Nga se përbëhet një rreth? II

Materiali demonstrues: busull, material për eksperiment: sende të rrumbullakëta dhe litarë (për secilin nxënës) dhe vizore; model rrethi, shkumësa me ngjyra.

Synimi: Studimi i konceptit të "rrethit" dhe elementeve të tij, krijimi i lidhjeve midis tyre; futja e termave të reja; zhvillimi i aftësisë për të bërë vëzhgime dhe për të nxjerrë përfundime duke përdorur të dhëna eksperimentale; duke ushqyer interesin kognitiv për matematikën.

Ecuria e mësimit

I. Momenti organizativ

pershendetje. Vendosja e një qëllimi.

II. Numërimi me gojë

III. Material i ri

Ndër të gjitha llojet e figurave të sheshta, veçohen dy kryesore: trekëndëshi dhe rrethi. Këto shifra i keni njohur që në fëmijërinë e hershme. Si të përcaktoni një trekëndësh? Përmes segmenteve! Si mund të përcaktojmë se çfarë është një rreth? Në fund të fundit, kjo linjë përkulet në çdo pikë! Matematikani i famshëm Grathendieck, duke kujtuar vitet e tij të shkollës, vuri në dukje se ai u interesua për matematikën pasi mësoi përkufizimin e një rrethi.

Le të vizatojmë një rreth duke përdorur një pajisje gjeometrike - busull. Ndërtimi i një rrethi me një busull demonstrimi në tabelë:

shënoni një pikë në aeroplan;
E drejtojmë këmbën e busullës me majën me pikën e shënuar dhe e rrotullojmë këmbën me majë shkruese rreth kësaj pike.

Rezultati është një figurë gjeometrike - rrethi.

(Rrëshqitja nr. 1)

Pra, çfarë është një rreth?

Përkufizimi. Perimetri -është një vijë e mbyllur e lakuar, të gjitha pikat e së cilës janë në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar në rrafsh, e quajtur qendër rrathët.

(Rrëshqitja nr. 2)

Në sa pjesë e ndan një rrafsh një rreth?

Pika O- qendër rrathët.

OSE - rreze rrethi (ky është një segment që lidh qendrën e rrethit me çdo pikë në të). Në latinisht rreze- rrota foli.

AB - akord rrethi (ky është një segment që lidh çdo dy pika në një rreth).

DC - diametri rrethi (kjo është një akord që kalon nëpër qendër të rrethit). Diametri vjen nga greqishtja "diameter".

DR- hark rrethi (kjo është një pjesë e një rrethi të kufizuar nga dy pika).

Sa rreze dhe diametra mund të vizatohen në një rreth?

Pjesa e rrafshit brenda rrethit dhe vetë rrethi formojnë një rreth.

Përkufizimi. rretho - Kjo është pjesa e aeroplanit e kufizuar nga një rreth. Distanca nga çdo pikë e rrethit në qendër të rrethit nuk e kalon distancën nga qendra e rrethit në çdo pikë të rrethit.

Si ndryshojnë një rreth dhe një rreth nga njëri-tjetri dhe çfarë kanë të përbashkët?

Si lidhen me njëra-tjetrën gjatësitë e rrezes (r) dhe diametrit (d) të një rrethi?

d = 2 * r (d– gjatësia e diametrit; r - gjatësia e rrezes)

Si lidhen gjatësitë e një diametri dhe ndonjë korde?

Diametri është korda më e madhe e një rrethi!

Rrethi është një figurë jashtëzakonisht harmonike, grekët e lashtë e konsideruan atë më të përsosurin, pasi rrethi është e vetmja kurbë që mund të "rrëshqet vetë", duke u rrotulluar rreth qendrës. Vetia kryesore e një rrethi i përgjigjet pyetjeve pse përdoren busullat për ta nxjerrë atë dhe pse rrotat janë të rrumbullakëta, dhe jo katrore ose trekëndore. Nga rruga, në lidhje me timonin. Kjo është një nga shpikjet më të mëdha të njerëzimit. Rezulton se ardhja me timonin nuk ishte aq e lehtë sa mund të dukej. Në fund të fundit, edhe Aztekët, të cilët jetonin në Meksikë, nuk e njihnin timonin pothuajse deri në shekullin e 16-të.

Rrethi mund të vizatohet në letër me kuadrate pa busull, domethënë me dorë. Vërtetë, rrethi rezulton të jetë një madhësi e caktuar. (Mësuesi tregon në tabelën me kuadrate)

Rregulli për paraqitjen e një rrethi të tillë shkruhet si 3-1, 1-1, 1-3.

Vizatoni një të katërtën e një rrethi të tillë me dorë.

Me sa qeliza është e barabartë rrezja e këtij rrethi? Ata thonë se artisti i madh gjerman Albrecht Dürer mund të vizatonte një rreth aq saktë me një lëvizje të dorës së tij (pa rregulla) sa që një kontroll i mëvonshëm me një busull (qendra u tregua nga artisti) nuk tregoi asnjë devijim.

Puna laboratorike

Ju tashmë dini si të matni gjatësinë e një segmenti, gjeni perimetrat e shumëkëndëshave (trekëndësh, katror, drejtkëndësh). Si të matni gjatësinë e një rrethi nëse rrethi në vetvete është një vijë e lakuar, dhe njësia e matjes së gjatësisë është një segment?

Ka disa mënyra për të matur perimetrin.

Gjurma nga rrethi (një rrotullim) në një vijë të drejtë.

Mësuesi/ja vizaton një vijë të drejtë në tabelë, shënon një pikë në të dhe në kufirin e modelit të rrethit. I kombinon ato dhe më pas rrotullon pa probleme rrethin në një vijë të drejtë deri në pikën e shënuar A në një rreth nuk do të jetë në një vijë të drejtë në një pikë NË. Segmenti AB atëherë do të jetë i barabartë me perimetrin.

Leonardo da Vinci: "Lëvizja e karrocave na ka treguar gjithmonë se si të drejtojmë perimetrin e një rrethi."

Detyrë për studentët:

a) vizatoni një rreth duke rrethuar pjesën e poshtme të një objekti të rrumbullakët;

b) mbështillni pjesën e poshtme të objektit me fije (një herë) në mënyrë që fundi i fillit të përkojë me fillimin në të njëjtën pikë të rrethit;

c) drejtojeni këtë fije në një segment dhe matni gjatësinë e tij duke përdorur një vizore, ky do të jetë perimetri.

Mësuesi është i interesuar për rezultatet e matjes së disa nxënësve.

Sidoqoftë, këto metoda të matjes së drejtpërdrejtë të perimetrit janë të papërshtatshme dhe japin rezultate të përafërta. Prandaj, që nga kohërat e lashta, ata filluan të kërkonin mënyra më të avancuara për të matur perimetrin. Gjatë procesit të matjes, vumë re se ekziston një lidhje e caktuar midis gjatësisë së një rrethi dhe gjatësisë së diametrit të tij.

d) Mat diametrin e pjesës së poshtme të objektit (më i madhi nga kordat e rrethit);

e) gjeni raportin C:d (i saktë me të dhjetat).

Pyetni disa studentë për rezultatet e llogaritjeve.

Shumë shkencëtarë dhe matematikanë u përpoqën të vërtetonin se ky raport është një numër konstant, i pavarur nga madhësia e rrethit. Matematikani i lashtë grek Arkimedi ishte i pari që e bëri këtë. Ai gjeti një kuptim mjaft të saktë për këtë raport.

Kjo marrëdhënie filloi të shënohej me një shkronjë greke (lexoni "pi") - shkronja e parë e fjalës greke "periferi" është një rreth.

C – perimetri;

d – gjatësia e diametrit.

Informacion historik për numrin π:

Arkimedi, i cili jetoi në Sirakuzë (Sicili) nga viti 287 deri në 212 para Krishtit, e gjeti kuptimin pa matje, vetëm duke arsyetuar.

Në fakt, numri π nuk mund të shprehet si një fraksion i saktë. Matematikani i shekullit të 16-të Ludolph pati durimin ta llogariste me 35 shifra dhjetore dhe la trashëgim që kjo vlerë e π të gdhendej në monumentin e tij të varrit. Në vitet 1946-1947 dy shkencëtarë llogaritën në mënyrë të pavarur 808 shifrat dhjetore të pi. Tani më shumë se një miliard shifra të numrit π janë gjetur në kompjuterë.

Vlera e përafërt e π, e saktë në pesë shifra dhjetore, mund të mbahet mend duke përdorur rreshtin e mëposhtëm (bazuar në numrin e shkronjave në fjalë):

π ≈ 3.14159 - "Unë e di dhe e mbaj mend këtë në mënyrë të përsosur."

Hyrje në Formulën e Circumference

Duke ditur se C:d = π, sa do të jetë gjatësia e rrethit C?

(Rrëshqitja nr. 3) C = πd C = 2πr

Si lindi formula e dytë?

Lexohet: perimetriështë e barabartë me prodhimin e numrit π dhe diametrit të tij (ose dyfishin e prodhimit të numrit π dhe rrezes së tij).

Zona e një rrethiështë e barabartë me prodhimin e numrit π dhe katrorit të rrezes.

S=πr 2

IV. Zgjidhja e problemeve

№1. Gjeni perimetrin e një rrethi rrezja e të cilit është 24 cm Rrumbullakosni numrin π në të qindtën më të afërt.

Zgjidhja:π ≈ 3,14.

Nëse r = 24 cm, atëherë C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).

Përgjigje: perimetri 150,72 cm.

Nr. 2 (me gojë): Si të gjeni gjatësinë e një harku të barabartë me një gjysmërreth?

Detyra: Nëse mbështillni një tel rreth globit përgjatë ekuatorit dhe më pas shtoni 1 metër gjatësisë së tij, a do të jetë në gjendje një mi të rrëshqasë midis telit dhe tokës?

Zgjidhja: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

Jo vetëm një mi, por edhe një mace e madhe do të rrëshqasë në një hendek të tillë. Dhe do të duket, çfarë do të thotë 1 m në krahasim me 40 milion metra të ekuatorit të tokës?

V. Përfundim

Cilat pika kryesore duhet t'i kushtoni vëmendje kur ndërtoni një rreth?
Cilat pjesë të mësimit ishin më interesante për ju?
Çfarë të re mësuat në këtë mësim?

Zgjidhje për fjalëkryqin me figura(Rrëshqitja nr. 3)

Ajo shoqërohet me një përsëritje të përkufizimeve të rrethit, kordës, harkut, rrezes, diametrit, formulave për perimetrin. Dhe si rezultat - fjala kyçe: "RRETHI" (horizontalisht).

Përmbledhja e mësimit: nota, komente për detyrat e shtëpisë. Detyrë shtëpie: f. 24, nr. 853, 854. Kryeni një eksperiment për të gjetur numrin π 2 herë të tjera.

Për të marrë një ide të përgjithshme se çfarë është një rreth, shikoni një unazë ose rrathë. Ju gjithashtu mund të merrni një gotë dhe filxhan të rrumbullakët, ta vendosni me kokë poshtë në një copë letër dhe ta gjurmoni me laps. Me zmadhimin e përsëritur, vija që rezulton do të bëhet e trashë dhe jo plotësisht e lëmuar, dhe skajet e saj do të turbullohen. Një rreth si një figurë gjeometrike nuk ka një karakteristikë të tillë si trashësia.

Rrethi: përkufizimi dhe mjetet themelore të përshkrimit

Rrethi është një kurbë e mbyllur e përbërë nga shumë pika të vendosura në të njëjtin rrafsh dhe në distancë të barabartë nga qendra e rrethit. Në këtë rast, qendra është në të njëjtin plan. Si rregull, shënohet me shkronjën O.

Distanca nga çdo pikë e rrethit në qendër quhet rreze dhe shënohet me shkronjën R.

Nëse lidhni dy pika në një rreth, segmenti që rezulton do të quhet akord. Korda që kalon në qendër të rrethit është diametri, i shënuar me shkronjën D. Diametri e ndan rrethin në dy harqe të barabarta dhe është dyfishi i gjatësisë së rrezes. Kështu, D = 2R, ose R = D/2.

Vetitë e kordave

Nëse një akord tërhiqet nëpër çdo dy pika të rrethit, dhe më pas një rreze ose diametër tërhiqet pingul me këtë të fundit, atëherë ky segment do të ndajë si kordën ashtu edhe harkun e prerë prej tij në dy pjesë të barabarta. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse rrezja (diametri) e ndan kordën në gjysmë, atëherë ajo është pingul me të.
Nëse dy korda paralele vizatohen brenda të njëjtit rreth, atëherë harqet e prera prej tyre, si dhe ato të mbyllura midis tyre, do të jenë të barabarta.
Le të vizatojmë dy korda PR dhe QS që kryqëzohen brenda rrethit në pikën T. Prodhimi i segmenteve të një kordeje do të jetë gjithmonë i barabartë me prodhimin e segmenteve të një kordeje tjetër, domethënë PT x TR = QT x TS.

Perimetri: koncepti i përgjithshëm dhe formulat bazë

Një nga karakteristikat themelore të kësaj figure gjeometrike është perimetri. Formula rrjedh duke përdorur sasi të tilla si rrezja, diametri dhe konstantja "π", duke reflektuar qëndrueshmërinë e raportit të perimetrit me diametrin e tij.

Kështu, L = πD, ose L = 2πR, ku L është perimetri, D është diametri, R është rrezja.

Formula për perimetrin mund të konsiderohet si ajo fillestare kur gjejmë rrezen ose diametrin për një perimetër të caktuar: D = L/π, R = L/2π.

Çfarë është një rreth: postulatet themelore

nuk kanë pika të përbashkëta;
kanë një pikë të përbashkët, dhe vija e drejtë quhet tangjente: nëse vizatoni një rreze përmes qendrës dhe pikës së tangjencës, atëherë ajo do të jetë pingul me tangjenten;
kanë dy pika të përbashkëta, dhe drejtëza quhet sekant.

2. Nëpër tre pika arbitrare që shtrihen në të njëjtin rrafsh, nuk mund të vizatohet më shumë se një rreth.

3. Dy rrathë mund të prekin vetëm në një pikë, e cila ndodhet në segmentin që lidh qendrat e këtyre rrathëve.

4. Për çdo rrotullim në lidhje me qendrën, rrethi kthehet në vetvete.

5. Çfarë është rrethi për nga simetria?

e njëjta lakim i vijës në çdo pikë;
në lidhje me pikën O;
simetria e pasqyrës në lidhje me diametrin.

6. Nëse ndërtoni dy kënde arbitrare të brendashkruara bazuar në të njëjtin hark të një rrethi, ata do të jenë të barabartë. Një kënd i bazuar në një hark të barabartë me gjysmën, domethënë i prerë nga një diametër akord, është gjithmonë i barabartë me 90 °.

7. Nëse krahasoni vija të lakuara të mbyllura me të njëjtën gjatësi, rezulton se rrethi kufizon seksionin e rrafshit me sipërfaqen më të madhe.

Rreth i brendashkruar dhe i rrethuar nga një trekëndësh

Ideja se çfarë është një rreth do të jetë e paplotë pa një përshkrim të veçorive të marrëdhënies së tij me trekëndëshat.

Kur ndërtoni një rreth të gdhendur në një trekëndësh, qendra e tij gjithmonë do të përkojë me pikën e kryqëzimit të trekëndëshit.
Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi ndodhet në kryqëzimin e pinguleve mesatare në secilën nga anët e trekëndëshit.
Nëse përshkruajmë një rreth, atëherë qendra e tij do të jetë në mes të hipotenuzës, domethënë kjo e fundit do të jetë diametri.
Qendrat e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar do të jenë në të njëjtën pikë nëse baza për ndërtimin është

Deklarata themelore për rrathët dhe katërkëndëshat

Një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi konveks vetëm kur shuma e këndeve të tij të brendshme të kundërta është e barabartë me 180°.
Është e mundur të ndërtohet një rreth i brendashkruar në një katërkëndësh konveks nëse shuma e gjatësive të anëve të kundërta të tij është e njëjtë.
Ju mund të përshkruani një rreth rreth një paralelogrami nëse këndet e tij janë të drejta.
Një rreth mund të futet në një paralelogram nëse të gjitha anët e tij janë të barabarta, domethënë është një romb.
Ju mund të ndërtoni një rreth nëpër qoshet e një trapezoidi vetëm nëse ai është dykëndor. Në këtë rast, qendra e rrethit të rrethuar do të vendoset në kryqëzimin e katërkëndëshit dhe pingulës mesatare të tërhequr në anën.

Kjo është një vijë e mbyllur e sheshtë, secila pikë e së cilës është e barabartë nga e njëjta pikë ( O), thirri qendër.

Drejt ( O.A., O.B., OS. ..) që lidh qendrën me pikat e rrethit janë rrezet.

Nga kjo marrim:

1. Të gjitha rrezet e një rrethi janë të barabartë.

2. Dy rrathë me rreze të njëjta do të jenë të barabartë.

3. Diametri e barabartë me dy rreze.

4. Pika, i shtrirë brenda rrethit është më afër qendrës, dhe një pikë që shtrihet jashtë rrethit është më larg nga qendra sesa pikat në rreth.

5. Diametri, pingul me kordën, e ndan këtë kordë dhe të dy harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.

6. harqe, i mbyllur midis paraleleve akorde, janë të barabarta.

Kur punoni me rrathë, zbatohen teoremat e mëposhtme:

1. Teorema . Një vijë e drejtë dhe një rreth nuk mund të kenë më shumë se dy pika të përbashkëta.

Nga kjo teoremë marrim dy që vijojnë logjikisht pasojat:

Asnjë pjesë rrethi nuk mund të kombinohet me një vijë, sepse përndryshe rrethi me drejtëzën do të kishte më shumë se dy pika të përbashkëta.

Një vijë, asnjë pjesë e së cilës nuk mund të kombinohet me një vijë të drejtë quhet i shtrembër.

Nga e mëparshmja rrjedh se rrethi është vijë e shtrembër.

2. Teorema . Përmes çdo tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë, ju mund të vizatoni një rreth, dhe vetëm një.

Si pasojë nga kjo teoremë marrim:

Tre pingul në anët trekëndëshi të gdhendura në një rreth të tërhequr nëpër pikat e mesit të tyre kryqëzohen në një pikë, që është qendra e rrethit.

Le ta zgjidhim problemin. Kërkohet të gjendet qendra e propozuar rrethi.

Le të shënojmë çdo tre pika A, B dhe C në atë të propozuar, të vizatojmë dy pika përmes tyre akorde, për shembull, AB dhe CB, dhe nga mesi i këtyre kordave ne tregojmë pingulet MN dhe PQ. Qendra e dëshiruar, duke qenë po aq e largët nga A, B dhe C, duhet të shtrihet si në MN ashtu edhe në PQ, prandaj, ajo ndodhet në kryqëzimin e këtyre pinguleve, d.m.th. në pikën O.

Rretho- një figurë gjeometrike e përbërë nga të gjitha pikat e rrafshit të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Kjo pikë (O) quhet qendra e rrethit.
Rrezja e rrethit- ky është një segment që lidh qendrën me çdo pikë të rrethit. Të gjitha rrezet kanë të njëjtën gjatësi (sipas përkufizimit).
Akord- një segment që lidh dy pika në një rreth. Një akord që kalon në qendër të një rrethi quhet diametri. Qendra e një rrethi është mesi i çdo diametri.
Çdo dy pika në një rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet harku i një rrethi. Harku quhet gjysmërreth, nëse segmenti që lidh skajet e tij është një diametër.
Gjatësia e një gjysmërrethi njësi shënohet me π .
Shuma e masave të shkallës së dy harqeve të një rrethi me skaje të përbashkëta është e barabartë me 360º.
Pjesa e rrafshit e kufizuar me rreth quhet përreth.
Sektori rrethor- një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një hark dhe dy rreze që lidhin skajet e harkut me qendrën e rrethit. Harku që kufizon sektorin quhet harku i sektorit.
Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.
Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta ortogonale.

Pozicioni relativ i vijës së drejtë dhe rrethit

Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e vogël se rrezja e rrethit ( d), atëherë drejtëza dhe rrethi kanë dy pika të përbashkëta. Në këtë rast linja quhet sekant në raport me rrethin.
Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me rrezen e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Kjo linjë quhet tangjente me rrethin, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika e tangjences midis një vije dhe një rrethi.
Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e madhe se rrezja e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta

Kënde qendrore dhe të brendashkruara

Këndi qendrorështë një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit.
Këndi i brendashkruar- një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe brinjët e të cilit e presin rrethin.

Teorema e këndit të brendashkruar

Një kënd i brendashkruar matet me gjysmën e harkut mbi të cilin shtrihet.

Përfundimi 1.
Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë të barabartë.

Përfundimi 2.
Një kënd i brendashkruar i nënshtruar nga një gjysmërreth është një kënd i drejtë.

Teorema mbi produktin e segmenteve të kordave të kryqëzuara.

Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Formulat bazë

Perimetri:

C = 2∙π∙R

Gjatësia e harkut rrethor:

R = С/(2∙π) = D/2

Diametri:

D = C/π = 2∙R

Gjatësia e harkut rrethor:

l = (π∙R) / 180∙α,
Ku α - masa e shkallës së gjatësisë së një harku rrethor)

Zona e rrethit:

S = π∙R 2

Zona e sektorit rrethor:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ekuacioni i një rrethi

Në një sistem koordinativ drejtkëndor, ekuacioni i një rrethi me rreze është r të përqendruar në një pikë C(x o;y o) ka formën:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Ekuacioni i një rrethi me rreze r me qendër në origjinë ka formën:

x 2 + y 2 = r 2

Së pari, le të kuptojmë ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Këto janë një numër i pafund pikash në aeroplan, të vendosura në një distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet edhe nga hapësira e brendshme, atëherë ai nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (rrethi(r)), dhe një numër i panumërt pikash që janë brenda rrethit.

Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).

Një segment që lidh dy pika në një rreth është i tij akord.

Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D). Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R

Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R

Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)

Harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj që ndodhet ndërmjet dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Akordet identike nënshtrojnë harqe të barabarta.

Këndi qendror Një kënd që shtrihet midis dy rrezeve quhet.

Gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:

Përdorimi i masës së shkallës: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
Duke përdorur masën e radianit: CD = \alpha R

Diametri, i cili është pingul me kordën, ndan akordin dhe harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.

Nëse kordat AB dhe CD të një rrethi kryqëzohen në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangjent në një rreth

Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.

Nëse e vizatoni rrezen në pikën tangjente, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.

Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet tangjente do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.

AC = CB

Tani le të vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Ne marrim se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant dhe pjesës së jashtme të tij.

AC^(2) = CD \cdot BC

Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të tërë të sekantit të parë dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me produktin e një segmenti të tërë të sekantit të dytë dhe pjesës së jashtme të tij.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kënde në një rreth

Masat e shkallës së këndit qendror dhe harkut në të cilin mbështetet janë të barabarta.

\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.

Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.

\kënd AOB = 2 \kënd ADB

Bazuar në një diametër, kënd të brendashkruar, kënd të drejtë.

\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)

Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë identike.

Këndet e brendashkruara që mbështeten në një kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .

\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\circ)

\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB

Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.

Një kënd me një kulm brenda rrethit dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës së vlerave këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndeve të dhëna dhe vertikale.

\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)

Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në vlerat këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndit.

\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)

Rreth i brendashkruar

Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e një shumëkëndëshi.

Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të një shumëkëndëshi, ndodhet qendra e tij.

Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.

Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:

S = pr,

p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,

r është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me:

r = \frac(S)(p)

Shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta do të jenë identike nëse rrethi është i gdhendur në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth përshtatet në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë identike.

AB + DC = AD + BC

Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një të vetme. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të brendshme të figurës, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.

Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:

r = \frac(S)(p) ,

ku p = \frac(a + b + c)(2)

rrethi

Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë zakonisht quhet përshkruar për një shumëkëndësh.

Në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure do të jetë qendra e rrethit të rrethuar.

Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e rrethit që është i rrethuar rreth trekëndëshit të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.

Ekziston kushti i mëposhtëm: një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180^( \circ) .

\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)

Rreth çdo trekëndëshi mund të përshkruani një rreth, dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku kryqëzohen përgjysmuesit pingul të brinjëve të trekëndëshit.