Ndonjëherë në jetë ka situata kur duhet të thellohesh në kujtesën tënde në kërkim të njohurive shkollore të harruara prej kohësh. Për shembull, duhet të përcaktoni sipërfaqen e një trualli në formë trekëndore, ose ka ardhur koha për një rinovim tjetër në një apartament ose shtëpi private, dhe duhet të llogaritni se sa material do të nevojitet për një sipërfaqe me një formë trekëndore. Kishte një kohë kur mund ta zgjidhnit një problem të tillë në disa minuta, por tani po përpiqeni dëshpërimisht të mbani mend se si të përcaktoni sipërfaqen e një trekëndëshi?

Mos u shqetësoni për këtë! Në fund të fundit, është mjaft normale kur truri i një personi vendos të transferojë njohuritë e papërdorura prej kohësh diku në një cep të largët, nga i cili ndonjëherë nuk është aq e lehtë ta nxjerrësh atë. Në mënyrë që të mos keni nevojë të luftoni me kërkimin e njohurive të harruara të shkollës për të zgjidhur një problem të tillë, ky artikull përmban metoda të ndryshme që e bëjnë të lehtë gjetjen e zonës së kërkuar të një trekëndëshi.

Dihet mirë se një trekëndësh është një lloj shumëkëndëshi që kufizohet në numrin minimal të mundshëm të brinjëve. Në parim, çdo shumëkëndësh mund të ndahet në disa trekëndësha duke i lidhur kulmet e tij me segmente që nuk i kryqëzojnë brinjët e tij. Prandaj, duke ditur trekëndëshin, mund të llogaritni sipërfaqen e pothuajse çdo figure.

Ndër të gjithë trekëndëshat e mundshëm që ndodhin në jetë, mund të dallohen llojet e mëposhtme të veçanta: dhe drejtkëndëshe.

Mënyra më e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi është kur një nga këndet e tij është i drejtë, domethënë në rastin e një trekëndëshi kënddrejtë. Është e lehtë të shihet se është gjysmë drejtkëndësh. Prandaj, sipërfaqja e saj është e barabartë me gjysmën e produktit të anëve që formojnë një kënd të drejtë me njëra-tjetrën.

Nëse dimë lartësinë e një trekëndëshi, të ulur nga një kulm i tij në anën e kundërt, dhe gjatësinë e kësaj brinje, e cila quhet bazë, atëherë sipërfaqja llogaritet sa gjysma e prodhimit të lartësisë dhe bazës. Kjo është shkruar duke përdorur formulën e mëposhtme:

S = 1/2*b*h, në të cilën

S është zona e kërkuar e trekëndëshit;

b, h - përkatësisht lartësia dhe baza e trekëndëshit.

Është kaq e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi izoscelular, sepse lartësia do të përgjysmojë anën e kundërt dhe mund të matet lehtësisht. Nëse zona përcaktohet, atëherë është e përshtatshme të merret gjatësia e njërës prej anëve që formojnë një kënd të drejtë si lartësi.

E gjithë kjo është sigurisht e mirë, por si të përcaktohet nëse një nga këndet e një trekëndëshi është i drejtë apo jo? Nëse madhësia e figurës sonë është e vogël, atëherë mund të përdorim një kënd ndërtimi, një trekëndësh vizatimi, një kartolinë ose një objekt tjetër me formë drejtkëndëshe.

Po sikur të kemi një truall trekëndësh? Në këtë rast, veproni si më poshtë: numëroni nga maja e këndit të supozuar të drejtë në njërën anë një shumëfish të distancës prej 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), dhe në anën tjetër matni një shumëfish të distancës prej 4 në të njëjtën proporcioni (40 cm, 160 cm, 4 m). Tani ju duhet të matni distancën midis pikave fundore të këtyre dy segmenteve. Nëse rezultati është shumëfish i 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atëherë mund të themi se këndi është i drejtë.

Nëse dihet gjatësia e secilës prej tre anëve të figurës sonë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të përcaktohet duke përdorur formulën e Heronit. Për të pasur një formë më të thjeshtë, përdoret një vlerë e re, e cila quhet gjysmëperimetri. Kjo është shuma e të gjitha brinjëve të trekëndëshit tonë, të ndarë në gjysmë. Pasi të jetë llogaritur gjysmëperimetri, mund të filloni të përcaktoni zonën duke përdorur formulën:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ku

sqrt - rrënjë katrore;

p - vlera gjysmë-perimetrike (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - skajet (anët) e trekëndëshit.

Por çka nëse trekëndëshi ka një formë të parregullt? Këtu ka dy mënyra të mundshme. E para prej tyre është të përpiqemi të ndajmë një figurë të tillë në dy trekëndësha kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të të cilave llogaritet veçmas dhe më pas shtohet. Ose, nëse dihet këndi midis dy anëve dhe madhësia e këtyre anëve, atëherë zbatoni formulën:

S = 0,5 * ab * sinC, ku

a,b - anët e trekëndëshit;

c është madhësia e këndit ndërmjet këtyre anëve.

Rasti i fundit është i rrallë në praktikë, por megjithatë, gjithçka është e mundur në jetë, kështu që formula e mësipërme nuk do të jetë e tepërt. Fat i mirë me llogaritjet tuaja!

Trekëndëshi është një figurë e njohur për të gjithë. Dhe kjo pavarësisht nga shumëllojshmëria e pasur e formave të saj. Drejtkëndëshe, barabrinjës, akute, izosceles, i mpirë. Secila prej tyre është e ndryshme në një farë mënyre. Por për këdo që ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi.

Formulat e zakonshme për të gjithë trekëndëshat që përdorin gjatësitë e brinjëve ose lartësive

Emërtimet e miratuara në to: anët - a, b, c; lartësitë në anët përkatëse në a, n në, n me.

1. Sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet si prodhim i ½, një brinjë dhe lartësia e zbritur prej saj. S = ½ * a * n a. Formulat për dy anët e tjera duhet të shkruhen në mënyrë të ngjashme.

2. Formula e Heronit, në të cilën shfaqet gjysmëperimetri (zakonisht shënohet me shkronjën e vogël p, në ndryshim nga perimetri i plotë). Gjysmëperimetri duhet të llogaritet si më poshtë: mblidhni të gjitha anët dhe pjesëtoni ato me 2. Formula për gjysmëperimetrin është: p = (a+b+c) / 2. Pastaj barazia për sipërfaqen e figura duket kështu: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Nëse nuk dëshironi të përdorni një gjysmëperimetër, atëherë do të jetë e dobishme një formulë që përmban vetëm gjatësitë e anëve: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Është pak më i gjatë se ai i mëparshmi, por do t'ju ndihmojë nëse keni harruar se si të gjeni gjysmëperimetrin.

Formula të përgjithshme që përfshijnë këndet e një trekëndëshi

Shënimet e nevojshme për të lexuar formulat: α, β, γ - kënde. Ato shtrihen përkatësisht në anët e kundërta a, b, c.

1. Sipas tij, gjysma e produktit të dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre është i barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit. Kjo është: S = ½ a * b * sin γ. Formulat për dy rastet e tjera duhet të shkruhen në mënyrë të ngjashme.

2. Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të llogaritet nga një anë dhe tre kënde të njohura. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 mëkat α).

3. Ekziston edhe një formulë me një anë të njohur dhe dy kënde ngjitur. Duket kështu: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dy formulat e fundit nuk janë më të thjeshtat. Është mjaft e vështirë t'i kujtosh ato.

Formula të përgjithshme për situatat ku dihen rrezet e rrathëve të brendashkruar ose të rrethuar

Emërtimet shtesë: r, R - rreze. E para përdoret për rrezen e rrethit të brendashkruar. E dyta është për atë të përshkruar.

1. Formula e parë me të cilën llogaritet sipërfaqja e një trekëndëshi lidhet me gjysmëperimetrin. S = r * r. Një mënyrë tjetër për ta shkruar është: S = ½ r * (a + b + c).

2. Në rastin e dytë, do t'ju duhet të shumëzoni të gjitha anët e trekëndëshit dhe t'i ndani ato me katërfishin e rrezes së rrethit të rrethuar. Në shprehjen fjalë për fjalë duket kështu: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situata e tretë ju lejon të bëni pa i ditur anët, por do t'ju duhen vlerat e të tre këndeve. S = 2 R 2 * sin α * mëkat β * mëkat γ.

Rast i veçantë: trekëndësh kënddrejtë

Kjo është situata më e thjeshtë, pasi kërkohet vetëm gjatësia e të dy këmbëve. Ato përcaktohen me shkronjat latine a dhe b. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të shtuar në të.

Matematikisht duket kështu: S = ½ a * b. Është më e lehtë për t'u mbajtur mend. Për shkak se duket si formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi, shfaqet vetëm një fraksion, që tregon gjysmën.

Rast i veçantë: trekëndëshi dykëndësh

Duke qenë se ka dy anë të barabarta, disa formula për zonën e tij duken disi të thjeshtuara. Për shembull, formula e Heronit, e cila llogarit sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, merr formën e mëposhtme:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Nëse e transformoni, do të bëhet më e shkurtër. Në këtë rast, formula e Heronit për një trekëndësh izosceles shkruhet si më poshtë:

S = ¼ në √(4 * a 2 - b 2).

Formula e sipërfaqes duket disi më e thjeshtë se sa për një trekëndësh arbitrar nëse dihen brinjët dhe këndi ndërmjet tyre. S = ½ a 2 * sin β.

Rast i veçantë: trekëndësh barabrinjës

Zakonisht në probleme dihet ana për të ose mund të zbulohet në një farë mënyre. Atëherë formula për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi të tillë është si më poshtë:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme për të gjetur zonën nëse trekëndëshi përshkruhet në letër me kuadrate

Situata më e thjeshtë është kur vizatohet një trekëndësh kënddrejtë në mënyrë që këmbët e tij të përkojnë me vijat e letrës. Atëherë ju vetëm duhet të numëroni numrin e qelizave që përshtaten në këmbë. Pastaj shumëzojini ato dhe ndani me dy.

Kur trekëndëshi është i mprehtë ose i mpirë, ai duhet të tërhiqet në një drejtkëndësh. Atëherë figura që rezulton do të ketë 3 trekëndësha. Njëra është ajo që jepet në problem. Dhe dy të tjerët janë ndihmës dhe drejtkëndëshe. Zonat e dy të fundit duhet të përcaktohen duke përdorur metodën e përshkruar më sipër. Pastaj llogarisni sipërfaqen e drejtkëndëshit dhe zbritni prej tij ato të llogaritura për ato ndihmëse. Zona e trekëndëshit përcaktohet.

Situata në të cilën asnjë nga anët e trekëndëshit nuk përkon me vijat e letrës rezulton të jetë shumë më e ndërlikuar. Pastaj duhet të gdhendet në një drejtkëndësh në mënyrë që kulmet e figurës origjinale të shtrihen në anët e saj. Në këtë rast, do të ketë tre trekëndësha ndihmës kënddrejtë.

Shembull i një problemi duke përdorur formulën e Heronit

gjendja. Një trekëndësh ka brinjë të njohura. Ato janë të barabarta me 3, 5 dhe 6 cm Ju duhet të zbuloni zonën e saj.

Tani mund të llogarisni sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën e mësipërme. Nën rrënjën katrore është prodhimi i katër numrave: 7, 4, 2 dhe 1. Kjo do të thotë, sipërfaqja është √(4 * 14) = 2 √(14).

Nëse nuk kërkohet saktësi më e madhe, atëherë mund të merrni rrënjën katrore prej 14. Është e barabartë me 3,74. Atëherë zona do të jetë 7.48.

Përgjigju. S = 2 √14 cm 2 ose 7,48 cm 2.

Shembull i problemit me trekëndëshin kënddrejtë

gjendja. Njëra këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është 31 cm më e madhe se e dyta. Duhet të zbuloni gjatësinë e tyre nëse sipërfaqja e trekëndëshit është 180 cm 2.
Zgjidhje. Do të na duhet të zgjidhim një sistem me dy ekuacione. E para lidhet me zonën. E dyta është me raportin e këmbëve, që jepet në problem.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Së pari, vlera e "a" duhet të zëvendësohet në ekuacionin e parë. Rezulton: 180 = ½ (në + 31) * in. Ajo ka vetëm një sasi të panjohur, kështu që është e lehtë për t'u zgjidhur. Pas hapjes së kllapave, fitohet ekuacioni kuadratik: 2 + 31 360 = 0. Kjo jep dy vlera për "in": 9 dhe - 40. Numri i dytë nuk është i përshtatshëm si përgjigje, pasi gjatësia e anës i një trekëndëshi nuk mund të jetë një vlerë negative.

Mbetet për të llogaritur pjesën e dytë: shtoni 31 në numrin që rezulton 40. Këto janë sasitë e kërkuara në problem.

Përgjigju. Këmbët e trekëndëshit janë 9 dhe 40 cm.

Problemi i gjetjes së një brinje përmes sipërfaqes, brinjës dhe këndit të një trekëndëshi

gjendja. Sipërfaqja e një trekëndëshi të caktuar është 60 cm 2. Është e nevojshme të llogaritet njëra nga anët e saj nëse ana e dytë është 15 cm dhe këndi ndërmjet tyre është 30º.

Zgjidhje. Bazuar në shënimin e pranuar, ana e dëshiruar është "a", ana e njohur është "b", këndi i dhënë është "γ". Pastaj formula e zonës mund të rishkruhet si më poshtë:

60 = ½ a * 15 * mëkat 30º. Këtu sinusi prej 30 gradësh është 0,5.

Pas transformimeve, "a" rezulton të jetë e barabartë me 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Kjo është 16.

Përgjigju. Ana e kërkuar është 16 cm.

Problem për një katror të brendashkruar në një trekëndësh kënddrejtë

gjendja. Kulmi i një katrori me brinjë 24 cm përkon me këndin e drejtë të trekëndëshit. Dy të tjerët shtrihen në anët. E treta i përket hipotenuzës. Gjatësia e njërës nga këmbët është 42 cm.

Zgjidhje. Konsideroni dy trekëndësha kënddrejtë. E para është ajo e specifikuar në detyrë. E dyta bazohet në këmbën e njohur të trekëndëshit origjinal. Ato janë të ngjashme sepse kanë një kënd të përbashkët dhe formohen nga drejtëza paralele.

Atëherë raportet e këmbëve të tyre janë të barabarta. Këmbët e trekëndëshit më të vogël janë të barabarta me 24 cm (ana e katrorit) dhe 18 cm (këmbë e dhënë 42 cm minus brinja e katrorit 24 cm). Këmbët përkatëse të një trekëndëshi të madh janë 42 cm dhe x cm. Është ky "x" që nevojitet për të llogaritur sipërfaqen e trekëndëshit.

18/42 = 24/x, domethënë x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Atëherë sipërfaqja është e barabartë me produktin e 56 dhe 42 të pjesëtuar me dy, domethënë 1176 cm 2.

Përgjigju. Sipërfaqja e kërkuar është 1176 cm 2.

Zona e një figure gjeometrike- një karakteristikë numerike e një figure gjeometrike që tregon madhësinë e kësaj figure (pjesë e sipërfaqes e kufizuar nga kontura e mbyllur e kësaj figure). Madhësia e sipërfaqes shprehet me numrin e njësive katrore të përfshira në të.

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi nga ana dhe lartësia
Sipërfaqja e një trekëndëshi e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së një brinjë të një trekëndëshi dhe gjatësisë së lartësisë së tërhequr në këtë anë
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit të brendashkruar
Sipërfaqja e një trekëndëshiështë e barabartë me prodhimin e gjysmëperimetrit të trekëndëshit dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.

Formulat e sipërfaqes katrore

Formula për sipërfaqen e një katrori për nga gjatësia anësore
Zona katrore e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së saj.
Formula për sipërfaqen e një katrori përgjatë gjatësisë diagonale
Zona katrore e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së saj.
S= 1 2
2

Formula e sipërfaqes drejtkëndëshe

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi

Formulat e sipërfaqes paralelograme

Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
Zona e një paralelogrami
Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në dy anët dhe këndin ndërmjet tyre
Zona e një paralelogramiështë i barabartë me produktin e gjatësive të brinjëve të tij shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre.
a b mëkat α

Formulat për sipërfaqen e një rombi

Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
Zona e një rombiështë e barabartë me prodhimin e gjatësisë së anës së saj dhe gjatësisë së lartësisë së ulur në këtë anë.
Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe këndin e anës
Zona e një rombiështë e barabartë me produktin e katrorit të gjatësisë së brinjës së tij dhe të sinusit të këndit ndërmjet brinjëve të rombit.
Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësitë e diagonaleve të tij
Zona e një rombi e barabartë me gjysmën e prodhimit të gjatësive të diagonaleve të tij.

Formulat e zonës së trapezit

Formula e Heronit për trapezin
Ku S është zona e trapezit,
- gjatësitë e bazave të trapezit,
- gjatësitë e anëve të trapezit,

Zona e një trekëndëshi - formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemit

Më poshtë janë formulat për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi arbitrar të cilat janë të përshtatshme për të gjetur sipërfaqen e çdo trekëndëshi, pavarësisht nga vetitë, këndet ose madhësitë e tij. Formulat paraqiten në formën e një fotografie, me shpjegime për zbatimin e tyre ose justifikim për korrektësinë e tyre. Gjithashtu, një figurë e veçantë tregon korrespondencën midis simboleve të shkronjave në formula dhe simboleve grafike në vizatim.

shënim . Nëse trekëndëshi ka veti të veçanta (barabrinjës, drejtkëndësh, barabrinjës), mund të përdorni formulat e dhëna më poshtë, si dhe formula të veçanta shtesë që janë të vlefshme vetëm për trekëndëshat me këto veti:

"Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës"

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Shpjegime për formulat:
a, b, c- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit sipërfaqen e të cilit duam ta gjejmë
r- rrezja e rrethit të brendashkruar në trekëndësh
R- rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit
h- lartësia e trekëndëshit ulet anash
fq- gjysmëperimetri i një trekëndëshi, 1/2 e shumës së brinjëve të tij (perimetri)
α - këndi përballë brinjës a të trekëndëshit
β - këndi përballë brinjës b të trekëndëshit
γ - këndi përballë brinjës c të trekëndëshit
h a, h b , h c- lartësia e trekëndëshit e ulur në brinjët a, b, c

Ju lutemi vini re se shënimet e dhëna korrespondojnë me figurën e mësipërme, në mënyrë që kur zgjidhni një problem të vërtetë gjeometrie, do të jetë vizualisht më e lehtë për ju të zëvendësoni vlerat e sakta në vendet e duhura në formulë.

Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të lartësisë së trekëndëshit dhe gjatësisë së brinjës me të cilën ulet kjo lartësi(Formula 1). Korrektësia e kësaj formule mund të kuptohet logjikisht. Lartësia e ulur në bazë do të ndajë një trekëndësh arbitrar në dy drejtkëndëshe. Nëse e ndërtoni secilën prej tyre në një drejtkëndësh me dimensione b dhe h, atëherë padyshim që sipërfaqja e këtyre trekëndëshave do të jetë saktësisht e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit (Spr = bh)
Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të dy brinjëve të tij dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre(Formula 2) (shih një shembull të zgjidhjes së një problemi duke përdorur këtë formulë më poshtë). Edhe pse duket ndryshe nga ai i mëparshmi, mund të shndërrohet lehtësisht në të. Nëse e ulim lartësinë nga këndi B në brinjën b, rezulton se prodhimi i brinjës a dhe i sinusit të këndit γ, sipas vetive të sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, është i barabartë me lartësinë e trekëndëshit që vizatuam. , e cila na jep formulën e mëparshme
Mund të gjendet zona e një trekëndëshi arbitrar përmes puna gjysma e rrezes së rrethit të gdhendur në të nga shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij(Formula 3), thënë thjesht, ju duhet të shumëzoni gjysmëperimetrin e trekëndëshit me rrezen e rrethit të brendashkruar (kjo është më e lehtë për t'u mbajtur mend)
Zona e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet duke e ndarë produktin e të gjitha anëve të tij me 4 rreze të rrethit të rrethuar rreth tij (Formula 4)
Formula 5 po gjen sipërfaqen e një trekëndëshi përmes gjatësisë së brinjëve dhe gjysmëperimetrit të tij (gjysma e shumës së të gjitha brinjëve të tij)
Formula e Heronit(6) është një paraqitje e së njëjtës formulë pa përdorur konceptin e gjysmëperimetrit, vetëm përmes gjatësive të brinjëve
Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar është e barabartë me produktin e katrorit të anës së trekëndëshit dhe sinuseve të këndeve ngjitur me këtë anë të ndarë me sinusin e dyfishtë të këndit përballë kësaj ane (Formula 7)
Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet si produkt i dy katrorëve të rrethit të rrethuar rreth tij nga sinuset e secilit prej këndeve të tij. (Formula 8)
Nëse dihen gjatësia e njërës anë dhe vlerat e dy këndeve ngjitur, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të gjendet si katrori i kësaj faqeje të ndarë me shumën e dyfishtë të kotangjentave të këtyre këndeve (Formula 9)
Nëse dihet vetëm gjatësia e secilës prej lartësive të trekëndëshit (Formula 10), atëherë sipërfaqja e një trekëndëshi të tillë është në proporcion të zhdrejtë me gjatësitë e këtyre lartësive, si sipas Formulës së Heronit.
Formula 11 ju lejon të llogaritni zona e një trekëndëshi bazuar në koordinatat e kulmeve të tij, të cilat janë specifikuar si vlera (x;y) për secilën nga kulmet. Ju lutemi vini re se vlera që rezulton duhet të merret modul, pasi koordinatat e kulmeve individuale (ose edhe të gjitha) mund të jenë në rajonin e vlerave negative

shënim. Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është i ngjashëm këtu, shkruani për të në forum. Në zgjidhje, në vend të simbolit "rrënjë katrore", mund të përdoret funksioni sqrt(), në të cilin sqrt është simboli i rrënjës katrore dhe shprehja radikale tregohet në kllapa..Ndonjëherë për shprehje të thjeshta radikale simboli mund të përdoret √

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e dhënë dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre

Brinjët e trekëndëshit janë 5 dhe 6 cm. Këndi ndërmjet tyre është 60 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje.

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën numër dy nga pjesa teorike e mësimit.
Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet përmes gjatësisë së dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre dhe do të jetë e barabartë me
S=1/2 ab sin γ

Meqenëse kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për zgjidhjen (sipas formulës), mund të zëvendësojmë vetëm vlerat nga kushtet e problemit në formulën:
S = 1/2 * 5 * 6 * mëkat 60

Në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike, do të gjejmë dhe do të zëvendësojmë vlerën e sinusit 60 gradë në shprehje. Do të jetë e barabartë me rrënjën e trefishit të dy.
S = 15 √3 / 2

Përgjigju: 7.5 √3 (në varësi të kërkesave të mësuesit, ndoshta mund të lini 15 √3/2)

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 3 cm.

Zgjidhje .

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Meqenëse a = b = c, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës merr formën:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Përgjigju: 9 √3 / 4.

Detyrë. Ndryshoni zonën kur ndryshoni gjatësinë e anëve

Sa herë do të rritet sipërfaqja e trekëndëshit nëse brinjët rriten me 4 herë?

Zgjidhje.

Meqenëse përmasat e brinjëve të trekëndëshit janë të panjohura për ne, për të zgjidhur problemin do të supozojmë se gjatësitë e brinjëve janë përkatësisht të barabarta me numrat arbitrar a, b, c. Pastaj, për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit të dhënë dhe më pas do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit, brinjët e të cilit janë katër herë më të mëdha. Raporti i sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave do të na japë përgjigjen e problemit.

Më poshtë japim një shpjegim tekstual të zgjidhjes së problemit hap pas hapi. Sidoqoftë, në fund, e njëjta zgjidhje paraqitet në një formë grafike më të përshtatshme. Të interesuarit mund të zbresin menjëherë në zgjidhjet.

Për të zgjidhur, ne përdorim formulën e Heronit (shih më lart në pjesën teorike të mësimit). Duket kështu:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e parë të figurës më poshtë)

Gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi arbitrar përcaktohen nga variablat a, b, c.
Nëse anët rriten me 4 herë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit të ri c do të jetë:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(shih rreshtin e dytë në foton më poshtë)

Siç mund ta shihni, 4 është një faktor i zakonshëm që mund të hiqet nga kllapat nga të katër shprehjet sipas rregullave të përgjithshme të matematikës.
Pastaj

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - në rreshtin e tretë të figurës
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - rreshti i katërt

Rrënja katrore e numrit 256 është nxjerrë në mënyrë të përkryer, kështu që le ta nxjerrim nga poshtë rrënjës
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e pestë të figurës më poshtë)

Për t'iu përgjigjur pyetjes së bërë në problem, thjesht duhet të ndajmë zonën e trekëndëshit që rezulton me sipërfaqen e atij origjinal.
Le të përcaktojmë raportet e sipërfaqes duke i ndarë shprehjet me njëra-tjetrën dhe duke zvogëluar thyesën që rezulton.

Siç mund ta mbani mend nga kurrikula juaj e gjeometrisë së shkollës, një trekëndësh është një figurë e formuar nga tre segmente të lidhura nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Një trekëndësh formon tre kënde, prandaj emri i figurës. Përkufizimi mund të jetë i ndryshëm. Një trekëndësh mund të quhet edhe shumëkëndësh me tre kënde, përgjigja gjithashtu do të jetë e saktë. Trekëndëshat ndahen sipas numrit të brinjëve të barabarta dhe madhësisë së këndeve në figura. Kështu, trekëndëshat dallohen përkatësisht si dykëndësh, barabrinjës dhe skalenë, si dhe drejtkëndësh, akute dhe të trashë.

Ka shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Zgjidhni si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, d.m.th. Cila formulë të përdorni varet nga ju. Por vlen të përmendet vetëm disa nga shënimet që përdoren në shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Pra, mbani mend:

S është sipërfaqja e trekëndëshit,

a, b, c janë brinjët e trekëndëshit,

h është lartësia e trekëndëshit,

R është rrezja e rrethit të rrethuar,

p është gjysmëperimetri.

Këtu janë shënimet bazë që mund të jenë të dobishme për ju nëse keni harruar plotësisht kursin tuaj të gjeometrisë. Më poshtë janë opsionet më të kuptueshme dhe të pakomplikuara për llogaritjen e zonës së panjohur dhe misterioze të një trekëndëshi. Nuk është e vështirë dhe do të jetë e dobishme si për nevojat tuaja shtëpiake ashtu edhe për të ndihmuar fëmijët tuaj. Le të kujtojmë se si të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi sa më lehtë që të jetë e mundur:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit është: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm katrore. Mos harroni se sipërfaqja matet në centimetra katrorë (cm katror).

Trekëndëshi kënddrejtë dhe sipërfaqja e tij.

Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh në të cilin një kënd është i barabartë me 90 gradë (prandaj quhet i drejtë). Një kënd i drejtë formohet nga dy vija pingule (në rastin e një trekëndëshi, dy segmente pingul). Në një trekëndësh kënddrejtë mund të ketë vetëm një kënd të drejtë, sepse... shuma e të gjitha këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me 180 gradë. Rezulton se 2 këndet e tjera duhet të ndajnë 90 gradët e mbetura, për shembull 70 dhe 20, 45 dhe 45, etj. Pra, ju mbani mend gjënë kryesore, gjithçka që mbetet është të zbuloni se si të gjeni zonën e një trekëndëshi kënddrejtë. Le të imagjinojmë se kemi një trekëndësh të tillë kënddrejtë përpara dhe duhet të gjejmë zonën e tij S.

1. Mënyra më e thjeshtë për të përcaktuar sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë është: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

Në parim, nuk ka më nevojë të verifikohet zona e trekëndëshit në mënyra të tjera, sepse Vetëm kjo do të jetë e dobishme dhe do të ndihmojë në jetën e përditshme. Por ka edhe mundësi për matjen e zonës së një trekëndëshi përmes këndeve akute.

2. Për metodat e tjera të llogaritjes, duhet të keni një tabelë të kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve. Gjykoni vetë, këtu janë disa opsione për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë që mund të përdoret akoma:

Ne vendosëm të përdorim formulën e parë dhe me disa njolla të vogla (e vizatuam në një fletore dhe përdorëm një vizore dhe raportor të vjetër), por morëm llogaritjen e saktë:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Ne morëm rezultatet e mëposhtme: 3.6=3.7, por duke marrë parasysh zhvendosjen e qelizave, mund ta falim këtë nuancë.

Trekëndëshi dykëndësh dhe sipërfaqja e tij.

Nëse jeni përballur me detyrën e llogaritjes së formulës për një trekëndësh dykëndësh, atëherë mënyra më e lehtë është të përdorni formulën kryesore dhe atë që konsiderohet të jetë formula klasike për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Por së pari, përpara se të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, le të zbulojmë se çfarë lloj figure është. Një trekëndësh dykëndësh është një trekëndësh në të cilin dy brinjë kanë të njëjtën gjatësi. Këto dy anë quhen anësore, ana e tretë quhet bazë. Mos e ngatërroni një trekëndësh dykëndësh me një trekëndësh barabrinjës, d.m.th. një trekëndësh i rregullt me të tri brinjët të barabarta. Në një trekëndësh të tillë nuk ka prirje të veçanta për këndet, ose më mirë për madhësinë e tyre. Sidoqoftë, këndet në bazën në një trekëndësh izoscelorë janë të barabartë, por të ndryshëm nga këndi midis brinjëve të barabarta. Pra, ju tashmë e dini formulën e parë dhe kryesore, mbetet të zbuloni se cilat formula të tjera për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi izosceles janë të njohura: