Çfarë është një përcaktues i rendit të dytë? Përcaktuesit dhe vetitë e tyre

Përcaktues një matricë katrore është një numër që llogaritet si më poshtë:

a) Nëse rendi i një matrice katrore është 1, d.m.th. përbëhet nga 1 numër, atëherë përcaktorja është e barabartë me këtë numër;

b) Nëse rendi i një matrice katrore është 2, d.m.th. përbëhet nga 4 numra, atëherë përcaktori është i barabartë me ndryshimin midis prodhimit të elementeve të diagonales kryesore dhe prodhimit të elementeve të diagonales dytësore;

c) Nëse rendi i një matrice katrore është 3, d.m.th. përbëhet nga 9 numra, atëherë përcaktorja është e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të diagonales kryesore dhe dy trekëndëshave paralelë me këtë diagonale, nga të cilët shuma e prodhimeve të elementeve të diagonales dytësore dhe dy trekëndëshave paralelë. kësaj diagonale i zbritet.

Shembuj

Vetitë e përcaktorëve

1. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse rreshtat zëvendësohen me kolona dhe kolonat me rreshta

1. Një përcaktues që ka 2 seri identike është i barabartë me zero
2. Faktori i përbashkët i çdo rreshti (rreshti ose kolone) të përcaktorit mund të hiqet nga shenja e përcaktorit

4. Kur rirregullohen dy seri paralele, përcaktorja ndryshon shenjën në të kundërtën

5. Nëse elementet e çdo serie të një përcaktori janë shumat e dy termave, atëherë përcaktorja mund të zgjerohet në shumën e dy përcaktorëve përkatës.

6. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementët përkatës të një serie paralele u shtohen elementeve të një serie, shumëzuar me çdo numër

Elementi i vogël i përcaktorit dhe plotësuesi algjebrik i tij

Element i vogël a IJ Përcaktori i rendit n është një përcaktues i rendit n-1 i marrë nga ai origjinal duke kryqëzuar rreshtin i-të dhe kolonën j-të

Komplement algjebrik i elementit a IJ përcaktor është minorja e tij shumëzuar me (-1) i+ j

Shembull

matricë e anasjelltë

Matrica quhet jo i degjeneruar, nëse përcaktorja e saj nuk është e barabartë me zero, përndryshe, matrica quhet njëjës

Matrica quhet bashkim, nëse përbëhet nga plotësimet algjebrike përkatëse dhe është transpozuar

Matrica quhet e kundërta në një matricë të caktuar nëse produkti i tyre është i barabartë me matricën e identitetit të rendit të njëjtë me matricën e dhënë

Teorema mbi ekzistencën e një matrice të anasjelltë

Çdo matricë jo njëjës ka një invers të barabartë me matricën aleate të ndarë me përcaktorin e kësaj matrice

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt A

1. Llogaritni përcaktorin

1. Transpozoni matricën

1. Ndërtoni një matricë bashkimi, llogaritni të gjitha plotësimet algjebrike të matricës së transpozuar

1. Përdorni formulën:

Matricë e vogëlështë një përcaktues i përbërë nga elementë të vendosur në kryqëzimin e k rreshtave të zgjedhur dhe k kolonave të një matrice të caktuar me madhësi mxn

Rangu i matricësështë rendi më i lartë i minorit të matricës që është jo zero

Shënimi r(A), rangA

Renditështë e barabartë me numrin e rreshtave jozero të matricës së hapit.

Shembull

Sistemet e ekuacioneve lineare.

Një sistem ekuacionesh lineare që përmban m ekuacione dhe n të panjohura quhet sistem i formës

ku janë numrat a IJ - koeficientët e sistemit, numrat b i - termat e lirë

Formulari i regjistrimit të matricës sistemet e ekuacioneve lineare

Zgjidhja e sistemit n vlerat e të panjohurave c 1, c 2,…, c n quhen, kur i zëvendësojmë ato në sistem, të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi të vërteta. Zgjidhja e sistemit mund të shkruhet si një vektor kolone.

Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje.

Teorema Kronecker–Capelli

Një sistem LU është konsistent nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar

Metodat për zgjidhjen e një sistemi LU

1. Metoda e Gausit(duke përdorur transformimet elementare, reduktoni matricën e zgjeruar në një matricë hapi dhe më pas në një kanonike)

Transformimet elementare përfshijnë:

Riorganizimi i rreshtave (kolonave)

Shtimi në një rresht (kolona) një tjetër, shumëzuar me një numër të ndryshëm nga 0.

Le të krijojmë një matricë të zgjeruar:

Le të zgjedhim elementin kryesor në kolonën e parë dhe rreshtin e parë, elementin 1., dhe ta quajmë atë kryesor. Linja që përmban elementin kryesor nuk do të ndryshojë. Le të rivendosim elementët nën diagonalen kryesore. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë në rreshtin e dytë, shumëzuar me (-2). Shtojmë rreshtin e parë në rreshtin e tretë, shumëzuar me (-1), marrim:

Le të shkëmbejmë rreshtin e dytë dhe të tretë. Kaloni mendërisht kolonën e parë dhe rreshtin e parë dhe vazhdoni algoritmin për matricën e mbetur. Në rreshtin e tretë shtojmë të dytin, shumëzuar me 5.

Ne e sollëm matricën e zgjeruar në një formë të shkallëzuar. Duke iu rikthyer ekuacioneve të sistemit, duke filluar nga rreshti i fundit dhe duke u ngjitur lart, përcaktojmë të panjohurat një nga një.

2. Metoda e matricës(AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matrica e anasjelltë me matricën kryesore shumëzuar me kolonën e termave të lirë)

3. Metoda e Cramer-it.

Zgjidhja e sistemit gjendet me formulën:

Ku është përcaktorja e matricës kryesore të modifikuar, në të cilën kolona e i-të është ndryshuar në një kolonë me terma të lirë, dhe është përcaktori kryesor, i përbërë nga koeficientët e të panjohurave.

Vektorët.

Vektorështë një segment i drejtuar

Çdo vektor jepet nga gjatësia (moduli) dhe drejtimi.

Emërtimi: ose

ku A është fillimi i vektorit, B është fundi i vektorit dhe është gjatësia e vektorit.

Klasifikimi i vektorit

Vektor zeroështë një vektor gjatësia e të cilit është zero

vektor njësiështë një vektor gjatësia e të cilit është e barabartë me një

Vektorë të barabartë– këta janë dy vektorë që kanë të njëjtën gjatësi dhe drejtim

Vektorë të kundërt– këta janë dy vektorë gjatësitë e të cilëve janë të barabartë dhe drejtimet e kundërta

Vektorët kolinearë– këta janë dy vektorë që shtrihen në të njëjtën drejtëz ose në drejtëza paralele

Bashkëdrejtues vektorët janë dy vektorë kolinearë me të njëjtin drejtim

Drejtuar në mënyrë të kundërt vektorët janë dy vektorë kolinearë me drejtime të kundërta

Koplanare vektorët janë tre vektorë që shtrihen në të njëjtin rrafsh ose në rrafshe paralele

Sistemi drejtkëndor koordinatat në një rrafsh janë dy vija pingule reciproke me një drejtim dhe origjinë të zgjedhur, me vijën horizontale të quajtur bosht i abshisës dhe vijën vertikale të quajtur bosht i ordinatave

Për çdo pikë në një sistem koordinativ drejtkëndor caktojmë dy numra: abshisën dhe ordinatat

Sistemi drejtkëndor koordinatat ne hapesire jane tre vija te drejta reciproke pingule me drejtim dhe origjine te zgjedhur, ndersa vija e drejte horizontale e drejtuar kah ne quhet bosht i abshise, drejtesia horizontale e drejtuar djathtas nesh eshte boshti i ordinatave dhe drejteza vertikale e drejte. i drejtuar lart quhet boshti aplikativ

Për çdo pikë në një sistem koordinativ drejtkëndor ne caktojmë tre numra: abshisë, ordinatë dhe zbatojmë

2. PËRCAKTORËT DHE RREGULLI I CRAMER

2.1. Përcaktuesit e rendit të dytë

Përcaktues Matrica e rendit të dytë gjendet si më poshtë:

(2.1)
Është e barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore të matricës minus produktin e elementeve të diagonales së dytë.

Për shembull,


Duhet theksuar edhe një herë se një matricë është një tabelë numrash, ndërsa një përcaktues është një numër i përcaktuar përmes elementeve të një matrice katrore.

Le të shqyrtojmë tani një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura:

Duke përdorur konceptin e një përcaktori të rendit të dytë, zgjidhja për këtë sistem mund të shkruhet si:

(2.2)

Eshte atje Rregulli i Kramerit zgjidhja e një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura, me kusht që 0.

Shembulli 2.1. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur rregullin e Cramer-it:

Zgjidhje . Le të gjejmë përcaktuesit:



Referencë historike. Koncept ide "përcaktues" mund të përkasin G. Leibniz(1646-1716), nëse ai do t'i kishte zhvilluar dhe botuar idetë e tij në lidhje me përcaktorët, në të cilat ai arriti në vitin 1693. Prandaj, përparësia në zhvillimin e një metode të përcaktorëve për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare i takon G. Kramer(1704-1752), i cili botoi kërkimin e tij mbi këtë temë në vitin 1750. Megjithatë, Cramer nuk ndërtoi një teori të plotë të përcaktuesve dhe gjithashtu i mungonte një shënim i përshtatshëm. Studimi i parë i gjerë kushtuar përcaktuesve ishte A. Vandermonde(1735-1796) në 1772. Ai bëri një paraqitje logjike të teorisë së përcaktorëve dhe futi rregullin për zbërthimin e një përcaktori duke përdorur minore. Një ekspozim i plotë i teorisë së përcaktuesve u dha vetëm në 1812.
J. Binet(1786-1856) dhe O. Cauchy(1789-1858). Afati "përcaktues" ("përcaktues") në kuptimin e tij modern u prezantua nga Cauchy (më parë ky term përdorej nga K. Gauss për të treguar diskriminuesin e një forme kuadratike).

2.2. Përcaktuesit e rendit të tretë

(2.3)

Natyrisht, është mjaft e vështirë të mbash mend këtë formulë. Megjithatë, ka rregulla që e bëjnë më të lehtë shkrimin e një shprehjeje për një përcaktor të rendit të tretë.

Rregulli i trekëndëshit : tre termat e përfshirë në shprehjen origjinale me shenjë plus janë produkte të elementeve të diagonales kryesore ose trekëndëshave, bazat e të cilëve janë paralele me këtë diagonale. Tre termat e mbetur, të përfshirë me shenjën minus, gjenden në të njëjtën mënyrë, por në lidhje me diagonalen e dytë.

Rregulli Sarrus : shtoni kolonën e parë dhe më pas kolonën e dytë në matricën në të djathtë. Atëherë termat "pozitiv" do të jenë në vijat paralele me diagonalen kryesore, dhe ato "negative" në linjat paralele me diagonalen e dytë..

2.3. Rregulli i Cramer-it

Duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë, zgjidhja e një sistemi të tillë mund të shkruhet në të njëjtën formë si për një sistem me dy ekuacione, d.m.th.

(2.4)

nëse 0. Këtu

Eshte atje Rregulli i Kramerit zgjidhja e një sistemi me tre ekuacione lineare në tre të panjohura.

Shembulli 2.3. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur rregullën e Cramer-it:

Zgjidhje . Gjetja e përcaktorit të matricës kryesore të sistemit

Meqenëse 0, atëherë për të gjetur një zgjidhje për sistemin, ne mund të zbatojmë rregullin e Cramer-it, por së pari llogarisim tre përcaktues të tjerë:

Ekzaminimi:

Prandaj, zgjidhja u gjet drejt. 

Rregullat e Cramer-it të marra për sistemet lineare të rendit të dytë dhe të tretë sugjerojnë se të njëjtat rregulla mund të formulohen për sistemet lineare të çdo rendi. Vërtet ndodh

Teorema e Kramerit. Sistemi kuadratik i ekuacioneve lineare me një përcaktor jozero të matricës kryesore të sistemit (0) ka një dhe vetëm një zgjidhje dhe kjo zgjidhje llogaritet duke përdorur formulat

(2.5)

Ku  – përcaktor i matricës kryesore,  i – përcaktues matricë, marrë nga ajo kryesore, duke zëvendësuarikolona e th e termave të lira.

Vini re se nëse =0, atëherë rregulli i Cramer-it nuk zbatohet. Kjo do të thotë që sistemi ose nuk ka fare zgjidhje ose ka pafundësisht shumë zgjidhje.

Pas formulimit të teoremës së Cramer-it, natyrshëm lind pyetja e llogaritjes së përcaktuesve të rendit më të lartë.

2.4. Përcaktorët e rendit të n-të

Për shembull, le të gjejmë minoret dhe plotësimet algjebrike të elementeve a 23 dhe a 31 kualifikuese

marrim



Duke përdorur konceptin e komplementit algjebrik mund të formulojmë teorema e zgjerimit përcaktuesn-rendi sipas rreshtit ose kolonës.

Teorema 2.1.Përcaktues matricëAështë e barabartë me shumën e produkteve të të gjithë elementëve të një rreshti (ose kolone) të caktuar nga plotësimet e tyre algjebrike:

(2.6)

Kjo teoremë qëndron në themel të një prej metodave kryesore për llogaritjen e përcaktorëve, të ashtuquajturat. metoda e reduktimit të porosisë. Si rezultat i zgjerimit të përcaktorit n renditja e çdo rreshti ose kolone, marrim n përcaktorë ( n–1) rend. Për të pasur më pak përcaktues të tillë, këshillohet të zgjidhni rreshtin ose kolonën që ka më shumë zero. Në praktikë, formula e zgjerimit për përcaktorin zakonisht shkruhet si:

ato. shtesat algjebrike shkruhen shprehimisht në terma të vegjël.

Shembujt 2.4. Llogaritni përcaktorët duke i renditur fillimisht në ndonjë rresht ose kolonë. Në mënyrë tipike, në raste të tilla, zgjidhni kolonën ose rreshtin që ka më shumë zero. Rreshti ose kolona e zgjedhur do të tregohet me një shigjetë.



2.5. Vetitë themelore të përcaktorëve

Prona 1. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse rreshtat dhe kolonat në të ndërrohen, d.m.th. kur transpozoni një matricë:

.

Kjo veti tregon barazinë e rreshtave dhe kolonave të përcaktorit. Me fjalë të tjera, çdo deklaratë për kolonat e një përcaktori është gjithashtu e vërtetë për rreshtat e saj dhe anasjelltas.

Prona 2. Përcaktori ndryshon shenjën kur ndërrohen dy rreshta (kolona).

Pasoja. Nëse përcaktori ka dy rreshta (kolona) identike, atëherë ai është i barabartë me zero.

Prona 3. Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve në çdo rresht (kolona) mund të hiqet nga shenja përcaktuese.

Për shembull,

Pasoja. Nëse të gjithë elementët e një rreshti (kolone) të caktuar të një përcaktori janë të barabartë me zero, atëherë vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Prona 4. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet e një rreshti (kolone) u shtohen elementeve të një rreshti (kolone) tjetër, shumëzuar me një numër.

Për shembull,

Prona 5. Përcaktori i prodhimit të matricave është i barabartë me produktin e përcaktuesve të matricave:

2.6.

Transformimet elementare Shndërrimet e mëposhtme quhen matrica: 1) shumëzimi i një rreshti (kolone) me një numër jo të barabartë me zero; 2) shtimi i një rreshti (kolona) në tjetrin; 3) rirregullimi i dy rreshtave (kolonave).

Metoda elementare e transformimit është përdorimi i shndërrimeve elementare, duke marrë parasysh vetitë e përcaktorëve, për të reduktuar matricën në një formë trekëndore.

Shembulli 2.5. Llogaritni përcaktorin duke përdorur shndërrimet elementare, duke i sjellë ato në formë trekëndore:



Shembulli 2.6. Llogaritni përcaktorin:

.

Zgjidhje . Le ta thjeshtojmë këtë përcaktor dhe më pas ta llogarisim atë:

. 
Shembulli 2.7. Llogaritni përcaktorin
.

Zgjidhje . Metoda 1 Duke përdorur transformimet elementare të matricës, duke marrë parasysh vetitë e përcaktuesve, do të marrim zero në çdo rresht ose kolonë, dhe më pas do të zgjerojmë përcaktuesin që rezulton përgjatë kësaj rreshti ose kolone:

–6

2

-2


.
Metoda 2 .Duke përdorur shndërrimet elementare të matricës, duke marrë parasysh vetitë e përcaktorëve, e reduktojmë matricën në formë trekëndore:

. 

Llogaritja e përcaktorëve duke përdorur shndërrimet elementare, duke e reduktuar atë në formë trekëndore, është një nga metodat më të zakonshme. Kjo për faktin se është metoda kryesore për llogaritjen e përcaktuesve në një kompjuter. Më saktësisht, është një nga modifikimet Metoda e Gausit , i cili zakonisht përdoret gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare.

Shembulli 2.8. Llogaritni përcaktorin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Merrni parasysh kolonën e parë dhe zgjidhni rreshtin në të që përmban 1. Nëse nuk ka njësi, atëherë duhet ta krijoni këtë njësi duke përdorur transformimet elementare: riorganizimin e rreshtave ose kolonave, duke i shtuar ose zbritur ato me njëra-tjetrën, duke i shumëzuar ose pjesëtuar me disa numri (duke marrë parasysh, natyrisht, vetitë e përcaktorëve). Le të marrim rreshtin e dytë si bazë dhe ta përdorim atë për të marrë zero në kolonën e parë:

Pas kësaj, ne nuk i kushtojmë më vëmendje rreshtit të parë. Le të shohim kolonën e dytë.

Rezultati është një matricë trekëndore. Për të llogaritur përcaktorin, mbetet vetëm të shumëzohen elementët e matricës të vendosura në diagonalen kryesore. Kështu, marrim përgjigjen: –2(–1)(–1)1334 = –264. 

Mësim praktik

Tema: Llogaritja e përcaktorëve.

Qëllimet: h të forcojë konceptet e përcaktorëve dhe vetitë e tyre, për të formuar dhe konsoliduar aftësitë dhe aftësitë llogarit përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë; zhvillojnë aftësinë për të përgjithësuar njohuritë e fituara, për të kryer analiza dhe krahasime, për të nxitur zhvillimin e të menduarit logjik; të kultivojë te nxënësit një qëndrim të ndërgjegjshëm ndaj procesit mësimor.

I. Parimet e përgjithshme teorike

Një përcaktues i rendit të dytë është një numër

Një përcaktues i rendit të tretë është një numër

Vetitë e përcaktorëve

Prona 1.
Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse të gjitha rreshtat zëvendësohen nga kolonat përkatëse dhe anasjelltas.

Prona 2.
Kur ndërrohen dy rreshta ose kolona, ​​përcaktori ndryshon shenjën.

Prona 3.
Një përcaktues është i barabartë me zero nëse ka dy rreshta (kolona) të barabarta.

Prona 4.
Një faktor i përbashkët për të gjithë elementët e një rreshti ose kolone mund të hiqet nga shenja përcaktuese.

Prona 5.
Nëse elementët përkatës të një rreshti ose kolone tjetër u shtohen elementeve të një rreshti ose kolone, përcaktori nuk do të ndryshojë.

Përfundim nga vetitë 4 dhe 5: Nëse elementeve të një rreshti ose kolone u shtoni elementët përkatës të një rreshti ose kolone tjetër, të shumëzuar me një numër të caktuar, atëherë përcaktorja nuk do të ndryshojë.

Pyetjet e kontrollit:

1. Jepni përkufizimin e një matrice.
2. Çfarë do të thotë simboli? ?
3. Cila matricë quhet e transpozuar në lidhje me matricën A?
4. Cila matricë quhet katror i rendit n?
5. Përcaktoni një përcaktor të rendit të dytë.

6. Përcaktoni një përcaktor të rendit të tretë.

7. Cila është përcaktuesi i një matrice të transpozuar?

8. Si do të ndryshojë vlera e përcaktorit nëse në matricë ndërrohen 2 rreshta (kolona)?

9. A është e mundur të nxirret faktori i përbashkët i një rreshti ose kolone nga shenja përcaktuese?

10.Cila është përcaktorja nëse të gjithë elementët e një rreshti (kolone) të caktuar janë të barabartë me 0?

11.Me sa është përcaktorja nëse ka dy rreshta (kolona) identike?

12. Formuloni një rregull për llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë.

13. Formuloni një rregull për llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë.

II . Formimi i aftësive dhe aftësive.

Shembulli 1. Ju numëroni përcaktorin : a) sipas rregullit të trekëndëshit b) sipas rregullit të Sarrusit;

c) me metodën e zgjerimit sipas elementeve të rreshtit të parë

Zgjidhja:

b) shtoni dy kolonat e para dhe llogaritni produktin e tre elementeve përgjatë diagonales kryesore dhe paralele me të me një shenjë (+), dhe më pas përgjatë diagonales dytësore dhe paralele me të me një shenjë (-):

marrim:

Shembulli 2. Llogaritni përcaktorin në dy mënyra: duke përdorur zgjerimin e rreshtit të parë dhe rregullin e trekëndëshit.

Zgjidhja:

Shembulli 3. Llogaritni përcaktorin duke përdorur vetitë:

III .Përforcimi i materialit të studiuar.

nr 1. Llogaritni përcaktuesit:

№ 2. Zgjidh ekuacionet:

Nr. 4. Llogaritni përcaktorët duke përdorur vetitë:

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

Letërsia

1. Pismenny, D. T. Shënime leksioni mbi matematikën e lartë: një kurs i plotë nga D. T. Pismenny. - botimi i 9-të. – M.: Iris-press, 2009. 608 f.: ill. - (Arsimi i lartë).

2. Lungu, K. N. Përmbledhje problemash në matematikën e lartë. Viti i parë / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu. - botimi i 7-të. – M.: Iris-press, 2008. 576 fq.: – (Arsimi i lartë).

Tema 1. Matricat dhe sistemet

Koncepti i matricës

Përkufizimi 1.Matricë

.

Këtu, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - elementet e matricës, i- Numri i linjes, j m=n quhet matrica katrore matrica e rendit n.

i¹j janë të barabarta me zero, quhet diagonale:

beqare

i pavlefshëm dhe shënohet me θ.

- rreshti i matricës; - kolona e matricës.

përcaktues(ose përcaktues).

Përcaktuesit e rendit të dytë

Përkufizimi 2. RRETH kufizues i rendit të dytë matricat , kjo eshte

. (3)

Emërtime të tjera: , .

Kështu, koncepti i një përcaktori presupozon njëkohësisht një metodë për llogaritjen e tij. Numrat quhen elementë të përcaktorit. Diagonalja e formuar nga elementet quhet kryesore dhe elementet - anësor

Shembulli 1. Përcaktori i matricës është i barabartë me

.

Përcaktuesit e rendit të tretë

Përkufizimi 2. RRETH kufizues i rendit të tretëështë numri i shënuar me simbolin

,

dhe të përcaktuara nga barazia

Numrat - elementet përcaktues. Forma e elementeve shtëpi diagonale, elemente - anësor.

Gjatë llogaritjes së përcaktorit, për të kujtuar se cilët terma në anën e djathtë të barazisë (4) merren me shenjën "+" dhe cilët me shenjën "-", përdorni rregullën simbolike të trekëndëshave (rregulli i Sarrusit):

Me shenjën “+” merren prodhimet e elementeve të diagonales kryesore dhe elementeve që ndodhen në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore; e ndjekur nga shenja “-” – prodhimi i elementeve të diagonales dytësore dhe elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen dytësore.

Llogaritja e përcaktorit duke përdorur rregullin e caktimit të kolonës.

1. Kolonën e parë dhe të dytë e caktojmë radhazi në të djathtë të përcaktorit.

2. Ne njehsojmë prodhimet e tre elementeve diagonalisht nga e majta në të djathtë, nga lart poshtë nga A 11 deri në A 13 dhe merrini ato me shenjën "+". Pastaj llogaritim produktet e tre elementeve në mënyrë diagonale nga e majta në të djathtë, nga poshtë lart nga A 31 deri në A 13 dhe merrini ato me shenjën “-”.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Shembulli 2. Llogaritni përcaktorin duke përdorur rregullin e caktimit të kolonës.

3. Përcaktuesit n- urdhri. Minoret dhe plotësuesit algjebrikë. Llogaritja e përcaktorëve sipas zgjerimit të rreshtit (kolonës).

Le të shqyrtojmë konceptin e një përcaktori n- asnjë urdhër. Përcaktues n- renditja e lartë është numri i lidhur me matricën n- të një radhe të caktuar dhe të llogaritur sipas një ligji të caktuar.

,

këtu janë elementet e përcaktorit. Të tregojë rregullën me të cilën zbulohet përcaktorja n Rendi i parë, le të shohim disa koncepte.

Përkufizimi 4. Të mitur element përcaktues n-rendi i th quhet percaktor ( n- 1) rendi i marrë duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën e përcaktorit në kryqëzimin e të cilit ndodhet ky element.

Përkufizimi 5. Komplement algjebrik disa elemente të përcaktorit n Rendi i th quhet minor i këtij elementi shumëzuar me , domethënë .

Në një përcaktues të rendit të tretë mund të merret parasysh, për shembull,

, .

, .

Përkufizimi 6. Përcaktor n- i rendit më të lartë është një numër i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të rreshtit të parë të përcaktorit të shumëzuar me plotësimet e tyre algjebrike.

Ky rregull për llogaritjen e përcaktorit quhet zgjerimi përgjatë rreshtit të parë.

Teorema (për zgjerimin e përcaktorit). Përcaktori mund të llogaritet duke u zgjeruar mbi çdo rresht ose kolonë.

– shuma e prodhimeve të elementeve të kolonës së parë me plotësimet algjebrike të kolonës së dytë.

Shembulli 3. Llogaritni përcaktorin e rendit të katërt .

Zgjidhje. Ne e shumëzojmë rreshtin e tretë me (-1) dhe e shtojmë atë në të katërtin, pastaj zgjerojmë përcaktorin përgjatë vijës së katërt:

Përcaktori i rendit të tretë u zgjerua përgjatë rreshtit të parë.

Metoda e Gausit.

Metoda e Gausitështë se sistemi origjinal, duke eliminuar të panjohurën, shndërrohet në hap pas hapi mendjen. Në këtë rast, transformimet kryhen në rreshta në matricën e zgjeruar, pasi transformimet që përjashtojnë të panjohurat janë ekuivalente me transformimet elementare të rreshtave të matricës.

Metoda Gaussian përbëhet nga goditje përpara Dhe e kundërta. Qasja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian është zvogëlimi i matricës së zgjeruar të sistemit (1) në një formë hap pas hapi me anë të transformimeve elementare mbi rreshtat. Pas së cilës sistemi shqyrtohet për qëndrueshmëri dhe siguri. Pastaj sistemi i ekuacioneve rindërtohet duke përdorur matricën e hapave. Zgjidhja e këtij sistemi hap pas hapi të ekuacioneve është e kundërta e metodës Gaussian, në të cilën, duke filluar nga ekuacioni i fundit, të panjohurat me një numër serial të madh llogariten në mënyrë sekuenciale dhe vlerat e tyre zëvendësohen në ekuacionin e mëparshëm të sistemit.

Ne studiojmë sistemin në fund të lëvizjes përpara duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli duke krahasuar radhët e matricës së sistemit A dhe matricës së zgjeruar A´. Rastet e mëposhtme janë të mundshme.

1) Nëse , atëherë sistemi është jokonsistent (sipas teoremës Kronecker-Capelli).

2) Nëse , atëherë sistemi (1) është i përcaktuar, dhe anasjelltas (pa provë).

3) Nëse , atëherë sistemi (1) është i pasigurt, dhe anasjelltas (pa provë).

Pabarazia nuk vlen, pasi matrica A është pjesë e matricës A´, pabarazia nuk vlen, pasi numri i kolonave të matricës A është i barabartë P. Për më tepër, për një sistem me një matricë katrore, domethënë nëse P = T, barazitë janë ekuivalente me faktin se .

Nëse sistemi është i pasigurt, pra ekzekutohet, atëherë disa nga të panjohurat e tij shpallen të lira dhe pjesa tjetër shprehen përmes tyre. Numri i të panjohurave të lira është . Gjatë kryerjes së të kundërt të metodës Gaussian, nëse në ekuacionin vijues, pas zëvendësimit të ndryshoreve të gjetura më parë, mbetet më shumë se një e panjohur, atëherë çdo e panjohur përveç njërës shpallet të panjohura të lira.

Le të shohim zbatimin e metodës Gauss duke përdorur shembuj.

Shembull 4. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje. Le ta zgjidhim sistemin duke përdorur metodën Gaussian. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe ta sjellim atë në një formë hap pas hapi duke përdorur transformimet elementare të rreshtave (lëvizja e drejtpërdrejtë).

~ ~ ~

~ ~ .

Prandaj, sistemi është konsistent dhe ka një zgjidhje unike, d.m.th. është e sigurt.

Le të krijojmë një sistem hap pas hapi dhe ta zgjidhim atë (e kundërt).

Kontrolli mund të bëhet lehtësisht me zëvendësim.

Përgjigju: .

Tema 2. Algjebra vektoriale.

Projeksioni i një vektori mbi një bosht.

Përkufizimi 2. Projeksion vektorial për aks lështë një numër i barabartë me gjatësinë e segmentit AB ky bosht, i mbyllur midis projeksioneve të fillimit dhe fundit të vektorit, i marrë me shenjën "+", nëse segmenti AB i orientuar (duke numëruar nga A për të NË) në anën pozitive të boshtit l dhe shenja “-” - përndryshe (shih Fig. 2).

Emërtimi: .

Teorema 1. Projeksioni i një vektori në bosht është i barabartë me produktin e modulit të tij dhe kosinusit të këndit midis vektorit dhe drejtimit pozitiv të boshtit (Fig. 3):

. (1)

Fig.3. Fig.4.

Dëshmi. Nga (Fig. 3) marrim . Drejtimi i segmentit përkon me drejtimin pozitiv të boshtit, prandaj barazia është e vërtetë. Në rastin e orientimit të kundërt (Fig. 4) kemi . Teorema është vërtetuar.

Le të shqyrtojmë vetitë e projeksioneve.

Prona 1. Projeksioni i shumës së dy vektorëve dhe mbi bosht është i barabartë me shumën e projeksioneve të tyre në të njëjtin bosht, d.m.th.

Fig.5.

Vërtetimi në rastin e një prej rregullimeve të mundshme të vektorëve vjen nga Figura 5. Në të vërtetë, sipas përkufizimit 2

Vetia 1 është e vërtetë për çdo numër të kufizuar termash vektorësh.

Prona 2. Kur një vektor shumëzohet me një numër l, projeksioni i tij shumëzohet me këtë numër

. (2)

Le të vërtetojmë barazinë (2). Kur vektorët dhe formojnë të njëjtin kënd me boshtin. Nga teorema 1

Kur vektorët dhe formojnë kënde dhe me bosht, përkatësisht. Teorema 1

Për , ne marrim barazinë e dukshme

Përfundim nga pronat 1 dhe 2. Projeksioni i një kombinimi linear vektorësh është i barabartë me të njëjtin kombinim linear të projeksioneve të këtyre vektorëve, d.m.th.

Tema 1. Matricat dhe sistemet

Koncepti i matricës

Përkufizimi 1.Matricë madhësia është një tabelë drejtkëndëshe me numra ose shprehje alfabetike të shkruara në formë

.

Këtu, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - elementet e matricës, i- Numri i linjes, j- numri i kolonës. Matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin A, B, C, etj., si dhe ose . Në m=n quhet matrica katrore matrica e rendit n.

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët kanë indekse të pabarabarta i¹j janë të barabarta me zero, quhet diagonale:

Nëse të gjithë elementët jozero të një matrice diagonale janë të barabartë me një, atëherë matrica quhet beqare. Matrica e identitetit zakonisht shënohet me shkronjën E.

Quhet një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë zero i pavlefshëm dhe shënohet me θ.

Ekzistojnë gjithashtu matrica që përbëhen nga një rresht ose një kolonë.

- rreshti i matricës; - kolona e matricës.

Karakteristika numerike e një matrice katrore është përcaktues(ose përcaktues).

Përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë, vetitë e tyre.

Përcaktuesit e rendit të dytë

Përkufizimi 2. RRETH kufizues i rendit të dytë matricat (ose thjesht një përcaktor i rendit të dytë) është një numër i shënuar me një simbol dhe i përcaktuar nga barazia , kjo eshte

. (3)

Emërtime të tjera: , .

Për të gjetur përcaktuesin e një matrice, duhet të përdorni formula që janë të vlefshme për përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë.

Formula

Le të jepet një matricë e rendit të dytë $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Pastaj përcaktori i tij llogaritet duke përdorur formulën:

$$ \Delta = \fillimi(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

Nga prodhimi i elementeve të vendosur në diagonalen kryesore $ a_(11)\cdot a_(22) $, zbritet prodhimi i elementeve të vendosura në diagonalen dytësore $ a_(12)\cdot a_(21) $. Ky rregull është i vërtetë vetëm (!) për një përcaktues të rendit të dytë.

Nëse i jepet një matricë e rendit të tretë $ A = \fillim(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, atëherë përcaktori i tij duhet të llogaritet duke përdorur formulën:

$$ \Delta = \fillimi(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

Shembuj zgjidhjesh