Historia e ekuacioneve kuadratike. Nga historia e ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve kuadratike në Babiloninë e lashtë

1.1. Nga historia e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike

Algjebra u ngrit në lidhje me zgjidhjen e problemeve të ndryshme duke përdorur ekuacione. Në mënyrë tipike, problemet kërkojnë gjetjen e një ose më shumë të panjohurave, ndërkohë që dihen rezultatet e disa veprimeve të kryera në sasitë e dëshiruara dhe të dhëna. Probleme të tilla zbresin në zgjidhjen e një ose një sistemi prej disa ekuacionesh, në gjetjen e atyre që kërkohen duke përdorur veprime algjebrike në sasi të dhëna. Algjebra studion vetitë e përgjithshme të veprimeve mbi sasitë.

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë.

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diophantus zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 2. "Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, pra 10 + x. Tjetra është më pak, pra 10 - x. Diferenca midis tyre është 2x. Prandaj ekuacioni:

(10+x)(10-x) =96,

Prandaj x = 2. Një nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhja x = - 2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhni këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, mund të arrini në një zgjidhje të ekuacionit:

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

sëpatë 2 + bx = c, a> 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët mund të jenë gjithashtu negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Ekuacioni që i korrespondon problemit 3 është:

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = - 768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, shton 32 2 në të dy anët, duke marrë më pas:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Ekuacionet kuadratike të Al-Huarizmit

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpata 2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", pra sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. sëpatë = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", pra sëpatë 2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", pra sëpatë 2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == sëpatë 2.

Për Al-Huarizmin, i cili shmangu përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat e zgjidhjes duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Le të japim një shembull.

Problemi 4. “Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën” (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhje: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vete, zbrisni 21 nga produkti, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, merrni 3, kjo do të jetë rrënja që po kërkoni. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i Al-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton në mënyrë sistematike klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Ekuacionet kuadratike në Evropë në shekujt 12-17.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikani italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike x 2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c u formulua në Evropë në 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Viète, por Viète njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Origjina e metodave algjebrike për zgjidhjen e problemeve praktike lidhet me shkencën e botës antike. Siç dihet nga historia e matematikës, një pjesë e konsiderueshme e problemeve të natyrës matematikore të zgjidhura nga skribët-llogaritësit egjiptianë, sumerianë, babilonas (shek. XX-VI p.e.s.) ishin të natyrës llogaritëse. Megjithatë, edhe atëherë, herë pas here, shfaqeshin probleme në të cilat vlera e dëshiruar e një sasie përcaktohej nga disa kushte indirekte që, nga këndvështrimi ynë modern, kërkonin përbërjen e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Fillimisht, metodat aritmetike u përdorën për të zgjidhur probleme të tilla. Më pas, filluan të formohen fillimet e koncepteve algjebrike. Për shembull, kalkulatorët babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin probleme që, nga pikëpamja e klasifikimit modern, mund të reduktohen në ekuacione të shkallës së dytë. U krijua një metodë për zgjidhjen e problemeve me fjalë, e cila më vonë shërbeu si bazë për izolimin e komponentit algjebrik dhe studimin e tij të pavarur.

Ky studim u krye në një epokë tjetër, së pari nga matematikanët arabë (shek. VI-X pas Krishtit), të cilët identifikuan veprime karakteristike me të cilat ekuacionet u sollën në një formë standarde: sjellja e termave të ngjashëm, transferimi i termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrën me një ndryshim i shenjës. Dhe më pas nga matematikanët evropianë të Rilindjes, të cilët, si rezultat i një kërkimi të gjatë, krijuan gjuhën e algjebrës moderne, përdorimin e shkronjave, futjen e simboleve për veprimet aritmetike, kllapat, etj. Në fund të datës 16- shekulli i 17-të. Algjebra si pjesë specifike e matematikës, me lëndën, metodën dhe fushat e veta të zbatimit, tashmë ishte formuar. Zhvillimi i tij i mëtejshëm, deri në kohën tonë, konsistoi në përmirësimin e metodave, zgjerimin e fushës së zbatimit, sqarimin e koncepteve dhe lidhjet e tyre me konceptet e degëve të tjera të matematikës.

Pra, duke pasur parasysh rëndësinë dhe gjerësinë e materialit që lidhet me konceptin e një ekuacioni, studimi i tij në metodat moderne të matematikës lidhet me tre fusha kryesore të origjinës dhe funksionimit të tij.

Hulumtimi

Në temë

"Metodat e zgjidhjes se ekuacioneve kuadratike"

E kryer:
grupi 8 klasa "G".

Shefi i punës:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Qëllimet dhe objektivat e projektit.

1. Tregoni se matematika, si çdo shkencë tjetër, ka misteret e veta të pazgjidhura.
2. Theksoni se matematikanët dallohen nga të menduarit jo standard. Dhe ndonjëherë zgjuarsia dhe intuita e një matematikani të mirë thjesht ju mahnit!
3. Tregoni se vetë përpjekja për të zgjidhur ekuacionet kuadratike kontribuoi në zhvillimin e koncepteve dhe ideve të reja në matematikë.
4. Mësoni të punoni me burime të ndryshme informacioni.
5. Vazhdoni punën kërkimore në matematikë

Fazat e kërkimit

1. Historia e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike.

2. Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik dhe llojet e tij.

3. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën diskriminuese.

4. Francois Viète dhe teorema e tij.

5. Vetitë e koeficientëve për gjetjen e shpejtë të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

6. Orientimi praktik.

Përmes ekuacioneve, teoremave

Kam zgjidhur shumë probleme.

(Chaucer, poet anglez, mesjetë.)

fazë. Historia e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike.

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me vetë zhvillimi i astronomisë dhe matematikës.

Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth 2000 para Krishtit. Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me ato moderne, por nuk dihet se si e gjetën babilonasit rregullin. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme, por nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës.

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatet astronomike "Aryabhattiam", të përpiluara në 499. Matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh. Për el-Huarizmin, i cili nuk i dinte numrat negativë, termat e secilit ekuacion janë shtesa, jo zbritëse. Në të njëjtën kohë, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive, padyshim që nuk merren parasysh kur zgjidhet një ekuacion jo i plotë kuadratik, al-Khorezmi, si të gjithë shkencëtarët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero.

Traktati i Al-Huarizmit është libri i parë që na ka ardhur, i cili në mënyrë sistematike përcakton klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe formulat për zgjidhjen e tyre.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa metoda të reja algjebrike për zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u transferuan pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17 dhe pjesërisht të shekujve 18.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b, c u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Viète, por Viète njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të që morën parasysh jo vetëm rrënjët pozitive, por edhe negative. Vetëm në shekullin e 17-të, falë veprave të Girrard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.

REZULTON:

Problemet që përfshijnë ekuacionet kuadratike u ndeshën që në vitin 499.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme - OLIMPIADA .

©2015-2019 faqe
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2016-04-11

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues i matematikës

fshati Kopevë, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.

Kur kompozon ekuacione, Diophantus zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 11."Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e kërkuar është i barabartë me 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë do të arrijmë në një zgjidhje të ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç A, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Problemi 13.

"Një tufë majmunësh të gjallë dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive...

Autoritetet, pasi kishin ngrënë, u argëtuan. Ata filluan të kërcejnë, të varen...

Janë në shesh, pjesa e tetë Sa majmunë ishin?

Po argëtohesha në pastrim. Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike në el - Khorezmi

Në traktatin algjebrik të al-Khorezmi, jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

2) “Katroret janë të barabartë me numrat”, d.m.th. sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

5) “Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrat”, d.m.th. ah 2 + bx = s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = sëpatë 2 .

Për al-Khorezmi, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë

al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në problemet specifike praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas prova gjeometrike.

Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke nënkuptuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhja e autorit shkon diçka e tillë: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII bb

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

x 2 + bx = c,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D, shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».

Për të kuptuar Vietën, duhet ta kujtojmë këtë A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (tonë X), zanoret NË, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse ka

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formulat e përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viète vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë dimë të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-të) deri në diplomim.

Përfaqësues të qytetërimeve të ndryshme: Egjipti i lashtë, Babilonia e lashtë, Greqia e lashtë, India e lashtë, Kina e lashtë, Lindja mesjetare, Evropa zotëruan teknikat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Për herë të parë, matematikanët e Egjiptit të Lashtë ishin në gjendje të zgjidhnin një ekuacion kuadratik. Një nga papiruset matematikore përmban problemin e mëposhtëm:

"Gjeni anët e një fushe në formë drejtkëndëshi nëse sipërfaqja e saj është 12 dhe gjatësia e saj është e barabartë me gjerësinë e saj." "Gjatësia e fushës është 4", thuhet në papirus.

Kaluan mijëvjeçarë dhe numrat negativë hynë në algjebër. Duke zgjidhur ekuacionin x²= 16, marrim dy numra: 4, –4.

Sigurisht, në problemin egjiptian do të merrnim X = 4, pasi gjatësia e fushës mund të jetë vetëm një sasi pozitive.

Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë kishin disa teknika të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Rregulli për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të paraqitur në tekstet babilonase është në thelb i njëjtë me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit "arritën deri këtu". Por pothuajse në të gjitha tekstet e gjetura papirusi dhe kuneiform, jepen vetëm probleme me zgjidhje. Autorët vetëm herë pas here i kanë furnizuar llogaritjet e tyre numerike me komente të dobëta si: "Shiko!", "Bëje këtë!", "E gjete të duhurin!"

Matematikani grek Diofanti përpiloi dhe zgjidhi ekuacione kuadratike. Aritmetika e tij nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Problemet në hartimin e ekuacioneve kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aria-bhatiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta.

Një tjetër shkencëtar indian Brahmagupta (shekulli VII) përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të formës ax² + bx = c.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian për konkurse të tilla thotë si vijon: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët:

Një tufë majmunësh të gjallë

Pasi hëngra me kënaqësi, u argëtova.

Pjesa e tetë e tyre po luanin në pastrimin e sheshit.

Dhe dymbëdhjetë mbi hardhi... filluan të kërcejnë, duke u varur...

Sa majmunë ishin atje?

Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Tekstet më të lashta matematikore kineze që kanë ardhur deri tek ne datojnë në fund të shekullit të 1-të. para Krishtit. Në shekullin II. para Krishtit. Është shkruar Matematika në nëntë libra. Më vonë, në shekullin e VII, ai u përfshi në koleksionin "Dhjetë traktatet klasike", i cili u studiua për shumë shekuj. Matematika në nëntë libra shpjegon se si të gjeni rrënjën katrore duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy numrave.

Metoda u quajt "tian-yuan" (fjalë për fjalë "element qiellor") - kështu kinezët caktuan një sasi të panjohur.

Manuali i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed bin Musa el-Kuarizmi. Fjala "al-jabr" me kalimin e kohës u shndërrua në fjalën e njohur "algjebër", dhe vetë puna e al-Khorezmi u bë pikënisja në zhvillimin e shkencës së zgjidhjes së ekuacioneve. Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron gjashtë lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

-katrore rrënjë të barabarta, domethënë ah ² = bх;

-katrorë numër të barabartë, domethënë ah ² = s;

-rrënjët janë të barabarta me numrin, pra sëpatë = c;

-katrorët dhe numrat janë të barabartë me rrënjët, domethënë ah ²+ с = bх;

-katrorët dhe rrënjët janë të barabarta me numrin, domethënë ah ² + bх = с;

-rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë, pra bx + c = sëpatë ²;

Traktati i Al-Huarizmit është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u përfshinë pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht të shekullit të 18-të.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x ² + bх = с, për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b dhe с u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por ai gjithashtu njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç rrënjëve pozitive dhe negative, ato merren parasysh. Vetëm në shekullin e 17-të, falë veprave të Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.