Vëllimi i një koni shprehet me të njëjtën formulë si vëllimi i një piramide: V = 1 / 3 S h,

ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- e tij e lartë.

Më në fund V = 1/3 πR 2 h, ku R është rrezja e bazës së konit.

Marrja e formulës për vëllimin e një koni mund të shpjegohet me arsyetimin e mëposhtëm:

Le të jepet një kon (fig). Le të futim një piramidë të rregullt në të, domethënë do të ndërtojmë një piramidë brenda konit, kulmi i së cilës përkon me kulmin e konit dhe baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt i gdhendur në bazën e konit.

Vëllimi i kësaj piramide do të shprehet me formulën: V' = 1 / 3 S' h, ku V është vëllimi i piramidës,

S' është zona e bazës së saj, h- lartësia e piramidës.

Nëse marrim një poligon me një numër shumë të madh brinjësh si bazë të piramidës, atëherë sipërfaqja e bazës së piramidës do të ndryshojë shumë pak nga sipërfaqja e rrethit dhe vëllimi i piramidës do të ndryshojnë shumë pak nga vëllimi i konit. Nëse neglizhojmë këto dallime në madhësi, atëherë vëllimi i konit shprehet me formulën e mëposhtme:

V=1/3S h, ku V është vëllimi i konit, S është sipërfaqja e bazës së konit, h- lartësia e konit.

Duke zëvendësuar S përmes πR 2, ku R është rrezja e rrethit, marrim formulën: V = 1 / 3 πR 2 h, duke shprehur volumin e konit.

Shënim. Në formulën V = 1/3 S h vendoset një shenjë e barazisë së saktë dhe jo të përafërt, megjithëse në bazë të arsyetimit të kryer mund ta konsideronim të përafërt, por në shkollën e mesme vërtetohet se barazia

V=1/3S h e saktë, jo e përafërt.

Vëllimi i një koni arbitrar

Teorema. Vëllimi i një koni arbitrar është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, ato.

V = 1/3 QH, (1)

ku Q është sipërfaqja e bazës dhe H është lartësia e konit.

Konsideroni një kon me kulm S dhe bazë Ф (Fig.).

Le të jetë sipërfaqja e bazës Φ e barabartë me Q, dhe lartësia e konit të jetë e barabartë me H. Pastaj ka sekuenca të shumëkëndëshave Φ n dhe F' n me zona Q n dhe Q' n sikurse

F n⊂ Ф n⊂ Ф' n dhe \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q n= Q.

Është e qartë se një piramidë me një majë S dhe një bazë F' n do të gdhendet në një kon të caktuar, dhe një piramidë me kulm S dhe bazë Ф n- përshkruar rreth konit.

Vëllimet e këtyre piramidave janë përkatësisht të barabarta

V n= 1/3 Q n H, V' n= 1/3 Q' n H

\(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) V' n= 1/3 QH

atëherë vërtetohet formula (1).

Pasoja. Vëllimi i një koni, baza e të cilit është një elipsë me gjysmë boshte a dhe b, llogaritet me formulën

V = 1/3π ab H (2)

Veçanërisht, vëllimi i një koni, baza e të cilit është një rreth me rreze R, llogaritur me formulë

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

ku H është lartësia e konit.

Siç dihet, zona e një elipsi me gjysmë boshte A Dhe b e barabartë me π ab, dhe për këtë arsye formula (2) është marrë nga (1) me Q = π ab. Nëse a = b= R, atëherë fitohet formula (3).

Vëllimi i një koni rrethor të djathtë

Teorema 1. Vëllimi i një koni rrethor të djathtë me lartësi H dhe rreze bazë R llogaritet me formulën

V = 1 / 3 π R 2 H

Ky kon mund të konsiderohet si një trup i përftuar duke rrotulluar një trekëndësh me kulme në pikat O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) rreth boshtit Oh(oriz.).

Trekëndëshi OAB është një trapez lakor që i korrespondon funksionit

y = R / H X, X∈ . Prandaj, duke përdorur formulën e njohur, marrim

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\majtas|\fillimi(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Pasoja. Vëllimi i një koni rrethor të djathtë është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë, d.m.th.

ku Q - zona e bazës, dhe H - lartësia e konit.

Teorema 2. Vëllimi i një koni të cunguar me rreze bazë r dhe R dhe lartësi H llogaritet me formulën

V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).

Një kon i cunguar mund të merret duke u rrotulluar rreth një boshti Oh trapez O ABC (fig.).

Linja AB kalon nëpër pika (0; r) dhe (H; R), pra ka ekuacionin

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

marrim

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Për të llogaritur integralin, ne bëjmë zëvendësimin

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Natyrisht kur X varion nga 0 në H, e ndryshueshme Dhe ndryshon nga r në R, dhe për këtë arsye

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3) \ majtas r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Gjeometria si shkencë u formua në Egjiptin e Lashtë dhe arriti një nivel të lartë zhvillimi. Filozofi i famshëm Platoni themeloi Akademinë, ku vëmendje e madhe iu kushtua sistemimit të njohurive ekzistuese. Koni si një nga figurat gjeometrike u përmend për herë të parë në traktatin e famshëm të Euklidit "Elementet". Euklidi ishte i njohur me veprat e Platonit. Në ditët e sotme, pak njerëz e dinë se fjala "kon" e përkthyer nga greqishtja do të thotë "kon pishe". Matematikani grek Euklidi, i cili jetoi në Aleksandri, konsiderohet me të drejtë themeluesi i algjebrës gjeometrike. Grekët e lashtë jo vetëm që u bënë pasardhës të njohurive të egjiptianëve, por edhe e zgjeruan ndjeshëm teorinë.

Historia e përkufizimit të një koni

Gjeometria si shkencë doli nga kërkesat praktike të ndërtimit dhe vëzhgimeve të natyrës. Gradualisht, njohuritë eksperimentale u përgjithësuan dhe vetitë e disa trupave u vërtetuan përmes të tjerëve. Grekët e lashtë prezantuan konceptin e aksiomave dhe provave. Një aksiomë është një pohim i marrë me mjete praktike dhe nuk kërkon prova.

Në librin e tij, Euklidi dha një përkufizim të një koni si një figurë që përftohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth njërës prej këmbëve të tij. Ai zotëron gjithashtu teoremën kryesore që përcakton vëllimin e një koni. Kjo teoremë u vërtetua nga matematikani i lashtë grek Eudoxus of Cnidus.

Një tjetër matematikan i Greqisë së lashtë, Apollonius i Pergës, i cili ishte student i Euklidit, zhvilloi dhe shpjegoi teorinë e sipërfaqeve konike në librat e tij. Ai zotëron përkufizimin e një sipërfaqe konike dhe një sekante në të. Sot nxënësit e shkollës studiojnë gjeometrinë Euklidiane, e cila ka ruajtur teoremat dhe përkufizimet bazë që nga kohërat e lashta.

Përkufizimet bazë

Një kon rrethor i drejtë formohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth njërës këmbë. Siç mund ta shihni, koncepti i një koni nuk ka ndryshuar që nga koha e Euklidit.

Hipotenuza AS e trekëndëshit kënddrejtë AOS, kur rrotullohet rreth këmbës OS, formon sipërfaqen anësore të konit, prandaj quhet gjenerator. Këmba OS e trekëndëshit kthehet njëkohësisht në lartësinë e konit dhe boshtit të tij. Pika S bëhet kulmi i konit. Këmba AO, duke përshkruar një rreth (bazë), u kthye në rrezen e një koni.

Nëse vizatoni një plan nga lart përmes kulmit dhe boshtit të konit, mund të shihni se seksioni boshtor që rezulton është një trekëndësh izosceles, në të cilin boshti është lartësia e trekëndëshit.

Ku C- perimetri i bazës, l- gjatësia e gjeneratorit të konit, R- rrezja e bazës.

Formula për llogaritjen e vëllimit të një koni

Për të llogaritur vëllimin e një koni, përdorni formulën e mëposhtme:

ku S është zona e bazës së konit. Meqenëse baza është një rreth, zona e saj llogaritet si më poshtë:

Kjo nënkupton:

ku V është vëllimi i konit;

n është një numër i barabartë me 3,14;

R është rrezja e bazës që korrespondon me segmentin AO në figurën 1;

H është lartësia e barabartë me segmentin OS.

Kon i cunguar, vëllim

Ka një kon të drejtë rrethore. Nëse e prisni pjesën e sipërme me një plan pingul me lartësinë, ju merrni një kon të cunguar. Dy bazat e tij kanë formën e një rrethi me rreze R1 dhe R2.

Nëse një kon i drejtë formohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë, atëherë një kon i cunguar formohet duke rrotulluar një trapez drejtkëndor rreth një ane të drejtë.

Vëllimi i një koni të cunguar llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Koni dhe seksioni i tij me aeroplan

Matematikani i lashtë grek Apollonius nga Perga shkroi veprën teorike Seksionet konike. Falë punës së tij në gjeometri, u shfaqën përkufizimet e kthesave: parabola, elipsa, hiperbola. Le të shohim se çfarë ka të bëjë koni me të.

Le të marrim një kon të drejtë rrethore. Nëse rrafshi e pret atë pingul me boshtin, atëherë në seksion formohet një rreth. Kur një sekant kryqëzon një kon në një kënd me boshtin, në seksion fitohet një elips.

Një plan prerës pingul me bazën dhe paralel me boshtin e konit formon një hiperbolë në sipërfaqe. Një plan që pret konin në një kënd me bazën dhe paralel me tangjenten me konin krijon një kurbë në sipërfaqe, e cila quhet parabolë.

Zgjidhja e problemit

Edhe detyra e thjeshtë se si të bësh një kovë të një madhësie të caktuar kërkon njohuri. Për shembull, duhet të llogarisni madhësinë e një kovë në mënyrë që të ketë një vëllim prej 10 litrash.

V=10 l=10 dm 3 ;

Zhvillimi i konit ka formën e treguar skematikisht në Figurën 3.

L është gjenerata e konit.

Për të zbuluar sipërfaqen e kovës, e cila llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

është e nevojshme të llogaritet gjeneratori. E gjejmë nga vlera e vëllimit V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Prandaj H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Një kon i cunguar formohet duke rrotulluar një trapezoid drejtkëndor, në të cilin ana është gjenerata e konit.

L 2 = (R 2- R 1) 2 + H 2.

Tani kemi të gjitha të dhënat për të ndërtuar një vizatim të një kovë.

Pse kovat e zjarrit kanë formë koni?

Kush e ka pyetur veten ndonjëherë pse kovat e zjarrit kanë një formë konike në dukje të çuditshme? Dhe kjo nuk është vetëm kështu. Rezulton se një kovë konike gjatë shuarjes së zjarrit ka shumë përparësi ndaj një të rregullt, e cila ka formën e një koni të cunguar.

Së pari, siç rezulton, kova e zjarrit mbushet me ujë më shpejt dhe nuk derdhet kur merret. Një kon me një vëllim më të madh se një kovë e zakonshme ju lejon të transferoni më shumë ujë në të njëjtën kohë.

Së dyti, uji prej tij mund të hidhet në një distancë më të madhe sesa nga një kovë e zakonshme.

Së treti, nëse kova konike ju bie nga duart dhe bie në zjarr, atëherë i gjithë uji derdhet në burimin e zjarrit.

Të gjithë këta faktorë kursejnë kohë - faktori kryesor gjatë shuarjes së zjarrit.

Përdorimi praktik

Nxënësit e shkollës shpesh kanë pyetje se pse duhet të mësojnë se si të llogarisin vëllimin e trupave të ndryshëm gjeometrikë, duke përfshirë një kon.

Dhe inxhinierët e projektimit ballafaqohen vazhdimisht me nevojën për të llogaritur vëllimin e pjesëve konike të pjesëve të makinës. Këto janë majat e stërvitjes, pjesët e tornove dhe makinave bluarëse. Forma e konit do të lejojë që stërvitjet të hyjnë lehtësisht në material pa kërkuar shënimin fillestar me një mjet të veçantë.

Vëllimi i një koni është një grumbull rëre ose dheu i derdhur në tokë. Nëse është e nevojshme, duke marrë matje të thjeshta, mund të llogarisni vëllimin e tij. Disa mund të hutohen nga pyetja se si të zbulojnë rrezen dhe lartësinë e një grumbulli rëre. Të armatosur me masë shiriti matim perimetrin e tumës C. Duke përdorur formulën R=C/2n gjejmë rrezen. Duke hedhur një litar (shirit) mbi kulm, gjejmë gjatësinë e gjeneratorit. Dhe llogaritja e lartësisë duke përdorur teoremën dhe vëllimin e Pitagorës nuk është e vështirë. Sigurisht, kjo llogaritje është e përafërt, por ju lejon të përcaktoni nëse jeni mashtruar duke sjellë një ton rërë në vend të një kubi.

Disa ndërtesa kanë formën e një koni të cunguar. Për shembull, kulla televizive Ostankino po i afrohet formës së një koni. Mund të imagjinohet si i përbërë nga dy kone të vendosura njëra mbi tjetrën. Kupolat e kështjellave dhe katedraleve antike përfaqësojnë një kon, vëllimin e të cilit arkitektët e lashtë e llogaritnin me saktësi të mahnitshme.

Nëse shikoni nga afër objektet përreth, shumë prej tyre janë kone:

• hinka për derdhjen e lëngjeve;
• bori-altoparlant;
• kone parkimi;
• abazhur për llambë dyshemeje;
• pema e zakonshme e Krishtlindjes;
• instrumente muzikore frymore.

Siç mund të shihet nga shembujt e dhënë, aftësia për të llogaritur vëllimin e një koni dhe sipërfaqen e tij është e nevojshme në jetën profesionale dhe të përditshme. Shpresojmë që artikulli t'ju vijë në ndihmë.

Trupat e rrotullimit të studiuara në shkollë janë cilindri, koni dhe topi.

Nëse në një problem në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë ju duhet të llogaritni vëllimin e një koni ose sipërfaqen e një sfere, konsiderojeni veten me fat.

Aplikoni formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri, kon dhe sferë. Të gjithë janë në tryezën tonë. Meso me zemer. Këtu fillon njohja e stereometrisë.

Ndonjëherë është mirë të vizatoni pamjen nga lart. Ose, si në këtë problem, nga poshtë.

2. Sa herë vëllimi i një koni të rrethuar rreth një piramide të rregullt katërkëndore është më i madh se vëllimi i një koni të gdhendur në këtë piramidë?

Është e thjeshtë - vizatoni pamjen nga poshtë. Shohim se rrezja e rrethit më të madh është herë më e madhe se rrezja e rrethit më të vogël. Lartësitë e të dy koneve janë të njëjta. Prandaj, vëllimi i konit më të madh do të jetë dy herë më i madh.

Një pikë tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se në problemat e pjesës B të Provimit të Bashkuar të Shtetit në matematikë, përgjigja shkruhet si numër i plotë ose thyesë dhjetore përfundimtare. Prandaj, nuk duhet të ketë asnjë ose në përgjigjen tuaj në pjesën B. Nuk ka nevojë të zëvendësohet as vlera e përafërt e numrit! Duhet patjetër të tkurret! Është për këtë qëllim që në disa probleme, detyra formulohet, për shembull, si më poshtë: "Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të cilindrit të ndarë me".

Ku tjetër përdoren formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e trupave të revolucionit? Sigurisht, në problemin C2 (16). Ne gjithashtu do t'ju tregojmë për të.

1. Llogaritja e vëllimit të kubit

a- ana e kubit

Formula për vëllimin e një kubi, ( V ):

2. Gjeni me formulë vëllimin e një paralelipipedi drejtkëndor

a, b, c- faqet e një paralelepipedi

Ndonjëherë ana e një paralelipipedi quhet skaj.

Formula për vëllimin e një paralelipipedi, ( V):

3. Formula për llogaritjen e vëllimit të një topi, sferë

R — rrezja e topit

Duke përdorur formulën, nëse jepet rrezja, mund të gjeni vëllimin e topit, ( V):

4. Si llogaritet vëllimi i një cilindri?

h- lartësia e cilindrit

r- rrezja e bazës

Duke përdorur formulën, gjeni vëllimin e një cilindri nëse dihet rrezja dhe lartësia e bazës së tij, ( V):

5. Si të gjejmë vëllimin e një koni?

R- rrezja e bazës

H- lartësia e konit

Formula për vëllimin e një koni nëse dihet rrezja dhe lartësia ( V):

7. Formula për vëllimin e një koni të cunguar

r - rrezja e bazës së sipërme

R- rrezja e poshtme

h - lartësia e konit

Formula për vëllimin e një koni të cunguar, nëse dihet - rrezja e bazës së poshtme, rrezja e bazës së sipërme dhe lartësia e konit ( V):

8. Vëllimi i një tetraedri të rregullt

Një katërkëndësh i rregullt është një piramidë, të gjitha faqet e së cilës janë trekëndësha barabrinjës.

A- buza e një tetraedri

Formula për llogaritjen e vëllimit të një tetraedri të rregullt ( V):

9. Vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndëshe

Një piramidë me një bazë katrore dhe trekëndësha të barabartë, dykëndësh në anët e saj quhet një piramidë e rregullt katërkëndore.

a- ana e bazës

h- lartësia e piramidës

Formula për llogaritjen e vëllimit të një piramide të rregullt katërkëndore, ( V):

10. Vëllimi i një piramide të rregullt trekëndore

Një piramidë, baza e së cilës është një trekëndësh barabrinjës dhe anët e së cilës janë të barabarta, trekëndëshat dykëndësh quhet piramidë e rregullt trekëndore.

a- ana e bazës

h- lartësia e piramidës

Formula për vëllimin e një piramide të rregullt trekëndore, duke pasur parasysh lartësinë dhe anën e bazës ( V):

11. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt

Një piramidë me një shumëkëndësh të rregullt dhe trekëndësha të barabartë në bazën e saj quhet e rregullt.

h- lartësia e piramidës

a- ana e bazës së piramidës

n- numri i brinjëve të shumëkëndëshit në bazë

Formula për vëllimin e një piramide të rregullt, duke ditur lartësinë, anën e bazës dhe numrin e këtyre anëve ( V):

Të gjitha formulat për vëllimet e trupave gjeometrikë
Gjeometri, Algjebër, Fizikë

Formulat e vëllimit

Vëllimi i një figure gjeometrike- një karakteristikë sasiore e hapësirës së zënë nga një trup ose një substancë. Në rastet më të thjeshta, vëllimi matet me numrin e kubeve njësi që përshtaten në trup, domethënë kube me një skaj të barabartë me një njësi gjatësi. Vëllimi i trupit ose kapaciteti i anijes përcaktohet nga forma dhe dimensionet lineare të tij.

Formula për vëllimin e një kubi

1) Vëllimi i një kubi është i barabartë me kubin e skajit të tij.

V- vëllimi i kubit

H- lartësia e skajit të kubit

Formula për vëllimin e një piramide

1) Vëllimi i piramidës është i barabartë me një të tretën e produktit të zonës bazë S (ABCD) dhe lartësisë h (OS).

V- vëllimi i piramidës

S- zona e bazës së piramidës

h- lartësia e piramidës

Formulat për vëllimin e një koni

1) Vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

2) Vëllimi i konit është i barabartë me një të tretën e produktit të pi (3.1415) me katrorin e rrezes së bazës dhe lartësisë.

V- vëllimi i konit

S- zona e bazës së konit

h- lartësia e konit

π - numri pi (3,1415)

r- rrezja e konit

Formulat e vëllimit të cilindrit

1) Vëllimi i një cilindri është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

2) Vëllimi i cilindrit është i barabartë me produktin e pi (3.1415) me katrorin e rrezes së bazës dhe lartësisë.

V- vëllimi i cilindrit

S- zona e bazës së cilindrit

h- lartësia e cilindrit

π - numri pi (3,1415)

r- rrezja e cilindrit

Formula për vëllimin e një topi

1) Vëllimi i topit llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme.

V- vëllimi i topit

π - numri pi (3,1415)

R- rrezja e topit

Formula e vëllimit të tetraedrit

1) Vëllimi i një katërkëndëshi është i barabartë me thyesën në numëruesin e së cilës rrënja katrore e dyshit shumëzuar me kubin e gjatësisë së skajit të tetraedrit dhe në emëruesin dymbëdhjetë.

Formulat e vëllimit
Formulat e vëllimit dhe programet online për llogaritjen e vëllimit

Formula e vëllimit.

Formula e vëllimit të nevojshme për të llogaritur parametrat dhe karakteristikat e një figure gjeometrike.

Vëllimi i figurësështë një karakteristikë sasiore e hapësirës që zë një trup ose substancë. Në rastet më të thjeshta, vëllimi matet me numrin e kubeve njësi që përshtaten në trup, domethënë kube me një skaj të barabartë me një njësi gjatësi. Vëllimi i trupit ose kapaciteti i anijes përcaktohet nga forma dhe dimensionet lineare të tij.

Paralelepiped.

Vëllimi i një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

Cilindri.

Vëllimi i një cilindri është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

Vëllimi i cilindrit është i barabartë me produktin e pi (3.1415) me katrorin e rrezes së bazës dhe lartësisë.

Piramida.

Vëllimi i piramidës është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës S (ABCDE) dhe lartësisë h (OS).

Piramida e saktë- kjo është një piramidë, në bazën e së cilës shtrihet një shumëkëndësh i rregullt, dhe lartësia kalon nëpër qendrën e rrethit të gdhendur në bazë.

Piramida e rregullt trekëndoreështë një piramidë, baza e së cilës është një trekëndësh barabrinjës dhe anët e saj janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Piramidë e rregullt katërkëndoreështë një piramidë, baza e së cilës është katror dhe brinjët e saj janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Tetrahedronështë një piramidë, të gjitha faqet e së cilës janë trekëndësha barabrinjës.

Piramida e cunguar.

Vëllimi i një piramide të cunguar është i barabartë me një të tretën e produktit të lartësisë h (OS) me shumën e sipërfaqeve të bazës së sipërme S 1 (abcde), bazës së poshtme të piramidës së cunguar S 2 (ABCDE) dhe proporcionaliteti mesatar ndërmjet tyre.

Është e lehtë për të llogaritur vëllimin e një kubi - ju duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë. Meqenëse një kub ka një gjatësi të barabartë me gjerësinë e tij dhe të barabartë me lartësinë e tij, vëllimi i kubit është i barabartë me s 3.

Koniështë një trup në hapësirën Euklidiane që përftohet duke kombinuar të gjitha rrezet që dalin nga një pikë (kulmi i konit) dhe kalojnë nëpër një sipërfaqe të sheshtë.

Frustum do të funksionojë nëse vizatoni një seksion në kon paralel me bazën.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Vëllimi i sferës është një herë e gjysmë më i vogël se vëllimi i cilindrit të rrethuar rreth saj.

Prizma.

Vëllimi i një prizmi është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës së prizmit dhe lartësisë së tij.

Sektori i topit.

Vëllimi i një sektori sferik është i barabartë me vëllimin e një piramide, baza e së cilës ka të njëjtën sipërfaqe me pjesën e sipërfaqes sferike të prerë nga sektori, dhe lartësia është e barabartë me rrezen e topit.

Shtresa e topit- kjo është pjesa e topit e mbyllur midis dy rrafsheve paralele sekante.

Segmenti i topit- kjo pjesë e topit, e shkëputur prej saj me ndonjë plan, quhet segment sferik ose sferik

Formula e vëllimit
Formula për vëllimin e kubit, sferës, piramidës, paralelogramit, cilindrit, tetraedrit, konit, prizmit dhe vëllimeve të formave të tjera gjeometrike.

Në një kurs stereometrie, një nga pyetjet kryesore është se si të llogaritet vëllimi i një trupi të caktuar gjeometrik. Gjithçka fillon me një paralelipiped të thjeshtë dhe përfundon me një top.

Edhe në jetë shpesh ju duhet të përballeni me probleme të ngjashme. Për shembull, për të llogaritur vëllimin e ujit që futet në një kovë ose fuçi.

Vetitë e vlefshme për vëllimin e çdo trupi

1. Kjo vlerë është gjithmonë një numër pozitiv.
2. Nëse trupi mund të ndahet në pjesë në mënyrë që të mos ketë kryqëzime, atëherë vëllimi i përgjithshëm rezulton të jetë i barabartë me shumën e vëllimeve të pjesëve.
3. Trupat e barabartë kanë vëllime të barabarta.
4. Nëse një trup më i vogël përfshihet plotësisht në një më të madh, atëherë vëllimi i të parit është më i vogël se i të dytit.

Emërtimet e përgjithshme për të gjitha organet

Secila prej tyre ka skaje dhe baza, dhe lartësitë janë ndërtuar në to. Prandaj, elementë të tillë janë caktuar në mënyrë të barabartë për ta. Pikërisht kështu janë shkruar në formula. Ne do të mësojmë më tej se si të llogarisim vëllimin e secilit trup dhe të zbatojmë aftësi të reja në praktikë.

Disa formula kanë sasi të tjera. Emërtimi i tyre do të diskutohet kur të lindë një nevojë e tillë.

Prizma, paralelipiped (i drejtë dhe i pjerrët) dhe kub

Këto trupa kombinohen sepse duken shumë të ngjashëm, dhe formulat për llogaritjen e vëllimit janë identike:

V = S * h.

Vetëm S do të ndryshojë. Në rastin e një paralelipipedi, ai llogaritet si për një drejtkëndësh ose katror. Në një prizëm, baza mund të jetë një trekëndësh, një paralelogram, një katërkëndësh arbitrar ose një shumëkëndësh tjetër.

Për një kub, formula është thjeshtuar ndjeshëm sepse të gjitha dimensionet e tij janë të barabarta:

V = a 3.

Piramidë, tetraedron, piramidë e cunguar

Për të parën nga këta trupa, ekziston një formulë për llogaritjen e vëllimit:

V = 1/3 * S * n.

Një tetrahedron është një rast i veçantë i një piramide trekëndore. Të gjitha skajet në të janë të barabarta. Prandaj, përsëri fitohet një formulë e thjeshtuar:

V = (a 3 * √2) / 12, ose V = 1/ 3 S h

Një piramidë bëhet e cunguar kur pjesa e sipërme e saj pritet. Prandaj, vëllimi i saj është i barabartë me diferencën midis dy piramidave: asaj që do të ishte e paprekur dhe majës së hequr. Nëse është e mundur të zbuloni të dy bazat e një piramide të tillë (S 1 - sa më e madhe dhe S 2 - sa më e vogël), atëherë është e përshtatshme të përdorni këtë formulë për të llogaritur vëllimin:

Cilindri, koni dhe koni i cunguar

V =π * r 2 * h.

Situata me një kon është disi më e ndërlikuar. Ekziston një formulë për të:

V = 1/3 π * r 2 * h.Është shumë e ngjashme me atë të treguar për cilindrin, vetëm vlera zvogëlohet me tre herë.

Ashtu si me një piramidë të cunguar, situata nuk është e lehtë me një kon, i cili ka dy baza. Formula për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar duket si kjo:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Këtu r 1 është rrezja e bazës së poshtme, r 2 është rrezja e pjesës së sipërme (më e vogël).

Topi, segmentet e topit dhe sektori

Këto janë formulat më të vështira për t'u mbajtur mend. Për vëllimin e topit duket kështu:

V = 4/3 π *r 3 .

Në problemet shpesh lind një pyetje se si të llogaritet vëllimi i një segmenti sferik - një pjesë e një sfere që është, si të thuash, e prerë paralelisht me diametrin. Në këtë rast, formula e mëposhtme do të vijë në shpëtim:

V = π h 2 * (r - h/3). Në të, h merret si lartësia e segmentit, domethënë pjesa që shkon përgjatë rrezes së topit.

Sektori është i ndarë në dy pjesë: një kon dhe një segment sferik. Prandaj, vëllimi i tij përcaktohet si shuma e këtyre trupave. Formula pas transformimeve duket si kjo:

V = 2/3 πr 2 * h. Këtu h është edhe lartësia e segmentit.

Shembuj të problemeve

Rreth vëllimeve të cilindrit, sferës dhe konit

Kushti: diametri i cilindrit (trupi i parë) është i barabartë me lartësinë e tij, diametrin e topit (trupi i dytë) dhe lartësia e konit (trupi i 3-të), kontrolloni proporcionalitetin e vëllimeve V 1: V 2: V 3 = 3: 2: 1

Zgjidhje. Së pari ju duhet të shkruani tre formula për vëllime. Pastaj konsideroni se rrezja është gjysma e diametrit. Kjo do të thotë, lartësia do të jetë e barabartë me dy rreze: h = 2r. Duke bërë një zëvendësim të thjeshtë, rezulton se formulat për vëllimet do të duken kështu:

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Formula për vëllimin e një topi nuk ndryshon sepse lartësia nuk shfaqet në të.

Tani mbetet për të shkruar raportet e vëllimit dhe për të kryer zvogëlimin 2π dhe r 3. Rezulton se V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Këta numra mund të shkruhen lehtësisht si 3:2:1.

Rreth vëllimit të topit

Kushti: Janë dy shalqinj me rreze 15 dhe 20 cm, çfarë është më e dobishme për t'i ngrënë: i pari me katër veta apo i dyti me tetë?

Zgjidhje. Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, do t'ju duhet të gjeni raportin e vëllimeve të pjesëve që do të vijnë nga çdo shalqi. Duke marrë parasysh që ato janë sfera, duhet të shkruajmë dy formula për vëllime. Pastaj merrni parasysh që nga e para të gjithë do të marrin vetëm një pjesë të katërt, dhe nga e dyta - një të tetën.

Mbetet për të shkruar raportin e vëllimeve të pjesëve. Do të duket kështu:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Pas transformimit, mbetet vetëm fraksioni: (2 r 1 3) / r 2 3. Pas zëvendësimit të vlerave dhe llogaritjes, fitohet fraksioni 6750/8000. Nga ajo është e qartë se pjesa nga shalqini i parë do të jetë më i vogël se nga i dyti.

Përgjigju.Është më fitimprurëse të hani një të tetën e një shalqiri me një rreze prej 20 cm.

Rreth vëllimeve të piramidës dhe kubit

Kushti: ka një piramidë prej balte me bazë drejtkëndore 8X9 cm dhe lartësi 9 cm, nga e njëjta copë balte është bërë një kub, cila është skaji i saj?

Zgjidhje. Nëse caktojmë anët e drejtkëndëshit me shkronjat b dhe c, atëherë sipërfaqja e bazës së piramidës llogaritet si produkt i tyre. Atëherë formula për vëllimin e tij është:

Formula për vëllimin e një kubi është shkruar në artikullin e mësipërm. Këto dy vlera janë të barabarta: V 1 = V 2 . Mbetet vetëm të barazojmë anët e djathta të formulave dhe të bëjmë llogaritjet e nevojshme. Rezulton se buza e kubit do të jetë e barabartë me 6 cm.

Rreth vëllimit të një paralelepipedi

Kushti: ju duhet të bëni një kuti me një kapacitet 0.96 m 3, gjerësia dhe gjatësia e saj dihen - 1.2 dhe 0.8 metra, sa duhet të jetë lartësia e saj?

Zgjidhje. Meqenëse baza e një paralelepipedi është një drejtkëndësh, zona e tij përcaktohet si prodhimi i gjatësisë (a) dhe gjerësisë (b). Prandaj, formula për vëllimin duket si kjo:

Prej saj është e lehtë të përcaktohet lartësia duke e ndarë vëllimin me sipërfaqen. Rezulton se lartësia duhet të jetë 1 m.

Përgjigju. Lartësia e kutisë është një metër.

Si të llogarisni vëllimin e trupave të ndryshëm gjeometrikë?
Në një kurs stereometrie, një nga detyrat kryesore është se si të llogaritet vëllimi i një trupi të caktuar gjeometrik. Gjithçka fillon me një paralelipiped të thjeshtë dhe përfundon me një top.