Formula për gjatësinë e vijës së mesit të një paralelogrami. Trekëndësh, katërkëndësh, paralelogram

vija e mesme figurat në planimetri - një segment që lidh mesin e dy anëve të një figure të caktuar. Koncepti përdoret për figurat e mëposhtme: trekëndësh, katërkëndësh, trapezoid.

Vija e mesme e trekëndëshit

Vetitë

vija e mesme e trekëndëshit është paralele me bazën dhe e barabartë me gjysmën e saj.
vija e mesme pret një trekëndësh të ngjashëm dhe homotetik me atë origjinal me një koeficient 1/2; sipërfaqja e tij është e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së trekëndëshit origjinal.
tre vijat e mesme e ndajnë trekëndëshin origjinal në katër trekëndësha të barabartë. Qendra e këtyre trekëndëshave quhet trekëndësh plotësues ose ndërmjetës.

Shenjat

nëse një segment është paralel me njërën nga anët e trekëndëshit dhe lidh mesin e njërës anë të trekëndëshit me një pikë që shtrihet në anën tjetër të trekëndëshit, atëherë kjo është vija e mesit.

Vija e mesme e një katërkëndëshi

Vija e mesme e një katërkëndëshi- një segment që lidh mesin e anëve të kundërta të një katërkëndëshi.

Vetitë

Linja e parë lidh 2 anë të kundërta. E dyta lidh 2 anët e tjera të kundërta. E treta lidh qendrat e dy diagonaleve (jo në të gjithë katërkëndëshat diagonalet ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit).

Nëse në një katërkëndësh konveks vija e mesme formon kënde të barabarta me diagonalet e katërkëndëshit, atëherë diagonalet janë të barabarta.
Gjatësia e vijës së mesit të një katërkëndëshi është më e vogël se gjysma e shumës së dy brinjëve të tjera ose e barabartë me të nëse këto brinjë janë paralele dhe vetëm në këtë rast.
Pikat e mesit të brinjëve të një katërkëndëshi arbitrar janë kulmet e një paralelogrami. Sipërfaqja e saj është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katërkëndëshit, dhe qendra e saj shtrihet në pikën e kryqëzimit të vijave të mesme. Ky paralelogram quhet paralelogrami Varignon;
Pika e fundit do të thotë si vijon: Në një katërkëndësh konveks mund të vizatoni katër vijat e mesme të llojit të dytë. Vijat e mesme të llojit të dytë- katër segmente brenda një katërkëndëshi, që kalojnë nga mesi i anëve të tij ngjitur paralel me diagonalet. Katër vijat e mesme të llojit të dytë të një katërkëndëshi konveks, prerë atë në katër trekëndësha dhe një katërkëndësh qendror. Ky katërkëndësh qendror është një paralelogram Varignon.
Pika e prerjes së vijave të mesit të një katërkëndëshi është mesi i tyre i përbashkët dhe përgjysmon segmentin që lidh mesin e diagonaleve. Përveç kësaj, është qendra e kulmeve të katërkëndëshit.
Në një katërkëndësh arbitrar, vektori i vijës së mesme është i barabartë me gjysmën e shumës së vektorëve të bazave.

Vija e mesme e trapezit

Vija e mesme e trapezit- një segment që lidh mesin e anëve të këtij trapezi. Segmenti që lidh mesin e bazave të trapezit quhet vija e dytë e mesme e trapezit.

Ajo llogaritet duke përdorur formulën: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Ku pas Krishtit Dhe B.C.- baza e trapezit.

Vija e mesme e trekëndëshit

Vetitë

Vija e mesme e trekëndëshit është paralele me anën e tretë dhe e barabartë me gjysmën e saj.
kur vizatohen të tre vijat e mesme, formohen 4 trekëndësha të barabartë, të ngjashëm (madje edhe homotetikë) me atë origjinal me koeficient 1/2.
vija e mesme pret një trekëndësh që është i ngjashëm me këtë, dhe zona e tij është e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së trekëndëshit origjinal.

Vija e mesme e katërkëndëshit

Vija e mesme e katërkëndëshit- një segment që lidh mesin e anëve të kundërta të një katërkëndëshi.

Vetitë

Linja e parë lidh 2 anë të kundërta. E dyta lidh 2 anët e tjera të kundërta. E treta lidh qendrat e dy diagonaleve (jo të gjithë katërkëndëshat kanë qendra që kryqëzohen)

Nëse në një katërkëndësh konveks vija e mesme formon kënde të barabarta me diagonalet e katërkëndëshit, atëherë diagonalet janë të barabarta.
Gjatësia e vijës së mesit të një katërkëndëshi është më e vogël se gjysma e shumës së dy brinjëve të tjera ose e barabartë me të nëse këto brinjë janë paralele dhe vetëm në këtë rast.
Pikat e mesit të brinjëve të një katërkëndëshi arbitrar janë kulmet e një paralelogrami. Sipërfaqja e saj është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katërkëndëshit, dhe qendra e saj shtrihet në pikën e kryqëzimit të vijave të mesme. Ky paralelogram quhet paralelogrami Varignon;
Pika e prerjes së vijave të mesit të një katërkëndëshi është mesi i përbashkët i tyre dhe përgjysmon segmentin që lidh mesin e diagonaleve. Përveç kësaj, është qendra e kulmeve të katërkëndëshit.
Në një katërkëndësh arbitrar, vektori i vijës së mesme është i barabartë me gjysmën e shumës së vektorëve të bazave.

Vija e mesme e trapezit

Vija e mesme e trapezit- një segment që lidh mesin e anëve të këtij trapezi. Segmenti që lidh mesin e bazave të trapezit quhet vija e dytë e mesme e trapezit.

Vetitë

vija e mesme është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

Shiko gjithashtu

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Midline" në fjalorë të tjerë:

LINJA E MESME- (1) një segment trapezoid që lidh mesin e anëve anësore të trapezit. Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat e tij dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre; (2) e një trekëndëshi, një segment që lidh mesin e dy brinjëve të këtij trekëndëshi: ana e tretë në këtë rast... ... Enciklopedia e Madhe Politeknike

Një trekëndësh (trapezoid) është një segment që lidh mesin e dy brinjëve të një trekëndëshi (anët e një trapezi) ... Fjalori i madh enciklopedik

vija e mesme- Linja qendrore 24: Një vijë imagjinare që kalon përmes profilit të fillit në mënyrë që trashësia e shpatullës të jetë e barabartë me gjerësinë e brazdës. Burimi… Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Trekëndësh (trapezoid), një segment që lidh mesin e dy anëve të trekëndëshit (anët e trapezit). * * * VJESHTA E MESME Vija e mesme e një trekëndëshi (trapezoid), një segment që lidh mesin e dy brinjëve të trekëndëshit (anët anësore të trapezit) ... fjalor enciklopedik

vija e mesme- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso u bë paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: angl. linja qendrore; linjë në mes të pistave vok. Mittellinie, f rus. vija e mesme...Sporto terminų žodynas

vija e mesme- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: angl. linja qendrore; linjë në mes të pistave vok. Mittellinie, f rus. vija e mesme...Sporto terminų žodynas

vija e mesme- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: angl. linja qendrore; linjë në mes të pistave vok. Mittellinie, f rus. vija e mesme…Sporto terminalų žodynas

1) S. l. trekëndësh, një segment që lidh mesin e dy brinjëve të një trekëndëshi (ana e tretë quhet bazë). S. l. i trekëndëshit është paralel me bazën dhe i barabartë me gjysmën e tij; zona e pjesëve të trekëndëshit në të cilat c e ndan atë. l.,...... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Një segment i një trekëndëshi që lidh mesin e dy brinjëve të trekëndëshit. Brinja e tretë e trekëndëshit quhet baza e trekëndëshit. S. l. i një trekëndëshi është paralel me bazën dhe i barabartë me gjysmën e gjatësisë së tij. Në çdo trekëndësh S. l. shkëputet nga...... Enciklopedia matematikore

Trekëndëshi (trapezoidi), një segment që lidh mesin e dy anëve të trekëndëshit (anët e trapezit) ... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Gomel Konferenca Shkencore dhe Praktike e Nxënësve mbi Matematikën, Aplikimet e saj dhe Teknologjitë e Informacionit “Kërkimi”

Punë edukative dhe kërkimore

Linjat qendrore të formave gjeometrike

Morozova Elizaveta

Gomel 2010

Prezantimi

1.Vetitë e vijave të mesme

2. Trekëndësh, katërkëndësh, paralelogram

3. Katërkëndësh, katërkëndësh. Qendrat e masës

4. Katërkëndësh, tetëkëndësh, paralelipiped, kub

konkluzioni

Lista e literaturës së përdorur

Aplikacion

Prezantimi

Gjeometria është një pjesë integrale e kulturës së përgjithshme, dhe metodat gjeometrike shërbejnë si një mjet për të kuptuar botën, kontribuojnë në formimin e ideve shkencore për hapësirën përreth dhe zbulimin e harmonisë dhe përsosmërisë së Universit. Gjeometria fillon me një trekëndësh. Prej dy mijëvjeçarësh trekëndëshi është simbol i gjeometrisë, por nuk është simbol. Një trekëndësh është një atom i gjeometrisë. Trekëndëshi është i pashtershëm - vetitë e tij të reja po zbulohen vazhdimisht. Për të folur për të gjitha vetitë e tij të njohura, ju duhet një vëllim i krahasueshëm në vëllim me atë të Enciklopedisë së Madhe. Ne duam të flasim për vijat e mesme të formave gjeometrike dhe vetitë e tyre.

Puna jonë gjurmon një zinxhir teoremash që mbulon të gjithë kursin e gjeometrisë. Fillon me një teoremë rreth vijave të mesit të një trekëndëshi dhe çon në vetitë interesante të tetraedrit dhe shumëkëndëshit të tjerë.

Vija e mesit të një figure është një segment që lidh mesin e dy anëve të një figure të caktuar.

1. Vetitë e vijave të mesme

Vetitë e një trekëndëshi:

Kur vizatohen të tre vijat e mesme, formohen 4 trekëndësha të barabartë, të ngjashëm me atë origjinal me një koeficient 1/2.

vija e mesme është paralele me bazën e trekëndëshit dhe e barabartë me gjysmën e tij;

vija e mesme pret një trekëndësh që është i ngjashëm me këtë, dhe zona e tij është një e katërta e sipërfaqes së saj.

Vetitë e një katërkëndëshi:

nëse në një katërkëndësh konveks vija e mesme formon kënde të barabarta me diagonalet e katërkëndëshit, atëherë diagonalet janë të barabarta.

gjatësia e vijës së mesit të një katërkëndëshi është më e vogël se gjysma e shumës së dy brinjëve të tjera ose e barabartë me të nëse këto brinjë janë paralele dhe vetëm në këtë rast.

Pikat e mesit të brinjëve të një katërkëndëshi arbitrar janë kulmet e një paralelogrami. Zona e saj është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katërkëndëshit, dhe qendra e saj shtrihet në pikën e kryqëzimit të vijave të mesme. Ky paralelogram quhet paralelogrami i Varignon-it;

Pika e prerjes së vijave të mesit të një katërkëndëshi është mesi i përbashkët i tyre dhe përgjysmon segmentin që lidh mesin e diagonaleve. Përveç kësaj, është qendra e kulmeve të katërkëndëshit.

Karakteristikat e trapezit:

vija e mesme është paralele me bazat e trapezit dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre;

Pikat e mesit të anëve të një trapezi izoscelular janë kulmet e një rombi.

2. Trekëndësh, katërkëndësh, paralelogram

Çdo trekëndësh KLM mund t'i bashkëngjiten tre trekëndësha të barabartë AKM, BLK, CLM, secili prej të cilëve, së bashku me trekëndëshin KLM, formon një paralelogram (Fig. 1). Në këtë rast, AK = ML = KB, dhe kulmi K është ngjitur me tre kënde të barabarta me tre kënde të ndryshme të trekëndëshit, në total 180°, prandaj K është mesi i segmentit AB; në mënyrë të ngjashme, L është mesi i segmentit BC, dhe M është mesi i segmentit CA.

Teorema 1. Nëse lidhim mesin e brinjëve në çdo trekëndësh, fitojmë katër trekëndësha të barabartë, me atë të mesit që formon një paralelogram me secilin nga tre të tjerët.

Ky formulim përfshin të tre vijat e mesme të trekëndëshit menjëherë.

Teorema 2. Segmenti që lidh mesin e dy brinjëve të trekëndëshit është paralel me anën e tretë të trekëndëshit dhe i barabartë me gjysmën e tij (shih Fig. 1).

Është kjo teoremë dhe anasjellta e saj - që një vijë e drejtë paralele me bazën dhe që kalon nga mesi i njërës anë të një trekëndëshi ndan anën tjetër në gjysmë - janë më shpesh të nevojshme kur zgjidhen probleme.

Nga teorema mbi vijat e mesit të një trekëndëshi rrjedh vetia e vijës së mesit të një trapezi (Fig. 2), si dhe teorema për segmentet që lidhin mesin e brinjëve të një katërkëndëshi arbitrar.

Teorema 3. Pikat e mesit të brinjëve të një katërkëndëshi janë kulmet e një paralelogrami. Brinjët e këtij paralelogrami janë paralele me diagonalet e katërkëndëshit dhe gjatësia e tyre është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së diagonaleve.

Në fakt, nëse K dhe L janë mesi i brinjëve AB dhe BC (Fig. 3), atëherë KL është mesi i trekëndëshit ABC, prandaj segmenti KL është paralel me diagonalen AC dhe i barabartë me gjysmën e tij; nëse M dhe N janë pikat e mesit të anëve CD dhe AD, atëherë segmenti MN është gjithashtu paralel me AC dhe i barabartë me AC/2. Pra, segmentet KL dhe MN janë paralel dhe të barabartë me njëri-tjetrin, që do të thotë se katërkëndëshi KLMN është paralelogram.

Si përfundim i Teoremës 3, marrim një fakt interesant (Pjesa 4).

Teorema 4. Në çdo katërkëndësh, segmentet që lidhin mesin e anëve të kundërta ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit.

Në këto segmente mund të shihni diagonalet e paralelogramit (shih Fig. 3), dhe në paralelogram diagonalet ndahen në gjysmë me pikën e kryqëzimit (kjo pikë është qendra e simetrisë së paralelogramit).

Shohim që teoremat 3 dhe 4 dhe arsyetimi ynë mbeten të vërteta si për një katërkëndësh jo konveks, ashtu edhe për një vijë të thyer katërkëndëshe të mbyllur vetë-prerëse (Fig. 4; në rastin e fundit mund të rezultojë se paralelogrami KLMN është "i degjeneruar". - pikat K, L, M, N shtrihen në të njëjtën drejtëz).

Le të tregojmë se si nga teorema 3 dhe 4 mund të nxjerrim teoremën kryesore në medianat e një trekëndëshi.

Teorema5 . Medianat e një trekëndëshi priten në një pikë dhe e ndajnë atë në një raport 2:1 (duke llogaritur nga kulmi nga i cili është tërhequr mediana).

Le të vizatojmë dy mediana AL dhe SC të trekëndëshit ABC. Le të jetë O pika e tyre e kryqëzimit. Pikat e mesit të brinjëve të një katërkëndëshi jokonveks ABCO janë pikat K, L, M dhe N (Fig. 5) - kulmet e paralelogramit dhe pika e prerjes së diagonaleve të tij KM dhe LN për konfigurimin tonë do të jetë pika e prerjes së medianave O. Pra, AN = NO = OL dhe CM = MO = OK, d.m.th pika O ndan secilën nga medianat AL dhe CK në një raport 2:1.

Në vend të mesatares SC, ne mund të marrim në konsideratë mesataren e tërhequr nga kulmi B dhe të sigurohemi në të njëjtën mënyrë që ajo e ndan mesataren AL në raportin 2:1, domethënë kalon nga e njëjta pikë O.

3. Katërkëndësh dhe katërkëndësh. Qendrat e masës

Teoremat 3 dhe 4 janë gjithashtu të vërteta për çdo vijë të thyer të mbyllur hapësinore të përbërë nga katër lidhje AB, BC, CD, DA, katër kulmet e së cilës A, B, C, D nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Një katërkëndësh i tillë hapësinor mund të merret duke prerë një katërkëndësh ABCD nga letra dhe duke e përkulur atë diagonalisht në një kënd të caktuar (Fig. 6, a). Është e qartë se vijat e mesit KL dhe MN të trekëndëshave ABC dhe ADC mbeten mesin e tyre dhe do të jenë paralele me segmentin AC dhe të barabarta me AC/2. (Këtu përdorim faktin që vetia themelore e drejtëzave paralele mbetet e vërtetë për hapësirën: nëse dy drejtëza KL dhe MN janë paralele me drejtëzën e tretë AC, atëherë KL dhe MN shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë paralele me njëra-tjetrën.)

Kështu, pikat K, L, M, N janë kulmet e paralelogramit; Kështu, segmentet KM dhe LN kryqëzohen dhe ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit. Në vend të një katërkëndëshi, mund të flasim për një katërkëndësh - një piramidë trekëndore ABCD: pikat e mesit K, L, M, N të skajeve të tij AB, AC, CD dhe DA qëndrojnë gjithmonë në të njëjtin rrafsh. Duke prerë tetraedrin përgjatë këtij plani (Fig. 6, b), marrim një paralelogram KLMN, dy anët e të cilit janë paralele me skajin AC dhe të barabarta.

AC/2, dhe dy të tjerat janë paralele me skajin BD dhe të barabarta me BD/2.

I njëjti paralelogram - "seksioni i mesëm" i tetraedrit - mund të ndërtohet për çifte të tjera të skajeve të kundërta. Secili nga këta tre paralelogramë kanë një diagonale të përbashkët. Në këtë rast, pikat e mesit të diagonaleve përkojnë. Pra, marrim një përfundim interesant:

Teorema 6. Tre segmente që lidhin mesin e skajeve të kundërta të katërkëndëshit kryqëzohen në një pikë dhe ndahen në gjysmë prej saj (Fig. 7).

Ky dhe fakte të tjera të diskutuara më sipër shpjegohen natyrshëm në gjuhën e mekanikës - duke përdorur konceptin e qendrës së masës. Teorema 5 flet për një nga pikat e shquara të trekëndëshit - pikën e kryqëzimit të ndërmjetësve; në Teoremën 6 - rreth një pike të shquar për katër kulmet e një katërkëndëshi. Këto pika janë përkatësisht qendrat e masës së trekëndëshit dhe katërkëndëshit. Le të kthehemi së pari te teorema 5 për median.

Le të vendosim tre pesha identike në kulmet e trekëndëshit (Fig. 8).

Le të marrim masën e secilit si një. Le të gjejmë qendrën e masës së këtij sistemi ngarkese.

Le të shqyrtojmë fillimisht dy pesha të vendosura në kulmet A dhe B: qendra e tyre e masës ndodhet në mes të segmentit AB, kështu që këto pesha mund të zëvendësohen me një peshë të masës 2, e vendosur në mesin K të segmentit AB. (Fig. 8, a). Tani ju duhet të gjeni qendrën e masës së një sistemi me dy ngarkesa: njëra me masë 1 në pikën C dhe e dyta me masë 2 në pikën K. Sipas rregullit të levës, qendra e masës së një sistemi të tillë ndodhet në pika O, duke e ndarë segmentin SC në raportin 2:1 (më afër ngarkesës në pikën K me një masë më të madhe - Fig. 8, b).

Fillimisht mund të kombinojmë ngarkesat në pikat B dhe C, dhe më pas ngarkesën rezultuese të masës 2 në mes L të segmentit BC me ngarkesën në pikën A. Ose së pari të kombinojmë ngarkesat A dhe C, a. pastaj shtoni B. Sido që të jetë ne duhet të marrim të njëjtin rezultat. Kështu, qendra e masës është e vendosur në pikën O, duke e ndarë secilën nga medianët në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi. Konsiderata të ngjashme mund të shpjegojnë Teoremën 4 - faktin që segmentet që lidhin mesin e anëve të kundërta të një katërkëndëshi përgjysmojnë njëri-tjetrin (shërbejnë si diagonale të një paralelogrami): mjafton të vendosni pesha identike në kulmet e katërkëndëshit dhe t'i kombinoni ato në çiftet në dy mënyra (Fig. 9).

Natyrisht, katër pesha njësi të vendosura në një plan ose në hapësirë (në kulmet e një katërkëndëshi) mund të ndahen në dy çifte në tre mënyra; qendra e masës është e vendosur në mes midis pikave të mesit të segmenteve që lidhin këto çifte pikash (Fig. 10) - shpjegimi i teoremës 6. (Për një katërkëndësh të sheshtë, rezultati i marrë duket kështu: dy segmente që lidhin pikat e mesit të anët e kundërta, dhe një segment që lidh mesin e diagonaleve, kryqëzohet në një pikë Oh dhe ndaje atë në gjysmë).

Përmes pikës O - qendra e masës së katër ngarkesave identike - kalojnë katër segmente të tjera, duke lidhur secilin prej tyre me qendrën e masës së tre të tjerëve. Këto katër segmente ndahen me pikën O në një raport 3:1. Për të shpjeguar këtë fakt, së pari duhet të gjeni qendrën e masës së tre peshave dhe më pas të lidhni të katërtën.

4. Katërkëndësh, tetëkëndësh, paralelipiped, kub

Në fillim të punës, ne shikuam një trekëndësh të ndarë nga vijat e mesme në katër trekëndësha identikë (shih Fig. 1). Le të përpiqemi të bëjmë të njëjtin ndërtim për një piramidë arbitrare trekëndore (tetraedron). Le të presim katërkëndëshin në copa si më poshtë: përmes mesit të tre skajeve që dalin nga çdo kulm, bëjmë një prerje të sheshtë (Fig. 11, a). Pastaj katër katërkëndëshe të vegjël identikë do të priten nga katërkëndëshi. Për analogji me një trekëndësh, dikush do të mendonte se do të kishte një tjetër katërkëndësh të ngjashëm në mes. Por kjo nuk është kështu: shumëkëndëshi që mbetet nga katërkëndëshi i madh pas heqjes së katër të vegjlit do të ketë gjashtë kulme dhe tetë faqe - quhet tetëedron (Fig. 11.6). Një mënyrë e përshtatshme për ta provuar këtë është duke përdorur një copë djathi në formën e një katërkëndëshi. Oktaedri që rezulton ka një qendër simetrie, meqenëse pikat e mesit të skajeve të kundërta të tetraedronit kryqëzohen në një pikë të përbashkët dhe përgjysmohen prej saj.

Një ndërtim interesant lidhet me një trekëndësh të ndarë nga vijat e mesme në katër trekëndësha: mund ta konsiderojmë këtë figurë si zhvillimin e një katërkëndëshi të caktuar.

Le të imagjinojmë një trekëndësh akut të prerë nga letra. Duke e përkulur përgjatë vijave të mesme në mënyrë që kulmet të konvergojnë në një pikë dhe duke ngjitur skajet e letrës që konvergojnë në këtë pikë, marrim një katërkëndësh në të cilin të katër anët janë trekëndësha të barabartë; skajet e tij të kundërta janë të barabarta (Fig. 12). Një katërkëndor i tillë quhet gjysmë i rregullt. Secila nga tre "seksionet e mesme" të këtij katërkëndëshi - paralelogramet, anët e të cilëve janë paralele me skajet e kundërta dhe të barabarta me gjysmat e tyre - do të jetë një romb.

Prandaj, diagonalet e këtyre paralelogrameve - tre segmente që lidhin mesin e skajeve të kundërta - janë pingul me njëra-tjetrën. Ndër vetitë e shumta të një katërkëndëshi gjysmë të rregullt, vërejmë sa vijon: shuma e këndeve që konvergojnë në secilën nga kulmet e tij është e barabartë me 180° (këto kënde janë përkatësisht të barabartë me këndet e trekëndëshit origjinal). Në veçanti, nëse fillojmë me një trekëndësh barabrinjës, marrim një katërkëndësh të rregullt me

Në fillim të punës pamë se çdo trekëndësh mund të konsiderohet si një trekëndësh i formuar nga vijat e mesit të një trekëndëshi më të madh. Nuk ka asnjë analogji të drejtpërdrejtë në hapësirë për një ndërtim të tillë. Por rezulton se çdo tetraedron mund të konsiderohet si "bërthama" e një paralelepipedi, në të cilin të gjashtë skajet e tetraedrit shërbejnë si diagonale të faqeve. Për ta bërë këtë, ju duhet të bëni ndërtimin e mëposhtëm në hapësirë. Nëpër çdo skaj të katërkëndëshit ne tërheqim një rrafsh paralel me skajin e kundërt. Planet e tërhequra nëpër skajet e kundërta të tetraedrit do të jenë paralel me njëri-tjetrin (ato janë paralel me rrafshin e "seksionit të mesëm" - një paralelogram me kulme në mes të katër skajeve të tjera të tetraedronit). Kjo prodhon tre palë plane paralele, kryqëzimi i të cilave formon paralelipipedin e dëshiruar (dy plane paralele priten me një të tretën përgjatë vijave të drejta paralele). Kulmet e tetraedrit shërbejnë si katër kulme jo ngjitur të paralelepipedit të ndërtuar (Fig. 13). Përkundrazi, në çdo paralelipiped mund të zgjidhni katër kulme jo ngjitur dhe të shkëputni tetraedronet e qosheve prej tij me aeroplanë që kalojnë nëpër secilën tre prej tyre. Pas kësaj, do të mbetet një "bërthamë" - një tetrahedron, skajet e të cilit janë diagonalet e faqeve të paralelopipedit.

Nëse tetraedri origjinal është gjysmë i rregullt, atëherë çdo faqe e paralelepipedit të ndërtuar do të jetë një paralelogram me diagonale të barabarta, d.m.th. drejtkëndësh.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: "bërthama" e një paralelepipedi drejtkëndor është një tetraedron gjysmë i rregullt. Tre rombe - seksionet e mesme të një tetraedri të tillë - shtrihen në tre plane reciproke pingul. Ato shërbejnë si plane simetrie të oktaedrit të përftuar nga një katërkëndor i tillë duke prerë qoshet.

Për një katërkëndor të rregullt, paralelopipedi i përshkruar rreth tij do të jetë një kub (Fig. 14), dhe qendrat e faqeve të këtij kubi - mesi i skajeve të katërkëndëshit - do të jenë kulmet e një tetëedri të rregullt, të gjitha faqet e të cilëve janë trekëndësha të rregullt. (Tre rrafshet e simetrisë së tetëedronit kryqëzojnë tetraedrin në katrorë.)

Kështu, në figurën 14 ne shohim menjëherë tre nga pesë trupat e ngurtë platonike (polyedra të rregullta) - kubi, tetraedri dhe tetëedri.

konkluzioni

Bazuar në punën e bërë, mund të nxirren përfundimet e mëposhtme:

Vijat e mesme kanë veti të ndryshme të dobishme në forma gjeometrike.

Një teoremë mund të vërtetohet duke përdorur vijën qendrore të figurave, dhe gjithashtu shpjegohet në gjuhën e mekanikës - duke përdorur konceptin e qendrës së masës.

Duke përdorur vijat e mesit, mund të ndërtoni figura të ndryshme planimetrike (paralelogram, romb, katror) dhe stereometrik (kub, tetëkëndor, tetraedron, etj.).

Vetitë e vijave të mesme ndihmojnë në zgjidhjen racionale të problemeve të çdo niveli.

Lista e burimeve dhe literaturës së përdorur

Revista mujore e shkencës popullore e fizikës dhe matematikës e Akademisë së Shkencave të BRSS dhe Akademisë së Shkencave Pedagogjike të Letërsisë. “Quantum nr. 6 1989 f. 46.

S. Aksimova. Matematikë argëtuese. – Shën Petersburg, “Trigon”, 1997 f. 526.

V.V. Shlykov, L.E. Zezetko. Mësime praktike në gjeometri, klasa e 10-të: një manual për mësuesit - Mn.: TetraSystems, 2004 f. 68.76, 78.

Aplikacion

Pse vija e mesme e një trapezi nuk mund të kalojë nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve?

BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepiped. Pikat E dhe F janë pikat e kryqëzimit të diagonaleve të faqeve. AA1B 1 B dhe BB 1 C 1 C, përkatësisht, dhe pikat K dhe T janë përkatësisht pikat e mesme të brinjëve AD dhe DC. A është e vërtetë që linjat EF dhe CT janë paralele?

Në një prizëm trekëndor ABCA 1 B 1 C 1 pika O dhe F janë përkatësisht mesi i skajeve AB dhe BC. Pikat T dhe K janë përkatësisht mesi i segmenteve AB 1 dhe BC 1. Si ndodhen linjat direkte TK dhe OF?

ABCA 1 B 1 C 1 është një prizëm i rregullt trekëndor, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën. Pika O është mesi i skajit CC 1, dhe pika F shtrihet në skajin BB] në mënyrë që BF: FB X =1:3. Ndërtoni një pikë K në të cilën drejtëza l që kalon nëpër pikën F paralele me drejtëzën AO, pret rrafshin ABC. Llogaritni sipërfaqen totale të prizmit nëse KF = 1 cm.

figura

Më herët. 2. Kjo gjeometrike figura. Kjo figuraështë formuar nga një e mbyllur linjë. Ka konveks dhe jo konveks. U shifrat ka anët..., sektor, sferë, segment, sinus, mes, mesatare linjë, raporti, vetia, shkalla, stereometria, sekanti...

Përkufizimi

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte.

Teorema (shenja e parë e një paralelogrami)

Nëse dy brinjë të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Dëshmi

Le të jenë brinjët \(AB\) dhe \(CD\) paralele në katërkëndëshin \(ABCD\) dhe \(AB = CD\) .

Le të vizatojmë një diagonale \(AC\) duke e ndarë këtë katërkëndësh në dy trekëndësha të barabartë: \(ABC\) dhe \(CDA\) . Këta trekëndësha janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre (\(AC\) është ana e përbashkët, \(AB = CD\) sipas kushtit, \(\këndi 1 = \këndi 2\) si kënde tërthore në kryqëzim të drejtëzave paralele \ (AB\) dhe \(CD\) sekant \(AC\) ), pra \(\këndi 3 = \këndi 4\) . Por këndet \(3\) dhe \(4\) shtrihen në mënyrë tërthore në kryqëzimin e drejtëzave \(AD\) dhe \(BC\) nga sekanti \(AC\), prandaj, \(AD\paralele BC \) . Kështu, në katërkëndëshin \(ABCD\) anët e kundërta janë paralele në çift, dhe, për rrjedhojë, katërkëndëshi \(ABCD\) është një paralelogram.

Teorema (shenja e dytë e një paralelogrami)

Nëse në një katërkëndësh anët e kundërta janë të barabarta në çifte, atëherë ky katërkëndësh është një paralelogram.

Dëshmi

Le të vizatojmë një diagonale \(AC\) të këtij katërkëndëshi \(ABCD\) duke e ndarë atë në trekëndësha \(ABC\) dhe \(CDA\) .

Këta trekëndësha janë të barabartë në tre anët (\(AC\) - e zakonshme, \(AB = CD\) dhe \(BC = DA\) sipas kushtit), prandaj \(\këndi 1 = \këndi 2\) - shtrirë në tërthore në \(AB\) dhe \(CD\) dhe sekant \(AC\) . Nga kjo rrjedh se \(AB\CD paralele\) . Meqenëse \(AB = CD\) dhe \(AB\CD paralele\) , atëherë sipas kriterit të parë të një paralelogrami, katërkëndëshi \(ABCD\) është paralelogram.

Teorema (shenja e tretë e një paralelogrami)

Nëse diagonalet e një katërkëndëshi priten dhe ndahen në gjysmë nga pika e prerjes, atëherë ky katërkëndësh është një paralelogram.

Dëshmi

Konsideroni një katërkëndësh \(ABCD\) në të cilin diagonalet \(AC\) dhe \(BD\) priten në pikën \(O\) dhe përgjysmohen nga kjo pikë.

Trekëndëshat \(AOB\) dhe \(COD\) janë të barabartë sipas shenjës së parë të barazisë së trekëndëshave (\(AO = OC\), \(BO = OD\) sipas kushtit, \(\këndi AOB = \këndi COD\) si kënde vertikale), pra \(AB = CD\) dhe \(\këndi 1 = \këndi 2\) . Nga barazia e këndeve \(1\) dhe \(2\) (që shtrihen në mënyrë tërthore në \(AB\) dhe \(CD\) dhe sekanti \(AC\) ) rrjedh se \(AB\CD paralele \) .

Pra, në katërkëndëshin \(ABCD\) brinjët \(AB\) dhe \(CD\) janë të barabarta dhe paralele, që do të thotë se sipas kriterit të parë të një paralelogrami, katërkëndëshi \(ABCD\) është një paralelogram. .

Vetitë e një paralelogrami:

1. Në një paralelogram, anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet e kundërta janë të barabarta.

2. Diagonalet e një paralelogrami ndahen përgjysmë me pikën e prerjes.

Vetitë e përgjysmuesit të një paralelogrami:

1. Përgjysmuesja e një paralelogrami pret prej tij një trekëndësh dykëndësh.

2. Përgjysmuesit e këndeve fqinjë të një paralelogrami priten në kënde të drejta.

3. Segmentet përgjysmuese të këndeve të kundërta janë të barabarta dhe paralele.

Dëshmi

1) Le të jetë \(ABCD\) një paralelogram, \(AE\) të jetë përgjysmues i këndit \(BAD\) .

Këndet \(1\) dhe \(2\) janë të barabartë, të shtrirë në mënyrë tërthore me drejtëza paralele \(AD\) dhe \(BC\) dhe sekantin \(AE\). Këndet \(1\) dhe \(3\) janë të barabartë, pasi \(AE\) është një përgjysmues. Përfundimisht \(\këndi 3 = \këndi 1 = \këndi 2\), që do të thotë se trekëndëshi \(ABE\) është dykëndësh.

2) Le të jetë \(ABCD\) një paralelogram, \(AN\) dhe \(BM\) të jenë përgjysmuesit e këndeve \(BAD\) dhe \(ABC\), respektivisht.

Meqenëse shuma e këndeve të njëanshme për drejtëzat paralele dhe një tërthore është e barabartë me \(180^(\circ)\), atëherë \(\këndi DAB + \këndi ABC = 180^(\circ)\).

Meqenëse \(AN\) dhe \(BM\) janë përgjysmues, atëherë \(\këndi BAN + \këndi ABM = 0,5 (\këndi DAB + \këndi ABC) = 0,5\cdot 180^\rreth = 90^(\rreth)\), ku \(\këndi AOB = 180^\circ - (\këndi BAN + \këndi ABM) = 90^\circ\).

3. Le të jenë \(AN\) dhe \(CM\) përgjysmuesit e këndeve të paralelogramit \(ABCD\) .

Meqenëse këndet e kundërta në një paralelogram janë të barabartë, atëherë \(\këndi 2 = 0,5\cdot\këndi BAD = 0,5\cdot\këndi BCD = \këndi 1\). Përveç kësaj, këndet \(1\) dhe \(3\) janë të barabarta, të shtrira në mënyrë tërthore me drejtëza paralele \(AD\) dhe \(BC\) dhe tërthorin \(CM\), pastaj \(\këndi 2 = \këndi 3\) , që nënkupton se \(AN\CM paralel\) . Për më tepër, \(AM\parallel CN\) , atëherë \(ANCM\) është një paralelogram, pra \(AN = CM\) .

Një katërkëndësh në të cilin vetëm dy brinjë janë paralele quhet trapezoid.

Anët paralele të një trapezi quhen të saj arsye, dhe quhen ato brinjë që nuk janë paralele anët. Nëse anët janë të barabarta, atëherë një trapez i tillë është izosceles. Distanca ndërmjet bazave quhet lartësia e trapezit.

Trapezoid i vijës së mesme

Vija e mesit është një segment që lidh mesin e anëve të trapezit. Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat e tij.

Teorema:

Nëse vija e drejtë që kalon në mes të njërës anë është paralele me bazat e trapezit, atëherë ajo përgjysmon anën e dytë të trapezit.

Teorema:

Gjatësia e vijës së mesme është e barabartë me mesataren aritmetike të gjatësisë së bazave të saj

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN vija e mesme, AB dhe CD - bazat, AD dhe BC - anët anësore

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Gjatësia e vijës së mesme të një trapezi është e barabartë me mesataren aritmetike të gjatësisë së bazave të tij.

Detyra kryesore: Vërtetoni se vija e mesme e një trapezi përgjysmon një segment, skajet e të cilit shtrihen në mes të bazave të trapezit.

Vija e mesme e trekëndëshit

Segmenti që lidh mesin e dy brinjëve të një trekëndëshi quhet mesi i trekëndëshit. Është paralel me anën e tretë dhe gjatësia e saj është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së anës së tretë.
Teorema: Nëse një drejtëz që pret mesin e njërës anë të trekëndëshit është paralele me anën tjetër të trekëndëshit, atëherë ajo përgjysmon anën e tretë.

AM = MC dhe BN = NC =>

Zbatimi i vetive të vijës së mesit të trekëndëshit dhe trapezit

Ndarja e një segmenti në një numër të caktuar pjesësh të barabarta.
Detyrë: Ndani segmentin AB në 5 pjesë të barabarta.
Zgjidhja:
Le të jetë p një rreze e rastësishme origjina e së cilës është pika A dhe e cila nuk shtrihet në drejtëzën AB. Ne vendosim mënjanë 5 segmente të barabarta në p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Ne lidhim A 5 me B dhe vizatojmë vija të tilla përmes A 4, A 3, A 2 dhe A 1 që janë paralele me A 5 B. Ato priten përkatësisht AB në pikat B 4, B 3, B 2 dhe B 1. Këto pika e ndajnë segmentin AB në 5 pjesë të barabarta. Në të vërtetë, nga trapezi BB 3 A 3 A 5 shohim se BB 4 = B 4 B 3. Në të njëjtën mënyrë, nga trapezi B 4 B 2 A 2 A 4 fitojmë B 4 B 3 = B 3 B 2

Ndërsa nga trapezi B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Pastaj nga B 2 AA 2 rezulton se B 2 B 1 = B 1 A. Si përfundim marrim:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Është e qartë se për të ndarë segmentin AB në një numër tjetër pjesësh të barabarta, duhet të projektojmë të njëjtin numër segmentesh të barabarta në rreze p. Dhe pastaj vazhdoni në mënyrën e përshkruar më sipër.