Si quhet një kub me anë të ndryshme? Hiperkub

Evolucioni i trurit të njeriut u zhvillua në hapësirën tredimensionale. Prandaj, është e vështirë për ne të imagjinojmë hapësira me dimensione më të mëdha se tre. Në fakt, truri i njeriut nuk mund të imagjinojë objekte gjeometrike me dimensione më të mëdha se tre. Dhe në të njëjtën kohë, ne mund të imagjinojmë lehtësisht objekte gjeometrike me dimensione jo vetëm tre, por edhe me dimensione dy dhe një.

Dallimi dhe analogjia midis hapësirave njëdimensionale dhe dydimensionale, si dhe dallimi dhe analogjia midis hapësirave dydimensionale dhe tredimensionale na lejojnë të hapim paksa ekranin e misterit që na rrethon nga hapësirat me dimensione më të larta. Për të kuptuar se si përdoret kjo analogji, merrni parasysh një objekt shumë të thjeshtë katër-dimensional - një hiperkub, domethënë një kub katërdimensional. Për të qenë specifik, le të themi se duam të zgjidhim një problem specifik, domethënë të numërojmë numrin e faqeve katrore të një kubi katërdimensional. I gjithë shqyrtimi i mëtejshëm do të jetë shumë i dobët, pa asnjë provë, thjesht për analogji.

Për të kuptuar se si ndërtohet një hiperkub nga një kub i rregullt, së pari duhet të shikoni se si ndërtohet një kub i rregullt nga një katror i rregullt. Për hir të origjinalitetit në prezantimin e këtij materiali, ne këtu do ta quajmë një katror të zakonshëm SubCube (dhe nuk do ta ngatërrojmë atë me një succubus).

Për të ndërtuar një kub nga një nënkub, duhet ta zgjasni nënkubin në një drejtim pingul me rrafshin e nënkubit në drejtim të dimensionit të tretë. Në këtë rast, nga secila anë e nënkubit fillestar do të rritet një nënkub, që është faqja anësore dydimensionale e kubit, e cila do të kufizojë vëllimin tredimensional të kubit në katër anët, dy pingul në secilin drejtim në rrafshi i nënkubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të tretë ka edhe dy nënkube që kufizojnë vëllimin tredimensional të kubit. Kjo është fytyra dy-dimensionale ku fillimisht ishte vendosur nënkubi ynë dhe ajo faqe dydimensionale e kubit ku nënkubi erdhi në fund të ndërtimit të kubit.

Ajo që sapo keni lexuar është paraqitur me detaje të tepruara dhe me shumë sqarime. Dhe për arsye të mirë. Tani do të bëjmë një mashtrim të tillë, do të zëvendësojmë zyrtarisht disa fjalë në tekstin e mëparshëm në këtë mënyrë:
kubik -> hiperkub
nënkub -> kub
plan -> vëllim
e treta -> e katërta
dydimensionale -> tredimensionale
katër -> gjashtë
tredimensionale -> katërdimensionale
dy -> tre
plan -> hapësirë

Si rezultat, marrim tekstin e mëposhtëm kuptimplotë, i cili nuk duket më tepër i detajuar.

Për të ndërtuar një hiperkub nga një kub, duhet ta shtrini kubin në një drejtim pingul me vëllimin e kubit në drejtim të dimensionit të katërt. Në këtë rast, një kub do të rritet nga secila anë e kubit origjinal, që është faqja anësore tredimensionale e hiperkubit, e cila do të kufizojë vëllimin katërdimensional të hiperkubit në gjashtë anët, tre pingul në çdo drejtim në hapësira e kubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të katërt ka edhe dy kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional të hiperkubit. Kjo është fytyra tredimensionale ku fillimisht ishte vendosur kubi ynë dhe fytyra tredimensionale e hiperkubit ku kubi erdhi në fund të ndërtimit të hiperkubit.

Pse jemi kaq të sigurt se kemi marrë përshkrimin e saktë të ndërtimit të një hiperkubi? Po, sepse pikërisht me të njëjtin zëvendësim formal të fjalëve marrim një përshkrim të ndërtimit të një kubi nga përshkrimi i ndërtimit të një katrori. (Shikoni vetë.)

Tani është e qartë se nëse një kub tjetër tredimensional duhet të rritet nga secila anë e kubit, atëherë një fytyrë duhet të rritet nga çdo skaj i kubit fillestar. Në total, kubi ka 12 skaje, që do të thotë se 12 fytyra të reja (nënkube) do të shfaqen në ato 6 kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Dhe kanë mbetur edhe dy kube të tjerë që kufizojnë këtë vëllim katërdimensional nga poshtë dhe lart përgjatë boshtit të katërt. Secili prej këtyre kubeve ka 6 fytyra.

Në total, gjejmë se hiperkubi ka 12+6+6=24 faqe katrore.

Fotografia e mëposhtme tregon strukturën logjike të një hiperkubi. Kjo është si një projeksion i një hiperkubi në hapësirën tredimensionale. Kjo prodhon një kornizë tre-dimensionale të brinjëve. Në figurë, natyrisht, ju shihni projeksionin e kësaj kornize në një aeroplan.

Në këtë kornizë, kubi i brendshëm është si kubi fillestar nga i cili filloi ndërtimi dhe i cili kufizon vëllimin katërdimensional të hiperkubit përgjatë boshtit të katërt nga fundi. Ne e shtrijmë këtë kub fillestar lart përgjatë boshtit të katërt të matjes dhe ai shkon në kubin e jashtëm. Pra, kubikët e jashtëm dhe të brendshëm nga kjo figurë kufizojnë hiperkubin përgjatë boshtit të katërt të matjes.

Dhe midis këtyre dy kubeve mund të shihni edhe 6 kuba të rinj, të cilët prekin fytyrat e zakonshme me dy të parët. Këto gjashtë kube lidhën hiperkubin tonë përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Siç mund ta shihni, ata nuk janë vetëm në kontakt me dy kubet e parë, të cilët janë kubikët e brendshëm dhe të jashtëm në këtë kornizë tredimensionale, por ato janë gjithashtu në kontakt me njëri-tjetrin.

Mund të numëroni drejtpërdrejt në figurë dhe të siguroheni që hiperkubi ka vërtet 24 fytyra. Por kjo pyetje lind. Kjo kornizë hiperkubike në hapësirën tredimensionale është e mbushur me tetë kube tredimensionale pa asnjë boshllëk. Për të bërë një hiperkub të vërtetë nga ky projeksion tre-dimensional i një hiperkubi, duhet ta ktheni këtë kornizë brenda jashtë në mënyrë që të 8 kubet të lidhin një vëllim 4-dimensional.

Është bërë kështu. Ftojmë një banor të hapësirës katërdimensionale të na vizitojë dhe t'i kërkojmë të na ndihmojë. Ai kap kubin e brendshëm të kësaj kornize dhe e lëviz atë në drejtim të dimensionit të katërt, i cili është pingul me hapësirën tonë tredimensionale. Në hapësirën tonë tredimensionale, ne e perceptojmë atë sikur e gjithë korniza e brendshme të ishte zhdukur dhe të kishte mbetur vetëm korniza e kubit të jashtëm.

Më tej, asistenti ynë katërdimensional ofron ndihmën e tij në maternitete për lindje pa dhimbje, por gratë tona shtatzëna janë të frikësuar nga perspektiva që foshnja thjesht të zhduket nga stomaku dhe të përfundojë në hapësirën paralele tredimensionale. Prandaj, personi katërdimensional refuzohet me mirësjellje.

Dhe ne jemi në mëdyshje nga pyetja nëse disa nga kubet tanë u ndanë kur e kthyem kornizën e hiperkubit nga brenda. Në fund të fundit, nëse disa kube tredimensionale që rrethojnë një hiperkub prekin fqinjët e tyre në kornizë me fytyrat e tyre, a do të prekin edhe ata me të njëjtat fytyra nëse kubi katërdimensional e kthen kornizën nga brenda?

Le t'i drejtohemi përsëri analogjisë me hapësira me përmasa më të ulëta. Krahasoni imazhin e kornizës së hiperkubit me projeksionin e një kubi tredimensional në një plan të paraqitur në figurën e mëposhtme.

Banorët e hapësirës dydimensionale ndërtuan në një rrafsh një kornizë për projeksionin e një kubi në një aeroplan dhe na ftuan ne, banorët tredimensionale, ta kthejmë këtë kornizë brenda jashtë. Marrim katër kulmet e katrorit të brendshëm dhe i lëvizim pingul me rrafshin. Banorët dydimensionale shohin zhdukjen e plotë të të gjithë kornizës së brendshme dhe atyre u mbetet vetëm korniza e sheshit të jashtëm. Me një operacion të tillë, të gjithë katrorët që ishin në kontakt me skajet e tyre vazhdojnë të preken me të njëjtat skaje.

Prandaj, shpresojmë që skema logjike e hiperkubit gjithashtu nuk do të shkelet kur korniza e hiperkubit të kthehet brenda jashtë dhe numri i faqeve katrore të hiperkubit nuk do të rritet dhe do të jetë akoma i barabartë me 24. natyrisht, nuk është aspak provë, por thjesht një supozim për analogji.

Pas gjithçkaje që keni lexuar këtu, mund të vizatoni lehtësisht kornizën logjike të një kubi pesë-dimensional dhe të llogarisni numrin e kulmeve, skajeve, fytyrave, kubeve dhe hiperkubeve që ai ka. Nuk është aspak e vështirë.

Tesseract është një hiperkub katër-dimensional - një kub në hapësirën katër-dimensionale.
Sipas Fjalorit të Oksfordit, fjala teserakt u krijua dhe u përdor në 1888 nga Charles Howard Hinton (1853-1907) në librin e tij A New Age of Thought. Më vonë, disa njerëz e quajtën të njëjtën figurë një tetrakub (greqisht katër - katër) - një kub katërdimensional.
Një teserakt i zakonshëm në hapësirën katërdimensionale Euklidiane përkufizohet si një trup konveks pikash (±1, ±1, ±1, ±1). Me fjalë të tjera, mund të përfaqësohet si grupi i mëposhtëm:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakti është i kufizuar nga tetë hiperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , kryqëzimi i të cilit me vetë teseraktin e përcakton faqet tredimensionale (të cilat janë kube të zakonshme) Çdo palë fytyra tredimensionale joparalele kryqëzohen për të formuar faqe dydimensionale (katrore), e kështu me radhë, teserakti ka 8 tredimensionale fytyra, 24 fytyra dydimensionale, 32 skaje dhe 16 kulme.
Përshkrimi popullor
Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket një hiperkub pa lënë hapësirë ​​tre-dimensionale.
Në një "hapësirë" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Rezultati është një CDBA katrore. Duke e përsëritur këtë veprim me aeroplan, marrim një kub tredimensional CDBAGHFE. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt (pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmenti njëdimensional AB shërben si anë e katrorit dydimensional CDBA, katrori - si anë e kubit CDBAGHFE, i cili, nga ana tjetër, do të jetë ana e hiperkubit katërdimensional. Një segment me vijë të drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme, një kub ka tetë. Në një hiperkub katërdimensional, do të ketë kështu 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 nga ajo e zhvendosur në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë kulmet e tij, të cilat kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet për fytyrat e një hiperkubi. Në hapësirën dy-dimensionale është vetëm një (vetë katrori), një kub ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera që përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.
Ashtu si anët e një katrori janë 4 segmente njëdimensionale, dhe anët (fytyrat) e një kubi janë 6 katrorë dydimensionale, ashtu edhe për një "kub katërdimensional" (tesseract) brinjët janë 8 kube tredimensionale. . Hapësirat e çifteve të kundërta të kubeve teserakte (pra hapësirat tredimensionale të cilave u përkasin këto kube) janë paralele. Në figurë këto janë kubet: CDBAGHFE dhe KLJIOPNM, CDBAKLJI dhe GHFEOPNM, EFBAMNJI dhe GHDCOPLK, CKIAGOME dhe DLJBHPNF.
Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin tonë për hiperkubet me një numër më të madh dimensionesh, por është shumë më interesante të shohim se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale. Për këtë do të përdorim metodën tashmë të njohur të analogjive.
Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e skajit. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy sheshe në aeroplan (skajet e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura me tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin do të shtrihen në drejtim të boshtit të katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni kubin jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.
Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e faqes së tij, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në perspektivë do të duken si një figurë mjaft komplekse. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.
Duke prerë gjashtë fytyrat e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni në një figurë të sheshtë - një zhvillim. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale, plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Dhe zhvillimi tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube "të rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.
Vetitë e një teserakti përfaqësojnë një vazhdimësi të vetive të figurave gjeometrike të dimensionit më të ulët në hapësirën katërdimensionale.

Trupat hiperkube dhe platonike

Modeloni një ikozaedron të cunguar ("top futbolli") në sistemin "Vektor".
në të cilin çdo pesëkëndësh është i kufizuar me gjashtëkëndësha

Ikozaedron i cunguar mund të merret duke prerë 12 kulme për të formuar faqe në formën e pesëkëndëshave të rregullt. Në këtë rast, numri i kulmeve të poliedrit të ri rritet 5 herë (12×5=60), 20 faqe trekëndore kthehen në gjashtëkëndësha të rregullt (në total fytyrat bëhen 20+12=32), A numri i skajeve rritet në 30+12×5=90.

Hapat për ndërtimin e një ikozaedroni të cunguar në sistemin Vector

Figurat në hapësirë ​​4-dimensionale.

--à

--à ?

Për shembull, jepet një kub dhe një hiperkub. Një hiperkub ka 24 fytyra. Kjo do të thotë që një tetëkëndor 4-dimensional do të ketë 24 kulme. Edhe pse jo, një hiperkub ka 8 fytyra kubesh - secila ka një qendër në kulmin e saj. Kjo do të thotë që një tetëkëndor 4-dimensional do të ketë 8 kulme, që është edhe më e lehtë.

Tetëkëndësh 4-dimensionale. Ai përbëhet nga tetë tetraedra barabrinjës dhe të barabartë,
të lidhura me katër në çdo kulm.

Oriz. Një përpjekje për të simuluar
hiperball-hipersferë në sistemin “Vektor”.

Fytyrat e përparme - të pasme - topa pa shtrembërim. Gjashtë topa të tjerë mund të përcaktohen përmes elipsoideve ose sipërfaqeve kuadratike (përmes 4 vijave konturore si gjeneratorë) ose përmes faqeve (përcaktuar së pari përmes gjeneratorëve).

Më shumë teknika për të "ndërtuar" një hipersferë
- i njëjti "top futbolli" në hapësirën 4-dimensionale

Shtojca 2

Për poliedrat konveks, ekziston një veti që lidh numrin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të saj, e vërtetuar në 1752 nga Leonhard Euler dhe e quajtur teorema e Euler-it.

Para se ta formuloni atë, merrni parasysh poliedrat e njohur për ne dhe plotësoni tabelën e mëposhtme, në të cilën B është numri i kulmeve, P - skajet dhe G - faqet e një poliedri të caktuar:

Nga kjo tabelë është menjëherë e qartë se për të gjitha poliedrat e zgjedhur vlen barazia B - P + G = 2 Rezulton se kjo barazi është e vërtetë jo vetëm për këto poliedra, por edhe për një shumëkëndësh konveks arbitrar.

Teorema e Euler-it. Për çdo shumëfaqësh konveks barazia vlen

B - P + G = 2,

ku B është numri i kulmeve, P është numri i skajeve dhe G është numri i faqeve të një poliedri të caktuar.

Dëshmi. Për të vërtetuar këtë barazi, imagjinoni sipërfaqen e këtij poliedri të bërë nga një material elastik. Le të heqim (prerë) një nga fytyrat e saj dhe të shtrijmë sipërfaqen e mbetur në një plan. Marrim një shumëkëndësh (të formuar nga skajet e faqes së hequr të shumëkëndëshit), të ndarë në shumëkëndësha më të vegjël (të formuar nga faqet e mbetura të shumëkëndëshit).

Vini re se shumëkëndëshat mund të deformohen, zmadhohen, zvogëlohen apo edhe të lakohen anët e tyre, për sa kohë që nuk ka boshllëqe në anët. Numri i kulmeve, skajeve dhe fytyrave nuk do të ndryshojë.

Le të vërtetojmë se ndarja rezultuese e shumëkëndëshit në shumëkëndësha më të vegjël plotëson barazinë

(*)B - P + G " = 1,

ku B është numri i përgjithshëm i kulmeve, P është numri i përgjithshëm i skajeve dhe Г " është numri i shumëkëndëshave të përfshirë në ndarje. Është e qartë se Г " = Г - 1, ku Г është numri i faqeve të një të dhënë shumëkëndësh.

Le të vërtetojmë se barazia (*) nuk ndryshon nëse një diagonale vizatohet në një shumëkëndësh të një ndarjeje të caktuar (Fig. 5, a). Në të vërtetë, pas vizatimit të një diagonaleje të tillë, ndarja e re do të ketë kulme B, skaje P+1 dhe numri i shumëkëndëshave do të rritet me një. Prandaj, ne kemi

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Duke përdorur këtë veti, ne vizatojmë diagonale që ndajnë shumëkëndëshat hyrës në trekëndësha, dhe për ndarjen që rezulton tregojmë mundësinë e barazisë (*) (Fig. 5, b). Për ta bërë këtë, ne do të heqim në mënyrë sekuenciale skajet e jashtme, duke zvogëluar numrin e trekëndëshave. Në këtë rast, dy raste janë të mundshme:

a) për të hequr një trekëndësh ABCështë e nevojshme të hiqni dy brinjë, në rastin tonë AB Dhe B.C.;

b) për të hequr trekëndëshinMKNështë e nevojshme të hiqni një skaj, në rastin tonëMN.

Në të dyja rastet, barazia (*) nuk do të ndryshojë. Për shembull, në rastin e parë, pas heqjes së trekëndëshit, grafiku do të përbëhet nga B - 1 kulme, P - 2 skaj dhe G " - 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Konsideroni vetë rastin e dytë.

Kështu, heqja e një trekëndëshi nuk ndryshon barazinë (*). Duke vazhduar këtë proces të heqjes së trekëndëshave, përfundimisht do të arrijmë në një ndarje të përbërë nga një trekëndësh i vetëm. Për një ndarje të tillë, B = 3, P = 3, Г " = 1 dhe, për rrjedhojë, B – Р + Г " = 1. Kjo do të thotë se barazia (*) vlen edhe për ndarjen origjinale, nga e cila përfundimisht marrim se sepse kjo ndarje e barazisë së shumëkëndëshit (*) është e vërtetë. Kështu, për poliedrin origjinal konveks barazia B - P + G = 2 është e vërtetë.

Një shembull i një poliedri për të cilin lidhja e Euler-it nuk vlen, treguar në figurën 6. Ky poliedron ka 16 kulme, 32 skaje dhe 16 faqe. Kështu, për këtë shumëfaqësh vlen barazia B – P + G = 0.

Shtojca 3.

Film Cube 2: Hypercube është një film fantastiko-shkencor, një vazhdim i filmit Cube.

Tetë të huaj zgjohen në dhoma në formë kubi. Dhomat janë të vendosura brenda një hiperkubi katërdimensional. Dhomat po lëvizin vazhdimisht përmes "teleportimit kuantik" dhe nëse ngjiteni në dhomën tjetër, nuk ka gjasa të ktheheni në atë të mëparshme. Botët paralele kryqëzohen në hiperkub, koha rrjedh ndryshe në disa dhoma dhe disa dhoma janë kurthe vdekjeprurëse.

Komploti i filmit përsërit në masë të madhe historinë e pjesës së parë, e cila pasqyrohet edhe në imazhet e disa prej personazheve. Laureati Nobel Rosenzweig, i cili llogariti kohën e saktë të shkatërrimit të hiperkubit, vdes në dhomat e hiperkubit..

Kritika

Nëse në pjesën e parë njerëzit e burgosur në një labirint u përpoqën të ndihmonin njëri-tjetrin, në këtë film çdo njeri është për vete. Ka shumë efekte speciale të panevojshme (aka kurthe) që nuk e lidhin logjikisht këtë pjesë të filmit me atë të mëparshmen. Domethënë, rezulton se filmi Cube 2 është një lloj labirinti i së ardhmes 2020-2030, por jo i vitit 2000. Në pjesën e parë, të gjitha llojet e kurtheve teorikisht mund të krijohen nga një person. Në pjesën e dytë, këto kurthe janë një lloj programi kompjuterik, i ashtuquajturi "Realiteti Virtual".

Le të fillojmë duke shpjeguar se çfarë është hapësira katërdimensionale.

Kjo është një hapësirë ​​njëdimensionale, domethënë thjesht boshti OX. Çdo pikë në të karakterizohet nga një koordinatë.

Tani le të vizatojmë boshtin OY pingul me boshtin OX. Pra, marrim një hapësirë ​​dy-dimensionale, domethënë rrafshin XOY. Çdo pikë në të karakterizohet nga dy koordinata - abshisa dhe ordinata.

Le të vizatojmë boshtin OZ pingul me boshtet OX dhe OY. Rezultati është një hapësirë ​​tre-dimensionale në të cilën çdo pikë ka një abshisë, ordinatë dhe aplikuar.

Është logjike që boshti i katërt, OQ, të jetë pingul me akset OX, OY dhe OZ në të njëjtën kohë. Por ne nuk mund ta ndërtojmë me saktësi një bosht të tillë, dhe për këtë arsye ne mund të përpiqemi vetëm ta imagjinojmë atë. Çdo pikë në hapësirën katërdimensionale ka katër koordinata: x, y, z dhe q.

Tani le të shohim se si u shfaq kubi katërdimensional.

Fotografia tregon një figurë në hapësirën njëdimensionale - një vijë.

Nëse bëni një përkthim paralel të kësaj linje përgjatë boshtit OY, dhe më pas lidhni skajet përkatëse të dy linjave që rezultojnë, do të merrni një katror.

Në mënyrë të ngjashme, nëse bëni një përkthim paralel të katrorit përgjatë boshtit OZ dhe lidhni kulmet përkatëse, do të merrni një kub.

Dhe nëse bëjmë një përkthim paralel të kubit përgjatë boshtit OQ dhe lidhim kulmet e këtyre dy kubeve, atëherë do të marrim një kub katërdimensional. Meqë ra fjala, quhet teserakt.

Për të nxjerrë një kub në një aeroplan, ju nevojitet projekti. Vizualisht duket kështu:

Le të imagjinojmë se është i varur në ajër mbi sipërfaqe modeli i kornizës kub, domethënë, sikur "i bërë prej teli", dhe sipër tij është një llambë. Nëse ndizni llambën, gjurmoni hijen e kubit me një laps dhe më pas fikni llambën, një projeksion i kubit do të përshkruhet në sipërfaqe.

Le të kalojmë në diçka pak më komplekse. Shikoni përsëri vizatimin me llambën e dritës: siç mund ta shihni, të gjitha rrezet konvergojnë në një pikë. Është quajtur pikë e zhdukjes dhe përdoret për të ndërtuar projeksion perspektiv(dhe ndodh edhe paralelisht, kur të gjitha rrezet janë paralele me njëra-tjetrën. Rezultati është se ndjesia e vëllimit nuk krijohet, por është më e lehtë, dhe për më tepër, nëse pika e zhdukjes është mjaft larg nga objekti i projektuar, atëherë dallimi ndërmjet këtyre dy projeksioneve është pak i dukshëm). Për të projektuar një pikë të caktuar në një plan të caktuar duke përdorur një pikë zhdukjeje, duhet të vizatoni një vijë të drejtë përmes pikës së zhdukjes dhe pikës së caktuar, dhe më pas të gjeni pikën e kryqëzimit të vijës së drejtë që rezulton dhe rrafshit. Dhe në mënyrë që të projektoni një figurë më komplekse, të themi, një kub, duhet të projektoni secilën nga kulmet e tij dhe më pas të lidhni pikat përkatëse. Duhet theksuar se algoritmi për projektimin e hapësirës në nënhapësirë mund të përgjithësohet në rastin e 4D->3D, jo vetëm 3D->2D.

Siç thashë, ne nuk mund ta imagjinojmë saktësisht se si duket boshti OQ, ashtu si teserakti. Por ne mund të kemi një ide të kufizuar për të nëse e projektojmë në një vëllim dhe më pas e vizatojmë në një ekran kompjuteri!

Tani le të flasim për projeksionin teserakt.

Në të majtë është projeksioni i kubit në rrafsh, dhe në të djathtë është teserakti mbi vëllim. Ato janë mjaft të ngjashme: projeksioni i një kubi duket si dy katrorë, të vegjël dhe të mëdhenj, njëri brenda tjetrit dhe kulmet përkatëse të të cilëve janë të lidhur me vija. Dhe projeksioni i teseraktit duket si dy kube, të vegjël dhe të mëdhenj, njëri brenda tjetrit dhe kulmet përkatëse të të cilëve janë të lidhur. Por ne të gjithë e kemi parë kubin dhe mund të themi me siguri se si katrori i vogël ashtu edhe ai i madh, dhe katër trapezoidët sipër, poshtë, djathtas dhe majtas të katrorit të vogël, janë në të vërtetë katrorë dhe janë të barabartë . Dhe teserakti ka të njëjtën gjë. Dhe një kub i madh, dhe një kub i vogël, dhe gjashtë piramida të cunguara në anët e një kubi të vogël - të gjitha këto janë kube, dhe ato janë të barabarta.

Programi im jo vetëm që mund të vizatojë projeksionin e një teserakti në një vëllim, por edhe ta rrotullojë atë. Le të shohim se si bëhet kjo.

Së pari, unë do t'ju tregoj se çfarë është rrotullimi paralel me rrafshin.

Imagjinoni që kubi rrotullohet rreth boshtit OZ. Pastaj secila nga kulmet e saj përshkruan një rreth rreth boshtit OZ.

Rrethi është një figurë e sheshtë. Dhe rrafshet e secilit prej këtyre rrathëve janë paralel me njëri-tjetrin, dhe në këtë rast paralel me rrafshin XOY. Kjo do të thotë, ne mund të flasim jo vetëm për rrotullim rreth boshtit OZ, por edhe për rrotullim paralel me rrafshin XOY Siç e shohim, për pikat që rrotullohen paralelisht me boshtin XOY, ndryshojnë vetëm abshisa dhe ordinata, ndërsa aplikacioni mbetet. e pandryshuar dhe, në fakt, ne mund të flasim për rrotullim rreth një vije të drejtë vetëm kur kemi të bëjmë me hapësirë ​​tredimensionale. Në hapësirën dydimensionale çdo gjë rrotullohet rreth një pike, në hapësirën katërdimensionale çdo gjë rrotullohet rreth një rrafshi, në hapësirën pesë-dimensionale flasim për rrotullim rreth një vëllimi. Dhe nëse mund të imagjinojmë rrotullimin rreth një pike, atëherë rrotullimi rreth një plani dhe vëllimi është diçka e paimagjinueshme. Dhe nëse flasim për rrotullim paralel me rrafshin, atëherë në çdo hapësirë ​​n-dimensionale një pikë mund të rrotullohet paralelisht me rrafshin.

Shumë prej jush ndoshta kanë dëgjuar për matricën e rrotullimit. Duke shumëzuar pikën me të, marrim një pikë të rrotulluar paralelisht me rrafshin me një kënd phi. Për hapësirën dy-dimensionale duket kështu:

Si të shumëzojmë: x të një pike të rrotulluar me një kënd phi = kosinusi i këndit fi*ix të pikës fillestare minus sinusi i këndit phi*ig i pikës fillestare;
ig e një pike e rrotulluar nga një kënd phi = sinusi i këndit phi * ix i pikës fillestare plus kosinusi i këndit fi * ig i pikës fillestare.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, ku Xa dhe Ya janë abshisa dhe ordinata e pikës që do të rrotullohet, Xa` dhe Ya` janë abshisa dhe ordinata e pikës tashmë të rrotulluar

Për hapësirën tredimensionale, kjo matricë përgjithësohet si më poshtë:

Rrotullimi paralel me rrafshin XOY. Siç mund ta shihni, koordinata Z nuk ndryshon, por vetëm X dhe Y ndryshojnë
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (në thelb, Za`=Za)

Rrotullimi paralel me rrafshin XOZ. Asgjë e re
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (në thelb, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Dhe matrica e tretë.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (në thelb, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Dhe për dimensionin e katërt ato duken kështu:


Unë mendoj se ju tashmë e kuptoni se me çfarë të shumëzoni, kështu që nuk do të hyj më në detaje. Por unë vërej se bën të njëjtën gjë si një matricë për rrotullim paralel me një plan në hapësirën tre-dimensionale! Të dyja ndryshojnë vetëm ordinatën dhe aplikativin dhe nuk prekin koordinatat e tjera, kështu që mund të përdoret në rastin tredimensional, thjesht duke mos i kushtuar vëmendje koordinatës së katërt.

Por me formulën e projeksionit, jo gjithçka është kaq e thjeshtë. Pavarësisht sa forume lexova, asnjë nga metodat e projektimit nuk funksionoi për mua. Paralelja nuk ishte e përshtatshme për mua, pasi projeksioni nuk do të dukej tredimensional. Në disa formula projeksioni, për të gjetur një pikë duhet të zgjidhësh një sistem ekuacionesh (dhe nuk di të mësoj një kompjuter për t'i zgjidhur ato), të tjerat thjesht nuk i kuptoja... Në përgjithësi, vendosa të dal me mënyrën time. Për këtë qëllim, merrni parasysh projeksionin 2D->1D.

pov do të thotë "Pikëpamja", ptp do të thotë "Pika në projekt" (pika që do të projektohet), dhe ptp` është pika e dëshiruar në boshtin OX.

Këndet povptpB dhe ptpptp`A janë të barabarta si korresponduese (vija me pika është paralele me boshtin OX, vija e drejtë povptp është një sekant).
X e pikës ptp` është e barabartë me x e pikës ptp minus gjatësinë e segmentit ptp`A. Ky segment mund të gjendet nga trekëndëshi ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangent i këndit ptpptp`A. Këtë tangjente mund ta gjejmë nga trekëndëshi povptpB: tangjentja ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Përgjigje: Xptp`=Xptp-Yptp/tangjentja e këndit ptpptp`A.

Unë nuk e përshkrova këtë algoritëm në detaje këtu, pasi ka shumë raste të veçanta kur formula ndryshon disi. Nëse dikush është i interesuar, shiko kodin burimor të programit, gjithçka përshkruhet atje në komente.

Për të projektuar një pikë në hapësirën tredimensionale në një aeroplan, ne thjesht konsiderojmë dy plane - XOZ dhe YOZ, dhe zgjidhim këtë problem për secilën prej tyre. Në rastin e hapësirës katër-dimensionale, është e nevojshme të merren parasysh tre plane: XOQ, YOQ dhe ZOQ.

Dhe së fundi, për programin. Ajo funksionon kështu: inicializoni gjashtëmbëdhjetë kulme të teseraktit -> në varësi të komandave të futura nga përdoruesi, rrotullojeni atë -> projektoni atë në vëllim -> në varësi të komandave të futura nga përdoruesi, rrotulloni projeksionin e tij -> projektoni në aeroplan -> barazim.

Projeksionet dhe rrotullimet i kam shkruar vetë. Ata punojnë sipas formulave që sapo përshkrova. Biblioteka OpenGL tërheq linja dhe gjithashtu trajton përzierjen e ngjyrave. Dhe koordinatat e kulmeve teserakte llogariten në këtë mënyrë:

Koordinatat e kulmeve të një vije me qendër në origjinë dhe gjatësi 2 - (1) dhe (-1);
- " - " - katror - " - " - dhe me një skaj të gjatësisë 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) dhe (-1; -1);
- " - " - kubik - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Siç mund ta shihni, një katror është një vijë mbi boshtin OY dhe një vijë poshtë boshtit OY; një kub është një katror përpara rrafshit XOY dhe një pas tij; Teserakti është një kub në anën tjetër të vëllimit XOYZ dhe një në këtë anë. Por është shumë më e lehtë të perceptohet ky alternim i njësheve dhe minuseve nëse ato shkruhen në një kolonë

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Në kolonën e parë, një dhe minus një zëvendësojnë. Në kolonën e dytë, së pari ka dy pluse, pastaj dy minuse. Në të tretën - katër plus një, dhe pastaj katër minus. Këto ishin kulmet e kubit. Teserakti ka dy herë më shumë prej tyre, dhe për këtë arsye ishte e nevojshme të shkruante një lak për t'i deklaruar ato, përndryshe është shumë e lehtë të ngatërrohesh.

Programi im mund të vizatojë edhe anaglif. Pronarët e lumtur të syzeve 3D mund të vëzhgojnë një imazh stereoskopik. Nuk ka asgjë të ndërlikuar për të vizatuar një pikturë, thjesht vizatoni dy projeksione në aeroplan, për sytë e djathtë dhe të majtë. Por programi bëhet shumë më vizual dhe interesant, dhe më e rëndësishmja, ai jep një ide më të mirë të botës katër-dimensionale.

Funksionet më pak të rëndësishme janë ndriçimi i njërës prej skajeve në të kuqe në mënyrë që kthesat të shihen më mirë, si dhe lehtësitë e vogla - rregullimi i koordinatave të pikave "syri", rritja dhe zvogëlimi i shpejtësisë së rrotullimit.

Arkivi me programin, kodin burimor dhe udhëzimet për përdorim.

Çfarë është një hapësirë ​​hiperkub dhe katërdimensionale

Hapësira jonë e zakonshme ka tre dimensione. Nga pikëpamja gjeometrike, kjo do të thotë se në të mund të tregohen tre vija pingule reciproke. Kjo do të thotë, për çdo vijë mund të gjeni një vijë të dytë pingul me të parën, dhe për një çift mund të gjeni një vijë të tretë pingul me dy të parat. Nuk do të jetë më e mundur të gjendet një vijë e katërt pingul me tre ekzistues.

Hapësira katër-dimensionale ndryshon nga e jona vetëm në atë që ka një drejtim më shumë. Nëse tashmë keni tre vija pingule reciproke, atëherë mund të gjeni një të katërt, të tillë që të jetë pingul me të treja.

Një hiperkub është thjesht një kub në hapësirë ​​katër-dimensionale.
A është e mundur të imagjinohet një hapësirë ​​katër-dimensionale dhe një hiperkub?

Kjo pyetje lidhet me pyetjen: "A është e mundur të imagjinohet Darka e Fundit duke parë pikturën me të njëjtin emër (1495-1498) të Leonardo da Vinçit (1452-1519)?"

Nga njëra anë, ju, natyrisht, nuk do ta imagjinoni atë që pa Jezusi (ai është ulur përballë shikuesit), veçanërisht pasi nuk do të nuhasni kopshtin jashtë dritares dhe nuk do të shijoni ushqimin në tryezë, nuk do të dëgjoni zogjtë. duke kënduar... Nuk do të keni një pasqyrë të plotë të asaj që po ndodhte atë mbrëmje, por nuk mund të thuhet se nuk do të mësoni asgjë të re dhe se fotografia nuk ju intereson.

Situata është e ngjashme me çështjen e hiperkubit. Është e pamundur të imagjinohet plotësisht, por mund të afroheni më shumë për të kuptuar se si është.
Ndërtimi i një hiperkubi
Kub 0-dimensionale

Le të fillojmë nga fillimi - me një kub 0-dimensional. Ky kub përmban 0 faqe reciproke pingule, domethënë është vetëm një pikë.

Kub 1-dimensional

Në hapësirën njëdimensionale, ne kemi vetëm një drejtim. Ne e lëvizim pikën në këtë drejtim dhe marrim një segment.

Ky është një kub njëdimensional.
Kub 2 dimensional

Kemi një dimension të dytë, e zhvendosim kubin (segmentin) tonë njëdimensional në drejtim të dimensionit të dytë dhe marrim një katror.

Ky është një kub në hapësirën dy-dimensionale.
Kub 3 dimensional

Me ardhjen e dimensionit të tretë, ne bëjmë të njëjtën gjë: lëvizim katrorin dhe marrim një kub të rregullt tredimensional.

Kub 4-dimensional (hiperkub)

Tani kemi një dimension të katërt. Kjo do të thotë, ne kemi në dispozicion një drejtim pingul me të tre të mëparshmet. Le ta përdorim pikërisht në të njëjtën mënyrë. Një kub katërdimensional do të duket kështu.

Natyrisht, kubet tre-dimensionale dhe katër-dimensionale nuk mund të përshkruhen në një plan ekrani dydimensional. Ajo që kam vizatuar janë projeksione. Ne do të flasim për parashikimet pak më vonë, por tani për tani disa fakte dhe shifra të zhveshura.
Numri i kulmeve, skajeve, faqeve
Karakteristikat e kubeve të madhësive të ndryshme
1-dimensioni i hapësirës
2-numri i kulmeve
3-numri i skajeve
4-numri i fytyrave

0 (pika) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (pikë)
2 (katror) 4 4 4 (segmente)
3 (kub) 8 12 6 (katrore)
4 (hiperkub) 16 32 8 (kube)
N (formula e përgjithshme) 2N N 2N-1 2 N

Ju lutemi vini re se fytyra e një hiperkubi është kubi ynë i zakonshëm tredimensional. Nëse shikoni nga afër vizatimin e një hiperkubi, në fakt mund të gjeni tetë kube.
Projeksionet dhe vizioni i një banori të hapësirës katërdimensionale
Disa fjalë për vizionin

Ne jetojmë në një botë tre-dimensionale, por e shohim atë si dy-dimensionale. Kjo për faktin se retina e syve tanë ndodhet në një plan që ka vetëm dy dimensione. Kjo është arsyeja pse ne jemi në gjendje të perceptojmë fotot dydimensionale dhe t'i gjejmë ato të ngjashme me realitetin. (Sigurisht, falë akomodimit, syri mund të vlerësojë distancën nga një objekt, por ky është një efekt anësor që lidhet me optikën e ndërtuar në sytë tanë.)

Sytë e një banori të hapësirës katër-dimensionale duhet të kenë një retinë tredimensionale. Një krijesë e tillë mund të shohë menjëherë të gjithë figurën tre-dimensionale: të gjitha fytyrat dhe brendësinë e saj. (Në të njëjtën mënyrë, ne mund të shohim një figurë dy-dimensionale, të gjitha fytyrat dhe brendësinë e saj.)

Kështu, me ndihmën e organeve tona të vizionit, ne nuk jemi në gjendje të perceptojmë një kub katërdimensional siç do ta perceptonte një banor i një hapësire katërdimensionale. Mjerisht. Gjithçka që mbetet është të mbështeteni në syrin dhe imagjinatën e mendjes, të cilat, për fat të mirë, nuk kanë kufizime fizike.

Sidoqoftë, kur përshkruaj një hiperkub në një aeroplan, unë thjesht detyrohem të bëj projeksionin e tij në hapësirën dydimensionale. Merrni parasysh këtë fakt kur studioni vizatimet.
Kryqëzimet e skajeve

Natyrisht, skajet e hiperkubit nuk kryqëzohen. Kryqëzimet shfaqen vetëm në vizatime. Megjithatë, kjo nuk duhet të jetë befasi, sepse skajet e një kubi të rregullt në foto kryqëzohen gjithashtu.
Gjatësia e brinjëve

Vlen të përmendet se të gjitha fytyrat dhe skajet e një kubi katërdimensional janë të barabarta. Në figurë ato nuk janë të barabarta vetëm sepse janë të vendosura në kënde të ndryshme ndaj drejtimit të shikimit. Sidoqoftë, është e mundur të rrotullohet një hiperkub në mënyrë që të gjitha projeksionet të kenë të njëjtën gjatësi.

Nga rruga, në këtë figurë, tetë kube, të cilat janë fytyrat e një hiperkubi, janë qartë të dukshme.
Hiperkubi është bosh brenda

Është e vështirë të besohet, por midis kubeve që lidhin hiperkubin, ka pak hapësirë ​​(një fragment i hapësirës katër-dimensionale).

Për ta kuptuar më mirë këtë, le të shohim një projeksion dy-dimensional të një kubi të zakonshëm tredimensional (e kam bërë qëllimisht disi skematike).

A mund ta merrni me mend nga ajo se ka pak hapësirë ​​brenda kubit? Po, por vetëm duke përdorur imagjinatën tuaj. Syri nuk e sheh këtë hapësirë. Kjo ndodh sepse skajet e vendosura në dimensionin e tretë (që nuk mund të përshkruhen në një vizatim të sheshtë) tani janë shndërruar në segmente që shtrihen në rrafshin e vizatimit. Ata nuk japin më volum.

Sheshet që mbyllnin hapësirën e kubit mbivendosen me njëri-tjetrin. Por mund të imagjinohet se në figurën origjinale (një kub tredimensional) këto katrorë ishin të vendosur në plane të ndryshme, dhe jo njëri mbi tjetrin në të njëjtin plan, siç ndodhi në figurë.

Situata është saktësisht e njëjtë me një hiperkub. Kubat-fytyrat e një hiperkubi në fakt nuk mbivendosen, siç na duket në projeksion, por janë të vendosura në hapësirë ​​katër-dimensionale.
Fshirje

Pra, një banor i hapësirës katër-dimensionale mund të shohë një objekt tre-dimensional nga të gjitha anët në të njëjtën kohë. A mund të shohim një kub tredimensional nga të gjitha anët në të njëjtën kohë? Me sy - jo. Por njerëzit kanë gjetur një mënyrë për të përshkruar të gjitha fytyrat e një kubi tredimensionale në të njëjtën kohë në një vizatim të sheshtë. Një imazh i tillë quhet skanim.
Zhvillimi i një kubi tredimensional

Të gjithë ndoshta e dinë se si formohet zhvillimi i një kubi tredimensional. Ky proces tregohet në animacion.

Për qartësi, skajet e faqeve të kubit bëhen të tejdukshme.

Duhet të theksohet se ne jemi në gjendje ta perceptojmë këtë pamje dydimensionale vetëm falë imagjinatës sonë. Nëse i konsiderojmë fazat e shpalosjes nga një këndvështrim thjesht dydimensional, procesi do të duket i çuditshëm dhe aspak i qartë.

Duket si shfaqja graduale e fillimisht kontureve të katrorëve të shtrembëruar dhe më pas zvarritja e tyre në vend duke marrë njëkohësisht formën e kërkuar.

Nëse shikoni kubin e shpalosur në drejtim të njërës prej faqeve të tij (nga ky këndvështrim kubi duket si një katror), atëherë procesi i formimit të shpalosjes është edhe më pak i qartë. Gjithçka duket si katrorë që zvarriten nga katrori fillestar (jo kubi i shpalosur).

Por skanimi nuk është vizual vetëm për sytë. Falë imagjinatës suaj mund të grumbulloni shumë informacion prej tij.
Zhvillimi i një kubi katërdimensional

Është thjesht e pamundur ta bësh procesin e animuar të shpalosjes së një hiperkubi të paktën disi vizual. Por ky proces mund të imagjinohet. (Për ta bërë këtë, ju duhet ta shikoni atë përmes syve të një qenieje katër-dimensionale.)

Skanimi duket kështu.

Të tetë kubet që kufizojnë hiperkubin janë të dukshëm këtu.

Skajet që duhet të rreshtohen kur palosen janë lyer me të njëjtat ngjyra. Fytyrat për të cilat çiftet nuk janë të dukshme mbeten gri. Pas palosjes, faqja më e lartë e kubit të sipërm duhet të përafrohet me skajin e poshtëm të kubit të poshtëm. (Shpalosja e një kubi tredimensionale shembet në mënyrë të ngjashme.)

Ju lutemi vini re se pas konvolucionit, të gjitha fytyrat e tetë kubeve do të vijnë në kontakt, duke mbyllur hiperkubin. Dhe së fundi, kur imagjinoni procesin e palosjes, mos harroni se gjatë palosjes nuk ndodh mbivendosja e kubeve, por mbështjellja e tyre rreth një zone të caktuar (hiperkubike) katërdimensionale.

Salvador Dali (1904-1989) e përshkroi kryqëzimin shumë herë dhe kryqe shfaqen në shumë prej pikturave të tij. Piktura "Kryqëzimi" (1954) përdor një skanim hiperkub.
Hapësirë-kohë dhe hapësira katërdimensionale Euklidiane

Shpresoj se keni qenë në gjendje të imagjinoni hiperkubin. Por a keni arritur t'i afroheni të kuptuarit se si funksionon hapësira-koha katërdimensionale në të cilën jetojmë? Mjerisht, jo plotësisht.

Këtu folëm për hapësirën katërdimensionale Euklidiane, por hapësirë-koha ka veti krejtësisht të ndryshme. Në veçanti, gjatë çdo rrotullimi, segmentet mbeten gjithmonë të prirur ndaj boshtit të kohës, qoftë në një kënd më të vogël se 45 gradë, ose në një kënd më të madh se 45 gradë.

BURIMI 2

Tesseract është një hiperkub katër-dimensional, një analog i një kubi në hapësirën katër-dimensionale. Sipas Fjalorit të Oksfordit, fjala "tesseract" u krijua dhe u përdor në 1888 nga Charles Howard Hinton (1853-1907) në librin e tij "A New Age of Thought". Më vonë, disa njerëz e quajtën të njëjtën figurë "tetrakub".

Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket një hiperkub pa lënë hapësirë ​​tre-dimensionale.
Në një "hapësirë" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Rezultati është një ABCD katror. Duke e përsëritur këtë veprim me aeroplan, marrim një kub tredimensional ABCDHEFG. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt (pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin ABCDEFGHIJKLMNOP.

Një segment njëdimensional AB shërben si faqe e një katrori dydimensional ABCD, katrori shërben si një anë e një kubi ABCDHEFG, i cili, nga ana tjetër, do të jetë një anë e një hiperkubi katërdimensional. Një segment me vijë të drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme, një kub ka tetë. Në një hiperkub katërdimensional, do të ketë kështu 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 nga ajo e zhvendosur në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë kulmet e tij, të cilat kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet për fytyrat e një hiperkubi. Në hapësirën dy-dimensionale është vetëm një (vetë katrori), një kub ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera që përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin tonë për hiperkubet me një numër më të madh dimensionesh, por është shumë më interesante të shohim se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale. Për këtë do të përdorim metodën tashmë të njohur të analogjive.
Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e skajit. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy sheshe në aeroplan (skajet e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura nga tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin do të shtrihen në dimensionin e katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni kubin jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.

Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e faqes së tij, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në perspektivë do të duken si një figurë mjaft komplekse. Pjesa që mbetet në hapësirën "tonë" vizatohet me vija të forta, dhe pjesa që shkoi në hiperhapësirë ​​vizatohet me vija me pika. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.

Duke prerë gjashtë faqet e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni atë në një figurë të sheshtë - një zhvillim. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale, plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Dhe zhvillimi tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube "të rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare. Vetitë e një teserakti përfaqësojnë një vazhdimësi të vetive të figurave gjeometrike të dimensionit më të ulët në hapësirën katërdimensionale.

Emra të tjerë
Heksadekakoron
Oktakoroni
Tetrakub
4-Kub
Hiperkub (nëse numri i dimensioneve nuk është i specifikuar)

Hapësirë ​​10-dimensionale
Është në anglisht Për ata që nuk e dinë, fotot e bëjnë mjaft të qartë

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338