Funksioni mund të specifikohet në disa mënyra. Kjo varet nga rregulli që përdoret për ta specifikuar atë. Forma eksplicite e specifikimit të funksionit është y = f (x). Ka raste kur përshkrimi i tij është i pamundur ose i papërshtatshëm. Nëse ka shumë çifte (x; y) që duhet të llogariten për parametrin t mbi intervalin (a; b). Për të zgjidhur sistemin x = 3 cos t y = 3 sin t me 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Përkufizimi i një funksioni parametrik
Nga këtu kemi që x = φ (t), y = ψ (t) janë përcaktuar për një vlerë t ∈ (a; b) dhe kanë një funksion të anasjelltë t = Θ (x) për x = φ (t), atëherë po flasim për specifikimin e një ekuacioni parametrik të një funksioni të formës y = ψ (Θ (x)) .
Ka raste kur, për të studiuar një funksion, është e nevojshme të kërkohet derivati në lidhje me x. Le të shqyrtojmë formulën për derivatin e një funksioni të përcaktuar parametrikisht të formës y x " = ψ " (t) φ " (t), le të flasim për derivatin e rendit të 2-të dhe n-të.
Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni të përcaktuar parametrikisht
Kemi që x = φ (t), y = ψ (t), të përcaktuara dhe të diferencueshme për t ∈ a; b, ku x t " = φ " (t) ≠ 0 dhe x = φ (t), atëherë ekziston një funksion i anasjelltë i formës t = Θ (x).
Për të filluar, duhet të kaloni nga një detyrë parametrike në një detyrë eksplicite. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni një funksion kompleks të formës y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), ku ekziston një argument x.
Në bazë të rregullit për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks, fitojmë se y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Kjo tregon se t = Θ (x) dhe x = φ (t) janë funksione të anasjellta nga formula e funksionit invers Θ " (x) = 1 φ " (t), pastaj y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë zgjidhjen e disa shembujve duke përdorur një tabelë derivatesh sipas rregullit të diferencimit.
Shembulli 1
Gjeni derivatin për funksionin x = t 2 + 1 y = t.
Zgjidhje
Me kusht kemi që φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, nga këtu marrim se φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Ju duhet të përdorni formulën e prejardhur dhe të shkruani përgjigjen në formën:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Përgjigje: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Kur punoni me derivatin e një funksioni h, parametri t specifikon shprehjen e argumentit x përmes të njëjtit parametër t, në mënyrë që të mos humbasë lidhjen midis vlerave të derivatit dhe funksionit të specifikuar parametrikisht me argumentin për me të cilat korrespondojnë këto vlera.
Për të përcaktuar derivatin e rendit të dytë të një funksioni të dhënë parametrikisht, duhet të përdorni formulën për derivatin e rendit të parë në funksionin që rezulton, atëherë marrim se
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Shembulli 2
Gjeni derivatet e rendit të dytë dhe të dytë të funksionit të dhënë x = cos (2 t) y = t 2 .
Zgjidhje
Me kusht fitojmë që φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Pastaj pas transformimit
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Nga kjo rrjedh se y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Ne marrim se forma e derivatit të rendit të parë është x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Për të zgjidhur, ju duhet të aplikoni formulën e derivatit të rendit të dytë. Marrim një shprehje të formës
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · mëkat (2 t) - t · (mëkat (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 mëkat (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = mëkat (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Më pas specifikimi i derivatit të rendit të dytë duke përdorur një funksion parametrik
x = cos (2 t) y x "" = mëkat (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Një zgjidhje e ngjashme mund të zgjidhet duke përdorur një metodë tjetër. Pastaj
φ " t = (cos (2 t)) " = - mëkat (2 t) 2 t " = - 2 mëkat (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 mëkat (2 t) " = - 2 mëkat (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Nga këtu ne e marrim atë
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = mëkat (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Përgjigje: y "" x = mëkat (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Derivatet e rendit më të lartë me funksione të përcaktuara parametrikisht gjenden në mënyrë të ngjashme.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Diferencimi logaritmik
Derivatet e funksioneve elementare
Rregullat themelore të diferencimit
Diferenciali i funksionit
Pjesa kryesore lineare e rritjes së funksionit A D x në përcaktimin e diferencibilitetit të një funksioni
D f=f(x)- f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
quhet diferencial i funksionit f(x) në pikën x 0 dhe shënohet
df(x 0)=f¢(x 0) D x=A D x.
Diferenca varet nga pika x 0 dhe nga rritja D x. Në D x në të njëjtën kohë ata e shikojnë atë si një variabël të pavarur, pra në çdo pikë diferenciali është një funksion linear i rritjes D x.
Nëse e konsiderojmë si funksion f(x)=x, atëherë marrim dx= D x,dy=Adx. Kjo është në përputhje me shënimin e Leibniz
Interpretimi gjeometrik i diferencialit si një rritje e ordinatës së një tangjente.
Oriz. 4.3
1) f= konst , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Pasoja. (kf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 dhe derivati ekziston, atëherë f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .
Për shkurtësi do të shënojmë u=u(x), u 0 =u(x 0), atëherë
Duke kaluar në kufirin në D x® 0 marrim barazinë e kërkuar.
5) Derivat i një funksioni kompleks.
Teorema. Nëse ka f¢(x 0), g¢(x 0)dhe x 0 =g(t 0), pastaj në ndonjë lagje t 0 është përcaktuar funksioni kompleks f(g(t)), është i diferencueshëm në pikën t 0 Dhe
Dëshmi.
f(x)- f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).
f(g(t))- f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).
Le t'i ndajmë të dyja anët e kësaj barazie me ( t - t 0) dhe le të shkojmë në kufirin në t®t 0 .
6) Llogaritja e derivatit të funksionit të anasjelltë.
Teorema. Le të jetë f e vazhdueshme dhe rreptësisht monotone[a, b]. Lëreni në pikën x 0 Î( a, b)ka f¢(x 0)¹ 0 , atëherë funksioni i anasjelltë x=f -1 (y)ka në pikën y 0 derivat i barabartë me
Dëshmi. Ne numërojmë f rreptësisht në rritje monotonike, pra f -1 (y) është e vazhdueshme, rritet në mënyrë monotonike me [ f(a), f(b)]. Le të vendosim y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Për shkak të vazhdimësisë së funksionit të anasjelltë D y®0 Þ D x®0, kemi
Duke kaluar në kufi, marrim barazinë e kërkuar.
7) Derivati i një funksioni çift është tek, derivati i një funksioni tek është çift.
Në të vërtetë, nëse x® - x 0 , se - x® x 0 , Kjo është arsyeja pse
Për funksionin çift për funksionin tek
1) f= konst, f¢(x)=0.
2) f(x)=x,f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) f(x)=a x,(një x)¢ = sëpatë ln a.
5) ln a.
6) f(x)=ln x,
Pasoja. (derivati i një funksioni çift është tek)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .
8) (mëkat x)¢= cos x,
9) (ko x)¢=- mëkat x,(cos x)¢= (mëkat( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.
10) (tg x)¢= 1/ko 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/mëkat 2 x.
16) sh x, ch x.
f (x),, nga ku rrjedh se f¢(x)=f(x) (ln f(x))¢ .
E njëjta formulë mund të merret ndryshe f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
Shembull. Llogaritni derivatin e një funksioni f=x x.
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
Vendndodhja gjeometrike e pikave në një rrafsh
ne do ta quajmë atë një grafik të një funksioni, dhënë në mënyrë parametrike. Ata gjithashtu flasin për specifikimin parametrik të një funksioni.
Shënim 1. Nëse x, y të vazhdueshme për [a, b] Dhe x(t) rreptësisht monoton në segment (për shembull, rritet rreptësisht monotonisht), pastaj në [ a, b], a=x(a) , b=x(b) funksioni i përcaktuar f(x)=y(t(x)), ku t(x) – funksioni i anasjelltë me x(t). Grafiku i këtij funksioni përkon me grafikun e funksionit
Nëse fusha e përkufizimit një funksion i dhënë parametrikisht mund të ndahet në një numër të kufizuar segmentesh ,k= 1,2,...,n, në secilën prej të cilave ka një funksion x(t) është rreptësisht monoton, atëherë funksioni i përcaktuar parametrikisht zbërthehet në një numër të kufizuar funksionesh të zakonshme fk(x)=y(t -1 (x)) me domene [ x(a k), x(b k)] për rritjen e seksioneve x(t) dhe me domene [ x(b k), x(a k)] për zonat me funksion në rënie x(t). Funksionet e fituara në këtë mënyrë quhen degë me një vlerë të një funksioni të përcaktuar parametrikisht.
Figura tregon një grafik të një funksioni të përcaktuar parametrikisht
Me parametrizimin e zgjedhur, zona e përkufizimit ndahet në pesë seksione të monotonitetit të rreptë të funksionit sin(2 t), saktësisht: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , dhe, në përputhje me rrethanat, grafiku do të ndahet në pesë degë të paqarta që korrespondojnë me këto seksione.
Oriz. 4.4
Oriz. 4.5
Ju mund të zgjidhni një parametrizim të ndryshëm të të njëjtit vendndodhje gjeometrike të pikave
Në këtë rast do të ketë vetëm katër degë të tilla. Ato do të korrespondojnë me zona të monotonisë së rreptë tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funksione mëkat (2 t).
Oriz. 4.6
Katër seksione të monotonitetit të funksionit sin(2 t) në një segment të gjatë.
Oriz. 4.7
Paraqitja e të dy grafikëve në një figurë ju lejon të përshkruani afërsisht grafikun e një funksioni të specifikuar parametrikisht, duke përdorur zonat e monotonitetit të të dy funksioneve.
Si shembull, merrni parasysh degën e parë që korrespondon me segmentin tÎ . Në fund të këtij seksioni funksioni x= mëkat (2 t) merr vlerat -1 dhe 1 , kështu që kjo degë do të përcaktohet në [-1,1]. Pas kësaj, duhet të shikoni zonat e monotonisë së funksionit të dytë y= cos( t), ajo ka në dy seksione monotonie . Kjo na lejon të themi se dega e parë ka dy seksione të monotonitetit. Pasi të keni gjetur pikat fundore të grafikut, mund t'i lidhni ato me vija të drejta për të treguar natyrën e monotonisë së grafikut. Pasi e kemi bërë këtë me secilën degë, marrim zonat e monotonitetit të degëve të paqarta të grafikut (ato janë të theksuara me të kuqe në figurë)
Oriz. 4.8
Dega e parë me një vlerë f 1 (x)=y(t(x)) , që korrespondon me sitin do të përcaktohet për xО[-1,1] . Dega e parë me një vlerë të vetme tÎ , xО[-1,1].
Të tre degët e tjera do të kenë gjithashtu një domen të përkufizimit [-1,1] .
Oriz. 4.9
Dega e dytë tÎ xО[-1,1].
Oriz. 4.10
Dega e tretë tÎ xО[-1,1]
Oriz. 4.11
Dega e katërt tÎ xО[-1,1]
Oriz. 4.12
Komentoni 2. I njëjti funksion mund të ketë cilësime të ndryshme parametrike. Dallimet mund të lidhen me të dy vetë funksionet x(t), y(t) , dhe fusha e përkufizimit këto funksione.
Shembull i caktimeve të ndryshme parametrike për të njëjtin funksion
Dhe tО[-1, 1] .
Shënim 3. Nëse x, y janë të vazhdueshme , x(t)- rreptësisht monoton në segment dhe ka derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, pastaj ka f¢(x 0)= .
Vërtet,.
Deklarata e fundit zbatohet gjithashtu për degët me një vlerë të vetme të një funksioni të përcaktuar parametrikisht.
4.2 Derivatet dhe diferencialet e rendit te larte
Derivatet dhe diferencialet më të larta. Diferencimi i funksioneve të specifikuara në mënyrë parametrike. formula e Leibniz-it.
Deri më tani, ne kemi shqyrtuar ekuacionet e drejtëzave në një rrafsh që lidhin drejtpërdrejt koordinatat aktuale të pikave të këtyre vijave. Megjithatë, shpesh përdoret një metodë tjetër e përcaktimit të një linje, në të cilën koordinatat aktuale konsiderohen si funksione të një ndryshoreje të tretë.
Le të jepen dy funksione të një ndryshoreje
konsiderohen për të njëjtat vlera të t. Atëherë ndonjë nga këto vlera të t korrespondon me një vlerë të caktuar dhe një vlerë të caktuar të y, dhe për rrjedhojë me një pikë të caktuar. Kur ndryshorja t kalon nëpër të gjitha vlerat nga fusha e përcaktimit të funksioneve (73), pika përshkruan një vijë të caktuar C në rrafsh një parametër.
Le të supozojmë se funksioni ka një funksion të anasjelltë
duke shprehur y si funksion
Le të pranojmë të themi se ky funksion jepet parametrikisht nga ekuacionet (73). Kalimi nga këto ekuacione në ekuacionin (74) quhet eliminim i parametrave. Kur merren parasysh funksionet e përcaktuara në mënyrë parametrike, përjashtimi i parametrit jo vetëm që nuk është i nevojshëm, por edhe jo gjithmonë praktikisht i mundur.
Në shumë raste, është shumë më e përshtatshme, duke pasur parasysh vlera të ndryshme të parametrit, të llogaritni më pas vlerat përkatëse të argumentit dhe funksionit y duke përdorur formulat (73).
Le të shohim shembuj.
Shembulli 1. Le të jetë një pikë arbitrare në një rreth me qendër në origjinë dhe rreze R. Koordinatat karteziane x dhe y të kësaj pike shprehen përmes rrezes së saj polare dhe këndit polar, të cilat ne i shënojmë këtu me t, si më poshtë ( shih Kapitullin I, § 3, paragrafi 3):
Ekuacionet (75) quhen ekuacione parametrike të një rrethi. Parametri në to është këndi polar, i cili varion nga 0 në .
Nëse ekuacionet (75) vendosen në katror term pas termi dhe shtohen, atëherë në bazë të identitetit parametri eliminohet dhe fitohet ekuacioni i një rrethi në sistemin koordinativ kartezian, i cili përcakton dy funksione elementare:
Secili prej këtyre funksioneve specifikohet në mënyrë parametrike nga ekuacionet (75), por diapazoni i variacionit të parametrave për këto funksione është i ndryshëm. Për të parën prej tyre; Grafiku i këtij funksioni është gjysmërrethi i sipërm. Për funksionin e dytë, grafiku i tij është gjysmërrethi i poshtëm.
Shembulli 2. Konsideroni njëkohësisht një elips
dhe një rreth me qendër në origjinë dhe rreze a (Fig. 138).
Çdo pikë M të elipsës i lidhim një pikë N të rrethit, e cila ka të njëjtën abshisë si pika M dhe ndodhet me të në të njëjtën anë të boshtit Ox. Pozicioni i pikës N, pra pikës M, përcaktohet plotësisht nga këndi polar t i pikës Në këtë rast, për abshisën e tyre të përbashkët fitojmë shprehjen e mëposhtme: x = a. Ne gjejmë ordinatën në pikën M nga ekuacioni i elipsës:
Shenja u zgjodh sepse ordinata e pikës M dhe ordinata e pikës N duhet të kenë të njëjtat shenja.
Kështu, për elipsën merren ekuacionet parametrike të mëposhtme:
Këtu parametri t ndryshon nga 0 në .
Shembulli 3. Konsideroni një rreth me qendër në pikën a) dhe rreze a, i cili padyshim prek boshtin x në origjinë (Fig. 139). Le të supozojmë se ky rreth rrotullohet pa rrëshqitur përgjatë boshtit x. Pastaj pika M e rrethit, e cila në momentin fillestar përkoi me origjinën e koordinatave, përshkruan një vijë të quajtur cikloide.
Le të nxjerrim ekuacionet parametrike të cikloidit, duke marrë këndin e rrotullimit të rrethit si parametër t si parametër t kur pika e tij fikse lëviz nga pozicioni O në pozicionin M. Më pas për koordinatat dhe y të pikës M fitojmë shprehjet e mëposhtme:
Për shkak të faktit se rrethi rrotullohet përgjatë boshtit pa rrëshqitje, gjatësia e segmentit OB është e barabartë me gjatësinë e harkut BM. Meqenëse gjatësia e harkut BM është e barabartë me prodhimin e rrezes a dhe këndit qendror t, atëherë . Kjo është arsyeja pse. Por prandaj,
Këto ekuacione janë ekuacionet parametrike të cikloidit. Kur parametri t ndryshon nga 0 në rreth do të bëjë një revolucion të plotë. Pika M do të përshkruajë një hark të cikloidit.
Përjashtimi i parametrit t këtu çon në shprehje të rënda dhe është praktikisht jopraktike.
Përkufizimi parametrik i linjave përdoret veçanërisht shpesh në mekanikë, dhe roli i parametrit luhet nga koha.
Shembulli 4. Le të përcaktojmë trajektoren e një predhe të shkrepur nga një armë me një shpejtësi fillestare në një kënd a në horizontale. Ne e neglizhojmë rezistencën e ajrit dhe përmasat e predhës, duke e konsideruar atë një pikë materiale.
Le të zgjedhim një sistem koordinativ. Le të marrim pikën e nisjes së predhës nga gryka si origjinë të koordinatave. Le ta drejtojmë boshtin Ox horizontalisht dhe boshtin Oy vertikalisht, duke i vendosur në të njëjtin rrafsh me grykën e armës. Nëse nuk do të kishte forcë graviteti, atëherë predha do të lëvizte në një vijë të drejtë, duke krijuar një kënd a me boshtin Ox, dhe me kohën t do të kishte kaluar distancën. Koordinatat e predhës në kohën t do të ishin përkatësisht të barabarta tek: . Për shkak të gravitetit, predha në këtë moment duhet të zbresë vertikalisht me një sasi, prandaj, në realitet, në kohën t, koordinatat e predhës përcaktohen nga formula:
Këto ekuacione përmbajnë sasi konstante. Kur t ndryshon, koordinatat në pikën e trajektores së predhës do të ndryshojnë gjithashtu. Ekuacionet janë ekuacione parametrike të trajektores së predhës, në të cilat parametri është koha
Duke u shprehur nga ekuacioni i parë dhe duke e zëvendësuar në
ekuacioni i dytë, marrim ekuacionin e trajektores së predhës në formën Ky është ekuacioni i një parabole.
Lëreni funksionin të specifikohet në mënyrë parametrike:
(1)
ku është një variabël i quajtur parametër. Dhe le të kenë funksionet derivate në një vlerë të caktuar të ndryshores. Për më tepër, funksioni ka edhe një funksion të anasjelltë në një lagje të caktuar të pikës. Atëherë funksioni (1) ka një derivat në pikën, i cili, në formë parametrike, përcaktohet nga formula:
(2)
Këtu dhe janë derivatet e funksioneve dhe në lidhje me ndryshoren (parametrin). Ato shpesh shkruhen si më poshtë:
;
.
Atëherë sistemi (2) mund të shkruhet si më poshtë:
Dëshmi
Sipas kushtit, funksioni ka një funksion të anasjelltë. Le ta shënojmë si
.
Atëherë funksioni origjinal mund të përfaqësohet si një funksion kompleks:
.
Le të gjejmë derivatin e tij duke përdorur rregullat për diferencimin e funksioneve komplekse dhe të anasjellta:
.
Rregulli është vërtetuar.
Prova në mënyrën e dytë
Le ta gjejmë derivatin në mënyrën e dytë, bazuar në përcaktimin e derivatit të funksionit në pikën:
.
Le të prezantojmë shënimin:
.
Pastaj formula e mëparshme merr formën:
.
Le të përfitojmë nga fakti që funksioni ka një funksion të anasjelltë në fqinjësinë e pikës.
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:
;
;
;
.
Ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me:
.
Në , .
.
Rregulli është vërtetuar.
Pastaj
Derivatet e rendit më të lartë
(1)
Për të gjetur derivate të rendit më të lartë, është e nevojshme të kryhet diferencimi disa herë. Le të themi se duhet të gjejmë derivatin e rendit të dytë të një funksioni të përcaktuar parametrikisht, të formës së mëposhtme:
(2)
Duke përdorur formulën (2) gjejmë derivatin e parë, i cili gjithashtu përcaktohet në mënyrë parametrike:
.
Le të shënojmë derivatin e parë me variablin:
(3)
Pastaj, për të gjetur derivatin e dytë të një funksioni në lidhje me variablin, duhet të gjeni derivatin e parë të funksionit në lidhje me ndryshoren. Varësia e një variabli nga një variabël specifikohet gjithashtu në mënyrë parametrike:
Duke krahasuar (3) me formulat (1) dhe (2), gjejmë:
.
Tani le të shprehim rezultatin përmes funksioneve dhe . Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë dhe zbatojmë formulën e fraksionit të derivatit:
.
Pastaj
Nga këtu marrim derivatin e dytë të funksionit në lidhje me ndryshoren:
.
Është dhënë edhe në formë parametrike. Vini re se rreshti i parë mund të shkruhet edhe si më poshtë:
Vini re se nuk duhet të prezantojmë një shënim për derivatin. Mund ta shkruani kështu:
;
.
Shembulli 1
Gjeni derivatin e një funksioni të përcaktuar parametrikisht:
Zgjidhje
Gjejmë derivate në lidhje me .
Nga tabela e derivateve gjejmë:
;
.
Ne aplikojmë:
.
Këtu.
.
Këtu.
Derivati i kërkuar:
.
Përgjigju
Shembulli 2
Gjeni derivatin e funksionit të shprehur përmes parametrit:
Zgjidhje
Le të zgjerojmë kllapat duke përdorur formula për funksionet e fuqisë dhe rrënjët:
.
Gjetja e derivatit:
.
Gjetja e derivatit. Për ta bërë këtë, ne prezantojmë një ndryshore dhe zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks.
.
Gjejmë derivatin e dëshiruar:
.
Përgjigju
Shembulli 3
Gjeni derivatet e rendit të dytë dhe të tretë të funksionit të përcaktuar parametrikisht në shembullin 1:
Zgjidhje
Në shembullin 1 gjetëm derivatin e rendit të parë:
Le të prezantojmë emërtimin. Atëherë funksioni është derivat në lidhje me . Është specifikuar në mënyrë parametrike:
Për të gjetur derivatin e dytë në lidhje me , ne duhet të gjejmë derivatin e parë në lidhje me .
Le të dallojmë nga .
.
Ne gjetëm derivatin e në shembullin 1:
.
Derivati i rendit të dytë në lidhje me është i barabartë me derivatin e rendit të parë në lidhje me:
.
Pra, gjetëm derivatin e rendit të dytë në lidhje me formën parametrike:
Tani gjejmë derivatin e rendit të tretë. Le të prezantojmë emërtimin. Pastaj duhet të gjejmë derivatin e rendit të parë të funksionit, i cili specifikohet në mënyrë parametrike:
Gjeni derivatin në lidhje me . Për ta bërë këtë, ne e rishkruajmë atë në formë ekuivalente:
.
Nga
.
Derivati i rendit të tretë në lidhje me është i barabartë me derivatin e rendit të parë në lidhje me:
.
Komentoni
Nuk është e nevojshme të futni variablat dhe , të cilat janë derivate të dhe, përkatësisht. Atëherë mund ta shkruani kështu:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Përgjigju
Në paraqitjen parametrike, derivati i rendit të dytë ka formën e mëposhtme:
Derivat i rendit të tretë.
