Problemi i gjetjes së zgjidhjeve për një sistem prej n ekuacionesh jolineare algjebrike ose transcendentale me n të panjohura të formës

konsiderohet gjerësisht në praktikën informatike. Sisteme të ngjashme ekuacionesh mund të lindin, për shembull, gjatë modelimit numerik të sistemeve fizike jolineare në fazën e kërkimit të gjendjeve të tyre të palëvizshme. Në një sërë rastesh, sistemet e formës (6.1) fitohen në mënyrë indirekte, në procesin e zgjidhjes së ndonjë problemi tjetër llogaritës. Për shembull, kur përpiqeni të minimizoni një funksion të disa ndryshoreve, mund të kërkoni ato pika në hapësirën shumëdimensionale ku gradienti i funksionit është zero. Në këtë rast, është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve (6.1) me anët e majta - projeksionet e gradientit në akset koordinative.

Në shënimin vektorial, sistemi (6.1) mund të shkruhet në një formë më kompakte

kolona vektoriale e funksioneve, simboli () T tregon veprimin e transponimit

Gjetja e zgjidhjeve për një sistem ekuacionesh jolineare është një detyrë shumë më komplekse sesa zgjidhja e një ekuacioni të vetëm jolinear. Megjithatë, një sërë metodash përsëritëse për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare mund të shtrihen në sistemet e ekuacioneve jolineare.

Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Metoda e thjeshtë e përsëritjes për sistemet e ekuacioneve jolineare është në thelb një përgjithësim i metodës me të njëjtin emër për një ekuacion. Bazohet në faktin se sistemi i ekuacioneve (6.1) është reduktuar në formë

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

dhe përsëritjet kryhen sipas formulave

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 ) = g 2 (x 1 (k ) x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1)= g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).

Këtu mbishkrimi tregon numrin e përafërt. Procesi përsëritës (6.3) fillon me një përafrim fillestar

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) dhe vazhdoni deri në modulet e rritjes

të gjithë argumentet pas një përsëritjeje k nuk do të bëhen më pak se një vlerë e dhënë ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Megjithëse metoda e thjeshtë e përsëritjes çon drejtpërdrejt në një zgjidhje dhe është e lehtë për t'u programuar, ajo ka dy disavantazhe të rëndësishme. Një prej tyre është konvergjenca e ngadaltë. Një tjetër është se nëse përafrimi fillestar zgjidhet larg zgjidhjes së vërtetë (X 1,X 2,…,X n), atëherë konvergjenca

metoda nuk është e garantuar. Është e qartë se problemi i zgjedhjes së një përafrimi fillestar, i cili nuk është i thjeshtë as për një ekuacion, bëhet shumë kompleks për sistemet jolineare.

Zgjidh një sistem ekuacionesh jolineare:

Nuk ka metoda të drejtpërdrejta për zgjidhjen e sistemeve jolineare të formës së përgjithshme. Vetëm në raste të caktuara sistemi (4.1) mund të zgjidhet drejtpërdrejt. Për shembull, në rastin e dy ekuacioneve, ndonjëherë është e mundur të shprehet një e panjohur në terma të tjetrës dhe kështu ta reduktojmë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni jolinear në lidhje me një të panjohur.

Metodat përsëritëse zakonisht përdoren për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve jolineare.

Metoda e Njutonit

Në rastin e një ekuacioni F(x) = 0, algoritmi i metodës së Njutonit u përftua lehtësisht duke shkruar ekuacionet tangjente në kurbën y = F(x). Metoda e Njutonit për sistemet e ekuacioneve bazohet në përdorimin e zgjerimit të funksioneve F 1 (x 1 ...x n) në një seri Taylor, dhe termat që përmbajnë

derivatet ekzistuese të dytë (dhe më të larta) janë hedhur poshtë. Le të jenë të barabarta vlerat e përafërta të të panjohurave të sistemit (4.1).

përgjegjës a 1 ,a 2 ,....,a n . Detyra është të gjesh rritjet (nga

Le të zgjerojmë anët e majta të ekuacioneve (4.1) duke marrë parasysh zgjerimin e serisë Taylor, duke u kufizuar vetëm në termat linearë të relativit

Duke zëvendësuar sistemin (4.1), marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve algjebrike lineare për rritje:

x 2 = a 2, …x n = a n.

Përcaktori i sistemit (4.3) është jakobian:

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Që të ekzistojë një zgjidhje unike për sistemin, jakobiani duhet të jetë jo zero në çdo përsëritje.

Kështu, procesi përsëritës i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh me metodën e Njutonit konsiston në përcaktimin e rritjeve x 1, x 2, ..., x n në vlerat e të panjohurave në çdo përsëritje duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare ( 4.3). Numërimi ndalon nëse të gjitha shtesat bëhen të vogla në vlerë absolute: maxx i< ε . В ме-

Në metodën e Njutonit, një zgjedhje e suksesshme e përafrimit fillestar është gjithashtu e rëndësishme për të siguruar konvergjencë të mirë. Konvergjenca përkeqësohet me rritjen e numrit të ekuacioneve në sistem.

Si shembull, merrni parasysh përdorimin e metodës së Njutonit për të zgjidhur një sistem me dy ekuacione:

∂ ∂ F 1. x

Madhësitë në anën e djathtë llogariten në x = a,y = b.

Për shembull:

Le të vendosim detyrën për të gjetur e vlefshme rrënjët e këtij ekuacioni.

Dhe patjetër që ka! - nga artikujt rreth grafikët e funksioneve Dhe ekuacionet e matematikës së lartë ju e dini shumë mirë se cili është orari funksioni polinom shkallë tek e pret boshtin të paktën një herë, prandaj ekuacioni ynë ka të paktën një rrënjë e vërtetë. Një. Ose dy. Ose tre.

Së pari, ju lutet të kontrolloni disponueshmërinë racionale rrënjët. Sipas teorema përkatëse, vetëm numrat 1, –1, 3, –3 mund ta pretendojnë këtë “titull” dhe me zëvendësim të drejtpërdrejtë është e lehtë të sigurohesh që asnjëri prej tyre nuk “i përshtatet”. Kështu, vlerat irracionale mbeten. Rrënjët irracionale të një polinomi të shkallës 3 mund të gjenden pikërisht (shprehu përmes radikalëve) duke përdorur të ashtuquajturat Formulat Cardano , megjithatë, kjo metodë është mjaft e rëndë. Por për polinomet e shkallës së 5-të dhe më të lartë nuk ka fare metodë të përgjithshme analitike, dhe, përveç kësaj, në praktikë ka shumë ekuacione të tjera në të cilat vlerat e saktaështë e pamundur të merren rrënjë të vërteta (megjithëse ato ekzistojnë).

Megjithatë, në aplikuar (për shembull, inxhinieri) probleme, është më se e pranueshme të përdoren vlerat e përafërta të llogaritura me një saktësi të caktuar.

Le të vendosim saktësinë për shembullin tonë. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë një vlerë të tillë të përafërt të rrënjës (rrënjët) në të cilën ne ne jemi të garantuar të gabojmë jo më shumë se 0.001 (një e mijëta) .

Është absolutisht e qartë se zgjidhja nuk mund të fillojë "rastësisht" dhe për këtë arsye në hapin e parë rrënjët veçuar. Të ndash një rrënjë do të thotë të gjesh një segment mjaft të vogël (zakonisht të vetëm) të cilit i përket kjo rrënjë dhe në të cilin nuk ka rrënjë të tjera. Më e thjeshta dhe më e arritshme metoda grafike e ndarjes së rrënjëve. Le të ndërtojmë pikë për pikë grafiku i një funksioni :

Nga vizatimi rezulton se ekuacioni, me sa duket, ka një rrënjë të vetme reale që i përket segmentit. Në fund të këtij intervali funksioni merr vlerat e shenjave të ndryshme: , dhe nga fakti vazhdimësia e funksionit në segment Një mënyrë elementare për të sqaruar rrënjën është menjëherë e dukshme: ne ndajmë intervalin në gjysmë dhe zgjedhim segmentin në skajet e të cilit funksioni merr shenja të ndryshme. Në këtë rast, është padyshim një segment. Ne e ndajmë intervalin që rezulton në gjysmë dhe përsëri zgjedhim segmentin "shenjë të ndryshme". Dhe kështu me radhë. Veprimet e tilla vijuese quhen përsëritjet. Në këtë rast, ato duhet të kryhen derisa gjatësia e segmentit të bëhet më pak se dyfishi i saktësisë së llogaritjes, dhe mesi i segmentit të fundit "shenjë të ndryshme" duhet të zgjidhet si vlera e përafërt e rrënjës.

Skema e konsideruar mori një emër natyror - Metoda e gjysmëpjestimit. Dhe disavantazhi i kësaj metode është shpejtësia. Ngadalë. Kaq i ngadalshëm. Do të ketë shumë përsëritje përpara se të arrijmë saktësinë e kërkuar. Me zhvillimin e teknologjisë kompjuterike, kjo, natyrisht, nuk është problem, por matematika është ajo për të cilën është matematika, për të kërkuar zgjidhjet më racionale.

Dhe një nga mënyrat më efektive për të gjetur vlerën e përafërt të rrënjës është pikërisht metoda tangjente. Thelbi i shkurtër gjeometrik i metodës është si më poshtë: së pari, duke përdorur një kriter të veçantë (më shumë për këtë pak më vonë) zgjidhet një nga skajet e segmentit. Ky fund quhet fillestare përafrimi i rrënjës, në shembullin tonë: . Tani vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në abscissa (pika blu dhe tangjenta vjollcë):

Kjo tangjente kapërceu boshtin x në pikën e verdhë dhe vini re se në hapin e parë pothuajse "goditëm rrënjën"! do të jetë së pari qasje rrënjësore. Më pas, ne ulim pingulën e verdhë me grafikun e funksionit dhe "arrijme" në pikën portokalli. Ne përsëri tërheqim një tangjente përmes pikës portokalli, e cila do të presë boshtin edhe më afër rrënjës! Dhe kështu me radhë. Nuk është e vështirë të kuptohet se duke përdorur metodën tangjente, ne po i afrohemi qëllimit me hapa të mëdhenj dhe do të duhen fjalë për fjalë disa përsëritje për të arritur saktësinë.

Meqenëse tangjentja përcaktohet përmes derivat i funksionit, më pas ky mësim përfundoi në rubrikën “Derivatet” si një nga aplikimet e tij. Dhe pa hyrë në detaje arsyetimi teorik i metodës, do të shqyrtoj anën teknike të çështjes. Në praktikë, problemi i përshkruar më sipër ndodh afërsisht në formulimin e mëposhtëm:

Shembulli 1

Duke përdorur metodën grafike, gjeni intervalin në të cilin ndodhet rrënja reale e ekuacionit. Duke përdorur metodën e Njutonit, merrni një vlerë të përafërt të rrënjës me një saktësi prej 0,001

Këtu është një "version i kursyer" i detyrës, në të cilën menjëherë deklarohet prania e një rrënje të vetme të vlefshme.

Zgjidhje: në hapin e parë rrënja duhet të ndahet grafikisht. Kjo mund të bëhet duke komplotuar (shih ilustrimet e mësipërme), por kjo qasje ka një sërë disavantazhesh. Së pari, nuk është fakt që grafiku është i thjeshtë (nuk e dimë paraprakisht), dhe softueri nuk është gjithmonë pranë. Dhe së dyti (përfundim nga 1), me një probabilitet të konsiderueshëm rezultati nuk do të jetë as një vizatim skematik, por një vizatim i përafërt, i cili, natyrisht, nuk është i mirë.

Epo, pse na duhen vështirësi të panevojshme? Le të imagjinojmë ekuacionin në formë, ndërtoni me kujdes grafikët dhe shënoni rrënjën në vizatim (Koordinata "X" e pikës së kryqëzimit të grafikëve):

Avantazh i dukshëm këtë metodëështë se grafikët e këtyre funksioneve ndërtohen me dorë shumë më saktë dhe shumë më shpejt. Nga rruga, vini re se drejt të kryqëzuara parabolë kubike në një pikë të vetme, që do të thotë se ekuacioni i propozuar ka në fakt vetëm një rrënjë reale. Beso por verifiko ;-)

Pra, "klienti" ynë i përket segmentit dhe "nga syri" është afërsisht i barabartë me 0.65-0.7.

Në hapin e dytë duhet të zgjedhin përafrimi fillestar rrënjë Zakonisht ky është një nga skajet e segmentit. Përafrimi fillestar duhet të plotësojë kushtin e mëposhtëm:

Le të gjejmë së pari Dhe e dyta funksionet e prejardhura :

dhe kontrolloni skajin e majtë të segmentit:

Kështu, zero "nuk përshtatej".

Kontrollimi i skajit të djathtë të segmentit:

- Cdo gje eshte ne rregull! Ne zgjedhim si përafrim fillestar.

Në hapin e tretë Na pret rruga drejt rrënjës. Çdo përafrim i mëpasshëm i rrënjës llogaritet nga të dhënat e mëparshme duke përdorur sa vijon të përsëritura formulat:

Procesi përfundon kur plotësohet kushti, ku është një saktësi llogaritje e paracaktuar. Si rezultat, përafrimi “n” merret si vlerë e përafërt e rrënjës: .

Më tej janë llogaritjet rutinë:

(rrumbullakimi zakonisht kryhet në 5-6 shifra dhjetore)

Meqenëse vlera e fituar është më e madhe se , ne vazhdojmë në përafrimin e parë të rrënjës:

Ne llogarisim:

, kështu që ekziston nevoja për të kaluar në përafrimin e 2-të:

Kalojmë në raundin tjetër:

, pra, përsëritjet përfundojnë dhe përafrimi i dytë duhet të merret si vlera e përafërt e rrënjës, e cila, në përputhje me saktësinë e dhënë, duhet të rrumbullakoset në një të mijtën:

Në praktikë, është e përshtatshme të futni rezultatet e llogaritjeve në një tabelë në mënyrë që të shkurtoni disi hyrjen, një fraksion shpesh shënohet me:

Nëse është e mundur, është më mirë të kryeni vetë llogaritjet në Excel - është shumë më i përshtatshëm dhe më i shpejtë:

Përgjigju: saktë në 0.001

Më lejoni t'ju kujtoj se kjo frazë nënkupton faktin se kemi bërë një gabim në vlerësimin tonë kuptimin e vërtetë rrënjë jo më shumë se 0,001. Ata që dyshojnë mund të marrin një mikrollogaritës dhe të zëvendësojnë edhe një herë vlerën e përafërt prej 0,674 në anën e majtë të ekuacionit.

Tani le të "skanojmë" kolonën e djathtë të tabelës nga lart poshtë dhe të vërejmë se vlerat po zvogëlohen vazhdimisht në vlerë absolute. Ky efekt quhet konvergjencës një metodë që na lejon të llogarisim rrënjën me saktësi arbitrare të lartë. Por konvergjenca nuk ndodh gjithmonë - është e siguruar një sërë kushtesh, për të cilën kam heshtur. Në veçanti, segmenti në të cilin është izoluar rrënja duhet të jetë mjaft e vogël– përndryshe vlerat do të ndryshojnë në mënyrë të rastësishme dhe ne nuk do të mund të plotësojmë algoritmin.

Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Kontrolloni nëse kushtet e specifikuara janë përmbushur (shih lidhjen e mësipërme), dhe, nëse është e nevojshme, zvogëloni segmentin. Pra, duke folur relativisht, nëse në shembullin e analizuar intervali nuk ishte i përshtatshëm për ne, atëherë duhet të kemi parasysh, për shembull, segmentin. Në praktikë kam hasur në raste të tilla, dhe kjo teknikë ndihmon vërtet! E njëjta gjë duhet bërë nëse të dy skajet e segmentit "të gjerë" nuk e plotësojnë kushtin (d.m.th., asnjë prej tyre nuk është i përshtatshëm si përafrim fillestar).

Por zakonisht gjithçka funksionon si orë, megjithëse jo pa kurthe:

Shembulli 2

Përcaktoni grafikisht numrin e rrënjëve reale të ekuacionit, ndani këto rrënjë dhe, duke përdorur metodën e Njutonit, gjeni vlerat e përafërta të rrënjëve me saktësi.

Gjendja e problemit është bërë dukshëm më e rreptë: së pari, përmban një aluzion të fortë se ekuacioni nuk ka një rrënjë të vetme, së dyti, kërkesa për saktësi është rritur, dhe së treti, me grafikun e funksionit shumë më e vështirë për t'u përballuar.

Dhe për këtë arsye zgjidhje Le të fillojmë me një truk kursimi: imagjinoni ekuacionin në formë dhe vizatoni grafikët:


Nga vizatimi rezulton se ekuacioni ynë ka dy rrënjë reale:

Algoritmi, siç e kuptoni, duhet të "ndizet" dy herë. Por kjo është edhe në rastet më të rënda ndonjëherë ju duhet të ekzaminoni 3-4 rrënjë.

1) Kriteri i përdorimit Le të zbulojmë se cilin fund të segmentit të zgjedhim si përafrim fillestar të rrënjës së parë. Gjetja e derivateve të funksioneve :

Testimi i skajit të majtë të segmentit:

- erdhi!

Kështu, është një përafrim fillestar.

Ne do të përsosim rrënjën duke përdorur metodën e Njutonit duke përdorur formulën e përsëritur:
- deri në thyesë modul nuk do të jetë më pak se saktësia e kërkuar:

Dhe këtu fjala "modul" fiton rëndësi jo iluzore, pasi vlerat janë negative:


Për të njëjtën arsye, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet kur kaloni në çdo përafrim tjetër:

Pavarësisht nga kërkesa mjaft e lartë për saktësi, procesi përsëri përfundoi në përafrimin e 2-të: , prandaj:

E saktë në 0.0001

2) Le të gjejmë vlerën e përafërt të rrënjës.

Ne kontrollojmë skajin e majtë të segmentit për morrat:

, prandaj, nuk është i përshtatshëm si përafrim fillestar.

Metoda e Njutonit (e njohur edhe si metoda tangjente) është një metodë numerike përsëritëse për gjetjen e rrënjës (zeros) të një funksioni të caktuar. Metoda u propozua për herë të parë nga fizikani, matematikani dhe astronomi anglez Isaac Newton (1643-1727), me emrin e të cilit u bë i famshëm.

Metoda u përshkrua nga Isaac Newton në dorëshkrimin De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Rreth analiza me ekuacione të serive të pafundme), drejtuar në 1669 Barrow, dhe në veprën De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latinisht: Metoda e rrjedhjeve dhe serive të pafundme) ose Geometria analytica ( lat.Analitike gjeometria) në veprat e mbledhura të Njutonit, e cila u shkrua në 1671. Megjithatë, përshkrimi i metodës ndryshonte ndjeshëm nga prezantimi i saj aktual: Njutoni aplikoi metodën e tij ekskluzivisht për polinomet. Ai nuk llogariti përafrime të njëpasnjëshme të x n, por një sekuencë polinomesh dhe si rezultat mori një zgjidhje të përafërt të x.

Metoda u botua për herë të parë në traktatin Algjebra nga John Wallis në 1685, me kërkesë të të cilit u përshkrua shkurtimisht nga vetë Njutoni. Në vitin 1690, Joseph Raphson botoi një përshkrim të thjeshtuar në veprën e tij Analysis aequationum universalis (lat. Analiza e përgjithshme e ekuacioneve). Raphson e shikoi metodën e Njutonit si thjesht algjebrike dhe e kufizoi përdorimin e saj në polinome, por ai e përshkroi metodën në terma të përafrimeve të njëpasnjëshme x n në vend të sekuencës më të vështirë për t'u kuptuar të polinomeve të përdorura nga Njutoni.

Më në fund, në 1740, metoda e Njutonit u përshkrua nga Thomas Simpson si një metodë përsëritëse e rendit të parë për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur derivatet siç përshkruhet këtu. Në të njëjtin botim, Simpson e përgjithësoi metodën në rastin e një sistemi me dy ekuacione dhe vuri në dukje se metoda e Njutonit mund të zbatohet gjithashtu për të zgjidhur problemet e optimizimit duke gjetur zeron e derivatit ose gradientit.

Në përputhje me këtë metodë, detyra e gjetjes së rrënjës së një funksioni reduktohet në detyrën e gjetjes së pikës së prerjes me boshtin x të tangjentes të paraqitur në grafikun e funksionit.

Fig.1 . Grafiku i ndryshimit të funksionit

Një vijë tangjente e tërhequr në çdo pikë në grafikun e një funksioni përcaktohet nga derivati ​​i këtij funksioni në pikën në shqyrtim, i cili nga ana tjetër përcaktohet nga tangjentja e këndit α (). Pika e prerjes së tangjentes me boshtin x përcaktohet në bazë të marrëdhënies së mëposhtme në një trekëndësh kënddrejtë: tangjenta e kënditnë një trekëndësh kënddrejtë përcaktohet nga raporti i anës së kundërt me anën fqinje të trekëndëshit. Kështu, në çdo hap, një tangjente me grafikun e funksionit ndërtohet në pikën e përafrimit tjetër. . Pika e prerjes së tangjentes me boshtin kau do të jetë pika tjetër e afrimit. Në përputhje me metodën në shqyrtim, llogaritja e vlerës së përafërt të rrënjës nëi- përsëritjet kryhen sipas formulës:

Pjerrësia e vijës së drejtë rregullohet në çdo hap në mënyrën më të mirë të mundshme, megjithatë, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që algoritmi nuk merr parasysh lakimin e grafikut dhe, për rrjedhojë, gjatë procesit të llogaritjes ai mbetet i panjohur. në cilin drejtim mund të devijojë grafiku.

Kushti për përfundimin e procesit përsëritës është plotësimi i kushtit të mëposhtëm:

Ku ˗ gabim i lejueshëm në përcaktimin e rrënjës.

Metoda ka konvergjencë kuadratike. Shkalla kuadratike e konvergjencës do të thotë që numri i shenjave të sakta në përafrim dyfishohet me çdo përsëritje.

Arsyetimi matematik

Le të jepet një funksion real, e cila është e përcaktuar dhe e vazhdueshme në zonën në shqyrtim. Është e nevojshme të gjendet rrënja e vërtetë e funksionit në fjalë.

Derivimi i ekuacionit bazohet në metodën e përsëritjeve të thjeshta, sipas së cilës ekuacioni reduktohet në një ekuacion ekuivalent për çdo funksion. Le të prezantojmë konceptin e një hartimi të tkurrjes, i cili përcaktohet nga relacioni .

Për konvergjencën më të mirë të metodës, kushti duhet të plotësohet në pikën e përafrimit tjetër. Kjo kërkesë do të thotë që rrënja e funksionit duhet të korrespondojë me ekstremin e funksionit.

Derivat i hartës së tkurrjespërkufizohet si më poshtë:

Le të shprehim variablin nga kjo shprehjenë varësi të deklaratës së pranuar më parë se kur është e nevojshme të sigurohet kushti . Si rezultat, marrim një shprehje për përcaktimin e ndryshores:

Duke marrë parasysh këtë, funksioni i kompresimit është si më poshtë:

Kështu, algoritmi për gjetjen e një zgjidhjeje numerike të ekuacionit reduktohet në një procedurë llogaritëse përsëritëse:

Algoritmi për gjetjen e rrënjës së një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën

1. Vendosni pikën fillestare të vlerës së përafërt të rrënjës së funksionit, si dhe gabimi i llogaritjes (numër i vogël pozitiv) dhe hapi fillestar i përsëritjes ().

2. Llogaritni vlerën e përafërt të rrënjës së funksionit në përputhje me formulën:

3. Ne kontrollojmë vlerën e përafërt të rrënjës për saktësinë e specifikuar, në rastin e:

Nëse diferenca midis dy përafrimeve të njëpasnjëshme bëhet më e vogël se saktësia e specifikuar, atëherë procesi përsëritës përfundon.

Nëse diferenca midis dy përafrimeve të njëpasnjëshme nuk arrin saktësinë e kërkuar, atëherë është e nevojshme të vazhdohet procesi përsëritës dhe të kalohet në hapin 2 të algoritmit në shqyrtim.

Shembull i zgjidhjes së ekuacioneve

me metodëNjutoni për një ekuacion me një ndryshore

Si shembull, merrni parasysh zgjidhjen e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodënNjutoni për një ekuacion me një ndryshore. Rrënja duhet gjetur me saktësi si përafrim i parë.

Opsioni për zgjidhjen e një ekuacioni jolinear në një paketë softuerikeMathCADparaqitur në figurën 3.

Rezultatet e llogaritjes, përkatësisht dinamika e ndryshimeve në vlerën e përafërt të rrënjës, si dhe gabimet e llogaritjes në varësi të hapit të përsëritjes, janë paraqitur në formë grafike (shih Fig. 2).

Fig.2. Rezultatet e llogaritjes duke përdorur metodën e Njutonit për një ekuacion me një ndryshore

Për të siguruar saktësinë e specifikuar kur kërkoni një vlerë të përafërt të rrënjës së ekuacionit në diapazonin, është e nevojshme të kryhen 4 përsëritje. Në hapin e fundit të përsëritjes, vlera e përafërt e rrënjës së ekuacionit jolinear do të përcaktohet nga vlera: .

Fig.3 . Listimi i programeve nëMathCad

Modifikimet e metodës së Njutonit për një ekuacion me një ndryshore

Ka disa modifikime të metodës së Njutonit që kanë për qëllim thjeshtimin e procesit llogaritës.

Metoda e thjeshtuar e Njutonit

Në përputhje me metodën e Njutonit, është e nevojshme të llogaritet derivati ​​i funksionit f(x) në çdo hap të përsëritjes, gjë që çon në një rritje të kostove llogaritëse. Për të reduktuar kostot që lidhen me llogaritjen e derivatit në çdo hap të llogaritjes, mund të zëvendësoni derivatin f'(x n) në pikën x n në formulë me derivatin f'(x 0) në pikën x 0. Në përputhje me këtë metodë llogaritjeje, vlera e përafërt e rrënjës përcaktohet me formulën e mëposhtme:Metoda e modifikuar e Njutonit

Metoda e ndryshimit të Njutonit

Si rezultat, vlera e përafërt e rrënjës së funksionit f(x) do të përcaktohet nga shprehja e metodës së ndryshimit të Njutonit:

Metoda me dy hapa e Njutonit

Në përputhje me metodën e Njutonit, është e nevojshme të llogaritet derivati ​​i funksionit f(x) në çdo hap përsëritjeje, gjë që nuk është gjithmonë e përshtatshme dhe ndonjëherë praktikisht e pamundur. Kjo metodë lejon që derivati ​​i një funksioni të zëvendësohet me një raport ndryshimi (vlera e përafërt):

Si rezultat, vlera e përafërt e rrënjës së funksionit f(x) do të përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:

Ku

Fig.5 . Metoda me dy hapa e Njutonit

Metoda sekante është një metodë me dy hapa, domethënë një përafrim i ripërcaktuar nga dy përsëritjet e mëparshme Dhe . Metoda duhet të specifikojë dy përafrime fillestare Dhe . Shkalla e konvergjencës së metodës do të jetë lineare.

• Mbrapa
• Përpara

Për të shtuar komentin tuaj në artikull, ju lutemi regjistrohuni në sit.

Agjencia Federale për Arsimin

Universiteti Shtetëror i Turizmit dhe Biznesit të Turizmit të Soçit

Fakulteti i Teknologjive të Informacionit dhe Matematikës

Departamenti i Matematikës së Përgjithshme

Lëndë në disiplinë

"Metodat numerike"

"Metoda e Njutonit dhe modifikimet e saj për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve jolineare"

E kryer:

student i vitit të 3-të

grupet 06-INF

Lavrenko M.V.

Kontrolluar:

profesor i asociuar, kandidat

shkencat pedagogjike

Në lidhje me zhvillimin e teknologjisë së re kompjuterike, praktika moderne inxhinierike po has gjithnjë e më shumë probleme matematikore, zgjidhja e saktë e të cilave është shumë e vështirë ose e pamundur të merret. Në këto raste, zakonisht përdoret një ose një tjetër llogaritje e përafërt. Kjo është arsyeja pse metodat e përafërta dhe numerike të analizës matematikore janë zhvilluar gjerësisht vitet e fundit dhe kanë marrë një rëndësi të jashtëzakonshme.

Kjo punë e kursit shqyrton metodën e famshme të Njutonit dhe modifikimin e saj për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve jolineare. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare është një nga problemet e vështira në matematikën llogaritëse. Vështirësia është të përcaktohet nëse sistemi ka një zgjidhje, dhe nëse po, sa. Është studiuar konvergjenca e metodave themelore dhe të thjeshtuara të Njutonit dhe metoda e përftuar nga metoda e Njutonit duke përdorur një proces iterativ për përmbysjen e përafërt të matricave Jacobi.

Gjithashtu përshkruan shkurtimisht: metodat e pozicionit të rremë, metoda sekante, metoda Steffensen, e cila shpesh rezulton të jetë zgjidhja më e mirë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve jolineare sesa metoda e sekantit ose metoda e pozicionit të rremë.

Metoda e famshme e Njutonit është një nga metodat më efektive për zgjidhjen e një sërë problemesh jolineare. Formula e llogaritjes së metodës mund të merret duke përdorur qasje të ndryshme. Le të shohim dy prej tyre.

1) Metoda tangjente.

Le të nxjerrim formulën e llogaritjes së metodës për zgjidhjen e ekuacionit jolinear

Ekuacioni i një tangjente të tërhequr në grafikun e një funksioni

Duke supozuar në barazi (1.1)

Duke u shprehur prej saj

Për shkak të këtij interpretimi gjeometrik, kjo metodë shpesh quhet metoda tangjente .

Le të jetë e nevojshme të zgjidhet një sistem ekuacionesh

funksionet me vlerë reale P variabla reale

ky sistem (2.1) mund të shkruhet me një ekuacion

në lidhje me funksionin vektor F argumenti vektorial x. Kështu, problemi origjinal mund të konsiderohet si një problem për zerot e hartës jolineare

2) Metoda e linearizimit.

INSTITUCIONI ARSIMOR SHTETËROR

"Universiteti Shtetëror Transnistrian me emrin. T.G. Shevchenko"

dega Rybnitsa

Departamenti i Fizikës, Matematikës dhe Informatikës

Puna e kursit

në disiplinën: "Punëtori për zgjidhjen e problemeve në kompjuter"

"Metoda e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare"

E kryer:

student i vitit të 3-të;

Grupi i 330-të

specialitete: “Informatikë”

me shtesë diplomë në anglisht

Nistor A. G.

Kontrolluar:

mësuesi Panchenko T. A.

Futja e kompjuterëve në të gjitha sferat e veprimtarisë njerëzore kërkon që specialistë të profileve të ndryshme të zotërojnë aftësitë e përdorimit të teknologjisë kompjuterike. Po rritet niveli i formimit të studentëve universitarë, të cilët që në vitin e parë njihen me përdorimin e kompjuterit dhe metodat më të thjeshta numerike, pa lënë mënjanë faktin që zbatimi i lëndëve dhe projekteve të diplomës, përdorimi i teknologjisë kompjuterike bëhet normë. në shumicën dërrmuese të universiteteve.

Teknologjia kompjuterike tani përdoret jo vetëm në llogaritjet inxhinierike dhe shkencat ekonomike, por edhe në specialitete të tilla tradicionalisht jo matematikore si mjekësia, gjuhësia dhe psikologjia. Në këtë drejtim, mund të thuhet se përdorimi i kompjuterëve është bërë i përhapur. Është shfaqur një kategori e madhe specialistësh - përdorues kompjuterësh që kanë nevojë për njohuri për përdorimin e kompjuterëve në industrinë e tyre - aftësi për të punuar me softuerin ekzistues, si dhe krijimin e softuerit të tyre të përshtatur për të zgjidhur një problem specifik. Dhe këtu përshkrimet e gjuhëve të programimit të nivelit të lartë dhe metodat numerike i vijnë në ndihmë përdoruesit.

Metodat numerike zhvillohen dhe hulumtohen, si rregull, nga matematikanë shumë të kualifikuar. Për shumicën e përdoruesve, detyra kryesore është të kuptojnë idetë dhe metodat bazë, veçoritë dhe aplikacionet. Sidoqoftë, përdoruesit duan të punojnë me një kompjuter jo vetëm si një kalkulator shumë inteligjent, por edhe si një asistent në punën e përditshme, një depo informacioni me akses të shpejtë dhe të rregullt, si dhe një burim dhe përpunues informacioni grafik. Unë synoj të demonstroj të gjitha këto funksione të një kompjuteri modern në këtë punë kursi.

Qellime dhe objektiva.

Qëllimi i kësaj pune lënde është të studiojë dhe zbatojë në një produkt softuer zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur metodën e Njutonit. Kjo punë përbëhet nga tre seksione, përfundimi dhe shtojca. Seksioni i parë është teorik dhe përmban informacion të përgjithshëm rreth metodës së Njutonit. E dyta është pjesa praktike. Këtu përshkruajmë metodën e Njutonit, të analizuar me shembuj specifikë. E treta i kushtohet testimit të programit dhe analizimit të rezultateve. Në fund, jepet një përfundim për punën e bërë.

Qëllimi i kësaj pune të lëndës është zbatimi softuerik i metodës së Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

Për ta bërë këtë, duhet të kryeni detyrat e mëposhtme:

1. Studioni literaturën e nevojshme.

2. Rishikoni metodat ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

3. Studioni metodën e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

4. Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit duke përdorur shembuj specifikë.

5. Zhvilloni një program për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit.

6. Analizoni rezultatet.

Shqyrtoni problemin e gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni jolinear

Rrënjët e ekuacionit (1) janë ato vlera të x që, kur zëvendësohen, e kthejnë atë në një identitet. Vetëm për ekuacionet më të thjeshta është e mundur të gjendet një zgjidhje në formën e formulave, d.m.th. formë analitike. Më shpesh është e nevojshme të zgjidhen ekuacionet duke përdorur metoda të përafërta, ndër të cilat më të përhapurat, për shkak të ardhjes së kompjuterëve, janë metodat numerike.

Algoritmi për gjetjen e rrënjëve duke përdorur metoda të përafërta mund të ndahet në dy faza. Në fazën e parë studiohet vendndodhja e rrënjëve dhe bëhet ndarja e tyre. Gjendet rajoni në të cilin ka një rrënjë të ekuacionit ose një përafrim fillestar me rrënjën x 0. Mënyra më e thjeshtë për të zgjidhur këtë problem është studimi i grafikut të funksionit f(x) . Në rastin e përgjithshëm, për ta zgjidhur atë është e nevojshme të përdoren të gjitha mjetet e analizës matematikore.

Ekzistenca e të paktën një rrënjë të ekuacionit (1) në segmentin e gjetur rrjedh nga kushti i Bolzanos:

f(a)*f(b)<0 (2)

Kjo nënkupton që funksioni f(x) është i vazhdueshëm në këtë interval. Megjithatë, ky kusht nuk i përgjigjet pyetjes për numrin e rrënjëve të ekuacionit në një interval të caktuar. Nëse kërkesa e vazhdimësisë së një funksioni plotësohet me kërkesën e monotonitetit të tij, dhe kjo rrjedh nga qëndrueshmëria e shenjës së derivatit të parë, atëherë mund të pohojmë ekzistencën e një rrënje të vetme në një segment të caktuar.

Gjatë lokalizimit të rrënjëve, është gjithashtu e rëndësishme të njihen vetitë themelore të këtij lloj ekuacioni. Për shembull, le të kujtojmë disa veti të ekuacioneve algjebrike:

ku janë koeficientët realë.

a) Një ekuacion i shkallës n ka n rrënjë, midis të cilave mund të ketë edhe reale edhe komplekse. Rrënjët komplekse formojnë çifte komplekse të konjuguara dhe, për rrjedhojë, ekuacioni ka një numër çift të rrënjëve të tilla. Nëse n është tek, ka të paktën një rrënjë reale.

b) Numri i rrënjëve reale pozitive është më i vogël ose i barabartë me numrin e shenjave të ndryshueshme në sekuencën e koeficientëve. Zëvendësimi i x me –x në ekuacionin (3) na lejon të vlerësojmë numrin e rrënjëve negative në të njëjtën mënyrë.

Në fazën e dytë të zgjidhjes së ekuacionit (1), duke përdorur përafrimin fillestar të marrë, ndërtohet një proces përsëritës që bën të mundur përsosjen e vlerës së rrënjës me një saktësi të caktuar të paracaktuar. Procesi përsëritës konsiston në përsosjen sekuenciale të përafrimit fillestar. Çdo hap i tillë quhet përsëritje. Si rezultat i procesit të përsëritjes, gjendet një sekuencë vlerash të përafërta të rrënjëve të ekuacionit. Nëse kjo sekuencë i afrohet vlerës së vërtetë të rrënjës x ndërsa n rritet, atëherë procesi përsëritës konvergon. Një proces përsëritës thuhet se konvergjon në të paktën rendin m nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

, (4)

ku C>0 është një konstante. Nëse m=1, atëherë flasim për konvergjencë të rendit të parë; m=2 - rreth kuadratik, m=3 - rreth konvergjencës kubike.

Ciklet përsëritëse përfundojnë nëse, për një gabim të caktuar të lejueshëm, plotësohen kriteret për devijime absolute ose relative:

ose një mospërputhje e vogël:

Kjo punë i kushtohet studimit të një algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur metodën e Njutonit.

1.1 Rishikimi i metodave ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare

Ka shumë metoda të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare, disa prej tyre janë paraqitur më poshtë:

1)Metoda e përsëritjes. Kur zgjidhim një ekuacion jolinear duke përdorur metodën e përsëritjes, do të përdorim ekuacionin e shkruar në formën x=f(x). Përcaktohet vlera fillestare e argumentit x 0 dhe saktësia ε. Përafrimi i parë i zgjidhjes x 1 gjendet nga shprehja x 1 =f(x 0), e dyta - x 2 =f(x 1) etj. Në rastin e përgjithshëm, ne gjejmë përafrimin i+1 duke përdorur formulën xi+1 =f(xi). Këtë procedurë e përsërisim deri në |f(xi)|>ε. Kushti për konvergjencën e metodës së përsëritjes |f"(x)|<1.

2)Metoda e Njutonit. Kur zgjidhet një ekuacion jolinear me metodën e Njutonit, përcaktohet vlera fillestare e argumentit x 0 dhe saktësia ε. Pastaj në pikën (x 0 ,F(x 0)) vizatojmë një tangjente në grafikun F(x) dhe përcaktojmë pikën e prerjes së tangjentes me boshtin x 1. Në pikën (x 1 ,F(x 1)) ndërtojmë përsëri një tangjente, gjejmë përafrimin tjetër të zgjidhjes së dëshiruar x 2, etj. Këtë procedurë e përsërisim deri në |F(xi)| > ε. Për të përcaktuar pikën e prerjes (i+1) të tangjentes me boshtin e abshisës, përdorim formulën e mëposhtme x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i). Kushti për konvergjencën e metodës tangjente F(x 0)∙F""(x)>0, etj.

3). Metoda e dikotomisë. Teknika e zgjidhjes zbret në ndarjen graduale të intervalit fillestar të pasigurisë në gjysmë sipas formulës C k = a k + b k /2.

Për të zgjedhur atë të kërkuar nga dy segmentet rezultuese, është e nevojshme të gjendet vlera e funksionit në skajet e segmenteve rezultuese dhe të merret parasysh ai në të cilin funksioni do të ndryshojë shenjën e tij, domethënë kushti f ( a k) * f (në k) duhet të plotësohet<0.

Procesi i ndarjes së segmentit kryhet derisa gjatësia e intervalit aktual të pasigurisë të jetë më e vogël se saktësia e specifikuar, d.m.th.

në të - a të< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Metoda e akordit. Ideja e metodës është që një akord të ndërtohet në segment, duke nënshtruar skajet e harkut të grafikut të funksionit y=f(x), dhe pikën c, kryqëzimi i kordës me x- aks, konsiderohet një vlerë e përafërt e rrënjës

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Përafrimi tjetër kërkohet në intervalin ose në varësi të shenjave të vlerave të funksionit në pikat a, b, c.

x* O, nëse f(c)H f(a) > 0;

x* O nëse f(c)Х f(b)< 0 .

Nëse f"(x) nuk e ndryshon shenjën në , atëherë duke shënuar c=x 1 dhe duke marrë parasysh a ose b si përafrim fillestar, marrim formula përsëritëse të metodës së kordës me një pikë fikse djathtas ose majtas.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), me f "(x)Х f "(x) > 0;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), me f "(x)Х f "(x)< 0 .

Konvergjenca e metodës së kordës është lineare.

1.2 Algoritmi i metodës së Njutonit

Le të ndërtojmë një algoritëm efektiv për llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit. Le të jepet përafrimi fillestar. Le të llogarisim vlerën e funksionit dhe derivatit të tij në këtë pikë. Le të shohim një ilustrim grafik të metodës:

.

(8)

Duke vazhduar këtë proces, marrim formulën e famshme të Njutonit:

(9)

Këtu është funksioni më i thjeshtë i nënprogramit rekurziv:

funksioni X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

nëse abs(f(x)) > eps

pastaj X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Metoda e Njutonit (tangjentet) karakterizohet nga një shkallë kuadratike e konvergjencës, d.m.th. Në çdo përsëritje, numri i shenjave të sakta dyfishohet. Sidoqoftë, kjo metodë jo gjithmonë çon në rezultatin e dëshiruar. Le ta shqyrtojmë këtë çështje në më shumë detaje.

Le të transformojmë ekuacionin (1) në një ekuacion ekuivalent të formës:

Në rastin e metodës tangjente . Nëse dihet përafrimi fillestar me rrënjën x=x 0, atëherë përafrimin tjetër do ta gjejmë nga ekuacioni x 1 =g(x 0), pastaj x 2 =g(x 1),... Duke vazhduar këtë proces, marrim formulën e përsëritur të metodës së thjeshtë të përsëritjes

x k+1 =g(x k) (11)

Procesi përsëritës vazhdon derisa të plotësohen kushtet (5-7).

A çon gjithmonë procesi llogaritës i përshkruar në zgjidhjen e dëshiruar? Në çfarë kushtesh do të konvergojë? Për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve, le të kthehemi përsëri në ilustrimin gjeometrik të metodës.

Rrënja e ekuacionit paraqitet me pikëprerjen e funksioneve y=x dhe y=g(x). Siç mund të shihet nga Fig. 3(a), nëse kushti është i plotësuar, atëherë procesi konvergon, përndryshe divergjent (Fig. 3(b)).

Pra, në mënyrë që procesi përsëritës të jetë konvergjent dhe të çojë në rezultatin e dëshiruar, duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:

Kalimi nga ekuacioni f(x)=0 në ekuacionin x=g(x) mund të kryhet në mënyra të ndryshme. Në këtë rast, është e rëndësishme që funksioni i zgjedhur g(x) të plotësojë kushtin (12). Për shembull, nëse funksioni f(x) shumëzohet me një konstante arbitrare q dhe ndryshorja x shtohet në të dy anët e ekuacionit (1), atëherë g(x)=q*f(x)+x. Le të zgjedhim një konstante q të tillë që shkalla e konvergjencës së algoritmit të jetë më e larta. Nëse 1

Metoda e Njutonit ka një shkallë të lartë konvergjence, por jo gjithmonë konvergjon. Kushti i konvergjencës, ku g(x) = x – f(x)/ f’(x), reduktohet në kërkesë.

Në llogaritjet praktike, është e rëndësishme të zgjidhni vlerën fillestare sa më afër vlerës së dëshiruar, dhe të instaloni një "roje looping" në program.

Disavantazhi i metodës është se në çdo hap është e nevojshme të llogaritet jo vetëm funksioni, por edhe derivati ​​i tij. Kjo nuk është gjithmonë e përshtatshme. Një nga modifikimet e metodës së Njutonit është llogaritja e derivatit vetëm në përsëritjen e parë:

(13)

Një metodë tjetër modifikimi është zëvendësimi i derivatit me një diferencë të fundme

(14)

Pastaj (15)

Kuptimi gjeometrik i këtij ndryshimi në algoritmin e Njutonit është se nga tangjenta vijmë te sekanti. Metoda sekante është inferiore ndaj metodës së Njutonit për sa i përket shpejtësisë së konvergjencës, por nuk kërkon llogaritjen e derivatit. Vini re se përafrimet fillestare në metodën e seancës mund të vendosen ose në anët e ndryshme të rrënjës ose në të njëjtën anë.

Le të shkruajmë algoritmin e metodës së Njutonit në formë të përgjithshme.

1. Vendosni përafrimin fillestar x (0) në mënyrë që kushti të plotësohet

f(x (0))*f''(x (0))>0. (16)

Vendosni një numër të vogël pozitiv ε si saktësi të llogaritjeve. Set k = 0.

2. Llogaritni x (k+1) duke përdorur formulën (9):

.

3. Nëse | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Përndryshe, rriteni k me 1 (k = k + 1) dhe shkoni në hapin 2.

Le të zgjidhim manualisht disa ekuacione jolineare duke përdorur metodën e Njutonit dhe më pas të krahasojmë rezultatet me ato të marra gjatë zbatimit të produktit softuer.

Shembulli 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 0. 565, pastaj f(0. 565)*f''(0. 565) = -4. 387 * (-0,342) = 1,5 > 0,

Kushti plotësohet, prandaj marrim x (0) = 0,565.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,101.

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Llogaritjet duhet të kryhen me një saktësi prej ε = 0,001.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 2, pastaj f(2)*f''(2) = 0,449 * 0,010 = 0,05 > 0,

Kushti është plotësuar, kështu që marrim x (0) = 2.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 1,089.

Shembulli 3

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

Llogaritjet duhet të kryhen me një saktësi prej ε = 0,001.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = 2*x + e -x .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F’’(x) = 2 - e -x .

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,703.

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F''(x) = -cos x - e -x/2/4.

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = -0. 066 * (-0,692) = 0,046 > 0,

Kushti plotësohet, kështu që marrim x (0) = 1.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 1,162.

Shembulli 5

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

2+e x - e -x =0.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = e x +e -x .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F''(x) = e x -e -x.

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Kushti plotësohet, kështu që marrim x (0) = 1.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,881.

3.1 Përshkrimi i programit

Ky program është krijuar për të punuar në modalitetin tekst dhe grafik. Ai përbëhet nga moduli Graph, Crt, tre funksione dhe tre procedura.

1. Moduli Crt është krijuar për të ofruar kontroll mbi modalitetet e tekstit të ekranit, kodet e zgjeruara të tastierës, ngjyrat, dritaret dhe zërin;

2. Moduli Graph është krijuar për të ofruar kontroll mbi objektet grafike;

3. procedura GrafInit - inicializon modalitetin grafike;

4. funksioni VF – njehson vlerën e funksionit;

5. funksioni f1 – njehson vlerën e derivatit të parë të funksionit;

6. funksioni X_Newt – zbaton një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni duke përdorur metodën e Njutonit.

7. procedura FGraf – zbaton ndërtimin e një grafiku të një funksioni të caktuar f(x);

Ots=35 - konstante që përcakton numrin e pikave për futje nga kufijtë e monitorit;

fmin, fmax - vlerat maksimale dhe minimale të funksionit;

SetColor(4) – një procedurë që vendos ngjyrën aktuale të një objekti grafik duke përdorur një paletë, në këtë rast është e kuqe;

SetBkColor(9) është një procedurë që vendos ngjyrën aktuale të sfondit duke përdorur një paletë, në këtë rast një ngjyrë blu të hapur.

8. Procedura MaxMinF – do të llogarisë vlerat maksimale dhe minimale të funksionit f(x).

Drejtëza – procedurë që tërheq një vijë nga një pikë me koordinata (x1, y1) në një pikë me koordinata (x2, y2);

MoveTo – një procedurë që lëviz treguesin (CP) në një pikë me koordinata (x, y);

TextColor(5) – një procedurë që përcakton ngjyrën aktuale të karaktereve, në këtë rast ajo është rozë;

Outtexty (x, y, 'string') - një procedurë që nxjerr një varg duke filluar nga pozicioni (x, y)

CloseGraph është një procedurë që mbyll sistemin grafik.

3.2 Testimi i programit

Për të testuar programin do të marrim shembujt që u zgjidhën në pjesën praktike të punës për të krahasuar rezultatet dhe për të kontrolluar funksionimin e saktë të programit.

1) sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

Shkruani një = -1

Shkruani b=1

= [-1, 1]

(dalja e grafikut të funksionit)

Marrim: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -3

Shkruani b=3

= [-3, 3]

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -1

Shkruani b=1

= [-1, 1]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 01

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -1,5

Shkruani b=1.5

= [-1,5, 1,5 ]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 001

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -0.9

Shkruani b=0.9

= [-0,9, 0,9]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 001

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Qëllimi i punës ishte krijimi i një programi që llogarit rrënjën e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit. Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se qëllimi u arrit, pasi u zgjidhën detyrat e mëposhtme për ta arritur atë:

1. Është studiuar literatura e nevojshme.

2. Rishikohen metodat ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

3. Është studiuar metoda e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

4. Zgjidhja e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit konsiderohet duke përdorur një shembull.

5. Programi u testua dhe u korrigjua.

Bibliografi

1. B.P. Demidovich, I.A. Maron. Bazat e matematikës llogaritëse. - Moskë, ed. "Shkenca"; 1970.

2. V.M. Verzhbitsky. Metodat numerike (algjebër lineare dhe ekuacione jolineare). - Moskë, "Shkolla e Lartë"; 2000.

3. N.S.Bakhvalov, A.V.Lapin, E.V.Chizhonkov. Metodat numerike në problema dhe ushtrime. - Moskë, "Shkolla e Lartë"; 2000.

4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Metoda numerike MATLAB, botimi i 3-të - Moskë, “Vilat”; 2001.