Ajo që quhet formula e momentit të forcës. Përdorimi i momentit të inercisë dhe nxitimit këndor

Momenti i forcës rreth boshtitështë momenti i projeksionit të një force mbi një plan pingul me një bosht, në lidhje me pikën e kryqëzimit të boshtit me këtë plan

Një moment rreth një boshti është pozitiv nëse forca tenton të rrotullojë rrafshin pingul me boshtin në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur shikon drejt boshtit.

Momenti i forcës rreth boshtit është 0 në dy raste:

Nëse forca është paralele me boshtin

Nëse forca kalon boshtin

Nëse vija e veprimit dhe boshti shtrihen në të njëjtin rrafsh, atëherë momenti i forcës rreth boshtit është i barabartë me 0.

27. Lidhja ndërmjet momentit të forcës rreth një boshti dhe momentit vektorial të forcës rreth një pike.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMomenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me projeksionin e vektorit të momentit të forcës në lidhje me pikën e boshtit në këtë bosht.

28. Teorema kryesore e statikës për sjelljen e një sistemi forcash në një qendër të caktuar (teorema e Poinsot-it). Vektori kryesor dhe momenti kryesor i sistemit të forcave.

Në rastin e përgjithshëm, çdo sistem hapësinor i forcave mund të zëvendësohet nga një sistem ekuivalent i përbërë nga një forcë e aplikuar në një pikë të trupit (qendra e reduktimit) dhe e barabartë me vektorin kryesor të këtij sistemi forcash, dhe një palë forcash. , momenti i të cilit është i barabartë me momentin kryesor të të gjitha forcave në lidhje me qendrën e zgjedhur të aduksionit.

Vektori kryesor i sistemit të forcës quhet vektor R, e barabartë me shumën vektoriale të këtyre forcave:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Për një sistem të rrafshët të forcave, vektori i tij kryesor qëndron në rrafshin e veprimit të këtyre forcave.

Pika kryesore e sistemit të forcave në raport me qendrën O quhet vektor L O, e barabartë me shumën e momenteve vektoriale të këtyre forcave në lidhje me pikën O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R nuk varet nga zgjedhja e qendrës O, dhe vektorit L Kur pozicioni i qendrës ndryshon, O në përgjithësi mund të ndryshojë.

Teorema e Poinsot-it: Një sistem hapësinor arbitrar i forcave mund të zëvendësohet nga një forcë, vektori kryesor i sistemit të forcës dhe një palë forcash me një moment kryesor pa e shqetësuar gjendjen e trupit të ngurtë. Vektori kryesor është shuma gjeometrike e të gjitha forcave që veprojnë në një trup të ngurtë dhe ndodhet në rrafshin e veprimit të forcave. Vektori kryesor konsiderohet përmes projeksioneve të tij në boshtet koordinative.

Për të sjellë forcat në një qendër të caktuar të aplikuara në një pikë të një trupi të ngurtë, është e nevojshme: 1) transferimi i forcës paralele me vetveten në një qendër të caktuar pa ndryshuar modulin e forcës; 2) në një qendër të caktuar, aplikoni një palë forcash, momenti vektorial i të cilit është i barabartë me momentin vektorial të forcës së transferuar në lidhje me qendrën e re, ky çift quhet çift i bashkangjitur;

Varësia e momentit kryesor nga zgjedhja e qendrës së reduktimit. Momenti kryesor rreth qendrës së re të reduktimit është i barabartë me shumën gjeometrike të momentit kryesor rreth qendrës së vjetër të reduktimit dhe produktit vektor të vektorit të rrezes që lidh qendrën e re të reduktimit me atë të vjetër nga vektori kryesor.

29 Raste të veçanta të reduktimit të një sistemi hapësinor të forcave

30. Reduktimi në dinamizëm. Në mekanikë, dinamikë quhet një grup i tillë forcash dhe çiftesh forcash () që veprojnë në një trup të ngurtë, në të cilin forca është pingul me rrafshin e veprimit të çiftit të forcave. Duke përdorur momentin vektorial të një çifti forcash, ne gjithashtu mund të përkufizojmë dinamizmin si kombinim i një force dhe një çifti forca e të cilit është paralele me momentin vektorial të çiftit të forcave.

Ekuacioni i boshtit spirale qendror Le të supozojmë se në qendër të reduktimit, marrë si origjinë e koordinatave, fitohet vektori kryesor me projeksione në boshtet e koordinatave dhe momenti kryesor me projeksionet kur sjellim sistemin e forcave në qendrën e reduktimit O 1 (Fig 30), fitohet një dinamo me vektorin kryesor dhe momentin kryesor, Vektorët dhe si formim i një liname. janë paralele dhe për këtë arsye mund të ndryshojnë vetëm në faktorin skalar k 0. Kemi, që nga momentet kryesore dhe plotësojmë relacionin

E cila është e barabartë me produktin e forcës nga supi i saj.

Momenti i forcës llogaritet duke përdorur formulën:

Ku F- forcë, l- shpatulla e forcës.

Shpatulla e pushtetit- kjo është distanca më e shkurtër nga vija e veprimit të forcës deri te boshti i rrotullimit të trupit. Figura më poshtë tregon një trup të ngurtë që mund të rrotullohet rreth një boshti. Boshti i rrotullimit të këtij trupi është pingul me rrafshin e figurës dhe kalon nëpër pikën, e cila është caktuar si shkronja O. Shpatulla e forcës Ft këtu është distanca l, nga boshti i rrotullimit në vijën e veprimit të forcës. Përcaktohet në këtë mënyrë. Hapi i parë është të vizatoni një vijë veprimi të forcës, pastaj nga pika O, nëpër të cilën kalon boshti i rrotullimit të trupit, ulni një pingul me vijën e veprimit të forcës. Gjatësia e kësaj pingule rezulton të jetë krahu i një force të caktuar.

Momenti i forcës karakterizon veprimin rrotullues të një force. Ky veprim varet si nga forca ashtu edhe nga leva. Sa më i madh të jetë krahu, aq më pak forcë duhet të aplikohet për të marrë rezultatin e dëshiruar, domethënë të njëjtin moment force (shih figurën më lart). Kjo është arsyeja pse është shumë më e vështirë të hapësh një derë duke e shtyrë pranë menteshave sesa duke kapur dorezën dhe është shumë më e lehtë të zhbllokosh një arrë me një çelës të gjatë sesa me një çelës të shkurtër.

Njësia SI e momentit të forcës merret si një moment i forcës prej 1 N, krahu i të cilit është i barabartë me 1 m - metër njuton (N m).

Rregulli i momenteve.

Një trup i ngurtë që mund të rrotullohet rreth një boshti fiks është në ekuilibër nëse momenti i forcës M 1 duke e rrotulluar në drejtim të akrepave të orës është e barabartë me momentin e forcës M 2 , e cila e rrotullon në të kundërt të akrepave të orës:

Rregulli i momenteve është pasojë e një prej teoremave të mekanikës, e cila u formulua nga shkencëtari francez P. Varignon në 1687.

Nja dy forca.

Nëse mbi një trup veprojnë 2 forca të barabarta dhe me drejtim të kundërt që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë një trup i tillë nuk është në ekuilibër, pasi momenti rezultues i këtyre forcave në lidhje me çdo bosht nuk është i barabartë me zero. të dyja forcat kanë momente të drejtuara në të njëjtin drejtim . Quhen dy forca të tilla që veprojnë njëkohësisht në një trup nja dy forca. Nëse trupi është i fiksuar në një bosht, atëherë nën veprimin e një palë forcash ai do të rrotullohet. Nëse një trup i lirë zbatohet disa forca, atëherë ai do të rrotullohet rreth boshtit të tij. duke kaluar nëpër qendrën e gravitetit të trupit, figurë b.

Momenti i një çifti forcash është i njëjtë rreth çdo boshti pingul me rrafshin e çiftit. Moment total Mçiftet është gjithmonë e barabartë me produktin e njërës prej forcave F në një distancë l ndërmjet forcave, që quhet shpatullën e çiftit, pa marrë parasysh se cilat segmente l, dhe ndan pozicionin e boshtit të shpatullës së çiftit:

Momenti i disa forcave, rezultantja e të cilave është zero, do të jetë i njëjtë në lidhje me të gjitha boshtet paralele me njëri-tjetrin, prandaj veprimi i të gjitha këtyre forcave në trup mund të zëvendësohet nga veprimi i një çifti forcash me të njëjtën moment.

Momenti i disa forcave

Momenti i forcës në lidhje me çdo pikë (qendër) është një vektor që numerikisht është i barabartë me produktin e modulit të forcës dhe krahut, d.m.th. në distancën më të shkurtër nga pika e specifikuar në vijën e veprimit të forcës, dhe e drejtuar pingul me rrafshin që kalon nëpër pikën e zgjedhur dhe vijën e veprimit të forcës në drejtimin nga i cili "rrotullimi" kryhet nga forca rreth pika duket se ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Momenti i forcës karakterizon veprimin e tij rrotullues.

Nëse RRETH– pika në lidhje me të cilën ndodhet momenti i forcës F, atëherë momenti i forcës shënohet me simbolin M o (F). Le të tregojmë se nëse pika e aplikimit të forcës F përcaktuar nga vektori i rrezes r, atëherë relacioni është i vlefshëm

M o (F)=r×F. (3.6)

Sipas këtij raporti momenti i forcës është i barabartë me produktin vektorial të vektorit r nga vektori F.

Në të vërtetë, moduli i produktit vektor është i barabartë me

M o ( F)=rF mëkat= Fh, (3.7)

Ku h- shpatulla e forcës. Vini re gjithashtu se vektori M o (F) drejtuar pingul me rrafshin që kalon nëpër vektorë r Dhe F, në drejtimin nga i cili kthesa më e shkurtër e vektorit r në drejtim të vektorit F duket se ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Kështu, formula (3.6) përcakton plotësisht modulin dhe drejtimin e momentit të forcës F.

Ndonjëherë është e dobishme të shkruani formulën (3.7) në formë

M o ( F)=2S, (3.8)

Ku S- zona e një trekëndëshi OAV.

Le x, y, z janë koordinatat e pikës së aplikimit të forcës, dhe F x, Fy, Fz– projeksionet e forcës në akset koordinative. Atëherë nëse pika RRETH ndodhet në origjinë, momenti i forcës shprehet si më poshtë:

Nga kjo rrjedh se parashikimet e momentit të forcës në boshtet koordinative përcaktohen nga formula:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Le të prezantojmë tani konceptin e projeksionit të forcës në një plan.

U dhatë forca F dhe pak aeroplan. Le të hedhim pingulet nga fillimi dhe fundi i vektorit të forcës në këtë rrafsh.

Projeksioni i forcës në një aeroplan thirrur vektoriale , fillimi dhe fundi i të cilit përkojnë me projeksionin e fillimit dhe me projeksionin e fundit të forcës në këtë rrafsh.

Nëse avionin e marrim si avionin në shqyrtim xOy, pastaj projeksioni i forcës F do të ketë një vektor në këtë plan Fxy.

Momenti i fuqisë Fxy në lidhje me pikën RRETH(pikat e kryqëzimit të boshteve z me avion xOy) mund të llogaritet duke përdorur formulën (3.9), nëse e marrim atë z=0, Fz=0. marrim

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Kështu, momenti drejtohet përgjatë boshtit z, dhe projeksioni i tij mbi bosht z saktësisht përkon me projeksionin në të njëjtin bosht të momentit të forcës F në lidhje me pikën RRETH. Me fjale te tjera,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Natyrisht, i njëjti rezultat mund të merret nëse projektojmë forcën F me çdo rrafsh tjetër paralel xOy. Në këtë rast, pika e kryqëzimit të boshtit z me rrafshin do të jetë i ndryshëm (pikën e re të kryqëzimit e shënojmë me RRETH 1). Megjithatë, të gjitha sasitë e përfshira në anën e djathtë të barazisë (3.11) X, në, F x, F y do të mbetet e pandryshuar, dhe për këtë arsye mund të shkruhet

M Oz(F)=M O 1 z ( Fxy).

Me fjale te tjera, projeksioni i momentit të forcës në lidhje me një pikë në një bosht që kalon nga kjo pikë nuk varet nga zgjedhja e pikës në bosht . Prandaj, në atë që vijon, në vend të simbolit M Oz(F) do të përdorim simbolin Mz(F). Ky projeksion momenti quhet momenti i forcës rreth boshtit z. Shpesh është më i përshtatshëm për të llogaritur momentin e një force rreth një boshti duke projektuar forcën F në një rrafsh pingul me boshtin dhe duke llogaritur vlerën Mz(Fxy).

Në përputhje me formulën (3.7) dhe duke marrë parasysh shenjën e projeksionit, marrim:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Këtu h*– shpatulla e forcës Fxy në lidhje me pikën RRETH. Nëse një vëzhgues sheh nga drejtimi pozitiv i boshtit z se forca Fxy tenton të rrotullojë trupin rreth një boshti z në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë merret shenja “+” dhe në të kundërt shenja “–”.

Formula (3.12) bën të mundur formulimin e rregullit të mëposhtëm për llogaritjen e momentit të forcës rreth boshtit. Për ta bërë këtë ju duhet:

· zgjidhni një pikë arbitrare në bosht dhe ndërtoni një rrafsh pingul me boshtin;

· projektoni një forcë në këtë plan;

· të përcaktojë krahun e projeksionit të forcës h*.

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me produktin e modulit të projeksionit të forcës mbi shpatullën e tij, marrë me shenjën e duhur (shih rregullin e mësipërm).

Nga formula (3.12) rezulton se momenti i forcës rreth boshtit është zero në dy raste:

· kur projeksioni i forcës në një rrafsh pingul me boshtin është zero, d.m.th. kur forca dhe boshti janë paralele ;

kur projeksioni i shpatullave h* barazohet me zero, d.m.th. kur vija e veprimit e pret boshtin .

Të dyja këto raste mund të kombinohen në një: momenti i një force rreth një boshti është zero nëse dhe vetëm nëse vija e veprimit e forcës dhe boshtit janë në të njëjtin rrafsh .

Detyra 3.1. Llogaritni në lidhje me një pikë RRETH momenti i fuqisë F, aplikuar në pikën A dhe një fytyrë kubi të drejtuar diagonalisht me anë A.

Kur zgjidhni probleme të tilla, këshillohet që fillimisht të llogaritni momentet e forcës F në lidhje me boshtet koordinative x, y, z. Koordinatat e pikave A aplikimi i forcës F do

Projeksionet e forcës F në akset koordinative:

Duke i zëvendësuar këto vlera në barazi (3.10), gjejmë

, , .

Të njëjtat shprehje për momentet e forcës F në lidhje me boshtet koordinative mund të merret duke përdorur formulën (3.12). Për ta bërë këtë, ne projektojmë forcën F në një rrafsh pingul me boshtin X Dhe në. Është e qartë se . Duke zbatuar rregullin e lartpërmendur, ne marrim, siç pritej, të njëjtat shprehje:

, , .

Moduli i momentit përcaktohet nga barazia

.

Le të prezantojmë tani konceptin e momentit të një çifti. Së pari, le të gjejmë se sa është e barabartë shuma e momenteve të forcave që përbëjnë çiftin në lidhje me një pikë arbitrare. Le RRETHështë një pikë arbitrare në hapësirë, dhe F Dhe F" - forcat që përbëjnë një çift.

Pastaj M o (F)= OA × F, M o (F")= OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

por që kur F= -F", Kjo

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Duke pasur parasysh barazinë OA-OB=BA , më në fund gjejmë:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

Prandaj, shuma e momenteve të forcave që përbëjnë çiftin nuk varet nga pozicioni i pikës në lidhje me të cilën janë marrë momentet .

Vepra arti vektoriale VA × F dhe quhet moment çift . Momenti i çiftit tregohet me simbolin M(F, F"), dhe

M(F, F")=VA × F= AB × F",

ose shkurtimisht,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Duke marrë parasysh anën e djathtë të kësaj barazie, vërejmë se momenti i një çifti është një vektor pingul me rrafshin e çiftit, i barabartë në modul me produktin e modulit të një force të çiftit nga krahu i çiftit (d.m.th., me distancën më të shkurtër midis vijave të veprimit të forcat që përbëjnë çiftin) dhe të drejtuara në drejtimin nga i cili "rrotullimi" i çiftit është i dukshëm në drejtim të kundërt të akrepave të orës . Nëse h– shpatulla e çiftit, pra M(F, F")=h×F.

Nga vetë përkufizimi është e qartë se momenti i një çifti forcash është një vektor i lirë, linja e veprimit e të cilit nuk është e përcaktuar (arsyetimi shtesë për këtë vërejtje vjen nga Teorema 2 dhe 3 e këtij kapitulli).

Në mënyrë që një çift forcash të përbëjë një sistem të balancuar (një sistem forcash ekuivalent me zero), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që momenti i çiftit të jetë i barabartë me zero. Në të vërtetë, nëse momenti i një çifti është zero, M=h×F, pastaj ose F=0, d.m.th. asnjë forcë, apo shpatulla e një çifti h barazohet me zero. Por në këtë rast, forcat e çiftit do të veprojnë në një vijë të drejtë; meqenëse janë të barabarta në madhësi dhe të drejtuara në drejtime të kundërta, atëherë, bazuar në aksiomën 1, ata do të formojnë një sistem të ekuilibruar. Në të kundërt, nëse dy forca F 1 Dhe F 2, që përbëjnë një çift, balancohen, pastaj, bazuar në të njëjtën aksiomë 1, ato veprojnë në një vijë të drejtë. Por në këtë rast leva e çiftit h barazohet me zero dhe prandaj M=h×F=0.

Teoremat e çifteve

Le të vërtetojmë tre teorema me ndihmën e të cilave bëhen të mundshme shndërrimet ekuivalente të çifteve. Në të gjitha konsideratat, duhet të mbahet mend se ato i referohen çifteve që veprojnë në çdo trup të vetëm.

Teorema 1. Dy çifte të shtrira në të njëjtin rrafsh mund të zëvendësohen me një çift të shtrirë në të njëjtin rrafsh, me një moment të barabartë me shumën e momenteve të këtyre dy çifteve.

Për të vërtetuar këtë teoremë, merrni parasysh dy çifte ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) dhe zhvendosni pikat e zbatimit të të gjitha forcave përgjatë vijave të veprimit të tyre në pika A Dhe NË përkatësisht. Duke mbledhur forcat sipas aksiomës 3, marrim

R=F 1+F 2 Dhe R"=F" 1+F" 2,

Por F 1=-F" 1 Dhe F 2=-F" 2.

Prandaj, R=- R", d.m.th. forcë R Dhe R" formojnë një çift. Le të gjejmë momentin e këtij çifti duke përdorur formulën (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Kur forcat që përbëjnë çiftin transferohen përgjatë vijave të veprimit të tyre, nuk ndryshon as shpatulla dhe as drejtimi i rrotullimit të çiftit, prandaj nuk ndryshon as momenti i çiftit. Do të thotë,

BA×F 1 =M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,F" 2)=M 2

dhe formula (3.14) merr formën

M=M 1 +M 2, (3.15)

që vërteton vlefshmërinë e teoremës së formuluar më sipër.

Le të bëjmë dy vërejtje për këtë teoremë.

1. Vijat e veprimit të forcave që përbëjnë çiftet mund të rezultojnë të jenë paralele. Teorema mbetet e vlefshme në këtë rast, por për ta vërtetuar atë duhet përdorur rregulli i mbledhjes së forcave paralele.

2. Pas shtimit mund të rezultojë se M(R, R")=0; Bazuar në vërejtjen e bërë më parë, rezulton se mbledhja e dy palëve ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Teorema 2. Dy çifte që kanë momente gjeometrikisht të barabarta janë ekuivalente.

Lëreni trupin në aeroplan Içift ​​( F 1,F" 1) me moment M 1. Le të tregojmë se ky çift mund të zëvendësohet nga një tjetër me çiftin ( F 2,F" 2), e vendosur në aeroplan II, qoftë vetëm momenti i saj M 2 barazohet M 1(sipas përkufizimit (shih 1.1) kjo do të thotë që çiftet ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) janë ekuivalente). Para së gjithash, vërejmë se aeroplanët I Dhe II duhet të jenë paralele, në veçanti ato mund të përkojnë. Në të vërtetë, nga paralelizmi i momenteve M 1 Dhe M 2(në rastin tonë M 1=M 2) rrjedh se paralele janë edhe rrafshet e veprimit të çifteve pingul me momentet.

Le të prezantojmë një palë të re ( F 3,F" 3) dhe bashkëngjitni së bashku me një palë ( F 2,F" 2) në trup, duke i vendosur të dyja palët në rrafsh II. Për ta bërë këtë, sipas aksiomës 2, duhet të zgjidhni një palë ( F 3,F" 3) me moment M 3 në mënyrë që sistemi i aplikuar i forcave ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) ishte i balancuar. Kjo mund të bëhet, për shembull, si më poshtë: vendos F 3=-F" 1 Dhe F" 3 =-F 1 dhe kombinoni pikat e aplikimit të këtyre forcave me projeksionet A 1 dhe NË 1 pikë A Dhe NË tek avioni II. Në përputhje me ndërtimin do të kemi: M 3 = -M 1 ose, duke pasur parasysh se M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Duke marrë parasysh vërejtjen e dytë për teoremën e mëparshme, marrim ( F 2,F" 2, F 3,F" 3)=0. Kështu, çiftet ( F 2,F" 2) Dhe ( F 3,F" 3) janë të balancuara reciproke dhe lidhja e tyre me trupin nuk cenon gjendjen e tij (aksioma 2), kështu që

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Nga ana tjetër, forcat F 1 Dhe F 3, dhe F" 1 Dhe F" 3 mund të shtohet sipas rregullit të shtimit të forcave paralele të drejtuara në një drejtim. Në modul, të gjitha këto forca janë të barabarta me njëra-tjetrën, pra rezultantët e tyre R Dhe R" duhet të zbatohet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të drejtkëndëshit ABB 1 A 1 ; përveç kësaj, ato janë të barabarta në madhësi dhe të drejtuara në drejtime të kundërta. Kjo do të thotë se ato përbëjnë një sistem të barabartë me zero. Kështu që,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Tani mund të shkruajmë

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Duke krahasuar marrëdhëniet (3.16) dhe (3.17), marrim ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Nga kjo teoremë del se një çift forcash mund të zhvendosen në rrafshin e veprimit të tij, të transferuara në një plan paralel; më në fund, në një çift mund të ndryshoni forcat dhe levën në të njëjtën kohë, duke ruajtur vetëm drejtimin e rrotullimit të çiftit dhe modulin e momentit të tij ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Në atë që vijon, ne do të përdorim gjerësisht transformime të tilla ekuivalente të çifteve.

Teorema 3. Dy çifte të shtrira në rrafshe të kryqëzuara janë ekuivalente me një çift, momenti i të cilit është i barabartë me shumën e momenteve të dy çifteve të dhëna.

Leri çiftet ( F 1,F" 1) Dhe ( F 2,F" 2) ndodhen në rrafshe të kryqëzuara I Dhe II përkatësisht. Duke përdorur konkluzionin e teoremës 2, ne i zvogëlojmë të dy çiftet në shpatull AB, i vendosur në vijën e kryqëzimit të avionëve I Dhe II. Le t'i shënojmë çiftet e transformuara me ( P 1,P" 1) Dhe ( P 2,P" 2). Në këtë rast, barazitë duhet të plotësohen

M 1 = M(P 1,P" 1)=M(F 1,F" 1) Dhe M 2 = M(P 2,P" 2)=M(F 2,F" 2).

Le të shtojmë, sipas aksiomës, 3 forca të aplikuara në pika A Dhe NË përkatësisht. Pastaj marrim R=Q 1 + Q 2 Dhe R"=Q" 1 +Q" 2. Duke pasur parasysh atë Q" 1 =-Q 1 Dhe Q" 2 = -Q 2, marrim R=-R". Kështu, ne kemi vërtetuar se një sistem me dy çifte është i barabartë me një çift ( R,R").

Le të gjejmë momentin M ky çift. Bazuar në formulën (3.13) kemi

M(R,R")=VA× (Q 1 + Q 2)=VA× Q 1 + VA× P 2=

=M(P 1,P" 1)+M(P 2,P" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M 1 +M 2,

ato. vërtetohet teorema.

Vini re se rezultati i marrë vlen edhe për çiftet që shtrihen në plane paralele. Me teoremën 2, çifte të tilla mund të reduktohen në një rrafsh dhe me teoremën 1 mund të zëvendësohen me një çift, momenti i të cilit është i barabartë me shumën e momenteve të çifteve përbërëse.

Teoremat e çifteve të vërtetuara më sipër na lejojnë të nxjerrim një përfundim të rëndësishëm: momenti i çiftit është një vektor i lirë dhe përcakton plotësisht veprimin e çiftit në një trup absolutisht të ngurtë . Në fakt, ne kemi vërtetuar tashmë se nëse dy çifte kanë të njëjtat momente (prandaj, shtrihen në të njëjtin plan ose në plane paralele), atëherë ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën (Teorema 2). Nga ana tjetër, dy çifte që shtrihen në rrafshe të kryqëzuara nuk mund të jenë ekuivalente, sepse kjo do të thotë që njëri prej tyre dhe çifti përballë tjetrit janë të barasvlershëm me zero, gjë që është e pamundur, pasi shuma e momenteve të çifteve të tilla është jozero.

Kështu, koncepti i prezantuar i momentit të një çifti është jashtëzakonisht i dobishëm, pasi pasqyron plotësisht veprimin mekanik të një çifti në trup. Në këtë kuptim, mund të themi se momenti paraqet në mënyrë shteruese veprimin e një çifti mbi një trup të ngurtë.

Për trupat e deformueshëm, teoria e çifteve e përshkruar më sipër nuk është e zbatueshme. Dy çifte të kundërta, që veprojnë, për shembull, në skajet e një shufre, janë ekuivalente me zero nga pikëpamja e statikës së trupit të ngurtë. Ndërkaq, veprimi i tyre në shufrën e deformueshme shkakton përdredhjen e saj dhe sa më i madh të jetë moduli i momentit.

Le të kalojmë në zgjidhjen e problemit të parë dhe të dytë të statikës, kur në trup veprojnë vetëm çifte forcash.

Lëvizja rrotulluese është një lloj lëvizjeje mekanike. Gjatë lëvizjes rrotulluese të një trupi absolutisht të ngurtë, pikat e tij përshkruajnë rrathë të vendosur në plane paralele. Qendrat e të gjithë rrathëve shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, pingul me rrafshet e rrathëve dhe të quajtur boshti i rrotullimit. Boshti i rrotullimit mund të vendoset brenda trupit ose jashtë tij. Boshti i rrotullimit në një sistem të caktuar referimi mund të jetë ose i lëvizshëm ose i palëvizshëm. Për shembull, në kornizën e referencës të lidhur me Tokën, boshti i rrotullimit të rotorit të gjeneratorit në një termocentral është i palëvizshëm.

Karakteristikat kinetike:

Rrotullimi i një trupi të ngurtë në tërësi karakterizohet nga një kënd, i matur në gradë këndore ose radianë, shpejtësia këndore (e matur në rad/s) dhe nxitimi këndor (njësia matëse - rad/s²).

Me rrotullim uniform (T rrotullime për sekondë):

Frekuenca e rrotullimit është numri i rrotullimeve të trupit për njësi të kohës.-

Periudha e rrotullimit është koha e një rrotullimi të plotë. Periudha e rrotullimit T dhe frekuenca e saj lidhen nga relacioni.

Shpejtësia lineare e një pike që ndodhet në një distancë R nga boshti i rrotullimit

Shpejtësia këndore e rrotullimit të trupit

Momenti i forcës (sinonimet: çift rrotullues, çift rrotullues, çift rrotullues, çift rrotullues) është një sasi fizike vektoriale e barabartë me produktin vektorial të vektorit të rrezes (i tërhequr nga boshti i rrotullimit deri në pikën e aplikimit të forcës - sipas përkufizimit) dhe vektori i kësaj force. Karakterizon veprimin rrotullues të një force mbi një trup të ngurtë.

Momenti i forcës matet në njuton metra. 1 Nm është momenti i forcës së prodhuar nga një forcë prej 1 N në një levë 1 m të gjatë. Forca zbatohet në fund të levës dhe drejtohet pingul me të.

Momenti këndor (momenti kinetik, momenti këndor, momenti orbital, momenti këndor) karakterizon sasinë e lëvizjes rrotulluese. Një sasi që varet nga sa masë rrotullohet, si shpërndahet në lidhje me boshtin e rrotullimit dhe me çfarë shpejtësie ndodh rrotullimi. Momenti këndor i një sistemi me qark të mbyllur ruhet

Ligji i ruajtjes së momentit këndor (ligji i ruajtjes së momentit këndor) është një nga ligjet themelore të ruajtjes. Ai shprehet matematikisht përmes shumës vektoriale të të gjithë momentit këndor në lidhje me boshtin e zgjedhur për një sistem të mbyllur trupash dhe mbetet konstant derisa sistemi të veprojë nga forcat e jashtme. Në përputhje me këtë, momenti këndor i një sistemi të mbyllur në asnjë sistem koordinativ nuk ndryshon me kalimin e kohës.

Ligji i ruajtjes së momentit këndor është një manifestim i izotropisë së hapësirës në lidhje me rrotullimin.

16. Ekuacioni i dinamikës së lëvizjes rrotulluese. Momenti i inercisë.

Ekuacioni bazë për dinamikën e lëvizjes rrotulluese të një pike materiale është nxitimi këndor i pikës gjatë rrotullimit të saj rreth një boshti fiks është proporcional me çift rrotullues dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me momentin e inercisë.

M = E*J ose E = M/J

Duke krahasuar shprehjen që rezulton me ligjin e dytë të Njutonit me ligjin e përkthimit, shohim se momenti i inercisë J është një masë e inercisë së një trupi në lëvizje rrotulluese. Ashtu si masa, sasia është shtesë.

Momenti i inercisë është një sasi fizike skalare (në përgjithësi tensore), një masë e inercisë në lëvizjen rrotulluese rreth një boshti, ashtu si masa e një trupi është një masë e inercisë së tij në lëvizjen përkthimore. Karakterizohet nga shpërndarja e masave në trup: momenti i inercisë është i barabartë me shumën e produkteve të masave elementare me katrorin e distancave të tyre me grupin bazë (pika, drejtëza ose plani).

Njësia SI: kg m² Përcaktimi: I ose J.

Ka disa momente inercie, në varësi të manifoldit nga i cili matet distanca e pikave.

Vetitë e momentit të inercisë:

1. Momenti i inercisë së sistemit është i barabartë me shumën e momentit të inercisë së pjesëve të tij.

2. Momenti i inercisë së një trupi është një sasi e natyrshme në këtë trup.

Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë është një sasi që karakterizon shpërndarjen e masës në trup dhe është një masë e inercisë së trupit gjatë lëvizjes rrotulluese.

Formula për momentin e inercisë:

Teorema e Shtajnerit:

Momenti i inercisë së një trupi rreth çdo boshti është i barabartë me momentin e inercisë rreth një boshti paralel që kalon përmes qendrës së inercisë, i shtuar në vlerën m*(R*R), ku R është distanca midis boshteve.

Momenti i inercisë së një sistemi mekanik në lidhje me një bosht fiks ("momenti boshtor i inercisë") është vlera Ja, e barabartë me shumën e produkteve të masave të të gjitha n pikave materiale të sistemit me katrorët e distancave të tyre në bosht:

Momenti boshtor i inercisë së një trupi Ja është një masë e inercisë së një trupi në lëvizjen rrotulluese rreth një boshti, ashtu si masa e një trupi është një masë e inercisë së tij në lëvizjen përkthimore.

Momenti qendror i inercisë (ose momenti i inercisë rreth pikës O) është sasia

.

Një moment fuqie në raport me një qendër arbitrare në rrafshin e veprimit të forcës, quhet prodhimi i modulit të forcës dhe shpatullës.

Sup- distanca më e shkurtër nga qendra O në vijën e veprimit të forcës, por jo deri në pikën e zbatimit të forcës, sepse vektori rrëshqitës i forcës.

Shenja e momentit:

Në drejtim të akrepave të orës - minus, në drejtim të kundërt - plus;

Momenti i forcës mund të shprehet si vektor. Kjo është pingul me rrafshin sipas rregullit të Gimlet.

Nëse në rrafsh ndodhen disa forca ose një sistem forcash, atëherë shuma algjebrike e momenteve të tyre do të na japë Pika kryesore sistemet e forcave.

Le të shqyrtojmë momentin e forcës rreth boshtit, të llogarisim momentin e forcës rreth boshtit Z;

Le të projektojmë F në XY;

F xy =F cosα= ab

m 0 (F xy)=m z (F), pra m z =F xy * h= F cosα* h

Momenti i forcës në lidhje me boshtin është i barabartë me momentin e projeksionit të tij në një plan pingul me boshtin, i marrë në kryqëzimin e boshteve dhe rrafshit

Nëse forca është paralele me boshtin ose e pret atë, atëherë m z (F)=0

Shprehja e momentit të forcës si shprehje vektoriale

Le të vizatojmë r a në pikën A. Merrni parasysh OA x F.

Ky është vektori i tretë m o, pingul me rrafshin. Madhësia e produktit kryq mund të llogaritet duke përdorur dyfishin e sipërfaqes së trekëndëshit të hijezuar.

Shprehje analitike e forcës në lidhje me boshtet koordinative.

Le të supozojmë se boshtet Y dhe Z, X me vektorë njësi i, j, k shoqërohen me pikën O. Duke marrë parasysh se:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y marrim: m o (F)=x =

Le të zgjerojmë përcaktorin dhe të marrim:

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Këto formula bëjnë të mundur llogaritjen e projeksionit të momentit vektorial në bosht dhe më pas të vetë momentit vektorial.

Teorema e Varignon-it mbi momentin e rezultantes

Nëse një sistem forcash ka një rezultante, atëherë momenti i tij në lidhje me çdo qendër është i barabartë me shumën algjebrike të momenteve të të gjitha forcave në lidhje me këtë pikë.

Nëse aplikojmë Q= -R, atëherë sistemi (Q,F 1 ... F n) do të jetë njësoj i balancuar.

Shuma e momenteve rreth çdo qendre do të jetë e barabartë me zero.

Kushti analitik i ekuilibrit për një sistem të rrafshët të forcave

Ky është një sistem i sheshtë forcash, linjat e veprimit të të cilit janë të vendosura në të njëjtin plan

Qëllimi i llogaritjes së problemeve të këtij lloji është përcaktimi i reagimeve të lidhjeve të jashtme. Për ta bërë këtë, përdoren ekuacionet bazë në një sistem të rrafshët të forcave.

Mund të përdoren ekuacione 2 ose 3 momentesh.

Shembull

Le të krijojmë një ekuacion për shumën e të gjitha forcave në boshtin X dhe Y.