Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një numër. Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një thyesë

Herën e fundit mësuam se si të mbledhim dhe zbresim thyesat (shihni mësimin "Mblidhja dhe zbritja e thyesave"). Pjesa më e vështirë e atyre veprimeve ishte sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.

Tani është koha për t'u marrë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Lajmi i mirë është se këto veprime janë edhe më të thjeshta se mbledhja dhe zbritja. Së pari, le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa pozitive pa një pjesë të plotë të ndarë.

Për të shumëzuar dy thyesa, duhet të shumëzoni veçmas numëruesit dhe emëruesit e tyre. Numri i parë do të jetë numëruesi i thyesës së re dhe i dyti do të jetë emëruesi.

Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni fraksionin e parë me fraksionin e dytë "të përmbysur".

Përcaktimi:

Nga përkufizimi rezulton se pjesëtimi i thyesave zvogëlohet në shumëzim. Për të "rrokullisur" një thyesë, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të shqyrtojmë kryesisht shumëzimin.

Si rezultat i shumëzimit, mund të lindë një fraksion i reduktueshëm (dhe shpesh lind) - ai, natyrisht, duhet të reduktohet. Nëse pas të gjitha reduktimeve thyesa rezulton e pasaktë, e gjithë pjesa duhet të theksohet. Por ajo që definitivisht nuk do të ndodhë me shumëzimin është reduktimi në një emërues të përbashkët: pa metoda të kryqëzuara, faktorë më të mëdhenj dhe shumëfish më pak të zakonshëm.

Sipas definicionit kemi:

Shumëzimi i thyesave me pjesë të plota dhe me thyesa negative

Nëse fraksionet përmbajnë një pjesë të plotë, ato duhet të shndërrohen në të pahijshme - dhe vetëm atëherë të shumëzohen sipas skemave të përshkruara më sipër.

Nëse ka një minus në numëruesin e një thyese, në emërues ose përballë saj, ai mund të hiqet nga shumëzimi ose të hiqet fare sipas rregullave të mëposhtme:

1. Plus me minus jep minus;
2. Dy negative bëjnë një pohuese.

Deri më tani, këto rregulla janë hasur vetëm në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave negative, kur është dashur të hiqet e gjithë pjesa. Për një punë, ato mund të përgjithësohen për të "djegur" disa disavantazhe menjëherë:

1. Negativët i kryqëzojmë në dyshe derisa të zhduken plotësisht. Në raste ekstreme, një minus mund të mbijetojë - ai për të cilin nuk kishte shok;
2. Nëse nuk ka mbetur asnjë minus, operacioni ka përfunduar - mund të filloni të shumëzoni. Nëse minusi i fundit nuk kapërcehet sepse nuk kishte çift për të, e nxjerrim jashtë kufijve të shumëzimit. Rezultati është një fraksion negativ.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Ne i kthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme, dhe më pas i heqim minuset nga shumëzimi. E shumëzojmë atë që ka mbetur sipas rregullave të zakonshme. Ne marrim:

Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se minusi që shfaqet para një thyese me një pjesë të plotë të theksuar i referohet në mënyrë specifike të gjithë thyesës, dhe jo vetëm të gjithë pjesës së saj (kjo vlen për dy shembujt e fundit).

Kushtojini vëmendje edhe numrave negativë: kur shumëzohen, ato mbyllen në kllapa. Kjo bëhet për të ndarë minuset nga shenjat e shumëzimit dhe për ta bërë të gjithë shënimin më të saktë.

Reduktimi i fraksioneve në fluturim

Shumëzimi është një operacion që kërkon shumë punë. Numrat këtu rezultojnë të jenë mjaft të mëdhenj, dhe për të thjeshtuar problemin, mund të përpiqeni të zvogëloni më tej fraksionin para shumëzimit. Në të vërtetë, në thelb, numëruesit dhe emëruesit e thyesave janë faktorë të zakonshëm, dhe, për rrjedhojë, ato mund të reduktohen duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Hidhini një sy shembujve:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Sipas definicionit kemi:

Në të gjithë shembujt, numrat që janë zvogëluar dhe çfarë ka mbetur prej tyre janë shënuar me të kuqe.

Ju lutemi vini re: në rastin e parë, shumëzuesit u reduktuan plotësisht. Në vend të tyre mbeten njësi që, në përgjithësi, nuk kanë nevojë të shkruhen. Në shembullin e dytë, nuk ishte e mundur të arrihej një reduktim i plotë, por shuma totale e llogaritjeve ende u ul.

Megjithatë, mos e përdorni kurrë këtë teknikë kur mblidhni dhe zbritni thyesa! Po, ndonjëherë ka numra të ngjashëm që thjesht dëshironi t'i zvogëloni. Ja, shikoni:

Ju nuk mund ta bëni këtë!

Gabimi ndodh sepse kur mblidhet, numëruesi i një thyese prodhon një shumë, jo një produkt të numrave. Rrjedhimisht, është e pamundur të zbatohet vetia bazë e një thyese, pasi kjo veti merret në mënyrë specifike me shumëzimin e numrave.

Thjesht nuk ka arsye të tjera për zvogëlimin e thyesave, kështu që zgjidhja e saktë e problemit të mëparshëm duket si kjo:

Zgjidhja e duhur:

Siç mund ta shihni, përgjigja e saktë doli të ishte jo aq e bukur. Në përgjithësi, kini kujdes.

Një thyesë është një ose më shumë pjesë të një tërësie, e cila zakonisht merret si një (1). Ashtu si me numrat natyrorë, ju mund të kryeni të gjitha veprimet themelore aritmetike (mbledhje, zbritje, pjesëtim, shumëzim) me thyesa, për ta bërë këtë, duhet të njihni veçoritë e punës me thyesat dhe të bëni dallimin midis llojeve të tyre. Ekzistojnë disa lloje thyesash: dhjetore dhe të zakonshme, ose të thjeshta. Çdo lloj thyese ka specifikat e veta, por pasi të kuptoni plotësisht se si t'i trajtoni ato, do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo shembull me thyesa, pasi do të njihni parimet themelore të kryerjes së llogaritjeve aritmetike me thyesa. Le të shohim shembuj se si të pjesëtohet një thyesë me një numër të plotë duke përdorur lloje të ndryshme thyesash.

Si të pjesëtohet një dhjetore me një numër të plotë?
Dhjetorja është një thyesë që fitohet duke e ndarë një njësi në dhjetë, një mijë, e kështu me radhë pjesë. Veprimet aritmetike me dhjetore janë mjaft të thjeshta.

Le të shohim një shembull se si të pjesëtohet një thyesë me një numër të plotë. Le të themi se duhet të ndajmë thyesën dhjetore 0,925 me numrin natyror 5.

• për të pjesëtuar një thyesë dhjetore me një numër natyror, përdoret pjesëtimi i gjatë;
  
• Një presje vendoset në një herës kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës së dividentit.
  

Numrat e zakonshëm thyesorë takojnë fillimisht nxënësit e shkollës në klasën e 5-të dhe i shoqërojnë gjatë gjithë jetës së tyre, pasi në jetën e përditshme shpesh është e nevojshme të merret parasysh ose të përdoret një objekt jo si një e tërë, por në pjesë të veçanta. Filloni të studioni këtë temë - ndan. Aksionet janë pjesë të barabarta, në të cilën ndahet ky apo ai objekt. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të shprehet, për shembull, gjatësia ose çmimi i një produkti si një numër i plotë duhet të merren parasysh. E formuar nga folja "për të ndarë" - për të ndarë në pjesë, dhe me rrënjë arabe, vetë fjala "fraksion" u ngrit në gjuhën ruse në shekullin e 8-të.

Shprehjet thyesore janë konsideruar prej kohësh si dega më e vështirë e matematikës. Në shekullin e 17-të, kur u shfaqën tekstet e para të matematikës, ato u quajtën "numra të thyer", gjë që ishte shumë e vështirë për t'u kuptuar nga njerëzit.

Forma moderne e mbetjeve të thjeshta thyesore, pjesët e të cilave ndahen nga një vijë horizontale, u promovua për herë të parë nga Fibonacci - Leonardo i Pizës. Veprat e tij datohen në vitin 1202. Por qëllimi i këtij artikulli është t'i shpjegojë lexuesit thjesht dhe qartë se si shumëzohen thyesat e përziera me emërues të ndryshëm.

Shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm

Fillimisht ia vlen të përcaktohet llojet e thyesave:

• e saktë;
• e pasaktë;
• të përziera.

Më pas, duhet të mbani mend se si shumëzohen numrat thyesorë me emërues të njëjtë. Vetë rregulli i këtij procesi nuk është i vështirë të formulohet në mënyrë të pavarur: rezultati i shumëzimit të thyesave të thjeshta me emërues identikë është një shprehje thyesore, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve të këtyre thyesave. . Kjo është, në fakt, emëruesi i ri është katrori i një prej atyre fillimisht ekzistues.

Kur shumëzohet thyesa të thjeshta me emërues të ndryshëm për dy ose më shumë faktorë rregulli nuk ndryshon:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Dallimi i vetëm është se numri i formuar nën vijën thyesore do të jetë produkt i numrave të ndryshëm dhe, natyrisht, nuk mund të quhet katror i një shprehjeje numerike.

Vlen të merret parasysh shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm duke përdorur shembuj:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Shembujt përdorin metoda për reduktimin e shprehjeve thyesore. Ju mund të zvogëloni numrat numërues vetëm me numra emërues, faktorët ngjitur mbi ose nën vijën e thyesave.

Së bashku me thyesat e thjeshta, ekziston koncepti i thyesave të përziera. Një numër i përzier përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore, domethënë është shuma e këtyre numrave:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Si funksionon shumëzimi?

Janë dhënë disa shembuj për shqyrtim.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Shembulli përdor shumëzimin e një numri me pjesë e zakonshme thyesore, rregulli për këtë veprim mund të shkruhet si:

a* b/c = a*b /c.

Në fakt, një produkt i tillë është shuma e mbetjeve identike thyesore, dhe numri i termave tregon këtë numër natyror. Rast i veçantë:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Ekziston një zgjidhje tjetër për shumëzimin e një numri me një mbetje thyesore. Thjesht duhet të ndani emëruesin me këtë numër:

d* e/f = e/f: d.

Kjo teknikë është e dobishme për t'u përdorur kur emëruesi pjesëtohet me një numër natyror pa mbetje ose, siç thonë ata, me një numër të plotë.

Shndërroni numrat e përzier në thyesa jo të duhura dhe merrni produktin në mënyrën e përshkruar më parë:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ky shembull përfshin një mënyrë për të paraqitur një fraksion të përzier si një fraksion të papërshtatshëm, dhe gjithashtu mund të përfaqësohet si një formulë e përgjithshme:

a bc = a*b+ c / c, ku emëruesi i thyesës së re formohet duke shumëzuar të gjithë pjesën me emëruesin dhe duke e shtuar atë me numëruesin e mbetjes thyesore origjinale, dhe emëruesi mbetet i njëjtë.

Ky proces gjithashtu funksionon në drejtim të kundërt. Për të ndarë të gjithë pjesën dhe pjesën e mbetur thyesore, duhet të ndani numëruesin e një fraksioni të gabuar me emëruesin e tij duke përdorur një "qoshe".

Shumëzimi i thyesave jo të duhura prodhuar në një mënyrë të pranuar përgjithësisht. Kur shkruani nën një rresht të vetëm thyese, duhet të zvogëloni thyesat sipas nevojës në mënyrë që të zvogëloni numrat duke përdorur këtë metodë dhe ta bëni më të lehtë llogaritjen e rezultatit.

Ka shumë ndihmës në internet për të zgjidhur edhe probleme komplekse matematikore në variacione të ndryshme programesh. Një numër i mjaftueshëm i shërbimeve të tilla ofrojnë ndihmën e tyre në llogaritjen e shumëzimit të thyesave me numra të ndryshëm në emërues - të ashtuquajturat kalkulatorë online për llogaritjen e thyesave. Ata janë në gjendje jo vetëm të shumëzojnë, por edhe të kryejnë të gjitha veprimet e tjera të thjeshta aritmetike me thyesa të zakonshme dhe numra të përzier. Është e lehtë për të punuar me të, ju plotësoni fushat e duhura në faqen e internetit, zgjidhni shenjën e operacionit matematikor dhe klikoni "llogarit". Programi llogarit automatikisht.

Tema e veprimeve aritmetike me thyesa është e rëndësishme gjatë gjithë edukimit të nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme. Në shkollë të mesme, ata nuk konsiderojnë më speciet më të thjeshta, por shprehje thyesore me numra të plotë, por njohja e rregullave për transformimin dhe llogaritjet e marra më herët zbatohet në formën e saj origjinale. Njohuritë bazë të zotëruara mirë japin besim të plotë në zgjidhjen me sukses të problemeve më komplekse.

Si përfundim, ka kuptim të citohen fjalët e Lev Nikolaevich Tolstoy, i cili shkroi: "Njeriu është një fraksion. Nuk është në fuqinë e njeriut të rrisë numëruesin e tij - meritat e tij - por çdokush mund të zvogëlojë emëruesin e tij - mendimin e tij për veten e tij dhe me këtë ulje t'i afrohet përsosmërisë së tij.

Për të zgjidhur probleme të ndryshme nga lëndët e matematikës dhe fizikës, duhet të ndani thyesat. Kjo është shumë e lehtë për t'u bërë nëse dini disa rregulla për kryerjen e këtij operacioni matematikor.

Para se të kalojmë në formulimin e rregullit për pjesëtimin e thyesave, le të kujtojmë disa terma matematikorë:

1. Pjesa e sipërme e thyesës quhet numërues, dhe pjesa e poshtme quhet emërues.
2. Gjatë pjesëtimit, numrat thirren si më poshtë: dividend: pjesëtues = herës

Si të pjesëtohen thyesat: thyesat e thjeshta

Për të pjesëtuar dy thyesa të thjeshta, shumëzojeni dividentin me reciprokun e pjesëtuesit. Kjo thyesë quhet edhe e përmbysur sepse fitohet duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Për shembull:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Si të pjesëtohen thyesat: thyesat e përziera

Nëse duhet të ndajmë thyesat e përziera, atëherë gjithçka këtu është gjithashtu mjaft e thjeshtë dhe e qartë. Së pari, ne e kthejmë fraksionin e përzier në një fraksion të rregullt të papërshtatshëm. Për ta bërë këtë, shumëzojeni emëruesin e një fraksioni të tillë me një numër të plotë dhe shtoni numëruesin në produktin që rezulton. Si rezultat, morëm një numërues të ri të fraksionit të përzier, por emëruesi i tij do të mbetet i pandryshuar. Më tej, ndarja e thyesave do të kryhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ndarja e thyesave të thjeshta. Për shembull:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Si të pjesëtohet një thyesë me një numër

Për të pjesëtuar një thyesë të thjeshtë me një numër, ky i fundit duhet të shkruhet si thyesë (e parregullt). Kjo është shumë e lehtë për t'u bërë: ky numër shkruhet në vend të numëruesit, dhe emëruesi i një fraksioni të tillë është i barabartë me një. Ndarja e mëtejshme kryhet në mënyrën e zakonshme. Le ta shohim këtë me një shembull:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Si të ndahen numrat dhjetorë

Shpesh një i rritur ka vështirësi të pjesëtojë një numër të plotë ose një thyesë dhjetore me një thyesë dhjetore pa ndihmën e një kalkulatori.

Pra, për të ndarë numrat dhjetorë, thjesht duhet të kaloni presjen në pjesëtues dhe të ndaloni t'i kushtoni vëmendje asaj. Në divident, presja duhet të zhvendoset djathtas saktësisht aq vende sa ishte në pjesën thyesore të pjesëtuesit, duke shtuar zero nëse është e nevojshme. Dhe pastaj ata kryejnë ndarjen e zakonshme me një numër të plotë. Për ta bërë këtë më të qartë, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Herët a vonë, të gjithë fëmijët në shkollë fillojnë të mësojnë thyesat: mbledhjen e tyre, pjesëtimin, shumëzimin dhe të gjitha veprimet e mundshme që mund të kryhen me thyesa. Për t'i ofruar ndihmën e duhur fëmijës, vetë prindërit nuk duhet të harrojnë se si t'i ndajnë numrat e plotë në fraksione, përndryshe nuk do të mund ta ndihmoni në asnjë mënyrë, por vetëm do ta ngatërroni. Nëse duhet ta mbani mend këtë veprim, por thjesht nuk mund t'i sillni të gjitha informacionet në kokën tuaj në një rregull të vetëm, atëherë ky artikull do t'ju ndihmojë: do të mësoni të ndani një numër me një fraksion dhe të shihni shembuj të qartë.

Si të ndajmë një numër në një thyesë

Shkruani shembullin tuaj si një draft të përafërt që të mund të bëni shënime dhe fshirje. Mos harroni se numri i plotë është shkruar midis qelizave, pikërisht në kryqëzimin e tyre, dhe numrat thyesorë janë shkruar secili në qelizën e vet.

• Në këtë metodë, ju duhet ta ktheni thyesën me kokë poshtë, domethënë të shkruani emëruesin në numërues dhe numëruesin në emërues.
• Shenja e pjesëtimit duhet të ndryshohet në shumëzim.
• Tani gjithçka që duhet të bëni është të kryeni shumëzimin sipas rregullave që keni mësuar tashmë: numëruesi shumëzohet me një numër të plotë, por ju nuk e prekni emëruesin.

Sigurisht, si rezultat i këtij veprimi do të përfundoni me një numër shumë të madh në numërues. Ju nuk mund të lini një pjesë në këtë gjendje - mësuesi thjesht nuk do ta pranojë këtë përgjigje. Zvogëloni thyesën duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin. Shkruani numrin e plotë që rezulton në të majtë të fraksionit në mes të qelizave, dhe pjesa e mbetur do të jetë numëruesi i ri. Emëruesi mbetet i pandryshuar.

Ky algoritëm është mjaft i thjeshtë, edhe për një fëmijë. Pasi ta ketë përfunduar pesë ose gjashtë herë, fëmija do ta mbajë mend procedurën dhe do të jetë në gjendje ta zbatojë atë në çdo fraksion.

Si të pjesëtoni një numër me një dhjetor

Ekzistojnë lloje të tjera të thyesave - dhjetore. Ndarja në to ndodh sipas një algoritmi krejtësisht të ndryshëm. Nëse hasni një shembull të tillë, atëherë ndiqni udhëzimet:

• Së pari, konvertoni të dy numrat në dhjetorë. Kjo është e lehtë për t'u bërë: pjesëtuesi juaj është paraqitur tashmë si një thyesë, dhe ju e ndani numrin natyror që ndahet me presje, duke marrë një thyesë dhjetore. Kjo do të thotë, nëse dividenti ishte 5, ju merrni fraksionin 5.0. Ju duhet të ndani një numër me aq shifra sa ka pas presjes dhjetore dhe pjesëtuesit.
• Pas kësaj, duhet të bëni të dy thyesat dhjetore numra natyrorë. Mund të duket pak konfuze në fillim, por është mënyra më e shpejtë për të ndarë dhe do t'ju marrë disa sekonda pas disa seancave praktike. Thyesa 5.0 do të bëhet numri 50, thyesa 6.23 do të bëhet 623.
• Bëni ndarjen. Nëse numrat janë të mëdhenj, ose ndarja do të ndodhë me një mbetje, bëjeni atë në një kolonë. Në këtë mënyrë ju mund të shihni qartë të gjitha veprimet e këtij shembulli. Ju nuk keni nevojë të vendosni presje me qëllim, pasi ajo do të shfaqet automatikisht gjatë ndarjes së gjatë.

Ky lloj i ndarjes fillimisht duket shumë konfuz, pasi ju duhet ta ktheni dividentin dhe pjesëtuesin në një thyesë, dhe më pas përsëri në numra natyrorë. Por pas një praktike të shkurtër, menjëherë do të filloni të shihni ato numra që thjesht duhet t'i ndani me njëri-tjetrin.

Mos harroni se aftësia për të ndarë saktë thyesat dhe numrat e plotë me to mund të jetë e dobishme shumë herë në jetë, prandaj, një fëmijë duhet t'i njohë këto rregulla dhe parime të thjeshta në mënyrë të përsosur, në mënyrë që në klasat më të larta të mos bëhen pengesë për shkak të së cilës fëmija nuk mund të zgjidhë detyra më komplekse.