Ministria e Arsimit e Federatës Ruse

Institucion arsimor komunal

"Shkolla e mesme nr 22"

Ekuacionet kuadratike dhe të rendit të lartë

E përfunduar:

Nxënësit e klasës 8 "B".

Kuznetsov Evgeniy dhe Rudi Alexey

Mbikëqyrësi:

Zenina Alevtina Dmitrievna

mësues i matematikës

Prezantimi

1.1 Ekuacionet në Babiloninë e Lashtë

1.2 Ekuacionet arabe

1.3 Ekuacionet në Indi

Kapitulli 2. Teoria e ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve të rendit më të lartë

2.1 Konceptet bazë

2.2 Formulat për koeficientin çift në x

2.3 Teorema e Vietës

2.4 Ekuacionet kuadratike të një natyre të caktuar

2.5 Teorema e Vietës për polinomet (ekuacionet) e shkallëve më të larta

2.6 Ekuacionet e reduktueshme në kuadratike (bikuadratike)

2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike

2.8 Formulat Cordano

2.9 Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë

2.10 Ekuacionet reciproke

2.11 Qarku Horner

konkluzioni

Bibliografi

Shtojca 1

Shtojca 2

Shtojca 3

Prezantimi

Ekuacionet zënë një vend kryesor në kursin e algjebrës shkollore. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër. Në të vërtetë, ekuacionet jo vetëm që kanë një rëndësi të rëndësishme teorike, por gjithashtu shërbejnë për qëllime thjesht praktike. Numri dërrmues i problemeve në lidhje me format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore në botën reale zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Duke përvetësuar mënyrat e zgjidhjes së tyre, gjejmë përgjigje për pyetje të ndryshme nga shkenca dhe teknologjia (transport, bujqësi, industri, komunikim etj.).

Në këtë ese do të doja të shfaqja formula dhe metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Për këtë qëllim jepen ekuacione që nuk studiohen në kurrikulën shkollore. Këto janë kryesisht ekuacione të një natyre të veçantë dhe ekuacione të shkallëve më të larta. Për ta zgjeruar këtë temë, jepen provat e këtyre formulave.

Objektivat e esesë sonë:

Përmirësoni aftësitë për zgjidhjen e ekuacioneve

Zhvilloni mënyra të reja për zgjidhjen e ekuacioneve

Mësoni disa mënyra dhe formula të reja për të zgjidhur këto ekuacione.

Objekti i studimit është algjebra elementare Objekti i studimit janë ekuacionet. Zgjedhja e kësaj teme u bazua në faktin se ekuacionet përfshihen si në kurrikulën fillore ashtu edhe në çdo klasë pasuese të shkollave të mesme, liceu dhe fakultete. Shumë probleme gjeometrike, probleme në fizikë, kimi dhe biologji zgjidhen duke përdorur ekuacione. Ekuacionet u zgjidhën njëzet e pesë shekuj më parë. Ato po krijohen edhe sot - si për përdorim në procesin arsimor, ashtu edhe për provime konkurruese në universitete, për olimpiada të nivelit më të lartë.

Kapitulli 1. Historia e ekuacioneve kuadratike dhe të rendit më të lartë

1.1 Ekuacionet në Babiloninë e Lashtë

Algjebra u ngrit në lidhje me zgjidhjen e problemeve të ndryshme duke përdorur ekuacione. Në mënyrë tipike, problemet kërkojnë gjetjen e një ose më shumë të panjohurave, ndërkohë që dihen rezultatet e disa veprimeve të kryera në sasitë e dëshiruara dhe të dhëna. Probleme të tilla zbresin në zgjidhjen e një ose një sistemi prej disa ekuacionesh, në gjetjen e atyre që kërkohen duke përdorur veprime algjebrike në sasi të dhëna. Algjebra studion vetitë e përgjithshme të veprimeve mbi sasitë.

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë. Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Siç u përmend më herët, ekuacionet kuadratike ishin në gjendje të zgjidheshin rreth vitit 2000 pes nga babilonasit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se ekuacionet kuadratike jo të plota dhe të plota ndodhin në tekstet e tyre kuneiforme.

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me ato moderne, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Pavarësisht nga niveli i lartë i zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.

1.2 Ekuacionet arabe

Disa metoda për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe të rendit më të lartë u zhvilluan nga arabët. Kështu, matematikani i famshëm arab Al-Khorezmi në librin e tij "Al-Jabar" përshkroi shumë mënyra për të zgjidhur ekuacione të ndryshme. E veçanta e tyre ishte se Al-Khorezmi përdorte radikale komplekse për të gjetur rrënjët (zgjidhjet) e ekuacioneve. Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla ishte e nevojshme në pyetjet rreth ndarjes së trashëgimisë.

1.3 Ekuacionet në Indi

Ekuacionet kuadratike u zgjidhën gjithashtu në Indi. Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme konike:

aх² + bx= c, ku a > 0

Në këtë ekuacion, koeficientët, përveç a, mund të jenë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ekuacione të ndryshme, si kuadratike ashtu edhe ekuacione të shkallëve më të larta, u zgjidhën nga paraardhësit tanë të largët. Këto ekuacione u zgjidhën në vende shumë të ndryshme dhe të largëta. Nevoja për ekuacione ishte e madhe. Ekuacionet u përdorën në ndërtim, në punët ushtarake dhe në situata të përditshme.

Kapitulli 2. Ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e rendit më të lartë

2.1 Konceptet bazë

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës

ku koeficientët a, b, c janë çdo numër real, dhe a ≠ 0.

Një ekuacion kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti i tij kryesor është 1.

Shembull :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Një ekuacion kuadratik quhet i pareduktuar nëse koeficienti kryesor është i ndryshëm nga 1.

Shembull :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion kuadratik në të cilin të tre termat janë të pranishëm, me fjalë të tjera, është një ekuacion në të cilin koeficientët b dhe c janë jo zero.

Shembull :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë është një ekuacion kuadratik në të cilin të paktën një koeficient b, c është i barabartë me zero.

Kështu, ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1) ax² = 0 (ka dy rrënjë që përputhen x = 0).

2) ax² + bx = 0 (ka dy rrënjë x 1 = 0 dhe x 2 = -)

Shembull :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Përgjigju: x 1 =0, x 2 = -5.

nese -<0 - уравнение не имеет корней.

Shembull :

Përgjigju: Ekuacioni nuk ka rrënjë.

Nëse –> 0, atëherë x 1,2 = ±

Shembull :

Përgjigju: x 1,2 =±

Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin (b² - 4ac). Zakonisht shprehja b² - 4ac shënohet me shkronjën D dhe quhet diskriminues i ekuacionit kuadratik ax² + bx + c = 0 (ose diskriminues i tre termit kuadratik ax² + bx + c)

Shembull :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Përgjigju: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Në varësi të diskriminuesit, ekuacioni mund ose nuk mund të ketë një zgjidhje.

1) Nëse D< 0, то не имеет решения.

2) Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje që përputhen x 1,2 =

3) Nëse D > 0, atëherë ka dy zgjidhje të gjetura sipas formulës:

x 1,2 =

2.2 Formulat për koeficientin çift në x

Jemi mësuar me faktin se rrënjët e një ekuacioni kuadratik

ax² + bx + c = 0 gjenden me formulë

x 1,2 =

Por matematikanët nuk do të humbasin kurrë mundësinë për të bërë llogaritjet e tyre më të lehta. Ata zbuluan se kjo formulë mund të thjeshtohet në rastin kur koeficienti b është b = 2k, veçanërisht nëse b është një numër çift.

Në fakt, le të jetë koeficienti b i ekuacionit kuadratik ax² + bx + c = 0 b = 2k. Duke zëvendësuar numrin 2k në vend të b në formulën tonë, marrim:

Pra, rrënjët e ekuacionit kuadratik ax² + 2kx + c = 0 mund të llogariten duke përdorur formulën:

x 1,2 =

Shembull :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Avantazhi i kësaj formule është se nga ky katror nuk zbritet numri b, por gjysma e tij, por thjesht ac, dhe së fundi, emëruesi nuk përmban 2a, por thjesht a; .

Nëse jepet ekuacioni kuadratik, atëherë formula jonë do të duket si kjo:

Shembull :

x 2 – 4x + 3 = 0

Përgjigju: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Teorema e Vietës

Një veti shumë interesante e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik u zbulua nga matematikani francez Francois Viète. Kjo veti u quajt teorema e Vieta:

Kështu që numrat x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit:

sëpatë² + bx + c = 0

është e nevojshme dhe e mjaftueshme për të përmbushur barazinë

x 1 + x 2 = -b/a dhe x 1 x 2 = c/a

Teorema e Vietës na lejon të gjykojmë shenjat dhe vlerën absolute të një ekuacioni kuadratik

x² + bx + c = 0

1. Nëse b>0, c>0 atëherë të dyja rrënjët janë negative.

2. Nëse b<0, c>0 atëherë të dyja rrënjët janë pozitive.

3. Nëse b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Nëse b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Ekuacionet kuadratike të një natyre të caktuar

1) Nëse a + b + c = 0 në ekuacionin ax² + bx + c = 0, atëherë

x 1 = 1, dhe x 2 = .

Dëshmi :

Në ekuacionin ax² + bx + c = 0, rrënjët e tij

x 1,2 = (1).

Le të përfaqësojmë b nga barazia a + b + c = 0

Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në formulën (1):

=

Nëse marrim veçmas dy rrënjët e ekuacionit, marrim:

1) x 1 =

2) x 2 =

Nga kjo vijon: x 1 = 1, dhe x 2 =.

1. Shembull :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, pra

2. Shembull :

418x² - 1254x + 836 = 0

Ky shembull është shumë i vështirë për t'u zgjidhur duke përdorur një diskriminues, por duke ditur formulën e mësipërme mund të zgjidhet lehtësisht.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Nëse a - b + c = 0, në ekuacionin ax² + bx + c = 0, atëherë:

x 1 =-1, dhe x 2 =-.

Dëshmi :

Konsideroni ekuacionin ax² + bx + c = 0, rrjedh se:

x 1,2 = (2).

Le të përfaqësojmë b nga barazia a - b + c = 0

b = a + c, zëvendësohet në formulën (2):

=

Marrim dy shprehje:

1) x 1 =

2) x 2 =

Kjo formulë është e ngjashme me atë të mëparshme, por është gjithashtu e rëndësishme sepse... Shembuj të këtij lloji janë të zakonshëm.

1) Shembull :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, pra

2)Shembull :

Përgjigju: x 1 = -1; x 2 = -

3) Metoda " transfertat ”

Rrënjët e ekuacioneve kuadratike y² + nga + ac = 0 dhe ax² + bx + c = 0 lidhen me marrëdhëniet e mëposhtme:

x 1 = dhe x 2 =

Dëshmi :

a) Konsideroni ekuacionin ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Konsideroni ekuacionin y² + nga + ac = 0

y 1,2 =

Vini re se diskriminuesit e të dy zgjidhjeve janë të barabarta, le të krahasojmë rrënjët e këtyre dy ekuacioneve. Ato ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një faktor kryesor, rrënjët e ekuacionit të parë janë më të vogla se rrënjët e të dytit me a. Duke përdorur teoremën e Vietës dhe rregullin e mësipërm, nuk është e vështirë të zgjidhen ekuacione të ndryshme.

Shembull :

Kemi një ekuacion kuadratik arbitrar

10x² - 11x + 3 = 0

Le ta transformojmë këtë ekuacion sipas rregullit të dhënë

y² - 11v + 30 = 0

Marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili mund të zgjidhet mjaft lehtë duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të jenë y 1 dhe y 2 rrënjët e ekuacionit y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Duke ditur se rrënjët e këtyre ekuacioneve ndryshojnë nga njëra-tjetra me a, atëherë

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Në disa raste, është e përshtatshme që fillimisht të mos zgjidhet ekuacioni i dhënë ax² + bx + c = 0, por reduktimi y² + me + ac = 0, i cili merret nga koeficienti i "transferimit" a, dhe më pas të ndahet e gjetura. rrënjë nga a për të gjetur ekuacionin origjinal.

2.5 Formula Vieta për polinomet (ekuacionet) e shkallëve më të larta

Formulat e nxjerra nga Viète për ekuacionet kuadratike janë gjithashtu të vërteta për polinomet e shkallëve më të larta.

Le të polinomin

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ka n rrënjë të ndryshme x 1, x 2..., x n.

Në këtë rast, ai ka një faktorizim të formës:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Le t'i ndajmë të dyja anët e kësaj barazie me një 0 ≠ 0 dhe të hapim kllapat në pjesën e parë. Ne marrim barazinë:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Por dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e të njëjtave fuqi janë të barabartë. Nga kjo rrjedh se barazia

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Për shembull, për polinomet e shkallës së tretë

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Ne kemi identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Sa i përket ekuacioneve kuadratike, kjo formulë quhet formula e Vietës. Anët e majta të këtyre formulave janë polinome simetrike nga rrënjët x 1, x 2 ..., x n të këtij ekuacioni, dhe anët e djathta shprehen përmes koeficientit të polinomit.

2.6 Ekuacionet e reduktueshme në kuadratike (biquadratic)

Ekuacionet e shkallës së katërt reduktohen në ekuacione kuadratike:

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

quhet biquadratic, dhe a ≠ 0.

Mjafton të vendosim x 2 = y në këtë ekuacion, prandaj,

ay² + nga + c = 0

le të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton

y 1,2 =

Për të gjetur menjëherë rrënjët x 1, x 2, x 3, x 4, zëvendësoni y me x dhe merrni

x² =

x 1,2,3,4 = .

Nëse një ekuacion i shkallës së katërt ka x 1, atëherë ai gjithashtu ka një rrënjë x 2 = -x 1,

Nëse ka x 3, atëherë x 4 = - x 3. Shuma e rrënjëve të një ekuacioni të tillë është zero.

Shembull :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Le të zëvendësojmë ekuacionin në formulën për rrënjët e ekuacioneve bikuadratike:

x 1,2,3,4 = ,

duke ditur se x 1 = -x 2, dhe x 3 = -x 4, atëherë:

x 3,4 =

Përgjigju: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike

Le të marrim ekuacionin bikuadratik

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

ku a, b, c janë numra realë dhe a > 0. Duke futur të panjohurën ndihmëse y = x², ne shqyrtojmë rrënjët e këtij ekuacioni dhe i futim rezultatet në tabelë (shih Shtojcën Nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Nëse përdorim simbolikën moderne, derivimi i formulës Cardano mund të duket kështu:

x =

Kjo formulë përcakton rrënjët e një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së tretë:

sëpatë 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Kjo formulë është shumë e rëndë dhe komplekse (ajo përmban disa radikale komplekse). Nuk do të zbatohet gjithmonë, sepse... shume e veshtire per tu plotesuar.

2.9 Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë

Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë janë ekuacione të formës

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

ku a dhe b janë dhënë numra, me a¹0.

Le të tregojmë se si ekuacioni ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Ne gjejmë se ekuacioni ( 1 ) është ekuivalente me ekuacionin

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Kjo do të thotë se rrënjët e tij do të jenë rrënjët e ekuacionit

ax² +(b – a)x + a = 0

dhe numri x = -1

ekuacioni ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + sëpatë + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Shembull :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Është e qartë se x 1 = 1, dhe

x 2 dhe x 3 rrënjët e ekuacionit 2x² + 5x + 2 = 0,

Le t'i gjejmë ato përmes diskriminuesit:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Shembull :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Është e qartë se x 1 = -1, dhe

x 2 dhe x 3 rrënjët e ekuacionit 5x² + 26x + 5 = 0,

Le t'i gjejmë ato përmes diskriminuesit:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Ekuacionet reciproke

Ekuacioni reciprok – ekuacioni algjebrik

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

në të cilin a k = a n – k, ku k = 0, 1, 2 …n dhe a ≠ 0.

Problemi i gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni reciprok reduktohet në problemin e gjetjes së zgjidhjeve për një ekuacion algjebrik të një shkalle më të ulët. Termi ekuacione reciproke u prezantua nga L. Euler.

Ekuacioni i shkallës së katërt të formës:

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Reduktimi i këtij ekuacioni në formë

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, dhe y = x + m/x dhe y² - 2m = x² + m²/x²,

nga ku ekuacioni reduktohet në kuadratik

ay² + nga + (c-2 am) = 0.

3x 4 + 5x 3 - 14x 2 - 10x + 12 = 0

Duke e pjesëtuar me x 2 jepet ekuacioni ekuivalent

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, ose

Ku dhe

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, prej nga

y 1 = y 2 = -2, pra

Dhe ku

Përgjigje: x 1,2 = x 3,4 = .

Një rast i veçantë i ekuacioneve reciproke janë ekuacionet simetrike. Më herët folëm për ekuacione simetrike të shkallës së tretë, por ka ekuacione simetrike të shkallës së katërt.

Ekuacionet simetrike të shkallës së katërt.

1) Nëse m = 1, atëherë ky është një ekuacion simetrik i llojit të parë, që ka formën

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 dhe zgjidhet me një zëvendësim të ri

2) Nëse m = -1, atëherë ky është një ekuacion simetrik i llojit të dytë, që ka formën

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 dhe zgjidhet me një zëvendësim të ri

2.11 Qarku Horner

Për të ndarë polinomet, përdoret rregulli "ndarja sipas këndit" ose skema e Hornerit. . Për këtë qëllim, polinomet renditen në shkallë zbritëse X dhe gjeni termin kryesor të herësit Q(x) nga kushti që kur shumëzohet me anëtarin kryesor të pjesëtuesit D(x), të fitohet termi kryesor i dividendit P(x). Termi i gjetur i herësit shumëzohet, pastaj me pjesëtuesin dhe zbritet nga dividenti. Termi kryesor i herësit përcaktohet nga kushti që, kur shumëzohet me termin kryesor të pjesëtuesit, të japë termin kryesor të polinomit të diferencës, etj. Procesi vazhdon derisa shkalla e diferencës të jetë më e vogël se shkalla e pjesëtuesit (shih shtojcën nr. 2).

Në rastin e ekuacioneve R = 0, ky algoritëm zëvendësohet nga skema e Hornerit.

Shembull :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Gjeni pjesëtuesit e termit të lirë ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Të shënojmë anën e majtë të ekuacionit me f(x). Natyrisht, f(1) = 0, x1 = 1. Pjesëtoni f(x) me x – 1. (shih Shtojcën nr. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Faktorin e fundit e shënojmë me Q(x). Zgjidhim ekuacionin Q(x) = 0.

x 2,3 =

Përgjigju : 1; -2; -3.

Në këtë kapitull kemi dhënë disa formula për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Shumica e këtyre formulave për zgjidhjen e ekuacioneve të pjesshme. Këto veti janë shumë të përshtatshme sepse është shumë më e lehtë për të zgjidhur ekuacionet duke përdorur një formulë të veçantë për këtë ekuacion, në vend që të përdorni parimin e përgjithshëm. Ne kemi dhënë një provë dhe disa shembuj për secilën metodë.

konkluzioni

Kapitulli i parë shqyrtoi historinë e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve të rendit më të lartë. Ekuacione të ndryshme u zgjidhën më shumë se 25 shekuj më parë. Shumë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla u krijuan në Babiloni, Indi. Ka pasur dhe do të vazhdojë të ketë nevojë për ekuacione.

Kapitulli i dytë ofron mënyra të ndryshme për të zgjidhur (gjetur rrënjët) ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e rendit më të lartë. Në thelb, këto janë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të një natyre të veçantë, domethënë, për secilin grup ekuacionesh të bashkuara nga disa veti ose lloj të përbashkët, jepet një rregull i veçantë që vlen vetëm për këtë grup ekuacionesh. Kjo metodë (zgjedhja e formulës suaj për çdo ekuacion) është shumë më e lehtë sesa gjetja e rrënjëve përmes një diskriminuesi.

Në këtë abstrakt, të gjitha qëllimet janë arritur dhe detyrat kryesore janë kryer, formula të reja, të panjohura më parë janë provuar dhe mësuar. Ne kemi punuar me shumë variante shembujsh përpara se t'i përfshinim në abstrakt, kështu që tashmë kemi një ide se si të zgjidhim disa ekuacione. Çdo zgjidhje do të jetë e dobishme për ne në studime të mëtejshme. Kjo ese ndihmoi për të klasifikuar njohuritë e vjetra dhe për të mësuar të reja.

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya. "Algjebra për klasën e 8-të", M., 1995.

2. Galitsky M.L. “Koleksioni i problemeve në algjebër”, M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. “Shtigje dhe labirinte”, M., 1986.

4. Zvavich L.I. “Klasa e 8-të Algjebra”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. "Ekuacionet", Kiev 1996.

6. Savin Yu.P. "Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri", M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Klasa e 8-të Algjebra”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. "Koleksioni i problemeve në algjebër", M., 1973.

9. Sharygin I.F. "Kurs opsional në algjebër", M., 1989.

Shtojca 1

Studimi i ekuacioneve bikuadratike

Shtojca 2

Ndarja e një polinomi në një polinom duke përdorur një kënd

Shtojca 3

Skema Horner

Përfaqësues të qytetërimeve të ndryshme: Egjipti i lashtë, Babilonia e lashtë, Greqia e lashtë, India e lashtë, Kina e lashtë, Lindja mesjetare, Evropa zotëruan teknikat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Për herë të parë, matematikanët e Egjiptit të Lashtë ishin në gjendje të zgjidhnin një ekuacion kuadratik. Një nga papiruset matematikore përmban problemin e mëposhtëm:

"Gjeni anët e një fushe në formë drejtkëndëshi nëse sipërfaqja e saj është 12 dhe gjatësia e saj është e barabartë me gjerësinë e saj." "Gjatësia e fushës është 4", thuhet në papirus.

Kaluan mijëvjeçarë dhe numrat negativë hynë në algjebër. Duke zgjidhur ekuacionin x²= 16, marrim dy numra: 4, –4.

Sigurisht, në problemin egjiptian do të merrnim X = 4, pasi gjatësia e fushës mund të jetë vetëm një sasi pozitive.

Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë kishin disa teknika të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Rregulli për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të paraqitur në tekstet babilonase është në thelb i njëjtë me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit "arritën deri këtu". Por pothuajse në të gjitha tekstet e gjetura papirusi dhe kuneiform, jepen vetëm probleme me zgjidhje. Autorët vetëm herë pas here i kanë furnizuar llogaritjet e tyre numerike me komente të dobëta si: "Shiko!", "Bëje këtë!", "E gjete të duhurin!"

Matematikani grek Diofanti përpiloi dhe zgjidhi ekuacione kuadratike. Aritmetika e tij nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Problemet në hartimin e ekuacioneve kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aria-bhatiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta.

Një tjetër shkencëtar indian Brahmagupta (shekulli VII) përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të formës ax² + bx = c.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian për konkurse të tilla thotë si vijon: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët:

Një tufë majmunësh të gjallë

Pasi hëngra me kënaqësi, u argëtova.

Pjesa e tetë e tyre po luanin në pastrimin e sheshit.

Dhe dymbëdhjetë mbi hardhi... filluan të kërcejnë, duke u varur...​

Sa majmunë kishte?

Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Tekstet më të lashta matematikore kineze që kanë ardhur deri tek ne datojnë në fund të shekullit të 1-të. para Krishtit. Në shekullin II. para Krishtit. Është shkruar Matematika në nëntë libra. Më vonë, në shekullin e VII, ai u përfshi në koleksionin "Dhjetë traktatet klasike", i cili u studiua për shumë shekuj. Matematika në nëntë libra shpjegon se si të gjeni rrënjën katrore duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy numrave.

Metoda u quajt "tian-yuan" (fjalë për fjalë "element qiellor") - kështu kinezët caktuan një sasi të panjohur.​

Manuali i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed bin Musa el-Kuarizmi. Fjala "al-jabr" me kalimin e kohës u shndërrua në fjalën e njohur "algjebër", dhe vetë puna e al-Khorezmi u bë pikënisja në zhvillimin e shkencës së zgjidhjes së ekuacioneve. Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron gjashtë lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

-katrore rrënjë të barabarta, domethënë ah ² = bх;

-katrorë numër të barabartë, domethënë ah ² = s;

-rrënjët janë të barabarta me numrin, pra sëpatë = c;

-katrorët dhe numrat janë të barabartë me rrënjët, domethënë ah ²+ с = bх;

-katrorët dhe rrënjët janë të barabarta me numrin, domethënë ah ² + bх = с;

-rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë, pra bx + c = sëpatë ²;

Traktati i Al-Huarizmit është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u përfshinë pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht të shekullit të 18-të.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x ² + bх = с, për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b dhe с u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por ai gjithashtu njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç rrënjëve pozitive dhe negative, ato merren parasysh. Vetëm në shekullin e 17-të, falë veprave të Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.

​

​

1.1. Nga historia e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike

Algjebra u ngrit në lidhje me zgjidhjen e problemeve të ndryshme duke përdorur ekuacione. Në mënyrë tipike, problemet kërkojnë gjetjen e një ose më shumë të panjohurave, ndërkohë që dihen rezultatet e disa veprimeve të kryera në sasitë e dëshiruara dhe të dhëna. Probleme të tilla zbresin në zgjidhjen e një ose një sistemi prej disa ekuacionesh, në gjetjen e atyre që kërkohen duke përdorur veprime algjebrike në sasi të dhëna. Algjebra studion vetitë e përgjithshme të veprimeve mbi sasitë.

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë.

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diophantus zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 2. "Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, pra 10 + x. Tjetra është më pak, pra 10 - x. Diferenca midis tyre është 2x. Prandaj ekuacioni:

(10+x)(10-x) =96,

Prandaj x = 2. Një nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhja x = - 2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhni këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, mund të arrini në një zgjidhje të ekuacionit:

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

sëpatë 2 + bx = c, a> 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët mund të jenë gjithashtu negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Ekuacioni që i korrespondon problemit 3 është:

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = - 768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ​​shton 32 2 në të dy anët, duke marrë më pas:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Ekuacionet kuadratike të Al-Huarizmit

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpata 2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", pra sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. sëpatë = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", pra sëpatë 2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", pra sëpatë 2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == sëpatë 2.

Për Al-Huarizmin, i cili shmangu përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Le të japim një shembull.

Problemi 4. “Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën” (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhje: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vete, zbrisni 21 nga produkti, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, merrni 3, kjo do të jetë rrënja që po kërkoni. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i Al-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton në mënyrë sistematike klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Ekuacionet kuadratike në Evropë në shekujt 12-17.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikani italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike x 2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c u formulua në Evropë në 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Origjina e metodave algjebrike për zgjidhjen e problemeve praktike lidhet me shkencën e botës antike. Siç dihet nga historia e matematikës, një pjesë e konsiderueshme e problemeve matematikore të zgjidhura nga skribët dhe llogaritësit egjiptianë, sumerianë dhe babilonas (shek. XX-VI p.e.s.) ishin të natyrës llogaritëse. Megjithatë, edhe atëherë, herë pas here, shfaqeshin probleme në të cilat vlera e dëshiruar e një sasie përcaktohej nga disa kushte indirekte që, nga këndvështrimi ynë modern, kërkonin përbërjen e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Fillimisht, metodat aritmetike u përdorën për të zgjidhur probleme të tilla. Më pas, filluan të formohen fillimet e koncepteve algjebrike. Për shembull, kalkulatorët babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin probleme që, nga pikëpamja e klasifikimit modern, mund të reduktohen në ekuacione të shkallës së dytë. U krijua një metodë për zgjidhjen e problemeve me fjalë, e cila më vonë shërbeu si bazë për izolimin e komponentit algjebrik dhe studimin e tij të pavarur.

Ky studim u krye në një epokë tjetër, së pari nga matematikanët arabë (shek. VI-X pas Krishtit), të cilët identifikuan veprime karakteristike me të cilat ekuacionet u sollën në një formë standarde: sjellja e termave të ngjashëm, transferimi i termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrën me një ndryshim i shenjës. Dhe më pas nga matematikanët evropianë të Rilindjes, të cilët, si rezultat i një kërkimi të gjatë, krijuan gjuhën e algjebrës moderne, përdorimin e shkronjave, futjen e simboleve për veprimet aritmetike, kllapat, etj. Në fund të datës 16- shekulli i 17-të. Algjebra si pjesë specifike e matematikës, me lëndën, metodën dhe fushat e veta të zbatimit, tashmë ishte formuar. Zhvillimi i tij i mëtejshëm, deri në kohën tonë, konsistoi në përmirësimin e metodave, zgjerimin e fushës së zbatimit, sqarimin e koncepteve dhe lidhjet e tyre me konceptet e degëve të tjera të matematikës.

Pra, duke pasur parasysh rëndësinë dhe gjerësinë e materialit që lidhet me konceptin e një ekuacioni, studimi i tij në metodat moderne të matematikës lidhet me tre fusha kryesore të origjinës dhe funksionimit të tij.

Kovalchuk Kirill

Projekti “Ekuacionet kuadratike nëpër shekuj dhe vende” i prezanton studentët me shkencëtarët matematikorë, zbulimet e të cilëve janë baza e përparimit shkencor dhe teknologjik, zhvillon interesin për matematikën si lëndë e bazuar në njohjen me materialin historik, zgjeron horizontet e studentëve, stimulon veprimtarinë e tyre njohëse dhe Kreativiteti.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Puna e projektit e një nxënësi të klasës së 8-të të shkollës së mesme të institucionit arsimor komunal Nr. 17 në fshatin Borisovka Kirill Kovalchuk Mbikëqyrësi G.V

Ekuacionet kuadratike nëpër shekuj dhe vende

Qëllimi i projektit: Të njohë studentët me shkencëtarët e matematikës, zbulimet e të cilëve janë baza e përparimit shkencor dhe teknologjik. Tregoni rëndësinë e punimeve të shkencëtarëve për zhvillimin e gjeometrisë dhe fizikës.????????????? Të demonstrojë vizualisht zbatimin e zbulimeve shkencore në jetë. Zhvilloni interesin për matematikën si lëndë e bazuar në njohjen me materialin historik. Zgjeroni horizontet e studentëve, stimuloni aktivitetin dhe krijimtarinë e tyre njohëse

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të dytë, në kohët e lashta është shkaktuar nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave, me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit. Rregullat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve të përcaktuara në tekstet babilonase janë në thelb të njëjta me ato moderne, por këtyre teksteve u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

. (rreth 365 - 300 p.e.s.) - matematikan i lashtë grek, autor i traktateve të para teorike mbi matematikën që kanë ardhur deri tek ne. Euklidi, ose Euklidi

Fillimet e Euklidit Aty ku Nili shkrihet me detin, Në tokën e lashtë të nxehtë të Piramidave jetoi matematikani grek - Euklidi i ditur, i urtë. Ka studiuar gjeometri, ka mësuar gjeometri. Ai shkroi një vepër të madhe. Emri i këtij libri është "Parimet".

Euklidi shekulli III para Krishtit Euklidi zgjidhi ekuacionet kuadratike duke përdorur një metodë gjeometrike. Këtu është një nga problemet nga traktati i lashtë grek: "Ka një qytet me një kufi në formën e një sheshi me një anë me madhësi të panjohur, në qendër të çdo ane ka një portë. Nga porta veriore ndodhet një shtyllë në një distancë prej 20bu (1bu=1,6m). Nëse ecni drejt nga porta jugore 14bu, pastaj kthehuni në perëndim dhe shkoni një tjetër 1775bu, mund të shihni një shtyllë. Pyetja është: në cilën anë të kufirit të qytetit? »

Për të përcaktuar anën e panjohur të katrorit, marrim ekuacionin kuadratik x ² +(k+l)x-2kd =0. Në këtë rast, ekuacioni duket si x² +34x-71000=0, nga ku x=250bu l x d k

Ekuacionet kuadratike në Indi Probleme mbi ekuacionet kuadratike gjenden gjithashtu në traktatin astronomik "Aryabhattiam", i përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta, vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: sëpatë ² +bx=c , a>0 Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike."

Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara Një tufë majmunësh të gjallë, pasi kishin ngrënë me kënaqësi, u argëtuan. Pjesa e tetë e tyre në shesh po argëtohesha në kthinë. Dhe dymbëdhjetë në hardhi... Ata filluan të kërcejnë duke u varur... Sa majmunë kishte, më thuaj, në këtë tufë?

Zgjidhje. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, pastaj D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Përgjigje: Ishin 16 ose 48 majmunë.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik është "rizbuluar" disa herë. Një nga derivimet e para të kësaj formule që ka mbijetuar deri më sot i përket matematikanit indian Brahmagupta. Shkencëtari i Azisë Qendrore al-Khwarizmi, në traktatin e tij "Kitab al-jerb wal-mukabala", e mori këtë formulë duke izoluar një katror të plotë.

Si e zgjidhi al-Khorezmi këtë ekuacion? Ai shkroi: “Rregulli është ky: dyfishoni numrin e rrënjëve, x = 2x · 5 në këtë problem ju merrni pesë, shumëzoni 5 me këtë të barabartë me të, bëhet njëzet e pesë, 5 · 5 = 25 shtoni këtë në tridhjetë -nëntë, 25 + 39 bëhet gjashtëdhjetë e katër, 64 merr rrënjën nga kjo, do të jetë tetë, 8 dhe nga kjo gjysmë zbres numrin e rrënjëve, pra pesë, 8-5 do të mbeten tre - kjo është dhe 3 do të jetë rrënja e sheshit që po kërkonit”. Po rrënja e dytë? Rrënja e dytë nuk u gjet, pasi numrat negativë nuk njiheshin. x 2 +10 x = 39

Ekuacionet kuadratike në Evropë 13-17 shekuj. Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet si për plotësinë ashtu edhe për qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa zgjidhje të reja algjebrike për problemet dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 dhe 17. dhe pjesërisht 18.

Francois Viète - matematikani më i madh i shekullit të 16-të

Përpara F. Vieta, zgjidhja e një ekuacioni kuadratik kryhej sipas rregullave të veta në formën e argumenteve dhe përshkrimeve verbale shumë të gjata, veprimesh mjaft të rënda. Ata nuk mund të shkruanin as vetë ekuacionin, kjo kërkonte një përshkrim gojor mjaft të gjatë dhe kompleks. Ai shpiku termin "koeficient". Ai propozoi që sasitë e kërkuara të shënoheshin me zanore dhe të dhënat me bashkëtingëllore. Falë simbolikës së Vietës, ekuacionin kuadratik mund ta shkruajmë në formën: sëpatë 2 + bx + c =0. Teorema: Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Përkundër faktit se kjo teoremë quhet "Teorema e Vieta", ajo ishte e njohur para tij, dhe ai vetëm e shndërroi atë në formën e saj moderne. Vieta quhet "babai i algjebrës"

Njerëzimi ka bërë një rrugë të gjatë nga injoranca në dije, duke zëvendësuar vazhdimisht njohuritë e paplota dhe të papërsosura me njohuri gjithnjë e më të plota dhe të përsosura gjatë rrugës. Fjala e fundit

Ne, që jetojmë në fillim të shekullit të 21-të, na tërheq lashtësia. Tek paraardhësit tanë, ne vërejmë para së gjithash atë që u mungon nga pikëpamja moderne dhe zakonisht nuk e vërejmë atë që neve na mungon në krahasim me ta.

Le të mos i harrojmë ato ...

Faleminderit per vemendjen!