Nga se përbëhet një shumëkëndësh? Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

§ 1 Koncepti i një trekëndëshi

Në këtë mësim do të mësoni për forma të tilla si trekëndëshi dhe shumëkëndëshi.

Nëse tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë janë të lidhura me segmente, ju merrni një trekëndësh. Një trekëndësh ka tre kulme dhe tre brinjë.

Para jush është një trekëndësh ABC, ai ka tre kulme (pika A, pika B dhe pika C) dhe tre brinjë (AB, AC dhe CB).

Nga rruga, të njëjtat anë mund të quhen ndryshe:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Brinjët e trekëndëshit formojnë tre kënde në kulmet e trekëndëshit. Në foto shihni këndin A, këndin B, këndin C.

Kështu, një trekëndësh është një figurë gjeometrike e formuar nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

§ 2 Koncepti i një shumëkëndëshi dhe llojet e tij

Përveç trekëndëshave, ka katërkëndësh, pesëkëndësh, gjashtëkëndësh, etj. Me një fjalë, ato mund të quhen poligone.

Në foto shihni katërkëndëshin DMKE.

Pikat D, M, K dhe E janë kulmet e katërkëndëshit.

Segmentet DM, MK, KE, ED janë brinjët e këtij katërkëndëshi. Ashtu si në rastin e një trekëndëshi, brinjët e një katërkëndëshi formojnë katër kënde në kulmet, siç e keni marrë me mend, prandaj emri - katërkëndësh. Për këtë katërkëndësh shihni në figurë këndin D, këndin M, këndin K dhe këndin E.

Cilat katërkëndësha dini tashmë?

Sheshi dhe drejtkëndëshi! Secila prej tyre ka katër qoshe dhe katër anët.

Një lloj tjetër i poligonit është pesëkëndëshi.

Pikat O, P, X, Y, T janë kulmet e pesëkëndëshit, dhe segmentet TO, OP, PX, XY, YT janë anët e këtij pesëkëndëshi. Një pesëkëndësh ka, përkatësisht, pesë kënde dhe pesë anë.

Sa kënde dhe sa brinjë mendoni se ka një gjashtëkëndësh? Është e drejtë, gjashtë! Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, mund të themi se sa brinjë, kulme ose kënde ka një shumëkëndësh i caktuar. Dhe mund të konkludojmë se një trekëndësh është gjithashtu një shumëkëndësh, i cili ka saktësisht tre kënde, tre brinjë dhe tre kulme.

Kështu, në këtë mësim ju u njohët me koncepte të tilla si trekëndëshi dhe shumëkëndëshi. Mësuam se një trekëndësh ka 3 kulme, 3 brinjë dhe 3 kënde, një katërkëndësh ka 4 kulme, 4 brinjë dhe 4 kënde, një pesëkëndësh ka 5 brinjë, 5 kulme, 5 kënde etj.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Matematikë klasa e 5-të. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. dhe të tjera botimi i 31-të, i fshirë. - M: 2013.
2. Materiale didaktike për matematikën e klasës 5. Autor - Popov M.A. - viti 2013
3. Ne llogarisim pa gabime. Punë me autotest në matematikë klasat 5-6. Autori - Minaeva S.S. - viti 2014
4. Materiale didaktike për matematikën e klasës 5. Autorë: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Teste dhe punë e pavarur në matematikë klasa 5. Autorë - Popov M.A. - viti 2012
6. Matematika. Klasa e 5-të: arsimore. për studentët e arsimit të përgjithshëm. institucionet / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - Botimi i 9-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009

Pjesa e rrafshit e kufizuar nga një vijë e mbyllur e thyer quhet shumëkëndësh.

Segmentet e kësaj vije të thyer quhen partive shumëkëndëshi. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) janë brinjët e shumëkëndëshit ABCDE. Shuma e të gjitha brinjëve të një shumëkëndëshi quhet e saj perimetër.

Shumëkëndëshi quhet konveks, nëse ndodhet në njërën anë të ndonjërës prej anëve të saj, e shtrirë pafundësisht përtej të dy kulmeve.

Shumëkëndëshi MNPKO (Fig. 1) nuk do të jetë konveks, pasi ndodhet në më shumë se një anë të drejtëzës KR.

Ne do të shqyrtojmë vetëm shumëkëndëshat konveks.

Këndet e formuara nga dy brinjë të afërta të një shumëkëndëshi quhen të tij e brendshme qoshet, dhe majat e tyre janë kulmet e shumëkëndëshit.

Një segment i drejtëz që lidh dy kulme jo të afërta të një shumëkëndëshi quhet diagonale e shumëkëndëshit.

AC, AD - diagonalet e poligonit (Fig. 2).

Këndet ngjitur me këndet e brendshme të një shumëkëndëshi quhen kënde të jashtme të shumëkëndëshit (Fig. 3).

Në varësi të numrit të këndeve (brinjëve), shumëkëndëshi quhet trekëndësh, katërkëndësh, pesëkëndësh etj.

Dy shumëkëndësha thuhet se janë kongruentë nëse mund të bashkohen duke mbivendosur.

Shumëkëndësha të brendashkruar dhe të rrethuar

Nëse të gjitha kulmet e një shumëkëndëshi shtrihen në një rreth, atëherë shumëkëndëshi quhet të mbishkruara në një rreth, dhe rrethi - përshkruar pranë shumëkëndëshit (fig).

Nëse të gjitha anët e një shumëkëndëshi janë tangjente me një rreth, atëherë shumëkëndëshi quhet përshkruar rreth një rrethi, dhe rrethi quhet të mbishkruara në një shumëkëndësh (Fig).

Ngjashmëria e shumëkëndëshave

Dy shumëkëndësha me të njëjtin emër quhen të ngjashëm nëse këndet e njërit prej tyre janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit, dhe brinjët e ngjashme të shumëkëndëshave janë proporcionale.

Shumëkëndëshat me numër të njëjtë brinjësh (këndesh) quhen shumëkëndësha me të njëjtin emër.

Brinjët e shumëkëndëshave të ngjashëm që lidhin kulmet e këndeve përkatësisht të barabarta quhen të ngjashme (Fig).

Kështu, për shembull, që shumëkëndëshi ABCDE të jetë i ngjashëm me shumëkëndëshin A'B'C'D'E', është e nevojshme që: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' dhe, përveç kësaj, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Raporti i perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm

Së pari, merrni parasysh vetinë e një serie raportesh të barabarta. Le të kemi, për shembull, raportet e mëposhtme: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

Le të gjejmë shumën e termave të mëparshëm të këtyre marrëdhënieve, pastaj shumën e termave të tyre pasues dhe të gjejmë raportin e shumave që rezultojnë, marrim:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Ne marrim të njëjtën gjë nëse marrim një seri të disa marrëdhënieve të tjera, për shembull: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Le të gjejmë shumën e termave të mëparshëm të këto marrëdhënie dhe shumën e atyre pasuese, dhe më pas gjejmë raportin e këtyre shumave, marrim:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Në të dyja rastet, shuma e anëtarëve të mëparshëm të një serie marrëdhëniesh të barabarta lidhet me shumën e anëtarëve të mëpasshëm të së njëjtës seri, ashtu si anëtari i mëparshëm i ndonjërës prej këtyre marrëdhënieve lidhet me atë të mëvonshëm.

Ne e kemi nxjerrë këtë veti duke shqyrtuar një sërë shembujsh numerikë. Mund të rrjedh rreptësisht dhe në formë të përgjithshme.

Tani merrni parasysh raportin e perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm.

Le të jetë shumëkëndëshi ABCDE i ngjashëm me shumëkëndëshin A’B’C’D’E’ (Fig).

Nga ngjashmëria e këtyre shumëkëndëshave del se

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Bazuar në vetinë që kemi nxjerrë për një seri raportesh të barabarta, mund të shkruajmë:

Shuma e termave të mëparshëm të marrëdhënieve që kemi marrë përfaqëson perimetrin e shumëkëndëshit të parë (P), dhe shuma e termave pasues të këtyre marrëdhënieve paraqet perimetrin e shumëkëndëshit të dytë (P'), që do të thotë P / P ' = AB / A'B'.

Prandaj, Perimetrat e shumëkëndëshave të ngjashëm janë të lidhur me brinjët e tyre të ngjashme.

Raporti i sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm

Le të jenë ABCDE dhe A'B'C'D'E' shumëkëndësha të ngjashëm (Fig).

Dihet se ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' dhe ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Përveç kësaj,

;

Meqenëse raportet e dyta të këtyre përmasave janë të barabarta, gjë që rrjedh nga ngjashmëria e shumëkëndëshave, atëherë

Duke përdorur vetinë e një serie raportesh të barabarta marrim:

Ose

ku S dhe S’ janë sipërfaqet e këtyre shumëkëndëshave të ngjashëm.

Prandaj, Zonat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorë të brinjëve të ngjashme.

Formula që rezulton mund të konvertohet në këtë formë: S / S' = (AB / A'B') 2

Zona e një poligoni arbitrar

Le të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e një katërkëndëshi arbitrar ABC (Fig.).

Le të vizatojmë një diagonale në të, për shembull AD. Marrim dy trekëndësha ABD dhe ACD, sipërfaqet e të cilave mund t'i llogarisim. Pastaj gjejmë shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave. Shuma që rezulton do të shprehë sipërfaqen e këtij katërkëndëshi.

Nëse keni nevojë të llogarisni sipërfaqen e një pesëkëndëshi, atëherë bëjmë të njëjtën gjë: nxjerrim diagonale nga një nga kulmet. Marrim tre trekëndësha, sipërfaqet e të cilave mund të llogarisim. Kjo do të thotë se ne mund të gjejmë zonën e këtij pesëkëndëshi. Ne bëjmë të njëjtën gjë kur llogaritim sipërfaqen e çdo shumëkëndëshi.

Zona e parashikuar e një poligoni

Le të kujtojmë se këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi është këndi midis një drejtëze të caktuar dhe projeksionit të saj në rrafsh (Fig.).

Teorema. Zona e projeksionit ortogonal të një shumëkëndëshi në një plan është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit të projektuar shumëzuar me kosinusin e këndit të formuar nga rrafshi i poligonit dhe rrafshi i projektimit.

Çdo shumëkëndësh mund të ndahet në trekëndësha, shuma e sipërfaqeve të të cilëve është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit. Prandaj, mjafton të vërtetohet teorema për një trekëndësh.

Le të projektohet ΔАВС në aeroplan R. Le të shqyrtojmë dy raste:

a) njëra nga anët ΔABC është paralele me rrafshin R;

b) asnjë nga brinjët ΔABC nuk është paralele R.

Le të shqyrtojmë rasti i parë: le [AB] || R.

Le të vizatojmë një aeroplan përmes (AB) R 1 || R dhe projektoni në mënyrë ortogonale ΔАВС në R 1 dhe në vazhdim R(oriz.); marrim ДАВС 1 dhe ΔА'В'С'.

Nga vetia e projeksionit kemi ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', dhe për këtë arsye

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Të vizatojmë ⊥ dhe segmentin D 1 C 1 . Atëherë ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ është vlera e këndit ndërmjet planit ΔABC dhe rrafshit R 1 . Kjo është arsyeja pse

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

dhe prandaj S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë rasti i dytë. Le të vizatojmë një aeroplan R 1 || R nëpër atë kulm ΔАВС, largësia nga e cila deri te rrafshi R më i vogli (le të jetë kulmi A).

Le të projektojmë ΔАВС në aeroplan R 1 dhe R(oriz.); le të jenë projeksionet e tij përkatësisht ΔАВ 1 С 1 dhe ΔА'В'С'.

Le të (BC) ∩ fq 1 = D. Pastaj

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Vetitë e shumëkëndëshave

Një shumëkëndësh është një figurë gjeometrike, që zakonisht përkufizohet si një vijë e mbyllur e thyer pa vetëkryqëzime (një shumëkëndësh i thjeshtë (Fig. 1a)), por ndonjëherë lejohen vetëkryqëzimet (atëherë shumëkëndëshi nuk është i thjeshtë).

Kulmet e shumëkëndëshit quhen kulme të shumëkëndëshit, kurse segmentet quhen brinjë të shumëkëndëshit. Kulmet e një shumëkëndëshi quhen ngjitur nëse janë skajet e njërës anë të tij. Segmentet që lidhin kulmet jo të afërta të një shumëkëndëshi quhen diagonale.

Këndi (ose këndi i brendshëm) i një shumëkëndëshi konveks në një kulm të caktuar është këndi i formuar nga anët e tij që konvergojnë në këtë kulm, dhe këndi llogaritet nga ana e shumëkëndëshit. Në veçanti, këndi mund të kalojë 180° nëse shumëkëndëshi është jokonveks.

Këndi i jashtëm i një shumëkëndëshi konveks në një kulm të caktuar është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të shumëkëndëshit në këtë kulm. Në përgjithësi, një kënd i jashtëm është ndryshimi midis 180 ° dhe një këndi të brendshëm. Nga çdo kulm i -gon për > 3 ka 3 diagonale, kështu që numri i përgjithshëm i diagonaleve të -gon është i barabartë.

Një shumëkëndësh me tre kulme quhet trekëndësh, me katër - një katërkëndësh, me pesë - një pesëkëndësh, etj.

Shumëkëndësh me n të quajtura kulme n- katrore.

Një shumëkëndësh i sheshtë është një figurë që përbëhet nga një shumëkëndësh dhe një pjesë e fundme e zonës së kufizuar prej tij.

Një shumëkëndësh quhet konveks nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme (ekuivalente):

• 1. shtrihet në njërën anë të çdo vije të drejtë që lidh kulmet fqinje të saj. (d.m.th. zgjatimet e brinjëve të shumëkëndëshit nuk i ndërpresin anët e tjera të tij);
• 2. është kryqëzimi (d.m.th. pjesa e përbashkët) e disa gjysmërrafsheve;
• 3. çdo segment me skaje në pikat që i përkasin shumëkëndëshit i përket tërësisht atij.

Një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse të gjitha anët janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të barabarta, për shembull, një trekëndësh barabrinjës, katror dhe pesëkëndësh.

Një shumëkëndësh konveks thuhet se është i rrethuar rreth një rrethi nëse të gjitha anët e tij prekin një rreth të caktuar

Një shumëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh në të cilin të gjitha këndet dhe të gjitha brinjët janë të barabarta.

Vetitë e shumëkëndëshave:

1 Çdo diagonale e një këndi konveks, ku >3, e zbërthen atë në dy shumëkëndësha konveks.

2 Shuma e të gjitha këndeve të një trekëndëshi konveks është e barabartë.

D-vo: Teoremën do ta vërtetojmë duke përdorur metodën e induksionit matematik. Në = 3 është e qartë. Le të supozojmë se teorema është e vërtetë për një -gon, ku <, dhe provojeni për -gon.

Le të jetë një shumëkëndësh i dhënë. Le të vizatojmë diagonalen e këtij shumëkëndëshi. Sipas teoremës 3, shumëkëndëshi zbërthehet në një trekëndësh dhe një trekëndësh konveks (Fig. 5). Nga hipoteza e induksionit. Ne anen tjeter, . Duke shtuar këto barazi dhe duke marrë parasysh se (- rreze këndi i brendshëm ) Dhe (- rreze këndi i brendshëm ), marrim Kur marrim: .

3 Rreth çdo shumëkëndëshi të rregullt mund të përshkruani një rreth dhe vetëm një.

D-vo: Le të jetë një shumëkëndësh i rregullt, dhe dhe të jenë përgjysmuesit e këndeve, dhe (Fig. 150). Që atëherë, pra, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке RRETH. Le ta vërtetojmë këtë O = OA 2 = RRETH =… = OA P . Trekëndëshi RRETH izosceles, pra RRETH= RRETH. Sipas kriterit të dytë për barazinë e trekëndëshave, pra, RRETH = RRETH. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se RRETH = RRETH etj. Pra, pika RRETHështë e barabartë nga të gjitha kulmet e shumëkëndëshit, pra një rreth me qendër RRETH rreze RRETHështë i rrethuar rreth shumëkëndëshit.

Le të provojmë tani se ekziston vetëm një rreth i kufizuar. Merrni parasysh tre kulme të një shumëkëndëshi, për shembull, A 2 , . Meqenëse vetëm një rreth kalon nëpër këto pika, atëherë rreth poligonit … Nuk mund të përshkruani më shumë se një rreth.

• 4 Ju mund të futni një rreth në çdo shumëkëndësh të rregullt dhe vetëm një.
• 5 Një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh të rregullt prek anët e shumëkëndëshit në pikat e tyre mes.
• 6 Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një shumëkëndëshi të rregullt përkon me qendrën e një rrethi të gdhendur në të njëjtin shumëkëndësh.
• 7 Simetria:

Ata thonë se një figurë ka simetri (simetrike) nëse ka një lëvizje të tillë (jo identike) që e përkthen këtë figurë në vetvete.

• 7.1. Një trekëndësh i përgjithshëm nuk ka boshte ose qendra simetrie, ai është asimetrik. Një trekëndësh barabrinjës (por jo barabrinjës) ka një bosht simetrie: përgjysmuesin pingul me bazën.
• 7.2. Një trekëndësh barabrinjës ka tre boshte simetrie (përgjysmues pingul me anët) dhe simetri rrotulluese rreth qendrës me një kënd rrotullimi prej 120°.

7.3 Çdo n-gon i rregullt ka n boshte simetrie, që të gjithë kalojnë nëpër qendrën e tij. Ajo gjithashtu ka simetri rrotulluese rreth qendrës me një kënd rrotullimi.

Kur edhe n Disa boshte simetrie kalojnë nëpër kulme të kundërta, të tjera nëpër mes pikave të anëve të kundërta.

Për të çuditshme nçdo aks kalon nga maja dhe mesi i anës së kundërt.

Qendra e një shumëkëndëshi të rregullt me ​​numër çift brinjësh është qendra e simetrisë së tij. Një shumëkëndësh i rregullt me ​​numër tek brinjësh nuk ka qendër simetrie.

8 Ngjashmëria:

Me ngjashmëri dhe -gon shkon në -gon, gjysmë plani në gjysmëplan, pra konveks n-këndi bëhet konveks n-gon.

Teorema: Nëse brinjët dhe këndet e shumëkëndëshave konveks plotësojnë barazitë:

ku është koeficienti i podiumit

atëherë këta shumëkëndësha janë të ngjashëm.

• 8.1 Raporti i perimetrave të dy shumëkëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë.
• 8.2. Raporti i sipërfaqeve të dy shumëkëndëshave të ngjashëm konveks është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë.

Teorema e perimetrit të trekëndëshit të shumëkëndëshit

Në rrjedhën e gjeometrisë, ne studiojmë vetitë e figurave gjeometrike dhe kemi parë tashmë më të thjeshtat prej tyre: trekëndëshat dhe rrethinat. Në të njëjtën kohë, diskutuam edhe raste të veçanta të veçanta të këtyre figurave, si trekëndëshe, të barabarta dhe të djathta tri-qymyr-ni-ki. Tani ka ardhur koha për të folur për shifra më të përgjithshme dhe komplekse - shumë qymyr.

Me një rast privat shumë qymyr ne tashmë e dimë - ky është një trekëndësh (shih Fig. 1).

Oriz. 1. Trekëndësh

Në vetë emrin, tashmë nënvizon se kjo është një fi-gu-ra, e cila ka tre cepa. Më pas, në shumë qymyr mund të ketë shumë prej tyre, d.m.th. më shumë se tre. Për shembull, vizatoni një pesëkëndësh (shih Fig. 2), d.m.th. fi-gu-ru me pesë qoshe-la-mi.

Oriz. 2. Penta-këndor. Ju-poligoni i rëndë

Përkufizimi.Shumëkëndëshi- figura, e përbërë nga disa pika (më shumë se dy) dhe që korrespondon me numrin e pikëve nga kov, të cilët i ndjekin së bashku. Këto pika quhen top-she-on-mi shumë qymyr, por nga prerja - njëqind-ro-na-mi. Në këtë rast, nuk ka dy anë ngjitur në të njëjtën vijë të drejtë dhe asnjë anë jo ngjitur nuk kryqëzohen.

Përkufizimi.Shumëkëndëshi i djathtë- ky është një shumëkëndësh konveks, i cili i ka të gjitha anët dhe këndet të barabarta.

Çdo shumëkëndëshi e ndan rrafshin në dy zona: të brendshme dhe të jashtme. Zona e brendshme eshte gjithashtu nga shumë qymyr.

Me fjalë të tjera, për shembull, kur ata flasin për pesëkëndëshin, ata nënkuptojnë të gjithë rajonin e tij të brendshëm dhe kufijtë e tij. Dhe të gjitha pikat që shtrihen brenda shumë thëngjillit janë të lidhura me rajonin e brendshëm, d.m.th. pika është gjithashtu nga-no-sit-xia në pesë-thëngjill-ni-ku (shih Fig. 2).

Shumë qymyr nganjëherë quhet n-thëngjill për të theksuar se është i zakonshëm rasti i një numri të panjohur këndesh (n copa).

Përkufizimi. Perimetri i shumë-qymyr-no-ka- shuma e gjatësive të anëve të shumë qymyrit.

Tani duhet të njihemi me pamjet e shumë qymyrit. Ato ndahen në ti pordhe Dhe pordha. Për shembull, shumëkëndëshi i paraqitur në Fig. 2, ju duket se jeni duke pirë, dhe në Fig. 3 jo pordhe.

Oriz. 3. Shumëkëndëshi me gunga

2. Shumëkëndëshat konveks dhe jokonveks

Përkufizimi 1. Shumëkëndëshi na-za-va-et-sya ti pordhe, nëse, kur kalon drejtpërdrejt në ndonjërën nga anët e tij, e tërë shumëkëndëshi shtrihet vetëm në njërën anë nga kjo vijë e drejtë. Neva-puk-ly-mi shfaqen të gjithë të tjerët shumë qymyr.

Është e lehtë të imagjinohet se kur zgjatet ndonjë anë e pesëkëndëshit në Fig. 2 e gjitha do të përfundojë në njërën anë të kësaj vije të drejtë, d.m.th. ai është pordësh. Por kur kaloni drejt përmes katër qymyrit në Fig. 3 tashmë shohim se ajo e ndan në dy pjesë, d.m.th. ai nuk eshte pordhe.

Por ka një përkufizim tjetër se sa qymyr keni.

Përkufizimi 2. Shumëkëndëshi na-za-va-et-sya ti pordhe, nëse kur zgjidhni dy nga pikat e tij të brendshme dhe kur i lidhni nga një prerje, të gjitha pikat nga prerja janë gjithashtu të brendshme - jo saktësisht shumë qymyr.

Një demonstrim i përdorimit të këtij përkufizimi mund të shihet në shembullin e ndërtimit të ndërprerjeve në Fig. 2 dhe 3.

Përkufizimi. Dia-go-na-lew shumë qymyr quhet çdo prerje që lidh dy maja jo ngjitur.

3. Teorema mbi shumën e këndeve të brendshme të një n-këndëshi konveks

Për të përshkruar vetitë e shumëkëndëshave, ekzistojnë dy teorema më të rëndësishme për këndet e tyre: theo-re-ma rreth shumës së këndeve të brendshme të shumë këndeve Dhe theo-re-ma për shumën e këndeve të jashtme të shumë këndeve. Le t'i shikojmë ato.

Teorema. Rreth shumës së këndeve të brendshme keni shumë kënde (n-qymyr-no-ka).

Ku është numri i këndeve (brinjëve) të tij.

Vërtetim 1. Ilustrimi në Fig. 4 n-gon të dalë.

Oriz. 4. Ju-n-gon me gunga

Nga lart ne do të kryejmë të gjitha diagotë e mundshme. Ata e ndajnë n-gon-nik në tri-gon-nik, sepse. Secila nga anët formon shumë qymyr, me përjashtim të anëve që shtrihen drejt majës. Nga figura mund të shihet lehtë se shuma e këndeve të të gjithë këtyre trekëndëshave do të jetë saktësisht e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të n-këndëshit. Meqenëse shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është , atëherë shuma e këndeve të brendshme të një këndi n:

Arsyeja 2. Është e mundur që të ketë një arsye tjetër për këtë teoremë. Ilustrimi i një n-gon analog në Fig. 5 dhe lidhni ndonjë nga pikat e tij të brendshme me të gjitha kulmet.

Ne e kemi ndarë n-thëngjillin në n trekëndësha (sa brinjë, aq trekëndësha) ). Shuma e të gjithë këndeve të tyre është e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të shumëkëndëshit dhe shumën e këndeve në pikën e brendshme, dhe ky është këndi. Ne kemi:

Q.E.D.

Do-ka-za-por.

Sipas teorisë së mëparshme, është e qartë se shuma e këndeve n-thëngjill nuk varet nga numri i brinjëve të tij (nga n). Për shembull, në një trekëndësh, shuma e këndeve është . Në wh-you-re-re-coal-no-ke, dhe shuma e këndeve - etj.

4. Teorema mbi shumën e këndeve të jashtme të një n-këndëshi konveks

Teorema. Rreth shumës së këndeve të jashtme të shumë qymyrit (n-qymyr-no-ka).

Ku është numri i këndeve të tij (brinjëve), dhe , ..., janë këndet e jashtme.

Dëshmi. Imazhi i një n-gon konveks në Fig. 6 dhe caktoni këndet e tij të brendshme dhe të jashtme.

Oriz. 6. Ju-konveks n-gon me qoshe të jashtme të përcaktuara

Sepse këndi i jashtëm lidhet me këndin e brendshëm si ngjitur, atëherë dhe të ngjashme për qoshet e tjera të jashtme. Pastaj:

Gjatë zhvillimit të mëparshëm, ne kemi përdorur tashmë teoremën për shumën e këndeve të brendshme n-thëngjill-ni-ka.

Do-ka-za-por.

Nga teorema e mëparshme rrjedh një fakt interesant se shuma e këndeve të jashtme të n-thëngjillit konveks është e barabartë me në numrin e këndeve (brinjëve) të tij. Nga rruga, në varësi të shumës së këndeve të brendshme.

Më tej, ne do të punojmë më në detaje me rastin e veçantë të shumë qymyrit - pse-you-ri-ri-coal-no-mi. Në mësimin tjetër, do të njihemi me një figurë të tillë si par-ral-le-lo-gram dhe do të diskutojmë vetitë e saj.

BURIMI

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Llojet e shumëkëndëshave:

Katërkëndëshat

Katërkëndëshat, përkatësisht, përbëhet nga 4 anë dhe kënde.

Brinjët dhe këndet përballë njëra-tjetrës quhen e kundërt.

Diagonalet ndajnë katërkëndëshat konveks në trekëndësha (shih figurën).

Shuma e këndeve të një katërkëndëshi konveks është 360° (duke përdorur formulën: (4-2)*180°).

Paralelogramet

Paralelogramiështë një katërkëndësh konveks me brinjë paralele të kundërta (numri 1 në figurë).

Brinjët dhe këndet e kundërta në një paralelogram janë gjithmonë të barabarta.

Dhe diagonalet në pikën e kryqëzimit ndahen në gjysmë.

Trapez

Trapezoid- ky është gjithashtu një katërkëndësh, dhe në trapezoide Vetëm dy anë janë paralele, të cilat quhen arsye. Palët e tjera janë anët.

Trapezi në figurë është me numër 2 dhe 7.

Si në një trekëndësh:

Nëse anët janë të barabarta, atëherë trapezi është izosceles;

Nëse njëri nga këndet është i drejtë, atëherë trapezi është drejtkëndëshe.

Vija e mesme e trapezit është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave dhe është paralele me to.

Rombi

Rombiështë një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.

Përveç vetive të një paralelogrami, rombet kanë vetitë e tyre të veçanta - Diagonalet e rombit janë pingul njëri-tjetrin dhe prerë cepat e një rombi.

Në foto është një romb numër 5.

Drejtkëndëshat

Drejtkëndëshështë një paralelogram në të cilin çdo kënd është i drejtë (shih figurën numër 8).

Përveç vetive të një paralelogrami, drejtkëndëshat kanë vetitë e tyre të veçanta - diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta.

Sheshe

Sheshiështë një drejtkëndësh me të gjitha brinjët të barabarta (nr. 4).

Ai ka vetitë e një drejtkëndëshi dhe një romb (pasi të gjitha anët janë të barabarta).