Një trekëndësh është një nga format gjeometrike më të zakonshme, me të cilën njihemi në shkollën fillore. Çdo student përballet me pyetjen se si të gjejë sipërfaqen e një trekëndëshi në mësimet e gjeometrisë. Pra, cilat veçori të gjetjes së sipërfaqes së një figure të caktuar mund të identifikohen? Në këtë artikull do të shikojmë formulat bazë të nevojshme për të përfunduar një detyrë të tillë, dhe gjithashtu do të analizojmë llojet e trekëndëshave.

Llojet e trekëndëshave

Ju mund ta gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi në mënyra krejtësisht të ndryshme, sepse në gjeometri ka më shumë se një lloj figure që përmban tre kënde. Këto lloje përfshijnë:

I mpirë.
Barabrinjës (e saktë).
Trekëndësh kënddrejtë.
Isosceles.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin prej llojeve ekzistuese të trekëndëshave.

Kjo figurë gjeometrike konsiderohet më e zakonshme gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike. Kur lind nevoja për të vizatuar një trekëndësh arbitrar, ky opsion vjen në shpëtim.

Në një trekëndësh akut, siç sugjeron emri, të gjitha këndet janë akute dhe mblidhen deri në 180°.

Ky lloj trekëndëshi është gjithashtu shumë i zakonshëm, por është disi më pak i zakonshëm se një trekëndësh akut. Për shembull, kur zgjidhni trekëndëshat (d.m.th., njihen disa nga anët dhe këndet e tij dhe ju duhet të gjeni elementët e mbetur), ndonjëherë duhet të përcaktoni nëse këndi është i mpirë apo jo. Kosinusi është një numër negativ.

B, vlera e njërit prej këndeve tejkalon 90 °, kështu që dy këndet e mbetura mund të marrin vlera të vogla (për shembull, 15 ° ose edhe 3 °).

Për të gjetur zonën e një trekëndëshi të këtij lloji, duhet të dini disa nuanca, për të cilat do të flasim më vonë.

Trekëndësha të rregullt dhe dykëndësh

Një shumëkëndësh i rregullt është një figurë që përfshin n kënde dhe brinjët dhe këndet e së cilës janë të gjitha të barabarta. Kjo është ajo që është një trekëndësh i rregullt. Meqenëse shuma e të gjithë këndeve të një trekëndëshi është 180°, atëherë secili nga tre këndet është 60°.

Një trekëndësh i rregullt, për shkak të vetive të tij, quhet edhe figurë barabrinjës.

Vlen gjithashtu të përmendet se vetëm një rreth mund të futet në një trekëndësh të rregullt, dhe vetëm një rreth mund të përshkruhet rreth tij, dhe qendrat e tyre janë të vendosura në të njëjtën pikë.

Përveç llojit barabrinjës, mund të dallohet edhe një trekëndësh izosceles, i cili është paksa i ndryshëm nga ai. Në një trekëndësh të tillë, dy brinjë dhe dy kënde janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe ana e tretë (me të cilën janë ngjitur kënde të barabarta) është baza.

Figura tregon një trekëndësh dykëndësh DEF, këndet D dhe F të të cilit janë të barabartë dhe DF është baza.

Trekëndësh kënddrejtë

Një trekëndësh kënddrejtë quhet kështu sepse njëri prej këndeve të tij është i drejtë, domethënë i barabartë me 90°. Dy këndet e tjera mblidhen deri në 90°.

Ana më e madhe e një trekëndëshi të tillë, e shtrirë përballë këndit 90°, është hipotenuza, ndërsa dy anët e mbetura janë këmbët. Për këtë lloj trekëndëshi, zbatohet teorema e Pitagorës:

Shuma e katrorëve të gjatësisë së këmbëve është e barabartë me katrorin e gjatësisë së hipotenuzës.

Figura tregon një trekëndësh kënddrejtë BAC me hipotenuzë AC dhe këmbët AB dhe BC.

Për të gjetur zonën e një trekëndëshi me një kënd të drejtë, duhet të dini vlerat numerike të këmbëve të tij.

Le të kalojmë te formulat për gjetjen e sipërfaqes së një figure të caktuar.

Formulat bazë për gjetjen e sipërfaqes

Në gjeometri, ekzistojnë dy formula që janë të përshtatshme për gjetjen e sipërfaqes së shumicës së llojeve të trekëndëshave, përkatësisht për trekëndëshat akute, të mpirë, të rregullt dhe dykëndësh. Le të shohim secilin prej tyre.

Nga ana dhe lartësia

Kjo formulë është universale për të gjetur sipërfaqen e figurës që po shqyrtojmë. Për ta bërë këtë, mjafton të dini gjatësinë e anës dhe gjatësinë e lartësisë së tërhequr në të. Vetë formula (gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë) është si më poshtë:

ku A është brinja e një trekëndëshi të caktuar, dhe H është lartësia e trekëndëshit.

Për shembull, për të gjetur zonën e një trekëndëshi akut ACB, duhet të shumëzoni anën e tij AB me lartësinë CD dhe të ndani vlerën që rezulton me dy.

Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e lehtë të gjesh sipërfaqen e një trekëndëshi në këtë mënyrë. Për shembull, për të përdorur këtë formulë për një trekëndësh të mpirë, duhet të zgjasni njërën nga anët e tij dhe vetëm atëherë të vizatoni një lartësi në të.

Në praktikë, kjo formulë përdoret më shpesh se të tjerët.

Në të dy anët dhe në qoshe

Kjo formulë, si ajo e mëparshme, është e përshtatshme për shumicën e trekëndëshave dhe në kuptimin e saj është pasojë e formulës për gjetjen e sipërfaqes anash dhe lartësisë së një trekëndëshi. Kjo do të thotë, formula në fjalë mund të nxirret lehtësisht nga ajo e mëparshme. Formulimi i tij duket si ky:

S = ½*sinO*A*B,

ku A dhe B janë brinjët e trekëndëshit, dhe O është këndi midis brinjëve A dhe B.

Le të kujtojmë se sinusi i një këndi mund të shihet në një tabelë të veçantë të quajtur sipas matematikanit të shquar sovjetik V. M. Bradis.

Tani le të kalojmë në formula të tjera që janë të përshtatshme vetëm për lloje të jashtëzakonshme të trekëndëshave.

Zona e një trekëndëshi kënddrejtë

Përveç formulës universale, e cila përfshin nevojën për të gjetur lartësinë në një trekëndësh, zona e një trekëndëshi që përmban një kënd të drejtë mund të gjendet nga këmbët e tij.

Kështu, zona e një trekëndëshi që përmban një kënd të drejtë është gjysma e produktit të këmbëve të tij, ose:

ku a dhe b janë këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë.

Trekëndësh i rregullt

Ky lloj i figurës gjeometrike është i ndryshëm në atë që zona e tij mund të gjendet me vlerën e treguar të vetëm njërës prej anëve të saj (pasi të gjitha anët e një trekëndëshi të rregullt janë të barabarta). Pra, kur përballeni me detyrën e "gjetjes së sipërfaqes së një trekëndëshi kur anët janë të barabarta", duhet të përdorni formulën e mëposhtme:

S = A 2 *√3 / 4,

ku A është brinja e trekëndëshit barabrinjës.

Formula e Heronit

Mundësia e fundit për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi është formula e Heronit. Për ta përdorur atë, duhet të dini gjatësitë e tre anëve të figurës. Formula e Heronit duket si kjo:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

ku a, b dhe c janë brinjët e një trekëndëshi të dhënë.

Ndonjëherë jepet problemi: "Sipërfaqja e një trekëndëshi të rregullt është të gjesh gjatësinë e anës së tij". Në këtë rast, duhet të përdorim formulën që tashmë e dimë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt dhe të nxjerrim prej saj vlerën e anës (ose katrorit të saj):

A 2 = 4S / √3.

Detyrat e provimit

Ka shumë formula në problemet GIA në matematikë. Përveç kësaj, mjaft shpesh është e nevojshme të gjendet zona e një trekëndëshi në letër me kuadrate.

Në këtë rast, është më e përshtatshme të vizatoni lartësinë në njërën nga anët e figurës, të përcaktoni gjatësinë e saj nga qelizat dhe të përdorni formulën universale për gjetjen e zonës:

Pra, pasi të keni studiuar formulat e paraqitura në artikull, nuk do të keni asnjë problem për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të çdo lloji.

Zona e një trekëndëshi - formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemit

Më poshtë janë formulat për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi arbitrar të cilat janë të përshtatshme për të gjetur sipërfaqen e çdo trekëndëshi, pavarësisht nga vetitë, këndet ose madhësitë e tij. Formulat paraqiten në formën e një fotografie, me shpjegime për zbatimin e tyre ose justifikim për korrektësinë e tyre. Gjithashtu, një figurë e veçantë tregon korrespondencën midis simboleve të shkronjave në formula dhe simboleve grafike në vizatim.

shënim . Nëse trekëndëshi ka veti të veçanta (barabrinjës, drejtkëndësh, barabrinjës), mund të përdorni formulat e dhëna më poshtë, si dhe formula të veçanta shtesë që janë të vlefshme vetëm për trekëndëshat me këto veti:

"Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës"

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Shpjegime për formulat:
a, b, c- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit sipërfaqen e të cilit duam ta gjejmë
r- rrezja e rrethit të brendashkruar në trekëndësh
R- rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit
h- lartësia e trekëndëshit ulet anash
fq- gjysmëperimetri i një trekëndëshi, 1/2 e shumës së brinjëve të tij (perimetri)
α - këndi përballë brinjës a të trekëndëshit
β - këndi përballë brinjës b të trekëndëshit
γ - këndi përballë brinjës c të trekëndëshit
h a, h b , h c- lartësia e trekëndëshit e ulur në brinjët a, b, c

Ju lutemi vini re se shënimet e dhëna korrespondojnë me figurën e mësipërme, në mënyrë që kur zgjidhni një problem të vërtetë gjeometrie, do të jetë vizualisht më e lehtë për ju të zëvendësoni vlerat e sakta në vendet e duhura në formulë.

Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të lartësisë së trekëndëshit dhe gjatësisë së brinjës me të cilën ulet kjo lartësi(Formula 1). Korrektësia e kësaj formule mund të kuptohet logjikisht. Lartësia e ulur në bazë do të ndajë një trekëndësh arbitrar në dy drejtkëndëshe. Nëse e ndërtoni secilën prej tyre në një drejtkëndësh me dimensione b dhe h, atëherë padyshim që sipërfaqja e këtyre trekëndëshave do të jetë saktësisht e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit (Spr = bh)
Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të dy brinjëve të tij dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre(Formula 2) (shih një shembull të zgjidhjes së një problemi duke përdorur këtë formulë më poshtë). Edhe pse duket ndryshe nga ai i mëparshmi, mund të shndërrohet lehtësisht në të. Nëse e ulim lartësinë nga këndi B në brinjën b, rezulton se prodhimi i brinjës a dhe i sinusit të këndit γ, sipas vetive të sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, është i barabartë me lartësinë e trekëndëshit që vizatuam. , e cila na jep formulën e mëparshme
Mund të gjendet zona e një trekëndëshi arbitrar përmes puna gjysma e rrezes së rrethit të gdhendur në të nga shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij(Formula 3), thënë thjesht, ju duhet të shumëzoni gjysmëperimetrin e trekëndëshit me rrezen e rrethit të brendashkruar (kjo është më e lehtë për t'u mbajtur mend)
Zona e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet duke e ndarë produktin e të gjitha anëve të tij me 4 rreze të rrethit të rrethuar rreth tij (Formula 4)
Formula 5 po gjen sipërfaqen e një trekëndëshi përmes gjatësisë së brinjëve dhe gjysmëperimetrit të tij (gjysma e shumës së të gjitha brinjëve të tij)
Formula e Heronit(6) është një paraqitje e së njëjtës formulë pa përdorur konceptin e gjysmëperimetrit, vetëm përmes gjatësive të brinjëve
Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar është e barabartë me produktin e katrorit të anës së trekëndëshit dhe sinuseve të këndeve ngjitur me këtë anë të ndarë me sinusin e dyfishtë të këndit përballë kësaj ane (Formula 7)
Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet si produkt i dy katrorëve të rrethit të rrethuar rreth tij nga sinuset e secilit prej këndeve të tij. (Formula 8)
Nëse dihen gjatësia e njërës anë dhe vlerat e dy këndeve ngjitur, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të gjendet si katrori i kësaj faqeje të ndarë me shumën e dyfishtë të kotangjentave të këtyre këndeve (Formula 9)
Nëse dihet vetëm gjatësia e secilës prej lartësive të trekëndëshit (Formula 10), atëherë sipërfaqja e një trekëndëshi të tillë është në përpjesëtim të zhdrejtë me gjatësitë e këtyre lartësive, si sipas Formulës së Heronit.
Formula 11 ju lejon të llogaritni zona e një trekëndëshi bazuar në koordinatat e kulmeve të tij, të cilat janë specifikuar si vlera (x;y) për secilën nga kulmet. Ju lutemi vini re se vlera që rezulton duhet të merret modul, pasi koordinatat e kulmeve individuale (ose edhe të gjitha) mund të jenë në rajonin e vlerave negative

shënim. Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është i ngjashëm këtu, shkruani për të në forum. Në zgjidhje, në vend të simbolit "rrënjë katrore", mund të përdoret funksioni sqrt(), në të cilin sqrt është simboli i rrënjës katrore dhe shprehja radikale tregohet në kllapa..Ndonjëherë për shprehje të thjeshta radikale simboli mund të përdoret √

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e dhënë dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre

Brinjët e trekëndëshit janë 5 dhe 6 cm. Këndi ndërmjet tyre është 60 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje.

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën numër dy nga pjesa teorike e mësimit.
Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet përmes gjatësisë së dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre dhe do të jetë e barabartë me
S=1/2 ab sin γ

Meqenëse kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për zgjidhjen (sipas formulës), mund të zëvendësojmë vetëm vlerat nga kushtet e problemit në formulën:
S = 1/2 * 5 * 6 * mëkat 60

Në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike, do të gjejmë dhe do të zëvendësojmë vlerën e sinusit 60 gradë në shprehje. Do të jetë e barabartë me rrënjën e trefishit të dy.
S = 15 √3 / 2

Përgjigju: 7.5 √3 (në varësi të kërkesave të mësuesit, ndoshta mund të lini 15 √3/2)

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 3 cm.

Zgjidhje .

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Meqenëse a = b = c, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës merr formën:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Përgjigju: 9 √3 / 4.

Detyrë. Ndryshoni zonën kur ndryshoni gjatësinë e anëve

Sa herë do të rritet sipërfaqja e trekëndëshit nëse brinjët rriten me 4 herë?

Zgjidhje.

Meqenëse përmasat e brinjëve të trekëndëshit janë të panjohura për ne, për të zgjidhur problemin do të supozojmë se gjatësitë e brinjëve janë përkatësisht të barabarta me numrat arbitrar a, b, c. Pastaj, për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit të dhënë dhe më pas do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit, brinjët e të cilit janë katër herë më të mëdha. Raporti i sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave do të na japë përgjigjen e problemit.

Më poshtë japim një shpjegim tekstual të zgjidhjes së problemit hap pas hapi. Sidoqoftë, në fund, e njëjta zgjidhje paraqitet në një formë grafike më të përshtatshme. Ata që dëshirojnë mund të zbresin menjëherë zgjidhjen.

Për të zgjidhur, ne përdorim formulën e Heronit (shih më lart në pjesën teorike të mësimit). Duket kështu:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e parë të figurës më poshtë)

Gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi arbitrar përcaktohen nga variablat a, b, c.
Nëse anët rriten me 4 herë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit të ri c do të jetë:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(shih rreshtin e dytë në foton më poshtë)

Siç mund ta shihni, 4 është një faktor i zakonshëm që mund të hiqet nga kllapat nga të katër shprehjet sipas rregullave të përgjithshme të matematikës.
Pastaj

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - në rreshtin e tretë të figurës
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - rreshti i katërt

Rrënja katrore e numrit 256 është nxjerrë në mënyrë të përsosur, kështu që le ta nxjerrim nga poshtë rrënjës
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e pestë të figurës më poshtë)

Për t'iu përgjigjur pyetjes së bërë në problem, thjesht duhet të ndajmë zonën e trekëndëshit që rezulton me sipërfaqen e atij origjinal.
Le të përcaktojmë raportet e sipërfaqes duke i ndarë shprehjet me njëra-tjetrën dhe duke zvogëluar thyesën që rezulton.

Për të përcaktuar sipërfaqen e një trekëndëshi, mund të përdorni formula të ndryshme. Nga të gjitha metodat, më e lehta dhe më e përdorura është të shumëzoni lartësinë me gjatësinë e bazës dhe më pas të ndani rezultatin me dy. Sidoqoftë, kjo metodë është larg nga e vetmja. Më poshtë mund të lexoni se si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur formula të ndryshme.

Më vete, ne do të shikojmë mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e llojeve të veçanta të trekëndëshave - drejtkëndëshe, izosceles dhe barabrinjës. Ne e shoqërojmë secilën formulë me një shpjegim të shkurtër që do t'ju ndihmojë të kuptoni thelbin e saj.

Metodat universale për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi

Formulat e mëposhtme përdorin shënime të veçanta. Ne do të deshifrojmë secilën prej tyre:

a, b, c – gjatësitë e tri brinjëve të figurës që po shqyrtojmë;
r është rrezja e rrethit që mund të futet në trekëndëshin tonë;
R është rrezja e rrethit që mund të përshkruhet rreth tij;
α është madhësia e këndit të formuar nga brinjët b dhe c;
β është madhësia e këndit ndërmjet a dhe c;
γ është madhësia e këndit të formuar nga brinjët a dhe b;
h është lartësia e trekëndëshit tonë, e ulur nga këndi α në brinjën a;
p – gjysma e shumës së brinjëve a, b dhe c.

Është logjikisht e qartë pse ju mund të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi në këtë mënyrë. Trekëndëshi mund të plotësohet lehtësisht në një paralelogram, në të cilin njëra anë e trekëndëshit do të veprojë si një diagonale. Sipërfaqja e një paralelogrami gjendet duke shumëzuar gjatësinë e njërës anë të tij me vlerën e lartësisë së tërhequr në të. Diagonalja e ndan këtë paralelogram të kushtëzuar në 2 trekëndësha identikë. Prandaj, është mjaft e qartë se zona e trekëndëshit tonë origjinal duhet të jetë e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së këtij paralelogrami ndihmës.

S=½ a b sin γ

Sipas kësaj formule, sipërfaqja e një trekëndëshi gjendet duke shumëzuar gjatësitë e dy brinjëve të tij, domethënë a dhe b, me sinusin e këndit të formuar prej tyre. Kjo formulë rrjedh logjikisht nga ajo e mëparshme. Nëse e ulim lartësinë nga këndi β në brinjën b, atëherë, sipas vetive të trekëndëshit kënddrejtë, kur shumëzojmë gjatësinë e brinjës a me sinusin e këndit γ, fitojmë lartësinë e trekëndëshit, domethënë h. .

Zona e figurës në fjalë gjendet duke shumëzuar gjysmën e rrezes së rrethit që mund të futet në të me perimetrin e saj. Me fjalë të tjera, gjejmë prodhimin e gjysmëperimetrit dhe rrezes së rrethit të përmendur.

S= a b c/4R

Sipas kësaj formule, vlera që na nevojitet mund të gjendet duke e ndarë produktin e anëve të figurës me 4 rreze të rrethit të përshkruar rreth saj.

Këto formula janë universale, pasi ato bëjnë të mundur përcaktimin e sipërfaqes së çdo trekëndëshi (shkallë, izosceles, barabrinjës, drejtkëndësh). Kjo mund të bëhet duke përdorur llogaritjet më komplekse, në të cilat nuk do të ndalemi në detaje.

Zonat e trekëndëshave me veti specifike

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë? E veçanta e kësaj figure është se dy anët e saj janë njëkohësisht lartësitë e saj. Nëse a dhe b janë këmbë, dhe c bëhet hipotenuzë, atëherë e gjejmë zonën si kjo:

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh? Ka dy brinjë me gjatësi a dhe një anë me gjatësi b. Rrjedhimisht, sipërfaqja e saj mund të përcaktohet duke pjesëtuar me 2 prodhimin e katrorit të brinjës a me sinusin e këndit γ.

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës? Në të, gjatësia e të gjitha anëve është e barabartë me a, dhe madhësia e të gjitha këndeve është α. Lartësia e tij është e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së anës a dhe rrënjës katrore prej 3. Për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt, duhet të shumëzoni katrorin e anës a me rrënjën katrore 3 dhe të ndani me 4.

Siç mund ta mbani mend nga kurrikula juaj e gjeometrisë së shkollës, një trekëndësh është një figurë e formuar nga tre segmente të lidhura nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Një trekëndësh formon tre kënde, prandaj emri i figurës. Përkufizimi mund të jetë i ndryshëm. Një trekëndësh mund të quhet edhe shumëkëndësh me tre kënde, përgjigja gjithashtu do të jetë e saktë. Trekëndëshat ndahen sipas numrit të brinjëve të barabarta dhe madhësisë së këndeve në figura. Kështu, trekëndëshat dallohen përkatësisht si dykëndësh, barabrinjës dhe skalenë, si dhe drejtkëndësh, akute dhe të trashë.

Ka shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Zgjidhni si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, d.m.th. Cila formulë të përdorni varet nga ju. Por vlen të përmendet vetëm disa nga shënimet që përdoren në shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Pra, mbani mend:

S është zona e trekëndëshit,

a, b, c janë brinjët e trekëndëshit,

h është lartësia e trekëndëshit,

R është rrezja e rrethit të rrethuar,

p është gjysmëperimetri.

Këtu janë shënimet bazë që mund të jenë të dobishme për ju nëse keni harruar plotësisht kursin tuaj të gjeometrisë. Më poshtë janë opsionet më të kuptueshme dhe të pakomplikuara për llogaritjen e zonës së panjohur dhe misterioze të një trekëndëshi. Nuk është e vështirë dhe do të jetë e dobishme si për nevojat tuaja shtëpiake ashtu edhe për të ndihmuar fëmijët tuaj. Le të kujtojmë se si të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi sa më lehtë që të jetë e mundur:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit është: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm katrore. Mos harroni se sipërfaqja matet në centimetra katrorë (cm katror).

Trekëndëshi kënddrejtë dhe sipërfaqja e tij.

Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh në të cilin një kënd është i barabartë me 90 gradë (prandaj quhet i drejtë). Një kënd i drejtë formohet nga dy vija pingule (në rastin e një trekëndëshi, dy segmente pingul). Në një trekëndësh kënddrejtë mund të ketë vetëm një kënd të drejtë, sepse... shuma e të gjitha këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me 180 gradë. Rezulton se 2 kënde të tjera duhet të ndajnë 90 gradët e mbetura, për shembull 70 dhe 20, 45 dhe 45, etj. Pra, ju mbani mend gjënë kryesore, gjithçka që mbetet është të zbuloni se si të gjeni zonën e një trekëndëshi kënddrejtë. Le të imagjinojmë se kemi një trekëndësh të tillë kënddrejtë përpara dhe duhet të gjejmë zonën e tij S.

1. Mënyra më e thjeshtë për të përcaktuar sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë është: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

Në parim, nuk ka më nevojë të verifikohet zona e trekëndëshit në mënyra të tjera, sepse Vetëm kjo do të jetë e dobishme dhe do të ndihmojë në jetën e përditshme. Por ka edhe mundësi për matjen e zonës së një trekëndëshi përmes këndeve akute.

2. Për metodat e tjera të llogaritjes, duhet të keni një tabelë të kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve. Gjykoni vetë, këtu janë disa opsione për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë që mund të përdoret akoma:

Ne vendosëm të përdorim formulën e parë dhe me disa njolla të vogla (e vizatuam në një fletore dhe përdorëm një vizore dhe raportor të vjetër), por morëm llogaritjen e saktë:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Ne morëm rezultatet e mëposhtme: 3.6=3.7, por duke marrë parasysh zhvendosjen e qelizave, mund ta falim këtë nuancë.

Trekëndëshi dykëndësh dhe sipërfaqja e tij.

Nëse jeni përballur me detyrën e llogaritjes së formulës për një trekëndësh dykëndësh, atëherë mënyra më e lehtë është të përdorni formulën kryesore dhe atë që konsiderohet të jetë formula klasike për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Por së pari, përpara se të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, le të zbulojmë se çfarë lloj figure është. Një trekëndësh dykëndësh është një trekëndësh në të cilin dy brinjë kanë të njëjtën gjatësi. Këto dy anë quhen anësore, ana e tretë quhet bazë. Mos e ngatërroni një trekëndësh dykëndësh me një trekëndësh barabrinjës, d.m.th. një trekëndësh i rregullt me të tri brinjët të barabarta. Në një trekëndësh të tillë nuk ka prirje të veçanta për këndet, ose më mirë për madhësinë e tyre. Sidoqoftë, këndet në bazën në një trekëndësh izoscelorë janë të barabartë, por të ndryshëm nga këndi midis brinjëve të barabarta. Pra, ju tashmë e dini formulën e parë dhe kryesore, mbetet të zbuloni se cilat formula të tjera për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi izosceles janë të njohura:

Një trekëndësh është figura më e thjeshtë gjeometrike, e cila përbëhet nga tre brinjë dhe tre kulme. Për shkak të thjeshtësisë së tij, trekëndëshi është përdorur që nga kohërat e lashta për të marrë matje të ndryshme, dhe sot figura mund të jetë e dobishme për zgjidhjen e problemeve praktike dhe të përditshme.

Karakteristikat e një trekëndëshi

Shifra është përdorur për llogaritjet që nga kohërat e lashta, për shembull, anketuesit e tokës dhe astronomët operojnë me vetitë e trekëndëshave për të llogaritur sipërfaqet dhe distancat. Është e lehtë të shprehësh sipërfaqen e çdo n-gon përmes sipërfaqes së kësaj figure, dhe kjo veti u përdor nga shkencëtarët e lashtë për të nxjerrë formula për zonat e shumëkëndëshave. Puna e vazhdueshme me trekëndëshat, veçanërisht trekëndëshi kënddrejtë, u bë baza për një degë të tërë të matematikës - trigonometri.

Gjeometria e trekëndëshit

Vetitë e figurës gjeometrike janë studiuar që nga kohërat e lashta: informacioni më i hershëm për trekëndëshin u gjet në papiruset egjiptiane nga 4000 vjet më parë. Më pas figura u studiua në Greqinë e Lashtë dhe kontributin më të madh në gjeometrinë e trekëndëshit e dhanë Euklidi, Pitagora dhe Heroni. Studimi i trekëndëshit nuk pushoi kurrë dhe në shekullin e 18-të, Leonhard Euler prezantoi konceptin e qendrës ortoqendrore të një figure dhe rrethit të Euler-it. Në kthesën e shekujve 19 dhe 20, kur dukej se dihej absolutisht gjithçka për trekëndëshin, Frank Morley formuloi teoremën mbi tresektorët e këndit dhe Waclaw Sierpinski propozoi trekëndëshin fraktal.

Ekzistojnë disa lloje të trekëndëshave të sheshtë që janë të njohur për ne nga kurset e gjeometrisë shkollore:

akute - të gjitha qoshet e figurës janë akute;
i mpirë - figura ka një kënd të mpirë (më shumë se 90 gradë);
drejtkëndëshe - figura përmban një kënd të drejtë të barabartë me 90 gradë;
isosceles - një trekëndësh me dy anët e barabarta;
barabrinjës - një trekëndësh me të gjitha anët e barabarta.
Ekzistojnë të gjitha llojet e trekëndëshave në jetën reale, dhe në disa raste mund të na duhet të llogarisim sipërfaqen e një figure gjeometrike.

Sipërfaqja e një trekëndëshi

Sipërfaqja është një vlerësim se sa pjesë e rrafshit përfshin një figurë. Zona e një trekëndëshi mund të gjendet në gjashtë mënyra, duke përdorur brinjët, lartësinë, këndet, rrezen e rrethit të brendashkruar ose të rrethuar, si dhe duke përdorur formulën e Heronit ose duke llogaritur integralin e dyfishtë përgjatë vijave që kufizojnë rrafshin. Formula më e thjeshtë për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi është:

ku a është brinja e trekëndëshit, h është lartësia e tij.

Sidoqoftë, në praktikë nuk është gjithmonë e përshtatshme për ne të gjejmë lartësinë e një figure gjeometrike. Algoritmi i kalkulatorit tonë ju lejon të llogaritni zonën duke ditur:

tre anët;
dy anët dhe këndi ndërmjet tyre;
një anë dhe dy qoshe.

Për të përcaktuar zonën përmes tre anëve, ne përdorim formulën e Heronit:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

ku p është gjysmëperimetri i trekëndëshit.

Sipërfaqja në dy anët dhe një kënd llogaritet duke përdorur formulën klasike:

S = a × b × sin(alfa),

ku alfa është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b.

Për të përcaktuar zonën në terma të njërës anë dhe dy këndeve, ne përdorim marrëdhënien që:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Duke përdorur një proporcion të thjeshtë, ne përcaktojmë gjatësinë e anës së dytë, pas së cilës llogarisim sipërfaqen duke përdorur formulën S = a × b × sin(alfa). Ky algoritëm është plotësisht i automatizuar dhe ju duhet vetëm të futni variablat e specifikuara dhe të merrni rezultatin. Le të shohim disa shembuj.

Shembuj nga jeta

Pllaka shtrimi

Le të themi se dëshironi të shtroni dyshemenë me pllaka trekëndore dhe për të përcaktuar sasinë e materialit të nevojshëm, duhet të dini sipërfaqen e një pllake dhe sipërfaqen e dyshemesë. Supozoni se ju duhet të përpunoni 6 metra katrorë sipërfaqe duke përdorur një pllakë, dimensionet e së cilës janë a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Natyrisht, për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi, kalkulatori përdor formulën e Heronit dhe jep. Rezultati:

Kështu, sipërfaqja e një elementi pllake do të jetë 0,021 metra katrorë, dhe do t'ju nevojiten 6/0,021 = 285 trekëndësha për përmirësimin e dyshemesë. Numrat 20, 21 dhe 29 formojnë një numër të trefishtë të Pitagorës që plotësojnë . Dhe kjo është e drejtë, kalkulatori ynë gjithashtu llogariti të gjitha këndet e trekëndëshit, dhe këndi gama është saktësisht 90 gradë.

Detyrë shkollore

Në një problem shkollor, ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, duke ditur që brinja a = 5 cm, dhe këndet alfa dhe beta janë përkatësisht 30 dhe 50 gradë. Për ta zgjidhur këtë problem me dorë, së pari do të gjenim vlerën e anës b duke përdorur proporcionin e raportit të pamjes dhe sinuseve të këndeve të kundërta, dhe më pas do të përcaktonim sipërfaqen duke përdorur formulën e thjeshtë S = a × b × sin(alfa). Le të kursejmë kohë, të futim të dhënat në formularin e kalkulatorit dhe të marrim një përgjigje të menjëhershme

Kur përdorni kalkulatorin, është e rëndësishme të tregoni saktë këndet dhe anët, përndryshe rezultati do të jetë i pasaktë.

konkluzioni

Trekëndëshi është një figurë unike që gjendet si në jetën reale ashtu edhe në llogaritjet abstrakte. Përdorni kalkulatorin tonë në internet për të përcaktuar sipërfaqen e trekëndëshave të çdo lloji.