Çfarë do të thotë, specifikoni formulën. Mënyra grafike për të specifikuar një funksion

Një nga përkufizimet klasike të konceptit "funksion" janë ato të bazuara në korrespondencë. Le të paraqesim një sërë përkufizimesh të tilla.

Përkufizimi 1

Një marrëdhënie në të cilën secila vlerë e ndryshores së pavarur korrespondon me një vlerë të vetme të ndryshores së varur quhet funksionin.

Përkufizimi 2

Le të jepen dy grupe jo bosh $X$ dhe $Y$. Një korrespondencë $f$ që përputhet çdo $x\në X$ me një dhe vetëm një $y\në Y$ quhet funksionin($f:X → Y$).

Përkufizimi 3

Le të jenë $M$ dhe $N$ dy grupe numrash arbitrare. Një funksion $f$ thuhet se përcaktohet në $M$, duke marrë vlera nga $N$, nëse çdo element $x\në X$ lidhet me një dhe vetëm një element nga $N$.

Përkufizimi i mëposhtëm jepet përmes konceptit të një sasie të ndryshueshme. Një sasi e ndryshueshme është një sasi që merr vlera të ndryshme numerike në një studim të caktuar.

Përkufizimi 4

Le të jetë $M$ grupi i vlerave të ndryshores $x$. Pastaj, nëse secila vlerë $x\në M$ korrespondon me një vlerë specifike të një ndryshoreje tjetër $y$ është një funksion i vlerës $x$ të përcaktuar në grupin $M$.

Përkufizimi 5

Le të jenë $X$ dhe $Y$ disa grupe numrash. Një funksion është një grup $f$ çiftesh të renditura numrash $(x,\ y)$ të tillë që $x\në X$, $y\në Y$ dhe çdo $x$ përfshihet në një dhe vetëm një palë numrash ky grup, dhe çdo $y$ është në të paktën një palë.

Përkufizimi 6

Çdo grup $f=\(\left(x,\ y\djathtas)\)$ i çifteve të renditura $\left(x,\ y\djathtas)$ i tillë që për çdo çift $\left(x",\ y" \right)\në f$ dhe $\left(x"",\ y""\right)\në f$ nga kushti $y"≠ y""$ rrjedh se $x"≠x""$ është quhet funksion ose ekran.

Përkufizimi 7

Një funksion $f:X → Y$ është një grup çiftesh $f$ të renditura $\left(x,\ y\djathtas)\në X\herë Y$ të tillë që për çdo element $x\në X$ ka një elementi unik $y\në Y$ i tillë që $\left(x,\ y\right)\në f$, domethënë, funksioni është një grup objektesh $\left(f,\ X,\ Y\djathtas) $.

Në këto përkufizime

$x$ është ndryshorja e pavarur.

$y$ është ndryshorja e varur.

Të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $x$ quhen domeni i funksionit, dhe të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $y$ quhen domeni i funksionit.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni

Për këtë metodë na nevojitet koncepti i një shprehjeje analitike.

Përkufizimi 8

Një shprehje analitike është produkt i të gjitha veprimeve të mundshme matematikore në çdo numër dhe ndryshore.

Mënyra analitike për të specifikuar një funksion është ta specifikoni atë duke përdorur një shprehje analitike.

Shembulli 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Të mirat:

1. Duke përdorur formulat, ne mund të përcaktojmë vlerën e funksionit për çdo vlerë specifike të ndryshores $x$;
2. Funksionet e përcaktuara në këtë mënyrë mund të studiohen duke përdorur aparatin e analizës matematikore.

Minuset:

1. Dukshmëri e ulët.
2. Ndonjëherë ju duhet të bëni llogaritje shumë të rënda.

Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni

Kjo metodë e caktimit konsiston në shënimin e vlerave të ndryshores së varur për disa vlera të ndryshores së pavarur. E gjithë kjo futet në tabelë.

Shembulli 2

Foto 1.

Plus: Për çdo vlerë të ndryshores së pavarur $x$, e cila futet në tabelë, vlera përkatëse e funksionit $y$ njihet menjëherë.

Minuset:

1. Më shpesh, nuk ka specifikim të plotë të funksionit;
2. Dukshmëri e ulët.

një funksion është një korrespondencë midis elementeve të dy grupeve, e vendosur sipas rregullit që çdo element i një grupi shoqërohet me ndonjë element nga një grup tjetër.

grafiku i një funksioni është vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafshin, abshisa e të cilit (x) dhe ordinata (y) lidhen me funksionin e specifikuar:

një pikë ndodhet (ose ndodhet) në grafikun e një funksioni nëse dhe vetëm nëse .

Kështu, funksioni mund të përshkruhet në mënyrë adekuate nga grafiku i tij.

Metoda tabelare. Një gjë mjaft e zakonshme është të specifikoni një tabelë të vlerave individuale të argumenteve dhe vlerave përkatëse të funksionit të tyre. Kjo metodë e përcaktimit të një funksioni përdoret kur fusha e përcaktimit të funksionit është një bashkësi e fundme diskrete.

Me metodën tabelare të specifikimit të një funksioni, është e mundur të llogariten përafërsisht vlerat e funksionit që nuk përmbahen në tabelë, që korrespondojnë me vlerat e ndërmjetme të argumentit. Për ta bërë këtë, përdorni metodën e interpolimit.

Përparësitë e metodës tabelare të specifikimit të një funksioni janë se bën të mundur përcaktimin e vlerave të caktuara specifike menjëherë, pa matje ose llogaritje shtesë. Sidoqoftë, në disa raste, tabela nuk e përcakton plotësisht funksionin, por vetëm për disa vlera të argumentit dhe nuk ofron një paraqitje vizuale të natyrës së ndryshimit në funksion në varësi të ndryshimit në argument.

Metoda grafike. Grafiku i funksionit y = f(x) është bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin e dhënë.

Metoda grafike e specifikimit të një funksioni jo gjithmonë bën të mundur përcaktimin e saktë të vlerave numerike të argumentit. Megjithatë, ajo ka një avantazh të madh mbi metodat e tjera - dukshmërinë. Në inxhinieri dhe fizikë, shpesh përdoret një metodë grafike e specifikimit të një funksioni, dhe një grafik është e vetmja mënyrë e disponueshme për këtë.

Në mënyrë që caktimi grafik i një funksioni të jetë plotësisht i saktë nga pikëpamja matematikore, është e nevojshme të tregohet modeli i saktë gjeometrik i grafikut, i cili më së shpeshti përcaktohet nga një ekuacion. Kjo çon në mënyrën e mëposhtme të specifikimit të një funksioni.

Metoda analitike. Më shpesh, ligji që vendos lidhjen midis argumentit dhe funksionit përcaktohet përmes formulave. Kjo metodë e specifikimit të një funksioni quhet analitike.

Kjo metodë bën të mundur që çdo vlerë numerike e argumentit x të gjejë saktësisht ose me njëfarë saktësi vlerën numerike përkatëse të funksionit y.

Nëse marrëdhënia midis x dhe y jepet me një formulë të zgjidhur në lidhje me y, d.m.th. ka formën y = f(x), atëherë themi se funksioni i x është dhënë në mënyrë eksplicite.

Nëse vlerat x dhe y lidhen me ndonjë ekuacion të formës F(x,y) = 0, d.m.th. formula nuk zgjidhet për y, që do të thotë se funksioni y = f(x) është dhënë në mënyrë implicite.

Një funksion mund të përcaktohet me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të domenit të tij.

Metoda analitike është mënyra më e zakonshme e specifikimit të funksioneve. Kompaktësia, konciziteti, aftësia për të llogaritur vlerën e një funksioni për një vlerë arbitrare të një argumenti nga fusha e përkufizimit, aftësia për të aplikuar aparatin e analizës matematikore në një funksion të caktuar janë avantazhet kryesore të metodës analitike të specifikimit të një funksionin. Disavantazhet përfshijnë mungesën e dukshmërisë, e cila kompensohet nga aftësia për të ndërtuar një grafik dhe nevoja për të kryer llogaritje ndonjëherë shumë të rënda.

Metoda verbale. Kjo metodë konsiston në shprehjen e varësisë funksionale me fjalë.

Shembulli 1: funksioni E(x) është pjesa e plotë e x. Në përgjithësi, E(x) = [x] tregon numrin e plotë më të madh që nuk e kalon x. Me fjalë të tjera, nëse x = r + q, ku r është një numër i plotë (mund të jetë negativ) dhe q i përket intervalit = r. Funksioni E(x) = [x] është konstant në intervalin = r.

Shembulli 2: funksioni y = (x) është pjesa thyesore e një numri. Më saktësisht, y =(x) = x - [x], ku [x] është pjesa e plotë e numrit x. Ky funksion është përcaktuar për të gjitha x. Nëse x është një numër arbitrar, atëherë përfaqësojeni atë si x = r + q (r = [x]), ku r është një numër i plotë dhe q qëndron në intervalin .
Shohim se shtimi i n në argumentin x nuk e ndryshon vlerën e funksionit.
Numri më i vogël jozero në n është , kështu që periudha është sin 2x .

Vlera e argumentit në të cilën funksioni është i barabartë me 0 thirret zero (rrënjë) funksione.

Një funksion mund të ketë zero të shumta.

Për shembull, funksioni y = x (x + 1) (x-3) ka tre zero: x = 0, x = - 1, x =3.

Gjeometrikisht, zeroja e një funksioni është abshisa e pikës së prerjes së grafikut të funksionit me boshtin X .

Figura 7 tregon një grafik të një funksioni me zero: x = a, x = b dhe x = c.

Nëse grafiku i një funksioni i afrohet për një kohë të pacaktuar një linje të caktuar ndërsa ai largohet nga origjina, atëherë kjo linjë quhet asimptotë.

Funksioni i anasjelltë

Le të jepet një funksion y=ƒ(x) me një domen të përkufizimit D dhe një grup vlerash Nëse secila vlerë yєE korrespondon me një vlerë të vetme xєD, atëherë funksioni x=φ(y) përcaktohet me një. domeni i përkufizimit E dhe një grup vlerash D (shih Fig. 102).

Një funksion i tillë φ(y) quhet inversi i funksionit ƒ(x) dhe shkruhet në këtë formë: x=j(y)=f -1 (y) Funksionet y=ƒ(x) dhe x =φ(y) thuhet se janë reciprokisht të anasjellta. Për të gjetur funksionin x=φ(y), të anasjelltë me funksionin y=ƒ (x), mjafton të zgjidhet ekuacioni ƒ(x)=y për x (nëse është e mundur).

1. Për funksionin y=2x funksioni i anasjelltë është funksioni x=y/2;

2. Për funksionin y=x2 xє funksioni i anasjelltë është x=√y; vini re se për funksionin y=x 2 të përcaktuar në segmentin [-1; 1], e kundërta nuk ekziston, pasi një vlerë e y korrespondon me dy vlera të x (pra, nëse y = 1/4, atëherë x1 = 1/2, x2 = -1/2).

Nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë rezulton se funksioni y=ƒ(x) ka një të anasjelltë nëse dhe vetëm nëse funksioni ƒ(x) specifikon një korrespondencë një-për-një midis bashkësive D dhe E. Rezulton se çdo Funksioni rreptësisht monoton ka një të anasjelltë. Për më tepër, nëse një funksion rritet (zvogëlohet), atëherë funksioni i anasjelltë gjithashtu rritet (zvogëlohet).

Vini re se funksioni y=ƒ(x) dhe inversi i tij x=φ(y) përshkruhen nga e njëjta kurbë, d.m.th. grafikët e tyre përkojnë. Nëse biem dakord që, si zakonisht, ndryshorja e pavarur (d.m.th. argumenti) të shënohet me x, dhe ndryshorja e varur me y, atëherë funksioni i anasjelltë i funksionit y=ƒ(x) do të shkruhet në formën y=φ( x).

Kjo do të thotë se pika M 1 (x o;y o) e lakores y=ƒ(x) bëhet pika M 2 (y o;x o) e lakores y=φ(x). Por pikat M 1 dhe M 2 janë simetrike në lidhje me drejtëzën y=x (shih Fig. 103). Prandaj, grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta y=ƒ(x) dhe y=φ(x) janë simetrikë në lidhje me përgjysmuesin e këndit të koordinatës së parë dhe të tretë.

Funksion kompleks

Le të përcaktohet funksioni y=ƒ(u) në bashkësinë D, dhe funksioni u= φ(x) në bashkësinë D 1, dhe për  x D 1 vlera përkatëse u=φ(x) є D. Pastaj në bashkësinë D 1 funksion u=ƒ(φ(x)), i cili quhet funksion kompleks i x (ose mbivendosje e funksioneve të dhëna, ose funksion i një funksioni).

Ndryshorja u=φ(x) quhet argument i ndërmjetëm i një funksioni kompleks.

Për shembull, funksioni y=sin2x është një mbivendosje e dy funksioneve y=sinu dhe u=2x. Një funksion kompleks mund të ketë disa argumente të ndërmjetme.

4. Funksionet elementare bazë dhe grafikët e tyre.

Funksionet e mëposhtme quhen funksionet kryesore elementare.

1) Funksioni eksponencial y=a x,a>0, a ≠ 1. Në Fig. 104 tregon grafikët e funksioneve eksponenciale që korrespondojnë me baza të ndryshme fuqie.

2) Funksioni i fuqisë y=x α, αєR. Shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë që korrespondojnë me eksponentë të ndryshëm janë dhënë në figura.

3) Funksioni logaritmik y=log a x, a>0,a≠1 Grafikët e funksioneve logaritmike që korrespondojnë me baza të ndryshme janë paraqitur në Fig. 106.

4) Funksionet trigonometrike y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafikët e funksioneve trigonometrike kanë formën e treguar në Fig. 107.

5) Funksionet trigonometrike të anasjellta y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Në Fig. 108 tregon grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta.

Funksioni i përcaktuar nga një formulë e vetme, i përbërë nga funksione elementare dhe konstante bazë, duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim) ​​dhe operacione të marrjes së një funksioni nga një funksion, quhet funksion elementar.

Shembuj të funksioneve elementare janë funksionet

Shembuj të funksioneve jo elementare janë funksionet

5. Konceptet e kufirit të sekuencës dhe funksionit. Vetitë e limiteve.

Kufiri i funksionit (vlera kufi e funksionit) në një pikë të caktuar, duke kufizuar domenin e përkufizimit të një funksioni, është vlera drejt së cilës priret vlera e funksionit në shqyrtim ndërsa argumenti i tij priret në një pikë të caktuar.

Në matematikë kufiri i sekuencës elementet e një hapësire metrike ose hapësirë ​​topologjike janë një element i së njëjtës hapësirë ​​që ka vetinë e "tërheqjes" së elementeve të një sekuence të caktuar. Kufiri i një sekuence elementësh të një hapësire topologjike është një pikë e tillë që çdo lagje e saj përmban të gjithë elementët e sekuencës, duke filluar nga një numër i caktuar. Në një hapësirë ​​metrike, lagjet përcaktohen përmes funksionit të distancës, kështu që koncepti i një kufiri formulohet në gjuhën e distancave. Historikisht, i pari ishte koncepti i kufirit të një sekuence numerike, i cili lind në analizën matematikore, ku shërben si bazë për një sistem përafrimesh dhe përdoret gjerësisht në ndërtimin e llogaritjeve diferenciale dhe integrale.

Përcaktimi:

(lexon: kufiri i sekuencës x-n-të pasi en tenton në pafundësi është a)

Vetia e një sekuence që ka një kufi quhet konvergjencës: nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë sekuenca e dhënë i thuhet konvergon; përndryshe (nëse sekuenca nuk ka kufi) sekuenca thuhet se është divergjent. Në një hapësirë ​​Hausdorff dhe, në veçanti, në një hapësirë ​​metrike, çdo nënsekuencë e një sekuence konvergjente konvergjon dhe kufiri i saj përkon me kufirin e sekuencës origjinale. Me fjalë të tjera, një sekuencë elementësh të një hapësire Hausdorff nuk mund të ketë dy kufij të ndryshëm. Sidoqoftë, mund të rezultojë që sekuenca nuk ka kufi, por ka një nënsekuencë (të sekuencës së dhënë) që ka një kufi. Nëse një nënsekuencë konvergjente mund të identifikohet nga çdo sekuencë pikash në një hapësirë, atëherë hapësira e dhënë thuhet se ka vetinë e kompaktësisë sekuenciale (ose, thjesht, kompaktësisë, nëse kompaktësia përcaktohet ekskluzivisht në terma sekuencash).

Koncepti i një kufiri të një sekuence lidhet drejtpërdrejt me konceptin e një pike kufi (bashkësi): nëse një grup ka një pikë kufi, atëherë ekziston një sekuencë e elementeve të këtij grupi që konvergojnë në këtë pikë.

Përkufizimi

Le të jepet një hapësirë ​​topologjike dhe një sekuencë Pastaj, nëse ekziston një element i tillë

ku është një grup i hapur që përmban , atëherë quhet kufiri i sekuencës. Nëse hapësira është metrike, atëherë kufiri mund të përcaktohet duke përdorur metrikën: nëse ekziston një element i tillë që

ku është metrika, quhet kufi.

· Nëse hapësira është e pajisur me një topologji antidiskrete, atëherë kufiri i çdo sekuence do të jetë çdo element i hapësirës.

6. Kufiri i një funksioni në një pikë. Kufijtë e njëanshëm.

Funksioni i një ndryshoreje. Përcaktimi i kufirit të një funksioni në një pikë sipas Cauchy. Numri b quhet kufiri i funksionit në = f(x) në X, duke u përpjekur për A(ose në pikën A), nëse për çdo numër pozitiv  ka një numër pozitiv  i tillë që për të gjithë x ≠ a, i tillë që | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Përcaktimi i kufirit të një funksioni në një pikë sipas Heine. Numri b quhet kufiri i funksionit në = f(x) në X, duke u përpjekur për A(ose në pikën A), nëse për ndonjë sekuencë ( x n), duke konverguar në A(duke synuar për A, duke pasur një numër limit A), dhe me çdo vlerë n x n ≠ A, pasues ( y n= f(x n)) konvergjon në b.

Këto përkufizime supozojnë se funksioni në = f(x) përcaktohet në ndonjë lagje të pikës A, përveç, ndoshta, vetë pikës A.

Përkufizimet e Cauchy dhe Heine për kufirin e një funksioni në një pikë janë ekuivalente: nëse numri b shërben si kufi për njërën prej tyre, atëherë kjo vlen edhe për të dytën.

Kufiri i specifikuar tregohet si më poshtë:

Gjeometrikisht, ekzistenca e një kufiri të një funksioni në një pikë sipas Cauchy do të thotë që për çdo numër > 0 është e mundur të tregohet në planin koordinativ një drejtkëndësh i tillë me bazë 2 > 0, lartësi 2 dhe qendër në pikë. ( A; b) që të gjitha pikat e grafikut të një funksioni të caktuar në intervalin ( A– ; A+ ), me përjashtim të mundshëm të pikës M(A; f(A)), shtrihuni në këtë drejtkëndësh

Kufiri i njëanshëm në analizën matematikore, kufiri i një funksioni numerik, që nënkupton “afrimin” e pikës kufitare në njërën anë. Kufijtë e tillë thirren në përputhje me rrethanat kufiri i dorës së majtë(ose kufi në të majtë) Dhe kufiri i dorës së djathtë (kufi në të djathtë). Le të jepet një funksion numerik në një grup të caktuar numerik dhe numri të jetë pika kufitare e fushës së përkufizimit. Ekzistojnë përkufizime të ndryshme për kufijtë e njëanshëm të një funksioni në një pikë, por ato janë të gjitha ekuivalente.

është dhënë, me fjalë të tjera, e njohur, nëse për secilën vlerë të numrit të mundshëm të argumenteve mund të gjendet vlera përkatëse e funksionit. Tre më të zakonshmet mënyrë për të specifikuar një funksion: tabelare, grafike, analitike, ka edhe metoda verbale dhe rekursive.

1. Metoda tabelare më i përdoruri (tabelat e logaritmeve, rrënjët katrore), përparësia kryesore e tij është aftësia për të marrë vlerën numerike të një funksioni, disavantazhet janë se tabela mund të jetë e vështirë për t'u lexuar dhe ndonjëherë nuk përmban vlera të ndërmjetme të argument.

Për shembull:

Argumenti X merr vlerat e specifikuara në tabelë dhe në përcaktohet sipas këtij argumenti X.

2. Metoda grafike konsiston në vizatimin e një rreshti (grafiku) në të cilin abshisat përfaqësojnë vlerat e argumentit, dhe ordinatat përfaqësojnë vlerat përkatëse të funksionit. Shpesh, për qartësi, peshoret në akset merren si të ndryshme.

Për shembull: për të gjetur në orar në, që korrespondon me x = 2,5është e nevojshme të vizatoni një pingul me boshtin X në shenjë 2,5 . Shenja mund të bëhet mjaft saktë duke përdorur një sundimtar. Atëherë do ta gjejmë atë në X = 2,5 në barazohet 7,5 , megjithatë, nëse duhet të gjejmë vlerën në në X të barabartë 2,76 , atëherë metoda grafike e specifikimit të funksionit nuk do të jetë mjaft e saktë, sepse Vizitori nuk lejon matje kaq të sakta.

Përparësitë e kësaj metode të specifikimit të funksioneve janë lehtësia dhe integriteti i perceptimit, vazhdimësia e ndryshimeve në argument; Disavantazhi është shkalla e reduktuar e saktësisë dhe vështirësia për të marrë vlera të sakta.

3. Metoda analitike konsiston në përcaktimin e një funksioni me një ose më shumë formula. Avantazhi kryesor i kësaj metode është saktësia e lartë e përcaktimit të funksionit të argumentit të interesit, por disavantazhi është koha e nevojshme për të kryer operacione matematikore shtesë.

Për shembull:

Funksioni mund të specifikohet duke përdorur një formulë matematikore y=x2, atëherë nëse X barazohet 2 , Kjo në barazohet 4, ne po ndërtojmë X në një shesh.

4. Metoda verbale konsiston në përcaktimin e një funksioni në gjuhën e zakonshme, d.m.th. fjalët. Në këtë rast, është e nevojshme të jepen vlerat hyrëse dhe dalëse dhe korrespondenca midis tyre.

Për shembull:

Ju mund të specifikoni verbalisht një funksion (detyrë) që pranohet si një argument natyror X me vlerën përkatëse të shumës së shifrave që përbëjnë vlerën në. Le të sqarojmë: nëse X barazohet 4 , Kjo në barazohet 4 , dhe nëse X barazohet 358 , Kjo në e barabartë me shumën 3 + 5 + 8 , d.m.th. 16 . Më tej të ngjashme.

5. Mënyrë rekursive konsiston në specifikimin e një funksioni përmes vetvetes, ndërsa vlerat e funksionit përcaktohen nëpërmjet vlerave të tjera të tij. Kjo metodë e specifikimit të një funksioni përdoret në specifikimin e grupeve dhe serive.

Për shembull:

Gjatë dekompozimit Numrat e Euler-it jepet nga funksioni:

Shkurtesa e tij është dhënë më poshtë:

Kur llogaritet drejtpërdrejt, ndodh një rekursion i pafund, por mund të vërtetohet se vlera f(n) me rritje n priret drejt unitetit (prandaj, pavarësisht nga pafundësia e serisë, vlera Numrat e Euler-it Sigurisht). Për një llogaritje të përafërt të vlerës e mjafton të kufizosh artificialisht thellësinë e rekursionit në një numër të paracaktuar dhe, pasi ta arrish atë, ta përdorësh në vend të tij f(n) njësi.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Një nga përkufizimet klasike të konceptit "funksion" janë ato të bazuara në korrespondencë. Le të paraqesim një sërë përkufizimesh të tilla.

Përkufizimi 1

Një marrëdhënie në të cilën secila vlerë e ndryshores së pavarur korrespondon me një vlerë të vetme të ndryshores së varur quhet funksionin.

Përkufizimi 2

Le të jepen dy grupe jo bosh $X$ dhe $Y$. Një korrespondencë $f$ që përputhet çdo $x\në X$ me një dhe vetëm një $y\në Y$ quhet funksionin($f:X → Y$).

Përkufizimi 3

Le të jenë $M$ dhe $N$ dy grupe numrash arbitrare. Një funksion $f$ thuhet se përcaktohet në $M$, duke marrë vlera nga $N$, nëse çdo element $x\në X$ lidhet me një dhe vetëm një element nga $N$.

Përkufizimi i mëposhtëm jepet përmes konceptit të një sasie të ndryshueshme. Një sasi e ndryshueshme është një sasi që merr vlera të ndryshme numerike në një studim të caktuar.

Përkufizimi 4

Le të jetë $M$ grupi i vlerave të ndryshores $x$. Pastaj, nëse secila vlerë $x\në M$ korrespondon me një vlerë specifike të një ndryshoreje tjetër $y$ është një funksion i vlerës $x$ të përcaktuar në grupin $M$.

Përkufizimi 5

Le të jenë $X$ dhe $Y$ disa grupe numrash. Një funksion është një grup $f$ çiftesh të renditura numrash $(x,\ y)$ të tillë që $x\në X$, $y\në Y$ dhe çdo $x$ përfshihet në një dhe vetëm një palë numrash ky grup, dhe çdo $y$ është në të paktën një palë.

Përkufizimi 6

Çdo grup $f=\(\left(x,\ y\djathtas)\)$ i çifteve të renditura $\left(x,\ y\djathtas)$ i tillë që për çdo çift $\left(x",\ y" \right)\në f$ dhe $\left(x"",\ y""\right)\në f$ nga kushti $y"≠ y""$ rrjedh se $x"≠x""$ është quhet funksion ose ekran.

Përkufizimi 7

Një funksion $f:X → Y$ është një grup çiftesh $f$ të renditura $\left(x,\ y\djathtas)\në X\herë Y$ të tillë që për çdo element $x\në X$ ka një elementi unik $y\në Y$ i tillë që $\left(x,\ y\right)\në f$, domethënë, funksioni është një grup objektesh $\left(f,\ X,\ Y\djathtas) $.

Në këto përkufizime

$x$ është ndryshorja e pavarur.

$y$ është ndryshorja e varur.

Të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $x$ quhen domeni i funksionit, dhe të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $y$ quhen domeni i funksionit.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni

Për këtë metodë na nevojitet koncepti i një shprehjeje analitike.

Përkufizimi 8

Një shprehje analitike është produkt i të gjitha veprimeve të mundshme matematikore në çdo numër dhe ndryshore.

Mënyra analitike për të specifikuar një funksion është ta specifikoni atë duke përdorur një shprehje analitike.

Shembulli 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Të mirat:

1. Duke përdorur formulat, ne mund të përcaktojmë vlerën e funksionit për çdo vlerë specifike të ndryshores $x$;
2. Funksionet e përcaktuara në këtë mënyrë mund të studiohen duke përdorur aparatin e analizës matematikore.

Minuset:

1. Dukshmëri e ulët.
2. Ndonjëherë ju duhet të bëni llogaritje shumë të rënda.

Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni

Kjo metodë e caktimit konsiston në shënimin e vlerave të ndryshores së varur për disa vlera të ndryshores së pavarur. E gjithë kjo futet në tabelë.

Shembulli 2

Foto 1.

Plus: Për çdo vlerë të ndryshores së pavarur $x$, e cila futet në tabelë, vlera përkatëse e funksionit $y$ njihet menjëherë.

Minuset:

1. Më shpesh, nuk ka specifikim të plotë të funksionit;
2. Dukshmëri e ulët.