Si të gjeni vlerën e një shprehjeje if. Postimet me etiketën "gjeni vlerën e një shprehjeje"

Shprehje numerike– ky është çdo regjistrim i numrave, simboleve aritmetike dhe kllapave. Një shprehje numerike mund të përbëhet thjesht nga një numër. Kujtoni se veprimet themelore aritmetike janë "mbledhja", "zbritja", "shumëzimi" dhe "pjestimi". Këto veprime korrespondojnë me shenjat "+", "-", "∙", ":".

Natyrisht, që të marrim një shprehje numerike, regjistrimi i numrave dhe simboleve aritmetike duhet të jetë kuptimplotë. Kështu, për shembull, një hyrje e tillë 5: + ∙ nuk mund të quhet shprehje numerike, pasi është një grup i rastësishëm simbolesh që nuk ka kuptim. Përkundrazi, 5 + 8 ∙ 9 është tashmë një shprehje e vërtetë numerike.

Vlera e një shprehjeje numerike.

Le të themi menjëherë se nëse kryejmë veprimet e treguara në shprehjen numerike, atëherë si rezultat do të marrim një numër. Ky numër quhet vlera e një shprehjeje numerike.

Le të përpiqemi të llogarisim se çfarë do të marrim si rezultat i kryerjes së veprimeve të shembullit tonë. Sipas radhës në të cilën kryhen veprimet aritmetike, fillimisht kryejmë veprimin e shumëzimit. Shumëzoni 8 me 9. Marrim 72. Tani shtoni 72 dhe 5. Marrim 77.
Pra, 77 - kuptimi shprehja numerike 5 + 8 ∙ 9.

Barazi numerike.

Mund ta shkruani në këtë mënyrë: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Këtu kemi përdorur shenjën “=” (“E barabartë”) për herë të parë. Një shënim i tillë në të cilin dy shprehje numerike ndahen me shenjën "=" quhet barazia numerike. Për më tepër, nëse vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të barazisë përkojnë, atëherë barazia quhet besnik. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - barazi e saktë.
Nëse shkruajmë 5 + 8 ∙ 9 = 100, atëherë kjo do të jetë tashmë barazi e rreme, pasi vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të kësaj barazie nuk përkojnë më.

Duhet theksuar se në shprehjen numerike mund të përdorim edhe kllapa. Kllapat ndikojnë në rendin në të cilin kryhen veprimet. Kështu, për shembull, le të modifikojmë shembullin tonë duke shtuar kllapa: (5 + 8) ∙ 9. Tani së pari duhet të shtoni 5 dhe 8. Ne marrim 13. Dhe pastaj shumëzojmë 13 me 9. Marrim 117. Kështu, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – kuptimi shprehje numerike (5 + 8) ∙ 9.

Për të lexuar saktë një shprehje, duhet të përcaktoni se cili veprim është kryer i fundit për të llogaritur vlerën e një shprehjeje të caktuar numerike. Pra, nëse veprimi i fundit është zbritja, atëherë shprehja quhet "ndryshim". Prandaj, nëse veprimi i fundit është shuma - "shuma", pjesëtimi - "herësi", shumëzimi - "produkti", fuqia - "fuqi".

Për shembull, shprehja numerike (1+5) (10-3) lexohet kështu: "produkti i shumës së numrave 1 dhe 5 dhe ndryshimi i numrave 10 dhe 3".

Shembuj të shprehjeve numerike.

Këtu është një shembull i një shprehjeje numerike më komplekse:

\[\majtas(\frac(1)(4)+3,75 \djathtas):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\pika qendrore 0,5)\]

Në kllapa kemi shprehjen $\frac(1)(4)+3,75$ . Shndërroje thyesën dhjetore 3,75 në një thyesë të përbashkët.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Pra, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Më pas, në numëruesin e thyesës \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\pika qendrore 0,5)\] kemi shprehjen 1,25+3,47+4,75-1,47. Për të thjeshtuar këtë shprehje, zbatojmë ligjin komutativ të mbledhjes, i cili thotë: "Shuma nuk ndryshon duke ndryshuar vendet e termave". Domethënë 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Në emëruesin e thyesës shprehja $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

marrim $\left(\frac(1)(4)+3,75 \djathtas):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kur shprehjet numerike nuk kanë kuptim?

Le të shohim një shembull tjetër. Në emëruesin e thyesës $\frac(5+5)(3\pika qendrore 3-9)$ vlera e shprehjes $3\centerdot 3-9$ është 0. Dhe, siç e dimë, pjesëtimi me zero është i pamundur. Prandaj, thyesa $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nuk ka kuptim. Shprehjet numerike që nuk kanë kuptim thuhet se nuk kanë "pa kuptim".

Nëse në një shprehje numerike përdorim shkronja përveç numrave, atëherë do të marrim një shprehje algjebrike.

Data e publikimit: 30.08.2014 10:58 UTC

• Gjeometria, një libër pune për librin nga Balayan E.N. "Gjeometria. Detyrat mbi vizatimet e gatshme për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit: klasat 7-9", klasa e 7-të, Balayan E.N., 2019
• Simulator i gjeometrisë, klasa e 7-të, për tekstin shkollor nga Atanasyan L.S. dhe të tjera “Gjeometria. Klasat 7-9", Standardi Federal Arsimor Shtetëror, Glazkov Yu.A., Egupova M.V., 2019

Përgjigje: _________
2. Kostoja e produktit është 3200 rubla. Sa kushtoi ky produkt pasi çmimi u ul me 5%?
A. 3040 fshij. B. 304 f. V. 1600 fshij. G. 3100 fq.
3. Mesatarisht, nxënësit e klasës kanë kryer 7.5 detyra nga testi i propozuar. Maxim përfundoi 9 detyra. Me sa përqind është rezultati i tij mbi mesataren?
Përgjigje: _________
4. Seria përbëhet nga numra natyrorë. Cila nga statistikat e mëposhtme nuk mund të shprehet si thyesë?
A. Mesatarja aritmetike
B. Moda
B. Mesatarja
D. Nuk ka një karakteristikë të tillë midis të dhënave.
5. Cili nga ekuacionet nuk ka rrënjë?
A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5
6. Në vijën koordinative janë shënuar numrat A dhe B (Fig. 35). Krahasoni numrat – A dhe B.

A. -A< В
B. –A > B
B. –A = B
D. Është e pamundur të krahasohet
7. Thjeshtoni shprehjen a (a – 2) – (a – 1)(a + 1).
Përgjigje: _________
8. Vlerat e cilës variabla duhet të dihen për të gjetur vlerën e shprehjes (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1)?
A. a dhe b B. a C. b
D. Vlera e shprehjes nuk varet nga vlerat e variablave
9. Zgjidheni ekuacionin (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x).
Përgjigje: _________
10. Zgjidh sistemin e ekuacioneve ( 3x−2y=5, 5x+6y=27.
Përgjigje: _________
11. Në një udhëtim 3 orë me makinë dhe 4 orë me tren, turistët udhëtuan 620 km, dhe shpejtësia e trenit ishte 10 km/h më e madhe se shpejtësia e makinës. Sa është shpejtësia e trenit dhe shpejtësia e makinës?
Duke treguar shpejtësinë e makinës me x km/h dhe shpejtësinë e trenit me y km/h, krijuam sisteme ekuacionesh. Cili është i kompozuar saktë?
A. ( 3x+4y=620, x−y=10 B. (3x+4y=620, y−x=10
V. ( 4x+3y=620, x−y=10 G. (4x+3y=620, y−x=10
12. Cila pikë nuk i përket grafikut të funksionit y = –0,6x + 1?
A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) D. (–2; 2.2)
13. Në cilin kuadrant koordinativ nuk ka asnjë pikë të vetme në grafikun e funksionit y = –0,6x + 1,5?
Përgjigje: _________
14. Përdorni formulën për të përcaktuar një funksion linear grafiku i të cilit pret boshtin x në pikën (2; 0) dhe boshtin y në pikën (0; 7).
Përgjigje: _________ Ndihmë

A. 3040 fshij. B. 304 f. V. 1600 fshij. G. 3100 fq. 3. Mesatarisht, nxënësit e klasës kanë kryer 7.5 detyra nga testi i propozuar. Maxim përfundoi 9 detyra. Me sa përqind është rezultati i tij mbi mesataren? Përgjigje: _________ 4. Seria përbëhet nga numra natyrorë. Cila nga statistikat e mëposhtme nuk mund të shprehet si thyesë? A. Mesatarja aritmetike B. Mënyra C. Mediana D. Nuk ka një karakteristikë të tillë midis të dhënave 5. Cili nga ekuacionet nuk ka rrënjë? A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5 6. Numrat A dhe B janë shënuar në vijën koordinative (Fig. 35). Krahasoni numrat –A dhe B.A< В Б. –А >B B. –A = B D. Nuk mund të krahasohet 7. Thjeshtoni shprehjen a (a – 2) – (a – 1)(a + 1). Përgjigje: _________ 8. Vlerat e çfarë variablash duhet të dini për të gjetur vlerën e shprehjes (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1)? A. a dhe b B. a C. b D. Vlera e shprehjes nuk varet nga vlerat e variablave 9. Zgjidheni ekuacionin (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x). Përgjigje: _________ 10. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve ( 3x−2y=5, 5x+6y=27. Përgjigjja: _________ 11. Në një udhëtim 3 orësh me makinë dhe 4 orë me tren, turistët udhëtuan 620 km, dhe Shpejtësia e trenit ishte 10 km/h është më e madhe se shpejtësia e trenit dhe shpejtësia e makinës /h, cila prej tyre është e saktë −y=10 B. ( 3x+4y=620, y−x=10 V. (4x+3y=620, x−y=10 G. (4x+3y=620, y−x=10 12. Cila pikë nuk i përket grafikut të funksionit y = –0,6x + 1 A. (3; –0,8) B. (–3; 0,8) B. (2; –0,2? ) D. (–2; 2,2) 13. Në cilin kuadrant koordinativ nuk ka asnjë pikë të vetme në grafikun e funksionit y = –0.6x + 1.5 Përgjigje: _________ 14. Përdorni formulën për të përcaktuar një funksion linear grafiku i të cilit pret boshtin x në pikën (2; 0) dhe boshtin y në pikën (0; 7) Përgjigje: _________ Opsioni 2 1. Gjeni vlerën e shprehjes x x−2 nëse x = 2.25. 2. Produkti kushtoi 1600 rubla Sa kushtoi produkti pasi çmimi u rrit me 5. %? A. 1760 fshij. B. 1700 fshij. V. 1605 fshij. G. 1680 fshij. 3. Gjatë një ndërrimi, rrotulluesit e dyqanit përpunonin mesatarisht 12.5 pjesë. Petrov përpunoi 15 pjesë gjatë këtij ndërrimi. Me sa përqind është rezultati i tij mbi mesataren? Përgjigje: ____________ 4. Në serinë e të dhënave, të gjithë numrat janë numra të plotë. Cila nga karakteristikat e mëposhtme nuk mund të shprehet si thyesë? A. Mesatarja aritmetike B. Mënyra C. Mediana D. Nuk ka një karakteristikë të tillë midis të dhënave 5. Cili nga ekuacionet nuk ka rrënjë? A. x =0 B. x =7 C. x =−x D. x =−6 6. Numrat B dhe C janë shënuar në vijën koordinative (Fig. 36). Krahasoni numrat B dhe –C. A. B > –C B. B< –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 14,6 г. Каковы плотность железа и плотность меди? Обозначив через x г/см3 плотность железа и через у г/см3 плотность меди, составили системы уравнений. Какая из систем составлена правильно? А. { 5x+10y=122, 4x−2y=14,6 Б. { 5x+10y=122, 4y−2x=14,6 В. { 10x+5y=122, 4x−2y=14,6 Г. { 10x+5y=122, 4y−2x=14,6 12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –1,2x – 1,4? А. (–1; –0,2) Б. (–2; 1) В. (0; –1,4) Г. (–3; 2,2) 13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = 1,8x – 7,2? Ответ: ___________ 14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось x в точке (–4; 0) и ось у в точке (0; 3). Ответ: ____________ У МЕНЯ ЗАВТРА ИТОГОВАЯ ПОЖАЛУЙСТА

Shprehjet numerike përbëhen nga numra, simbole aritmetike dhe kllapa. Nëse një shprehje e tillë përmban variabla, ajo do të quhet algjebrike. Një shprehje trigonometrike është një shprehje në të cilën një ndryshore përmbahet nën shenjat e funksioneve trigonometrike. Problemet që përfshijnë përcaktimin e vlerave të shprehjeve numerike, trigonometrike dhe algjebrike gjenden shpesh në kurset e matematikës shkollore.

Udhëzimet

Për të gjetur vlerën e një shprehjeje numerike, përcaktoni rendin e veprimeve në shembullin e dhënë. Për lehtësi, shënojeni me laps mbi shenjat përkatëse. Kryeni të gjitha veprimet e treguara në një rend të caktuar: veprimet në kllapa, fuqizimi, shumëzimi, pjesëtimi, mbledhja, zbritja. Numri që rezulton do të jetë vlera e shprehjes numerike.

Shembull. Gjeni vlerën e shprehjes (34 10+(489–296) 8):4–410. Përcaktoni rrjedhën e veprimit. Kryeni veprimin e parë në kllapat e brendshme 489–296=193. Pastaj, shumëzoni 193 8=1544 dhe 34 10=340. Veprimi i radhës: 340+1544=1884. Më pas, ndani 1884:4=461 dhe më pas zbritni 461–410=60. Ju e keni gjetur kuptimin e kësaj shprehjeje.

Për të gjetur vlerën e një shprehjeje trigonometrike për një kënd të njohur?, së pari. Për ta bërë këtë, aplikoni formulat e duhura trigonometrike. Llogaritni vlerat e dhëna të funksioneve trigonometrike dhe zëvendësojini ato në shembull. Ndiqni hapat.

Shembull. Gjeni kuptimin e shprehjes 2sin 30? kosto 30? tg 30? ctg 30?. Thjeshtoni këtë shprehje. Për ta bërë këtë, përdorni formulën tg? ctg ?=1. Merr: 2sin 30? kosto 30? 1=2 mëkati 30? kosto 30?. Dihet se mëkati 30?=1/2 dhe cos 30?=?3/2. Prandaj, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Ju e keni gjetur kuptimin e kësaj shprehjeje.

Kuptimi i një shprehjeje algjebrike varet nga vlera e ndryshores. Për të gjetur vlerën e një shprehjeje algjebrike duke pasur parasysh variablat, thjeshtoni shprehjen. Zëvendësoni vlera të caktuara për variablat. Plotësoni hapat e nevojshëm. Si rezultat, ju do të merrni një numër, i cili do të jetë vlera e shprehjes algjebrike për variablat e dhëna.

Shembull. Gjeni vlerën e shprehjes 7(a+y)–3(2a+3y) me a=21 dhe y=10. Thjeshtoni këtë shprehje dhe merrni: a–2y. Zëvendësoni vlerat përkatëse të variablave dhe llogarisni: a–2y=21–2 10=1. Kjo është vlera e shprehjes 7(a+y)–3(2a+3y) me a=21 dhe y=10.

Ju lutemi vini re

Ka shprehje algjebrike që nuk kanë kuptim për disa vlera të variablave. Për shembull, shprehja x/(7–a) nuk ka kuptim nëse a=7, sepse në këtë rast, emëruesi i thyesës bëhet zero.

Ju si prindër, në procesin e edukimit të fëmijës tuaj, do të hasni më shumë se një herë nevojën për ndihmë në zgjidhjen e problemeve të detyrave të shtëpisë në matematikë, algjebër dhe gjeometri. Dhe një nga aftësitë themelore që duhet të mësoni është se si të gjeni kuptimin e një shprehjeje. Shumë njerëz janë në rrugë pa krye, sepse sa vite kanë kaluar që kur kemi studiuar në klasat 3-5? Shumëçka tashmë është harruar, e disa nuk janë mësuar. Vetë rregullat e veprimeve matematikore janë të thjeshta dhe mund t'i mbani mend lehtësisht. Le të fillojmë me bazat e asaj që është një shprehje matematikore.

Përkufizimi i shprehjes

Një shprehje matematikore është një koleksion numrash, shenjash veprimi (=, +, -, *, /), kllapa dhe variabla. Shkurtimisht, kjo është një formulë, vlera e së cilës do të duhet të gjendet. Formula të tilla gjenden në kurset e matematikës që në shkollë, dhe më pas ndjekin studentët që kanë zgjedhur specialitete që lidhen me shkencat ekzakte. Shprehjet matematikore ndahen në trigonometrike, algjebrike, e kështu me radhë;

1. Kryeni çdo llogaritje fillimisht në një draft dhe më pas kopjojini ato në librin tuaj të punës. Në këtë mënyrë ju do të shmangni kalimet e panevojshme dhe papastërtitë;
2. Rillogaritni numrin total të operacioneve matematikore që do të duhet të kryhen në shprehje. Ju lutemi vini re se sipas rregullave, fillimisht kryhen veprimet në kllapa, pastaj pjesëtimi dhe shumëzimi, dhe në fund zbritja dhe mbledhja. Ne rekomandojmë të theksohen të gjitha veprimet me laps dhe të vendosen numrat mbi veprimet sipas radhës në të cilën janë kryer. Në këtë rast, do të jetë më e lehtë për ju dhe fëmijën tuaj të lundroni;
3. Filloni të bëni llogaritjet duke ndjekur rreptësisht rendin e veprimeve. Lëreni fëmijën, nëse llogaritja është e thjeshtë, të përpiqet ta kryejë atë në kokën e tij, por nëse është e vështirë, atëherë shkruani me laps numrin që korrespondon me numrin rendor të shprehjes dhe kryeni llogaritjen me shkrim nën formulën;
4. Në mënyrë tipike, gjetja e vlerës së një shprehjeje të thjeshtë nuk është e vështirë nëse të gjitha llogaritjet bëhen sipas rregullave dhe në rendin e duhur. Shumica e njerëzve hasin një problem pikërisht në këtë fazë të gjetjes së kuptimit të një shprehjeje, ndaj bëni kujdes dhe mos bëni gabime;
5. Ndaloni kalkulatorin. Vetë formulat dhe problemet matematikore mund të mos jenë të dobishme në jetën e fëmijës suaj, por ky nuk është qëllimi i studimit të temës. Gjëja kryesore është zhvillimi i të menduarit logjik. Nëse përdorni kalkulatorë, kuptimi i gjithçkaje do të humbasë;
6. Detyra juaj si prind nuk është t'i zgjidhni fëmijës tuaj problemet, por ta ndihmoni në këtë, ta drejtoni. Lëreni të bëjë vetë të gjitha llogaritjet, dhe ju sigurohuni që ai të mos gabon, shpjegoni pse duhet ta bëjë këtë në këtë mënyrë dhe jo ndryshe.
7. Pasi të gjendet përgjigja e shprehjes, shënojeni atë pas shenjës “=”;
8. Hapni faqen e fundit të librit tuaj të matematikës. Zakonisht, në libër ka përgjigje për çdo ushtrim. Nuk është e dëmshme të kontrolloni nëse gjithçka është llogaritur saktë.

Gjetja e kuptimit të një shprehjeje është, nga njëra anë, një procedurë e thjeshtë, gjëja kryesore është të kujtojmë rregullat bazë që mësuam në kursin e matematikës në shkollë. Megjithatë, nga ana tjetër, kur ju duhet ta ndihmoni fëmijën tuaj të përballojë formulat dhe të zgjidhë problemet, çështja bëhet më e ndërlikuar. Në fund të fundit, tani nuk jeni student, por mësues dhe edukimi i Ajnshtajnit të ardhshëm qëndron mbi supet tuaja.

Shpresojmë që artikulli ynë t'ju ndihmojë të gjeni përgjigjen e pyetjes se si të gjeni kuptimin e një shprehjeje, dhe lehtë mund të kuptoni çdo formulë!

Pra, nëse një shprehje numerike përbëhet nga numra dhe nga shenjat +, −, · dhe:, atëherë në rend nga e majta në të djathtë duhet së pari të kryeni shumëzim dhe pjesëtim, dhe më pas mbledhje dhe zbritje, të cilat do t'ju lejojnë të gjeni vlera e dëshiruar e shprehjes.

Le të japim disa shembuj për sqarim.

Shembull.

Njehsoni vlerën e shprehjes 14−2·15:6−3.

Zgjidhje.

Për të gjetur vlerën e një shprehjeje, duhet të kryeni të gjitha veprimet e specifikuara në të në përputhje me rendin e pranuar të kryerjes së këtyre veprimeve. Së pari, në mënyrë nga e majta në të djathtë, ne kryejmë shumëzim dhe pjesëtim, marrim 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Tani kryejmë edhe veprimet e mbetura sipas radhës nga e majta në të djathtë: 14−5−3=9−3=6. Kështu e gjetëm vlerën e shprehjes origjinale, është e barabartë me 6.

Përgjigje:

14−2·15:6−3=6.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhje.

Në këtë shembull, fillimisht duhet të bëjmë shumëzimin 2·(−7) dhe pjesëtimin me shumëzimin në shprehjen . Duke kujtuar si , gjejmë 2·(−7)=−14. Dhe për të kryer fillimisht veprimet në shprehje , pas së cilës , dhe ekzekutoni: .

Vlerat e marra i zëvendësojmë në shprehjen origjinale: .

Por, çka nëse ka një shprehje numerike nën shenjën e rrënjës? Për të marrë vlerën e një rrënjë të tillë, së pari duhet të gjeni vlerën e shprehjes radikale, duke iu përmbajtur rendit të pranuar të kryerjes së veprimeve. Për shembull,.

Në shprehjet numerike, rrënjët duhet të perceptohen si disa numra, dhe këshillohet që menjëherë të zëvendësohen rrënjët me vlerat e tyre, dhe më pas të gjeni vlerën e shprehjes që rezulton pa rrënjë, duke kryer veprime në sekuencën e pranuar.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes me rrënjë.

Zgjidhje.

Së pari le të gjejmë vlerën e rrënjës . Për ta bërë këtë, së pari, ne llogarisim vlerën e shprehjes radikale, ne kemi −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Dhe së dyti, gjejmë vlerën e rrënjës.

Tani le të llogarisim vlerën e rrënjës së dytë nga shprehja origjinale: .

Më në fund, kuptimin e shprehjes origjinale mund ta gjejmë duke i zëvendësuar rrënjët me vlerat e tyre: .

Përgjigje:

Shumë shpesh, për të gjetur kuptimin e një shprehjeje me rrënjë, së pari duhet ta transformoni atë. Le të tregojmë zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Cili është kuptimi i shprehjes .

Zgjidhje.

Ne nuk jemi në gjendje të zëvendësojmë rrënjën e tre me vlerën e saj të saktë, gjë që nuk na lejon të llogarisim vlerën e kësaj shprehjeje në mënyrën e përshkruar më sipër. Megjithatë, ne mund të llogarisim vlerën e kësaj shprehje duke kryer transformime të thjeshta. E aplikueshme formula e diferencës katrore: . Duke marrë parasysh, marrim . Kështu, vlera e shprehjes origjinale është 1.

Përgjigje:

.

Me gradë

Nëse baza dhe eksponenti janë numra, atëherë vlera e tyre llogaritet duke përcaktuar shkallën, për shembull, 3 2 =3·3=9 ose 8 −1 =1/8. Ka edhe hyrje ku baza dhe/ose eksponenti janë disa shprehje. Në këto raste, duhet të gjeni vlerën e shprehjes në bazë, vlerën e shprehjes në eksponent dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë shkallës.

Shembull.

Gjeni vlerën e një shprehjeje me fuqi të formës 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Zgjidhje.

Në shprehjen origjinale ka dy fuqi 2 3·4−10 dhe (1−1/2) 3,5−2·1/4. Vlerat e tyre duhet të llogariten përpara se të kryeni veprime të tjera.

Le të fillojmë me fuqinë 2 3·4−10. Treguesi i tij përmban një shprehje numerike, le të llogarisim vlerën e saj: 3·4−10=12−10=2. Tani mund të gjeni vlerën e vetë shkallës: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Baza dhe eksponenti (1−1/2) 3.5−2 1/4 përmbajnë shprehje, ne llogarisim vlerat e tyre për të gjetur më pas vlerën e eksponentit. ne kemi (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Tani kthehemi te shprehja origjinale, zëvendësojmë shkallët në të me vlerat e tyre dhe gjejmë vlerën e shprehjes që na nevojitet: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Përgjigje:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Vlen të përmendet se ka raste më të zakonshme kur këshillohet të kryhet një paraprak thjeshtimi i shprehjes me fuqi në bazë.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes .

Zgjidhje.

Duke gjykuar nga eksponentët në këtë shprehje, nuk do të jetë e mundur të merren vlerat e sakta të eksponentëve. Le të përpiqemi të thjeshtojmë shprehjen origjinale, mbase kjo do të ndihmojë në gjetjen e kuptimit të saj. ne kemi

Përgjigje:

.

Fuqitë në shprehje shpesh shkojnë paralelisht me logaritmet, por ne do të flasim për gjetjen e kuptimit të shprehjeve me logaritme në njërën prej tyre.

Gjetja e vlerës së një shprehjeje me thyesa

Shprehjet numerike mund të përmbajnë thyesa në shënimin e tyre. Kur ju duhet të gjeni vlerën e një shprehjeje të tillë, fraksionet e tjera nga fraksionet duhet të zëvendësohen me vlerat e tyre përpara se të vazhdoni me hapat e tjerë.

Numëruesi dhe emëruesi i thyesave (të cilët janë të ndryshëm nga thyesat e zakonshme) mund të përmbajnë disa numra dhe shprehje. Për të llogaritur vlerën e një fraksioni të tillë, duhet të llogaritni vlerën e shprehjes në numërues, të llogarisni vlerën e shprehjes në emërues dhe më pas të llogarisni vlerën e vetë fraksionit. Ky rend shpjegohet me faktin se thyesa a/b, ku a dhe b janë disa shprehje, në thelb përfaqëson një herës të formës (a):(b), pasi .

Le të shohim shembullin e zgjidhjes.

Shembull.

Gjeni kuptimin e një shprehjeje me thyesa .

Zgjidhje.

Ekzistojnë tre thyesa në shprehjen numerike origjinale Dhe . Për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, së pari duhet t'i zëvendësojmë këto thyesa me vlerat e tyre. Le ta bëjmë këtë.

Numëruesi dhe emëruesi i një thyese përmbajnë numra. Për të gjetur vlerën e një fraksioni të tillë, zëvendësoni shiritin e fraksionit me një shenjë ndarjeje dhe kryeni këtë veprim: .

Numëruesi i thyesës përmban shprehjen 7−2·3, vlera e saj gjendet lehtë: 7−2·3=7−6=1. Kështu,. Mund të vazhdoni me gjetjen e vlerës së fraksionit të tretë.

Pjesa e tretë në numërues dhe emërues përmban shprehje numerike, prandaj, së pari duhet të llogaritni vlerat e tyre, dhe kjo do t'ju lejojë të gjeni vlerën e vetë fraksionit. ne kemi .

Mbetet të zëvendësojmë vlerat e gjetura në shprehjen origjinale dhe të kryejmë veprimet e mbetura: .

Përgjigje:

.

Shpesh, kur gjeni vlerat e shprehjeve me thyesa, duhet të kryeni thjeshtimi i shprehjeve thyesore, bazuar në kryerjen e veprimeve me thyesa dhe në reduktimin e thyesave.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes .

Zgjidhje.

Rrënja e pesë nuk mund të nxirret plotësisht, kështu që për të gjetur vlerën e shprehjes origjinale, së pari le ta thjeshtojmë atë. Për këtë të heqim qafe irracionalitetin në emërues thyesa e parë: . Pas kësaj, shprehja origjinale do të marrë formën . Pas zbritjes së thyesave, rrënjët do të zhduken, gjë që do të na lejojë të gjejmë vlerën e shprehjes së dhënë fillimisht: .

Përgjigje:

.

Me logaritme

Nëse një shprehje numerike përmban , dhe nëse është e mundur të hiqen prej tyre, atëherë kjo bëhet përpara se të kryeni veprime të tjera. Për shembull, kur gjendet vlera e shprehjes log 2 4+2·3, logaritmi log 2 4 zëvendësohet me vlerën e tij 2, pas së cilës veprimet e mbetura kryhen në rendin e zakonshëm, domethënë log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Kur ka shprehje numerike nën shenjën e logaritmit dhe/ose në bazën e tij, fillimisht gjenden vlerat e tyre, pas së cilës llogaritet vlera e logaritmit. Për shembull, merrni parasysh një shprehje me një logaritëm të formës . Në bazën e logaritmit dhe nën shenjën e tij gjenden shprehjet numerike: . Tani gjejmë logaritmin, pas të cilit plotësojmë llogaritjet: .

Nëse logaritmet nuk llogariten me saktësi, atëherë thjeshtimi paraprak i tij duke përdorur . Në të njëjtën kohë, duhet të zotëroni mirë materialin në artikull. konvertimin e shprehjeve logaritmike.

Shembull.

Gjeni vlerën e një shprehjeje me logaritme .

Zgjidhje.

Le të fillojmë duke llogaritur log 2 (log 2 256) . Meqenëse 256=2 8, atëherë log 2 256=8, pra, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmet log 6 2 dhe log 6 3 mund të grupohen. Shuma e logaritmeve log 6 2 + log 6 3 është e barabartë me logaritmin e produktit log 6 (2 3), pra, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Tani le të shohim thyesën. Për të filluar, ne do të rishkruajmë bazën e logaritmit në emërues në formën e një fraksioni të zakonshëm si 1/5, pas së cilës do të përdorim vetitë e logaritmeve, të cilat do të na lejojnë të marrim vlerën e fraksionit:
.

Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë rezultatet e marra në shprehjen origjinale dhe të përfundojmë gjetjen e vlerës së saj:

Përgjigje:

Si të gjeni vlerën e një shprehjeje trigonometrike?

Kur një shprehje numerike përmban ose, etj., vlerat e tyre llogariten përpara se të kryhen veprime të tjera. Nëse ka shprehje numerike nën shenjën e funksioneve trigonometrike, atëherë së pari llogariten vlerat e tyre, pas së cilës gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes .

Zgjidhje.

Duke iu kthyer artikullit, marrim dhe cosπ=−1 . Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen origjinale, ajo merr formën . Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të kryeni fuqizimin dhe më pas të përfundoni llogaritjet: .

Përgjigje:

.

Vlen të përmendet se llogaritja e vlerave të shprehjeve me sinus, kosinus, etj. shpesh kërkon para konvertimi i një shprehjeje trigonometrike.

Shembull.

Sa është vlera e shprehjes trigonometrike .

Zgjidhje.

Le të transformojmë shprehjen origjinale duke përdorur , në këtë rast do të na duhet formula e kosinusit me kënd të dyfishtë dhe formula e kosinusit të shumës:

Transformimet që bëmë na ndihmuan të gjejmë kuptimin e shprehjes.

Përgjigje:

.

Rasti i përgjithshëm

Në përgjithësi, një shprehje numerike mund të përmbajë rrënjë, fuqi, thyesa, disa funksione dhe kllapa. Gjetja e vlerave të shprehjeve të tilla konsiston në kryerjen e veprimeve të mëposhtme:

• rrënjët e para, fuqitë, thyesat etj. zëvendësohen nga vlerat e tyre,
• veprime të mëtejshme në kllapa,
• dhe me rend nga e majta në të djathtë kryhen veprimet e mbetura - shumëzimi dhe pjesëtimi, pasuar nga mbledhja dhe zbritja.

Veprimet e listuara kryhen derisa të merret rezultati përfundimtar.

Shembull.

Gjeni kuptimin e shprehjes .

Zgjidhje.

Forma e kësaj shprehjeje është mjaft komplekse. Në këtë shprehje shohim thyesa, rrënjë, fuqi, sinus dhe logaritme. Si ta gjeni vlerën e saj?

Duke lëvizur nëpër rekordin nga e majta në të djathtë, hasim në një pjesë të formës . Ne e dimë se kur punojmë me thyesa komplekse, duhet të llogarisim veçmas vlerën e numëruesit, veçmas emëruesin dhe në fund të gjejmë vlerën e thyesës.

Në numërues kemi rrënjën e formës . Për të përcaktuar vlerën e tij, së pari duhet të llogaritni vlerën e shprehjes radikale . Këtu ka një sinus. Vlerën e saj mund ta gjejmë vetëm pasi të kemi llogaritur vlerën e shprehjes . Këtë mund ta bëjmë: . Pastaj nga dhe nga .

Emëruesi është i thjeshtë: .

Kështu, .

Pas zëvendësimit të këtij rezultati në shprehjen origjinale, ai do të marrë formën . Shprehja që rezulton përmban shkallën . Për të gjetur vlerën e tij, së pari duhet të gjejmë vlerën e treguesit, ne kemi .

Pra,.

Përgjigje:

.

Nëse nuk është e mundur të llogaritni vlerat e sakta të rrënjëve, fuqive, etj., Atëherë mund të përpiqeni të shpëtoni prej tyre duke përdorur disa transformime, dhe më pas të ktheheni në llogaritjen e vlerës sipas skemës së specifikuar.

Mënyra racionale për të llogaritur vlerat e shprehjeve

Llogaritja e vlerave të shprehjeve numerike kërkon qëndrueshmëri dhe saktësi. Po, është e nevojshme t'i përmbaheni sekuencës së veprimeve të regjistruara në paragrafët e mëparshëm, por nuk ka nevojë ta bëni këtë verbërisht dhe mekanikisht. Ajo që nënkuptojmë me këtë është se shpesh është e mundur të racionalizohet procesi i gjetjes së kuptimit të një shprehjeje. Për shembull, disa veçori të veprimeve me numra mund të shpejtojnë dhe thjeshtojnë ndjeshëm gjetjen e vlerës së një shprehjeje.

Për shembull, ne e dimë këtë veti të shumëzimit: nëse një nga faktorët në produkt është i barabartë me zero, atëherë vlera e produktit është e barabartë me zero. Duke përdorur këtë veti, mund të themi menjëherë se vlera e shprehjes 0 · (2 ​​· 3 + 893 - 3234: 54 · 65 - 79 · 56 · 2.2) ·(45·36−2·4+456:3·43) është e barabartë me zero. Nëse do të ndiqnim rendin standard të veprimeve, fillimisht do të duhej të llogarisnim vlerat e shprehjeve të rënda në kllapa, të cilat do të kërkonin shumë kohë dhe rezultati do të ishte akoma zero.

Është gjithashtu e përshtatshme të përdoret vetia e zbritjes së numrave të barabartë: nëse zbrisni një numër të barabartë nga një numër, rezultati është zero. Kjo veti mund të konsiderohet më gjerësisht: ndryshimi midis dy shprehjeve numerike identike është zero. Për shembull, pa llogaritur vlerën e shprehjeve në kllapa, mund të gjeni vlerën e shprehjes (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), është e barabartë me zero, pasi shprehja origjinale është diferenca e shprehjeve identike.

Transformimet e identitetit mund të lehtësojnë llogaritjen racionale të vlerave të shprehjes. Për shembull, grupimi i termave dhe faktorëve mund të jetë i dobishëm duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave; Pra, vlera e shprehjes 53·5+53·7−53·11+5 gjendet shumë lehtë pasi të kemi nxjerrë faktorin 53 nga kllapat: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Llogaritja e drejtpërdrejtë do të zgjaste shumë më tepër.

Për të përfunduar këtë pikë, le t'i kushtojmë vëmendje një qasjeje racionale për llogaritjen e vlerave të shprehjeve me thyesa - faktorët identikë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit janë anuluar. Për shembull, zvogëlimi i shprehjeve të njëjta në numëruesin dhe emëruesin e një thyese ju lejon të gjeni menjëherë vlerën e saj, e cila është e barabartë me 1/2.

Gjetja e vlerës së një shprehje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore

Vlera e një shprehjeje fjalë për fjalë dhe një shprehje me ndryshore gjendet për vlera specifike të dhëna të shkronjave dhe ndryshoreve. Kjo do të thotë, ne po flasim për gjetjen e vlerës së një shprehjeje fjalë për fjalë për vlerat e dhëna të shkronjave, ose për gjetjen e vlerës së një shprehjeje me variabla për vlerat e variablave të zgjedhura.

Rregulli gjetja e vlerës së një shprehjeje fjalë për fjalë ose një shprehje me variabla për vlerat e dhëna të shkronjave ose vlerat e zgjedhura të ndryshoreve është si më poshtë: duhet të zëvendësoni vlerat e dhëna të shkronjave ose ndryshoreve në shprehjen origjinale dhe të llogaritni vlera e shprehjes numerike që rezulton, është vlera e dëshiruar.

Shembull.

Llogaritni vlerën e shprehjes 0,5·x−y në x=2,4 dhe y=5.

Zgjidhje.

Për të gjetur vlerën e kërkuar të shprehjes, së pari duhet të zëvendësoni vlerat e dhëna të variablave në shprehjen origjinale dhe më pas të kryeni hapat e mëposhtëm: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Përgjigje:

−3,8 .

Si shënim përfundimtar, ndonjëherë kryerja e transformimeve në shprehje fjalë për fjalë dhe të ndryshueshme do të japë vlerat e tyre, pavarësisht nga vlerat e shkronjave dhe variablave. Për shembull, shprehja x+3−x mund të thjeshtohet, pas së cilës do të marrë formën 3. Nga kjo mund të konkludojmë se vlera e shprehjes x+3−x është e barabartë me 3 për çdo vlerë të ndryshores x nga diapazoni i saj i vlerave të lejueshme (APV). Një shembull tjetër: vlera e shprehjes është e barabartë me 1 për të gjitha vlerat pozitive të x, kështu që diapazoni i vlerave të lejuara të ndryshores x në shprehjen origjinale është grupi i numrave pozitivë, dhe në këtë varg barazia mban.

Referencat.

• Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ISBN 5-09-013651.