Në këtë artikull do të shohim se si shndërrimi i thyesave në dhjetore, dhe gjithashtu merrni parasysh procesin e kundërt - konvertimin e thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme. Këtu do të përshkruajmë rregullat për konvertimin e thyesave dhe do të ofrojmë zgjidhje të detajuara për shembujt tipikë.
Navigimi i faqes.
Shndërrimi i thyesave në dhjetore
Le të shënojmë sekuencën me të cilën do të merremi shndërrimi i thyesave në dhjetore.
Së pari, ne do të shohim se si të përfaqësojmë thyesat me emërues 10, 100, 1,000, ... si dhjetore. Kjo shpjegohet me faktin se thyesat dhjetore janë në thelb një formë kompakte e shkrimit të thyesave të zakonshme me emërues 10, 100, ....
Pas kësaj, do të shkojmë më tej dhe do të tregojmë se si të shkruajmë çdo thyesë të zakonshme (jo vetëm ato me emërues 10, 100, ...) si thyesë dhjetore. Kur thyesat e zakonshme trajtohen në këtë mënyrë, fitohen si thyesat dhjetore të fundme ashtu edhe thyesat dhjetore periodike të pafundme.
Tani le të flasim për gjithçka në rregull.
Shndërrimi i thyesave të zakonshme me emërues 10, 100, ... në dhjetore
Disa thyesa të duhura kërkojnë "përgatitje paraprake" përpara se të shndërrohen në dhjetore. Kjo vlen për thyesat e zakonshme, numri i shifrave në numëruesin e të cilave është më i vogël se numri i zerove në emërues. Për shembull, thyesa e zakonshme 2/100 duhet së pari të përgatitet për shndërrim në thyesë dhjetore, por thyesa 9/10 nuk ka nevojë për përgatitje.
"Përgatitja paraprake" e thyesave të zakonshme të duhura për shndërrimin në thyesa dhjetore konsiston në shtimin e aq shumë zerave majtas në numërues sa që numri i përgjithshëm i shifrave atje bëhet i barabartë me numrin e zerave në emërues. Për shembull, një fraksion pas shtimit të zerave do të duket si .
Pasi të keni përgatitur një fraksion të duhur, mund të filloni ta konvertoni atë në një dhjetore.
Le të japim rregulli për konvertimin e një thyese të zakonshme të duhur me një emërues 10, ose 100, ose 1000, ... në një thyesë dhjetore. Ai përbëhet nga tre hapa:
- shkruani 0;
- pas saj vendosim një pikë dhjetore;
- E shkruajmë numrin nga numëruesi (së bashku me zerat e shtuara, nëse i kemi shtuar).
Le të shqyrtojmë zbatimin e këtij rregulli kur zgjidhim shembuj.
Shembull.
Shndërroje thyesën e duhur 37/100 në një dhjetore.
Zgjidhje.
Emëruesi përmban numrin 100, i cili ka dy zero. Numëruesi përmban numrin 37, shënimi i tij ka dy shifra, prandaj, kjo fraksion nuk ka nevojë të përgatitet për shndërrim në një thyesë dhjetore.
Tani shkruajmë 0, vendosim një presje dhjetore dhe shkruajmë numrin 37 nga numëruesi dhe marrim thyesën dhjetore 0,37.
Përgjigje:
0,37 .
Për të forcuar aftësitë e shndërrimit të thyesave të zakonshme të rregullta me numërues 10, 100, ... në thyesa dhjetore, do të analizojmë zgjidhjen në një shembull tjetër.
Shembull.
Shkruani thyesën e duhur 107/10.000.000 si dhjetore.
Zgjidhje.
Numri i shifrave në numërues është 3, dhe numri i zerave në emërues është 7, kështu që kjo thyesë e zakonshme duhet të përgatitet për shndërrim në dhjetor. Ne duhet të shtojmë 7-3=4 zero në të majtë në numërues në mënyrë që numri i përgjithshëm i shifrave atje të bëhet i barabartë me numrin e zerove në emërues. marrim.
Gjithçka që mbetet është të krijohet thyesa dhjetore e kërkuar. Për ta bërë këtë, së pari, shkruajmë 0, së dyti, vendosim presje, së treti, shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerat 0000107, si rezultat kemi një thyesë dhjetore 0.0000107.
Përgjigje:
0,0000107 .
Thyesat e pasakta nuk kërkojnë ndonjë përgatitje kur shndërrohen në dhjetore. Duhet të respektohen sa vijon rregullat për shndërrimin e thyesave të pasakta me emërues 10, 100, ... në dhjetore:
- shkruani numrin nga numëruesi;
- Ne përdorim një pikë dhjetore për të ndarë aq shifra në të djathtë sa ka zero në emëruesin e thyesës origjinale.
Le të shohim zbatimin e këtij rregulli kur zgjidhim një shembull.
Shembull.
Shndërroje thyesën e papërshtatshme 56,888,038,009/100,000 në një dhjetore.
Zgjidhje.
Së pari, shkruajmë numrin nga numëruesi 56888038009, dhe së dyti, 5 shifrat në të djathtë i ndajmë me një pikë dhjetore, pasi emëruesi i thyesës origjinale ka 5 zero. Si rezultat, kemi thyesën dhjetore 568880.38009.
Përgjigje:
568 880,38009 .
Për të kthyer një numër të përzier në një thyesë dhjetore, emëruesi i pjesës thyesore të së cilës është numri 10, ose 100, ose 1000, ..., mund ta shndërroni numrin e përzier në një thyesë të zakonshme të pasaktë, dhe më pas të shndërroni atë që rezulton. thyesë në një thyesë dhjetore. Por mund të përdorni edhe sa vijon rregulli për shndërrimin e numrave të përzier me një emërues thyesor 10, ose 100, ose 1000, ... në thyesa dhjetore:
- nëse është e nevojshme, ne kryejmë "përgatitjen paraprake" të pjesës thyesore të numrit të përzier origjinal duke shtuar numrin e kërkuar të zeros majtas në numërues;
- shkruani pjesën e plotë të numrit të përzier origjinal;
- vendos një pikë dhjetore;
- Ne shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerot e shtuara.
Le të shohim një shembull në të cilin plotësojmë të gjithë hapat e nevojshëm për të paraqitur një numër të përzier si thyesë dhjetore.
Shembull.
Shndërroni numrin e përzier në një dhjetor.
Zgjidhje.
Emëruesi i pjesës thyesore ka 4 zero, dhe numëruesi përmban numrin 17, i përbërë nga 2 shifra, prandaj, duhet të shtojmë dy zero në të majtë në numërues në mënyrë që numri i shifrave atje të bëhet i barabartë me numrin e zero në emërues. Pasi ta keni bërë këtë, numëruesi do të jetë 0017.
Tani shkruajmë pjesën e plotë të numrit origjinal, domethënë numrin 23, vendosim një pikë dhjetore, pas së cilës shkruajmë numrin nga numëruesi së bashku me zerot e shtuara, domethënë 0017, dhe marrim dhjetorin e dëshiruar. fraksioni 23.0017.
Le të shkruajmë shkurtimisht të gjithë zgjidhjen: 
.
Natyrisht, ishte e mundur që së pari të përfaqësohej numri i përzier si një thyesë e papërshtatshme dhe më pas ta kthente atë në një thyesë dhjetore. Me këtë qasje, zgjidhja duket kështu: .
Përgjigje:
23,0017 .
Shndërrimi i thyesave në dhjetore periodike të fundme dhe të pafundme
Ju mund të konvertoni jo vetëm thyesat e zakonshme me emërues 10, 100, ... në një thyesë dhjetore, por edhe thyesat e zakonshme me emërues të tjerë. Tani do të kuptojmë se si bëhet kjo.
Në disa raste, thyesa e zakonshme origjinale reduktohet lehtësisht në një nga emëruesit 10, ose 100, ose 1000, ... (shih sjelljen e një thyese të zakonshme në një emërues të ri), pas së cilës nuk është e vështirë të përfaqësohet thyesa që rezulton si thyesë dhjetore. Për shembull, është e qartë se thyesa 2/5 mund të reduktohet në një thyesë me emërues 10, për këtë ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 2, gjë që do të japë thyesën 4/10, e cila, sipas rregullat e diskutuara në paragrafin e mëparshëm, konvertohen lehtësisht në thyesën dhjetore 0, 4.
Në raste të tjera, ju duhet të përdorni një metodë tjetër të konvertimit të një thyese të zakonshme në një dhjetore, të cilën ne tani vazhdojmë ta shqyrtojmë.
Për të kthyer një thyesë të zakonshme në një thyesë dhjetore, numëruesi i fraksionit ndahet me emëruesin, numëruesi zëvendësohet fillimisht nga një thyesë dhjetore e barabartë me çdo numër zero pas pikës dhjetore (për këtë folëm në pjesën e barabartë dhe thyesat dhjetore të pabarabarta). Në këtë rast, pjesëtimi kryhet njësoj si pjesëtimi me një kolonë numrash natyrorë, dhe në herës vendoset një pikë dhjetore kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës së dividentit. E gjithë kjo do të bëhet e qartë nga zgjidhjet e shembujve të dhënë më poshtë.
Shembull.
Shndërroje thyesën 621/4 në një dhjetore.
Zgjidhje.
Le të paraqesim numrin në numëruesin 621 si thyesë dhjetore, duke shtuar një pikë dhjetore dhe disa zero pas saj. Së pari, le të shtojmë 2 shifra 0, më vonë, nëse është e nevojshme, gjithmonë mund të shtojmë më shumë zero. Pra, ne kemi 621.00.
Tani le ta ndajmë numrin 621,000 me 4 me një kolonë. Tre hapat e parë nuk ndryshojnë nga pjesëtimi i numrave natyrorë me një kolonë, pas së cilës arrijmë në foton e mëposhtme: 
Kështu arrijmë në pikën dhjetore në dividend, dhe pjesa e mbetur është e ndryshme nga zero. Në këtë rast, vendosim një pikë dhjetore në herës dhe vazhdojmë ndarjen në një kolonë, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve: 
Kjo plotëson ndarjen, dhe si rezultat marrim thyesën dhjetore 155,25, e cila korrespondon me thyesën e zakonshme origjinale.
Përgjigje:
155,25 .
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli tjetër.
Shembull.
Shndërroje thyesën 21/800 në një dhjetore.
Zgjidhje.
Për ta kthyer këtë thyesë të zakonshme në një dhjetore, ne e ndajmë me një kolonë të thyesës dhjetore 21,000 ... me 800. Pas hapit të parë, do të duhet të vendosim një pikë dhjetore në herës, dhe më pas të vazhdojmë ndarjen: 
Më në fund, morëm pjesën e mbetur 0, kjo përfundon shndërrimin e thyesës së zakonshme 21/400 në një thyesë dhjetore dhe arritëm në thyesën dhjetore 0,02625.
Përgjigje:
0,02625 .
Mund të ndodhë që kur e pjesëtojmë numëruesin me emëruesin e një fraksioni të zakonshëm, ende nuk marrim një mbetje prej 0. Në këto raste, ndarja mund të vazhdojë pafundësisht. Sidoqoftë, duke filluar nga një hap i caktuar, mbetjet fillojnë të përsëriten periodikisht, dhe numrat në herës përsëriten gjithashtu. Kjo do të thotë që thyesa origjinale shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike të pafundme. Le ta tregojmë këtë me një shembull.
Shembull.
Shkruaje thyesën 19/44 si dhjetore.
Zgjidhje.
Për të kthyer një thyesë të zakonshme në një dhjetore, kryeni pjesëtimin me kolonë: 
Tashmë është e qartë se gjatë pjesëtimit filluan të përsëriten mbetjet 8 dhe 36, ndërsa në herës përsëriten numrat 1 dhe 8. Kështu, thyesa e zakonshme origjinale 19/44 shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike 0,43181818...=0,43(18).
Përgjigje:
0,43(18) .
Për të përfunduar këtë pikë, do të kuptojmë se cilat thyesa të zakonshme mund të shndërrohen në thyesa dhjetore të fundme dhe cilat mund të shndërrohen vetëm në ato periodike.
Le të kemi një thyesë të zakonshme të pareduktueshme para nesh (nëse thyesa është e reduktueshme, atëherë së pari e zvogëlojmë thyesën), dhe duhet të zbulojmë se në cilën thyesë dhjetore mund të shndërrohet - e fundme ose periodike.
Është e qartë se nëse një thyesë e zakonshme mund të reduktohet në një nga emëruesit 10, 100, 1,000, ..., atëherë thyesa që rezulton mund të shndërrohet lehtësisht në një thyesë dhjetore përfundimtare sipas rregullave të diskutuara në paragrafin e mëparshëm. Por për emëruesit 10, 100, 1000, etj. Jo të gjitha thyesat e zakonshme janë dhënë. Vetëm thyesat, emëruesit e të cilëve janë të paktën një nga numrat 10, 100, ... mund të reduktohen në emërues të tillë Dhe cilët numra mund të jenë pjesëtues të 10, 100, ...? Numrat 10, 100, ... do të na lejojnë t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje, dhe ata janë si më poshtë: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... Nga kjo rezulton se pjesëtuesit janë 10, 100, 1000, etj. Mund të ketë vetëm numra, zbërthimi i të cilëve në faktorë të thjeshtë përmbajnë vetëm numrat 2 dhe (ose) 5.
Tani mund të nxjerrim një përfundim të përgjithshëm në lidhje me shndërrimin e thyesave të zakonshme në dhjetore:
- nëse në zbërthimin e emëruesit në faktorë të thjeshtë ka vetëm numra 2 dhe (ose) 5, atëherë kjo thyesë mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare;
- nëse përveç dysheve dhe pesësheve ka edhe numra të tjerë të thjeshtë në zgjerimin e emëruesit, atëherë kjo thyesë shndërrohet në një thyesë periodike dhjetore të pafundme.
Shembull.
Pa i kthyer thyesat e zakonshme në dhjetore, më tregoni se cili nga thyesat 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 mund të shndërrohet në thyesë dhjetore përfundimtare dhe cilat mund të shndërrohen vetëm në thyesë periodike.
Zgjidhje.
Emëruesi i thyesës 47/20 faktorizohet në faktorë të thjeshtë si 20=2·2·5. Në këtë zgjerim ka vetëm dy dhe pesë, kështu që kjo thyesë mund të reduktohet në një nga emëruesit 10, 100, 1,000, ... (në këtë shembull, në emëruesin 100), prandaj, mund të shndërrohet në një dhjetore përfundimtare. fraksioni.
Zbërthimi i emëruesit të thyesës 7/12 në faktorë të thjeshtë ka formën 12=2·2·3. Meqenëse përmban një faktor kryesor prej 3, të ndryshëm nga 2 dhe 5, kjo thyesë nuk mund të përfaqësohet si dhjetore e fundme, por mund të shndërrohet në një dhjetor periodik.
Fraksioni 21/56 – kontraktues, pas tkurrjes merr formën 3/8. Faktorizimi i emëruesit në faktorë të thjeshtë përmban tre faktorë të barabartë me 2, prandaj, thyesa e përbashkët 3/8, dhe për këtë arsye thyesa e barabartë 21/56, mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare.
Së fundi, zgjerimi i emëruesit të thyesës 31/17 është vetë 17, prandaj kjo thyesë nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore të fundme, por mund të shndërrohet në një thyesë periodike të pafundme.
Përgjigje:
47/20 dhe 21/56 mund të konvertohen në një thyesë dhjetore të fundme, por 7/12 dhe 31/17 mund të konvertohen vetëm në një thyesë periodike.
Thyesat e zakonshme nuk shndërrohen në dhjetore të pafundme jo periodike
Informacioni në paragrafin e mëparshëm lind pyetjen: "A mund të rezultojë pjesëtimi i numëruesit të një thyese me emëruesin në një thyesë të pafundme jo periodike?"
Përgjigje: jo. Kur konvertohet një thyesë e zakonshme, rezultati mund të jetë ose një thyesë dhjetore e fundme ose një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Le të shpjegojmë pse është kështu.
Nga teorema mbi pjesëtueshmërinë me një mbetje, është e qartë se mbetja është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi, domethënë nëse pjesëtojmë një numër të plotë me një numër të plotë q, atëherë mbetja mund të jetë vetëm një nga numrat 0, 1, 2. , ..., q−1. Nga kjo rrjedh se pasi kolona të ketë përfunduar pjesëtimin e pjesës së plotë të numëruesit të një thyese të zakonshme me emëruesin q, në jo më shumë se q hapat do të lindë një nga dy situatat e mëposhtme:
- ose do të marrim një mbetje prej 0, kjo do të përfundojë pjesëtimin dhe do të marrim thyesën dhjetore përfundimtare;
- ose do të marrim një mbetje që tashmë është shfaqur më parë, pas së cilës mbetjet do të fillojnë të përsëriten si në shembullin e mëparshëm (pasi kur pjesëtohen numrat e barabartë me q, fitohen mbetje të barabarta, që rrjedh nga teorema e pjesëtueshmërisë së përmendur tashmë), kjo do të rezultojë në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.
Nuk mund të ketë opsione të tjera, prandaj, kur konvertohet një fraksion i zakonshëm në një thyesë dhjetore, nuk mund të merret një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.
Nga arsyetimi i dhënë në këtë paragraf rezulton gjithashtu se gjatësia e periudhës së një thyese dhjetore është gjithmonë më e vogël se vlera e emëruesit të thyesës së zakonshme përkatëse.
Shndërrimi i numrave dhjetorë në thyesa
Tani le të kuptojmë se si të shndërrojmë një thyesë dhjetore në një fraksion të zakonshëm. Le të fillojmë me konvertimin e thyesave dhjetore përfundimtare në thyesa të zakonshme. Pas kësaj, ne do të shqyrtojmë një metodë për përmbysjen e thyesave dhjetore periodike të pafundme. Si përfundim, le të themi për pamundësinë e shndërrimit të thyesave dhjetore të pafundme jo periodike në thyesa të zakonshme.
Shndërrimi i numrave dhjetorë në thyesa
Marrja e një thyese që shkruhet si dhjetore përfundimtare është mjaft e thjeshtë. Rregulli për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një thyesë të zakonshme përbëhet nga tre hapa:
- së pari, shkruani thyesën dhjetore të dhënë në numërues, pasi të keni hequr më parë pikën dhjetore dhe të gjitha zerat në të majtë, nëse ka;
- së dyti, shkruani një në emërues dhe shtoni atij aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore origjinale;
- së treti, nëse është e nevojshme, zvogëloni fraksionin që rezulton.
Le të shohim zgjidhjet e shembujve.
Shembull.
Shndërroni numrin dhjetor 3,025 në një thyesë.
Zgjidhje.
Nëse heqim pikën dhjetore nga thyesa dhjetore origjinale, marrim numrin 3,025. Nuk ka zero në të majtë që do t'i hidhnim. Pra, ne shkruajmë 3,025 në numëruesin e thyesës së dëshiruar.
Ne shkruajmë numrin 1 në emërues dhe shtojmë 3 zero në të djathtë të tij, pasi në thyesën dhjetore origjinale ka 3 shifra pas presjes dhjetore.
Pra, ne morëm thyesën e përbashkët 3,025/1,000. Kjo pjesë mund të zvogëlohet me 25, marrim 
.
Përgjigje:
.
Shembull.
Shndërroje thyesën dhjetore 0,0017 në një thyesë.
Zgjidhje.
Pa një pikë dhjetore, thyesa dhjetore origjinale duket si 00017, duke hedhur poshtë zerot në të majtë, marrim numrin 17, i cili është numëruesi i fraksionit të zakonshëm të dëshiruar.
Ne shkruajmë një me katër zero në emërues, pasi thyesa dhjetore origjinale ka 4 shifra pas presjes dhjetore.
Si rezultat, kemi një fraksion të zakonshëm 17/10,000. Kjo thyesë është e pareduktueshme dhe shndërrimi i një thyese dhjetore në një thyesë të zakonshme është i plotë.
Përgjigje:
.
Kur pjesa e plotë e thyesës dhjetore përfundimtare origjinale është jo zero, ajo mund të shndërrohet menjëherë në një numër të përzier, duke anashkaluar thyesën e zakonshme. Le të japim Rregulli për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një numër të përzier:
- numri para presjes dhjetore duhet të shkruhet si pjesë e plotë e numrit të përzier të dëshiruar;
- në numëruesin e pjesës thyesore duhet të shkruani numrin e marrë nga pjesa thyesore e thyesës dhjetore origjinale pasi të keni hedhur të gjitha zerot në të majtë;
- në emëruesin e pjesës thyesore duhet të shkruani numrin 1, të cilit i shtoni aq zero djathtas sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore origjinale;
- nëse është e nevojshme, zvogëloni pjesën e pjesshme të numrit të përzier që rezulton.
Le të shohim një shembull të konvertimit të një thyese dhjetore në një numër të përzier.
Shembull.
Shprehni thyesën dhjetore 152.06005 si numër të përzier
Një thyesë mund të shndërrohet në një numër të plotë ose në një numër dhjetor. Një thyesë e papërshtatshme, numëruesi i së cilës është më i madh se emëruesi dhe pjesëtohet me të pa mbetje, shndërrohet në një numër të plotë, për shembull: 20/5. Pjestojeni 20 me 5 dhe merrni numrin 4. Nëse thyesa është e duhur, domethënë numëruesi është më i vogël se emëruesi, atëherë kthejeni atë në numër (thyesë dhjetore). Ju mund të merrni më shumë informacion rreth thyesave nga seksioni ynë -.
Mënyrat për të kthyer një thyesë në një numër
- Mënyra e parë për të kthyer një thyesë në një numër është e përshtatshme për një thyesë që mund të shndërrohet në një numër që është një thyesë dhjetore. Së pari, le të zbulojmë nëse është e mundur të konvertohet thyesa e dhënë në një thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit (numrit që është nën vijën ose në të djathtë të vijës së pjerrët). Nëse emëruesi mund të faktorizohet (në shembullin tonë - 2 dhe 5), i cili mund të përsëritet, atëherë kjo thyesë në të vërtetë mund të shndërrohet në një fraksion dhjetor përfundimtar. Për shembull: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Kjo thyesë e zakonshme do të shndërrohet në një numër (dhjetor) me një numër të fundëm të numrave dhjetorë. Por thyesa 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) do të shndërrohet në një numër me një numër të pafund vendesh dhjetore. Kjo do të thotë, kur llogaritet me saktësi një vlerë numerike, është mjaft e vështirë të përcaktohet vendi përfundimtar dhjetor, pasi ka një numër të pafund të shenjave të tilla. Prandaj, zgjidhja e problemeve zakonisht kërkon rrumbullakimin e vlerës në të qindtat ose të mijëtat. Më pas, duhet të shumëzoni edhe numëruesin edhe emëruesin me një numër të tillë në mënyrë që emëruesi të prodhojë numrat 10, 100, 1000, etj. Për shembull: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
- Mënyra e dytë për të kthyer një thyesë në një numër është më e thjeshtë: ju duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Për të aplikuar këtë metodë, ne thjesht kryejmë ndarjen dhe numri që rezulton do të jetë fraksioni dhjetor i dëshiruar. Për shembull, ju duhet të shndërroni thyesën 2/15 në një numër. Ndani 2 me 15. Marrim 0,1333... - një thyesë e pafundme. E shkruajmë kështu: 0.13 (3). Nëse thyesa është një thyesë e papërshtatshme, domethënë, numëruesi është më i madh se emëruesi (për shembull, 345/100), atëherë konvertimi i tij në një numër do të rezultojë në një vlerë të numrit të plotë ose një thyesë dhjetore me një pjesë të tërë thyesore. Në shembullin tonë do të jetë 3.45. Për të kthyer një thyesë të përzier si 3 2 / 7 në një numër, së pari duhet ta shndërroni atë në një thyesë të papërshtatshme: (3∙7+2)/7 = 23/7. Më pas, ndani 23 me 7 dhe merrni numrin 3.2857143, të cilin e zvogëlojmë në 3.29.
Mënyra më e lehtë për të kthyer një thyesë në një numër është përdorimi i një kalkulatori ose një pajisjeje tjetër llogaritëse. Së pari ne tregojmë numëruesin e fraksionit, më pas shtypim butonin me ikonën "ndarje" dhe futim emëruesin. Pasi të shtypim tastin "=", marrim numrin e dëshiruar.
Materialet mbi thyesat dhe studimi në vazhdimësi. Më poshtë do të gjeni informacion të detajuar me shembuj dhe shpjegime.
1. Numri i përzier në një thyesë të përbashkët.Le ta shkruajmë numrin në formë të përgjithshme:
Kujtojmë një rregull të thjeshtë - shumëzojmë të gjithë pjesën me emëruesin dhe shtojmë numëruesin, domethënë:
Shembuj:
2. Përkundrazi, një thyesë e zakonshme në një numër të përzier. *Sigurisht, kjo mund të bëhet vetëm me një thyesë jo të duhur (kur numëruesi është më i madh se emëruesi).
Me numra "të vegjël", në përgjithësi, nuk ka nevojë të ndërmerren veprime, rezultati është "i dukshëm" menjëherë, për shembull, fraksionet;
* Më shumë detaje:
15:13 = 1 mbetje 2
4:3 = 1 mbetje 1
9:5 = 1 mbetje 4
Por nëse numrat janë më shumë, atëherë nuk mund të bëni pa llogaritje. Gjithçka është e thjeshtë këtu - ndani numëruesin me emëruesin me një qoshe derisa pjesa e mbetur të jetë më e vogël se pjesëtuesi. Skema e ndarjes:
Për shembull:
*Numëruesi ynë është dividenti, emëruesi është pjesëtuesi.
Marrim të gjithë pjesën (herësin e paplotë) dhe pjesën e mbetur. Ne shkruajmë një numër të plotë, pastaj një thyesë (numëruesi përmban pjesën e mbetur, por emëruesi mbetet i njëjtë):
3. Shndërroni dhjetorin në të zakonshëm.
Pjesërisht në paragrafin e parë, ku folëm për thyesat dhjetore, ne e prekëm tashmë këtë. E shkruajmë ashtu siç e dëgjojmë. Për shembull - 0.3; 0,45; 0,008; 4.38; 10.00015
Ne kemi tre thyesat e para pa një pjesë të plotë. Dhe e katërta dhe e pesta e kanë atë, le t'i shndërrojmë në të zakonshme, ne tashmë e dimë se si ta bëjmë këtë:
*Ne shohim se thyesat gjithashtu mund të zvogëlohen, për shembull 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 dhe të tjera, por ne nuk do ta bëjmë këtë këtu. Në lidhje me reduktimin, do të gjeni një paragraf të veçantë më poshtë, ku do të analizojmë gjithçka në detaje.
4. Shndërroni të zakonshëm në dhjetor.
Nuk është kaq e thjeshtë. Me disa thyesa është menjëherë e qartë dhe e qartë se çfarë duhet bërë me të në mënyrë që të bëhet dhjetore, për shembull:
Ne përdorim vetinë tonë të mrekullueshme themelore të një fraksioni - shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me përkatësisht 5, 25, 2, 5, 4, 2 dhe marrim:
Nëse ka një pjesë të tërë, atëherë nuk është gjithashtu e komplikuar:
Ne e shumëzojmë pjesën e pjesshme përkatësisht me 2, 25, 2 dhe 5 dhe marrim:
Dhe ka nga ato për të cilat pa përvojë është e pamundur të përcaktohet se ato mund të shndërrohen në dhjetore, për shembull:
Me cilët numra duhet të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin?
Këtu përsëri vjen në shpëtim një metodë e provuar - ndarja me një qoshe, një metodë universale, gjithmonë mund ta përdorni për të kthyer një fraksion të përbashkët në një dhjetore:
Në këtë mënyrë ju gjithmonë mund të përcaktoni nëse një thyesë është konvertuar në një dhjetore. Fakti është se jo çdo fraksion i zakonshëm mund të shndërrohet në dhjetor, për shembull, të tilla si 1/9, 3/7, 7/26 nuk konvertohen. Sa është atëherë thyesa kur pjesëtohet 1 me 9, 3 me 7, 5 me 11? Përgjigja ime është dhjetore e pafundme (për to folëm në paragrafin 1). Le të ndajmë:
Kjo është e gjitha! Ju uroj fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
Nëse duhet të pjesëtojmë 497 me 4, atëherë kur pjesëtojmë do të shohim se 497 nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me 4, d.m.th. mbetet pjesa e mbetur e ndarjes. Në raste të tilla thuhet se është përfunduar pjesëtimi me mbetje, dhe zgjidhja shkruhet si më poshtë:
497: 4 = 124 (1 mbetur).
Komponentët e pjesëtimit në anën e majtë të barazisë quhen njësoj si në pjesëtimin pa mbetje: 497 - divident, 4 - ndarës. Rezultati i pjesëtimit kur ndahet me një mbetje quhet private jo të plota. Në rastin tonë, ky është numri 124. Dhe së fundi, përbërësi i fundit, i cili nuk është në ndarjen e zakonshme, është mbetje. Në rastet kur nuk ka mbetje, thuhet se një numër pjesëtohet me një tjetër pa gjurmë, ose tërësisht. Besohet se me një ndarje të tillë mbetja është zero. Në rastin tonë, pjesa e mbetur është 1.
Pjesa e mbetur është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.
Pjesëtimi mund të kontrollohet me shumëzim. Nëse, për shembull, ekziston një barazi 64: 32 = 2, atëherë kontrolli mund të bëhet kështu: 64 = 32 * 2.
Shpesh në rastet kur kryhet pjesëtimi me mbetje, është e përshtatshme të përdoret barazia
a = b * n + r,
ku a është dividenti, b është pjesëtuesi, n është herësi i pjesshëm, r është mbetja.
Herësi i numrave natyrorë mund të shkruhet si thyesë.
Numëruesi i një thyese është dividenti, dhe emëruesi është pjesëtuesi.
Meqenëse numëruesi i një thyese është dividenti dhe emëruesi është pjesëtuesi, besoni se drejtëza e një thyese nënkupton veprimin e pjesëtimit. Ndonjëherë është e përshtatshme të shkruhet pjesëtimi si thyesë pa përdorur shenjën ":".
Herësi i pjesëtimit të numrave natyrorë m dhe n mund të shkruhet si thyesë \(\frac(m)(n) \), ku numëruesi m është dividenti, dhe emëruesi n është pjesëtuesi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Rregullat e mëposhtme janë të vërteta:
Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), ju duhet ta ndani njësinë në n pjesë (aksione) të barabarta dhe të merrni m pjesë të tilla.
Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), duhet të pjesëtoni numrin m me numrin n.
Për të gjetur një pjesë të një tërësie, duhet të ndani numrin që i përgjigjet së tërës me emëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me numëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.
Për të gjetur një të tërë nga pjesa e saj, duhet të ndani numrin që korrespondon me këtë pjesë me numëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me emëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\ i madh \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Kjo pronë quhet vetia kryesore e një thyese.
Dy transformimet e fundit quhen duke reduktuar një fraksion.
Nëse thyesat duhet të paraqiten si thyesa me të njëjtin emërues, atëherë ky veprim quhet duke reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët.
Thyesat e duhura dhe të pahijshme. Numra të përzier
Ju tashmë e dini se një thyesë mund të merret duke e ndarë një të tërë në pjesë të barabarta dhe duke marrë disa pjesë të tilla. Për shembull, fraksioni \(\frac(3)(4)\) do të thotë tre të katërtat e një. Në shumë nga problemet në paragrafin e mëparshëm, thyesat u përdorën për të paraqitur pjesë të një tërësie. Mendja e shëndoshë dikton që pjesa duhet të jetë gjithmonë më e vogël se e tëra, por ç'të themi për thyesat si \(\frac(5)(5)\) ose \(\frac(8)(5)\)? Është e qartë se kjo nuk është më pjesë e njësisë. Kjo është ndoshta arsyeja pse thirren thyesat, numëruesi i të cilave është më i madh ose i barabartë me emëruesin thyesat e papërshtatshme. Thyesat e mbetura, pra thyesat, numëruesi i të cilave është më i vogël se emëruesi, quhen thyesat e sakta.
Siç e dini, çdo thyesë e përbashkët, e duhur dhe e papërshtatshme, mund të konsiderohet si rezultat i pjesëtimit të numëruesit me emëruesin. Prandaj, në matematikë, ndryshe nga gjuha e zakonshme, termi "thyesë e papërshtatshme" nuk do të thotë se kemi bërë diçka të gabuar, por vetëm se numëruesi i kësaj thyese është më i madh ose i barabartë me emëruesin.
Nëse një numër përbëhet nga një pjesë numër i plotë dhe një thyesë, atëherë i tillë thyesat quhen të përziera.
Për shembull:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 është pjesa e plotë dhe \(\frac(2)(3) \) është pjesa thyesore.
Nëse numëruesi i thyesës \(\frac(a)(b) \) është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për të pjesëtuar këtë thyesë me n, numëruesi i tij duhet të pjesëtohet me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Nëse numëruesi i fraksionit \(\frac(a)(b) \) nuk është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për ta pjesëtuar këtë thyesë me n, duhet të shumëzoni emëruesin e tij me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Vini re se rregulli i dytë është gjithashtu i vërtetë kur numëruesi pjesëtohet me n. Prandaj, mund ta përdorim kur është e vështirë të përcaktojmë në shikim të parë nëse numëruesi i një thyese është i pjesëtueshëm me n apo jo.
Veprimet me thyesa. Shtimi i thyesave.
Ju mund të kryeni veprime aritmetike me numra thyesorë, ashtu si me numrat natyrorë. Le të shohim fillimisht mbledhjen e thyesave. Është e lehtë të shtosh thyesa me emërues të ngjashëm. Le të gjejmë, për shembull, shumën e \(\frac(2)(7)\) dhe \(\frac(3)(7)\). Është e lehtë të kuptohet se \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Duke përdorur shkronja, rregulli për mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm mund të shkruhet si më poshtë:
\(\ i madh \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Nëse keni nevojë të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, ato fillimisht duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët. Për shembull:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Për thyesat, si për numrat natyrorë, janë të vlefshme vetitë komutative dhe shoqëruese të mbledhjes.
Shtimi i fraksioneve të përziera
Shënimet si \(2\frac(2)(3)\) thirren thyesat e përziera. Në këtë rast, thirret numri 2 pjesë e tërë thyesë e përzier, dhe numri \(\frac(2)(3)\) është i tij pjesë thyesore. Hyrja \(2\frac(2)(3)\) lexohet si më poshtë: "dy dhe dy të tretat".
Kur ndani numrin 8 me numrin 3, mund të merrni dy përgjigje: \(\frac(8)(3)\) dhe \(2\frac(2)(3)\). Ato shprehin të njëjtin numër thyesor, d.m.th. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Kështu, thyesa e papërshtatshme \(\frac(8)(3)\) përfaqësohet si një fraksion i përzier \(2\frac(2)(3)\). Në raste të tilla ata thonë se nga një fraksion i papërshtatshëm vuri në pah të gjithë pjesën.
Zbritja e thyesave (numrat thyesorë)
Zbritja e numrave thyesorë, ashtu si numrat natyrorë, përcaktohet në bazë të veprimit të mbledhjes: zbritja e një tjetri nga një numër nënkupton gjetjen e një numri që, kur i shtohet të dytit, jep të parin. Për shembull:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) pasi \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Rregulli për zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm është i ngjashëm me rregullin për mbledhjen e thyesave të tilla:
Për të gjetur ndryshimin midis thyesave me emërues të njëjtë, duhet të zbritni numëruesin e të dytës nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.
Duke përdorur shkronja, ky rregull shkruhet kështu:
\(\ i madh \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Shumëzimi i thyesave
Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre dhe të shkruani prodhimin e parë si numërues dhe të dytin si emërues.
Duke përdorur shkronjat, rregulli për shumëzimin e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Duke përdorur rregullin e formuluar, ju mund të shumëzoni një fraksion me një numër natyror, me një fraksion të përzier, dhe gjithashtu të shumëzoni fraksionet e përziera. Për ta bërë këtë, ju duhet të shkruani një numër natyror si një thyesë me emërues 1 dhe një thyesë të përzier si një thyesë jo të duhur.
Rezultati i shumëzimit duhet të thjeshtohet (nëse është e mundur) duke zvogëluar thyesën dhe duke izoluar të gjithë pjesën e fraksionit të papërshtatshëm.
Për thyesat, si për numrat natyrorë, janë të vlefshme vetitë komutative dhe kombinuese të shumëzimit, si dhe vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen.
Ndarja e thyesave
Le të marrim thyesën \(\frac(2)(3)\) dhe ta "rrokullisim" atë, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Marrim thyesën \(\frac(3)(2)\). Kjo thyesë quhet e kundërta thyesat \(\frac(2)(3)\).
Nëse tani "e kthejmë" thyesën \(\frac(3)(2)\), do të marrim thyesën origjinale \(\frac(2)(3)\). Prandaj, thyesat si \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(3)(2)\) quhen reciprokisht anasjelltas.
Për shembull, thyesat \(\frac(6)(5) \) dhe \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dhe \(\frac (18 )(7)\).
Duke përdorur shkronjat, thyesat reciproke mund të shkruhen si më poshtë: \(\frac(a)(b) \) dhe \(\frac(b)(a) \)
Është e qartë se prodhimi i thyesave reciproke është i barabartë me 1. Për shembull: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Duke përdorur thyesat reciproke, ju mund ta reduktoni ndarjen e thyesave në shumëzim.
Rregulli për pjesëtimin e një thyese me një thyesë është:
Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, duhet të shumëzoni dividentin me reciprocitetin e pjesëtuesit.
Duke përdorur shkronjat, rregulli për ndarjen e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Nëse dividenti ose pjesëtuesi është një numër natyror ose një thyesë e përzier, atëherë për të përdorur rregullin për pjesëtimin e thyesave, fillimisht duhet të paraqitet si një thyesë e papërshtatshme.
