Çfarë përfaqëson numri e numri dhe simetria sferike e hapësirës?

NUMRI e. Një numër afërsisht i barabartë me 2.718, i cili shpesh gjendet në matematikë dhe shkencë. Për shembull, kur një substancë radioaktive kalbet me kalimin e kohës t e sasisë fillestare të substancës mbetet një fraksion i barabartë me e–kt, Ku k- një numër që karakterizon shkallën e kalbjes së një substance të caktuar. Reciproke prej 1/ k quhet jetëgjatësia mesatare e një atomi të një lënde të caktuar, pasi mesatarisht një atom ekziston për një kohë prej 1/ para se të kalbet k. Vlera 0.693/ k quhet gjysma e jetës së një lënde radioaktive, d.m.th. koha që duhet që gjysma e sasisë fillestare të një lënde të kalbet; numri 0.693 është afërsisht i barabartë me log e 2, d.m.th. logaritmi i numrit 2 në bazë e. Në mënyrë të ngjashme, nëse bakteret në një mjedis ushqyes shumohen në një shkallë proporcionale me numrin e tyre në këtë moment, atëherë me kalimin e kohës t numri fillestar i baktereve N shndërrohet në Ne kt. Dobësimi i rrymës elektrike I në një qark të thjeshtë me lidhje seri, rezistencë R dhe induktiviteti L ndodh sipas ligjit Unë = Unë 0 e–kt, Ku k = R/L, I 0 - forca aktuale në momentin e kohës t= 0. Formula të ngjashme përshkruajnë relaksimin e stresit në një lëng viskoz dhe zbutjen e fushës magnetike. Numri 1/ k shpesh quhet koha e relaksimit. Në statistikë vlera e–kt ndodh si probabilitet që me kalimin e kohës t nuk kishte ngjarje të ndodhura rastësisht me një frekuencë mesatare k ngjarje për njësi të kohës. Nëse S- shuma e parave të investuara nën r interesi me përllogaritje të vazhdueshme në vend të përllogaritjes në intervale diskrete, pastaj sipas kohës t shuma fillestare do të rritet në Setr/100.

Arsyeja për "gjithëpraninë" e numrit e qëndron në faktin se formulat e analizës matematikore që përmbajnë funksione eksponenciale ose logaritme shkruhen më thjesht nëse logaritmet merren në bazë e, dhe jo 10 apo ndonjë bazë tjetër. Për shembull, derivati ​​i log 10 x e barabartë me (1/ x) log 10 e, kurse derivati ​​i log e xështë thjesht e barabartë me 1/ x. Po kështu, derivati ​​i 2 xështë e barabartë me 2 x log e 2, kurse derivati ​​i e xështë thjesht e barabartë me e x. Kjo do të thotë se numri e mund të përkufizohet si bazë b, në të cilën grafiku i funksionit y = log b x ka në pikën x= 1 tangjente me një pjerrësi të barabartë me 1, ose në të cilën kurba y = b x ka në x= 0 tangjente me pjerrësi të barabartë me 1. Logaritmet me bazën e quhen “natyrore” dhe caktohen ln x. Ndonjëherë ato quhen edhe "Nepier", gjë që është e pasaktë, pasi në fakt J. Napier (1550–1617) shpiku logaritmet me një bazë tjetër: logaritmin Nepier të numrit. xështë e barabartë me 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Kombinime të shkallëve të ndryshme e Ato ndodhin aq shpesh në matematikë saqë kanë emra të veçantë. Këto janë, për shembull, funksione hiperbolike

Grafiku i një funksioni y= kap x quhet linjë katenare; Kjo është forma e një filli ose zinxhiri të rëndë të pazgjatur të varur nga skajet. formulat e Euler-it

Ku i 2 = –1, numri i lidhjes e me trigonometri. Rast special x = pçon në lidhjen e famshme e ip+ 1 = 0, duke lidhur 5 numrat më të famshëm në matematikë.

Të gjithë e dinë kuptimin gjeometrik të numrit π është gjatësia e një rrethi me një diametër njësi:

Por këtu është kuptimi i një konstante tjetër të rëndësishme, e, tenton të harrohet shpejt. Kjo do të thotë, nuk e di për ju, por sa herë më kushton një përpjekje për të kujtuar pse ky numër i barabartë me 2.7182818284590 është kaq i jashtëzakonshëm... (Megjithatë, unë e shkruajta vlerën nga kujtesa). Kështu që vendosa të shkruaj një shënim që të mos më ikte asgjë tjetër nga kujtesa.

Numri e sipas përkufizimit - kufiri i një funksioni y = (1 + 1 / x) x në x → ∞:

Ky përkufizim, për fat të keq, nuk është i qartë. Nuk është e qartë pse ky kufi është i jashtëzakonshëm (përkundër faktit se quhet "i dyti i shquar"). Vetëm mendoni, ata morën një funksion të ngathët dhe llogaritën kufirin. Një funksion i ndryshëm do të ketë një tjetër.

Por numri e Për disa arsye ajo shfaqet në një grup të tërë situatash të ndryshme në matematikë.

Për mua kuptimi kryesor i numrit e zbulohet në sjelljen e një funksioni tjetër, shumë më interesant, y = k x. Ky funksion ka një veti unike kur k = e, e cila mund të tregohet grafikisht si kjo:

Në pikën 0 funksioni merr vlerën e 0 = 1. Nëse vizatoni një tangjente në pikë x= 0, atëherë do të kalojë në boshtin x në një kënd me tangjenten 1 (in trekëndëshi i verdhë raporti i anës së kundërt 1 me anën 1 ngjitur është 1). Në pikën 1 funksioni merr vlerën e 1 = e. Nëse vizatoni një tangjente në një pikë x= 1, atëherë do të kalojë në një kënd me një tangjente e(V trekëndëshi i gjelbër raporti i anës së kundërt e me 1 ngjitur është i barabartë e). Në pikën 2 vlera e 2 i funksionit përsëri përkon me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes me të. Për shkak të kësaj, në të njëjtën kohë, vetë tangjentet e kryqëzojnë boshtin x saktësisht në pikat -1, 0, 1, 2, etj.

Ndër të gjitha funksionet y = k x(për shembull 2 x , 10 x , π x etj.), funksion e x- e vetmja që ka një bukuri të tillë që tangjentja e këndit të pjerrësisë së saj në secilën pikë të saj përkon me vlerën e vetë funksionit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, vlera e këtij funksioni në çdo pikë përkon me vlerën e derivatit të tij në këtë pikë: ( e x)´ = e x. Për disa arsye numri e= 2.7182818284590... duhet të ngrihet në fuqi të ndryshme për të marrë një fotografi si kjo.

Ky është, për mendimin tim, kuptimi i tij.

Numrat π Dhe e janë përfshirë në formulën time të preferuar - formula e Euler-it, e cila lidh 5 konstantet më të rëndësishme - zero, një, njësi imagjinare i dhe, në fakt, numrat π Dhe e:

e iπ + 1 = 0

Pse është numri 2.7182818284590... në fuqinë komplekse prej 3.1415926535... i papritmas e barabartë me minus një? Përgjigja për këtë pyetje është përtej qëllimit të këtij shënimi dhe mund të përbëjë përmbajtjen e një libri të shkurtër, i cili do të kërkonte një kuptim bazë të trigonometrisë, kufijve dhe serive.

Gjithmonë jam mahnitur nga bukuria e kësaj formule. Ndoshta ka fakte më të mahnitshme në matematikë, por për nivelin tim (një C në liceun e fizikës dhe matematikës dhe një A në analizën komplekse në universitet) kjo është mrekullia më e rëndësishme.

Eksponenti shënohet si , ose .

Numri e

Baza e shkallës së eksponentit është numri e. Ky është një numër irracional. Është afërsisht e barabartë
e ≈ 2,718281828459045...

Numri e përcaktohet përmes kufirit të sekuencës. Ky është i ashtuquajturi kufiri i dytë i mrekullueshëm:
.

Numri e mund të përfaqësohet gjithashtu si një seri:
.

Grafiku eksponencial

Grafiku eksponencial, y = e x.

Grafiku tregon eksponentin e deri në një shkallë X.
y (x) = e x
Grafiku tregon se eksponenti rritet në mënyrë monotonike.

Formulat

Formulat bazë janë të njëjta si për funksionin eksponencial me bazë të shkallës e.

;
;
;

Shprehja e një funksioni eksponencial me një bazë arbitrare të shkallës a përmes një eksponenciale:
.

Vlerat private

Le të y (x) = e x. Pastaj
.

Vetitë e eksponentit

Eksponenti ka vetitë e një funksioni eksponencial me bazë fuqie e > 1 .

Domeni, grup vlerash

Eksponenti y (x) = e x të përcaktuara për të gjitha x.
Fusha e përkufizimit të saj:
- ∞ < x + ∞ .
Shumë kuptime të tij:
0 < y < + ∞ .

Ekstreme, në rritje, në rënie

Eksponenciali është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e eksponentit është logaritmi natyror.
;
.

Derivati ​​i eksponentit

Derivat e deri në një shkallë X e barabartë me e deri në një shkallë X :
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Numrat kompleks

Veprimet me numra kompleks kryhen duke përdorur formulat e Euler-it:
,
ku është njësia imagjinare:
.

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

; ;
.

Shprehje duke përdorur funksione trigonometrike

; ;
;
.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Zhvendosja e zakonshme e shifrave në një numër. Kur 4.47 · 10^8 është shkruar, duke nënkuptuar se pika lundruese është zhvendosur përpara 8 bit- në këtë rast Kjo do të ketë një numër 447 me 6 zero kryesore, d.m.th. 447.000.000. E-vlerat mund të përdoren në programim, dhe e nuk mund të shkruhet vetvetiu, por E është e mundur (por jo kudo dhe jo gjithmonë, kjo do të shënohet më poshtë), sepse i parafundit mund të ngatërrohet me numrin e Euler-it. Nëse keni nevojë të shkruani një numër të madh të shkurtuar, mund të përdoret stili 4,47 × E8 (një opsion alternativ për prodhimin dhe shtypjen e vogël është 4,47 × E8) në mënyrë që numri të lexohet më i çrregullt dhe shifrat të tregohen më veçmas (hapësirat nuk mund të vendoset midis shenjave aritmetike - në të kundërtën, është një kusht matematikor, jo një numër).

3.52E3 është i mirë për të shkruar pa indekse, por leximi i kompensimit të bitit do të jetë më i vështirë. 3.52 · 10^8 është një kusht, sepse kërkon një indeks dhe i mungon një mantisa (kjo e fundit ekziston vetëm për operatorin, dhe ky është një shumëzues i zgjeruar). "· 10" është procesi i shumëzimit operacional standard (bazë), numri pas ^ është një tregues i zhvendosjes së shifrave, kështu që nuk ka nevojë të bëhet i vogël nëse është e nevojshme të shkruani dokumente në këtë formë (duke respektuar pozicionin e mbishkrimit ), në disa raste, këshillohet të përdoret një shkallë në rajonin 100 - 120%, jo standardi 58%. Përdorimi i një shkalle të vogël për elementët kryesorë të gjendjes zvogëlon cilësinë vizuale të informacionit dixhital - do t'ju duhet të shikoni nga afër (ndoshta jo e nevojshme, por fakti mbetet - nuk ka nevojë të "fshehni" kushtet me font të vogël, madje mund ta "varrosni" - ulja e shkallës së elementeve individuale të gjendjes është e papranueshme, veçanërisht në kompjuter) për të vërejtur "surprizën" dhe kjo është shumë e dëmshme edhe në një burim letre.

Nëse procesi i shumëzimit kryen operacione të veçanta, atëherë në raste të tilla përdorimi i hapësirave mund të jetë i tepërt, sepse Përveç shumëzimit të numrave, një shumëzues mund të jetë një lidhje për numrat e mëdhenj dhe të vegjël, elementët kimikë, etj. etj., që nuk mund të shkruhet si thyesë dhjetore e numrave të zakonshëm ose nuk mund të shkruhet si rezultat përfundimtar. Kjo mund të mos zbatohet për hyrjen me "· 10^y", sepse çdo vlerë në shprehje vepron si shumëzues, dhe "^y" është një mbishkrim i treguar me fuqi, d.m.th. është një kusht numerik. Por heqja e hapësirave rreth shumëzuesit dhe shkrimi i tij ndryshe do të ishte gabim, sepse operatori mungon. Vetë hyrja "· 10" është një operator shumëzues + numër, jo një operator i parë + i dytë. Kjo është arsyeja kryesore pse kjo nuk është e mundur me 10. Nëse nuk ka vlera të veçanta pas operatorit numerik, d.m.th. jo numerike, por sistemike, atëherë ky opsion regjistrimi nuk mund të justifikohet - nëse ekziston një vlerë sistemike, atëherë një vlerë e tillë duhet të jetë e përshtatshme për detyra të caktuara me reduktim numerik ose praktik të numrave (për veprime të caktuara, për shembull, 1.35f8, ku f është një ekuacion i krijuar për probleme praktike të veçanta që nxjerr numra realë si rezultat i eksperimenteve specifike praktike, 8 - një vlerë që zëvendësohet si variabël me operatorin f dhe përkon me numrat kur kushtet ndryshojnë në mënyrë të njëpasnjëshme në mënyra më e përshtatshme, nëse kjo detyrë është me rëndësi të madhe, atëherë vlerat e tilla të të dhënave mund të përdoren me një shenjë pa hapësira). Shkurtimisht, për veprime të ngjashme aritmetike, por për qëllime të ndryshme, mund të bëhet edhe me pluse, minuse dhe pjesëtues nëse kjo është absolutisht e nevojshme për të krijuar mënyra të reja ose thjeshtuar ekzistuese të shkrimit të të dhënave duke ruajtur saktësinë në praktikë dhe mund të jetë një kusht numerik i zbatueshëm. për qëllime të caktuara aritmetike.

Përfundimi: rekomandohet të shkruani formën e miratuar zyrtarisht të shënimit eksponencial me një hapësirë ​​dhe një shkallë fonti mbishkrimi prej 58% dhe një zhvendosje prej 33% (nëse ndryshimi në shkallë dhe kompensim lejohet nga palët e tjera në nivelin 100 - 120%, atëherë mund të vendosni 100% - kjo është vlera më optimale e opsionit të regjistrimit të mbishkrimit, kompensimi optimal është ≈ 50%). Në një kompjuter mund të përdorni 3.74e+2, 4.58E-1, 6.73 E-5, E-11, nëse mbështeten dy formatet e fundit, në forume është më mirë të braktisni shkurtesat elektronike për arsye të njohura dhe stilin 3 , 65 E-5 ose 5.67E4 mund të jenë plotësisht të kuptueshme, përjashtimet e vetme mund të jenë segmente publike zyrtare- atje vetëm me " 10^x", dhe në vend të ^x - përdoret vetëm eksponenti i mbishkrimit.

Shkurtimisht, E është super stenografi për antilogaritmin dhjetor, shpesh i emërtuar antilog ose antig. Për shembull, 7.947antilg-4 do të ishte i njëjtë me 7.947E-4. Në praktikë, kjo është shumë më praktike dhe më e përshtatshme sesa të tërhiqni një "dhjetë" me një shenjë të shkallës së mbishkrimit edhe një herë. Kjo mund të quhet forma logaritmike "eksponenciale" e një numri si një alternativë ndaj asaj klasike "eksponenciale" më pak të përshtatshme. Vetëm në vend të "antilg", përdoret "E" ose numri i dytë shkon menjëherë me një hendek (nëse numri është pozitiv) ose pa të (në kalkulatorë shkencorë me dhjetë segmente, siç është "Citizen CT-207T").

| Numri i Euler (E)

e - baza e logaritmit natyror, një konstante matematikore, një numër irracional dhe transcendent. Përafërsisht e barabartë me 2.71828. Ndonjëherë thirret numri Numri i Euler-it ose Numri Napier. Shënohet me shkronjën e vogël latine " e».

Histori

Ndodhja e radhës e numrit e përsëri e dyshimtë. Në 1647, Saint-Vincent llogariti zonën e sektorit të hiperbolës. Mund të merret me mend nëse ai e kuptoi lidhjen me logaritmet, por edhe nëse e kuptonte, nuk ka gjasa që ai të kishte arritur në vetë numrin. e . Vetëm në vitin 1661 Huygens e kuptoi lidhjen midis hiperbolës barabrinjës dhe logaritmeve. Ai vërtetoi se zona nën grafikun e një hiperbole barabrinjës xy = 1 hiperbola barabrinjës në intervalin nga 1 në e është e barabartë me 1. Kjo veti bën e bazën e logaritmeve natyrore, por kjo nuk u kuptua nga matematikanët e asaj kohe, por ngadalë po i afroheshin këtij kuptimi.

Hajgensi ndërmori hapin tjetër në vitin 1661. Ai përcaktoi një kurbë që e quajti logaritmike (në terminologjinë tonë do ta quajmë eksponenciale). Kjo është një kurbë e formës y = ka x . Dhe logaritmi dhjetor shfaqet përsëri e , të cilin Huygens e gjen të saktë deri në 17 shifra dhjetore. Sidoqoftë, ajo u ngrit nga Huygens si një lloj konstante dhe nuk u shoqërua me logaritmin e një numri (kështu që, përsëri u afruam me e , por vetë numri e mbetet i panjohur).

Në punën e mëtejshme në logaritme, përsëri numri e nuk shfaqet në mënyrë eksplicite. Megjithatë, studimi i logaritmeve vazhdon. Në 1668, Nicolaus Mercator botoi një vepër Logaritmoteknia, i cili përmban një zgjerim serie log (1 + x) . Në këtë vepër, Mercator fillimisht përdor emrin "logaritmi natyror" për logaritmin bazë e . Numri e qartazi nuk shfaqet përsëri, por mbetet e pakapshme diku anash.

Është për t'u habitur që numri e shfaqet shprehimisht për herë të parë jo në lidhje me logaritmet, por në lidhje me produkte të pafundme. Në 1683, Jacob Bernoulli përpiqet të gjejë

Ai përdor teoremën e binomit për të vërtetuar se ky kufi është midis 2 dhe 3, të cilin mund ta mendojmë si një përafrim të parë të numrit e . Edhe pse ne e marrim këtë si përkufizim e , kjo është hera e parë që një numër përcaktohet si kufi. Bernoulli, natyrisht, nuk e kuptoi lidhjen midis punës së tij dhe punës mbi logaritmet.

U përmend më parë se logaritmet në fillim të studimit të tyre nuk ishin të lidhura në asnjë mënyrë me eksponentë. Sigurisht, nga ekuacioni x = a t ne e gjejmë atë t = log a x , por kjo është një mënyrë shumë e mëvonshme e perceptimit. Këtu në fakt nënkuptojmë një funksion me logaritëm, ndërsa në fillim logaritmi konsiderohej vetëm si një numër që ndihmonte në llogaritjet. Jacob Bernoulli mund të ketë qenë i pari që kuptoi se funksioni logaritmik është eksponenciali i anasjelltë. Nga ana tjetër, personi i parë që lidhi logaritmet dhe fuqitë mund të ketë qenë James Gregory. Në vitin 1684 ai me siguri njohu lidhjen midis logaritmeve dhe fuqive, por ai mund të mos ketë qenë i pari.

Ne e dimë se numri e u shfaq në formën e tij aktuale në 1690. Leibniz, në një letër drejtuar Huygens, përdori emërtimin për të b . Së fundi e u shfaq një emërtim (megjithëse nuk përkonte me atë modern), dhe ky përcaktim u njoh.

Në 1697, Johann Bernoulli filloi të studionte funksionin eksponencial dhe botoi Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Në këtë punë, llogariten shumat e serive të ndryshme eksponenciale, dhe disa rezultate janë marrë nga integrimi i tyre term pas termi.

Leonhard Euler prezantoi aq shumë shënime matematikore sa nuk është për t'u habitur që shënimi e i takon edhe atij. Duket qesharake të thuash se ai e përdori letrën e për faktin se është shkronja e parë e emrit të tij. Ndoshta nuk është edhe sepse e marrë nga fjala "eksponencial", është thjesht zanorja tjetër pas "a", dhe Euler kishte përdorur tashmë shënimin "a" në punën e tij. Pavarësisht nga arsyeja, shënimi shfaqet për herë të parë në një letër nga Euler drejtuar Goldbach në 1731. Ai bëri shumë zbulime gjatë studimit e më vonë, por vetëm në 1748 Hyrje në Analysin infinitorum ai dha justifikim të plotë për të gjitha idetë që lidhen me e . Ai e tregoi atë

Euler gjeti gjithashtu 18 vendet e para dhjetore të numrit e :

E vërtetë, pa shpjeguar se si i mori ato. Duket se këtë vlerë e ka llogaritur vetë. Në fakt, nëse marrim rreth 20 terma të serisë (1), marrim saktësinë që mori Euler. Ndër rezultatet e tjera interesante në punën e tij është lidhja midis funksioneve sinus dhe kosinus dhe funksioni kompleks eksponencial, të cilin Euler e ka nxjerrë nga formula e De Moivre.

Është interesante që Euler madje gjeti një zbërthim të numrit e në thyesa të vazhdueshme dhe dha shembuj të zbërthimit të tillë. Në veçanti, ai mori

Euler nuk dha prova që këto thyesa vazhdojnë në të njëjtën mënyrë, por ai e dinte se nëse do të kishte një provë të tillë, do të vërtetonte irracionalitetin e . Në të vërtetë, nëse thyesa e vazhdueshme për (e - 1) / 2 , vazhdoi në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm, 6,10,14,18,22,26, (ne shtojmë 4 çdo herë), atëherë nuk do të ishte ndërprerë kurrë, dhe (e -1) / 2 (dhe për këtë arsye e ) nuk mund të jetë racionale. Natyrisht, kjo është përpjekja e parë për të provuar irracionalitetin e .

I pari që llogarit një numër mjaft të madh të numrave dhjetorë të një numri e , ishte Shanks në 1854. Glaisher tregoi se 137 karakteret e para të llogaritura nga Shanks ishin të sakta, por më pas gjeti një gabim. Shanks e korrigjoi atë dhe u morën 205 shifra dhjetore të numrit e . Në fakt, rreth 120 terma të zgjerimit (1) nevojiten për të marrë 200 shifra të sakta të numrit e .

Në 1864, Benjamin Peirce qëndroi pranë një dërrase në të cilën ishte shkruar

Në leksionet e tij ai mund t'u thotë studentëve të tij: "Zotërinj, ne nuk kemi as idenë më të vogël se çfarë do të thotë kjo, por mund të jemi të sigurt se do të thotë diçka shumë e rëndësishme."

Shumica besojnë se Euler vërtetoi irracionalitetin e numrit e . Megjithatë, kjo u bë nga Hermite në 1873. Pyetja mbetet ende e hapur nëse numri është e e algjebrike. Rezultati përfundimtar në këtë drejtim është se të paktën një nga numrat e e Dhe e e 2 është transcendent.

Më pas, u llogaritën numrat dhjetorë të numrit e . Në 1884, Boorman llogariti 346 shifra e , nga të cilat 187 të parat përkonin me shenjat e Shanks, por ato të mëvonshme ndryshonin. Në 1887, Adams llogariti 272 shifrat e logaritmit dhjetor e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Numri e.