Ato nuk kryqëzohen, sado të vazhdojnë. Paralelizmi i vijave të drejta në shkrim shënohet si më poshtë: AB|| MEE
Mundësia e ekzistencës së linjave të tilla vërtetohet nga teorema.
Teorema.
Përmes çdo pike të marrë jashtë një vije të caktuar, mund të vizatoni një pikë paralele me këtë drejtëz.
Le AB kjo vijë e drejtë dhe ME një pikë e marrë jashtë saj. Kërkohet të vërtetohet kjo përmes ME mund të vizatoni një vijë të drejtë paraleleAB. Le ta ulim atë në AB nga pika ME pingulMED dhe pastaj do të kryejmë MEE^ MED, e cila është e mundur. Drejt C.E. paralele AB.
Për ta vërtetuar këtë, le të supozojmë të kundërtën, pra atë C.E. kryqëzohet me AB në një moment M. Pastaj nga pika M në një vijë të drejtë MED do të kishim dy pingule të ndryshme MD Dhe MS, gjë që është e pamundur. Mjetet, C.E. nuk mund të kalojë me AB, d.m.th. MEE paralele AB.
Pasoja.
Dy pingule (CEDheD.B.) në një vijë të drejtë (CD) janë paralele.
Aksioma e drejtëzave paralele.
Në të njëjtën pikë është e pamundur të vizatohen dy drejtëza të ndryshme paralele me të njëjtën drejtëz.
Pra, nëse drejt MED, vizatuar përmes pikës ME paralel me vijën AB, pastaj çdo rresht tjetër MEE, të tërhequr në të njëjtën pikë ME, nuk mund të jetë paralel AB, d.m.th. ajo është në vazhdim do të kryqëzohen Me AB.
Vërtetimi i kësaj të vërtete jo plotësisht të dukshme rezulton të jetë e pamundur. Pranohet pa prova, si supozim i domosdoshëm (postulatum).
Pasojat.
1. Nëse drejt(MEE) kryqëzohet me një nga paralele(NE), pastaj kryqëzohet me një tjetër ( AB), sepse përndryshe përmes të njëjtës pikë ME do të kishte dy drejtëza të ndryshme që kalonin paralelisht AB, gjë që është e pamundur.
2. Nëse secili nga të dyja e drejtpërdrejtë (ADheB) janë paralele me të njëjtën linjë të tretë ( ME) , pastaj ata paralele mes tyre.
Në të vërtetë, nëse supozojmë se A Dhe B kryqëzohen në një moment M, atëherë në këtë pikë do të kalonin dy drejtëza të ndryshme, paralele ME, gjë që është e pamundur.
Teorema.
Nëse vija është pingul në njërën nga drejtëzat paralele, atëherë ajo është pingul me tjetrën paralele.
Le AB || MED Dhe E.F. ^ AB.Kërkohet të vërtetohet se E.F. ^ MED.
pingulEF, duke u kryqëzuar me AB, me siguri do të kalojë dhe MED. Le të jetë pika e kryqëzimit H.
Le ta supozojmë tani këtë MED jo pingul me E.H.. Pastaj një vijë tjetër e drejtë, për shembull H.K., do të jetë pingul me E.H. dhe për këtë arsye përmes së njëjtës pikë H do të jenë dy drejt paralele AB: një MED, sipas kushtit, dhe tjetra H.K. siç është vërtetuar më parë. Meqenëse kjo është e pamundur, nuk mund të supozohet se NE nuk ishte pingul me E.H..
Në një rrafsh, drejtëzat quhen paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta, domethënë nuk kryqëzohen. Për të treguar paralelizmin, përdorni një ikonë të veçantë || (drejtëza paralele a || b).
Për linjat që shtrihen në hapësirë, kërkesa që të mos ketë pika të përbashkëta nuk është e mjaftueshme - në mënyrë që ato të jenë paralele në hapësirë, ato duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh (përndryshe ato do të kryqëzohen).
Ju nuk duhet të shkoni larg për shembuj të linjave paralele, ato na shoqërojnë kudo, në një dhomë - këto janë linjat e kryqëzimit të murit me tavanin dhe dyshemenë, në një fletë fletore - skajet e kundërta, etj.
Është mjaft e qartë se, duke pasur dy drejtëza paralele dhe një vijë të tretë paralele me njërën nga dy të parat, ajo do të jetë gjithashtu paralele me të dytën.
Drejtëzat paralele në një rrafsh lidhen me një pohim që nuk mund të vërtetohet duke përdorur aksiomat e planimetrisë. Pranohet si fakt, si aksiomë: për çdo pikë të rrafshit që nuk shtrihet në një vijë, ekziston një vijë unike që kalon nëpër të paralelisht me atë të dhënë. Çdo nxënës i klasës së gjashtë e di këtë aksiomë.
Përgjithësimi hapësinor i tij, domethënë pohimi se për çdo pikë në hapësirë që nuk shtrihet në një drejtëz, ekziston një vijë unike që kalon nëpër të paralelisht me atë të dhënë, vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën tashmë të njohur të paralelizmit në aeroplan.
Vetitë e drejtëzave paralele
- Nëse ndonjë nga dy drejtëzat paralele është paralele me të tretën, atëherë ato janë paralele reciprokisht.
Vijat paralele si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë e kanë këtë veti.
Si shembull, merrni parasysh justifikimin e tij në stereometri.
Le të supozojmë se drejtëza b dhe drejtëza a janë paralele.
Rasti kur të gjitha drejtëzat shtrihen në të njëjtin rrafsh do t'i lihet planimetrisë.
Supozoni se a dhe b i përkasin rrafshit beta, dhe gama është rrafshi të cilit i përkasin a dhe c (sipas përkufizimit të paralelizmit në hapësirë, drejtëzat duhet t'i përkasin të njëjtit rrafsh).
Nëse supozojmë se plani beta dhe gama janë të ndryshëm dhe shënojmë një pikë të caktuar B në vijën b nga rrafshi beta, atëherë rrafshi i tërhequr përmes pikës B dhe vijës c duhet të presë rrafshin beta në një vijë të drejtë (le ta shënojmë atë b1) .
Nëse vija e drejtë që rezulton b1 pret rrafshin gama, atëherë, nga njëra anë, pika e kryqëzimit do të duhej të shtrihej në a, pasi b1 i përket planit beta, dhe nga ana tjetër, duhet t'i përkasë gjithashtu c, pasi b1 i përket rrafshit të tretë.
Por drejtëzat paralele a dhe c nuk duhet të kryqëzohen.
Pra, drejtëza b1 duhet t'i përkasë rrafshit betta dhe në të njëjtën kohë të mos ketë pika të përbashkëta me a, prandaj, sipas aksiomës së paralelizmit, përkon me b.
Ne kemi marrë një drejtëz b1 që përkon me drejtëzën b, e cila i përket të njëjtit rrafsh me drejtëzën c dhe nuk e pret atë, domethënë b dhe c janë paralele.
- Përmes një pike që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, vetëm një drejtëz e vetme mund të kalojë paralelisht me drejtëzën e dhënë.
- Dy drejtëza të shtrira në një rrafsh pingul me të tretën janë paralele.
- Nëse rrafshi pret njërën nga dy drejtëzat paralele, drejtëza e dytë gjithashtu pret të njëjtin rrafsh.
- Këndet e brendshme përkatëse dhe tërthore të formuara nga kryqëzimi i dy drejtëzave paralele me një të tretë janë të barabartë, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme të formuara është 180°.
Janë të vërteta edhe pohimet e kundërta, të cilat mund të merren si shenja të paralelizmit të dy drejtëzave.
Kushti për drejtëza paralele
Vetitë dhe karakteristikat e formuluara më sipër përfaqësojnë kushtet për paralelizmin e vijave dhe ato mund të vërtetohen duke përdorur metodat e gjeometrisë. Me fjalë të tjera, për të vërtetuar paralelizmin e dy drejtëzave ekzistuese, mjafton të vërtetohet paralelizmi i tyre me një drejtëz të tretë ose barazia e këndeve, qofshin korresponduese apo tërthore etj.
Për provë, ata përdorin kryesisht metodën "me kontradiktë", domethënë, me supozimin se linjat nuk janë paralele. Bazuar në këtë supozim, mund të tregohet lehtësisht se në këtë rast janë shkelur kushtet e specifikuara, për shembull, këndet e brendshme tërthore rezultojnë të pabarabarta, gjë që dëshmon jo korrektësinë e supozimit të bërë.
Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave
Teorema 1. Nëse, kur dy drejtëza priten me një sekant:
këndet e kryqëzuara janë të barabarta, ose
këndet përkatëse janë të barabarta, ose
shuma e këndeve të njëanshme është 180°, atëherë
vijat janë paralele(Fig. 1).
Dëshmi. Ne kufizohemi në vërtetimin e rastit 1.
Le të jenë drejtëzat ndërprerëse a dhe b tërthore dhe këndet AB të jenë të barabartë. Për shembull, ∠ 4 = ∠ 6. Le të vërtetojmë se a || b.
Supozoni se drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Pastaj ato kryqëzohen në një pikë M dhe, për rrjedhojë, një nga këndet 4 ose 6 do të jetë këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM. Për definicion, le të jetë ∠ 4 këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM, dhe ∠ 6 ai i brendshëm. Nga teorema mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi del se ∠ 4 është më i madh se ∠ 6, dhe kjo bie ndesh me kushtin, që do të thotë se drejtëzat a dhe 6 nuk mund të kryqëzohen, pra janë paralele.
Përfundimi 1. Dy drejtëza të ndryshme në një rrafsh pingul me të njëjtën drejtëz janë paralele(Fig. 2).
Komentoni. Mënyra se si sapo vërtetuam rastin 1 të Teoremës 1 quhet metoda e vërtetimit me kontradiktë ose reduktim në absurditet. Kjo metodë mori emrin e saj të parë sepse në fillim të argumentit bëhet një supozim që është në kundërshtim (të kundërt) me atë që duhet të vërtetohet. Quhet çon në absurd për faktin se, duke arsyetuar mbi bazën e supozimit të bërë, arrijmë në një përfundim absurd (në absurd). Marrja e një përfundimi të tillë na detyron të hedhim poshtë supozimin e bërë në fillim dhe të pranojmë atë që duhej vërtetuar.
Detyra 1. Ndërtoni një drejtëz që kalon nga një pikë e dhënë M dhe paralele me një drejtëz të caktuar a, që nuk kalon nga pika M.
Zgjidhje. Vizatojmë një drejtëz p përmes pikës M pingul me drejtëzën a (Fig. 3).
Pastaj vizatojmë një drejtëz b përmes pikës M pingul me drejtëzën p. Drejtëza b është paralele me drejtëzën a sipas përfundimit të teoremës 1.
Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga problemi i shqyrtuar:
përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, është gjithmonë e mundur të vizatohet një vijë paralele me atë të dhënë.
Vetia kryesore e drejtëzave paralele është si më poshtë.
Aksioma e drejtëzave paralele. Nëpër një pikë të caktuar që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon vetëm një drejtëz paralel me atë të dhënë.
Le të shqyrtojmë disa veti të drejtëzave paralele që rrjedhin nga kjo aksiomë.
1) Nëse një drejtëz pret një nga dy drejtëza paralele, atëherë ajo pret edhe tjetrën (Fig. 4).
2) Nëse dy drejtëza të ndryshme janë paralele me një vijë të tretë, atëherë ato janë paralele (Fig. 5).
Teorema e mëposhtme është gjithashtu e vërtetë.
Teorema 2. Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë:
këndet tërthore janë të barabarta;
këndet përkatëse janë të barabarta;
shuma e këndeve të njëanshme është 180°.
Përfundimi 2. Nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo është gjithashtu pingul me tjetrën(shih Fig. 2).
Komentoni. Teorema 2 quhet inversi i Teoremës 1. Përfundimi i Teoremës 1 është kushti i Teoremës 2. Dhe kushti i Teoremës 1 është përfundimi i Teoremës 2. Jo çdo teoremë ka një të kundërt, domethënë nëse një teoremë e dhënë është e vërtetë, atëherë teorema e anasjelltë mund të jetë e gabuar.
Le ta shpjegojmë këtë duke përdorur shembullin e teoremës për këndet vertikale. Kjo teoremë mund të formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Teorema e kundërt do të ishte: nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë ato janë vertikale. Dhe kjo, natyrisht, nuk është e vërtetë. Dy kënde të barabarta nuk duhet të jenë vertikale.
Shembulli 1. Dy drejtëza paralele kryqëzohen nga një e tretë. Dihet se ndryshimi midis dy këndeve të brendshme të njëanshme është 30°. Gjeni këto kënde.
Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 6 kushtin.
Në këtë artikull do të flasim për linjat paralele, do të japim përkufizime dhe do të përshkruajmë shenjat dhe kushtet e paralelizmit. Për ta bërë më të qartë materialin teorik, do të përdorim ilustrime dhe zgjidhje për shembuj tipikë.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Përkufizimi 1
Vijat paralele në një plan– dy vija të drejta në një rrafsh që nuk kanë pika të përbashkëta.
Përkufizimi 2
Vijat paralele në hapësirën tredimensionale– dy vija të drejta në hapësirën tredimensionale, të shtrira në të njëjtin rrafsh dhe pa pika të përbashkëta.
Është e nevojshme të theksohet se për përcaktimin e vijave paralele në hapësirë, sqarimi "i shtrirë në të njëjtin rrafsh" është jashtëzakonisht i rëndësishëm: dy rreshta në hapësirën tredimensionale që nuk kanë pika të përbashkëta dhe nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh nuk janë paralele. , por të kryqëzuara.
Për të treguar linjat paralele, është e zakonshme të përdoret simboli ∥. Kjo do të thotë, nëse drejtëzat e dhëna a dhe b janë paralele, ky kusht duhet të shkruhet shkurtimisht si më poshtë: a ‖ b. Verbalisht, paralelizmi i drejtëzave shënohet si vijon: drejtëzat a dhe b janë paralele, ose drejtëza a është paralele me drejtëzën b, ose drejtëza b është paralele me drejtëzën a.
Le të formulojmë një deklaratë që luan një rol të rëndësishëm në temën që studiohet.
Aksiomë
Nëpër një pikë që nuk i përket një drejtëze të caktuar kalon e vetmja drejtëz paralele me atë të dhënë. Ky pohim nuk mund të vërtetohet në bazë të aksiomave të njohura të planimetrisë.
Në rastin kur flasim për hapësirë, teorema është e vërtetë:
Teorema 1
Përmes çdo pike në hapësirë që nuk i përket një drejtëze të caktuar, do të ketë një drejtëz të vetme paralele me atë të dhënë.
Kjo teoremë është e lehtë për t'u vërtetuar në bazë të aksiomës së mësipërme (programi i gjeometrisë për klasat 10 - 11).
Kriteri i paralelizmit është një kusht i mjaftueshëm, përmbushja e të cilit garanton paralelizmin e vijave. Me fjalë të tjera, plotësimi i këtij kushti është i mjaftueshëm për të vërtetuar faktin e paralelizmit.
Në veçanti, ekzistojnë kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e vijave në rrafsh dhe në hapësirë. Le të shpjegojmë: domosdoshmëri nënkupton kushtin përmbushja e të cilit është e nevojshme që drejtëzat të jenë paralele; nëse nuk plotësohet, vijat nuk janë paralele.
Për ta përmbledhur, një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave është një kusht, respektimi i të cilit është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që drejtëzat të jenë paralele me njëra-tjetrën. Nga njëra anë, kjo është një shenjë e paralelizmit, nga ana tjetër, është një pronë e natyrshme në linjat paralele.
Para se të japim formulimin e saktë të një kushti të nevojshëm dhe të mjaftueshëm, le të kujtojmë disa koncepte shtesë.
Përkufizimi 3
Linja sekante– një drejtëz që kryqëzon secilën nga dy drejtëzat e dhëna jo-përkuese.
Duke kryqëzuar dy vija të drejta, një transversal formon tetë kënde të pazhvilluara. Për të formuluar një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm, do të përdorim lloje të tilla këndesh si të kryqëzuara, përkatëse dhe të njëanshme. Le t'i demonstrojmë ato në ilustrim:
Teorema 2
Nëse dy drejtëza në një rrafsh priten nga një transversal, atëherë që drejtëzat e dhëna të jenë paralele është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këndet kryqëzuese të jenë të barabarta, ose këndet përkatëse të jenë të barabarta, ose shuma e këndeve të njëanshme të jetë e barabartë me 180 gradë.
Le të ilustrojmë grafikisht kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh:
Vërtetimi i këtyre kushteve është i pranishëm në programin e gjeometrisë për klasat 7 - 9.
Në përgjithësi, këto kushte vlejnë edhe për hapësirën tredimensionale, me kusht që dy rreshta dhe një sekant t'i përkasin të njëjtit rrafsh.
Le të tregojmë disa teorema të tjera që përdoren shpesh për të vërtetuar faktin se drejtëzat janë paralele.
Teorema 3
Në një plan, dy drejtëza paralele me një të tretë janë paralele me njëra-tjetrën. Kjo veçori vërtetohet në bazë të aksiomës së paralelizmit të treguar më sipër.
Teorema 4
Në hapësirën tredimensionale, dy drejtëza paralele me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Vërtetimi i shenjës studiohet në kurrikulën e gjeometrisë së klasës së 10-të.
Le të japim një ilustrim të këtyre teoremave:
Le të tregojmë edhe një palë teoremash që vërtetojnë paralelizmin e drejtëzave.
Teorema 5
Në një plan, dy drejtëza pingul me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Le të formulojmë një gjë të ngjashme për hapësirën tre-dimensionale.
Teorema 6
Në hapësirën tredimensionale, dy drejtëza pingul me një të tretën janë paralele me njëra-tjetrën.
Le të ilustrojmë:
Të gjitha teoremat, shenjat dhe kushtet e mësipërme bëjnë të mundur vërtetimin e përshtatshëm të paralelizmit të vijave duke përdorur metodat e gjeometrisë. Kjo do të thotë, për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave, mund të tregohet se këndet përkatëse janë të barabarta, ose të demonstrohet fakti që dy drejtëza të dhëna janë pingul me një të tretë, etj. Por vini re se shpesh është më e përshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për të vërtetuar paralelizmin e vijave në një plan ose në hapësirën tredimensionale.
Paralelizmi i drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor
Në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor, një vijë e drejtë përcaktohet nga ekuacioni i një vije të drejtë në një plan të një prej llojeve të mundshme. Po kështu, një vijë e drejtë e përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale korrespondon me disa ekuacione për një vijë të drejtë në hapësirë.
Le të shkruajmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor në varësi të llojit të ekuacionit që përshkruan linjat e dhëna.
Le të fillojmë me kushtin e paralelizmit të drejtëzave në një rrafsh. Ai bazohet në përkufizimet e vektorit të drejtimit të një drejtëze dhe vektorit normal të një drejtëze në një rrafsh.
Teorema 7
Që dy drejtëza që nuk përputhen të jenë paralele në një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të vijave të dhëna të jenë kolinear, ose vektorët normalë të vijave të dhëna të jenë kolinearë, ose vektori i drejtimit të njërës drejtëze të jetë pingul me vektori normal i vijës tjetër.
Bëhet e qartë se kushti i paralelizmit të drejtëzave në një rrafsh bazohet në kushtin e kolinearitetit të vektorëve ose në kushtin e pingulitetit të dy vektorëve. Kjo do të thotë, nëse a → = (a x, a y) dhe b → = (b x, b y) janë vektorë të drejtimit të drejtëzave a dhe b;
dhe n b → = (n b x, n b y) janë vektorë normalë të drejtëzave a dhe b, atëherë shkruajmë kushtin e mësipërm të nevojshëm dhe të mjaftueshëm si më poshtë: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ose n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ose a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , ku t është një numër real. Koordinatat e udhëzuesve ose vektorëve të drejtë përcaktohen nga ekuacionet e dhëna të drejtëzave. Le të shohim shembujt kryesorë.
- Drejtëza a në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohet nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; drejtëz b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atëherë vektorët normalë të vijave të dhëna do të kenë përkatësisht koordinata (A 1, B 1) dhe (A 2, B 2). Ne shkruajmë kushtin e paralelizmit si më poshtë:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Drejtëza a përshkruhet nga ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi të formës y = k 1 x + b 1 . Drejtëza b - y = k 2 x + b 2. Atëherë vektorët normalë të drejtëzave të dhëna do të kenë koordinata (k 1, - 1) dhe (k 2, - 1), përkatësisht, dhe ne do ta shkruajmë kushtin e paralelizmit si më poshtë:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Kështu, nëse vijat paralele në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor jepen me ekuacione me koeficientë këndorë, atëherë koeficientët këndorë të vijave të dhëna do të jenë të barabartë. Dhe pohimi i kundërt është i vërtetë: nëse linjat jo-përputhëse në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohen nga ekuacionet e një drejtëze me koeficientë identikë këndorë, atëherë këto linja të dhëna janë paralele.
- Linjat a dhe b në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohen nga ekuacionet kanonike të një drejtëze në një rrafsh: x - x 1 a x = y - y 1 a y dhe x - x 2 b x = y - y 2 b y ose nga ekuacionet parametrike të një vijë në një plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y dhe x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Atëherë vektorët e drejtimit të drejtëzave të dhëna do të jenë përkatësisht: a x, a y dhe b x, b y, dhe kushtin e paralelizmit do ta shkruajmë si më poshtë:
a x = t b x a y = t b y
Le të shohim shembuj.
Shembulli 1
Janë dhënë dy rreshta: 2 x - 3 y + 1 = 0 dhe x 1 2 + y 5 = 1. Është e nevojshme të përcaktohet nëse ato janë paralele.
Zgjidhje
Le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze në segmente në formën e një ekuacioni të përgjithshëm:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Shohim që n a → = (2, - 3) është vektori normal i drejtëzës 2 x - 3 y + 1 = 0, dhe n b → = 2, 1 5 është vektori normal i drejtëzës x 1 2 + y 5 = 1.
Vektorët që rezultojnë nuk janë kolinearë, sepse nuk ka një vlerë të tillë të tat që barazia do të jetë e vërtetë:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Pra, kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh nuk plotësohet, që do të thotë se vijat e dhëna nuk janë paralele.
Përgjigje: vijat e dhëna nuk janë paralele.
Shembulli 2
Janë dhënë drejtëzat y = 2 x + 1 dhe x 1 = y - 4 2. A janë ato paralele?
Zgjidhje
Le ta transformojmë ekuacionin kanonik të drejtëzës x 1 = y - 4 2 në ekuacionin e drejtëzës me pjerrësinë:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Shohim që ekuacionet e drejtëzave y = 2 x + 1 dhe y = 2 x + 4 nuk janë të njëjta (nëse do të ishte ndryshe, vijat do të ishin identike) dhe pjerrësia e vijave janë të barabarta, që do të thotë e dhënë vijat janë paralele.
Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin ndryshe. Së pari, le të kontrollojmë nëse linjat e dhëna përkojnë. Ne përdorim çdo pikë në vijën y = 2 x + 1, për shembull, (0, 1), koordinatat e kësaj pike nuk korrespondojnë me ekuacionin e drejtëzës x 1 = y - 4 2, që do të thotë se linjat bëjnë nuk përkon.
Hapi tjetër është të përcaktohet nëse kushti i paralelizmit të drejtëzave të dhëna është i përmbushur.
Vektori normal i drejtëzës y = 2 x + 1 është vektori n a → = (2 , - 1) , dhe vektori i drejtimit të drejtëzës së dytë të dhënë është b → = (1 , 2) . Produkti skalar i këtyre vektorëve është i barabartë me zero:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Kështu, vektorët janë pingul: kjo na demonstron përmbushjen e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e vijave origjinale. Ato. drejtëzat e dhëna janë paralele.
Përgjigje: këto vija janë paralele.
Për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale, përdoret kushti i mëposhtëm i nevojshëm dhe i mjaftueshëm.
Teorema 8
Që dy drejtëza që nuk përputhen në hapësirën tredimensionale të jenë paralele, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të këtyre vijave të jenë kolinear.
Ato. duke pasur parasysh ekuacionet e drejtëzave në hapësirën tredimensionale, përgjigja e pyetjes: a janë ato paralele apo jo, gjendet duke përcaktuar koordinatat e vektorëve të drejtimit të drejtëzave të dhëna, si dhe duke kontrolluar gjendjen e kolinearitetit të tyre. Me fjalë të tjera, nëse a → = (a x, a y, a z) dhe b → = (b x, b y, b z) janë vektorët e drejtimit të drejtëzave a dhe b, përkatësisht, atëherë në mënyrë që ato të jenë paralele, ekzistenca i një numri të tillë real t është i nevojshëm, në mënyrë që barazia të jetë:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Shembulli 3
Janë dhënë drejtëzat x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dhe x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Është e nevojshme të vërtetohet paralelizmi i këtyre rreshtave.
Zgjidhje
Kushtet e problemit jepen nga ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë dhe ekuacionet parametrike të një drejtëze tjetër në hapësirë. Vektorët udhëzues a → dhe b → drejtëzat e dhëna kanë koordinata: (1, 0, - 3) dhe (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, pastaj a → = 1 2 · b →.
Për rrjedhojë, plotësohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave në hapësirë.
Përgjigje: vërtetohet paralelizmi i drejtëzave të dhëna.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Në pjesën për pyetjen si të vërtetohet se drejtëzat janë paralele???? dhënë nga autori Alyonka Yakovleva përgjigja më e mirë është Vetitë e drejtëzave paralele
Teorema
Dy drejtëza paralele me një të tretë janë paralele.
Dëshmi.
Le të jenë drejtëzat a dhe b paralele me drejtëzën c. Le të supozojmë se drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Pastaj ato kryqëzohen në një pikë C. Rezulton se përmes pikës C ka dy drejtëza paralele me drejtëzën c. Por kjo bie ndesh me aksiomën "Përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, ju mund të vizatoni në aeroplan maksimumi një vijë të drejtë paralele me atë të dhënë". Teorema është vërtetuar.
Teorema
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një drejtëz e tretë, atëherë këndet e brendshme të kryqëzuara janë të barabarta.
Dëshmi.
Le të ketë drejtëza paralele a dhe b që priten nga një drejtëz sekante c. Drejtëza c pret drejtëzën a në pikën A dhe drejtëzën b në pikën B. Le të vizatojmë drejtëzën a1 përmes pikës A në mënyrë që drejtëzat a1 dhe b me tërthore c të formojnë kënde të brendshme të barabarta të shtrira në mënyrë tërthore. Sipas kriterit të paralelizmit të drejtëzave, drejtëzat a1 dhe b janë paralele. Dhe meqenëse vetëm një drejtëz paralele me b mund të vizatohet përmes pikës A, atëherë a dhe a1 përkojnë.
Kjo do të thotë se këndet e brendshme tërthore të formuara nga drejtëzat a dhe b janë të barabarta. Teorema është vërtetuar.
Në bazë të teoremës vërtetohet:
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një drejtëz e tretë, atëherë këndet përkatëse janë të barabarta.
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një drejtëz e tretë, atëherë shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është 180º
