashtu në një numër të pafund mënyrash .

Kështu, të gjithë numrat natyrorë dhe të gjithë numrat e plotë janë gjithashtu numra racionalë. Bashkësitë e numrave natyrorë dhe të numrave të plotë janë nënbashkësi të bashkësisë së numrave racionalë ().

Mbyllja e grupeve në lidhje me veprimet aritmetike

Nevoja për të futur numra të rinj - numra të plotë, pastaj racionalë - mund të shpjegohet jo vetëm nga problemet nga jeta reale. Vetë veprimet aritmetike na e tregojnë këtë. Le të mbledhim dy numra natyrorë: . Ne marrim përsëri një numër natyror.

Ata thonë se bashkësia e numrave natyrorë mbyllet nën veprimin e mbledhjes (mbyllur nën mbledhje). Mendoni vetë nëse bashkësia e numrave natyrorë është e mbyllur nën shumëzim.

Sapo përpiqemi të zbresim diçka të barabartë ose më të madhe nga një numër, na mbeten pa numra natyrorë. Prezantimi i numrave të plotë zero dhe negativ korrigjon situatën:

Bashkësia e numrave të plotë mbyllet me zbritje. Ne mund të shtojmë dhe zbresim çdo numër të plotë pa frikë se mos kemi një numër me të cilin të shkruajmë rezultatin (i mbyllur me mbledhje dhe zbritje).

A është bashkësia e numrave të plotë të mbyllur nën shumëzim? Po, prodhimi i çdo dy numrash të plotë rezulton në një numër të plotë (të mbyllur me mbledhje, zbritje dhe shumëzim).

Ka mbetur edhe një veprim - ndarja. A është grupi i numrave të plotë të mbyllur nën ndarje? Përgjigja është e qartë: jo. Le të ndajmë me. Ndër numrat e plotë nuk ka një numër të tillë për të shkruar përgjigjen: .

Por duke përdorur një fraksion, ne pothuajse gjithmonë mund të shkruajmë rezultatin e pjesëtimit të një numri të plotë me një tjetër. Pse pothuajse? Le të kujtojmë se, sipas përkufizimit, nuk mund të ndash me zero.

Kështu, grupi i numrave racionalë (i cili lind kur futen thyesat) pretendon të jetë një grup i mbyllur sipas të katër veprimeve aritmetike.

Le të kontrollojmë.

Kjo do të thotë, grupi i numrave racional mbyllet me mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim, duke përjashtuar pjesëtimin me zero. Në këtë kuptim, mund të themi se bashkësia e numrave racionalë është e strukturuar "më mirë" se grupet e mëparshme të numrave natyrorë dhe të plotë. A do të thotë kjo se numrat racionalë janë grupi i fundit i numrave që studiojmë? Nr. Më pas, do të kemi numra të tjerë që nuk mund të shkruhen si thyesa, për shembull, joracionalë.

Numrat si mjet

Numrat janë një mjet që njeriu e krijoi sipas nevojës.

Oriz. 1. Përdorimi i numrave natyrorë

Më vonë, kur u desh të bëheshin llogaritjet monetare, ata filluan të vendosnin shenja plus ose minus përpara numrit, duke treguar nëse vlera origjinale duhet të rritet apo të zvogëlohet. Kështu u shfaqën numrat negativë dhe pozitivë. Grupi i ri u quajt bashkësia e numrave të plotë ().

Oriz. 2. Përdorimi i thyesave

Prandaj, shfaqet një mjet i ri, numra të rinj - thyesa. Ne i shkruajmë ato në mënyra të ndryshme ekuivalente: thyesa të zakonshme dhe dhjetore ( ).

Të gjithë numrat - "të vjetër" (numër i plotë) dhe "i ri" (thyesë) - u kombinuan në një grup dhe e quajtën atë grup numrash racionalë ( - numra racionalë)

Pra, një numër racional është një numër që mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme. Por ky përkufizim në matematikë sqarohet më tej. Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë me një emërues pozitiv, domethënë raporti i një numri të plotë me një numër natyror: .

Pastaj marrim përkufizimin: një numër quhet racional nëse mund të paraqitet si një thyesë me një numërues të plotë dhe një emërues natyror ( ).

Përveç thyesave të zakonshme, ne përdorim edhe dhjetore. Le të shohim se si ato lidhen me grupin e numrave racionalë.

Ekzistojnë tre lloje dhjetoresh: të fundme, periodike dhe jo periodike.

Thyesat e pafundme jo periodike: thyesat e tilla kanë gjithashtu një numër të pafund vendesh dhjetore, por nuk ka pikë. Një shembull është shënimi dhjetor i PI:

Çdo thyesë dhjetore e fundme sipas përkufizimit është një thyesë e zakonshme me emërues, etj.

Le të lexojmë me zë të lartë thyesën dhjetore dhe ta shkruajmë në formë të zakonshme: , .

Kur ktheheni nga shkrimi si thyesë në një dhjetore, mund të merrni thyesa dhjetore të fundme ose thyesa periodike të pafundme.

Shndërrimi nga një thyesë në një dhjetore

Rasti më i thjeshtë është kur emëruesi i një thyese është fuqia e dhjetës: etj. Pastaj përdorim përkufizimin e një thyese dhjetore:

Ka thyesa, emëruesi i të cilave mund të reduktohet lehtësisht në këtë formë: . Është e mundur të shkohet në një shënim të tillë nëse zgjerimi i emëruesit përfshin vetëm dy dhe pesë.

Emëruesi përbëhet nga tre dyshe dhe një pesë. Secili prej tyre formon një dhjetë. Pra na mungojnë dy. Shumëzo me numëruesin dhe emëruesin:

Mund të ishte bërë ndryshe. Ndani me një kolonë (shih Fig. 1).

Oriz. 2. Ndarja e kolonave

Në rastin e me, emëruesi nuk mund të shndërrohet në ose në një numër tjetër shifror, pasi zgjerimi i tij përfshin një trefish. Mbetet vetëm një mënyrë - të ndahet në një kolonë (shih Fig. 2).

Një ndarje e tillë në çdo hap do të japë mbetjen dhe koeficientin. Ky proces është i pafund. Kjo do të thotë, ne morëm një thyesë periodike të pafundme me një pikë

Le të praktikojnë. Le t'i kthejmë thyesat e zakonshme në dhjetore.

Në të gjithë këta shembuj, ne përfunduam me një thyesë dhjetore përfundimtare sepse zgjerimi i emëruesit përfshinte vetëm dy dhe pesë.

(le të kontrollojmë veten duke u ndarë në një tabelë - shih Fig. 3).

Oriz. 3. Ndarja e gjatë

Oriz. 4. Ndarja e kolonave

(shih Fig. 4)

Zgjerimi i emëruesit përfshin një treshe, që nënkupton sjelljen e emëruesit në formën, etj. nuk punon. Ndani në një kolonë. Situata do të përsëritet. Do të ketë një numër të pafund treshe në rekordin e rezultateve. Kështu,.

(shih Fig. 5)

Oriz. 5. Ndarja e kolonave

Pra, çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme. Ky është përkufizimi i tij.

Dhe çdo thyesë e zakonshme mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme.

Llojet e regjistrimit të thyesave:

regjistrimi i një thyese dhjetore në formën e një thyese të zakonshme: ; ;

shkrimi i një thyese të përbashkët si dhjetore: (thyesë fundore); (periodike e pafundme).

Kjo do të thotë, çdo numër racional mund të shkruhet si një thyesë dhjetore e fundme ose periodike. Në këtë rast, thyesa përfundimtare mund të konsiderohet gjithashtu periodike me një periudhë zero.

Ndonjëherë një numri racional i jepet pikërisht ky përkufizim: një numër racional është një numër që mund të shkruhet si një thyesë dhjetore periodike.

Shndërrimi periodik i thyesave

Le të shqyrtojmë fillimisht një fraksion, periudha e së cilës përbëhet nga një shifër dhe nuk ka paraperiudhë. Le ta shënojmë këtë numër me shkronjën . Metoda është të merrni një numër tjetër me të njëjtën periudhë:

Kjo mund të bëhet duke shumëzuar numrin origjinal me . Pra, numri ka të njëjtën periudhë. Zbrit nga vetë numri:

Për t'u siguruar që kemi bërë gjithçka në mënyrë korrekte, le të bëjmë tani kalimin në drejtim të kundërt, në një mënyrë tashmë të njohur për ne - duke e ndarë në një kolonë me (shih Fig. 1).

Në fakt, marrim një numër në formën e tij origjinale me një pikë.

Le të shqyrtojmë një numër me një periudhë paraprake dhe një periudhë më të gjatë: . Metoda mbetet saktësisht e njëjtë si në shembullin e mëparshëm. Duhet të marrim një numër të ri me të njëjtën periudhë dhe një paraperiudhë me të njëjtën gjatësi. Për ta bërë këtë, është e nevojshme që presja të lëvizë djathtas sipas gjatësisë së periudhës, d.m.th. nga dy personazhe. Shumëzojeni numrin origjinal me:

Le të zbresim shprehjen origjinale nga shprehja që rezulton:

Pra, cili është algoritmi i përkthimit? Thyesa periodike duhet të shumëzohet me një numër të formës etj., që ka aq zero sa shifra ka në periudhën e thyesës dhjetore. Ne marrim një të re periodike. Për shembull:

Duke zbritur një tjetër nga një thyesë periodike, marrim thyesën dhjetore përfundimtare:

Mbetet të shprehet thyesa periodike origjinale në formën e një thyese të zakonshme.

Për të praktikuar, shkruani vetë disa thyesa periodike. Duke përdorur këtë algoritëm, reduktoni ato në formën e një fraksioni të zakonshëm. Për të kontrolluar një kalkulator, ndani numëruesin me emëruesin. Nëse gjithçka është e saktë, atëherë merrni fraksionin periodik origjinal

Pra, ne mund të shkruajmë çdo thyesë periodike të fundme ose të pafundme si një thyesë e zakonshme, si raport i një numri natyror dhe një numri të plotë. ato. të gjitha thyesat e tilla janë numra racionalë.

Po thyesat jo periodike? Rezulton se thyesat jo periodike nuk mund të përfaqësohen si thyesa të zakonshme (ne do ta pranojmë këtë fakt pa prova). Kjo do të thotë se ata nuk janë numra racionalë. Ata quhen irracionalë.

Thyesat e pafundme jo periodike

Siç kemi thënë tashmë, një numër racional në shënimin dhjetor është ose një thyesë e fundme ose periodike. Kjo do të thotë që nëse mund të ndërtojmë një thyesë të pafundme jo periodike, atëherë do të marrim një numër joracional, domethënë një numër irracional.

Këtu është një mënyrë për ta ndërtuar këtë: Pjesa thyesore e këtij numri përbëhet vetëm nga zero dhe njësh. Numri i zerove ndërmjet njësh rritet me . Është e pamundur të theksohet pjesa e përsëritur këtu. Kjo do të thotë, thyesa nuk është periodike.

Praktikoni ndërtimin e thyesave dhjetore jo periodike, domethënë numrave iracionalë, vetë

Një shembull i njohur i një numri irracional është pi ( ). Nuk ka asnjë periudhë në këtë hyrje. Por përveç pi, ka pafundësisht shumë numra të tjerë irracionalë. Ne do të flasim më shumë për numrat irracionalë më vonë.

1. Matematikë klasa e 5-të. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., botimi i 31-të, i fshirë. - M: Mnemosyne, 2013.
2. Matematikë klasa e 5-të. Erina T.M.. Fletore pune për tekstin Vilenkina N.Ya., M.: Provim, 2013.
3. Matematikë klasa e 5-të. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Detyre shtepie

Numrat e plotë

Përkufizimi i numrave natyrorë janë numra të plotë pozitivë. Numrat natyrorë përdoren për të numëruar objekte dhe për shumë qëllime të tjera. Këto janë numrat:

Kjo është një seri natyrore numrash.
A është zero një numër natyror? Jo, zero nuk është një numër natyror.
Sa numra natyrorë ka? Ekziston një numër i pafund numrash natyrorë.
Cili është numri natyror më i vogël? Njëri është numri natyror më i vogël.
Cili është numri natyror më i madh? Është e pamundur të specifikohet, sepse ka një numër të pafund numrash natyrorë.

Shuma e numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, duke mbledhur numrat natyrorë a dhe b:

Prodhimi i numrave natyrorë është një numër natyror. Pra, prodhimi i numrave natyrorë a dhe b:

c është gjithmonë një numër natyror.

Diferenca e numrave natyrorë Nuk ka gjithmonë një numër natyror. Nëse minuend është më i madh se nëntrupi, atëherë ndryshimi i numrave natyrorë është një numër natyror, përndryshe nuk është.

Herësi i numrave natyrorë nuk është gjithmonë numër natyror. Nëse për numrat natyrorë a dhe b

ku c është një numër natyror, kjo do të thotë se a është i pjesëtueshëm me b. Në këtë shembull, a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi.

Pjesëtuesi i një numri natyror është një numër natyror me të cilin numri i parë pjesëtohet me një të tërë.

Çdo numër natyror është i pjesëtueshëm me një dhe me vetveten.

Numrat natyrorë të thjeshtë pjesëtohen vetëm me një dhe me veten e tyre. Këtu nënkuptojmë të ndarë tërësisht. Shembull, numrat 2; 3; 5; 7 është i pjesëtueshëm vetëm me një dhe me vetveten. Këta janë numra të thjeshtë natyrorë.

Njëri nuk konsiderohet numër i thjeshtë.

Numrat që janë më të mëdhenj se një dhe që nuk janë të thjeshtë quhen numra të përbërë. Shembuj të numrave të përbërë:

Njëri nuk konsiderohet numër i përbërë.

Bashkësia e numrave natyrorë përbëhet nga një, numrat e thjeshtë dhe numrat e përbërë.

Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjën latine N.

Vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë:

vetia komutative e mbledhjes

veti asociative e shtimit

(a + b) + c = a + (b + c);

veti komutative e shumëzimit

Vetia asociative e shumëzimit

(ab)c = a(bc);

veti shpërndarëse e shumëzimit

A (b + c) = ab + ac;

Numrat e plotë

Numrat e plotë janë numrat natyrorë, zero dhe të kundërtat e numrave natyrorë.

E kundërta e numrave natyrorë janë numrat e plotë negativë, për shembull:

1; -2; -3; -4;...

Bashkësia e numrave të plotë shënohet me shkronjën latine Z.

Numrat racionalë

Numrat racional janë numra të plotë dhe thyesa.

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë periodike. Shembuj:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Nga shembujt është e qartë se çdo numër i plotë është një thyesë periodike me periudhë zero.

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le të imagjinojmë numrin 3, (6) nga shembulli i mëparshëm si një fraksion i tillë.

Në këtë artikull ne do të fillojmë të eksplorojmë numrat racionalë. Këtu do të japim përkufizime të numrave racionalë, do të japim shpjegimet e nevojshme dhe do të japim shembuj të numrave racionalë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi se si të përcaktojmë nëse një numër i caktuar është racional apo jo.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të numrave racionalë

Në këtë pjesë do të japim disa përkufizime të numrave racionalë. Pavarësisht dallimeve në formulim, të gjitha këto përkufizime kanë të njëjtin kuptim: numrat racional bashkojnë numrat e plotë dhe thyesat, ashtu si numrat e plotë bashkojnë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre dhe numrin zero. Me fjalë të tjera, numrat racional përgjithësojnë numrat e plotë dhe thyesorë.

Le të fillojmë me përkufizimet e numrave racionalë, e cila perceptohet më natyrshëm.

Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një numër racional është:

• Çdo numër natyror n. Në të vërtetë, çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme, për shembull, 3=3/1.
• Çdo numër i plotë, në veçanti numri zero. Në fakt, çdo numër i plotë mund të shkruhet ose si një fraksion pozitiv, një fraksion negativ ose si zero. Për shembull, 26=26/1, .
• Çdo thyesë e zakonshme (pozitive ose negative). Kjo konfirmohet drejtpërdrejt nga përkufizimi i dhënë i numrave racionalë.
• Çdo numër i përzier. Në të vërtetë, ju gjithmonë mund të paraqisni një numër të përzier si një thyesë jo të duhur. Për shembull, dhe.
• Çdo thyesë dhjetore e fundme ose thyesë periodike e pafundme. Kjo për faktin se thyesat dhjetore të treguara shndërrohen në thyesa të zakonshme. Për shembull, dhe 0,(3)=1/3.

Është gjithashtu e qartë se çdo thyesë dhjetore e pafundme jo periodike NUK është një numër racional, pasi nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.

Tani mund të japim lehtësisht shembuj të numrave racionalë. Numrat 4, 903, 100,321 janë numra racional sepse janë numra natyrorë. Numrat e plotë 58, −72, 0, −833,333,333 janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Thyesat e zakonshme 4/9, 99/3 janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Numrat racional janë gjithashtu numra.

Nga shembujt e mësipërm është e qartë se ekzistojnë numra racionalë pozitivë dhe negativë, dhe numri racional zero nuk është as pozitiv as negativ.

Përkufizimi i mësipërm i numrave racionalë mund të formulohet në një formë më koncize.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si thyesë z/n, ku z është një numër i plotë dhe n është një numër natyror.

Le të vërtetojmë se ky përkufizim i numrave racional është i barabartë me përkufizimin e mëparshëm. Dimë që drejtëzën e thyesës mund ta konsiderojmë si shenjë pjesëtimi, pastaj nga vetitë e pjesëtimit të numrave të plotë dhe rregullat për pjesëtimin e numrave të plotë rrjedh vlefshmëria e barazive të mëposhtme dhe. Kështu, kjo është prova.

Le të japim shembuj të numrave racional bazuar në këtë përkufizim. Numrat −5, 0, 3 dhe janë numra racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesa me një numërues të plotë dhe një emërues natyror të formës dhe, përkatësisht.

Përkufizimi i numrave racionalë mund të jepet në formulimin e mëposhtëm.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si thyesë dhjetore periodike të fundme ose të pafundme.

Ky përkufizim është gjithashtu ekuivalent me përkufizimin e parë, pasi çdo thyesë e zakonshme korrespondon me një thyesë dhjetore të fundme ose periodike dhe anasjelltas, dhe çdo numër i plotë mund të shoqërohet me një thyesë dhjetore me zero pas presjes dhjetore.

Për shembull, numrat 5, 0, −13, janë shembuj të numrave racionalë sepse mund të shkruhen si thyesat dhjetore të mëposhtme 5.0, 0.0, -13.0, 0.8 dhe −7, (18).

Le ta përfundojmë teorinë e kësaj pike me pohimet e mëposhtme:

• numrat e plotë dhe thyesat (pozitive dhe negative) përbëjnë bashkësinë e numrave racionalë;
• çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë me numërues të plotë dhe emërues natyror, dhe çdo thyesë e tillë paraqet një numër të caktuar racional;
• çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme, dhe çdo thyesë e tillë përfaqëson një numër racional.

A është racional ky numër?

Në paragrafin e mëparshëm, zbuluam se çdo numër natyror, çdo numër i plotë, çdo thyesë e zakonshme, çdo numër i përzier, çdo thyesë dhjetore e fundme, si dhe çdo thyesë dhjetore periodike është një numër racional. Kjo njohuri na lejon të "njohim" numrat racional nga një grup numrash të shkruar.

Por çka nëse numri jepet në formën e disa , ose si , etj., si t'i përgjigjemi pyetjes nëse ky numër është racional? Në shumë raste është shumë e vështirë të përgjigjesh. Le të tregojmë disa drejtime të mendimit.

Nëse një numër jepet si shprehje numerike që përmban vetëm numra racionalë dhe shenja aritmetike (+, −, · dhe:), atëherë vlera e kësaj shprehjeje është një numër racional. Kjo rrjedh nga mënyra se si përcaktohen veprimet me numra racionalë. Për shembull, pasi të kemi kryer të gjitha veprimet në shprehje, marrim numrin racional 18.

Ndonjëherë, pasi të thjeshtohen shprehjet dhe t'i bëjnë ato më komplekse, bëhet e mundur të përcaktohet nëse një numër i caktuar është racional.

Le të shkojmë më tej. Numri 2 është një numër racional, pasi çdo numër natyror është racional. Po numri? A është racionale? Rezulton se jo, nuk është një numër racional, është një numër irracional (vërtetimi i këtij fakti me kontradiktë është dhënë në tekstin shkollor të algjebrës për klasën 8, të renditur më poshtë në listën e referencave). Është vërtetuar gjithashtu se rrënja katrore e një numri natyror është numër racional vetëm në ato raste kur nën rrënjë ka një numër që është katrori i përsosur i ndonjë numri natyror. Për shembull, dhe janë numra racionalë, pasi 81 = 9 2 dhe 1 024 = 32 2, dhe numrat dhe nuk janë racionalë, pasi numrat 7 dhe 199 nuk janë katrorë të përsosur të numrave natyrorë.

A është numri racional apo jo? Në këtë rast, është e lehtë të vërehet se, prandaj, ky numër është racional. A është numri racional? Është vërtetuar se rrënja k e një numri të plotë është një numër racional vetëm nëse numri nën shenjën e rrënjës është fuqia k e një numri të plotë. Prandaj, nuk është një numër racional, pasi nuk ka asnjë numër të plotë, fuqia e pestë e të cilit është 121.

Metoda me kontradiktë lejon që të vërtetohet se logaritmet e disa numrave nuk janë numra racionalë për ndonjë arsye. Për shembull, le të vërtetojmë se - nuk është një numër racional.

Le të supozojmë të kundërtën, pra, le të themi se është një numër racional dhe mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme m/n. Pastaj japim barazitë e mëposhtme: . Barazia e fundit është e pamundur, pasi në anën e majtë është numër i rastësishëm 5 n, dhe në anën e djathtë është numri çift 2 m. Prandaj, supozimi ynë është i pasaktë, pra jo një numër racional.

Si përfundim, vlen të përmendet veçanërisht se kur përcaktohet racionaliteti ose irracionaliteti i numrave, duhet të përmbahen nga nxjerrja e përfundimeve të papritura.

Për shembull, nuk duhet të pohoni menjëherë se prodhimi i numrave irracional π dhe e është një numër irracional, ky është "në dukje i qartë", por jo i provuar. Kjo ngre pyetjen: "Pse një produkt do të ishte një numër racional?" Dhe pse jo, sepse mund të jepni një shembull të numrave irracionalë, prodhimi i të cilëve jep një numër racional: .

Gjithashtu nuk dihet nëse numrat dhe shumë numra të tjerë janë racionalë apo jo. Për shembull, ka numra irracionalë, fuqia iracionale e të cilëve është një numër racional. Për ilustrim, ne paraqesim një shkallë të formës, baza e kësaj shkalle dhe eksponenti nuk janë numra racionalë, por , dhe 3 është një numër racional.

Bibliografi.

• Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Një grup numrash racionalë

Bashkësia e numrave racionalë shënohet dhe mund të shkruhet si më poshtë:

Rezulton se shënime të ndryshme mund të përfaqësojnë të njëjtën thyesë, për shembull, dhe , (të gjitha thyesat që mund të merren nga njëra-tjetra duke shumëzuar ose pjesëtuar me të njëjtin numër natyror përfaqësojnë të njëjtin numër racional). Meqenëse duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e një thyese me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët, mund të marrim një paraqitje të vetme të pakësueshme të një numri racional, mund të flasim për bashkësinë e tyre si bashkësi. e pareduktueshme thyesat me numërues të plotë reciprokisht të thjeshtë dhe emërues natyror:

Këtu është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave dhe .

Bashkësia e numrave racionalë është një përgjithësim natyror i grupit të numrave të plotë. Është e lehtë të shihet se nëse një numër racional ka një emërues, atëherë ai është një numër i plotë. Bashkësia e numrave racionalë është e vendosur kudo dendur në boshtin e numrave: midis çdo dy numrash të ndryshëm racional ka të paktën një numër racional (dhe për rrjedhojë një grup i pafund numrash racionalë). Sidoqoftë, rezulton se grupi i numrave racionalë ka kardinalitet të numërueshëm (d.m.th., të gjithë elementët e tij mund të rinumërohen). Le të theksojmë, meqë ra fjala, se grekët e lashtë ishin të bindur për ekzistencën e numrave që nuk mund të përfaqësohen si thyesë (për shembull, ata vërtetuan se nuk ka asnjë numër racional katrori i të cilit është 2).

Terminologjia

Përkufizimi formal

Formalisht, numrat racionalë përkufizohen si bashkësia e klasave të ekuivalencës së çifteve në lidhje me relacionin ekuivalencës if. Në këtë rast, veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit përcaktohen si më poshtë:

Përkufizime të ngjashme

Thyesat e duhura, të pahijshme dhe të përziera

E sakte Një thyesë numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj quhet thyesë. Thyesat e duhura paraqesin numra racionalë më pak se një. Një thyesë që nuk është e duhur quhet gabim dhe paraqet një numër racional më të madh ose të barabartë me një në modul.

Një thyesë e papërshtatshme mund të përfaqësohet si shuma e një numri të plotë dhe një thyese të duhur, e quajtur fraksion i përzier . Për shembull, . Një shënim i ngjashëm (me shenjën e mbledhjes mungon), megjithëse përdoret në aritmetikën elementare, shmanget në literaturën e rreptë matematikore për shkak të ngjashmërisë së shënimit për një fraksion të përzier me shënimin për prodhimin e një numri të plotë dhe një thyese.

Lartësia e gjuajtjes

Lartësia e një goditjeje të zakonshme është shuma e modulit të numëruesit dhe emëruesit të kësaj thyese. Lartësia e një numri racional është shuma e modulit të numëruesit dhe emëruesit të thyesës së zakonshme të pareduktueshme që i përgjigjet këtij numri.

Për shembull, lartësia e një thyese është . Lartësia e numrit racional përkatës është e barabartë me , meqë thyesa mund të reduktohet me .

Një koment

Afati fraksion (fraksion) Ndonjehere [ specifikoni] përdoret si sinonim për termin numër racional, dhe nganjëherë një sinonim për çdo numër jo të plotë. Në rastin e fundit, numrat thyesorë dhe racionalë janë gjëra të ndryshme, pasi atëherë numrat racionalë jo të plotë janë vetëm një rast i veçantë i numrave thyesorë.

Vetitë

Vetitë themelore

Bashkësia e numrave racionalë plotëson gjashtëmbëdhjetë veti themelore, të cilat mund të nxirren lehtësisht nga vetitë e numrave të plotë.

1. Rregullsia. Për çdo numër racional, ekziston një rregull që ju lejon të identifikoni në mënyrë unike një dhe vetëm një nga tre marrëdhëniet midis tyre: "", "" ose "". Ky rregull quhet rregulli i renditjes dhe është formuluar si më poshtë: dy numra pozitivë dhe janë të lidhur me të njëjtën lidhje si dy numra të plotë dhe ; dy numra jo pozitivë dhe janë të lidhur me të njëjtin relacion si dy numra jonegativë dhe ; nëse papritmas nuk është negative, por - negative, atëherë .

   

   Shtimi i thyesave

2. Operacioni i shtimit. rregulli i përmbledhjes shuma numrat dhe dhe shënohet me , dhe quhet procesi i gjetjes së një numri të tillë përmbledhje. Rregulli i mbledhjes ka këtë formë: .
3. Operacioni i shumëzimit. Për çdo numër racional ekziston një i ashtuquajtur rregulli i shumëzimit, që i vendos ato në korrespondencë me një numër racional. Në këtë rast, thirret vetë numri puna numrat dhe dhe shënohet me , dhe quhet edhe procesi i gjetjes së një numri të tillë shumëzimi. Rregulli i shumëzimit ka këtë formë: .
4. Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo treshe të numrave racionalë, dhe nëse më pak e më pak, atëherë më pak, dhe nëse është i barabartë dhe i barabartë, atëherë i barabartë.
5. Komutativiteti i mbledhjes. Ndryshimi i vendeve të termave racionalë nuk e ndryshon shumën.
6. Asociativiteti i shtimit. Rendi në të cilin shtohen tre numra racional nuk ndikon në rezultatin.
7. Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0 që ruan çdo numër tjetër racional kur shtohet.
8. Prania e numrave të kundërt.Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, i cili kur i shtohet jep 0.
9. Komutativiteti i shumëzimit. Ndryshimi i vendeve të faktorëve racional nuk e ndryshon produktin.
10. Asociativiteti i shumëzimit. Rendi në të cilin shumëzohen tre numra racional nuk ndikon në rezultatin.
11. Disponueshmëria e njësisë. Ekziston një numër racional 1 që ruan çdo numër tjetër racional kur shumëzohet.
12. Prania e numrave reciprokë.Çdo numër racional jozero ka një numër racional të anasjelltë, i cili kur shumëzohet me jep 1.
13. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit koordinohet me veprimin e mbledhjes përmes ligjit të shpërndarjes:
14. Lidhja e relacionit të rendit me veprimin e mbledhjes. I njëjti numër racional mund t'i shtohet anës së majtë dhe të djathtë të një pabarazie racionale.
15. Lidhja ndërmjet relacionit të rendit dhe operacionit të shumëzimit. Ana e majtë dhe e djathtë e një pabarazie racionale mund të shumëzohen me të njëjtin numër racional pozitiv.
16. Aksioma e Arkimedit. Cilido qoftë numri racional, ju mund të merrni aq shumë njësi sa që shuma e tyre të kalojë.

Vetitë shtesë

Të gjitha vetitë e tjera të qenësishme në numrat racional nuk dallohen si themelore, sepse, në përgjithësi, ato nuk bazohen më drejtpërdrejt në vetitë e numrave të plotë, por mund të vërtetohen në bazë të vetive themelore të dhëna ose drejtpërdrejt me përcaktimin e ndonjë objekti matematikor. . Ka shumë prona të tilla shtesë. Ka kuptim të rendisim vetëm disa prej tyre këtu.

Numërueshmëria e një grupi

Për të vlerësuar numrin e numrave racionalë, duhet të gjeni kardinalitetin e grupit të tyre. Është e lehtë të vërtetohet se bashkësia e numrave racionalë është e numërueshme. Për ta bërë këtë, mjafton të jepet një algoritëm që numëron numrat racional, d.m.th., vendos një bijeksion midis grupeve të numrave racional dhe natyror. Një shembull i një ndërtimi të tillë është algoritmi i thjeshtë i mëposhtëm. Përpilohet një tabelë e pafund thyesash të zakonshme, në secilën rresht në secilën kolonë të së cilës ndodhet një fraksion. Për saktësi, supozohet se rreshtat dhe kolonat e kësaj tabele janë të numëruara duke filluar nga një. Qelizat e tabelës janë caktuar , ku është numri i rreshtit të tabelës në të cilin ndodhet qeliza dhe është numri i kolonës.

Tabela që rezulton përshkohet duke përdorur një "gjarpër" sipas algoritmit formal të mëposhtëm.

Këto rregulla kërkohen nga lart poshtë dhe pozicioni tjetër zgjidhet në bazë të ndeshjes së parë.

Në procesin e një kalimi të tillë, çdo numër i ri racional shoqërohet me një numër tjetër natyror. Kjo do të thotë, thyesave u caktohet numri 1, thyesave u caktohet numri 2, etj. Duhet të theksohet se numërohen vetëm thyesat e pakalueshme. Një shenjë formale e pakësueshmërisë është se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të thyesës është i barabartë me një.

Duke ndjekur këtë algoritëm, ne mund të numërojmë të gjithë numrat racionalë pozitivë. Kjo do të thotë se grupi i numrave racionalë pozitivë është i numërueshëm. Është e lehtë të vendosësh një bijeksion midis grupeve të numrave racionalë pozitivë dhe negativë, thjesht duke i caktuar çdo numri racional të kundërtën e tij. Se. bashkësia e numrave racionalë negativë është gjithashtu e numërueshme. Bashkimi i tyre është gjithashtu i numërueshëm nga vetia e bashkësive të numërueshme. Bashkësia e numrave racionalë është gjithashtu e numërueshme si bashkim i një bashkësie të numërueshme me një të fundme.

Sigurisht, ka mënyra të tjera për të numëruar numrat racionalë. Për shembull, për këtë mund të përdorni struktura të tilla si pema Kalkin-Wilf, pema Stern-Broko ose seria Farey.

Deklarata për numërueshmërinë e grupit të numrave racionalë mund të shkaktojë njëfarë konfuzioni, pasi në shikim të parë duket se është shumë më i gjerë se grupi i numrave natyrorë. Në fakt, kjo nuk është kështu dhe ka mjaft numra natyrorë për të numëruar të gjithë ata racionalë.

Mungesa e numrave racionalë

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

• I. Kushnir. Manual i matematikës për nxënësit e shkollës. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 f.
• P. S. Alexandrov. Hyrje në teorinë e grupeve dhe topologjinë e përgjithshme. - M.: kapitulli. ed. fizikës dhe matematikës ndezur. ed. "Shkenca", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Hyrje në teorinë e sistemeve algjebrike