Sa është probabiliteti i një ngjarjeje. Çfarë është rastësia

Në ekonomi, si në fusha të tjera të veprimtarisë njerëzore ose në natyrë, ne vazhdimisht duhet të përballemi me ngjarje që nuk mund të parashikohen me saktësi. Kështu, vëllimi i shitjeve të një produkti varet nga kërkesa, e cila mund të ndryshojë ndjeshëm, dhe nga një sërë faktorësh të tjerë që janë pothuajse të pamundur të merren parasysh. Prandaj, kur organizoni prodhimin dhe kryeni shitjet, duhet të parashikoni rezultatin e aktiviteteve të tilla në bazë të përvojës suaj të mëparshme, ose përvojës së ngjashme të njerëzve të tjerë, ose intuitës, e cila në një masë të madhe mbështetet edhe në të dhënat eksperimentale.

Për të vlerësuar disi ngjarjen në fjalë, është e nevojshme të merren parasysh ose të organizohen posaçërisht kushtet në të cilat është regjistruar kjo ngjarje.

Zbatimi i kushteve ose veprimeve të caktuara për të identifikuar ngjarjen në fjalë quhet përvojë ose eksperiment.

Ngjarja quhet e rastit, nëse si rezultat i përvojës mund të ndodhë ose jo.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse domosdoshmërisht shfaqet si rezultat i një përvoje të caktuar, dhe e pamundur, nëse nuk mund të shfaqet në këtë përvojë.

Për shembull, reshjet e borës në Moskë më 30 nëntor janë një ngjarje e rastësishme. Lindja e përditshme e diellit mund të konsiderohet një ngjarje e besueshme. Reshjet e borës në ekuator mund të konsiderohen një ngjarje e pamundur.

Një nga detyrat kryesore në teorinë e probabilitetit është detyra e përcaktimit të një mase sasiore të mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje.

Algjebra e ngjarjeve

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të vëzhgohen së bashku në të njëjtën përvojë. Pra, prania e dy dhe tre makinave në një dyqan në të njëjtën kohë janë dy ngjarje të papajtueshme.

Shuma ngjarje është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve

Një shembull i shumës së ngjarjeve është prania e të paktën një prej dy produkteve në dyqan.

Puna ngjarjet është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e njëkohshme e të gjitha këtyre ngjarjeve

Ngjarja që përbëhet nga paraqitja e dy mallrave në një dyqan në të njëjtën kohë është produkt i ngjarjeve: - shfaqja e një produkti, - shfaqja e një produkti tjetër.

Ngjarjet formojnë një grup të plotë ngjarjesh nëse të paktën njëra prej tyre është e sigurt se do të ndodhë në përvojë.

Shembull. Porti ka dy shtretër për pranimin e anijeve. Mund të konsiderohen tre ngjarje: - mungesa e anijeve në shtrat, - prania e një anijeje në një nga shtratet, - prania e dy anijeve në dy shtretër. Këto tre ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë.

Nëse një nga ngjarjet që është e kundërt shënohet me , atëherë ngjarja e kundërt zakonisht shënohet me .

Përkufizime klasike dhe statistikore të probabilitetit të ngjarjes

Secili prej rezultateve po aq të mundshme të testeve (eksperimenteve) quhet rezultat elementar. Zakonisht ato përcaktohen me shkronja. Për shembull, hidhet një pjatë. Mund të ketë gjithsej gjashtë rezultate elementare bazuar në numrin e pikëve në anët.

Nga rezultatet elementare mund të krijoni një ngjarje më komplekse. Kështu, ngjarja e një numri çift pikash përcaktohet nga tre rezultate: 2, 4, 6.

Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes në fjalë është probabiliteti.

Përkufizimet më të përdorura të probabilitetit të një ngjarjeje janë: klasike Dhe statistikore.

Përkufizimi klasik i probabilitetit shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm.

Rezultati quhet i favorshëm ndaj një ngjarjeje të caktuar nëse ndodhja e saj nënkupton edhe ndodhjen e kësaj ngjarjeje.

Në shembullin e mësipërm, ngjarja në fjalë - një numër çift pikash në anën e rrotulluar - ka tre rezultate të favorshme. Në këtë rast, gjenerali
numri i rezultateve të mundshme. Kjo do të thotë që këtu mund të përdoret përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje.

Përkufizimi klasikështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve të mundshme

ku është probabiliteti i ngjarjes, është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen, është numri total i rezultateve të mundshme.

Në shembullin e konsideruar

Përkufizimi statistikor i probabilitetit shoqërohet me konceptin e shpeshtësisë relative të shfaqjes së një ngjarjeje në eksperimente.

Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje llogaritet duke përdorur formulën

ku është numri i ndodhive të një ngjarjeje në një seri eksperimentesh (provash).

Përkufizimi statistikor. Probabiliteti i një ngjarjeje është numri rreth të cilit frekuenca relative stabilizohet (vendos) me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve.

Në problemet praktike, probabiliteti i një ngjarjeje merret si frekuenca relative për një numër mjaft të madh provash.

Nga këto përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje është e qartë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur

Për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në formulën (1.1), shpesh përdoren formulat e kombinatorikës, të cilat përdoren për të gjetur numrin e rezultateve të favorshme dhe numrin total të rezultateve të mundshme.

Në Kur vlerësojmë probabilitetin e ndodhjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme, është shumë e rëndësishme të kuptojmë mirë nëse probabiliteti () i ndodhjes së ngjarjes që na intereson varet nga mënyra se si zhvillohen ngjarjet e tjera.

Në rastin e skemës klasike, kur të gjitha rezultatet janë njëlloj të mundshme, ne tashmë mund të vlerësojmë vlerat e probabilitetit të ngjarjes individuale me interes për ne në mënyrë të pavarur. Ne mund ta bëjmë këtë edhe nëse ngjarja është një koleksion kompleks i disa rezultateve elementare. Po sikur disa ngjarje të rastësishme të ndodhin njëkohësisht ose në vazhdimësi? Si ndikon kjo në gjasat e ngjarjes që ne jemi të interesuar të ndodhë?

Nëse hedh një kupë disa herë dhe dua që të dalë një gjashtë, dhe vazhdoj të jem i pafat, a do të thotë kjo që duhet të rris bast sepse, sipas teorisë së probabilitetit, do të kem fat? Mjerisht, teoria e probabilitetit nuk thotë diçka të tillë. Pa zare, pa letra, pa monedha nuk mbaj mend çfarë na treguan herën e fundit. Për ta nuk ka fare rëndësi nëse është hera e parë apo e dhjetë që provoj fatin sot. Sa herë që përsëris rrotullën, di vetëm një gjë: dhe këtë herë probabiliteti për të marrë një gjashtë është përsëri një e gjashta. Sigurisht, kjo nuk do të thotë që numri që më nevojitet nuk do të dalë kurrë. Kjo do të thotë vetëm se humbja ime pas gjuajtjes së parë dhe pas çdo gjuajtjeje tjetër janë ngjarje të pavarura.

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarur, nëse zbatimi i njërës prej tyre nuk ndikon në asnjë mënyrë në probabilitetin e një ngjarjeje tjetër. Për shembull, mundësitë për të goditur një objektiv me të parën nga dy armët nuk varen nga fakti nëse objektivi është goditur nga arma tjetër, kështu që ngjarjet "arma e parë goditi objektivin" dhe "arma e dytë goditi objektivin" janë të pavarur.

Nëse dy ngjarje A dhe B janë të pavarura, dhe probabiliteti i secilës prej tyre është i njohur, atëherë probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të ngjarjes A dhe ngjarjes B (që shënohet AB) mund të llogaritet duke përdorur teoremën e mëposhtme.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura

P(AB) = P(A)*P(B)- probabiliteti të njëkohshme fillimi i dy të pavarur ngjarjet është e barabartë me puna gjasat e këtyre ngjarjeve.

Shembull.Mundësitë e goditjes së objektivit gjatë gjuajtjes së armës së parë dhe të dytë janë përkatësisht të barabarta: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Gjeni mundësinë e një goditjeje me një salvo nga të dy armët njëkohësisht.

Zgjidhja: siç e kemi parë tashmë, ngjarjet A (goditja nga arma e parë) dhe B (goditja nga arma e dytë) janë të pavarura, d.m.th. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Çfarë ndodh me vlerësimet tona nëse ngjarjet fillestare nuk janë të pavarura? Le të ndryshojmë pak shembullin e mëparshëm.

Shembull.Dy gjuajtës qëllojnë objektivat në një garë dhe nëse njëri prej tyre gjuan me saktësi, kundërshtari fillon të nervozohet dhe rezultatet e tij përkeqësohen. Si ta kthejmë këtë situatë të përditshme në një problem matematikor dhe të përshkruajmë mënyra për ta zgjidhur atë? Është intuitivisht e qartë se është e nevojshme që disi të ndahen dy opsionet për zhvillimin e ngjarjeve, për të krijuar në thelb dy skenarë, dy detyra të ndryshme. Në rastin e parë, nëse kundërshtari humbi, skenari do të jetë i favorshëm për sportistin nervoz dhe saktësia e tij do të jetë më e lartë. Në rastin e dytë, nëse kundërshtari e ka shfrytëzuar në mënyrë të denjë shansin e tij, probabiliteti për të goditur objektivin për atletin e dytë zvogëlohet.

Për të ndarë skenarët e mundshëm (shpesh të quajtur hipoteza) për zhvillimin e ngjarjeve, ne shpesh do të përdorim një diagram të "pemës së probabilitetit". Ky diagram është i ngjashëm në kuptim me pemën e vendimeve me të cilën ndoshta keni trajtuar tashmë. Çdo degë përfaqëson një skenar të veçantë për zhvillimin e ngjarjeve, vetëm tani ajo ka kuptimin e vet të të ashtuquajturit kushtëzuar probabilitetet (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Kjo skemë është shumë e përshtatshme për analizimin e ngjarjeve të rastësishme të njëpasnjëshme.

Mbetet për të sqaruar një pyetje më të rëndësishme: nga vijnë vlerat fillestare të probabiliteteve? situata reale ? Në fund të fundit, teoria e probabilitetit nuk funksionon vetëm me monedha dhe zare? Zakonisht këto vlerësime merren nga statistikat dhe kur informacioni statistikor nuk është i disponueshëm, ne kryejmë kërkimin tonë. Dhe shpesh duhet ta fillojmë jo me mbledhjen e të dhënave, por me pyetjen se çfarë informacioni na nevojitet në të vërtetë.

Shembull.Le të themi se duhet të vlerësojmë në një qytet me një popullsi prej njëqind mijë banorësh vëllimin e tregut për një produkt të ri që nuk është një artikull thelbësor, për shembull, për një balsam për kujdesin e flokëve të lyer. Le të shqyrtojmë diagramin "pema e probabilitetit". Në këtë rast, ne duhet të vlerësojmë përafërsisht vlerën e probabilitetit në secilën "degë". Pra, vlerësimet tona të kapacitetit të tregut:

1) nga të gjithë banorët e qytetit, 50% janë gra,

2) nga të gjitha gratë, vetëm 30% i lyejnë flokët shpesh,

3) prej tyre, vetëm 10% përdorin balsam për flokë të lyer,

4) prej tyre, vetëm 10% mund të marrin guximin për të provuar një produkt të ri,

5) 70% e tyre zakonisht blejnë gjithçka jo nga ne, por nga konkurrentët tanë.

Zgjidhja: Sipas ligjit të shumëzimit të probabiliteteve, ne përcaktojmë probabilitetin e ngjarjes që na intereson A = (një banor i qytetit e blen këtë balsam të ri nga ne) = 0,00045.

Le ta shumëzojmë këtë vlerë probabiliteti me numrin e banorëve të qytetit. Si rrjedhojë kemi vetëm 45 klientë potencialë dhe duke pasur parasysh që një shishe e këtij produkti zgjat disa muaj, tregtimi nuk është shumë i gjallë.

E megjithatë ka disa përfitime nga vlerësimet tona.

Së pari, ne mund të krahasojmë parashikimet e ideve të ndryshme të biznesit, ato do të kenë "pirunë" të ndryshëm në diagrame, dhe, natyrisht, vlerat e probabilitetit do të jenë gjithashtu të ndryshme.

Së dyti, siç kemi thënë tashmë, një ndryshore e rastësishme nuk quhet e rastësishme sepse nuk varet fare nga asgjë. Vetëm ajo saktë kuptimi nuk dihet paraprakisht. Ne e dimë se numri mesatar i blerësve mund të rritet (për shembull, duke reklamuar një produkt të ri). Pra, ka kuptim t'i përqendrojmë përpjekjet tona në ato "pirunë" ku shpërndarja e probabilitetit nuk na përshtatet veçanërisht, në ata faktorë që ne jemi në gjendje të ndikojmë.

Le të shohim një shembull tjetër sasior të hulumtimit të sjelljes së konsumatorit.

Shembull. Mesatarisht, 10,000 njerëz vizitojnë tregun ushqimor në ditë. Probabiliteti që një vizitor tregu të hyjë në pavionin e produkteve të qumështit është 1/2. Dihet se ky pavijon shet mesatarisht 500 kg produkte të ndryshme në ditë.

A mund të themi se blerja mesatare në pavijon peshon vetëm 100 g?

Diskutim. Sigurisht që jo. Është e qartë se jo të gjithë ata që hynë në pavijon përfunduan duke blerë diçka atje.

Siç tregohet në diagram, për t'iu përgjigjur pyetjes për peshën mesatare të një blerjeje, duhet të gjejmë një përgjigje për pyetjen, sa është probabiliteti që një person që hyn në pavijon të blejë diçka atje. Nëse nuk kemi në dispozicion të dhëna të tilla, por na duhen, do të duhet t'i marrim vetë duke vëzhguar vizitorët në pavijon për disa kohë. Le të themi se vëzhgimet tona treguan se vetëm një e pesta e vizitorëve të pavijonit blejnë diçka.

Pasi të kemi marrë këto vlerësime, detyra bëhet e thjeshtë. Nga 10,000 persona që do të vijnë në treg, 5000 do të shkojnë në pavijonin e produkteve të qumështit do të ketë vetëm 1000 blerje Pesha mesatare e blerjeve është 500 gram. Është interesante të theksohet se për të ndërtuar një pamje të plotë të asaj që po ndodh, logjika e "degëzimit" të kushtëzuar duhet të përcaktohet në çdo fazë të arsyetimit tonë aq qartë sikur të punonim me një situatë "specifike" dhe jo. me probabilitete.

Detyrat e vetë-testimit

1. Le të jetë një qark elektrik i përbërë nga n elementë të lidhur në seri, secili prej të cilëve vepron në mënyrë të pavarur nga të tjerët.

Probabiliteti p i dështimit të secilit element është i njohur. Përcaktoni probabilitetin e funksionimit të duhur të të gjithë seksionit të qarkut (ngjarja A).

2. Studenti di 20 nga 25 pyetjet e provimit. Gjeni probabilitetin që studenti t'i dijë tre pyetjet që i janë bërë nga ekzaminuesi.

3. Prodhimi përbëhet nga katër faza të njëpasnjëshme, në secilën prej të cilave funksionon pajisja, për të cilat gjasat e dështimit gjatë muajit të ardhshëm janë përkatësisht të barabarta me p 1, p 2, p 3 dhe p 4. Gjeni probabilitetin që nuk do të ketë ndërprerje të prodhimit për shkak të dështimit të pajisjeve brenda një muaji.

probabiliteti- një numër midis 0 dhe 1 që pasqyron shanset që të ndodhë një ngjarje e rastësishme, ku 0 është mungesa e plotë e probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes dhe 1 do të thotë që ngjarja në fjalë do të ndodhë patjetër.

Probabiliteti i ngjarjes E është një numër nga 1.
Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve reciprokisht përjashtuese është e barabartë me 1.

probabiliteti empirik- probabiliteti, i cili llogaritet si frekuencë relative e një ngjarjeje në të kaluarën, e nxjerrë nga analiza e të dhënave historike.

Probabiliteti i ngjarjeve shumë të rralla nuk mund të llogaritet në mënyrë empirike.

probabiliteti subjektiv- probabiliteti i bazuar në një vlerësim personal subjektiv të një ngjarjeje pa marrë parasysh të dhënat historike. Investitorët që marrin vendime për të blerë dhe shitur aksione shpesh veprojnë bazuar në konsideratat e probabilitetit subjektiv.

probabilitet paraprak -

Mundësia është 1 në... (shanset) që një ngjarje të ndodhë përmes konceptit të probabilitetit. Mundësia për të ndodhur një ngjarje shprehet përmes probabilitetit si më poshtë: P/(1-P).

Për shembull, nëse probabiliteti i një ngjarje është 0.5, atëherë mundësia e ngjarjes është 1 nga 2 sepse 0,5/(1-0,5).

Mundësia që një ngjarje të mos ndodhë llogaritet duke përdorur formulën (1-P)/P

Probabilitet i paqëndrueshëm- për shembull, çmimi i aksioneve të shoqërisë A merr parasysh ngjarjen e mundshme E me 85%, dhe çmimi i aksioneve të shoqërisë B merr parasysh vetëm 50%. Kjo quhet probabilitet i paqëndrueshëm. Sipas teoremës holandeze të basteve, probabiliteti i paqëndrueshëm krijon mundësi fitimi.

Probabilitet i pakushtëzuarështë përgjigja e pyetjes “Sa është probabiliteti që ngjarja të ndodhë?”

Probabiliteti i kushtëzuar- kjo është përgjigja e pyetjes: "Sa është probabiliteti i ngjarjes A nëse ndodh ngjarja B." Probabiliteti i kushtëzuar shënohet si P(A|B).

Probabiliteti i përbashkët- probabiliteti që ngjarjet A dhe B të ndodhin njëkohësisht. Shënohet si P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Rregulla për përmbledhjen e probabiliteteve:

Probabiliteti që ngjarja A ose ngjarja B të ndodhë është

P (A ose B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Nëse ngjarjet A dhe B janë reciprokisht ekskluzive, atëherë

P (A ose B) = P(A) + P(B)

Ngjarjet e pavarura- ngjarjet A dhe B janë të pavarura nëse

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Kjo do të thotë, është një sekuencë rezultatesh ku vlera e probabilitetit është konstante nga një ngjarje në tjetrën.
Hedhja e monedhës është një shembull i një ngjarjeje të tillë - rezultati i çdo hedhjeje pasuese nuk varet nga rezultati i asaj të mëparshme.

Ngjarjet e varura- këto janë ngjarje ku probabiliteti i ndodhjes së njërës varet nga probabiliteti i ndodhjes së një tjetri.

Rregulli për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:
Nëse ngjarjet A dhe B janë të pavarura, atëherë

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Rregulli i probabilitetit total:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S dhe S" janë ngjarje ekskluzive reciproke

vlera e pritur një ndryshore e rastësishme është mesatarja e rezultateve të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme. Për ngjarjen X, pritshmëria shënohet si E(X).

Le të themi se kemi 5 vlera të ngjarjeve ekskluzive reciproke me një probabilitet të caktuar (për shembull, të ardhurat e një kompanie ishin kaq dhe kaq shumë me një probabilitet të tillë). Vlera e pritur është shuma e të gjitha rezultateve shumëzuar me probabilitetin e tyre:

Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria e devijimeve katrore të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj:

s 2 = E( 2 ) (6)

Vlera e pritshme e kushtëzuar - vlera e pritur e një ndryshoreje të rastësishme X, me kusht që ngjarja S të ketë ndodhur tashmë.

Pra, le të flasim për një temë që intereson shumë njerëz. Në këtë artikull do t'i përgjigjem pyetjes se si të llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje. Unë do të jap formula për një llogaritje të tillë dhe disa shembuj për ta bërë më të qartë se si bëhet kjo.

Çfarë është probabiliteti

Le të fillojmë me faktin se probabiliteti që kjo apo ajo ngjarje të ndodhë është një sasi e caktuar besimi në shfaqjen eventuale të ndonjë rezultati. Për këtë llogaritje, është zhvilluar një formulë e probabilitetit total që ju lejon të përcaktoni nëse ngjarja që ju intereson do të ndodhë apo jo, përmes të ashtuquajturave probabilitete të kushtëzuara. Kjo formulë duket si kjo: P = n/m, shkronjat mund të ndryshojnë, por kjo nuk ndikon në vetë thelbin.

Shembuj të probabilitetit

Duke përdorur një shembull të thjeshtë, le të analizojmë këtë formulë dhe ta zbatojmë atë. Le të themi se keni një ngjarje të caktuar (P), le të jetë një hedhje e një zari, domethënë një gropë barabrinjës. Dhe ne duhet të llogarisim sa është probabiliteti për të marrë 2 pikë mbi të. Për ta bërë këtë, ju nevojitet numri i ngjarjeve pozitive (n), në rastin tonë - humbja e 2 pikëve, për numrin total të ngjarjeve (m). Një hedhje prej 2 pikësh mund të ndodhë vetëm në një rast, nëse ka 2 pikë në zare, pasi përndryshe shuma do të jetë më e madhe, rrjedh se n = 1. Më pas, numërojmë numrin e hedhjeve të çdo numri tjetër në zare, për 1 zare - këto janë 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6, prandaj, ka 6 raste të favorshme, domethënë m = 6. Tani, duke përdorur formulën, bëjmë një llogaritje të thjeshtë P = 1/ 6 dhe gjejmë se hedhja e 2 pikëve në zare është 1/6, domethënë probabiliteti i ngjarjes është shumë i ulët.

Le të shohim gjithashtu një shembull duke përdorur topa me ngjyra që janë në një kuti: 50 të bardha, 40 të zeza dhe 30 jeshile. Ju duhet të përcaktoni se cila është probabiliteti për të vizatuar një top të gjelbër. Dhe kështu, meqenëse ka 30 topa të kësaj ngjyre, domethënë mund të ketë vetëm 30 ngjarje pozitive (n = 30), numri i të gjitha ngjarjeve është 120, m = 120 (bazuar në numrin e përgjithshëm të të gjithë topave), duke përdorur formulën ne llogarisim se probabiliteti për të vizatuar një top të gjelbër është do të jetë i barabartë me P = 30/120 = 0,25, domethënë 25% e 100. Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogarisni probabilitetin për të vizatuar një top të një ngjyra të ndryshme (e zeza do të jetë 33%, e bardha 42%).

Nevoja për të vepruar sipas probabiliteteve ndodh kur dihen probabilitetet e disa ngjarjeve dhe është e nevojshme të llogariten probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me këto ngjarje.

Mbledhja e probabiliteteve përdoret kur duhet të llogaritni probabilitetin e një kombinimi ose shumën logjike të ngjarjeve të rastësishme.

Shuma e ngjarjeve A Dhe B tregojnë A + B ose A ∪ B. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet. Do të thotë se A + B– një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ngjarja ka ndodhur gjatë vëzhgimit A ose ngjarje B, ose njëkohësisht A Dhe B.

Nëse ngjarjet A Dhe B janë reciprokisht jokonsistente dhe jepen probabilitetet e tyre, atëherë probabiliteti që një nga këto ngjarje të ndodhë si rezultat i një prove llogaritet duke përdorur shtimin e probabiliteteve.

Teorema e shtimit të probabilitetit. Probabiliteti që do të ndodhë një nga dy ngjarjet reciprokisht të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, gjatë gjuetisë, bëhen dy të shtëna. Ngjarje A– goditja e rosës me goditjen e parë, ngjarje NË– goditja nga gjuajtja e dytë, ngjarje ( A+ NË) – një goditje nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna. Pra, nëse dy ngjarje A Dhe NË– ngjarje të papajtueshme, pra A+ NË– ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve ose dy ngjarjeve.

Shembulli 1. Ka 30 topa me të njëjtën madhësi në një kuti: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Llogaritni probabilitetin që një top me ngjyrë (jo i bardhë) të merret pa shikuar.

Zgjidhje. Le të supozojmë se ngjarja A- “Topi i kuq merret”, dhe ngjarja NË- "Topi blu u mor". Pastaj ngjarja është "merret një top me ngjyrë (jo i bardhë). Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A:

dhe ngjarjet NË:

Ngjarjet A Dhe NË– e papajtueshme reciprokisht, pasi nëse merret një top, atëherë është e pamundur të merren topa me ngjyra të ndryshme. Prandaj, ne përdorim shtimin e probabiliteteve:

Teorema për shtimin e probabiliteteve për disa ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarjet përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është gjithashtu e barabartë me 1:

Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë ngjarjesh, dhe probabiliteti i një grupi të plotë ngjarjesh është 1.

Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta zakonisht tregohen me shkronja të vogla fq Dhe q. Veçanërisht,

nga e cila rrjedhin formulat e mëposhtme për probabilitetin e ngjarjeve të kundërta:

Shembulli 2. Objektivi në poligonin e qitjes është i ndarë në 3 zona. Probabiliteti që një gjuajtës i caktuar të gjuajë në objektiv në zonën e parë është 0.15, në zonën e dytë - 0.23, në zonën e tretë - 0.17. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin dhe probabilitetin që ai të humbasë objektivin.

Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin:

Le të gjejmë probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin:

Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Mbledhja e probabiliteteve të ngjarjeve reciproke të njëkohshme

Dy ngjarje të rastësishme quhen të përbashkëta nëse ndodhja e një ngjarjeje nuk përjashton ndodhjen e një ngjarjeje të dytë në të njëjtin vëzhgim. Për shembull, kur hedh një ngjarja A Numri 4 konsiderohet të dalë, dhe ngjarja NË– rrotullimi i një numri çift. Meqenëse 4 është një numër çift, të dy ngjarjet janë të pajtueshme. Në praktikë, ka probleme të llogaritjes së probabiliteteve të ndodhjes së një prej ngjarjeve reciproke të njëkohshme.

Teorema e shtimit të probabilitetit për ngjarje të përbashkëta. Probabiliteti që të ndodhë një nga ngjarjet e përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, nga e cila zbritet probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të të dyja ngjarjeve, domethënë produkti i probabiliteteve. Formula për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta ka formën e mëposhtme:

Që nga ngjarjet A Dhe NË i përputhshëm, ngjarje A+ NË ndodh nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mundshme: ose AB. Sipas teoremës së mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme, ne llogarisim si më poshtë:

Ngjarje A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ose AB. Sidoqoftë, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të të gjitha këtyre ngjarjeve:

Po kështu:

Duke zëvendësuar shprehjet (6) dhe (7) në shprehjen (5), marrim formulën e probabilitetit për ngjarjet e përbashkëta:

Gjatë përdorimit të formulës (8), duhet pasur parasysh se ngjarjet A Dhe NË mund te jete:

të pavarur reciprokisht;
të varur reciprokisht.

Formula e probabilitetit për ngjarje të pavarura reciprokisht:

Formula e probabilitetit për ngjarjet e varura reciprokisht:

Nëse ngjarjet A Dhe NË janë të paqëndrueshme, atëherë rastësia e tyre është një rast i pamundur dhe, kështu, P(AB) = 0. Formula e katërt e probabilitetit për ngjarjet e papajtueshme është:

Shembulli 3. Në garat me automobila, kur drejtoni makinën e parë, keni një shans më të mirë për të fituar, dhe kur drejtoni makinën e dytë. Gjej:

probabiliteti që të dyja makinat të fitojnë;
probabiliteti që të paktën një makinë të fitojë;

1) Probabiliteti që makina e parë të fitojë nuk varet nga rezultati i makinës së dytë, kështu që ngjarjet A(makina e parë fiton) dhe NË(makina e dytë do të fitojë) - ngjarje të pavarura. Le të gjejmë probabilitetin që të dyja makinat të fitojnë:

2) Gjeni probabilitetin që një nga dy makinat të fitojë:

Zgjidheni vetë problemin e shtimit të probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 4. Hidhen dy monedha. Ngjarje A- humbja e stemës në monedhën e parë. Ngjarje B- humbja e stemës në monedhën e dytë. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje C = A + B .

Shumëzimi i probabiliteteve

Shumëzimi i probabilitetit përdoret kur duhet të llogaritet probabiliteti i një produkti logjik të ngjarjeve.

Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme duhet të jenë të pavarura. Dy ngjarje quhen reciprokisht të pavarura nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes së dytë.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura A Dhe NËështë e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve dhe llogaritet me formulën:

Shembulli 5. Monedha hidhet tri herë radhazi. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet të tria herë.

Zgjidhje. Probabiliteti që stema të shfaqet në hedhjen e parë të monedhës, herën e dytë dhe herën e tretë. Le të gjejmë probabilitetin që stema të shfaqet të tre herë:

Zgjidhini vetë problemet e shumëzimit të probabilitetit dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 6. Ka një kuti me nëntë topa të rinj tenisi. Për të luajtur, merren tre topa, dhe pas lojës ato vendosen përsëri. Kur zgjidhni topa, topat e luajtur nuk dallohen nga topat e paluajtur. Sa është probabiliteti që pas tre ndeshjeve të mos ketë asnjë top të paluajtur në kuti?

Shembulli 7. 32 shkronja të alfabetit rus janë shkruar në kartat e prera të alfabetit. Pesë letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme njëra pas tjetrës dhe vendosen në tryezë sipas renditjes së paraqitjes. Gjeni probabilitetin që shkronjat të formojnë fjalën "fund".

Shembulli 8. Nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë), nxirren katër letra menjëherë. Gjeni probabilitetin që të katër këto letra të jenë me kostume të ndryshme.

Shembulli 9. E njëjta detyrë si në shembullin 8, por çdo kartë pasi hiqet kthehet në kuvertë.

Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, si dhe llogaritjen e produktit të disa ngjarjeve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Probabiliteti që do të ndodhë të paktën një nga ngjarjet reciprokisht të pavarura mund të llogaritet duke zbritur nga 1 produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, domethënë duke përdorur formulën:

Shembulli 10. Transporti i ngarkesave kryhet me tre mënyra transporti: transport lumor, hekurudhor dhe rrugor. Probabiliteti që ngarkesa të dorëzohet me transport lumor është 0,82, me hekurudhë 0,87, me transport rrugor 0,90. Gjeni probabilitetin që ngarkesa të dorëzohet nga të paktën një nga tre mënyrat e transportit.