Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(8\); \(njëmbëdhjetë\); \(14\)... është një progresion aritmetik, sepse çdo element i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) mund të jetë gjithashtu një numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi tregohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si një progresion aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit në rend.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve të progresionit aritmetik

Në parim, informacioni i paraqitur më sipër është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Jepen disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të caktuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme për progresionin aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme në progresionin aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element pasues në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm ( dallimi i progresionit).

Sidoqoftë, ndonjëherë ka situata kur vendosja "me kokë" është shumë e papërshtatshme. Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtë \(b_(386)\). A duhet të shtojmë katër \(385\) herë? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Do të lodheni duke numëruar...

Prandaj, në raste të tilla ata nuk i zgjidhin gjërat “me kokë”, por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe ato kryesore janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën e termave të parë \(n\).

Formula e termit \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është termi i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) – termi i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt edhe elementin e treqindtë ose të miliontë, duke ditur vetëm të parin dhe ndryshimin e progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) – termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar e \(n\) elementeve të parë;
\(a_1\) – termi i parë i përmbledhur;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) – numri i elementeve në shumë.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani keni të gjithë informacionin që ju nevojitet për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar probleme në të cilat jo vetëm që duhet të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th në elementin \(42\) përfshirëse.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S=1683\).

Për përparimin aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi marrë parasysh në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.

Kur studioni algjebër në një shkollë të mesme (klasa e 9-të), një nga temat e rëndësishme është studimi i sekuencave numerike, të cilat përfshijnë përparime - gjeometrike dhe aritmetike. Në këtë artikull do të shikojmë një progresion aritmetik dhe shembuj me zgjidhje.

Çfarë është një progresion aritmetik?

Për ta kuptuar këtë, është e nevojshme të përcaktohet progresioni në fjalë, si dhe të jepen formulat bazë që do të përdoren më vonë në zgjidhjen e problemeve.

Aritmetika ose është një grup numrash racionalë të renditur, secili anëtar i të cilit ndryshon nga ai i mëparshmi me një vlerë konstante. Kjo vlerë quhet diferencë. Kjo do të thotë, duke ditur çdo anëtar të një serie numrash të renditur dhe ndryshimin, ju mund të rivendosni të gjithë progresionin aritmetik.

Le të japim një shembull. Sekuenca e mëposhtme e numrave do të jetë një progresion aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., pasi ndryshimi në këtë rast është 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Por grupi i numrave 3, 5, 8, 12, 17 nuk mund t'i atribuohet më llojit të progresionit në shqyrtim, pasi ndryshimi për të nuk është një vlerë konstante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula të rëndësishme

Le të paraqesim tani formulat bazë që do të nevojiten për zgjidhjen e problemeve duke përdorur progresionin aritmetik. Le të shënojmë me simbolin a n anëtarin e n-të të sekuencës, ku n është një numër i plotë. Dallimin e shënojmë me shkronjën latine d. Atëherë shprehjet e mëposhtme janë të vlefshme:

1. Për të përcaktuar vlerën e termit të n-të, është e përshtatshme formula e mëposhtme: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Për të përcaktuar shumën e n termave të parë: S n = (a n +a 1)*n/2.

Për të kuptuar çdo shembull të progresionit aritmetik me zgjidhje në klasën e 9-të, mjafton të mbani mend këto dy formula, pasi çdo problem i llojit në shqyrtim bazohet në përdorimin e tyre. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se ndryshimi i progresionit përcaktohet nga formula: d = a n - a n-1.

Shembulli #1: gjetja e një termi të panjohur

Le të japim një shembull të thjeshtë të një progresion aritmetik dhe formulat që duhen përdorur për ta zgjidhur atë.

Le të jepet sekuenca 10, 8, 6, 4, ..., ju duhet të gjeni pesë terma në të.

Nga kushtet e problemit tashmë rezulton se dihen 4 termat e parë. E pesta mund të përkufizohet në dy mënyra:

1. Le të llogarisim së pari diferencën. Kemi: d = 8 - 10 = -2. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të merrni çdo dy anëtarë të tjerë që qëndrojnë pranë njëri-tjetrit. Për shembull, d = 4 - 6 = -2. Meqenëse dihet se d = a n - a n-1, atëherë d = a 5 - a 4, nga ku marrim: a 5 = a 4 + d. Zëvendësojmë vlerat e njohura: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Metoda e dytë kërkon gjithashtu njohuri për ndryshimin e progresionit në fjalë, kështu që së pari duhet ta përcaktoni atë siç tregohet më sipër (d = -2). Duke ditur se termi i parë a 1 = 10, ne përdorim formulën për numrin n të sekuencës. Kemi: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Duke zëvendësuar n = 5 në shprehjen e fundit, marrim: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Siç mund ta shihni, të dyja zgjidhjet çuan në të njëjtin rezultat. Vini re se në këtë shembull ndryshimi i progresionit d është një vlerë negative. Sekuenca të tilla quhen zvogëluese, pasi çdo term tjetër është më i vogël se ai i mëparshmi.

Shembulli #2: ndryshimi i progresionit

Tani le ta komplikojmë pak problemin, të japim një shembull se si të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik.

Dihet se në disa progresion algjebrik termi i parë është i barabartë me 6, dhe termi i 7 është i barabartë me 18. Është e nevojshme të gjendet ndryshimi dhe të rivendoset kjo sekuencë në termin e 7-të.

Le të përdorim formulën për të përcaktuar termin e panjohur: a n = (n - 1) * d + a 1 . Le të zëvendësojmë të dhënat e njohura nga kushti në të, domethënë numrat a 1 dhe a 7, kemi: 18 = 6 + 6 * d. Nga kjo shprehje mund të llogaritni lehtësisht diferencën: d = (18 - 6) /6 = 2. Kështu, ne i jemi përgjigjur pjesës së parë të problemës.

Për të rivendosur sekuencën në termin e 7-të, duhet të përdorni përkufizimin e një progresion algjebrik, domethënë a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e kështu me radhë. Si rezultat, ne rivendosim të gjithë sekuencën: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Shembulli nr. 3: hartimi i një progresion

Le ta komplikojmë problemin edhe më shumë. Tani duhet t'i përgjigjemi pyetjes se si të gjejmë një progresion aritmetik. Mund të jepet shembulli i mëposhtëm: jepen dy numra, për shembull - 4 dhe 5. Është e nevojshme të krijohet një progresion algjebrik në mënyrë që të vendosen tre terma të tjerë midis tyre.

Para se të filloni të zgjidhni këtë problem, duhet të kuptoni se çfarë vendi do të zënë numrat e dhënë në përparimin e ardhshëm. Meqenëse do të ketë tre terma të tjerë midis tyre, atëherë një 1 = -4 dhe një 5 = 5. Pasi ta kemi vendosur këtë, kalojmë te problemi, i cili është i ngjashëm me atë të mëparshëm. Përsëri, për termin e n-të ne përdorim formulën, marrim: a 5 = a 1 + 4 * d. Nga: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ajo që morëm këtu nuk është një vlerë e plotë e diferencës, por është një numër racional, kështu që formulat për progresionin algjebrik mbeten të njëjta.

Tani le të shtojmë ndryshimin e gjetur në një 1 dhe të rivendosim termat që mungojnë të progresionit. Ne marrim: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, e cila koincidoi me kushtet e problemit.

Shembulli nr. 4: termi i parë i progresionit

Le të vazhdojmë të japim shembuj të progresionit aritmetik me zgjidhje. Në të gjitha problemet e mëparshme, numri i parë i progresionit algjebrik ishte i njohur. Tani le të shqyrtojmë një problem të një lloji tjetër: le të jepen dy numra, ku një 15 = 50 dhe një 43 = 37. Është e nevojshme të gjesh se me cilin numër fillon kjo sekuencë.

Formulat e përdorura deri më tani supozojnë njohuri për një 1 dhe d. Në deklaratën e problemit, asgjë nuk dihet për këto numra. Megjithatë, ne do të shkruajmë shprehje për secilin term për të cilin informacion është i disponueshëm: a 15 = a 1 + 14 * d dhe a 43 = a 1 + 42 * d. Ne morëm dy ekuacione në të cilat ka 2 sasi të panjohura (a 1 dhe d). Kjo do të thotë që problemi reduktohet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare.

Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë sistem është të shprehni një 1 në çdo ekuacion dhe më pas të krahasoni shprehjet që rezultojnë. Ekuacioni i parë: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ekuacioni i dytë: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Duke barazuar këto shprehje, marrim: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, nga ku diferenca d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (janë dhënë vetëm 3 shifra dhjetore).

Duke ditur d, mund të përdorni ndonjë nga 2 shprehjet e mësipërme për një 1. Për shembull, së pari: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Nëse keni dyshime për rezultatin e marrë, mund ta kontrolloni atë, për shembull, të përcaktoni termin e 43-të të progresionit, i cili specifikohet në kusht. Ne marrim: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Gabimi i vogël është për faktin se në llogaritjet është përdorur rrumbullakimi në të mijëtat.

Shembulli nr. 5: shuma

Tani le të shohim disa shembuj me zgjidhje për shumën e një progresion aritmetik.

Le të jepet një progresion numerik i formës së mëposhtme: 1, 2, 3, 4, ...,. Si të llogaritet shuma e 100 prej këtyre numrave?

Falë zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, është e mundur të zgjidhet ky problem, domethënë të mblidhen të gjithë numrat në mënyrë sekuenciale, gjë që kompjuteri do ta bëjë sapo një person të shtypë tastin Enter. Sidoqoftë, problemi mund të zgjidhet mendërisht nëse i kushtoni vëmendje se seria e paraqitur e numrave është një progresion algjebrik dhe diferenca e tij është e barabartë me 1. Duke zbatuar formulën për shumën, marrim: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Është interesante të theksohet se ky problem quhet "Gaussian" sepse në fillim të shekullit të 18-të gjermani i famshëm, ende vetëm 10 vjeç, ishte në gjendje ta zgjidhte atë në kokën e tij për pak sekonda. Djali nuk e dinte formulën për shumën e një progresion algjebrik, por vuri re se nëse i shtoni numrat në skajet e sekuencës në çifte, gjithmonë merrni të njëjtin rezultat, domethënë 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dhe meqenëse këto shuma do të jenë saktësisht 50 (100 / 2), atëherë për të marrë përgjigjen e saktë mjafton të shumëzoni 50 me 101.

Shembulli nr. 6: shuma e termave nga n në m

Një shembull tjetër tipik i shumës së një progresion aritmetik është si vijon: duke pasur parasysh një seri numrash: 3, 7, 11, 15, ..., ju duhet të gjeni se sa do të jetë e barabartë shuma e termave të tij nga 8 në 14. .

Problemi zgjidhet në dy mënyra. E para prej tyre përfshin gjetjen e termave të panjohur nga 8 në 14, dhe më pas mbledhjen e tyre në mënyrë sekuenciale. Meqenëse ka pak terma, kjo metodë nuk është mjaft punë intensive. Sidoqoftë, propozohet të zgjidhet ky problem duke përdorur një metodë të dytë, e cila është më universale.

Ideja është të merret një formulë për shumën e progresionit algjebrik midis termave m dhe n, ku n > m janë numra të plotë. Për të dyja rastet, ne shkruajmë dy shprehje për shumën:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Meqenëse n > m, është e qartë se shuma e dytë përfshin të parën. Përfundimi i fundit do të thotë se nëse marrim diferencën midis këtyre shumave dhe i shtojmë termin a m (në rastin e marrjes së diferencës, ai zbritet nga shuma S n), do të marrim përgjigjen e nevojshme për problemin. Kemi: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Është e nevojshme të zëvendësohen formulat për një n dhe një m në këtë shprehje. Pastaj marrim: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula që rezulton është disi e rëndë, megjithatë, shuma S mn varet vetëm nga n, m, a 1 dhe d. Në rastin tonë, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Duke zëvendësuar këta numra, marrim: S mn = 301.

Siç shihet nga zgjidhjet e mësipërme, të gjitha problemet bazohen në njohjen e shprehjes për termin e n-të dhe në formulën për shumën e grupit të termave të parë. Para se të filloni të zgjidhni ndonjë nga këto probleme, rekomandohet që të lexoni me kujdes gjendjen, të kuptoni qartë se çfarë duhet të gjeni dhe vetëm atëherë të vazhdoni me zgjidhjen.

Një këshillë tjetër është të përpiqeni për thjeshtësi, domethënë nëse mund t'i përgjigjeni një pyetjeje pa përdorur llogaritjet komplekse matematikore, atëherë duhet të bëni pikërisht këtë, pasi në këtë rast gjasat për të bërë një gabim është më i vogël. Për shembull, në shembullin e një progresion aritmetik me zgjidhjen nr. 6, mund të ndalemi në formulën S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dhe ndani problemin e përgjithshëm në nëndetyra të veçanta (në këtë rast, së pari gjeni termat a n dhe a m).

Nëse keni dyshime për rezultatin e marrë, rekomandohet ta kontrolloni atë, siç është bërë në disa nga shembujt e dhënë. Ne zbuluam se si të gjejmë një progresion aritmetik. Nëse e kuptoni, nuk është aq e vështirë.

Llogaritësi online.
Zgjidhja e një progresion aritmetik.
Jepet: a n , d, n
Gjeni: a 1

Ky program matematikor gjen \(a_1\) të një progresion aritmetik bazuar në numrat e specifikuar nga përdoruesi \(a_n, d\) dhe \(n\).
Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa. Për më tepër, numri thyesor mund të futet në formën e një thyese dhjetore (\(2.5\)) dhe në formën e një fraksioni të zakonshëm (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Ky kalkulator online mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e mesme kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni njohur me rregullat për futjen e numrave, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e numrave

Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa.
Numri \(n\) mund të jetë vetëm një numër i plotë pozitiv.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si 2.5 ose si 2.5

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Hyrja:
Rezultati: \(-\frac(2)(3)\)

E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja:
Rezultati: \(-1\frac(2)(3)\)

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Sekuenca e numrave

Në praktikën e përditshme, numërimi i objekteve të ndryshme shpesh përdoret për të treguar rendin në të cilin janë rregulluar. Për shembull, shtëpitë në secilën rrugë janë të numëruara. Në bibliotekë, abonimet e lexuesve numërohen dhe më pas renditen sipas renditjes së numrave të caktuar në skedarë të veçantë të kartave.

Në një bankë kursimi, duke përdorur numrin personal të llogarisë së depozituesit, mund ta gjeni lehtësisht këtë llogari dhe të shihni se çfarë depozite ka në të. Lëreni llogarinë nr. 1 të përmbajë një depozitë prej a1 rubla, llogaria nr. 2 të përmbajë një depozitë prej a2 rubla, etj. Rezulton sekuenca e numrave
a 1, a 2, a 3, ..., një N
ku N është numri i të gjitha llogarive. Këtu, çdo numër natyror n nga 1 në N shoqërohet me një numër a n.

Ka studiuar edhe në matematikë sekuenca me numra të pafund:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numri a 1 quhet anëtari i parë i sekuencës, numri a 2 - termi i dytë i sekuencës, numri a 3 - termi i tretë i sekuencës etj.
Numri a n quhet anëtari i n-të (n-të) i sekuencës, dhe numri natyror n është i tij numri.

Për shembull, në sekuencën e katrorëve të numrave natyrorë 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dhe 1 = 1 është termi i parë i sekuencës; dhe n = n 2 është termi i n-të i sekuencës; a n+1 = (n + 1) 2 është termi (n + 1) i (n plus i pari) i sekuencës. Shpesh një sekuencë mund të specifikohet me formulën e termit të saj të n-të. Për shembull, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) përcakton sekuencën \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3), \\frac(1)(4), \pika,\frac(1)(n) , \pikë \)

Progresioni aritmetik

Gjatësia e vitit është afërsisht 365 ditë. Një vlerë më e saktë është \(365\frac(1)(4)\) ditë, kështu që çdo katër vjet grumbullohet një gabim prej një dite.

Për të llogaritur këtë gabim, çdo vit të katërt i shtohet një ditë dhe viti i zgjatur quhet vit i brishtë.

Për shembull, në mijëvjeçarin e tretë, vite të brishtë janë vitet 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Në këtë sekuencë, çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar në të njëjtin numër 4. Sekuenca të tilla quhen progresionet aritmetike.

Përkufizimi.
Quhet sekuenca e numrave a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresion aritmetik, nëse për të gjithë n barazinë natyrore
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ku d është një numër.

Nga kjo formulë del se a n+1 - a n = d. Numri d quhet diferencë progresion aritmetik.

Nga përkufizimi i një progresion aritmetik kemi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \katër a_(n-1)=a_n-d, \)
ku
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ku \(n>1 \)

Kështu, çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave të tij ngjitur. Kjo shpjegon emrin e progresionit "aritmetik".

Vini re se nëse jepen 1 dhe d, atëherë termat e mbetur të progresionit aritmetik mund të llogariten duke përdorur formulën e përsëritur a n+1 = a n + d. Në këtë mënyrë nuk është e vështirë të llogariten termat e parë të progresionit, megjithatë, për shembull, një 100 tashmë do të kërkojë shumë llogaritje. Në mënyrë tipike, formula e termit të n-të përdoret për këtë. Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etj.
fare,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
meqenëse termi i n-të i një progresioni aritmetik fitohet nga anëtari i parë duke shtuar (n-1) herë numrin d.
Kjo formulë quhet formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik

Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në 100.
Le ta shkruajmë këtë shumë në dy mënyra:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Le t'i shtojmë këto barazi term pas termi:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Kjo shumë ka 100 terma
Prandaj, 2S = 101 * 100, pra S = 101 * 50 = 5050.

Le të shqyrtojmë tani një progresion aritmetik arbitrar
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Le të jetë S n shuma e n termave të parë të këtij progresioni:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Pastaj shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik është e barabartë me
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Meqenëse \(a_n=a_1+(n-1)d\), atëherë duke zëvendësuar një n në këtë formulë marrim një formulë tjetër për gjetjen shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Udhëzimet

Një progresion aritmetik është një sekuencë e formës a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numri d hapi progresion.Është e qartë se e përgjithshme e një termi n-të arbitrar të aritmetikës progresion ka formën: An = A1+(n-1)d. Pastaj njohja e njërit prej anëtarëve progresion, anëtar progresion dhe hap progresion, ju mundeni, pra numri i anëtarit të progresit. Natyrisht, do të përcaktohet nga formula n = (An-A1+d)/d.

Tani le të dihet termi mth progresion dhe një anëtar tjetër progresion- n-të, por n, si në rastin e mëparshëm, por dihet se n dhe m nuk përkojnë progresion mund të llogaritet duke përdorur formulën: d = (An-Am)/(n-m). Atëherë n = (An-Am+md)/d.

Nëse dihet shuma e disa elementeve të një ekuacioni aritmetik progresion, si dhe i pari dhe i fundit i tij, atëherë mund të përcaktohet edhe numri i këtyre elementeve Shuma e aritmetikës progresion do të jetë e barabartë me: S = ((A1+An)/2)n. Atëherë n = 2S/(A1+An) - chdenov progresion. Duke përdorur faktin se An = A1+(n-1)d, kjo formulë mund të rishkruhet si: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Nga kjo mund të shprehemi n duke zgjidhur një ekuacion kuadratik.

Një sekuencë aritmetike është një grup i renditur numrash, secili anëtar i të cilit, përveç të parit, ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi. Kjo vlerë konstante quhet diferenca e progresionit ose hapi i tij dhe mund të llogaritet nga termat e njohur të progresionit aritmetik.

Udhëzimet

Nëse vlerat e të parës dhe të dytë ose të ndonjë çifti tjetër termash ngjitur njihen nga kushtet e problemit, për të llogaritur diferencën (d) thjesht zbrisni atë të mëparshmen nga termi pasues. Vlera që rezulton mund të jetë ose një numër pozitiv ose negativ - varet nëse progresioni po rritet. Në formë të përgjithshme, shkruani zgjidhjen për një çift arbitrar (aᵢ dhe aᵢ₊1) të termave fqinjë të progresionit si më poshtë: d = aᵢ₊1 - aᵢ.

Për një çift termash të një progresioni të tillë, njëri prej të cilëve është i pari (a1), dhe tjetri është çdo tjetër i zgjedhur në mënyrë arbitrare, është gjithashtu e mundur të krijohet një formulë për gjetjen e ndryshimit (d). Megjithatë, në këtë rast, numri serial (i) i një anëtari të zgjedhur arbitrar të sekuencës duhet të njihet. Për të llogaritur diferencën, shtoni të dy numrat dhe pjesëtoni rezultatin që rezulton me numrin rendor të një termi arbitrar të reduktuar me një. Në përgjithësi, shkruani këtë formulë si më poshtë: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).

Nëse, përveç një anëtari arbitrar të një progresioni aritmetik me numër rendor i, njihet një anëtar tjetër me numër rendor u, ndryshoni formulën nga hapi i mëparshëm në përputhje me rrethanat. Në këtë rast, diferenca (d) e progresionit do të jetë shuma e këtyre dy termave pjesëtuar me diferencën e numrave të tyre rendor: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula për llogaritjen e diferencës (d) bëhet disi më e ndërlikuar nëse kushtet e problemit japin vlerën e termit të tij të parë (a1) dhe shumën (Sᵢ) të një numri të caktuar (i) të termave të parë të sekuencës aritmetike. Për të marrë vlerën e dëshiruar, ndani shumën me numrin e termave që e përbëjnë atë, zbritni vlerën e numrit të parë në sekuencë dhe dyfishoni rezultatin. Pjestoni vlerën që rezulton me numrin e termave që përbëjnë shumën e reduktuar me një. Në përgjithësi, shkruajeni formulën për llogaritjen e diskriminuesit si më poshtë: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).