§ 2. Shprehje identike, identitet. Shndërrim identik i një shprehjeje. Dëshmitë e identitetit
Le të gjejmë vlerat e shprehjeve 2(x - 1) 2x - 2 për vlerat e dhëna të ndryshores x. Le të shkruajmë rezultatet në tabelë:
Mund të arrijmë në përfundimin se vlerat e shprehjeve 2(x - 1) 2x - 2 për secilën vlerë të dhënë të ndryshores x janë të barabarta me njëra-tjetrën. Sipas vetive shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me zbritjen, 2(x - 1) = 2x - 2. Prandaj, për çdo vlerë tjetër të ndryshores x, vlera e shprehjes 2(x - 1) 2x - 2 do të jetë gjithashtu të barabartë me njëri-tjetrin. Shprehje të tilla quhen identike të barabarta.
Për shembull, shprehjet 2x + 3x dhe 5x janë sinonime, pasi për secilën vlerë të ndryshores x këto shprehje marrin të njëjtat vlera (kjo rrjedh nga vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen, pasi 2x + 3x = 5x).
Le të shqyrtojmë tani shprehjet 3x + 2y dhe 5xy. Nëse x = 1 dhe b = 1, atëherë vlerat përkatëse të këtyre shprehjeve janë të barabarta me njëra-tjetrën:
3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Sidoqoftë, mund të specifikoni vlerat e x dhe y për të cilat vlerat e këtyre shprehjeve nuk do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën. Për shembull, nëse x = 2; y = 0, atëherë
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Rrjedhimisht, ka vlera të variablave për të cilat vlerat përkatëse të shprehjeve 3x + 2y dhe 5xy nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën. Prandaj, shprehjet 3x + 2y dhe 5xy nuk janë identike të barabarta.
Bazuar në sa më sipër, identitetet, në veçanti, janë barazitë: 2(x - 1) = 2x - 2 dhe 2x + 3x = 5x.
Një identitet është çdo barazi që përshkruan vetitë e njohura të veprimeve në numra. Për shembull,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
Identitetet përfshijnë barazitë e mëposhtme:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Nëse kombinojmë terma të ngjashëm në shprehjen -5x + 2x - 9, marrim se 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Në këtë rast, ata thonë se shprehja 5x + 2x - 9 është zëvendësuar me shprehjen identike 7x - 9.
Transformimet identike të shprehjeve me ndryshore kryhen duke përdorur vetitë e veprimeve mbi numrat. Në veçanti, transformime identike me kllapa hapëse, ndërtimi i termave të ngjashëm dhe të ngjashme.
Shndërrime identike duhet të kryhen kur thjeshtohet një shprehje, pra zëvendësimi i një shprehjeje të caktuar me një shprehje identike të barabartë, e cila duhet ta bëjë shënimin më të shkurtër.
Shembulli 1. Thjeshtoni shprehjen:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 b + 3 b - A= 3a + 5b + 2.
Për të vërtetuar se barazia është një identitet (me fjalë të tjera, për të vërtetuar identitetin, përdoren transformime identike të shprehjeve.
Ju mund ta provoni identitetin në një nga mënyrat e mëposhtme:
- kryeni transformime identike në anën e majtë, duke e reduktuar atë në formën e anës së djathtë;
- kryeni transformime identike në anën e djathtë, duke e reduktuar atë në formën e anës së majtë;
- kryejnë transformime identike në të dyja pjesët e tij, duke i ngritur të dyja pjesët në të njëjtat shprehje.
Shembulli 2. Vërtetoni identitetin:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);
3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.
R a s i z a n i .
1) Transformoni anën e majtë të kësaj barazie:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.
Me anë të transformimeve identitare, shprehja në anën e majtë të barazisë u reduktua në formën e anës së djathtë dhe në këtë mënyrë vërtetoi se kjo barazi është një identitet.
2) Transformoni anën e djathtë të kësaj barazie:
5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.
Me anë të transformimeve identitare, ana e djathtë e barazisë u reduktua në formën e anës së majtë dhe në këtë mënyrë u vërtetua se kjo barazi është një identitet.
3) Në këtë rast, është e përshtatshme të thjeshtoni të dyja anët e majta dhe të djathta të barazisë dhe të krahasoni rezultatet:
2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Me shndërrime identike, ana e majtë dhe e djathtë e barazisë u reduktuan në të njëjtën formë: 26x - 44. Prandaj, kjo barazi është një identitet.
Cilat shprehje quhen identike? Jepni një shembull të shprehjeve identike. Çfarë lloj barazie quhet identitet? Jepni një shembull të një identiteti. Çfarë quhet transformim identiteti i një shprehjeje? Si të vërtetohet identiteti?
- (Me gojë) Ose ka shprehje që janë identike të barabarta:
1) 2a + a dhe 3a;
2) 7x + 6 dhe 6 + 7x;
3) x + x + x dhe x 3;
4) 2 (x - 2) dhe 2x - 4;
5) m - n dhe n - m;
6) 2a ∙ p dhe 2p ∙ a?
- A janë shprehjet identike të barabarta:
1) 7x - 2x dhe 5x;
2) 5a - 4 dhe 4 - 5a;
3) 4m + n dhe n + 4m;
4) a + a dhe a 2;
5) 3 (a - 4) dhe 3a - 12;
6) 5m ∙ n dhe 5m + n?
- (Verbalisht) është barazia e identitetit të Lee:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- Hap kllapa:
- Hap kllapa:
- Kombinoni terma të ngjashëm:
- Emërtoni disa shprehje identike me shprehjen 2a + 3a.
- Thjeshtoni shprehjen duke përdorur ndërrimin dhe vetitë lidhëse të shumëzimit:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 g);
4)- x ∙<-7у).
- Thjeshtoni shprehjen:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7a ∙ (-1,2);
3) 0,2 x ∙ (-3у);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Me gojë) Thjeshtoni shprehjen:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a ∙ (-2b).
- Kombinoni terma të ngjashëm:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;
2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3 (2р - 7) - 2 (r - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Hapni kllapat dhe kombinoni terma të ngjashëm:
1) 3 (8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2 (3p - 1);
3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);
4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), nëse x = 2,4;
2) 1.3 (2a - 1) - 16.4, nëse a = 10;
3) 1.2 (m - 5) - 1.8 (10 - m), nëse m = -3.7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y, nëse x = -1, y = 1.
- Thjeshtoni shprehjen dhe gjeni kuptimin e saj:
1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), nëse x = -0,7;
2) 1.7 (y - 11) - 16.3, nëse b = 20;
3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1), nëse a = -1;
4) 5 (m - n) - 4m + 7n, nëse m = 1,8; n = -0,9.
- Provoni identitetin:
1) -(2x - y)=y - 2x;
2) 2 (x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) c - 2 = 5 (c + 2) - 4 (c + 3).
- Provoni identitetin:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7 (2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);
4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.
- Gjatësia e njërës nga brinjët e trekëndëshit është një cm, dhe gjatësia e secilës nga dy brinjët e tjera është 2 cm më e madhe se ajo. Shkruani perimetrin e trekëndëshit si shprehje dhe thjeshtoni shprehjen.
- Gjerësia e drejtkëndëshit është x cm, dhe gjatësia është 3 cm më e madhe se gjerësia. Shkruani perimetrin e drejtkëndëshit si shprehje dhe thjeshtoni shprehjen.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4p - (3p - (2p - (g + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Hapni kllapat dhe thjeshtoni shprehjen:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a – 1b).
- Provoni identitetin:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);
2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2 (4 - r);
3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).
- Provoni identitetin:
1) 12a - ((8a - 16)) = -4 (4 - 5a);
2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Vërtetoni se kuptimi i shprehjes
1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) nuk varet nga vlera e ndryshores.
- Vërtetoni se për çdo vlerë të ndryshores vlera e shprehjes
a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)
është i njëjti numër.
- Vërtetoni se shuma e tre numrave çift të njëpasnjëshëm është e pjesëtueshme me 6.
- Vërtetoni se nëse n është numër natyror, atëherë vlera e shprehjes -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) është numër çift.
Ushtrime për të përsëritur
- Një aliazh që peshon 1.6 kg përmban 15% bakër. Sa kg bakër përmban kjo aliazh?
- Sa përqind është numri 20 i tij:
1) katror;
- Turisti eci 2 orë në këmbë dhe 3 orë me biçikletë. Në total, turisti përshkoi 56 km. Gjeni shpejtësinë me të cilën turisti po lëvizte me biçikletë, nëse është 12 km/h më shumë se shpejtësia me të cilën ai ishte duke ecur.
Detyra interesante për nxënësit dembelë
- Në kampionatin e futbollit të qytetit marrin pjesë 11 skuadra. Secila skuadër luan një ndeshje kundër tjetrës. Vërtetoni se në çdo moment të garës ka një ekip që do të ketë luajtur një numër të barabartë ndeshjesh në atë moment ose nuk ka luajtur ende asnjë.
Pasi të jemi marrë me konceptin e identiteteve, mund të kalojmë në studimin e shprehjeve identike të barabarta. Qëllimi i këtij artikulli është të shpjegojë se çfarë është dhe të tregojë me shembuj se cilat shprehje do të jenë identike të barabarta me të tjerat.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Shprehje identike të barabarta: përkufizim
Koncepti i shprehjeve identike të barabarta zakonisht studiohet së bashku me vetë konceptin e identitetit si pjesë e një kursi shkollor algjebër. Këtu është përkufizimi bazë i marrë nga një libër shkollor:
Përkufizimi 1
Në mënyrë identike të barabartë Njëra-tjetra do të ketë shprehje të tilla, vlerat e të cilave do të jenë të njëjta për çdo vlerë të mundshme të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre.
Gjithashtu, ato shprehje numerike me të cilat do të korrespondojnë të njëjtat vlera konsiderohen identike të barabarta.
Ky është një përkufizim mjaft i gjerë që do të jetë i vërtetë për të gjitha shprehjet me numra të plotë kuptimi i të cilave nuk ndryshon kur ndryshojnë vlerat e variablave. Megjithatë, më vonë bëhet i nevojshëm sqarimi i këtij përkufizimi, pasi përveç numrave të plotë, ekzistojnë lloje të tjera shprehjesh që nuk do të kenë kuptim me ndryshore të caktuara. Kjo lind konceptin e pranueshmërisë dhe papranueshmërisë së disa vlerave të ndryshueshme, si dhe nevojën për të përcaktuar diapazonin e vlerave të lejueshme. Le të formulojmë një përkufizim të rafinuar.
Përkufizimi 2
Shprehje identike të barabarta- këto janë ato shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën për çdo vlerë të lejuar të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre. Shprehjet numerike do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën me kusht që vlerat të jenë të njëjta.
Shprehja "për çdo vlerë të vlefshme të variablave" tregon të gjitha ato vlera të variablave për të cilat të dyja shprehjet do të kenë kuptim. Këtë pikë do ta shpjegojmë më vonë kur të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.
Ju gjithashtu mund të jepni përkufizimin e mëposhtëm:
Përkufizimi 3
Shprehjet identike të barabarta janë shprehje të vendosura në të njëjtin identitet në anën e majtë dhe të djathtë.
Shembuj shprehjesh që janë identike të barabarta me njëra-tjetrën
Duke përdorur përkufizimet e dhëna më sipër, le të shohim disa shembuj të shprehjeve të tilla.
Le të fillojmë me shprehjet numerike.
Shembulli 1
Kështu, 2 + 4 dhe 4 + 2 do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, pasi rezultatet e tyre do të jenë të barabarta (6 dhe 6).
Shembulli 2
Në të njëjtën mënyrë, shprehjet 3 dhe 30 janë identike të barabarta: 10, (2 2) 3 dhe 2 6 (për të llogaritur vlerën e shprehjes së fundit duhet të dini vetitë e shkallës).
Shembulli 3
Por shprehjet 4 - 2 dhe 9 - 1 nuk do të jenë të barabarta, pasi vlerat e tyre janë të ndryshme.
Le të kalojmë te shembujt e shprehjeve fjalë për fjalë. a + b dhe b + a do të jenë identike të barabarta, dhe kjo nuk varet nga vlerat e variablave (barazia e shprehjeve në këtë rast përcaktohet nga vetia komutative e mbledhjes).
Shembulli 4
Për shembull, nëse a është e barabartë me 4 dhe b është e barabartë me 5, atëherë rezultatet do të jenë ende të njëjta.
Një shembull tjetër i shprehjeve identike të barabarta me shkronja është 0 · x · y · z dhe 0. Sido që të jenë vlerat e variablave në këtë rast, kur shumëzohen me 0, ato do të japin 0. Shprehjet e pabarabarta janë 6 · x dhe 8 · x, pasi ato nuk do të jenë të barabarta për asnjë x.
Në rast se zonat e vlerave të lejuara të variablave përkojnë, për shembull, në shprehjet a + 6 dhe 6 + a ose a · b · 0 dhe 0, ose x 4 dhe x, dhe vlerat e vetë shprehjet janë të barabarta për çdo variabël, atëherë shprehjet e tilla konsiderohen identike të barabarta. Pra, a + 8 = 8 + a për çdo vlerë të a, dhe a · b · 0 = 0 gjithashtu, pasi shumëzimi i çdo numri me 0 rezulton në 0. Shprehjet x 4 dhe x do të jenë identike të barabarta për çdo x nga intervali [0, + ∞).
Por diapazoni i vlerave të vlefshme në një shprehje mund të jetë i ndryshëm nga diapazoni i një tjetri.
Shembulli 5
Për shembull, le të marrim dy shprehje: x − 1 dhe x - 1 · x x. Për të parën prej tyre, diapazoni i vlerave të lejuara të x do të jetë i gjithë grupi i numrave realë, dhe për të dytën - grupi i të gjithë numrave realë, me përjashtim të zeros, sepse atëherë do të marrim 0 në emërues, dhe një ndarje e tillë nuk është e përcaktuar. Këto dy shprehje kanë një gamë të përbashkët vlerash të formuara nga kryqëzimi i dy vargjeve të veçanta. Mund të konkludojmë se të dyja shprehjet x - 1 · x x dhe x − 1 do të kenë kuptim për çdo vlerë reale të variablave, me përjashtim të 0.
Vetia bazë e thyesës na lejon gjithashtu të konkludojmë se x - 1 · x x dhe x - 1 do të jenë të barabarta për çdo x që nuk është 0. Kjo do të thotë se në gamën e përgjithshme të vlerave të lejuara këto shprehje do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, por për çdo x real nuk mund të flasim për barazi identike.
Nëse një shprehje e zëvendësojmë me një tjetër, e cila është identike e barabartë me të, atëherë ky proces quhet transformim identiteti. Ky koncept është shumë i rëndësishëm, dhe ne do të flasim për të në detaje në një material të veçantë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Pasi të keni fituar një ide për identitetet, është logjike të kaloni në njohjen. Në këtë artikull do t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë janë shprehjet identike të barabarta, dhe gjithashtu do të përdorim shembuj për të kuptuar se cilat shprehje janë identike të barabarta dhe cilat jo.
Navigimi i faqes.
Cilat janë shprehjet identike të barabarta?
Përkufizimi i shprehjeve identikisht të barabarta jepet paralelisht me përkufizimin e identitetit. Kjo ndodh në klasën e 7-të të algjebrës. Në librin shkollor për algjebër për klasën e 7-të nga autori Yu N. Makarychev jepet formulimi i mëposhtëm:
Përkufizimi.
- këto janë shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Shprehjet numerike që kanë vlera identike quhen gjithashtu identikisht të barabarta.
Ky përkufizim përdoret deri në klasën 8, është i vlefshëm për shprehjet me numra të plotë, pasi ato kanë kuptim për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Dhe në klasën 8, sqarohet përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta. Le të shpjegojmë se me çfarë lidhet kjo.
Në klasën e 8-të fillon studimi i llojeve të tjera të shprehjeve, të cilat, ndryshe nga shprehjet e tëra, mund të mos kenë kuptim për disa vlera të ndryshoreve. Kjo na detyron të prezantojmë përkufizimet e vlerave të lejueshme dhe të papranueshme të variablave, si dhe gamën e vlerave të lejueshme të VA të ndryshores dhe, si pasojë, të sqarojmë përkufizimin e shprehjeve identike të barabarta.
Përkufizimi.
Dy shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për të gjitha vlerat e lejueshme të variablave të përfshirë në to quhen shprehje identike të barabarta. Dy shprehje numerike që kanë të njëjtat vlera quhen gjithashtu identike të barabarta.
Në këtë përkufizim të shprehjeve identike të barabarta, ia vlen të sqarohet kuptimi i frazës "për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në to". Ai nënkupton të gjitha vlerat e tilla të ndryshoreve për të cilat të dyja shprehjet identike të barabarta kanë kuptim në të njëjtën kohë. Ne do ta shpjegojmë këtë ide në paragrafin tjetër duke parë shembuj.
Përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta në librin shkollor të A. G. Mordkovich është dhënë pak më ndryshe:
Përkufizimi.
Shprehje identike të barabarta– këto janë shprehje në anën e majtë dhe të djathtë të identitetit.
Kuptimi i këtij dhe përkufizimeve të mëparshme përkojnë.
Shembuj të shprehjeve identike të barabarta
Përkufizimet e paraqitura në paragrafin e mëparshëm na lejojnë të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.
Le të fillojmë me shprehje numerike identike të barabarta. Shprehjet numerike 1+2 dhe 2+1 janë identike të barabarta, pasi ato korrespondojnë me vlera të barabarta 3 dhe 3. Shprehjet 5 dhe 30:6 janë gjithashtu identike të barabarta, siç janë shprehjet (2 2) 3 dhe 2 6 (vlerat e shprehjeve të fundit janë të barabarta për shkak të ). Por shprehjet numerike 3+2 dhe 3−2 nuk janë identike të barabarta, pasi ato korrespondojnë me vlerat 5 dhe 1, përkatësisht, dhe ato nuk janë të barabarta.
Tani le të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta me ndryshore. Këto janë shprehjet a+b dhe b+a. Në të vërtetë, për çdo vlerë të variablave a dhe b, shprehjet e shkruara marrin të njëjtat vlera (siç vijon nga numrat). Për shembull, me a=1 dhe b=2 kemi a+b=1+2=3 dhe b+a=2+1=3 . Për çdo vlerë tjetër të variablave a dhe b, do të marrim gjithashtu vlera të barabarta të këtyre shprehjeve. Shprehjet 0·x·y·z dhe 0 janë gjithashtu identike të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve x, y dhe z. Por shprehjet 2 x dhe 3 x nuk janë identike të barabarta, pasi, për shembull, kur x=1 vlerat e tyre nuk janë të barabarta. Në të vërtetë, për x=1, shprehja 2 x është e barabartë me 2 x 1=2, dhe shprehja 3 x është e barabartë me 3 x 1=3.
Kur vargjet e vlerave të lejuara të variablave në shprehje përkojnë, si, për shembull, në shprehjet a+1 dhe 1+a, ose a·b·0 dhe 0, ose dhe, dhe vlerat e këtyre shprehjeve janë të barabarta për të gjitha vlerat e variablave nga këto zona, atëherë këtu gjithçka është e qartë - këto shprehje janë identike të barabarta për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në to. Pra, a+1≡1+a për çdo a, shprehjet a·b·0 dhe 0 janë identike të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve a dhe b, dhe shprehjet dhe janë identike të barabarta për të gjitha x të ; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Gjatë studimit të algjebrës, ne hasëm në konceptet e një polinomi (për shembull ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, etj.) dhe fraksionit algjebrik (për shembull $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, etj.) Ngjashmëria e këtyre koncepteve është se si polinomet ashtu edhe thyesat algjebrike përmbajnë variabla dhe vlera numerike , dhe aritmetika kryhet: mbledhje, zbritje, shumëzim, fuqizim.
Edhe polinomet edhe thyesat algjebrike quhen shprehje racionale algjebrike në matematikë. Por polinomet janë shprehje të plota racionale, dhe thyesat algjebrike janë shprehje racionale thyesore.
Është e mundur të merret një shprehje e tërë algjebrike nga një shprehje thyesore-racionale duke përdorur një transformim identiteti, i cili në këtë rast do të jetë vetia kryesore e një fraksioni - zvogëlimi i thyesave. Le ta kontrollojmë këtë në praktikë:
Shembulli 1
Konvertoni:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Zgjidhja: Ky ekuacion racional thyesor mund të transformohet duke përdorur vetinë bazë të reduktimit thyesor, d.m.th. pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit me të njëjtin numër ose shprehje të ndryshme nga $0$.
Kjo thyesë nuk mund të zvogëlohet menjëherë;
Le ta transformojmë shprehjen në numëruesin e thyesës, për këtë përdorim formulën për katrorin e diferencës: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Pjesa duket si
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\majtas(x-2\djathtas)(x-2))(x-2)\]
Tani shohim që numëruesi dhe emëruesi kanë një faktor të përbashkët - kjo është shprehja $x-2$, me të cilën do të zvogëlojmë thyesën
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\majtas(x-2\djathtas)(x-2))(x-2)=x-2\]
Pas reduktimit, ne zbuluam se shprehja fillestare racionale thyesore $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ u bë një polinom $x-2$, d.m.th. krejt racionale.
Tani le t'i kushtojmë vëmendje faktit që shprehjet $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dhe $x-2\ $ mund të konsiderohen identike jo për të gjitha vlerat e ndryshores, sepse në mënyrë që të ekzistojë një shprehje racionale thyesore dhe të jetë në gjendje të zvogëlohet me polinomin $x-2$, emëruesi i thyesës nuk duhet të jetë i barabartë me $0$ (si dhe faktori me të cilin po zvogëlojmë. Në këtë për shembull, emëruesi dhe faktori janë të njëjtë, por kjo nuk ndodh gjithmonë).
Vlerat e ndryshores në të cilën do të ekzistojë fraksioni algjebrik quhen vlerat e lejuara të ndryshores.
Le të vendosim një kusht në emëruesin e thyesës: $x-2≠0$, pastaj $x≠2$.
Kjo do të thotë që shprehjet $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dhe $x-2$ janë identike për të gjitha vlerat e ndryshores përveç $2$.
Përkufizimi 1
Në mënyrë identike të barabartë shprehjet janë ato që janë të barabarta për të gjitha vlerat e vlefshme të ndryshores.
Një transformim identik është çdo zëvendësim i shprehjes origjinale me një identikisht të barabartë Shndërrime të tilla përfshijnë kryerjen e veprimeve: mbledhjen, zbritjen, shumëzimin, nxjerrjen e një faktori të përbashkët jashtë kllapave, sjelljen e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët, reduktimin e thyesave algjebrike, sjelljen e ngjashme. termat etj. Është e nevojshme të merret parasysh se një numër transformimesh, si zvogëlimi, zvogëlimi i termave të ngjashëm, mund të ndryshojnë vlerat e lejuara të ndryshores.
Teknikat e përdorura për të vërtetuar identitetin
Sillni anën e majtë të identitetit në të djathtë ose anasjelltas duke përdorur transformimet e identitetit
Reduktoni të dyja anët në të njëjtën shprehje duke përdorur transformime identike
Transferoni shprehjet në një pjesë të shprehjes në një tjetër dhe provoni se diferenca që rezulton është e barabartë me $0$
Cila nga teknikat e mësipërme të përdoret për të vërtetuar një identitet të caktuar varet nga identiteti origjinal.
Shembulli 2
Vërtetoni identitetin $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Zgjidhja: Për të vërtetuar këtë identitet, ne përdorim të parën nga metodat e mësipërme, domethënë, do të transformojmë anën e majtë të identitetit derisa të jetë e barabartë me të djathtën.
Le të shqyrtojmë anën e majtë të identitetit: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - paraqet ndryshimin e dy polinomeve. Në këtë rast, polinomi i parë është katrori i shumës së tre anëtarëve Për të katrorë shumën e disa termave, ne përdorim formulën:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Për ta bërë këtë, ne duhet të shumëzojmë një numër me një polinom.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Tani le të kthehemi në polinomin origjinal, ai do të marrë formën:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Ju lutemi vini re se para kllapës ka një shenjë "-", që do të thotë se kur hapen kllapat, të gjitha shenjat që ishin në kllapa ndryshojnë në të kundërtën.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Le të paraqesim terma të ngjashëm, pastaj marrim se monomët $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dhe $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ anulojnë njëri-tjetrin, d.m.th. shuma e tyre është 0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Kjo do të thotë se me anë të transformimeve identike kemi marrë një shprehje identike në anën e majtë të identitetit origjinal.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Vini re se shprehja që rezulton tregon se identiteti origjinal është i vërtetë.
Ju lutemi vini re se në identitetin origjinal lejohen të gjitha vlerat e ndryshores, që do të thotë se ne e vërtetuam identitetin duke përdorur transformimet e identitetit dhe është e vërtetë për të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores.
