Reciproke e numrit 1. Reciproke e numrit

Numrat reciprokë - ose reciprokë reciprok - janë një çift numrash që, kur shumëzohen, japin 1. Në formën më të përgjithshme, reciprokët janë numra. Një rast i veçantë karakteristik i numrave reciprokë është një çift. Të kundërt janë, le të themi, numra; .

Si të gjeni reciprocitetin e një numri

Rregulli: ju duhet të ndani 1 (një) me një numër të caktuar.

Shembulli nr. 1.

Është dhënë numri 8. Inversi i tij është 1:8 ose (opsioni i dytë është i preferueshëm, sepse ky shënim është matematikisht më i saktë).

Kur kërkoni numrin reciprok për një thyesë të përbashkët, pjesëtimi i tij me 1 nuk është shumë i përshtatshëm, sepse regjistrimi është i rëndë. Në këtë rast, është shumë më e lehtë të bësh gjërat ndryshe: thyesa thjesht kthehet, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Nëse jepet një thyesë e duhur, atëherë pas kthimit të saj, thyesa që rezulton është e papërshtatshme, d.m.th. ai nga i cili mund të izolohet një pjesë e tërë. Nëse do të bëhet kjo apo jo, duhet të vendoset rast pas rasti. Pra, nëse më pas duhet të kryeni disa veprime me fraksionin e përmbysur që rezulton (për shembull, shumëzimi ose pjesëtimi), atëherë nuk duhet të zgjidhni të gjithë pjesën. Nëse fraksioni që rezulton është rezultati përfundimtar, atëherë ndoshta izolimi i të gjithë pjesës është i dëshirueshëm.

Shembulli nr. 2.

Jepet një thyesë. E kundërta me të: .

Nëse keni nevojë të gjeni reciprokun e një thyese dhjetore, duhet të përdorni rregullin e parë (pjestimi i 1 me numrin). Në këtë situatë, ju mund të veproni në një nga 2 mënyrat. E para është thjesht të ndajmë 1 me atë numër në një kolonë. E dyta është të formoni një thyesë nga 1 në numërues dhe një dhjetore në emërues, dhe më pas të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 10, 100 ose një numër tjetër që përbëhet nga një 1 dhe aq zero sa të jetë e nevojshme për të hequr qafe pikë dhjetore në emërues. Rezultati do të jetë një fraksion i zakonshëm, i cili është rezultati. Nëse është e nevojshme, mund t'ju duhet ta shkurtoni atë, të zgjidhni një pjesë të tërë prej saj ose ta ktheni në formë dhjetore.

Shembulli nr. 3.

Numri i dhënë është 0.82. Numri i ndërsjellë është: . Tani zvogëlojmë thyesën dhe zgjedhim të gjithë pjesën: .

Si të kontrolloni nëse dy numra janë reciprokë

Parimi i verifikimit bazohet në përcaktimin e numrave reciprokë. Kjo do të thotë, për t'u siguruar që numrat janë reciprokë me njëri-tjetrin, duhet t'i shumëzoni ato. Nëse rezultati është një, atëherë numrat janë reciprokisht të kundërt.

Shembulli nr. 4.

Jepen numrat 0,125 dhe 8. A janë të dyanshëm?

Ekzaminimi. Është e nevojshme të gjendet prodhimi i 0,125 dhe 8. Për qartësi, le t'i paraqesim këta numra në formën e thyesave të zakonshme: (zvogëloni thyesën e parë me 125). Përfundim: numrat 0.125 dhe 8 janë reciprokë.

Vetitë e numrave reciprokë

Prona nr 1

Ekziston një reciproke për çdo numër përveç 0.

Ky kufizim është për faktin se nuk mund të pjesëtoni me 0, dhe kur përcaktoni numrin reciprok për zero, ai do të duhet të zhvendoset në emërues, d.m.th. në fakt ndajeni me të.

Pasuria nr 2

Shuma e një çifti numrash reciprokë është gjithmonë jo më pak se 2.

Matematikisht, kjo veti mund të shprehet me pabarazinë: .

Pasuria nr.3

Shumëzimi i një numri me dy numra reciprokë është i barabartë me shumëzimin me një. Le ta shprehim këtë veti matematikisht: .

Shembulli nr. 5.

Gjeni vlerën e shprehjes: 3.4·0.125·8. Meqenëse numrat 0.125 dhe 8 janë reciprokë (shih shembullin nr. 4), nuk ka nevojë të shumëzohet 3.4 me 0.125 dhe më pas me 8. Pra, përgjigja këtu do të jetë 3.4.

Një çift numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me një quhet reciprokisht anasjelltas.

Shembuj: 5 dhe 1/5, −6/7 dhe −7/6, dhe

Për çdo numër a jo i barabartë me zero, ka një invers 1/a.

Reciproku i zeros është pafundësia.

Thyesat e kundërta- këto janë dy thyesa prodhimi i të cilave është i barabartë me 1. Për shembull, 3/7 dhe 7/3; 5/8 dhe 8/5, etj.

Shihni gjithashtu

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Numri i kundërt" në fjalorë të tjerë: Një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Këto janë, për shembull, 5 dhe 1/5, 2/3 dhe 3/2, etj.

Fjalori i madh enciklopedik numër reciprok - - [A.S. Goldberg. Fjalori anglisht-rusisht i energjisë. 2006] Temat e energjisë në përgjithësi EN numri i anasjelltë numri reciprok ...

Udhëzues teknik i përkthyesit Një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Këto janë, për shembull, 5 dhe 1/5, 2/3 dhe 3/2, etj. * * * NUMRI I KTHYSHËM NUMRI I KTHYSHËM, një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me ... ...

Fjalor Enciklopedik Një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Këto janë, për shembull, 5 dhe a, jo e barabartë me zero, ka një invers...

Enciklopedia e Madhe Sovjetike Një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me një. Quhen dy numra të tillë. reciprokisht anasjelltas. Këto janë, për shembull, 5 dhe 1/5. 2/3 dhe 3/2 etj...

Ky term ka kuptime të tjera, shih Numri (kuptimet). Numri është një koncept bazë në matematikë, i përdorur për të përcaktuar sasinë, krahasuar dhe numëruar objekte. Duke u lindur në shoqërinë primitive nga nevojat... ... Wikipedia

Shihni gjithashtu: Numri (gjuhësia) Numri është një abstraksion që përdoret për të karakterizuar në mënyrë sasiore objektet. Duke u lindur në shoqërinë primitive nga nevojat e numërimit, koncepti i numrit ndryshoi, u pasurua dhe u shndërrua në matematikën më të rëndësishme... Wikipedia

Rrotullimi i kundërt i ujit gjatë kullimit është një mit pseudo-shkencor i bazuar në aplikimin e gabuar të efektit Coriolis në lëvizjen e ujit në një vorbull që ndodh kur ai derdhet në vrimën e kullimit të një lavamani ose vaske. Thelbi i mitit është se uji... ... Wikipedia

NUMËR IRRACIONAL Një numër që nuk mund të shprehet si thyesë. Shembujt përfshijnë numrin T2 dhe p. Prandaj, numrat irracionalë janë numra me një numër të pafund të numrave dhjetorë (jo periodikë). (Megjithatë, e kundërta nuk është e vërtetë... ... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Transformimi Laplace është një transformim integral që lidh një funksion të një ndryshoreje komplekse (imazh) me një funksion të një ndryshoreje reale (origjinale). Me ndihmën e tij studiohen vetitë e sistemeve dinamike dhe zgjidhen diferenciale dhe ... Wikipedia

librat

Klubi i Grave të Gëzuara, Weaver Von. 27 gra nga vende të ndryshme të botës, të panjohura me njëra-tjetrën, me fate të ndryshme. Ata nuk kanë asgjë të përbashkët, përveç një gjëje - ata janë jashtëzakonisht të lumtur në martesë për më shumë se 25 vjet, sepse e dinë Sekretin... Kur...

Materiali nga Wikipedia - enciklopedia e lirë

Numri i kundërt(vlerë reciproke, vlerë reciproke) ndaj një numri të caktuar xështë një numër shumëzimi i të cilit me x, jep një. Hyrja e pranuar: $\frac(1)x$ ose $x^(-1)$ . Quhen dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me një reciprokisht anasjelltas. Reciproku i një numri nuk duhet të ngatërrohet me reciprocitetin e një funksioni. Për shembull, $\frac(1)(\cos(x))$ ndryshon nga vlera e funksionit invers në kosinus - hark kosinus, i cili shënohet $\cos^(-1)x$ ose $\arccos x$ .

Kthehet në numrin real

Format komplekse të numrave	Numri $(z)$	E kundërta $\ majtas (\frac(1)(z) \djathtas)$
algjebrike	$x+iy$	$\frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrike	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$\frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$
Indikative	$re^(i\varphi)$	$\frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Dëshmi:
Për format algjebrike dhe trigonometrike, ne përdorim vetinë bazë të një thyese, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugimin kompleks:

Forma algjebrike:

$\frac(1)(z)= \frac(1)(x+iy)= \frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))= \frac(x-iy)(x^ 2+y^2)= \frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$

Forma trigonometrike:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(r(\cos\varphi+i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\ varphi)((\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\varphi )(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi) = \frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$

Forma demonstruese:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(re^(i \varphi)) = \frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Kështu, kur gjeni inversin e një numri kompleks, është më i përshtatshëm të përdorni formën e tij eksponenciale.

Shembull:

Format komplekse të numrave	Numri $(z)$	E kundërta $\ majtas (\frac(1)(z) \djathtas)$
algjebrike	$1+i\sqrt(3)$	$\frac(1)(4)- \frac(\sqrt(3))(4)i$
Trigonometrike	$2 \majtas (\cos\frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) \djathtas)$ ose $2 \majtas (\frac(1)(2)+i\frac(\sqrt(3))(2) \djathtas)$	$\frac(1)(2) \majtas (\cos\frac(\pi)(3)-i\sin\frac(\pi)(3) \djathtas)$ ose $\frac(1)(2) \majtas (\frac(1)(2)-i\frac(\sqrt(3))(2) \djathtas)$
Indikative	$2 e^(i \frac(\pi)(3))$	$\frac(1)(2) e^(-i \frac(\pi)(3))$

Njësia e kundërt me njësinë imagjinare

$\frac(1)(i)=\frac(1 \cdot i)(i \cdot i)=\frac(i)(i^2)=\frac(i)(-1)=-i$

Kështu, marrim

$\frac(1)(i)=-i$ __ ose__ $i^(-1)=-i$

Po kështu për $-i$ : __ $- \frac(1)(i)=i$ __ ose __ $-i^(-1)=i$

Shkruani një koment për artikullin "Numri i kundërt"

Shënime

Shihni gjithashtu

Fragment që karakterizon numrin e kundërt

Kështu thonë historitë dhe e gjithë kjo është krejtësisht e padrejtë, pasi kushdo që dëshiron të thellohet në thelbin e çështjes mund ta kuptojë lehtësisht.
Rusët nuk mund të gjenin një pozicion më të mirë; por, përkundrazi, në tërheqjen e tyre ata kaluan nëpër shumë pozicione që ishin më të mira se Borodino. Ata nuk u vendosën në asnjë nga këto pozicione: edhe sepse Kutuzov nuk donte të pranonte një pozicion që nuk ishte zgjedhur prej tij, dhe sepse kërkesa për një betejë popullore nuk ishte shprehur ende mjaftueshëm fort, dhe sepse Miloradovich nuk ishte afruar ende. me milicinë dhe gjithashtu për arsye të tjera që janë të panumërta. Fakti është se pozicionet e mëparshme ishin më të forta dhe se pozicioni Borodino (ai në të cilin u zhvillua beteja) jo vetëm që nuk është i fortë, por për disa arsye nuk është aspak një pozicion më shumë se çdo vend tjetër në Perandorinë Ruse. , të cilin, nëse po pyesni veten, mund ta tregoni me një kunj në hartë.
Rusët jo vetëm që nuk e forcuan pozicionin e fushës Borodino në të majtë në kënde të drejta me rrugën (domethënë vendin ku u zhvillua beteja), por asnjëherë para 25 gushtit 1812 nuk menduan se beteja mund të merrte. vend në këtë vend. Këtë e dëshmon, së pari, fakti se në këtë vend jo vetëm që nuk kishte asnjë fortifikim më datë 25, por që, duke filluar në datën 25, nuk mbaruan as më 26; së dyti, prova është pozicioni i redoubtit Shevardinsky: redoubti Shevardinsky, përpara pozicionit në të cilin u vendos beteja, nuk ka kuptim. Pse ky redoubt u fortifikua më i fortë se të gjitha pikat e tjera? Dhe pse, duke e mbrojtur atë në datën 24 deri në orët e vona të natës, u shteruan të gjitha përpjekjet dhe humbën gjashtë mijë njerëz? Për të vëzhguar armikun, mjaftonte një patrullë kozake. Së treti, prova se pozicioni në të cilin u zhvillua beteja nuk ishte parashikuar dhe se redoubt Shevardinsky nuk ishte pika e parë e këtij pozicioni është fakti që Barclay de Tolly dhe Bagration deri më 25 ishin të bindur se redoubt Shevardinsky ishte krahu i majtë. i pozicionit dhe se vetë Kutuzov, në raportin e tij, të shkruar në vapën e çastit pas betejës, e quan redoubtin Shevardinsky në krahun e majtë të pozicionit. Shumë më vonë, kur raportet për Betejën e Borodinos po shkruheshin hapur, ishte (ndoshta për të justifikuar gabimet e komandantit të përgjithshëm, i cili duhej të ishte i pagabueshëm) që u shpik një dëshmi e padrejtë dhe e çuditshme që Shevardinsky dyshonte. shërbeu si një shtyllë përpara (ndërsa ishte vetëm një pikë e fortifikuar e krahut të majtë) dhe sikur Beteja e Borodinos u pranua nga ne në një pozicion të fortifikuar dhe të paracaktuar, ndërsa u zhvillua në një vend krejtësisht të papritur dhe pothuajse të pafortifikuar. .
Gjëja, padyshim, ishte kështu: pozicioni u zgjodh përgjatë lumit Kolocha, i cili kalon rrugën kryesore jo në kënd të drejtë, por në një kënd të mprehtë, kështu që krahu i majtë ishte në Shevardin, djathtas afër fshatit. Novy dhe qendra në Borodino, në bashkimin e lumenjve Kolocha dhe Vo yn. Ky pozicion, nën mbulesën e lumit Kolocha, për një ushtri, qëllimi i së cilës është të ndalojë armikun që lëviz përgjatë rrugës Smolensk për në Moskë, është i dukshëm për këdo që shikon fushën e Borodino, duke harruar se si u zhvillua beteja.
Napoleoni, pasi shkoi në Valuev më 24, nuk pa (siç thonë në tregime) pozicionin e rusëve nga Utitsa në Borodin (ai nuk mund ta shihte këtë pozicion, sepse nuk ekzistonte) dhe nuk e pa sulmuesin posti i ushtrisë ruse, por u përplas me praparojën ruse në ndjekje në krahun e majtë të pozicionit rus, në redoubtin e Shevardinsky dhe, papritur për rusët, transferoi trupa përmes Kolocha. Dhe rusët, duke mos pasur kohë për t'u përfshirë në një betejë të përgjithshme, u tërhoqën me krahun e majtë nga pozicioni që synonin të zinin dhe morën një pozicion të ri, i cili nuk ishte parashikuar dhe i pafortifikuar. Pasi u zhvendos në anën e majtë të Kolocha, në të majtë të rrugës, Napoleoni e zhvendosi të gjithë betejën e ardhshme nga e djathta në të majtë (nga pala ruse) dhe e transferoi atë në fushën midis Utitsa, Semenovsky dhe Borodin (në këtë fushë, e cila nuk ka asgjë më të favorshme për pozicionin se çdo fushë tjetër në Rusi), dhe në këtë fushë e gjithë beteja u zhvillua më 26. Në formë të përafërt, plani për betejën e propozuar dhe betejën që u zhvillua do të jetë si më poshtë:

Nëse Napoleoni nuk do të ishte nisur në mbrëmjen e datës 24 për në Kolocha dhe nuk do të kishte urdhëruar një sulm në redoubt menjëherë në mbrëmje, por do të kishte nisur një sulm të nesërmen në mëngjes, atëherë askush nuk do të dyshonte se redoubti Shevardinsky ishte krahu i majtë i pozicionit tonë; dhe beteja do të zhvillohej siç e prisnim. Në këtë rast, ndoshta do të mbronim edhe më me kokëfortësi redoubtin e Shevardinskit, krahun tonë të majtë; Napoleoni do të ishte sulmuar në qendër ose në të djathtë dhe në datën 24 do të zhvillohej një betejë e përgjithshme në pozicionin që ishte i fortifikuar dhe i parashikuar. Por meqenëse sulmi në krahun tonë të majtë u zhvillua në mbrëmje, pas tërheqjes së praparojës sonë, domethënë menjëherë pas betejës së Gridnevës, dhe meqenëse krerët ushtarakë rusë nuk donin ose nuk kishin kohë të fillonin një betejë të përgjithshme. në të njëjtën mbrëmje të datës 24, veprimi i parë dhe kryesor i Borodinsky Beteja u humb më 24 dhe, padyshim, çoi në humbjen e atij që u luftua më 26.
Pas humbjes së redoubtit Shevardinsky, deri në mëngjesin e datës 25 ne u gjendëm pa një pozicion në krahun e majtë dhe u detyruam të përkulnim krahun e majtë dhe ta forconim me nxitim kudo.
Por jo vetëm që trupat ruse qëndruan vetëm nën mbrojtjen e fortifikimeve të dobëta, të papërfunduara më 26 gusht, por disavantazhi i kësaj situate u rrit nga fakti se krerët ushtarakë rusë nuk e njohën faktin plotësisht të kryer (humbja e pozicionit në krahu i majtë dhe transferimi i të gjithë fushës së betejës së ardhshme nga e djathta në të majtë), mbetën në pozicionin e tyre të shtrirë nga fshati Novy në Utitsa dhe, si rezultat, duhej të lëviznin trupat e tyre gjatë betejës nga e djathta në të majtë. Kështu, gjatë gjithë betejës, rusët kishin dy herë më shumë forca të dobëta kundër gjithë ushtrisë franceze të drejtuar në krahun tonë të majtë. (Veprimet e Poniatowskit kundër Utitsa dhe Uvarov në krahun e djathtë francez ishin veprime të ndara nga rrjedha e betejës.)
Pra, Beteja e Borodinos nuk ndodhi fare siç e përshkruajnë ata (përpjekja për të fshehur gabimet e udhëheqësve tanë ushtarakë dhe, si rezultat, zvogëlimi i lavdisë së ushtrisë dhe popullit rus). Beteja e Borodinos nuk u zhvillua në një pozicion të zgjedhur dhe të fortifikuar me forca që ishin disi më të dobëta nga ana e rusëve, por Beteja e Borodinos, për shkak të humbjes së redoubtit Shevardinsky, u pranua nga rusët në mënyrë të hapur. , zonë thuajse e pafortifikuar me forca dy herë më të dobëta kundër francezëve, pra në kushte të tilla në të cilat jo vetëm që ishte e pamendueshme të luftohej për dhjetë orë dhe të bëhej beteja e pavendosur, por ishte e pamendueshme të ruante ushtrinë nga disfata dhe ikja e plotë. për tre orë.

Në mëngjesin e datës 25, Pierre u largua nga Mozhaisk. Në zbritjen nga mali i madh i pjerrët dhe i shtrembër që të çon jashtë qytetit, pranë katedrales që qëndronte në mal në të djathtë, në të cilën po bëhej një shërbim dhe po predikohej ungjilli, Pierre zbriti nga karroca dhe vazhdoi. këmbë. Pas tij, një regjiment kalorësie me këngëtarë përpara zbriste në mal. Drejt tij po ngrihej një tren karrocash me të plagosurit e rastit të djeshëm. Shoferët fshatarë, duke u bërtitur kuajve dhe duke i goditur me kamxhik, vrapuan nga njëra anë në tjetrën. Karrocat, mbi të cilat shtriheshin dhe uleshin tre-katër ushtarë të plagosur, hidheshin mbi gurët e hedhur në formë trotuari në një ngjitje të pjerrët. Të plagosurit, të lidhur me lecka, të zbehtë, me buzë të ngjeshura dhe me vetulla të vrenjtura, të kapur pas shtretërve, u hodhën e shtyheshin në karroca. Të gjithë e shikuan kapelën e bardhë dhe frak jeshile të Pierre me një kuriozitet fëminor gati naiv.

Përmbajtja:

Reciproke janë të nevojshme kur zgjidhen të gjitha llojet e ekuacioneve algjebrike. Për shembull, nëse duhet të pjesëtoni një numër thyesor me një tjetër, ju shumëzoni numrin e parë me reciprocitetin e të dytit. Përveç kësaj, numrat reciprokë përdoren për të gjetur ekuacionin e një drejtëze.

Hapat

1 Gjetja reciproke e një thyese ose e një numri të plotë

1 Gjeni reciproken e një thyese duke e kthyer mbrapsht.“Numri reciprok” përcaktohet shumë thjeshtë. Për ta llogaritur atë, thjesht llogaritni vlerën e shprehjes "1 ÷ (numri origjinal)." Për një numër thyesor, reciproku i një thyese është një numër tjetër thyesor që mund të llogaritet thjesht duke "përmbysur" thyesën (duke ndërruar vendet e numëruesit dhe emëruesit).
- Për shembull, reciproku i thyesës 3/4 është 4 / 3 .
2 Shkruani reciproken e një numri të plotë si thyesë. Dhe në këtë rast, numri reciprok llogaritet si 1 ÷ (numri origjinal). Për një numër të plotë, shkruajeni numrin reciprok si thyesë, nuk ka nevojë të bëni llogaritjet dhe ta shkruani atë si dhjetore.
- Për shembull, reciproku i 2 është 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Gjetja reciproke e një thyese të përzier

1 Çfarë është një "fraksion i përzier"? Një thyesë e përzier është një numër i shkruar si një numër i plotë dhe një thyesë e thjeshtë, për shembull, 2 4 / 5. Gjetja e reciprocit të një fraksioni të përzier kryhet në dy hapa, të përshkruar më poshtë.
2 Shkruaje thyesën e përzier si thyesë jo të duhur. Sigurisht, mbani mend se një njësi mund të shkruhet si (numër)/(i njëjti numër) dhe thyesat me të njëjtin emërues (numri nën rresht) mund t'i shtohen njëra-tjetrës. Ja se si ta bëni atë për thyesën 2 4 / 5:
- 2 4 / 5
- = 1 + 1 + 4 / 5
- = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
- = (5+5+4) / 5
- = 14 / 5 .
3 Kthejeni thyesën. Kur një thyesë e përzier shkruhet si një thyesë e papërshtatshme, ne mund ta gjejmë lehtësisht reciproken thjesht duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin.
- Për shembullin e mësipërm, numri reciprok do të ishte 14/5 - 5 / 14 .

3 Gjetja e reciprokes së një thyese dhjetore

1 Nëse është e mundur, shprehni dhjetorin si thyesë. Duhet të dini se shumë dhjetore mund të shndërrohen lehtësisht në thyesa. Për shembull, 0,5 = 1/2 dhe 0,25 = 1/4. Pasi të keni shkruar një numër si një thyesë e thjeshtë, mund ta gjeni lehtësisht reciprocitetin e tij thjesht duke e kthyer thyesën.
- Për shembull, reciproku i 0.5 është 2/1 = 2.
2 Zgjidheni problemin duke përdorur ndarjen. Nëse nuk mund të shkruani një dhjetore si thyesë, llogaritni reciprokun duke zgjidhur problemin me pjesëtim: 1 ÷ (dhjetore). Mund të përdorni një kalkulator për ta zgjidhur këtë ose të shkoni në hapin tjetër nëse dëshironi të llogaritni vlerën me dorë.
- Për shembull, reciproku i 0.4 llogaritet si 1 ÷ 0.4.
3 Ndrysho shprehjen për të punuar me numra të plotë. Hapi i parë në ndarjen e një dhjetore është lëvizja e pikës dhjetore derisa të gjithë numrat në shprehje të jenë numra të plotë. Për shkak se e zhvendosni numrin dhjetor me të njëjtin numër vendesh si në dividend ashtu edhe në pjesëtues, ju merrni përgjigjen e saktë.
4 Për shembull, ju merrni shprehjen 1 ÷ 0.4 dhe e shkruani si 10 ÷ 4. Në këtë rast, ju e keni zhvendosur numrin dhjetor një vend në të djathtë, që është njësoj si të shumëzoni çdo numër me dhjetë.
5 Zgjidheni problemin duke i ndarë numrat në një kolonë. Duke përdorur pjesëtimin e gjatë mund të llogarisni numrin reciprok. Nëse ndani 10 me 4, duhet të merrni 2.5, që është reciproke e 0.4.

Vlera e një numri reciprok negativ do të jetë e barabartë me numrin reciprok të shumëzuar me -1. Për shembull, reciproku negativ prej 3/4 është - 4/3.
Reciproku i një numri nganjëherë quhet "reciproke" ose "reciproke".
Numri 1 është reciprok i tij sepse 1 ÷ 1 = 1.
Zero nuk ka reciproke sepse shprehja 1 ÷ 0 nuk ka zgjidhje.

Le të japim një përkufizim dhe të japim shembuj të numrave reciprokë. Le të shohim se si të gjejmë inversin e një numri natyror dhe inversin e një thyese të përbashkët. Përveç kësaj, ne shkruajmë dhe vërtetojmë një pabarazi që pasqyron vetinë e shumës së numrave reciprokë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numrat reciprokë. Përkufizimi

Përkufizimi. Numrat reciprokë

Numrat reciprokë janë numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me një.

Nëse a · b = 1, atëherë mund të themi se numri a është inversi i numrit b, ashtu si numri b është inversi i numrit a.

Shembulli më i thjeshtë i numrave reciprokë është dy njësi. Në të vërtetë, 1 · 1 = 1, prandaj a = 1 dhe b = 1 janë numra reciprokisht të kundërt. Një shembull tjetër janë numrat 3 dhe 1 3, - 2 3 dhe - 3 2, 6 13 dhe 13 6, log 3 17 dhe log 17 3. Prodhimi i çdo çifti të numrave të mësipërm është i barabartë me një. Nëse ky kusht nuk plotësohet, si për shembull për numrat 2 dhe 2 3, atëherë numrat nuk janë reciprokisht të anasjelltë.

Përkufizimi i numrave reciprokë është i vlefshëm për çdo numër - natyror, numër i plotë, real dhe kompleks.

Si të gjeni inversin e një numri të caktuar

Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm. Nëse numri origjinal është i barabartë me a, atëherë numri i tij i kundërt do të shkruhet si 1 a, ose a - 1. Në të vërtetë, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Për numrat natyrorë dhe thyesat e zakonshme, gjetja e reciprocit është mjaft e thjeshtë. Dikush madje mund të thotë se është e qartë. Nëse gjeni një numër që është inversi i një numri irracional ose kompleks, do t'ju duhet të bëni një sërë llogaritjesh.

Le të shqyrtojmë rastet më të zakonshme të gjetjes së numrit reciprok në praktikë.

Reciprociteti i një thyese të përbashkët

Natyrisht, reciproku i thyesës së përbashkët a b është thyesa b a. Pra, për të gjetur inversin e një thyese, thjesht duhet ta ktheni thyesën. Kjo do të thotë, ndërroni numëruesin dhe emëruesin.

Sipas këtij rregulli, ju mund të shkruani reciproke të çdo fraksioni të zakonshëm pothuajse menjëherë. Pra, për thyesën 28 57 numri reciprok do të jetë thyesa 57 28, dhe për thyesën 789 256 - numri 256 789.

Reciprociteti i një numri natyror

Ju mund të gjeni inversin e çdo numri natyror në të njëjtën mënyrë si të gjeni inversin e një thyese. Mjafton që numri natyror a të paraqitet në formën e një thyese të zakonshme a 1. Atëherë numri i tij i kundërt do të jetë numri 1 a. Për numrin natyror 3, reciproku i tij është thyesa 1 3, për numrin 666 reciproku është 1,666, e kështu me radhë.

Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet njërit, pasi është i vetmi numër reciproku i të cilit është i barabartë me vetveten.

Nuk ka çifte të tjera numrash reciprokë ku të dy përbërësit janë të barabartë.

Reciprociteti i një numri të përzier

Numri i përzier ka formën a b c. Për të gjetur numrin e tij reciprok, ju duhet të përfaqësoni numrin e përzier si një thyesë jo të duhur dhe më pas të zgjidhni numrin reciprok për thyesën që rezulton.

Për shembull, le të gjejmë numrin reciprok për 7 2 5. Së pari, le të imagjinojmë 7 2 5 si një thyesë jo të duhur: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Për thyesën e papërshtatshme 37 5, reciproku është 5 37.

Reciproke e një dhjetore

Një dhjetore mund të përfaqësohet gjithashtu si një thyesë. Gjetja e reciprokut të një numri dhjetor zbret në paraqitjen e dhjetorit si thyesë dhe gjetjen e reciprocit të tij.

Për shembull, ekziston një fraksion 5, 128. Le të gjejmë numrin e anasjelltë të tij. Së pari, shndërroni thyesën dhjetore në një thyesë të zakonshme: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Për thyesën që rezulton, numri reciprok do të jetë thyesa 125 641.

Le të shohim një shembull tjetër.

Shembull. Gjetja e reciprocit të një dhjetore

Le të gjejmë numrin reciprok për thyesën dhjetore periodike 2, (18).

Shndërrimi i një thyese dhjetore në një thyesë të zakonshme:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Pas përkthimit, ne mund të shkruajmë lehtësisht numrin reciprok për thyesën 24 11. Ky numër padyshim do të jetë 11 24.

Për një thyesë dhjetore të pafundme dhe jo periodike, numri reciprok shkruhet si thyesë me një njësi në numërues dhe vetë thyesa në emërues. Për shembull, për thyesën e pafundme 3, 6025635789. . . numri reciprok do të jetë 1 3, 6025635789. . . .

Në mënyrë të ngjashme, për numrat irracionalë që u korrespondojnë thyesave të pafundme jo periodike, numrat reciprokë shkruhen në formën e shprehjeve thyesore.

Për shembull, reciproku për π + 3 3 80 do të jetë 80 π + 3 3, dhe për numrin 8 + e 2 + e reciproku do të jetë thyesa 1 8 + e 2 + e.

Numrat reciprokë me rrënjë

Nëse lloji i dy numrave është i ndryshëm nga a dhe 1 a, atëherë nuk është gjithmonë e lehtë të përcaktohet nëse numrat janë reciprokë. Kjo është veçanërisht e vërtetë për numrat që kanë një shenjë rrënjë në shënimin e tyre, pasi zakonisht është e zakonshme të heqësh qafe rrënjën në emërues.

Le të kthehemi në praktikë.

Le t'i përgjigjemi pyetjes: a janë numrat 4 - 2 3 dhe 1 + 3 2 reciproke?

Për të zbuluar nëse numrat janë reciprokë, le të llogarisim produktin e tyre.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produkti është i barabartë me një, që do të thotë se numrat janë reciprokë.

Le të shohim një shembull tjetër.

Shembull. Numrat reciprokë me rrënjë

Shkruani reciprocitetin e 5 3 + 1.

Mund të shkruajmë menjëherë se numri reciprok është i barabartë me thyesën 1 5 3 + 1. Sidoqoftë, siç kemi thënë tashmë, është zakon të heqësh qafe rrënjën në emërues. Për ta bërë këtë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 25 3 - 5 3 + 1. Ne marrim:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Numrat reciprokë me fuqi

Le të themi se ka një numër të barabartë me një fuqi të numrit a. Me fjalë të tjera, numri a është ngritur në fuqinë n. Reciproku i numrit a n është numri a - n . Le ta kontrollojmë. Në të vërtetë: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Shembull. Numrat reciprokë me fuqi

Le të gjejmë numrin reciprok për 5 - 3 + 4.

Sipas asaj që u shkrua më lart, numri i kërkuar është 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Numrat reciprokë me logaritme

Për logaritmin e një numri me bazën b, anasjellta është numri i barabartë me logaritmin e b me bazën a.

log a b dhe log b a janë numra reciprokisht të anasjelltë.

Le ta kontrollojmë. Nga vetitë e logaritmit del se log a b = 1 log b a, që do të thotë log a b · log b a.

Shembull. Numrat reciprokë me logaritme

Gjeni reciprokun e log 3 5 - 2 3 .

Reciproku i logaritmit 3 me bazën 3 5 - 2 është logaritmi i 3 5 - 2 me bazën 3.

Anasjellta e një numri kompleks

Siç u përmend më herët, përkufizimi i numrave reciprokë është i vlefshëm jo vetëm për numrat realë, por edhe për ata kompleks.

Numrat kompleksë zakonisht paraqiten në formën algjebrike z = x + i y. Reciproku i numrit të dhënë është një thyesë

1 x + i y . Për lehtësi, mund ta shkurtoni këtë shprehje duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me x - i y.

Shembull. Anasjellta e një numri kompleks

Le të jetë një numër kompleks z = 4 + i. Le të gjejmë të kundërtën e saj.

Reciproku i z = 4 + i do të jetë i barabartë me 1 4 + i.

Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 4 - i dhe merrni:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Përveç formës algjebrike, një numër kompleks mund të përfaqësohet në formë trigonometrike ose eksponenciale si më poshtë:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Prandaj, numri i kundërt do të duket si ky:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Le të sigurohemi për këtë:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Le të shqyrtojmë shembuj me paraqitjen e numrave kompleksë në formë trigonometrike dhe eksponenciale.

Le të gjejmë numrin e anasjelltë për 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Duke marrë parasysh se r = 2 3, φ = π 6, shkruajmë numrin e kundërt

3 2 cos - π 6 + i mëkat - π 6

Shembull. Gjeni inversin e një numri kompleks

Cili numër do të jetë reciproku i 2 · e i · - 2 π 5 .

Përgjigje: 1 2 e i 2 π 5

Shuma e numrave reciprokë. Pabarazia

Ekziston një teoremë për shumën e dy numrave reciprokisht të anasjelltë.

Shuma e numrave reciprokë

Shuma e dy numrave pozitivë dhe reciprokë është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 2.

Le të japim një provë të teoremës. Siç dihet, për çdo numër pozitiv a dhe b, mesatarja aritmetike është më e madhe ose e barabartë me mesataren gjeometrike. Kjo mund të shkruhet si një pabarazi:

a + b 2 ≥ a b

Nëse në vend të numrit b marrim inversin e a, pabarazia do të marrë formën:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Le të japim një shembull praktik që ilustron këtë veti.

Shembull. Gjeni shumën e numrave reciprokë

Le të llogarisim shumën e numrave 2 3 dhe të anasjelltë të tij.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Siç thotë teorema, numri që rezulton është më i madh se dy.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter