Formulat ose rregullat e shkurtuara të shumëzimit përdoren në aritmetikë, më konkretisht në algjebër, për të përshpejtuar procesin e vlerësimit të shprehjeve të mëdha algjebrike. Vetë formulat rrjedhin nga rregullat ekzistuese në algjebër për shumëzimin e disa polinomeve.
Përdorimi i këtyre formulave ofron një zgjidhje mjaft të shpejtë për probleme të ndryshme matematikore, dhe gjithashtu ndihmon në thjeshtimin e shprehjeve. Rregullat e transformimeve algjebrike ju lejojnë të kryeni disa manipulime me shprehje, pas të cilave mund të merrni në anën e majtë të barazisë shprehjen në anën e djathtë, ose të transformoni anën e djathtë të barazisë (për të marrë shprehjen në anën e majtë pas shenjës së barazimit).
Është e përshtatshme të njihni formulat e përdorura për shumëzim të shkurtuar nga kujtesa, pasi ato shpesh përdoren në zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve. Më poshtë janë formulat kryesore të përfshira në këtë listë dhe emrat e tyre.
Sheshi i shumës
Për të llogaritur katrorin e shumës, duhet të gjeni shumën që përbëhet nga katrori i termit të parë, dyfishi i produktit të termit të parë dhe i dyti dhe katrori i të dytës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull shkruhet si më poshtë: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Diferenca në katror
Për të llogaritur katrorin e diferencës, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga katrori i numrit të parë, dyfishi i produktit të numrit të parë dhe i dyti (i marrë me shenjën e kundërt) dhe katrori i numrit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Dallimi i katrorëve
Formula për ndryshimin e dy numrave në katror është e barabartë me produktin e shumës së këtyre numrave dhe ndryshimin e tyre. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Kubi i shumës
Për të llogaritur kubin e shumës së dy termave, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga kubi i termit të parë, të trefishoni produktin e katrorit të termit të parë dhe të dytë, të trefishoni produktin e termit të parë dhe të dytë. në katror, dhe kubi i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Shuma e kubeve
Sipas formulës, është e barabartë me produktin e shumës së këtyre termave dhe katrorin e tyre jo të plotë të diferencës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i një figure të formuar duke shtuar dy kube. Dihen vetëm përmasat e anëve të tyre.
Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë të thjeshta.
Nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të rëndë, atëherë në këtë rast është më e lehtë të përdoret formula "Shuma e kubeve", e cila do të thjeshtojë shumë llogaritjet.
Kubi i diferencës
Shprehja për ndryshimin kub tingëllon kështu: si shuma e fuqisë së tretë të termit të parë, trefishoni produktin negativ të katrorit të termit të parë me të dytin, trefishoni produktin e termit të parë me katrorin e të dytës dhe kubi negativ i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje matematikore, kubi i diferencës duket kështu: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Dallimi i kubeve
Diferenca e formulës së kubeve ndryshon nga shuma e kubeve vetëm me një shenjë. Kështu, diferenca e kubeve është një formulë e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre numrave dhe katrorin e tyre jo të plotë të shumës. Në formën e një shprehjeje matematikore, ndryshimi i kubeve duket kështu: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i figurës që do të mbetet pas zbritjes së figurës vëllimore të verdhë, e cila është gjithashtu një kub, nga vëllimi i kubit blu. Dihet vetëm madhësia anësore e kubit të vogël dhe të madh.
Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë mjaft të thjeshta. Dhe nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të konsiderueshëm, atëherë ia vlen të aplikoni formulën me titull "Diferenca e kubeve" (ose "Kubi i ndryshimit"), i cili do të thjeshtojë shumë llogaritjet.
Vëllimi V kub (gjashtëkëndor) me anë a e barabartë me madhësinë e kësaj ane të ngritur në fuqinë e tretë: V = a3. Vëllimi i një kubi gjendet duke shumëzuar sipërfaqen e katrorit a2 i shtrirë në bazën e tij deri në lartësinë e kubit a.
Video tutorial për llogaritjen e vëllimit të një kubi(nga shenja 2:29).
Meqenëse vëllimi i një kubi llogaritet si fuqia e tretë e anës së tij, ngritja e tij në fuqinë e tretë quhet në kubikë, dhe rezultati i marrë është kubi i vlerës origjinale.
Vëllimi i një kubi mund të shprehet edhe me madhësinë e diagonales së tij kryesore D dhe dianonale d fytyra e saj katrore:
V = a3 = d3/2·√(2) = d3/3·√(3).
Sipërfaqja S kubik me anë a e barabartë me shumën e sipërfaqeve të gjashtë faqeve të saj katrore, secila prej të cilave është e barabartë me a2. Kështu, zona e kubit S = 6a2.
Gjatësia totale e brinjëve Kuba L=12a, meqenëse kubi ka 12 skaje, secila gjatësi a.
Çfarë është një çift kinematik i klasës së tretë
Një mekanizëm është një sistem trupash i krijuar artificialisht i krijuar për të transformuar lëvizjen e një ose më shumë trupave në lëvizjet e nevojshme të trupave të tjerë. Një lidhje mekanizmi është secili prej trupave që përbëjnë mekanizmin, shpesh i përbërë nga një kompleks pjesësh që janë të artikuluara pa lëvizje me njëra-tjetrën. Lidhjet e mekanizmit janë: të ngurtë; elastike (
Kur Rada Qendrore shpalli të tretën universale
Rada Qendrore, Rada Qendrore e Ukrainës (Rada Qendrore e Ukrainës, lit. "Këshilli Qendror") është një nga organet e autoriteteve të ndryshme qeveritare në Ukrainë, e formuar pas Revolucionit të Shkurtit, 4 (17 Mars), 1917, me iniciativën e Partneritetit. i Progresivëve të Ukrainës (më vonë - Partia Socialiste e Ukrainës
Cili është kulti i Ilithisë
Ilithyia (gjithashtu Eilithyia/Ilithyia, greqishtja e vjetër, mikenasja e-re-u-ti-ja, Elythia) - në mitologjinë e lashtë, një perëndeshë shoqëruese e lindjes, zakonisht shfaqet si një forcë shpëtimtare, por ndonjëherë si një forcë armiqësore gjatë lindjes. Pa ndihmën e saj, lindja nuk mund të ndodhë. Ndonjëherë Ilithyia është një atribut i thjeshtë i Herës ose Artemidës, ndonjëherë një i pavarur
Kush e shpiku iPod-in
iPod është një MP3 player portativ nga kompania amerikane Apple, i prezantuar për herë të parë më 23 tetor 2001. Ideja për Apple iPod erdhi te Tony Fadell, i cili ndihmoi në zhvillimin e pajisjeve portative për kompani të tilla si General Magic dhe Philips. IPO për herë të parë
Cila është përbërja e ekipit rus të patinazhit me shpejtësi të shkurtër në Lojërat Olimpike të Soçit?
Lojërat Olimpike XXII Dimërore do të mbahen në Soçi nga 6 deri më 23 shkurt 2014. Në të do të marrin pjesë atletë nga 95 vende. Orarin dhe rezultatet e garave në Lojërat Olimpike të Soçit mund t'i gjeni këtu. Bobslator Alexander Zubkov do të mbajë flamurin rus në ceremoninë e hapjes së Lojërave Olimpike të Soçit. Përbërja e ekipit olimpik rus në Soçi në të gjitha sportet dhe
Kur u mat për herë të parë distanca nga yjet?
I pari që mati distancën me yllin Vega në 1837 ishte astronomi rus Vasily Yakovlevich Struve (në atë kohë drejtori i Observatorit Dorpat, dhe më vonë i Observatorit Pulkovo). Ai përcaktoi se paralaksa e yllit Vega ishte 0,12 sekonda harkore, që korrespondon me një distancë prej 8,3 parsekë (=27 vite dritë). Një vit më pas Friedrich Wilg
Çfarë do të thotë emri Afanasy
Kujdes: Informacioni i paraqitur më poshtë nuk ka bazë shkencore. Athanasius Kuptimi: "I pavdekshëm" Origjina: Emri grek. Forma ukrainase e emrit është Opanas, forma bjelloruse është Apanas. Karakteri*: Ky është një studiues i lindur. Me një shprehje thjeshtësie dinake, ai, ende i paaftë për të ecur, do t'i nxjerrë të gjitha sirtarët
Si të bëni shtretër luleshtrydhe
Luleshtrydhet janë një produkt ushqimor dietik që shuan etjen, stimulon oreksin dhe përmirëson tretjen. Manaferrat e freskëta përdoren për hipertension, aterosklerozë, ulçera gastrike dhe duodenale, kapsllëk dhe për ata me metabolizëm të dëmtuar të kripës. Luleshtrydhet përmbajnë sheqer, karotinë, acid citrik dhe malik, kripëra hekuri, fosfor,
Si të përgatisim salcën tkemali
Salca Tkemali është një salcë gjeorgjiane kumbulle që përdoret kryesisht me gatimet anësore të peshkut, mishit, shpendëve, patateve dhe makaronave. Përbërësit kryesorë të salcës janë kumbulla tkemali, hudhra dhe barishtet; Gjatë gatimit, përdoret gjithmonë erëza ombalo - tkemali klasik nuk mund të bëhet pa të. Kultivohet kumbulla Tkemali
Cila është përmbajtja kalorike e salsiçeve?
Përmbajtja kalorike e ushqimit, tabela e përmbajtjes kalorike. Nevojat e njeriut për energji maten në kilokalori (kcal). Fjala "kalori" vjen nga latinishtja dhe do të thotë "nxehtësi". Në fizikë, kaloritë matin energjinë. Një kilocalori është sasia e energjisë
Si të mposhtim celulitin
Celuliti shfaqet në më shumë se 80% të femrave dhe tek meshkujt shfaqet vetëm në raste të rralla. Sëmundja mund të ndodhë në çdo moshë. Megjithatë, celuliti zhvillohet veçanërisht shpesh me fillimin e pubertetit. Është vërtetuar se nuk lidhet drejtpërdrejt me plakjen. Aromaterapia është një mënyrë efektive për të luftuar celulitin. Për të përgatitur një banjë anticelulit
Metoda 1 nga 3: Kuboni skajin e një kubi
- Gjeni gjatësinë e njërës skaj të kubit. Si rregull, gjatësia e skajit të kubit jepet në deklaratën e problemit. nëse ti
llogaritni vëllimin e një objekti kub të vërtetë, matni skajin e tij me një vizore ose matës shiriti.
Le të shqyrtojmë shembull. Buza e kubit është 5 cm Gjeni vëllimin e kubit.
Kuboni gjatësinë e skajit të kubit. Me fjalë të tjera, shumëzojeni gjatësinë e skajit të kubit me vete tre herë.
Nëse sështë gjatësia e buzës së kubit, atëherë
dhe kështu do të llogarisni vëllimi i kubit.
Ky proces është i ngjashëm me procesin e gjetjes së sipërfaqes së bazës së një kubi (e barabartë me produktin e kohërave të gjatësisë
gjerësia e katrorit në bazë) dhe më pas shumëzimi i sipërfaqes së bazës me lartësinë e kubit (d.m.th.
me fjalë të tjera, ju shumëzoni gjatësinë me gjerësinë me lartësinë). Meqenëse në një kub gjatësia e një skaji është e barabartë me gjerësinë dhe
e barabartë me lartësinë, atëherë ky proces mund të zëvendësohet duke ngritur skajin e kubit në fuqinë e tretë.
Në shembullin tonë vëllimi i kubit e barabartë me:
- Shtoni njësi vëllimi në përgjigjen tuaj. Meqenëse vëllimi është sasior
karakteristikë e hapësirës që zë një trup, atëherë njësitë matëse të vëllimit janë kub
njësi (centimetra kub, metra kub, etj.).
Në shembullin tonë, madhësia e skajit të kubit është dhënë në centimetra, kështu që vëllimi do të matet në kub
centimetra (ose cm 3). Pra, vëllimi i kubit është 125 cm3.
Nëse madhësia e skajit të një kubi jepet në njësi të tjera, atëherë vëllimi i kubit matet në masën përkatëse
njësi kubike.
Për shembull, nëse skaji i një kubi është 5 m (dhe jo 5 cm), atëherë vëllimi i tij është 125 m 3.
Metoda 2 nga 3: Llogaritni vëllimin nga sipërfaqja
- Në disa probleme nuk jepet gjatësia e skajit të kubit, por jepen sasi të tjera me ndihmën e të cilave ju
ju mund të gjeni skajin e kubit dhe vëllimin e tij. Për shembull, nëse ju jepet sipërfaqja e një kubi, atëherë ndajeni
me 6, merrni rrënjën katrore nga vlera që rezulton dhe do të gjeni gjatësinë e skajit të kubit. Pastaj
Ngrini gjatësinë e skajit të kubit në fuqinë e tretë dhe llogaritni vëllimin e kubit.
Sipërfaqja e një kubi e barabartë me 6s 2,
Ku s - gjatësia e buzës së kubit(d.m.th., ju gjeni sipërfaqen e njërës faqe të kubit dhe pastaj e shumëzoni atë me 6, kështu që
si një kub ka 6 anë të barabarta).
Le të shqyrtojmë shembull. Sipërfaqja e kubit është 50 cm2. Gjeni vëllimin e kubit.
- Ndani sipërfaqen e kubit me 6 (pasi kubi ka 6 anë të barabarta, ju merrni sipërfaqen
njëra faqe e kubit). Nga ana tjetër, sipërfaqja e njërës faqe të kubit është e barabartë me s 2, Ku s- gjatësia e skajit të kubit.
Në shembullin tonë: 50/6 = 8,33 cm 2 (kujtoni se sipërfaqja matet në njësi katrore - cm 2,
m 2, etj.).
- Meqenëse sipërfaqja e njërës faqe të një kubi është s 2, pastaj merrni rrënjën katrore të vlerës së sipërfaqes
një fytyrë dhe merrni gjatësinë e skajit të kubit.
Në shembullin tonë, √8.33 = 2.89 cm.
- Kuboni vlerën që rezulton për të gjetur vëllimin e kubit.
Në shembullin tonë: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 cm3. Mos harroni të shtoni kub në përgjigjen tuaj.
njësive.
Metoda 3 nga 3: Llogaritja e vëllimit në mënyrë diagonale
- Ndani diagonalen e njërës prej faqeve të kubit me √2 për të gjetur gjatësinë e skajit të kubit. Kështu,
nëse problemit i jepet diagonalja e një fytyre (çdo) të një kubi, atëherë mund të gjeni gjatësinë e skajit të kubit duke e ndarë
diagonale me √2.
Le të shqyrtojmë shembull. Diagonalja e faqes së kubit është 7 cm Gjeni vëllimin e kubit. Në këtë rast, gjatësia e skajit të kubit
e barabartë me 7/√2 = 4,96 cm Vëllimi i kubit është 4,963 = 122,36 cm 3.
Mbani mend: d2 = 2s2,
Ku d- diagonalja e faqes së kubit, s - buza e kubit. Kjo formulë rrjedh nga Teorema e Pitagorës, sipas
me të cilin katrori i hipotenuzës (në rastin tonë, diagonalja e faqes së kubit) të një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me
shuma e katrorëve të këmbëve (në rastin tonë, skajet), që është:
d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2.
- Ndani diagonalen e kubit me √3 për të gjetur gjatësinë e skajit të kubit. Kështu, nëse në problem
duke pasur parasysh diagonalen e një kubi, atëherë mund të gjesh gjatësinë e skajit të kubit duke e ndarë diagonalen me √3.
Diagonalja e një kubi- një segment që lidh dy kulme që janë simetrike në lidhje me qendrën e kubit, e barabartë me
D2 = 3s2
(ku D- diagonalja e kubit, s- buza e kubit).
Kjo formulë rrjedh nga teorema e Pitagorës, sipas së cilës katrori i hipotenuzës (në rastin tonë
diagonalja e kubit) e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve (në rastin tonë, njëra këmbë është
kjo është një skaj, dhe këmba e dytë është diagonalja e faqes së kubit, e barabartë me 2s 2), kjo eshte
D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2.
Le të shqyrtojmë shembull. Diagonalja e kubit është 10 m Gjeni vëllimin e kubit.
D2 = 3s2
10 2 = 3s 2
100 = 3s 2
33,33 = s 2
5,77 m = s
Vëllimi i kubit është 5.773 = 192.45 m3.
Teknologjia moderne krijon programe të mahnitshme kompjuterike. Ato ju lejojnë të shihni trupat në vëllim dhe t'i rrotulloni në drejtime të ndryshme për të marrë një pamje më të mirë. Imagjinata njerëzore nuk është gjithmonë e aftë për këtë. Pak njerëz mund ta imagjinojnë qartë një objekt dhe ta shohin atë sikur përmes tij. Por mund të përpiqeni të zhvilloni një aftësi të tillë kur zgjidhni problemet e gjeometrisë. Për shembull, ato që flasin për mënyrën e gjetjes së vëllimit të një kubi. Kjo është një praktikë e shkëlqyer për zhvillimin e imagjinatës hapësinore.
Kub apo paralelipiped?
Kjo nuk është një pyetje boshe. Sepse klasifikimi është i rëndësishëm. Në fund të fundit, një kub është një formë e veçantë e një paralelepipedi drejtkëndor.
Kjo e fundit është një figurë me 6 faqe, të gjitha drejtkëndëshe. Këndet në të cilat kryqëzohen të gjitha skajet janë 90º. Prandaj, nëse këto fytyra bëhen katrore, atëherë e gjithë figura do të shndërrohet në një kub.
Për një paralelipiped drejtkëndor, të gjitha dimensionet lineare, domethënë lartësia, gjatësia dhe gjerësia, mund të ndryshojnë ndjeshëm. Në një kub ata janë gjithmonë të barabartë me njëri-tjetrin. Ky është tipari i tij dallues. Prandaj, në problemet që kërkojnë gjetjen e vëllimit të një kubi, sigurisht që merret parasysh momenti i konsideruar. Nga rruga, ajo thjeshton ndjeshëm të gjitha shënimet dhe llogaritjet matematikore.
Konventat në formula dhe problema
Pa këtë pikë, do të jetë e vështirë të kuptosh se si shkruhen formulat. Tabela e mëposhtme do t'ju tregojë se çfarë nënkuptohet me secilën shkronjë dhe simbol.
Si të gjeni elementet e një kubi në anën e tij?
Meqenëse fytyra e figurës është një katror, sipërfaqja e saj përcaktohet me formulën nr. 1, në të cilën duhet të vendoset në katror një vlerë e njohur:
A diagonale e çdo fytyre llogaritet duke përdorur formulën nr. 2, në të cilën ana shumëzohet me rrënjën e 2:
Formula e mëparshme është marrë nga teorema e Pitagorës. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar nëse shihni se diagonalja e një fytyre është hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë. Dhe këmbët e tij bëhen anët e sheshit.
Për të përcaktuar do t'ju duhet formula e mëposhtme nr. 3, që përmban anën e njohur dhe rrënjën katrore të 3:
Ai gjithashtu vjen nga teorema e Pitagorës. Vetëm diagonalja e dëshiruar vepron si hipotenuzë. Brinjët e katrorit dhe diagonalja e tij bëhen brinjë.
Ndonjëherë ju duhet të dini formulën për të llogaritur sipërfaqja anësore këtë shifër. Në të, katrori i anës shumëzohet me 4. Këtu është (nr. 4):
Nuk është e vështirë të kuptosh se si përftohet kjo formulë. Ka 4 faqe anësore, kjo do të thotë se sipërfaqja e tyre është katërfishi i një katrori.
Nëse keni nevojë të përcaktoni sipërfaqe totale, më pas përdorni këtë shënim, në të cilin katrori i skajit është gjashtëkëndor (formula nr. 5):
Është marrë në mënyrë të ngjashme me formulën e mëparshme, vetëm numri i katrorëve është rritur në 6.
Çfarë është vëllimi?
E thënë thjesht, ky është vendi që zë çdo trup në hapësirë. Çdo objekt është i kufizuar në hapësirë nga sipërfaqet. Mund të ketë disa prej tyre, por mund të ketë raste kur ka vetëm një. Për shembull, nëse trupi është një top. Por këto sipërfaqe janë domosdoshmërisht të mbyllura. Hapësira që zë një trup gjeometrik do të jetë kapaciteti ose vëllimi i tij.
Njësitë e volumit
Kur bëhet fjalë për trupat e ngurtë, njësitë e vëllimit do të jenë gjithmonë sasi kub. Për shembull, metër, centimetër ose kilometër në kub. Për lëngjet përdoren litra, të cilat shprehen në decimetra kub. Por nëse ato zënë vëllime shumë të mëdha, atëherë ato maten edhe në metra kub. Për shembull, kur llogaritet konsumi i ujit në një apartament, ai llogaritet në m3. Kjo e bën atë më të përshtatshëm dhe më të thjeshtë në aspektin numerik.
Metoda 1: zbuloni vëllimin e një kubi nëse dihet ana
Kjo është metoda më e thjeshtë që do t'ju tregojë se si të gjeni vëllimin e një kubi. Ai konsiston thjesht në ngritjen e vlerës së anës në fuqinë e tretë. Me fjalë të tjera, ju duhet të shumëzoni anën në vetvete tre herë. Për analogji me një paralelipiped arbitrar drejtkëndor, kur ishte e nevojshme të shumëzoheshin të gjitha dimensionet e tij lineare. Formula do të shkruhet kështu (nr. 6):
Metoda 2: zona e të gjithë sipërfaqes është e njohur
Në këtë rast, do t'ju duhet të ndani vlerën e njohur me 6. Merrni rrënjën katrore të përgjigjes së ndërmjetme dhe kuboni numrin. Nëse e shkruajmë këtë si formulë, marrim sa vijon (nr. 7):
Metoda 3: jepet diagonalja e faqes së kubit
Për të zbuluar se si të llogarisni vëllimin e një kubi, në këtë rast duhet të kryeni hapat e mëposhtëm. Së pari, kubike vlerën e njohur, dhe pastaj shumëzojeni atë me rrënjën katrore të 2 dhe pjesëtojeni me 4. Formula për këtë problem (nr. 8):
Ky ekuacion fitohet në këtë mënyrë: diagonalja e njohur duhet të ndahet me rrënjën e dy. Pastaj ngrini numrin në fuqinë e tretë. Pas kryerjes së shndërrimeve fitohet kubi i diagonales në numërues, kurse 2√2 në emërues. Matematika kërkon që të mos ketë numër irracional poshtë vijës. Prandaj, eliminohet duke shumëzuar me √2. Pastaj √2 shfaqet në numërues dhe 4 shfaqet në emërues.
Metoda 4: diagonale kubike
Formula që do t'ju tregojë se si të gjeni vëllimin e një kubi do të përmbajë hapat e mëposhtëm: katrorin e diagonales, shumëzimin e saj me rrënjën e 3 dhe pjesëtimin e totalit me 9. Do të shkruhet kështu (nr. 9):
Ngjashëm me formulën e mëparshme, në këtë hyrje diagonalja ndahet fillimisht me rrënjën e tre dhe kubike. Pas transformimeve, në emërues shfaqet edhe irracionaliteti, i cili duhet shmangur. Kështu, vlera √3 shfaqet në numërues, dhe 9 shfaqet poshtë vijës.
Shembuj detyrash
Detyra e parë. Jepet një kub me buzë 12 cm Njehsoni vëllimin e tij dhe shprehni përgjigjen në metra katrorë.
Në këtë detyrë, do të jetë më e vështirë të konvertosh përgjigjen në njësi të tjera sesa të vendosësh se si të gjesh vëllimin e një kubi. Për të përfunduar pjesën e parë të detyrës, do t'ju duhet formula e shkruar nën numrin 6. Pasi të keni kubuar numrin 12, përgjigja do të jetë 1728 cm 3. Tani duhet të kujtojmë se si t'i konvertojmë ato në metra kub. Për këtë qëllim, përgjigja duhet të ndahet me 100 tre herë. Njëqind vjen nga fakti se ka saktësisht njëqind centimetra në një metër. Dhe ndarja kryhet tre herë, sepse njësitë në detyrë janë kub. Pra, 1728 pjesëtuar me 100 jep 17.28. Pas ndarjes së dytë ju merrni 0.1728. Veprimi i tretë do të japë përgjigjen 0.001728 m 3. Kjo është përgjigja e problemit: vëllimi i kubit është 0,001728 m 3 .
Detyra dy. Ekziston një kub me të gjithë sipërfaqen e tij të barabartë me 600 dm 2. Gjeni vëllimin e figurës dhe shpreheni atë në metra kub.
Për t'iu përgjigjur pyetjes së kësaj detyre, do t'ju duhet formula numër 7. Hapi i parë është pjesëtimi i numrit të njohur me 6. Përgjigja është 100. Është e lehtë të nxirret rrënjë katrore prej saj, do të jetë e barabartë me 10. Tani dhjetë duhet të kube. Rezulton se vlera e dëshiruar është 1000 dm 3. Mbetet për ta kthyer atë në m3. Si në problemin e mëparshëm, pjesëtimi do të kryhet tre herë, vetëm pjesëtuesi do të jetë 10. Sepse në një metër ka dhjetë decimetra. Pas pjesëtimit, përgjigja është e barabartë me 1 m 3. Përgjigje: vëllimi është 1 m 3.
Detyra e tretë. Jepet një kub me një gjatësi diagonale të faqes së tij të barabartë me √2 mm. Duhet të llogarisim vëllimin.
Formula e tetë do t'ju ndihmojë të gjeni përgjigjen për këtë problem. Hapi i parë është kubimi i një sasie të njohur. Rrënja katrore e 2 në fuqinë e tretë jep vlerën 2√2. Pas shumëzimit me √2, fitohet numri 4. Hapi i fundit është pjesëtimi i tij me 4. Përgjigje: vëllimi i kubit është 1 mm 3.
Detyra katër. Dihet që diagonalja e një kubi është 3 m.
Do të jetë e lehtë të gjesh përgjigjen e këtij problemi duke përdorur formulën numër 9. Vlera e dhënë në kusht duhet të jetë kub. Rezultati është 27. Pasi e pjesëtojmë me 9, përgjigja bëhet 3. Dhe hapi i fundit është ta shumëzojmë me rrënjën katrore të 3. Përgjigja e problemës do të jetë 3√3 m 3.
Kubi është një figurë e mahnitshme. Është e njëjtë në të gjitha anët. Secila nga fytyrat e saj mund të bëhet menjëherë një bazë ose një anë. Dhe asgjë nuk do të ndryshojë nga kjo. Dhe formulat për të janë gjithmonë të lehta për t'u mbajtur mend. Dhe nuk ka rëndësi se çfarë duhet të gjeni - vëllimi ose sipërfaqja e kubit. Në rastin e fundit, as nuk keni nevojë të mësoni ndonjë gjë të re. Mjafton të mbani mend vetëm formulën për sipërfaqen e një katrori.
Çfarë është zona?
Kjo vlerë zakonisht shënohet me shkronjën latine S. Për më tepër, kjo është e vërtetë për lëndët shkollore si fizika dhe matematika. Ajo matet në njësi katrore të gjatësisë. Gjithçka varet nga sasitë e dhëna në problem. Këto mund të jenë mm, cm, m ose km në katror. Për më tepër, mund të ketë raste kur njësitë as që tregohen. Po flasim thjesht për shprehjen numerike të zonës pa emër.
Pra, çfarë është zona? Kjo është një sasi që është një karakteristikë numerike e figurës ose trupit vëllimor në fjalë. Ajo tregon madhësinë e sipërfaqes së saj, e cila është e kufizuar nga anët e figurës.
Çfarë forme quhet kub?
Kjo figurë është një poliedron. Dhe jo e lehtë. Është e saktë, domethënë të gjithë elementët e tij janë të barabartë me njëri-tjetrin. Qofshin anët apo skajet. Çdo sipërfaqe e kubit është një katror.
Një tjetër emër për një kub është një gjashtëkëndësh i rregullt, ose në rusisht, një gjashtëkëndësh. Mund të formohet nga një prizëm katërkëndor ose paralelipiped. Në varësi të kushtit që të gjitha skajet të jenë të barabarta dhe këndet të formojnë 90 gradë.
Kjo shifër është aq harmonike sa që përdoret shpesh në jetën e përditshme. Për shembull, lodrat e para të një fëmije janë blloqe. Dhe argëtimi për më të moshuarit është Kubi i Rubikut.
Si lidhet kubi me forma dhe trupa të tjerë?
Nëse vizatoni një pjesë të një kubi që kalon nëpër tre faqet e tij, ai do të duket si një trekëndësh. Ndërsa largoheni nga lart, seksioni kryq do të bëhet më i madh. Do të vijë momenti kur 4 fytyra do të kryqëzohen, dhe figura e prerjes tërthore do të bëhet katërkëndësh. Nëse vizatoni një seksion përmes qendrës së kubit në mënyrë që të jetë pingul me diagonalet e tij kryesore, do të merrni një gjashtëkëndësh të rregullt.
Brenda kubit mund të vizatoni një tetraedron (piramidë trekëndore). Një nga këndet e tij merret si kulm i katërkëndëshit. Tre të tjerat do të përkojnë me kulmet që shtrihen në skajet e kundërta të skajeve të këndit të zgjedhur të kubit.
Mund të vendosni një tetëkëndësh në të (një shumëkëndësh i rregullt konveks që duket si dy piramida të lidhura). Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni qendrat e të gjitha fytyrave të kubit. Ato do të jenë kulmet e tetëkëndëshit.
Operacioni i kundërt është gjithashtu i mundur, domethënë, në të vërtetë është e mundur të vendoset një kub brenda tetëkëndëshit. Vetëm tani qendrat e fytyrave të së parit do të bëhen kulme për të dytën.
Metoda 1: Llogaritja e sipërfaqes së një kubi bazuar në skajin e tij
Për të llogaritur të gjithë sipërfaqen e një kubi, do t'ju duhet të dini një nga elementët e tij. Mënyra më e thjeshtë për t'u zgjidhur është kur njihni skajin e tij ose, me fjalë të tjera, anën e katrorit nga i cili përbëhet. Zakonisht kjo vlerë shënohet me shkronjën latine "a".
Tani duhet të mbani mend formulën që llogarit sipërfaqen e një katrori. Për të shmangur konfuzionin, përcaktimi i tij prezantohet me shkronjën S 1.
Për lehtësi, është më mirë të caktoni numra në të gjitha formulat. Ky do të jetë i pari.
Por kjo është sipërfaqja e vetëm një katrori. Janë gjashtë prej tyre gjithsej: 4 në anët dhe 2 në fund dhe në krye. Pastaj sipërfaqja e kubit llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme: S = 6 * a 2. Numri i saj është 2.
Metoda 2: si të llogaritet sipërfaqja nëse dihet vëllimi i trupit
Nga shprehja matematikore për vëllimin e një heksaedri, mund të përdoret për të llogaritur gjatësinë e skajit. Këtu është ajo:
Numërimi vazhdon, dhe këtu është tashmë numri 3.
Tani mund të llogaritet dhe të zëvendësohet në formulën e dytë. Nëse ndiqni rregullat e matematikës, duhet të nxirrni shprehjen e mëposhtme:
Kjo është një formulë për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes së një kubi, e cila mund të përdoret nëse dihet vëllimi. Ky numër i hyrjes është 4.
Metoda 3: Llogaritni sipërfaqen diagonale të një kubi
Kjo është formula nr. 5.
Prej tij është e lehtë të nxirret një shprehje për skajin e një kubi:
Kjo është formula e gjashtë. Pas llogaritjes së tij, mund të përdorni përsëri formulën nën numrin e dytë. Por është më mirë ta shkruajmë kështu:
Rezulton të jetë me numër 7. Nëse shikoni nga afër, do të vini re se formula e fundit është më e përshtatshme se një llogaritje hap pas hapi.
Metoda 4: Si të përdorni rrezen e një rrethi të brendashkruar ose të rrethuar për të llogaritur sipërfaqen e një kubi
Nëse shënojmë rrezen e rrethit të rrethuar rreth gjashtëkëndëshit me shkronjën R, atëherë sipërfaqja e kubit do të jetë e lehtë për t'u llogaritur duke përdorur formulën e mëposhtme:
Numri i tij serik është 8. Përftohet lehtësisht për faktin se diametri i rrethit përkon plotësisht me diagonalen kryesore.
Duke treguar rrezen e rrethit të gdhendur me shkronjën latine r, mund të marrim formulën e mëposhtme për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes së gjashtëkëndëshit:
Kjo është formula nr. 9.
Disa fjalë për sipërfaqen anësore të gjashtëkëndëshit
Nëse problemi kërkon gjetjen e zonës së sipërfaqes anësore të një kubi, atëherë duhet të përdorni teknikën e përshkruar tashmë më lart. Kur buza e trupit është dhënë tashmë, atëherë thjesht sipërfaqja e katrorit duhet të shumëzohet me 4. Kjo shifër u shfaq për faktin se kubi ka vetëm 4 faqe anësore. Shënimi matematik i kësaj shprehjeje është si në vazhdim:
Numri i tij është 10. Nëse jepet ndonjë sasi tjetër, atëherë vazhdoni në mënyrë të ngjashme me metodat e përshkruara më sipër.
Shembuj të problemeve
Gjendja e të parës. Sipërfaqja e kubit është e njohur. Është e barabartë me 200 cm². Është e nevojshme të llogaritet diagonalja kryesore e kubit.
1 mënyrë. Ju duhet të përdorni formulën, e cila tregohet me numrin 2. Nuk do të jetë e vështirë të nxirret "a" prej saj. Ky shënim matematikor do të duket si rrënja katrore e herësit të barabartë me S mbi 6. Pas zëvendësimit të numrave, marrim:
a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).
Formula e pestë ju lejon të llogarisni menjëherë diagonalen kryesore të kubit. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni vlerën e skajit me √3. Është e thjeshtë. Përgjigja rezulton se diagonalja është 10 cm.
Metoda 2. Në rast se keni harruar formulën për diagonalen, por mbani mend teoremën e Pitagorës.
Ngjashëm me mënyrën se si ishte në metodën e parë, gjeni skajin. Atëherë duhet të shkruani dy herë teoremën për hipotenuzën: e para për trekëndëshin në fytyrë, e dyta për atë që përmban diagonalen e dëshiruar.
x² = a² + a², ku x është diagonalja e katrorit.
d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Nga kjo hyrje është e lehtë të shihet se si është marrë formula për diagonale. Dhe pastaj të gjitha llogaritjet do të jenë të njëjta si në metodën e parë. Është pak më e gjatë, por ju lejon të mos mësoni përmendësh formulën, por ta merrni vetë.
Përgjigje: Diagonalja e një kubi është 10 cm.
Kushti dy. Duke përdorur sipërfaqen e njohur, e cila është 54 cm2, llogaritni vëllimin e kubit.
Duke përdorur formulën nën numrin e dytë, duhet të zbuloni vlerën e skajit të kubit. Mënyra se si bëhet kjo përshkruhet në detaje në metodën e parë të zgjidhjes së problemit të mëparshëm. Pasi kemi kryer të gjitha llogaritjet, gjejmë se a = 3 cm.
Tani ju duhet të përdorni formulën për vëllimin e një kubi, në të cilën gjatësia e skajit është ngritur në fuqinë e tretë. Kjo do të thotë që vëllimi do të llogaritet si më poshtë: V = 3 3 = 27 cm 3.
Përgjigje: vëllimi i kubit është 27 cm3.
Kushti i tretë. Duhet të gjesh një skaj të kubit për të cilin plotësohet kushti i mëposhtëm. Kur një skaj rritet me 9 njësi, sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes rritet me 594.
Meqenëse nuk jepen numra të qartë në problem, vetëm ndryshimi midis asaj që ishte dhe asaj që u bë, duhet të futet shënim shtesë. Nuk është e vështirë. Le të jetë vlera e dëshiruar e barabartë me "a". Atëherë buza e zmadhuar e kubit do të jetë e barabartë me (a + 9).
Duke e ditur këtë, ju duhet të shkruani formulën për sipërfaqen e një kubi dy herë. E para - për vlerën fillestare të skajit - do të përkojë me atë të numëruar 2. E dyta do të jetë paksa e ndryshme. Në të, në vend të "a" ju duhet të shkruani shumën (a + 9). Meqenëse problemi ka të bëjë me ndryshimin në zona, ju duhet të zbrisni atë më të vogël nga sipërfaqja më e madhe:
6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.
Duhet të bëhen transformime. Së pari, hiqni 6 në anën e majtë të ekuacionit nga kllapat dhe më pas thjeshtoni atë që mbetet në kllapa. Domethënë (a + 9) 2 - a 2. Këtu shkruhet ndryshimi i katrorëve, i cili mund të transformohet si më poshtë: (a + 9 - a)(a + 9 + a). Pas thjeshtimit të shprehjes, marrim 9 (2a + 9).
Tani duhet të shumëzohet me 6, domethënë me numrin që ishte para kllapës dhe të barazohet me 594: 54(2a + 9) = 594. Ky është një ekuacion linear me një të panjohur. Është e lehtë për t'u zgjidhur. Së pari ju duhet të hapni kllapat dhe më pas zhvendosni termin me vlerë të panjohur në anën e majtë të barazisë dhe numrat në të djathtë. Ekuacioni që rezulton është: 2a = 2. Nga ai është e qartë se vlera e dëshiruar është e barabartë me 1.
