Duke pasur parasysh një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme x, gjeni atë. Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ndryshoret e rastësishme"

X jepet me ligjin e shpërndarjes së probabilitetit: Atëherë devijimi standard i tij është i barabartë me ... 0,80

Zgjidhja:
Devijimi standard i ndryshores së rastësishme X përcaktohet si , ku varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën Pastaj , dhe

Zgjidhja:
A(një top i tërhequr në mënyrë të rastësishme është i zi) zbatojmë formulën e probabilitetit total: Këtu është probabiliteti që një top i bardhë është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti që një top i zi është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i zi nëse një top i bardhë është zhvendosur nga urna e parë në të dytën; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i zi nëse një top i zi është zhvendosur nga urna e parë në të dytën.

Ndryshorja diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit: Pastaj probabiliteti të barabartë...

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën. Pastaj

Ose . Duke zgjidhur ekuacionin e fundit, marrim dy rrënjë dhe

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë me defekt. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen A (nuk ka pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën ku n m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, d.m.th.

Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë të dëmtuara mund të nxirren nga pesë, domethënë.

Banka lëshon 44% të të gjitha kredive për personat juridikë dhe 56% për individët. Probabiliteti që një person juridik të mos e kthejë kredinë në kohë është 0.2; dhe për një individ ky probabilitet është 0.1. Atëherë probabiliteti që kredia e radhës të shlyhet në kohë është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(kredia e lëshuar do të shlyhet në kohë) zbatojmë formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që kredia i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti që kredia i është dhënë një individi; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të shlyhet në kohë nëse i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të shlyhet në kohë nëse i është dhënë një individi. Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Për një ndryshore diskrete të rastësishme X

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Mjeti rrotullohet dy herë. Atëherë probabiliteti që shuma e pikave të rrotulluara të jetë jo më pak se nëntë është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (shuma e pikëve të grumbulluara do të jetë së paku nëntë), ne përdorim formulën , ku është numri total i rezultateve të mundshme elementare të testit, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes A. Në rastin tonë është e mundur rezultatet elementare të testit, nga të cilat të favorshme janë rezultatet e formës , , , , , , , dhe , dmth. Prandaj,

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit

funksioni i shpërndarjes së probabilitetit ka formën:

Atëherë vlera e parametrit mund të jetë e barabartë me...

Zgjidhja:
Sipas definicionit . Prandaj, dhe . Këto kushte plotësohen, për shembull, nga vlera

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga një funksion i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e saj është...

Zgjidhja:
Kjo variabël e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në interval. Pastaj varianca e tij mund të llogaritet duke përdorur formulën . Kjo është

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Urna e parë përmban 6 topa të zinj dhe 4 topa të bardhë. Urna e dytë përmban 2 topa të bardhë dhe 8 të zinj. Një top u mor nga një urnë e rastësishme, e cila doli të ishte e bardhë. Atëherë probabiliteti që ky top të jetë tërhequr nga urna e parë është...

Zgjidhja:
A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) sipas formulës së probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që topi të tërhiqet nga urna e parë; – probabiliteti që topi të nxirret nga urna e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse është tërhequr nga urna e parë; është probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse ai nxirret nga urna e dytë.
Pastaj .
Tani le të llogarisim probabilitetin e kushtëzuar që ky top është tërhequr nga urna e parë duke përdorur formulën e Bayes:

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e saj është...

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të llogaritet duke përdorur formulën

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit

Zgjidhja:
Sipas definicionit . Pastaj
a) në , ,
b) në , ,
c) në , ,
d) në , ,
d) në , .
Prandaj,

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Një pikë hidhet rastësisht brenda një rrethi me rreze 4. Atëherë probabiliteti që pika të jetë jashtë katrorit të brendashkruar në rreth është...

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë me defekt. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë me defekt midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (nuk ka pjesë të dëmtuara midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën ku nështë numri total i rezultateve të mundshme të testit elementar, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, domethënë. Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë jo të dëmtuara mund të nxirren nga shtatë, domethënë. Prandaj,

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A
Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Pastaj probabiliteti të barabartë...

Zgjidhja:
Le të përdorim formulën . Pastaj

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes

Zgjidhja:
Le të llogarisim së pari probabilitetin e ngjarjes A
.
.

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Atëherë pritshmëria e tij matematikore është...

Zgjidhja:
Le të përdorim formulën . Pastaj .

Tema: Përcaktimi i probabilitetit

Zgjidhja:

Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit . Pastaj pritshmëria matematikore a dhe devijimi standard i kësaj ndryshoreje të rastësishme janë të barabarta me ...

Zgjidhja:
Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht ka formën , Ku , . Kjo është arsyeja pse .

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Pastaj vlerat a Dhe b mund të jetë e barabartë ...

Zgjidhja:
Meqenëse shuma e probabiliteteve të vlerave të mundshme është e barabartë me 1, atëherë . Përgjigja plotëson këtë kusht: .

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Një rreth më i vogël me rreze 5 vendoset në një rreth me rreze 8. Atëherë probabiliteti që një pikë e hedhur rastësisht në rrethin më të madh të bjerë gjithashtu në rrethin më të vogël është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes së dëshiruar, ne përdorim formulën, ku është sipërfaqja e rrethit më të vogël dhe është sipërfaqja e rrethit më të madh. Prandaj, .

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Urna e parë përmban 3 topa të zinj dhe 7 topa të bardhë. Urna e dytë përmban 4 topa të bardhë dhe 5 topa të zinj. Një top u transferua nga urna e parë në urnën e dytë. Atëherë probabiliteti që një top i nxjerrë rastësisht nga urna e dytë të jetë i bardhë është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) zbatoni formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që një top i bardhë është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti që një top i zi është transferuar nga urna e parë në urnën e dytë; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse një top i bardhë është zhvendosur nga urna e parë në të dytën; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse një top i zi zhvendoset nga urna e parë në të dytën.
Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Për një ndryshore të rastësishme diskrete:

funksioni i shpërndarjes së probabilitetit ka formën:

Atëherë vlera e parametrit mund të jetë e barabartë me...

DETYRA N 10 raportoni një gabim
Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Banka lëshon 70% të të gjitha kredive për personat juridikë dhe 30% për individët. Probabiliteti që një person juridik të mos e kthejë kredinë në kohë është 0.15; dhe për një individ ky probabilitet është 0.05. U mor një mesazh që tregonte se kredia nuk ishte shlyer. Atëherë probabiliteti që personi juridik të mos e kthejë këtë kredi është...

Zgjidhja:
Le të llogarisim së pari probabilitetin e ngjarjes A(huaja e lëshuar nuk do të shlyhet në kohë) sipas formulës së probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që kredia i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti që kredia i është dhënë një individi; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të mos shlyhet në kohë nëse i është dhënë një personi juridik; – probabiliteti i kushtëzuar që kredia të mos shlyhet në kohë nëse i është dhënë një individi. Pastaj
.
Tani le të llogarisim probabilitetin e kushtëzuar që kjo kredi nuk është shlyer nga një person juridik, duke përdorur formulën Bayes:
.

DETYRA N 11 raportoni një gabim
Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Në një grup prej 12 pjesësh, ka 5 pjesë me defekt. Tre pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Atëherë probabiliteti që të mos ketë pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura është i barabartë me...

Zgjidhja:
Për të llogaritur ngjarjen (nuk ka pjesë të përshtatshme midis pjesëve të zgjedhura), përdorim formulën, ku nështë numri total i rezultateve të mundshme të testit elementar, dhe m– numri i rezultateve elementare të favorshme për ndodhjen e ngjarjes. Në rastin tonë, numri total i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren tre detaje nga 12 të disponueshme, domethënë. Dhe numri i përgjithshëm i rezultateve të favorshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat tre pjesë të dëmtuara mund të nxirren nga pesë, domethënë. Prandaj,

DETYRA N 12 raportoni një gabim
Tema: Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë varianca e saj është...

Zgjidhja:
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme mund të llogaritet duke përdorur formulën

Pastaj

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Atëherë funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të tij ka formën...

Zgjidhja:
Sipas definicionit . Pastaj
a) në , ,
b) në , ,
c) në , ,
d) në , ,
d) në , .
Prandaj,

Tema: Probabiliteti total. Formulat e Bayes
Ka tre urna që përmbajnë 5 topa të bardhë dhe 5 të zinj, dhe shtatë urna që përmbajnë 6 topa të bardhë dhe 4 topa të zinj. Një top nxirret nga një urnë e rastësishme. Atëherë probabiliteti që ky top të jetë i bardhë është...

Zgjidhja:
Për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje A(një top i tërhequr rastësisht është i bardhë) zbatoni formulën e probabilitetit total: . Këtu është probabiliteti që një top të nxirret nga seria e parë e urnave; – probabiliteti që topi është tërhequr nga seria e dytë e urnave; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse është tërhequr nga seria e parë e urnave; – probabiliteti i kushtëzuar që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse ai është tërhequr nga seria e dytë e urnave.
Pastaj .

Tema: Ligjet e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshoreve diskrete të rastit
Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:

Pastaj probabiliteti të barabartë...

Tema: Përcaktimi i probabilitetit
Mjeti rrotullohet dy herë. Atëherë probabiliteti që shuma e pikëve të tërhequra të jetë dhjetë është...

Mund të theksojmë ligjet më të zakonshme të shpërndarjes së variablave diskrete të rastit:

• Ligji i shpërndarjes binomiale
• Ligji i shpërndarjes Poisson
• Ligji i shpërndarjes gjeometrike
• Ligji i shpërndarjes hipergjeometrike

Për shpërndarjet e dhëna të ndryshoreve diskrete të rastësishme, llogaritja e probabiliteteve të vlerave të tyre, si dhe karakteristikave numerike (pritshmëria matematikore, varianca, etj.) kryhet duke përdorur "formula" të caktuara. Prandaj, është shumë e rëndësishme të njihen këto lloje të shpërndarjeve dhe vetitë e tyre themelore.

1. Ligji i shpërndarjes binomiale.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ i nënshtrohet ligjit binomial të shpërndarjes së probabilitetit nëse merr vlera $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\djathtas)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\majtas(1-p\djathtas))^(n-k)$. Në fakt, ndryshorja e rastësishme $X$ është numri i ndodhive të ngjarjes $A$ në $n$ prova të pavarura. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pika & n \\
\hline
p_i & P_n\majtas(0\djathtas) & P_n\majtas (1\djathtas) & \dots & P_n\majtas(n\djathtas) \\
\hline
\fund (arresë)$

Për një ndryshore të tillë të rastësishme, pritshmëria matematikore është $M\left(X\right)=np$, varianca është $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Shembull . Familja ka dy fëmijë. Duke supozuar probabilitetet për të pasur një djalë dhe një vajzë të barabartë me 0,5$, gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $\xi$ - numri i djemve në familje.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $\xi $ numri i djemve në familje. Vlerat që mund të marrë $\xi:\ 0, \ 1, \ 2$. Probabilitetet e këtyre vlerave mund të gjenden duke përdorur formulën $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\djathtas))^(n-k )$, ku $n =2$ është numri i provave të pavarura, $p=0.5$ është probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një seri provash $n$. Ne marrim:

$P\left(\xi =0\djathtas)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\djathtas)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\djathtas)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

Atëherë ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $\xi $ është korrespondenca midis vlerave $0,\ 1,\ 2$ dhe probabiliteteve të tyre, domethënë:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\fund (arresë)$

Shuma e probabiliteteve në ligjin e shpërndarjes duhet të jetë e barabartë me $1$, domethënë $\shuma _(i=1)^(n)P(\xi _(\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 dollarë.

Pritshmëria $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianca $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0.5=0.5$, devijimi standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \djathtas))=\sqrt(0.5)\afërsisht 0.707$.

2. Ligji i shpërndarjes Poisson.

Nëse një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vetëm vlera të plota jo-negative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\mbi (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Koment. E veçanta e kësaj shpërndarjeje është se, bazuar në të dhënat eksperimentale, gjejmë vlerësime $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, nëse vlerësimet e marra janë afër njëra-tjetrës, atëherë kemi arsye për të pohuar se ndryshorja e rastësishme i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes Poisson.

Shembull . Shembuj të variablave të rastësishëm që i nënshtrohen ligjit të shpërndarjes Poisson mund të jenë: numri i makinave që do të shërbehen nga një pikë karburanti nesër; numri i artikujve me defekt në produktet e prodhuara.

Shembull . Fabrika dërgoi 500 dollarë produkte në bazë. Probabiliteti i dëmtimit të produktit në tranzit është 0,002$. Gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$ e barabartë me numrin e produkteve të dëmtuara; çfarë është $M\left(X\djathtas),\ D\left(X\djathtas)$.

Lëreni variablin e rastësishëm diskret $X$ të jetë numri i produkteve të dëmtuara. Një ndryshore e tillë e rastësishme i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes Poisson me parametrin $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Probabilitetet e vlerave janë të barabarta me $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\majtas(X=0\djathtas)=((1^0)\mbi (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\majtas(X=1\djathtas)=((1^1)\mbi (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\majtas(X=2\djathtas)=((1^2)\mbi (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\majtas(X=3\djathtas)=((1^3)\mbi (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\majtas(X=4\djathtas)=((1^4)\mbi (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\majtas(X=5\djathtas)=((1^5)\mbi (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\majtas(X=6\djathtas)=((1^6)\mbi (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\djathtas)=(((\lambda )^k)\mbi (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\mbi (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\fund (arresë)$

Për një ndryshore të tillë të rastësishme, pritshmëria dhe varianca matematikore janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me parametrin $\lambda $, domethënë $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Ligji i shpërndarjes gjeometrike.

Nëse një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vetëm vlera natyrore $1,\ 2,\ \dots,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ djathtas)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, atëherë ata thonë se një ndryshore e tillë e rastësishme $X$ i nënshtrohet ligjit gjeometrik të shpërndarjes së probabilitetit. Në fakt, shpërndarja gjeometrike është një test Bernoulli deri në suksesin e parë.

Shembull . Shembuj të variablave të rastësishëm që kanë një shpërndarje gjeometrike mund të jenë: numri i të shtënave para goditjes së parë në objektiv; numri i testeve të pajisjes deri në dështimin e parë; numri i hedhjeve të monedhës derisa të dalë koka e parë, etj.

Pritshmëria matematikore dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme që i nënshtrohet shpërndarjes gjeometrike janë përkatësisht të barabarta me $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 $.

Shembull . Në rrugën e lëvizjes së peshkut për në vendin e pjelljes ka një bravë prej 4$. Probabiliteti që peshqit të kalojnë nëpër çdo bravë është $p=3/5$. Ndërtoni një seri shpërndarjesh të ndryshores së rastësishme $X$ - numri i bravave të kaluara nga peshku përpara ndalimit të parë në bravë. Gjeni $M\majtas(X\djathtas),\ D\majtas(X\djathtas), \ \sigma \majtas(X\djathtas)$.

Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i bravave të kaluara nga peshku përpara arrestimit të parë në bravë. Një variabël i tillë i rastësishëm i nënshtrohet ligjit gjeometrik të shpërndarjes së probabilitetit. Vlerat që mund të marrë ndryshorja e rastësishme $X: $ 1, 2, 3, 4. Probabilitetet e këtyre vlerave llogariten duke përdorur formulën: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ku: $ p=2/5$ - probabiliteti i mbajtjes së peshkut nga brava, $q=1-p=3/5$ - probabiliteti që peshku të kalojë nëpër bravë, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^0=((2)\ mbi (5))=0.4;$

$P\left(X=2\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot ((3)\mbi (5))=(6)\mbi (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^2=((2)\ mbi (5))\cdot ((9)\mbi (25))=((18)\mbi (125))=0,144;$

$P\left(X=4\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^3+(\majtas(( (3)\mbi (5))\djathtas))^4=((27)\mbi (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\majtas(X_i\djathtas) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\fund (arresë)$

Pritshmëria matematikore:

$M\left(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersioni:

$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2=)0,4\cdot (\ majtas( 1-2,176\djathtas))^2+0,24\cdot (\majtas(2-2,176\djathtas))^2+0,144\cdot (\majtas(3-2,176\djathtas))^2+$

$+\0,216\cdot (\majtas(4-2,176\djathtas))^2\afërsisht 1,377.$

Devijimi standard:

$\sigma \left(X\djathtas)=\sqrt(D\majtas(X\djathtas))=\sqrt(1377)\afërsisht 1173.$

4. Ligji i shpërndarjes hipergjeometrike.

Nëse $N$ objekte, ndër të cilat objektet $m$ kanë një veti të caktuar. Objektet $n$ merren rastësisht pa u kthyer, ndër të cilët kishte $k$ objekte që kanë një veti të caktuar. Shpërndarja hipergjeometrike bën të mundur vlerësimin e probabilitetit që saktësisht objektet $k$ në mostër të kenë një veti të caktuar. Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i objekteve në mostër që kanë një veti të caktuar. Pastaj probabilitetet e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$:

$P\majtas(X=k\djathtas)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\mbi (C^n_N))$

Koment. Funksioni statistikor HYPERGEOMET i magjistarit të funksionit Excel $f_x$ ju lejon të përcaktoni probabilitetin që një numër i caktuar testesh të jenë të suksesshëm.

$f_x\në $ statistikore$\në $ HIPERGJEOMET$\në $ OK. Do të shfaqet një kuti dialogu që duhet të plotësoni. Në kolonë Numri_i_sukseseve_në_kampion tregoni vlerën $k$. madhësia e mostrësështë e barabartë me $n$. Në kolonë Numri_i_sukseseve_së bashku tregoni vlerën $m$. madhësia e popullsisëështë e barabartë me $N$.

Pritja dhe varianca matematikore e një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, që i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes gjeometrike, janë përkatësisht të barabarta me $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\majtas(1 -((m)\mbi (N))\djathtas)\majtas(1-((n)\mbi (N))\djathtas))\mbi (N-1))$.

Shembull . Departamenti i kredisë së bankës ka të punësuar 5 specialistë me arsim të lartë financiar dhe 3 specialistë me arsim të lartë juridik. Drejtuesit e bankës vendosën të dërgojnë 3 specialistë për të përmirësuar kualifikimet e tyre, duke i përzgjedhur në mënyrë të rastësishme.

a) Të bëjë një seri shpërndarjeje për numrin e specialistëve me arsim të lartë financiar që mund të dërgohen për të përmirësuar kualifikimet e tyre;

b) Gjeni karakteristikat numerike të kësaj shpërndarjeje.

Le të jetë variabli i rastësishëm $X$ numri i specialistëve me arsim të lartë financiar midis tre të përzgjedhurve. Vlerat që $X mund të marrë: 0,\ 1, \ 2, \ 3$. Kjo variabël e rastësishme $X$ shpërndahet sipas një shpërndarjeje hipergjeometrike me parametrat e mëposhtëm: $N=8$ - madhësia e popullsisë, $m=5$ - numri i sukseseve në popullatë, $n=3$ - madhësia e mostrës, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - numri i sukseseve në mostër. Atëherë probabilitetet $P\left(X=k\right)$ mund të llogariten duke përdorur formulën: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ mbi C_( N)^(n) ) $. Ne kemi:

$P\majtas(X=0\djathtas)=((C^0_5\cdot C^3_3)\mbi (C^3_8))=((1)\mbi (56))\afërsisht 0,018;$

$P\majtas(X=1\djathtas)=((C^1_5\cdot C^2_3)\mbi (C^3_8))=((15)\mbi (56))\afërsisht 0,268;$

$P\majtas(X=2\djathtas)=((C^2_5\cdot C^1_3)\mbi (C^3_8))=((15)\mbi (28))\afërsisht 0,536;$

$P\majtas(X=3\djathtas)=((C^3_5\cdot C^0_3)\mbi (C^3_8))=((5)\mbi (28))\afërsisht 0,179.$

Pastaj seria e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të llogarisim karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme $X$ duke përdorur formulat e përgjithshme të shpërndarjes hipergjeometrike.

$M\left(X\djathtas)=((nm)\mbi (N))=((3\cdot 5)\mbi (8))=((15)\mbi (8))=1,875.$

$D\majtas(X\djathtas)=((nm\majtas(1-((m)\mbi (N))\djathtas)\majtas(1-((n)\mbi (N))\djathtas)) \mbi (N-1))=((3\cdot 5\cdot \majtas(1-((5)\mbi (8))\djathtas)\cdot \majtas(1-((3)\mbi (8 ))\djathtas))\mbi (8-1))=((225)\mbi (448))\afërsisht 0,502.$

$\sigma \left(X\djathtas)=\sqrt(D\majtas(X\djathtas))=\sqrt(0,502)\afërsisht 0,7085.$

Institucioni arsimor "Shteti Bjellorusi".

Akademia Bujqësore"

Departamenti i Matematikës së Lartë

Udhëzimet

për të studiuar temën “Ndryshoret e rastësishme” nga studentët e Fakultetit të Kontabilitetit për Edukimin me Korrespondencë (NISPO)

Gorki, 2013

Variabla të rastësishme

Variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme

Një nga konceptet kryesore në teorinë e probabilitetit është koncepti ndryshore e rastësishme . Ndryshore e rastësishme është një sasi që si rezultat i testimit merr vetëm një nga vlerat e shumta të mundshme dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Ka variabla të rastësishëm diskrete dhe të vazhdueshme . Ndryshore diskrete e rastësishme (DRV) është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë një numër të kufizuar vlerash të izoluara nga njëra-tjetra, d.m.th. nëse vlerat e mundshme të kësaj sasie mund të rillogariten. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme (CNV) është një ndryshore e rastësishme, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë plotësisht një interval të caktuar të vijës numerike.

Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin X, Y, Z, etj. Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm tregohen me shkronjat e vogla përkatëse.

Regjistro
do të thotë "probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X do të marrë një vlerë prej 5, e barabartë me 0,28.”

Shembulli 1 . X Zari hidhet një herë. Në këtë rast, numrat nga 1 në 6 mund të shfaqen, duke treguar numrin e pikëve. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(numri i pikave të rrotulluara). Kjo ndryshore e rastësishme si rezultat i testit mund të marrë vetëm një nga gjashtë vlerat: 1, 2, 3, 4, 5 ose 6. Prandaj, ndryshorja e rastësishme

ka DSV. Shembulli 2 X. Kur një gur hidhet, ai përshkon një distancë të caktuar. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(distanca e fluturimit me gurë). Kjo ndryshore e rastësishme mund të marrë çdo vlerë, por vetëm një, nga një interval i caktuar. Prandaj, ndryshorja e rastësishme

ka NSV.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete .

Nëse dihen të gjitha vlerat e mundshme
ndryshore e rastësishme X dhe probabilitetet
shfaqja e këtyre vlerave, atëherë besohet se ligji i shpërndarjes së DSV Xështë i njohur dhe mund të shkruhet në formën e tabelës:

Ligji i shpërndarjes DSV mund të përshkruhet grafikisht nëse pikat përshkruhen në një sistem koordinativ drejtkëndor
,
, …,
dhe lidhni ato me segmente të drejtë. Shifra që rezulton quhet poligon i shpërndarjes.

Shembulli 3 . Kokrra e destinuar për pastrim përmban 10% barërat e këqija. 4 kokrra janë përzgjedhur në mënyrë të rastësishme. Le të shënojmë variablin e rastësishëm X=(numri i barërave të këqija midis katër të përzgjedhurve). Ndërtoni ligjin e shpërndarjes DSV X dhe poligonin e shpërndarjes.

Zgjidhje . Sipas kushteve të shembullit. Pastaj:

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së DSV X në formën e një tabele dhe të ndërtojmë një poligon të shpërndarjes:

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Vetitë më të rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete përshkruhen nga karakteristikat e saj. Një nga këto karakteristika është pritje matematikore ndryshore e rastësishme.

Le të dihet ligji i shpërndarjes së DSV X:

Pritshmëria matematikore DSV Xështë shuma e produkteve të secilës vlerë të kësaj sasie dhe probabiliteti përkatës:
.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të të gjitha vlerave të saj. Prandaj, në problemet praktike, vlera mesatare e kësaj ndryshoreje të rastësishme shpesh merret si pritshmëri matematikore.

Shembull 8 . Qitësi shënon 4, 8, 9 dhe 10 pikë me probabilitete 0.1, 0.45, 0.3 dhe 0.15. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve me një goditje.

Zgjidhje . Le të shënojmë variablin e rastësishëm X= (numri i pikëve të shënuara). Pastaj . Kështu, numri mesatar i pritur i pikëve të shënuar me një goditje është 8.2, dhe me 10 goditje - 82.

Vetitë kryesore pritjet matematikore janë:

.

.

, Ku
,
.

.

, Ku X Dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura.

Diferenca
thirrur devijimi ndryshore e rastësishme X nga pritshmëria e tij matematikore. Ky ndryshim është një ndryshore e rastësishme dhe pritshmëria e saj matematikore është zero, d.m.th.
.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Për të karakterizuar një ndryshore të rastësishme, përveç pritshmërisë matematikore, përdorim edhe dispersion , e cila bën të mundur vlerësimin e shpërndarjes (përhapjes) të vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kur krahasohen dy ndryshore homogjene të rastit me pritshmëri të barabarta matematikore, vlera "më e mirë" konsiderohet ajo që ka më pak përhapje, d.m.th. më pak shpërndarje.

Varianca ndryshore e rastësishme X quhet pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore: .

Në problemet praktike, përdoret një formulë ekuivalente për të llogaritur variancën.

Karakteristikat kryesore të dispersionit janë:

.

Ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rrethanave të ndryshme, dhe nga ana tjetër, një ndryshore e rastësishme quhet diskrete , nëse grupi i vlerave të tij është i fundëm ose i numërueshëm.

Përveç variablave të rastësishme diskrete, ekzistojnë edhe variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Le të shqyrtojmë më në detaje konceptin e një ndryshoreje të rastësishme. Në praktikë, shpesh ka sasi që mund të marrin vlera të caktuara, por është e pamundur të parashikohet me besueshmëri se çfarë vlere do të marrë secila prej tyre në përvojën, fenomenin ose vëzhgimin në shqyrtim. Për shembull, numri i djemve që do të lindin në Moskë ditën tjetër mund të ndryshojë. Mund të jetë e barabartë me zero (asnjë djalë i vetëm nuk do të lindë: të gjitha vajzat do të lindin ose nuk do të ketë fare të porsalindur), një, dy, e kështu me radhë deri në një numër të fundëm n. Vlera të tilla përfshijnë: masën e rrënjëve të panxharit të sheqerit në vend, gamën e fluturimit të një predhe artilerie, numrin e pjesëve me defekt në një grumbull, etj. Sasi të tilla do t'i quajmë të rastësishme. Ato karakterizojnë të gjitha rezultatet e mundshme të përvojës ose vëzhgimit nga pikëpamja sasiore.

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash mund të jetë numri i fëmijëve të lindur gjatë ditës në një zonë të populluar, numri i pasagjerëve të autobusit, numri i pasagjerëve të transportuar nga metroja e Moskës në ditë, etj.

Numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë një grup i pafund, por i numërueshëm. Por në çdo rast, ato mund të numërohen në një rend të caktuar, ose, më saktë, mund të krijohet një korrespodencë një-për-një midis vlerave të një ndryshoreje të rastësishme dhe numrave natyrorë 1, 2, 3, ... , n.

Kujdes: një koncept i ri, shumë i rëndësishëm në teorinë e probabilitetit - ligji i shpërndarjes . Le X mund të pranojë n vlerat: . Ne do të supozojmë se ato janë të gjitha të ndryshme (përndryshe të njëjtat duhet të kombinohen) dhe të renditura në rend rritës. Për të karakterizuar plotësisht një ndryshore të rastësishme diskrete duhet të specifikohen jo vetëm të gjitha vlerat e tij, por edhe probabilitetet , me të cilën ndryshorja e rastësishme merr secilën nga vlerat, d.m.th. .

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet çdo rregull (funksion, tabelë). fq(x), i cili ju lejon të gjeni probabilitetet e të gjitha llojeve të ngjarjeve të lidhura me një ndryshore të rastësishme (për shembull, probabiliteti që është një shembull i një vlere ose bie në një interval).

Është më e thjeshtë dhe më e përshtatshme për të vendosur ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e tabelës së mëposhtme:

Kjo tabelë quhet afër shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Rreshti i sipërm i serisë së shpërndarjes rendit në rend rritës të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores diskrete të rastësishme (x), dhe rreshti i fundit rendit probabilitetet e këtyre vlerave ( fq).

Ngjarjet janë të papajtueshme dhe të vetmet të mundshme: ato formojnë një sistem të plotë ngjarjesh. Prandaj, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një:

.

Shembulli 1. Në grupin e studentëve u organizua shorti. Dy artikuj me vlerë 1000 RUB janë në dispozicion. dhe një kushton 3000 rubla. Hartoni një ligj shpërndarjeje për shumën e fitimeve neto për një student që bleu një biletë për 100 rubla. Janë shitur gjithsej 50 bileta.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme që na intereson është X mund të marrë tre vlera: - 100 fshij. (nëse studenti nuk fiton, por në të vërtetë humbet 100 rubla të paguara për biletën), 900 rubla. dhe 2900 rubla. (fitimet aktuale zvogëlohen me 100 rubla - nga kostoja e biletës). Rezultati i parë favorizohet 47 herë nga 50, i dyti - 2, dhe i treti - një. Prandaj, probabilitetet e tyre janë: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X duket si

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete: ndërtimi

Një seri shpërndarjeje mund të ndërtohet vetëm për një ndryshore të rastësishme diskrete (për një jodiskrete nuk mund të ndërtohet, nëse vetëm për shkak se grupi i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të tillë të rastësishme është i panumërueshëm, ato nuk mund të renditen në rreshtin e sipërm të tabelës).

Forma më e përgjithshme e ligjit të shpërndarjes, e përshtatshme për të gjitha variablat e rastit (si diskrete ashtu edhe jodiskrete), është funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete ose funksion integral i quajtur funksion , i cili përcakton probabilitetin që vlera e ndryshores së rastit X më pak se ose e barabartë me vlerën kufi X.

Funksioni i shpërndarjes i çdo ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion hapi i ndërprerë, kërcimet e të cilit ndodhin në pikat që korrespondojnë me vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe janë të barabarta me probabilitetet e këtyre vlerave.

Shembulli 2. Ndryshore diskrete e rastësishme X- numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një kërpudhe. Llogaritni funksionin e shpërndarjes së tij.

Zgjidhje. Seritë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X ka formën:

Funksioni i shpërndarjes F(x) ka 6 kërcime të barabarta në madhësi me 1/6 (në figurën më poshtë).

Shembulli 3. Në urnë ka 6 topa të bardhë dhe 4 topa të zinj. Nga urna nxirren 3 topa. Numri i topave të bardhë midis topave të vizatuar është një ndryshore e rastësishme diskrete X. Hartoni një ligj të shpërndarjes që i përgjigjet.

X mund të marrë vlerat 0, 1, 2, 3. Probabilitetet përkatëse mund të llogariten më lehtë duke përdorur rregulla e shumëzimit të probabilitetit. Ne marrim ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Shembulli 4. Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme diskrete - numri i goditjeve në objektiv me katër të shtëna, nëse probabiliteti i një goditjeje me një goditje është 0.1.

Zgjidhje. Ndryshore diskrete e rastësishme X mund të marrë pesë vlera të ndryshme: 1, 2, 3, 4, 5. Ne gjejmë probabilitetet përkatëse duke përdorur formula e Bernulit . Në

n = 4 ,

fq = 1,1 ,

q = 1 - fq = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

marrim

Rrjedhimisht, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X duket si

Nëse probabilitetet e vlerave të një ndryshoreje diskrete të rastësishme mund të përcaktohen duke përdorur formulën Bernoulli, atëherë ndryshorja e rastësishme ka shpërndarja binomiale .

Nëse numri i provave është mjaft i madh, atëherë probabiliteti që në këto prova të ndodhë ngjarja me interes është m herë, i bindet ligjit Shpërndarja Poisson .

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete: llogaritja

Për të llogaritur funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete F(X), kërkohet të mblidhen probabilitetet e të gjitha atyre vlerave që janë më të vogla ose të barabarta me vlerën kufitare X.

Shembulli 5. Tabela tregon varësinë e numrit të martesave të zgjidhura gjatë vitit nga kohëzgjatja e martesës. Gjeni probabilitetin që martesa tjetër e divorcuar të zgjaste më pak ose e barabartë me 5 vjet.

Zgjidhje. Probabilitetet llogariten duke pjesëtuar numrin e martesave përkatëse të zgjidhura me numrin total prej 6010. Probabiliteti që martesa tjetër e zgjidhur ka zgjatur 5 vjet është 0,056. Probabiliteti që kohëzgjatja e martesës së ardhshme të divorcuar të jetë më e vogël ose e barabartë me 5 vjet është 0,186. E kemi marrë duke ia shtuar vlerën F(x) për martesat me kohëzgjatje 4 vjet përfshirëse, probabiliteti për martesa me kohëzgjatje 5 vjet.

Marrëdhënia midis ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe pritjes dhe shpërndarjes matematikore

Shpesh nuk dihen të gjitha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, por njihen disa vlera ose probabilitete nga seria, si dhe pritshmëria matematikore dhe (ose) varianca e një ndryshoreje të rastësishme, të cilit i kushtohet një mësim i veçantë.

Le të paraqesim këtu disa formula nga ky mësim që mund të ndihmojnë gjatë hartimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve të tilla.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave:

(1)

Formula për variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete sipas përkufizimit është:

Shpesh formula e mëposhtme e shpërndarjes është më e përshtatshme për llogaritjet:

, (2)

Ku .

Shembulli 6. Ndryshore diskrete e rastësishme X mund të marrë vetëm dy vlera. Merr një vlerë më të vogël me probabilitet fq= 0.6. Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete X, nëse dihet se pritshmëria dhe varianca e tij matematikore janë .

Zgjidhje. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë më të madhe x2 , është e barabartë me 1 − 0,6 = 4. Duke përdorur formulën (1) të pritshmërisë matematikore, ne krijojmë një ekuacion në të cilin të panjohurat janë vlerat e ndryshores sonë diskrete të rastësishme:

Duke përdorur formulën e shpërndarjes (2), ne krijojmë një ekuacion tjetër në të cilin të panjohurat janë gjithashtu vlerat e një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Një sistem me dy ekuacione të marra

zgjidhet me metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i parë marrim

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin e dytë, pas transformimeve të thjeshta marrim ekuacioni kuadratik

,

që ka dy rrënjë: 7/5 dhe −1. Rrënja e parë nuk i plotëson kushtet e problemit, pasi x2 < x 1 . Kështu, vlerat që mund të marrë një ndryshore e rastësishme diskrete X sipas kushteve të shembullit tonë, janë të barabarta x1 = −1 Dhe x2 = 2 .

Ndryshore e rastësishme Një variabël quhet një variabël që, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të arsyeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete Dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Me numërueshmëri nënkuptojmë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Këtu janë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i emblemave të rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërrijnë në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në PBX (bashkësi vlerash e numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, rreshti i parë i së cilës tregon vlerat $x_1,\dots,\ x_n$, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (arresë)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të rrokullisur kur hidhet një peshore. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (arresë)$

Koment. Meqenëse në ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, ngjarjet $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, domethënë $ \sum(p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme vendos kuptimin e tij “qendror”. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\dots,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th. : $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën në gjuhën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritjes matematikore$M\majtas(X\djathtas)$:

1. $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha të ndryshores së rastësishme $X$.
2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6))+6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave të tyre mesatare. Për shembull, në dy grupe studentësh rezultati mesatar për provimin në teorinë e probabilitetit doli të ishte 4, por në një grup rezultuan të gjithë studentë të mirë dhe në grupin tjetër kishte vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë numerike të një ndryshoreje të rastësishme që do të tregonte përhapjen e vlerave të ndryshores së rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është e barabartë me:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet duke përdorur formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

1. Varianca është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
2. Varianca e konstantës është zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
5. Varianca e diferencës ndërmjet ndryshoreve të pavarura të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +( (1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X< x\right)$

Vetitë e funksionit të shpërndarjes:

1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në fund të këtij intervali: $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (arresë)$

Nëse $x\le 1$, atëherë, padyshim, $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë për $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$, atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) +P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ për\ x > 6.
\fund(matricë)\djathtas.$