Funksioni po rritet për të gjitha vlerat reale të x. Diferencimi i një funksioni eksponencial

Ofron të dhëna referencë për funksionin eksponencial - vetitë bazë, grafikët dhe formulat. Shqyrtohen këto tema: fusha e përkufizimit, bashkësia e vlerave, monotonia, funksioni i anasjelltë, derivati, integrali, zgjerimi i serive të fuqisë dhe përfaqësimi me numra kompleks.

Përkufizimi

Funksioni eksponencialështë një përgjithësim i prodhimit të n numrave të barabartë me a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
në bashkësinë e numrave realë x:
y (x) = a x.
Këtu a është një numër real fiks, i cili quhet baza e funksionit eksponencial.
Një funksion eksponencial me bazë a quhet gjithashtu eksponent ndaj bazës a.

Përgjithësimi kryhet si më poshtë.
Për x natyral = 1, 2, 3,... , funksioni eksponencial është produkt i x faktorëve:
.
Për më tepër, ai ka veti (1.5-8) (), të cilat rrjedhin nga rregullat për shumëzimin e numrave. Për vlerat zero dhe negative të numrave të plotë, funksioni eksponencial përcaktohet duke përdorur formulat (1.9-10). Për vlerat thyesore x = m/n numra racionalë, , përcaktohet me formulën (1.11). Për reale, funksioni eksponencial përcaktohet si kufiri i sekuencës:
,
ku është një sekuencë arbitrare e numrave racionalë që konvergojnë në x: .
Me këtë përkufizim, funksioni eksponencial përcaktohet për të gjitha , dhe plotëson vetitë (1.5-8), si për x natyral.

Një formulim rigoroz matematik i përkufizimit të një funksioni eksponencial dhe vërtetimi i vetive të tij është dhënë në faqen "Përkufizimi dhe vërtetimi i vetive të një funksioni eksponencial".

Vetitë e funksionit eksponencial

Funksioni eksponencial y = a x ka këto veti në bashkësinë e numrave realë ():
(1.1) të përcaktuara dhe të vazhdueshme, për , për të gjithë;
(1.2) për një ≠ 1 ka shumë kuptime;
(1.3) rritet rreptësisht në, zvogëlohet rreptësisht në,
është konstante në ;
(1.4) në ;
në ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula të tjera të dobishme.
.
Formula për konvertimin në një funksion eksponencial me një bazë të ndryshme eksponenciale:

Kur b = e, marrim shprehjen e funksionit eksponencial përmes eksponencialit:

Vlerat private

, , , , .

Figura tregon grafikët e funksionit eksponencial
y (x) = a x
për katër vlera bazat e shkallës: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dhe a = 1/8 . Mund të shihet se për një > 1 funksioni eksponencial rritet në mënyrë monotonike. Sa më e madhe të jetë baza e shkallës a, aq më e fortë është rritja. Në 0 < a < 1 funksioni eksponencial zvogëlohet në mënyrë monotonike. Sa më i vogël të jetë eksponenti a, aq më i fortë është ulja.

Duke u ngjitur, duke zbritur

Funksioni eksponencial për është rreptësisht monoton dhe për këtë arsye nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

	y = a x, a > 1	y = sëpatë, 0 < a < 1
Domeni	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama e vlerave	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Zero, y = 0	Nr	Nr
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një funksioni eksponencial me bazë a është logaritmi me bazën a.

Nese atehere
.
Nese atehere
.

Diferencimi i një funksioni eksponencial

Për të diferencuar një funksion eksponencial, baza e tij duhet të reduktohet në numrin e, të zbatohet tabela e derivateve dhe rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks.

Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni vetinë e logaritmeve
dhe formula nga tabela e derivateve:
.

Le të jepet një funksion eksponencial:
.
Ne e sjellim atë në bazën e:

Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin

Pastaj

Nga tabela e derivateve kemi (zëvendësojmë variablin x me z):
.
Meqenëse është një konstante, derivati i z në lidhje me x është i barabartë me
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:
.

Derivat i një funksioni eksponencial

.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Një shembull i diferencimit të një funksioni eksponencial

Gjeni derivatin e një funksioni
y = 3 5 x

Zgjidhje

Le të shprehim bazën e funksionit eksponencial përmes numrit e.
3 = e ln 3
Pastaj
.
Futni një ndryshore
.
Pastaj

Nga tabela e derivateve gjejmë:
.
Sepse 5ln 3është një konstante, atëherë derivati i z në lidhje me x është i barabartë me:
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi:
.

Përgjigju

Integrale

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
f (z) = a z
ku z = x + iy; i 2 = - 1 .
Le të shprehim konstanten komplekse a në terma të modulit r dhe argumentit φ:
a = r e i φ
Pastaj

.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Në përgjithësi
φ = φ 0 + 2 πn,
ku n është një numër i plotë. Prandaj funksioni f (z) gjithashtu nuk është e qartë. Rëndësia e tij kryesore shpesh konsiderohet
.

Zgjerimi i serisë

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Gjimnazi rus

ABSTRAKT

E përfunduar

nxënës i klasës 10 "F" Burmistrov Sergey

Mbikëqyrësi

mësues i matematikës

Yulina O.A.

Nizhny Novgorod

Funksioni dhe vetitë e tij

Funksioni- varësia e ndryshueshme në nga ndryshorja x , nëse çdo vlerë X përputhet me një vlerë të vetme në .

Ndryshore x- variabël ose argument i pavarur.

Ndryshorja y- ndryshore e varur

Vlera e funksionit - kuptimi në, që korrespondon me vlerën e specifikuar X .

Shtrirja e funksionit është të gjitha vlerat që merr ndryshorja e pavarur.

Gama e funksionit (bashkësia e vlerave) - të gjitha vlerat që pranon funksioni.

Funksioni është i barabartë - nëse për dikë X f(x)=f(-x)

Funksioni është tek- nëse për dikë X nga fusha e përcaktimit të funksionit barazia f(-x)=-f(x)

Rritja e funksionit - nëse për ndonjë x 1 Dhe x 2, sikurse x 1 < x 2, pabarazia qëndron f( x 1 ) x 2 )

Funksioni në rënie - nëse për ndonjë x 1 Dhe x 2, sikurse x 1 < x 2, pabarazia qëndron f( x 1 )>f( x 2 )

Metodat për përcaktimin e një funksioni

¨ Për të përcaktuar një funksion, duhet të specifikoni një mënyrë në të cilën për secilën vlerë të argumentit mund të gjendet vlera përkatëse e funksionit. Mënyra më e zakonshme për të specifikuar një funksion është përdorimi i një formule në =f(x), Ku f(x)- shprehje me një ndryshore X. Në këtë rast, ata thonë se funksioni jepet me një formulë ose se funksioni është dhënë në mënyrë analitike.

¨ Në praktikë përdoret shpesh tabelare mënyrë për të specifikuar një funksion. Me këtë metodë, ofrohet një tabelë që tregon vlerat e funksionit për vlerat e argumenteve të disponueshme në tabelë. Shembuj të funksioneve të tabelës janë një tabelë me katrorë dhe një tabelë me kube.

Llojet e funksioneve dhe vetitë e tyre

1) Funksioni i vazhdueshëm - funksioni i dhënë me formulë y= b , Ku b- ndonjë numër. Grafiku i funksionit konstant y=b është një drejtëz paralele me boshtin e abshisave dhe që kalon në pikën (0;b) në boshtin e ordinatave.

2) Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë - funksioni i dhënë me formulë y= kx , ku k¹0. Numri k thirrur faktor proporcionaliteti .

Karakteristikat e funksionit y=kx :

1. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë

2. y=kx- funksion tek

3. Kur k>0 funksioni rritet, dhe kur k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Funksioni linear- funksioni, i cili jepet nga formula y=kx+b, Ku k Dhe b - numra realë. Nëse në veçanti k=0, atëherë marrim një funksion konstant y=b; Nëse b=0, atëherë marrim proporcionalitet të drejtpërdrejtë y=kx .

Karakteristikat e funksionit y=kx+b :

1. Domeni - grupi i të gjithë numrave realë

2. Funksioni y=kx+b forma e përgjithshme, d.m.th. as çift e as tek.

3. Kur k>0 funksioni rritet, dhe kur k<0 убывает на всей числовой прямой

Grafiku i funksionit është drejt .

4)proporcionaliteti i kundërt - funksioni i dhënë me formulë y=k /X, ku k¹0 Numri k thirrur koeficienti i proporcionalitetit të anasjelltë.

Karakteristikat e funksionit y=k / x:

1. Domeni - bashkësia e të gjithë numrave realë përveç zeros

2. y=k / x - funksion tek

3. Nëse k>0, atëherë funksioni zvogëlohet në intervalin (0;+¥) dhe në intervalin (-¥;0). Nëse k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Grafiku i funksionit është hiperbolë .

5)Funksioni y=x2

Karakteristikat e funksionit y=x2:

2. y=x2 - madje funksion

3. Në interval funksioni zvogëlohet

Grafiku i funksionit është parabolë .

6)Funksioni y=x 3

Karakteristikat e funksionit y=x 3:

1. Domeni i përkufizimit - e gjithë rreshti numerik

2. y=x 3 - funksion tek

3. Funksioni rritet përgjatë gjithë vijës numerike

Grafiku i funksionit është parabolë kubike

7)Funksioni i fuqisë me eksponent natyror - funksioni i dhënë me formulë y=xn, Ku n- numri natyror. Kur n=1 marrim funksionin y=x, vetitë e tij diskutohen në paragrafin 2. Për n=2;3 marrim funksionet y=x 2 ; y=x 3 . Karakteristikat e tyre janë diskutuar më lart.

Le të jetë n një numër çift arbitrar më i madh se dy: 4,6,8... Në këtë rast, funksioni y=xn ka të njëjtat veti si funksioni y=x 2. Grafiku i funksionit i ngjan një parabole y=x 2, vetëm degët e grafikut për |x|>1 ngrihen më pjerrët sa n më e madhe, dhe për |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: 5,7,9... Në këtë rast, funksioni y=xn ka të njëjtat veti si funksioni y=x 3 . Grafiku i funksionit i ngjan një parabole kubike.

8)Funksioni i fuqisë me një eksponent negativ të numrit të plotë - funksioni i dhënë me formulë y=x -n , Ku n- numri natyror. Për n=1 marrim y=1/x vetitë e këtij funksioni janë diskutuar në paragrafin 4.

Le të jetë n një numër tek më i madh se një: 3,5,7... Në këtë rast, funksioni y=x -n ka në thelb të njëjtat veti si funksioni y=1/x.

Le të jetë n një numër çift, për shembull n=2.

Karakteristikat e funksionit y=x -2 :

1. Funksioni është përcaktuar për të gjitha x¹0

2. y=x -2 - madje funksion

3. Funksioni zvogëlohet me (0;+¥) dhe rritet me (-¥;0).

Çdo funksion me n më të madh se dy kanë të njëjtat veti.

9)Funksioni y= Ö X

Karakteristikat e funksionit y= Ö X :

1. Domeni i përkufizimit - rreze.
Gama e vlerave të funksionit është hapësirë [1; 3].
1. Në x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, vlera e funksionit është zero.
Vlera e argumentit në të cilën vlera e funksionit është zero quhet funksion zero.
//ato. për këtë funksion numrat janë -3;-1;1,5; 4.5 janë zero.
2. Në intervale [4.5; 3) dhe (1; 1.5) dhe (4.5; 5.5] grafiku i funksionit f ndodhet mbi boshtin e abshisave, dhe në intervalet (-3; -1) dhe (1.5; 4.5) nën boshtin e boshtit, kjo shpjegohet si më poshtë: në intervalet [ 4.5; 3) dhe (1; 1.5) dhe (4.5; 5.5] funksioni merr vlera pozitive, dhe në intervalet (-3; -1) dhe (1.5; 4.5) negative.
Secili nga intervalet e treguara (ku funksioni merr vlera të së njëjtës shenjë) quhet intervali i shenjës konstante të funksionit f.//d.m.th. për shembull, nëse marrim intervalin (0; 3), atëherë ai nuk është një interval i shenjës konstante të këtij funksioni.
Në matematikë, kur kërkoni për intervale të shenjës konstante të një funksioni, është e zakonshme të tregohen intervale me gjatësi maksimale. //Ato. intervali (2; 3) është intervali i qëndrueshmërisë së shenjës funksioni f, por përgjigja duhet të përfshijë intervalin [4.5; 3) që përmban intervalin (2; 3).
3. Nëse lëvizni përgjatë boshtit x nga 4.5 në 2, do të vini re se grafiku i funksionit zbret, domethënë zvogëlohen vlerat e funksionit. //Në matematikë është zakon të thuhet se në intervalin [4.5; 2] funksioni zvogëlohet.
Ndërsa x rritet nga 2 në 0, grafiku i funksionit rritet, d.m.th. vlerat e funksionit rriten. //Në matematikë është zakon të thuhet se në intervalin [ 2; 0] funksioni rritet.
Një funksion f thirret nëse për çdo dy vlera të argumentit x1 dhe x2 nga ky interval i tillë që x2 > x1, vlen pabarazia f (x2) > f (x1). // ose thirret funksioni duke u rritur gjatë një farë intervali, nëse për ndonjë vlerë të argumentit nga ky interval, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.//d.m.th. sa më shumë x, aq më shumë y.
Funksioni f quhet zvogëlohet me një interval, nëse për çdo dy vlera të argumentit x1 dhe x2 nga ky interval të tillë që x2 > x1, pabarazia f(x2) zvogëlohet në një interval, nëse për ndonjë vlerë të argumentit nga ky interval vlera më e madhe i argumentit korrespondon me vlerën më të vogël të funksionit. //ato. sa më shumë x, aq më pak y.
Nëse një funksion rritet në të gjithë domenin e përkufizimit, atëherë ai thirret në rritje.
Nëse një funksion zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit, atëherë ai thirret në rënie.
Shembulli 1. grafiku i funksioneve zmadhuese dhe zvogëluese përkatësisht.
Shembulli 2.
Përcaktoni fenomenin. Funksioni linear f(x) = 3x + 5 është në rritje apo në rënie?
Dëshmi. Le të përdorim përkufizimet. Le të jenë x1 dhe x2 vlera arbitrare të argumentit, dhe x1< x2., например х1=1, х2=7

Funksioni zero
Zero e një funksioni është vlera X, në të cilën funksioni kthehet në 0, pra f(x)=0.
Zerot janë pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oh.
Barazia e funksionit
Një funksion thirret edhe nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = f(x).

Një funksion i barabartë është simetrik rreth boshtit OU
Funksioni i barazisë tek
Një funksion quhet tek nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = -f(x).

Një funksion tek është simetrik në lidhje me origjinën.
Një funksion që nuk është as çift dhe as tek quhet funksion i përgjithshëm.
Funksioni në rritje
Një funksion f(x) thuhet se është në rritje nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, d.m.th.
Funksioni zbritës
Një funksion f(x) quhet zvogëlues nëse një vlerë më e madhe e argumentit i korrespondon një vlere më të vogël të funksionit, d.m.th.

Quhen intervalet në të cilat funksioni ose zvogëlohet ose vetëm rritet intervalet e monotonisë. Funksioni f(x) ka 3 intervale të monotonitetit:

Gjeni intervalet e monotonitetit duke përdorur shërbimin Intervalet e funksionit të rritjes dhe zvogëlimit
Maksimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë maksimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) > f(x)
Minimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë minimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0)< f(x).

Pikat maksimale lokale dhe pikat minimale lokale quhen pika ekstreme lokale.

pikat ekstreme lokale.
Frekuenca e funksionit
Funksioni f(x) quhet periodik, me pikë T, nëse për ndonjë X vlen barazia f(x+T) = f(x).
Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave
Intervalet në të cilat funksioni është ose vetëm pozitiv ose vetëm negativ quhen intervale të shenjës konstante.

Vazhdimësia e funksionit
Një funksion f(x) quhet i vazhdueshëm në një pikë x 0 nëse kufiri i funksionit si x → x 0 është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë, d.m.th. .
Pikat e pushimit
Pikat në të cilat cenohet kushti i vazhdimësisë quhen pika të ndërprerjes së funksionit.

x 0- pika e thyerjes.
Skema e përgjithshme për vizatimin e funksioneve
1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit D(y).
2. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksioneve me boshtet koordinative.
3. Shqyrtoni funksionin për çift ose tek.
4. Shqyrtoni funksionin për periodicitet.
5. Gjeni intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit.
6. Gjeni intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të funksionit.
7. Gjeni asimptotat e funksionit.
8. Bazuar në rezultatet e hulumtimit, ndërtoni një grafik.
Shembull: Eksploroni funksionin dhe vizatoni atë: y = x 3 – 3x
1) Funksioni përcaktohet në të gjithë boshtin numerik, d.m.th. domeni i përkufizimit të tij është D(y) = (-∞; +∞).
2) Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave:
me boshtin OX: zgjidhni ekuacionin x 3 – 3x = 0
me bosht OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Gjeni nëse funksioni është çift apo tek:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Nga kjo rrjedh se funksioni është tek.
4) Funksioni është jo periodik.
5) Le të gjejmë intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit: y’ = 3x 2 - 3.
Pikat kritike: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Gjeni intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të funksionit: y’’ = 6x
Pikat kritike: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) Funksioni është i vazhdueshëm, nuk ka asimptota.
8) Bazuar në rezultatet e studimit, ne do të ndërtojmë një grafik të funksionit.