Si të gjeni koordinatat e vektorëve të drejtimit. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika

KËNDI MIDIS Aeroplanëve

Konsideroni dy plane α 1 dhe α 2, të përcaktuara përkatësisht nga ekuacionet:

Nën këndi ndërmjet dy rrafsheve do të kuptojmë një nga këndet diedrale të formuara nga këto rrafshe. Është e qartë se këndi midis vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose . Kjo është arsyeja pse . Sepse Dhe , Kjo

.

Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.

Kushti për paralelizmin e dy rrafsheve.

Dy plane α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe për këtë arsye .

Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët e koordinatave përkatëse janë proporcionale:

ose

Gjendja e pingulitetit të planeve.

Është e qartë se dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe për këtë arsye, ose .

Kështu,.

Shembuj.

DREJT NË HAPËSIRË.

EKUACIONI VEKTORI PËR NJË DREJTË.

EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE

Pozicioni i një linje në hapësirë ​​përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.

Një vektor paralel me një drejtëzë quhet udhërrëfyes vektori i kësaj linje.

Pra, le vijën e drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1), i shtrirë në një vijë paralele me vektorin .

Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura duket qartë se .

Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet një parametër. Duke caktuar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni i një vije të drejtë. Tregon se për çdo vlerë parametri t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M, i shtrirë në një vijë të drejtë.

Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formë koordinative. Vini re se, dhe nga këtu

Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet e një drejtëze.

Kur ndryshoni një parametër t koordinatat ndryshojnë x, y Dhe z dhe periudha M lëviz në vijë të drejtë.

EKUACIONET KANONIKE TË DIREKTET

Le M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, Dhe është vektori i drejtimit të tij. Le të marrim përsëri një pikë arbitrare në vijë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.

Është e qartë se vektorët janë gjithashtu kolinearë, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj,

– kanonike ekuacionet e një drejtëze.

Shënim 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ato parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim ose .

Shembull. Shkruani ekuacionin e drejtëzës në formë parametrike.

Le të shënojmë , nga këtu x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Shënim 2. Lëreni drejtëzën të jetë pingul me një nga boshtet koordinative, për shembull boshtin kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau, pra, m=0. Rrjedhimisht, ekuacionet parametrike të drejtëzës do të marrin formën

Duke përjashtuar parametrin nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë

Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të rreshtit në formë . Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, kjo do të thotë se vija e drejtë është pingul me boshtin koordinativ përkatës.

Ngjashëm me ekuacionet kanonike korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau Dhe Oy ose paralel me boshtin Oz.

Shembuj.

EKUACIONET E PËRGJITHSHME TË NJË VJËZE TË DREJTË SI VIJAT E KRYQËZIMIT TË DY RAFSHËVE

Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë ​​ka aeroplanë të panumërt. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Rrjedhimisht, ekuacionet e çdo dy planesh të tilla, të konsideruara së bashku, paraqesin ekuacionet e kësaj linje.

Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të përcaktuara nga ekuacionet e përgjithshme

përcaktoni vijën e drejtë të kryqëzimit të tyre. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme e drejtpërdrejtë.

Shembuj.

Ndërtoni një vijë të dhënë nga ekuacionet

Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me plane koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e drejtëzës, duke supozuar z= 0:

Pasi e kemi zgjidhur këtë sistem, ne gjejmë pikën M 1 (1;2;0).

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:

Nga ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë ju duhet të gjeni një pikë M 1 në një vijë të drejtë dhe vektori i drejtimit të një vije të drejtë.

Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë Dhe . Prandaj, përtej vektorit të drejtimit të vijës së drejtë l ju mund të merrni produktin vektorial të vektorëve normalë:

.

Shembull. Jepni ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës në formën kanonike.

Le të gjejmë një pikë të shtrirë në një vijë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë

. Prandaj, l: .

KËNDI MIDIS TË DREJTAVE

Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy rreshta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Llojet bazë të ekuacioneve të rrafshët.

1) -ekuacioni i planit të përgjithshëm ;

2) - ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) pingul me vektorin normal
;

3)
-ekuacioni i rrafshët në segmente , Ku A, b, Me- vlerat e segmenteve të prera nga rrafshi në akset koordinative Oh ,RRETHy, RRETHz përkatësisht;

4)
-ekuacioni i rrafshët , duke kaluar nëpër tri pika M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ).

Llojet bazë të ekuacioneve drejtvizore.

1)
-ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze , si kryqëzim i dy planeve, ku vektori drejtues i drejtëzës gjendet nga prodhimi vektorial i vektorëve normalë të planeve

;

2)
-ekuacioni kanonik i drejtëzës ose ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) paralel me vektorin;.

3)
- ekuacioni i drejtëzës që kalon dy pika M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) Dhe M 2 (x 2 , y 2 , z 2 );

4)
-ekuacioni vektorial i një drejtëze , Ku
- vektori i rrezes së një pike të shtrirë në një vijë të drejtë,
- vektor i drejtpërdrejtë, ose në formë parametrike
.

Largësia nga pika
në aeroplan përcaktuar nga formula
.

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta , e dhënë në formë kanonike, përcaktohet si këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre

.

Këndi ndërmjet vijës së drejtë
dhe aeroplan përkufizohet kështu:

.

Detyrë. A(1,2,3) paralel me vijën
.

Zgjidhje. Meqenëse vijat janë paralele, do të thotë se vektori i drejtimit për vijën e dëshiruar do të jetë i njëjtë me atë të dhënë, d.m.th.
. Prandaj, ne zbatojmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër pikë A (1,2,3) paralel me vektorin
, d.m.th.
.

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë A(2,-3,5) paralel me një vijë të përcaktuar si kryqëzim i dy rrafsheve:
.

Zgjidhje. Le të gjejmë vektorin e drejtimit të një drejtëze të caktuar përmes produktit vektorial të vektorëve normalë të planeve

.

Pastaj ekuacioni kanonik i drejtëzës që kalon nëpër pikë A(2,-3.5) paralel me vektorin
do
.

Detyrë. Jepet një piramidë ABCD me majat A(1,5,7), B(-1,0,1), ME (3,-2,4), D (0,1,-1 ). Gjeni këndin midis skajit AD dhe buzë ABC.

Zgjidhje. Le të gjejmë ekuacionin e fytyrës ABC, d.m.th. ekuacioni i një rrafshi që kalon nga tre pika A, NË Dhe ME .

Ekuacioni i skajit pas Krishtit - ekuacioni i drejtëzës që kalon në dy pika A Dhe D :

Pastaj do të gjejmë këndin midis skajit dhe faqes duke përdorur formulën për këndin midis një vije të drejtë dhe një rrafshi:

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë A(1,2,3) dhe përmes një drejtëze të dhënë si kryqëzim i dy rrafsheve

.

Zgjidhje. Le të përdorim ekuacionin e një lapsi të rrafsheve që kalojnë nëpër një vijë të caktuar. A Meqenëse avioni duhet të kalojë nëpër pikë λ :

.

, pastaj duke zëvendësuar koordinatat e tij në ekuacionin e rrezes, gjejmë λ Tani, duke zëvendësuar

Detyrë. në ekuacionin e rrezes, marrim planin e dëshiruar:
Gjeni pikën e kryqëzimit të një drejtëze
.

Zgjidhje. dhe aeroplanët t :
.

Parametrikisht, ekuacionet e rreshtit do të shkruhen në formën . Më pas, duke zëvendësuar planet në ekuacion, gjejmë t Sipas kësaj

gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit

Detyra 4.1. ABCD Janë dhënë koordinatat e kulmeve të piramidës

. Gjeni: ABC;

1) Ekuacioni i fytyrës 2) Ekuacioni i lartësisë, DM D i hequr nga pika deri në buzë

ABC; 3) Gjatësia e lartësisë;

DM 4) Ekuacioni i skajit;

DC 4) Ekuacioni i skajit 5) Këndi i fin ABC.

tek avioni1. A(-3;-2;-4),(-4;2;-7), B(5;0;3), D(-1;3;0)

C

2. A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3. A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4. A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5. A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7. A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10. A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11. A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12. A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13. A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)

14. A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15. A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16. A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17. A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18. A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19. A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20. A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21. A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22. A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23. A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24. A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25. A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

Detyra 4.2. Jepen koordinatat e pikave A, B, C

. Kërkohet: 1) hartoni ekuacionin kanonik të drejtëzës;

AB ME 2) krijoni një ekuacion të një drejtëze që kalon nëpër një pikë 1) hartoni ekuacionin kanonik të drejtëzës;

paralel me vijën ME 3) krijoni një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë pingul me një vijë të drejtë

AB;

4) gjeni gjurmët e këtij rrafshi në plane koordinative.

1. A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1), C(0;1;-1).

3. A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2), C(1;-3;2).

7. A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).

9. A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0), C(6;4;0).

11. A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2), C(-1;2;1).

13. A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1), C(2;0;2).

15. A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2), C(-7;13;-3).

17. A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4).

19. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4).

21. A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4), C(3;1;-4).

23. A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1), C(7;-1;-8).

25. A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

Detyra 4.3.

Ekuacioni i drejtëzës jepet në formën e kryqëzimit të dy planeve dhe koordinatave të pikës A. Kërkohet:

1) krijoni një ekuacion të një rrafshi që kalon nëpër një vijë dhe pikë të caktuar A;

2) krijoni një ekuacion kanonik të një drejtëze që kalon nëpër një pikë A dhe paralel me boshtin RRETHX;

Drejt në një avion.

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Para se të prezantojmë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze në një plan, le të prezantojmë përkufizimin e përgjithshëm të një drejtëze.

Përkufizimi. Ekuacioni i formës

F (x,y)=0 (1)

quhet ekuacioni i linjës L në një sistem të caktuar koordinativ, nëse koordinatat e plotësojnë këtë X Dhe nëçdo pikë që shtrihet në vijë L, dhe mos plotësoni koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në këtë vijë.

Shkalla e ekuacionit (1) përcakton renditja e linjës. Do të themi se ekuacioni (1) përcakton (vendos) vijën L.

Përkufizimi. Ekuacioni i formës

Ah+Bu+C=0 (2)

për koeficientët arbitrar A, NË, ME (A Dhe NË nuk janë njëkohësisht të barabarta me zero) përcaktojnë një drejtëz të caktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor. Ky ekuacion quhet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës.

Ekuacioni (2) është një ekuacion i shkallës së parë, pra, çdo drejtëz është një vijë e rendit të parë dhe, anasjelltas, çdo vijë e rendit të parë është një drejtëz.

Le të shqyrtojmë tre raste të veçanta kur ekuacioni (2) është i paplotë, d.m.th. disa nga koeficientët janë zero.

1) Nëse С=0, atëherë ekuacioni ka formën Ah+Wu=0 dhe përcakton një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave sepse koordinatat (0,0) plotësojnë këtë ekuacion.

2) Nëse B=0 (A≠0), atëherë ekuacioni ka formën Ах+С=0 dhe përcakton një drejtëz paralele me boshtin e ordinatës. Zgjidhja e këtij ekuacioni për ndryshoren X marrim një ekuacion të formës x=a, Ku a=-C/A, A- madhësia e segmentit që pritet nga vija e drejtë në boshtin e abshisës. Nëse a=0 (С=0 Oh(Fig. 1a). Kështu, drejt x=0 përcakton boshtin e ordinatave.

3) Nëse A=0 (B≠0), atëherë ekuacioni ka formën Wu+C=0 dhe përcakton një vijë të drejtë paralele me boshtin x. Zgjidhja e këtij ekuacioni për ndryshoren në marrim një ekuacion të formës y=b, Ku b = -С/В, b- madhësia e segmentit që pret vijën e drejtë në boshtin e ordinatave. Nëse b =0 (С=0), atëherë vija e drejtë përkon me boshtin Oh(Fig. 1b). Kështu, drejt y=0 përcakton boshtin x.

A) b)

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Le të jepet ekuacioni Ah+Bu+C=0 me kusht që asnjë nga koeficientët të mos jetë zero. Le të transferojmë koeficientin ME në anën e djathtë dhe ndaje me - ME të dyja pjesët.

Duke përdorur shënimin e paraqitur në paragrafin e parë, marrim ekuacionin e vijës së drejtë " në segmente»:

E ka këtë emër për shkak të numrave A Dhe b janë vlerat e segmenteve që i pret vija e drejtë në boshtet koordinative.

Shembull 2x-3y+6=0. Hartoni një ekuacion "në segmente" për këtë rresht dhe ndërtoni këtë vijë.

Zgjidhje

Për të ndërtuar këtë vijë të drejtë, le të vizatojmë në bosht Oh segment a=-3, dhe në bosht Oh segment b =2. Vizatojmë një vijë të drejtë nëpër pikat e marra (Fig. 2).

Ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor.

Le të jepet ekuacioni Ah+Bu+C=0 me kusht që koeficienti NË jo e barabartë me zero. Le të bëjmë transformimet e mëposhtme

Ekuacioni (4), ku k =-A/B, quhet ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Përkufizimi. Këndi i animit dhënë e drejtpërdrejtë te boshti Oh le ta quajmë këndin α , në të cilin boshti duhet të rrotullohet Oh në mënyrë që drejtimi pozitiv i saj të përputhet me një nga drejtimet e drejtëzës.

Tangjentja e këndit të prirjes së drejtëzës me boshtin Oh e barabartë me pjerrësinë, d.m.th. k =tgα. Le ta vërtetojmë këtë – A/B vërtetë të barabartë k. Nga një trekëndësh kënddrejtë ΔOAV(Fig. 3) shprehemi tgα, Le të bëjmë transformimet e nevojshme dhe të marrim:

Q.E.D.

Nëse k =0, atëherë drejtëza është paralele me boshtin Oh, dhe ekuacioni i tij ka formën y=b.

Shembull. Vija e drejtë jepet nga ekuacioni i përgjithshëm 4x+2y-2=0. Shkruani një ekuacion me pjerrësi për këtë rresht.

Zgjidhje. Le të kryejmë transformime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, marrim:

Ku k=-2, b=1.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar me një pjerrësi të caktuar.

Le të jepet një pikë M 0 (x 0, y 0) vija e drejtë dhe pjerrësia e saj k. Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës në formën (4), ku b- një numër i panjohur ende. Që nga pika M 0 i përket një drejtëze të caktuar, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin (4): . Zëvendësimi i shprehjes për b në (4), marrim ekuacionin e kërkuar të vijës së drejtë:

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikën M(1,2) dhe e prirur nga boshti Oh në një kënd prej 45 0.

Zgjidhje. k =tgα =tg 45 0 =1. Nga këtu:.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Le të jepen dy pikë M 1 (x 1, y 1) Dhe M 2 (x 2, y 2). Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës në formën (5), ku k Koeficienti ende i panjohur:

Që nga pika M 2 i përket një drejtëze të caktuar, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin (5): . Duke u shprehur nga këtu dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin (5), marrim ekuacionin e kërkuar:

Nëse ky ekuacion mund të rishkruhet në një formë që është më e përshtatshme për memorizimin:

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikat M 1 (1,2) dhe M 2 (-2,3)

Zgjidhje. . Duke përdorur vetinë e proporcionit dhe duke kryer transformimet e nevojshme, marrim ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë:

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta

Konsideroni dy vija të drejta l 1 Dhe l 2:

l 1: , , Dhe

l 2: , ,

φ është këndi ndërmjet tyre (). Nga figura 4 është e qartë: .

Nga këtu, ose

Nëse drejt l 1 Dhe l 2 atëherë janë pingule φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Pra, kushti për pingulitetin e dy drejtëzave është që koeficientët këndorë të tyre të jenë të kundërt në madhësi dhe të kundërt në shenjë.