Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Kur zgjidhni disa probleme matematikore, duhet të veproni me rrënjë katrore. Prandaj, është e rëndësishme të njihni rregullat e veprimeve me rrënjë katrore dhe të mësoni se si të transformoni shprehjet që përmbajnë ato. Qëllimi është të studiohen rregullat e veprimeve me rrënjë katrore dhe mënyrat e transformimit të shprehjeve me rrënjë katrore.

Ne e dimë se disa numra racional shprehen si thyesa dhjetore periodike të pafundme, siç është numri 1/1998=0.000500500500... Por asgjë nuk na pengon të imagjinojmë një numër, zgjerimi dhjetor i të cilit nuk zbulon asnjë pikë. Numra të tillë quhen irracionalë.

Historia e numrave irracionalë daton që nga zbulimi i mahnitshëm i Pitagorianëve në shekullin e 6-të. para Krishtit e. Gjithçka filloi me një pyetje në dukje të thjeshtë: cili numër shpreh gjatësinë e diagonales së një katrori me brinjën 1?

Diagonalja e ndan katrorin në 2 trekëndësha identikë kënddrejtë, në secilin prej të cilëve vepron si hipotenuzë. Prandaj, siç vijon nga teorema e Pitagorës, gjatësia e diagonales së një katrori është e barabartë me

Dhe megjithëse Pitagora dhe studentët e tij nuk kishin kompjuter, ishin ata që e vërtetuan këtë fakt. Pitagorianët vërtetuan se diagonalja e një katrori dhe brinja e tij nuk kanë masë të përbashkët (d.m.th., një segment që do të vizatohej një numër i plotë herë si në diagonale ashtu edhe në anë). Prandaj, raporti i gjatësisë së tyre është numri

Pas zbulimit të Pitagorianëve

Si të vërtetoni se një numër

Mbetet të konkludojmë se supozimi ynë është i pasaktë dhe numri racional m/n është i barabartë me

1. Rrënja katrore e një numri

Duke ditur kohën t , mund ta gjeni shtegun në rënie të lirë duke përdorur formulën:

Detyrë . Sa sekonda do të duhen që një gur i rënë nga lartësia 122.5 m të bjerë?

Për të gjetur përgjigjen, duhet të zgjidhni ekuacionin

Ju gjithashtu duhet të kërkoni një numër pozitiv sipas katrorit të tij kur zgjidhni probleme të tjera, për shembull, kur gjeni gjatësinë e një brinjë të një katrori sipas sipërfaqes së tij. Le të paraqesim përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi . Një numër jonegativ katrori i të cilit është i barabartë me një numër jonegativ a quhet rrënja katrore e a. Ky numër qëndron për

Kështu

Shembull . Sepse

Ju nuk mund të merrni rrënjë katrore nga numrat negativë, pasi katrori i çdo numri është ose pozitiv ose i barabartë me zero. Për shembull, shprehja

2n zero n zero

Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se

Për shembull,

2. Llogaritja e rrënjëve katrore

Ne e dimë se nuk ka numër racional katrori i të cilit është 2. Kjo do të thotë se

Ekzistenca e një rrënjë katrore të çdo numri real pozitiv vërtetohet në mënyrë të ngjashme. Sigurisht, katrori sekuencial është një detyrë që kërkon shumë kohë, dhe për këtë arsye ka mënyra për të gjetur shpejt vendet dhjetore të rrënjës katrore. Duke përdorur një mikrollogaritës mund të gjeni vlerën

Nëse saktësia e dhënë nga një mikrollogaritës është e pamjaftueshme, mund të përdorni metodën për të rafinuar vlerën e rrënjës të dhënë nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Nëse a është një numër pozitiv dhe është një vlerë e përafërt për me tepricë, atëherë

Formulat rrënjësore. Vetitë e rrënjëve katrore.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Në mësimin e mëparshëm ne kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se cilat ekzistojnë formula për rrënjët cfare jane vetitë e rrënjëve, dhe çfarë mund të bëhet me gjithë këtë.

Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjëve dhe rregullat për të punuar me rrënjët- kjo është në thelb e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. E cila sigurisht më bën të lumtur! Ose më mirë, mund të shkruani shumë formula të ndryshme, por për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët, mjaftojnë vetëm tre. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë njerëz ngatërrohen në tre formulat rrënjësore, po...

Le të fillojmë me më të thjeshtën. Këtu është ajo:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Çfarë është një rrënjë katrore?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Ky koncept është shumë i thjeshtë. E natyrshme, do të thosha. Matematikanët përpiqen të gjejnë një reagim për çdo veprim. Ka mbledhje - ka edhe zbritje. Ka shumëzim - ka edhe pjesëtim. Ka katrore... Pra ka edhe duke marrë rrënjën katrore! Kjo eshte e gjitha. Ky veprim ( rrenja katrore) në matematikë tregohet nga kjo ikonë:

Vetë ikona quhet një fjalë e bukur " radikale".

Si të nxjerrim rrënjën?Është më mirë të shikosh shembuj.

Sa është rrënja katrore e 9? Cili numër në katror do të na japë 9? 3 në katror na jep 9! Ato:

Por sa është rrënja katrore e zeros? Nuk ka problem! Çfarë numri në katror bën zero? Po, jep zero! Do të thotë:

E kuptova, çfarë është rrënja katrore? Pastaj marrim parasysh shembuj:

Përgjigjet (në rrëmujë): 6; 1; 4; 9; 5.

E vendosur? Vërtet, sa më e lehtë është kjo?!

Por... Çfarë bën njeriu kur sheh ndonjë detyrë me rrënjë?

Njeriu fillon të ndihet i trishtuar... Ai nuk beson në thjeshtësinë dhe lehtësinë e rrënjëve të tij. Edhe pse duket se e di çfarë është rrënja katrore...

Kjo për shkak se personi injoroi disa pika të rëndësishme kur studionte rrënjët. Pastaj këto trillime hakmerren mizore ndaj testeve dhe provimeve...

Pika një. Ju duhet të njihni rrënjët me shikim!

Sa është rrënja katrore e 49? Shtatë? E drejtë! Si e dinit se ishte shtatë? Në katrorë shtatë dhe mori 49? E drejtë! Ju lutemi vini re se nxjerr rrënjën nga 49 ne duhej të bënim operacionin e kundërt - katrori 7! Dhe sigurohuni që të mos humbasim. Ose mund të kishin humbur...

Kjo është vështirësia nxjerrja e rrënjës. Sheshi Ju mund të përdorni çdo numër pa asnjë problem. Shumëzoni një numër në vetvete me një kolonë - kjo është e gjitha. Por për nxjerrja e rrënjës Nuk ka një teknologji kaq të thjeshtë dhe të sigurt për dështimin. Ne duhet te marr përgjigjuni dhe kontrolloni nëse është e saktë duke e ndarë në katror.

Ky proces kompleks krijues - zgjedhja e një përgjigjeje - thjeshtohet shumë nëse ju mbaj mend katrorët e numrave të njohur. Si një tabelë shumëzimi. Nëse, të themi, ju duhet të shumëzoni 4 me 6, nuk i shtoni katër 6 herë, apo jo? Përgjigja 24 del menjëherë edhe pse, jo të gjithë e marrin atë, po...

Për të punuar lirshëm dhe me sukses me rrënjët, mjafton të njohësh katrorët e numrave nga 1 deri në 20. Për më tepër atje Dhe mbrapa. ato. ju duhet të jeni në gjendje të recitoni me lehtësi të dyja, të themi, 11 në katror dhe rrënjën katrore të 121. Për të arritur këtë memorizim, ka dy mënyra. E para është të mësoni tabelën e katrorëve. Kjo do të jetë një ndihmë e madhe në zgjidhjen e shembujve. E dyta është të zgjidhni më shumë shembuj. Kjo do t'ju ndihmojë shumë të mbani mend tabelën e katrorëve.

Dhe pa kalkulator! Vetëm për qëllime testimi. Përndryshe, ju do të ngadalësoni pa mëshirë gjatë provimit...

Kështu që, çfarë është rrënja katrore Dhe si nxjerrin rrënjët- Mendoj se është e qartë. Tani le të zbulojmë se nga ÇFARË mund t'i nxjerrim ato.

Pika dy. Root, nuk të njoh!

Nga cilët numra mund të merrni rrënjë katrore? Po, pothuajse secili prej tyre. Është më e lehtë të kuptosh se nga vjen është e ndaluar nxjerrin ato.

Le të përpiqemi të llogarisim këtë rrënjë:

Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjedhim një numër që në katror do të na japë -4. Ne zgjedhim.

Çfarë, nuk përshtatet? 2 2 jep +4. (-2) 2 jep përsëri +4! Kjo është ajo... Nuk ka numra që, kur të vendosen në katror, ​​të na japin një numër negativ! Edhe pse i di këto shifra. Por nuk do t'ju them). Shkoni në kolegj dhe do ta zbuloni vetë.

E njëjta histori do të ndodhë me çdo numër negativ. Prandaj përfundimi:

Një shprehje në të cilën ka një numër negativ nën shenjën e rrënjës katrore - nuk ka kuptim! Ky është një operacion i ndaluar. Është po aq e ndaluar sa pjesëtimi me zero. Mos harroni këtë fakt me vendosmëri! Ose me fjalë të tjera:

Ju nuk mund të nxirrni rrënjë katrore nga numrat negativë!

Por nga të gjitha të tjerat, është e mundur. Për shembull, është mjaft e mundur të llogaritet

Në pamje të parë, kjo është shumë e vështirë. Zgjedhja e thyesave dhe kuadrimi i tyre... Mos u shqetëso. Kur të kuptojmë vetitë e rrënjëve, shembuj të tillë do të reduktohen në të njëjtën tabelë katrorësh. Jeta do të bëhet më e lehtë!

Mirë, thyesa. Por ne ende hasim shprehje si:

Është në rregull. Te gjitha njesoj. Rrënja katrore e dy është numri që, kur vendoset në katror, ​​na jep dy. Vetëm ky numër është krejtësisht i pabarabartë... Ja ku është:

Ajo që është interesante është se kjo thyesë nuk mbaron kurrë... Numra të tillë quhen irracionalë. Në rrënjë katrore kjo është gjëja më e zakonshme. Meqë ra fjala, për këtë quhen shprehjet me rrënjë irracionale. Është e qartë se shkrimi i një fraksioni kaq të pafund gjatë gjithë kohës është i papërshtatshëm. Prandaj, në vend të një fraksioni të pafund, ata e lënë atë kështu:

Nëse, kur zgjidhni një shembull, përfundoni me diçka që nuk mund të nxirret, si:

pastaj e lëmë ashtu. Kjo do të jetë përgjigja.

Ju duhet të kuptoni qartë se çfarë kuptimi kanë ikonat

Sigurisht, nëse merret rrënja e numrit e lëmuar, ju duhet ta bëni këtë. Përgjigja për detyrën është në formë, për shembull

Një përgjigje mjaft e plotë.

Dhe, sigurisht, duhet të dini vlerat e përafërta nga kujtesa:

Kjo njohuri ndihmon shumë për të vlerësuar situatën në detyra komplekse.

Pika tre. Më dinake.

Konfuzioni kryesor në punën me rrënjët është shkaktuar nga kjo pikë. Është ai që jep besim në aftësitë e veta... Le ta trajtojmë këtë pikë siç duhet!

Së pari, le të marrim përsëri rrënjën katrore të katër prej tyre. A ju kam shqetësuar tashmë me këtë rrënjë?) Nuk ka rëndësi, tani do të jetë interesante!

Cili është numri 4? Epo, dy, dy - dëgjoj përgjigje të pakënaqur ...

E drejta. Dy. Por gjithashtu minus dy do të japë 4 në katror... Ndërkohë, përgjigja

saktë dhe përgjigja

gabim i madh. Si kjo.

Pra, çfarë është marrëveshja?

Në të vërtetë, (-2) 2 = 4. Dhe nën përkufizimin e rrënjës katrore prej katër minus dy mjaft i përshtatshëm... Kjo është edhe rrënja katrore e katër.

Por! Në kursin e matematikës shkollore, është zakon të merren parasysh rrënjët katrore vetëm numra jo negativë! Kjo do të thotë, zero dhe të gjitha janë pozitive. Madje u shpik një term i veçantë: nga numri A- Kjo jo negative numri katrori i të cilit është A. Rezultatet negative kur nxirren një rrënjë katrore aritmetike thjesht hidhen poshtë. Në shkollë, gjithçka është me rrënjë katrore - aritmetike. Edhe pse kjo nuk është përmendur veçanërisht.

Mirë, kjo është e kuptueshme. Është edhe më mirë të mos shqetësoheni me rezultate negative... Kjo nuk është ende konfuzion.

Konfuzioni fillon kur zgjidhen ekuacionet kuadratike. Për shembull, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm.

Ekuacioni është i thjeshtë, ne shkruajmë përgjigjen (siç mësohet):

Kjo përgjigje (absolutisht e saktë, meqë ra fjala) është vetëm një version i shkurtuar dy përgjigjet:

Ndal, ndal! Pikërisht më lart shkrova se rrënja katrore është një numër Gjithmonë jo negative! Dhe këtu është një nga përgjigjet - negativ! Çrregullim. Ky është problemi i parë (por jo i fundit) që shkakton mosbesim ndaj rrënjëve... Le ta zgjidhim këtë problem. Le t'i shkruajmë përgjigjet (vetëm për t'u kuptuar!) si kjo:

Kllapat nuk e ndryshojnë thelbin e përgjigjes. Sapo e ndava me kllapa shenjat nga rrënjë. Tani mund të shihni qartë se vetë rrënja (në kllapa) është ende një numër jo negativ! Dhe shenjat janë rezultat i zgjidhjes së ekuacionit. Në fund të fundit, kur zgjidhim ndonjë ekuacion duhet të shkruajmë Të gjitha X që, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të japin rezultatin e saktë. Rrënja e pesë (pozitive!) me një plus dhe një minus përshtatet në ekuacionin tonë.

Si kjo. nëse ti thjesht merrni rrënjën katrore nga çdo gjë, ju Gjithmonë ju merrni një jo negative rezultat. Për shembull:

Sepse ajo - rrënjë katrore aritmetike.

Por nëse jeni duke zgjidhur disa ekuacione kuadratike, si p.sh.

Se Gjithmonë doli qe dy përgjigje (me plus dhe minus):

Sepse kjo është zgjidhja e ekuacionit.

Shpresa, çfarë është rrënja katrore Ju i keni pikat tuaja të qarta. Tani mbetet për të zbuluar se çfarë mund të bëhet me rrënjët, cilat janë vetitë e tyre. Dhe cilat janë pikat dhe kurthet... më falni, gurë!)

E gjithë kjo është në mësimet e mëposhtme.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Urime: sot do të shikojmë rrënjët - një nga temat më marramendëse në klasën e 8-të.

Shumë njerëz ngatërrohen për rrënjët, jo sepse ato janë komplekse (çka është kaq e ndërlikuar në të - disa përkufizime dhe disa veçori të tjera), por sepse në shumicën e teksteve shkollore rrënjët përcaktohen përmes një xhungleje të tillë që vetëm autorët e teksteve vetë mund ta kuptojnë këtë shkrim. Dhe edhe atëherë vetëm me një shishe uiski të mirë.

Prandaj, tani do të jap përkufizimin më të saktë dhe më kompetent të rrënjës - i vetmi që duhet të mbani mend vërtet. Dhe pastaj do të shpjegoj: pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe si ta zbatojmë atë në praktikë.

Por së pari, mbani mend një pikë të rëndësishme që shumë përpilues të teksteve shkollore për ndonjë arsye "harrojnë":

Rrënjët mund të jenë të shkallës çift ($\sqrt(a)$ tona të preferuara, si dhe të gjitha llojet e $\sqrt(a)$ dhe çift $\sqrt(a)$) dhe të shkallës tek (të gjitha llojet e $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, etj.). Dhe përkufizimi i rrënjës së një shkalle tek është disi i ndryshëm nga një çift.

Ndoshta 95% e të gjitha gabimeve dhe keqkuptimeve që lidhen me rrënjët janë të fshehura në këtë ndyrë "disi ndryshe". Pra, le të sqarojmë terminologjinë njëherë e përgjithmonë:

Përkufizimi. Edhe rrënjë n nga numri $a$ është cilido jo negative numri $b$ është i tillë që $((b)^(n))=a$. Dhe rrënja tek e të njëjtit numër $a$ është përgjithësisht çdo numër $b$ për të cilin vlen e njëjta barazi: $((b)^(n))=a$.

Në çdo rast, rrënja shënohet kështu:

\(a)\]

Numri $n$ në një shënim të tillë quhet eksponent rrënjë, dhe numri $a$ quhet shprehje radikale. Në veçanti, për $n=2$ marrim rrënjën tonë katrore "të preferuar" (meqë ra fjala, kjo është një rrënjë e shkallës çift), dhe për $n=3$ marrim një rrënjë kubike (shkallë tek), e cila është gjithashtu gjenden shpesh në probleme dhe ekuacione.

Shembuj. Shembuj klasikë të rrënjëve katrore:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fund (radhis)\]

Meqë ra fjala, $\sqrt(0)=0$ dhe $\sqrt(1)=1$. Kjo është mjaft logjike, pasi $((0)^(2))=0$ dhe $((1)^(2))=1$.

Rrënjët e kubit janë gjithashtu të zakonshme - nuk ka nevojë të kesh frikë prej tyre:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fund (radhis)\]

Epo, disa "shembuj ekzotikë":

\[\fillim(lidh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fund (radhis)\]

Nëse nuk e kuptoni se cili është ndryshimi midis shkallës çift dhe tek, rilexoni përsëri përkufizimin. Eshte shume e rendesishme!

Ndërkohë, do të shqyrtojmë një veçori të pakëndshme të rrënjëve, për shkak të së cilës na duhej të prezantonim një përkufizim të veçantë për eksponentët çift dhe tek.

Pse duhen rrënjët fare?

Pas leximit të përkufizimit, shumë studentë do të pyesin: "Çfarë pinin duhan matematikanët kur dolën me këtë?" Dhe me të vërtetë: pse nevojiten fare të gjitha këto rrënjë?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kthehemi për një moment në shkollën fillore. Mbani mend: në ato kohë të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe petat më të shijshme, shqetësimi ynë kryesor ishte të shumëzonim saktë numrat. Epo, diçka si "pesë me pesë - njëzet e pesë", kjo është e gjitha. Por ju mund të shumëzoni numrat jo në çifte, por në treshe, katërfisha dhe përgjithësisht grupe të plota:

\[\fillim(lidh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \fund(rreshtoj)\]

Megjithatë, ky nuk është thelbi. Truku është i ndryshëm: matematikanët janë dembelë, kështu që ata e kishin të vështirë të shkruanin shumëzimin e dhjetë pesësheve si kjo:

Prandaj dolën me diploma. Pse të mos shkruani numrin e faktorëve si një mbishkrim në vend të një vargu të gjatë? Diçka si kjo:

Është shumë i përshtatshëm! Të gjitha llogaritjet janë reduktuar ndjeshëm dhe nuk duhet të humbisni një tufë fletësh pergamenë dhe fletore për të shkruar rreth 5183. Ky rekord u quajt fuqia e një numri në të u gjetën një mori pronash, por lumturia doli të jetë jetëshkurtër.

Pas një festë madhështore të pijes, e cila u organizua vetëm për "zbulimin" e diplomave, një matematikan veçanërisht kokëfortë pyeti befas: "Po sikur të dimë shkallën e një numri, por vetë numri është i panjohur?" Tani, në të vërtetë, nëse e dimë se një numër i caktuar $b$, le të themi, fuqia e 5-të jep 243, atëherë si mund të hamendësojmë se me çfarë është i barabartë vetë numri $b$?

Ky problem doli të ishte shumë më global sesa mund të duket në shikim të parë. Sepse doli që për shumicën e fuqive "të gatshme" nuk ka numra të tillë "fillestarë". Gjykojeni vetë:

\[\fillo(rreshtoj) & ((b)^(3))=27\Djathtas b=3\cdot 3\cdot 3\Djathtas shigjeta b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Djathtas b=4\cdot 4\cdot 4\Djathtas shigjeta b=4. \\ \fund (radhis)\]

Po sikur $((b)^(3))=50$? Rezulton se duhet të gjejmë një numër të caktuar që, kur shumëzohet me veten tre herë, do të na japë 50. Por cili është ky numër? Është qartësisht më e madhe se 3, pasi 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Kjo është ky numër qëndron diku midis tre dhe katër, por ju nuk do të kuptoni se me çfarë është e barabartë.

Kjo është pikërisht arsyeja pse matematikanët dolën me $n$th rrënjë. Kjo është pikërisht arsyeja pse u prezantua simboli radikal $\sqrt(*)$. Për të caktuar vetë numrin $b$, i cili në shkallën e treguar do të na japë një vlerë të njohur më parë

\[\sqrt[n](a)=b\Djathtas ((b)^(n))=a\]

Unë nuk debatoj: shpesh këto rrënjë llogariten lehtësisht - ne pamë disa shembuj të tillë më lart. Por prapëseprapë, në shumicën e rasteve, nëse mendoni për një numër arbitrar dhe më pas përpiqeni të nxirrni rrënjën e një shkalle arbitrare prej tij, do të përballeni me një problem të tmerrshëm.

Cfare ishte atje! Edhe $\sqrt(2)$ më e thjeshtë dhe më e njohur nuk mund të përfaqësohet në formën tonë të zakonshme - si një numër i plotë ose një thyesë. Dhe nëse futni këtë numër në një kalkulator, do të shihni këtë:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Siç mund ta shihni, pas pikës dhjetore ka një sekuencë të pafund numrash që nuk i binden asnjë logjike. Sigurisht, mund ta rrumbullakosni këtë numër për ta krahasuar shpejt me numrat e tjerë. Për shembull:

\[\sqrt(2)=1,4142...\afërsisht 1,4 \lt 1,5\]

Ose këtu është një shembull tjetër:

\[\sqrt(3)=1,73205...\afërsisht 1,7 \gt 1,5\]

Por të gjitha këto rrumbullakime, së pari, janë mjaft të përafërta; dhe së dyti, gjithashtu duhet të jeni në gjendje të punoni me vlera të përafërta, përndryshe mund të kapni një mori gabimesh jo të dukshme (nga rruga, aftësia e krahasimit dhe rrumbullakimit kërkohet të testohet në profilin e Provimit të Unifikuar të Shtetit).

Prandaj, në matematikë serioze nuk mund të bësh pa rrënjë - ata janë të njëjtët përfaqësues të barabartë të grupit të të gjithë numrave realë $\mathbb(R)$, ashtu si thyesat dhe numrat e plotë që kanë qenë prej kohësh të njohur për ne.

Pamundësia për të paraqitur një rrënjë si një pjesë e formës $\frac(p)(q)$ do të thotë se kjo rrënjë nuk është një numër racional. Numra të tillë quhen irracionalë dhe nuk mund të paraqiten me saktësi veçse me ndihmën e një radikali ose konstruksioneve të tjera të krijuara posaçërisht për këtë (logarithme, fuqi, kufij, etj.). Por më shumë për këtë herë tjetër.

Le të shqyrtojmë disa shembuj ku, pas të gjitha llogaritjeve, numrat irracionalë do të mbeten ende në përgjigje.

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\afërsisht 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\afërsisht -1,2599... \\ \fund (radhis)\]

Natyrisht, nga pamja e rrënjës është pothuajse e pamundur të merret me mend se cilët numra do të vijnë pas pikës dhjetore. Megjithatë, mund të mbështeteni në një kalkulator, por edhe llogaritësi më i avancuar i datës na jep vetëm disa shifrat e para të një numri irracional. Prandaj, është shumë më e saktë të shkruani përgjigjet në formën $\sqrt(5)$ dhe $\sqrt(-2)$.

Pikërisht për këtë janë shpikur. Për të regjistruar me lehtësi përgjigjet.

Pse duhen dy përkufizime?

Lexuesi i vëmendshëm ndoshta e ka vënë re tashmë se të gjitha rrënjët katrore të dhëna në shembuj janë marrë nga numra pozitivë. Epo, të paktën nga e para. Por rrënjët e kubit mund të nxirren me qetësi nga absolutisht çdo numër - qoftë pozitiv apo negativ.

Pse po ndodh kjo? Hidhini një sy grafikut të funksionit $y=((x)^(2))$:

Le të përpiqemi të llogarisim $\sqrt(4)$ duke përdorur këtë grafik. Për ta bërë këtë, në grafik vizatohet një vijë horizontale $y=4$ (e shënuar me të kuqe), e cila kryqëzohet me parabolën në dy pika: $((x)_(1))=2$ dhe $((x )_(2)) =-2$. Kjo është mjaft logjike, pasi

Gjithçka është e qartë me numrin e parë - është pozitiv, kështu që është rrënja:

Por atëherë çfarë të bëjmë me pikën e dytë? A thua katër kanë dy rrënjë njëherësh? Në fund të fundit, nëse e vendosim në katror numrin −2, do të marrim edhe 4. Pse të mos shkruani atëherë $\sqrt(4)=-2$? Dhe pse mësuesit shikojnë postime të tilla sikur duan të të hanë?

Problemi është se nëse nuk vendosni ndonjë kusht shtesë, atëherë kuadrati do të ketë dy rrënjë katrore - pozitive dhe negative. Dhe çdo numër pozitiv do të ketë gjithashtu dy prej tyre. Por numrat negativë nuk do të kenë rrënjë fare - kjo mund të shihet nga i njëjti grafik, pasi parabola nuk bie kurrë nën boshtin y, d.m.th. nuk pranon vlera negative.

Një problem i ngjashëm ndodh për të gjitha rrënjët me një eksponent çift:

1. Në mënyrë të rreptë, çdo numër pozitiv do të ketë dy rrënjë me eksponent çift $n$;
2. Nga numrat negativ, rrënja me madje $n$ nuk nxirret fare.

Kjo është arsyeja pse në përkufizimin e një rrënjë të një shkalle çift $n$ është përcaktuar në mënyrë specifike që përgjigja duhet të jetë një numër jo negativ. Kështu shpëtojmë nga paqartësia.

Por për $n$ teke nuk ka një problem të tillë. Për ta parë këtë, le të shohim grafikun e funksionit $y=((x)^(3))$:

Nga ky grafik mund të nxirren dy përfundime:

1. Degët e një parabole kubike, ndryshe nga ajo e rregullt, shkojnë në pafundësi në të dy drejtimet - lart dhe poshtë. Prandaj, pavarësisht nga lartësia që vizatojmë një vijë horizontale, kjo vijë sigurisht që do të kryqëzohet me grafikun tonë. Rrjedhimisht, rrënja e kubit mund të nxirret gjithmonë nga absolutisht çdo numër;
2. Për më tepër, një kryqëzim i tillë do të jetë gjithmonë unik, kështu që nuk keni nevojë të mendoni se cili numër konsiderohet rrënja "e saktë" dhe cili duhet të injorohet. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i rrënjëve për një shkallë tek është më i thjeshtë se për një shkallë çift (nuk ka kërkesë për jonegativitet).

Është për të ardhur keq që këto gjëra të thjeshta nuk shpjegohen në shumicën e teksteve shkollore. Në vend të kësaj, truri ynë fillon të fluturojë me të gjitha llojet e rrënjëve aritmetike dhe vetitë e tyre.

Po, unë nuk debatoj: ju gjithashtu duhet të dini se çfarë është një rrënjë aritmetike. Dhe unë do të flas për këtë në detaje në një mësim të veçantë. Sot do të flasim gjithashtu për të, sepse pa të të gjitha mendimet për rrënjët e shumëfishimit $n$-th do të ishin të paplota.

Por së pari ju duhet të kuptoni qartë përkufizimin që dhashë më lart. Përndryshe, për shkak të bollëkut të termave, në kokën tuaj do të fillojë një rrëmujë e tillë që në fund nuk do të kuptoni asgjë fare.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është të kuptoni ndryshimin midis treguesve çift dhe tek. Prandaj, le të mbledhim edhe një herë gjithçka që vërtet duhet të dini për rrënjët:

1. Një rrënjë e një shkalle çift ekziston vetëm nga një numër jonegativ dhe në vetvete është gjithmonë një numër jo negativ. Për numrat negativ, një rrënjë e tillë është e papërcaktuar.
2. Por rrënja e një shkalle tek ekziston nga çdo numër dhe në vetvete mund të jetë çdo numër: për numrat pozitiv është pozitiv, dhe për numrat negativ, siç lë të kuptohet kapaku, është negativ.

Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Është e qartë? Po, është plotësisht e qartë! Kështu që tani do të praktikojmë pak me llogaritjet.

Karakteristikat dhe kufizimet themelore

Rrënjët kanë shumë veti dhe kufizime të çuditshme - kjo do të diskutohet në një mësim të veçantë. Prandaj, tani do të shqyrtojmë vetëm "mashtrimin" më të rëndësishëm, i cili vlen vetëm për rrënjët me një indeks të barabartë. Le ta shkruajmë këtë veti si formulë:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\majtas| x\djathtas|\]

Me fjalë të tjera, nëse e ngremë një numër në një fuqi çift dhe më pas nxjerrim rrënjën e së njëjtës fuqi, nuk do të marrim numrin origjinal, por modulin e tij. Kjo është një teoremë e thjeshtë që mund të vërtetohet lehtësisht (mjafton të konsiderohen jo-negativët $x$ veç e veç, dhe më pas ato negative veçmas). Mësuesit flasin vazhdimisht për të, është dhënë në çdo tekst shkollor. Por, sapo bëhet fjalë për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale (d.m.th., ekuacioneve që përmbajnë një shenjë radikale), studentët e harrojnë njëzëri këtë formulë.

Për të kuptuar çështjen në detaje, le të harrojmë të gjitha formulat për një minutë dhe të përpiqemi të llogarisim dy numra menjëherë:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4))=?\]

Këta janë shembuj shumë të thjeshtë. Shumica e njerëzve do të zgjidhin shembullin e parë, por shumë njerëz ngecin në të dytin. Për të zgjidhur çdo gjë të tillë pa probleme, gjithmonë merrni parasysh procedurën:

1. Së pari, numri rritet në fuqinë e katërt. Epo, është disi e lehtë. Do të merrni një numër të ri që mund të gjendet edhe në tabelën e shumëzimit;
2. Dhe tani nga ky numër i ri është e nevojshme të nxirret rrënja e katërt. ato. nuk ndodh asnjë "zvogëlim" i rrënjëve dhe fuqive - këto janë veprime të njëpasnjëshme.

Le të shohim shprehjen e parë: $\sqrt((3)^(4)))$. Natyrisht, së pari duhet të llogaritni shprehjen nën rrënjë:

\[((3)^(4))=3\cpika 3\cpika 3\cpika 3=81\]

Pastaj nxjerrim rrënjën e katërt të numrit 81:

Tani le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Së pari, ne e ngremë numrin -3 në fuqinë e katërt, e cila kërkon shumëzimin e tij me vetveten 4 herë:

\[((\left(-3 \djathtas))^(4))=\majtas(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \ majtas(-3 \djathtas)=81\]

Ne morëm një numër pozitiv, pasi numri i përgjithshëm i minuseve në produkt është 4, dhe të gjithë do të anulojnë njëri-tjetrin (në fund të fundit, një minus për një minus jep një plus). Pastaj e nxjerrim përsëri rrënjën:

Në parim, kjo rresht nuk mund të ishte shkruar, pasi është e pamend që përgjigja do të ishte e njëjtë. ato. një rrënjë e barabartë e së njëjtës fuqi uniforme "djeg" minuset, dhe në këtë kuptim rezultati nuk dallohet nga një modul i rregullt:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((3)^(4)))=\majtas| 3 \djathtas|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4)))=\majtas| -3 \djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]

Këto llogaritje janë në përputhje të mirë me përcaktimin e një rrënja të një shkalle çift: rezultati është gjithmonë jo negativ dhe shenja radikale gjithashtu përmban gjithmonë një numër jo negativ. Përndryshe, rrënja është e papërcaktuar.

Shënim për procedurën

1. Shënimi $\sqrt(((a)^(2)))$ do të thotë që fillimisht ne katrore numrin $a$ dhe më pas marrim rrënjën katrore të vlerës që rezulton. Prandaj, mund të jemi të sigurt se ka gjithmonë një numër jo negativ nën shenjën e rrënjës, pasi $((a)^(2))\ge 0$ në çdo rast;
2. Por shënimi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, përkundrazi, do të thotë që ne fillimisht marrim rrënjën e një numri të caktuar $a$ dhe vetëm pastaj rezultatin në katror. Prandaj, numri $a$ në asnjë rast nuk mund të jetë negativ - kjo është një kërkesë e detyrueshme e përfshirë në përkufizim.

Kështu, në asnjë rast nuk duhet të zvogëlohen pa menduar rrënjët dhe shkallët, duke gjoja "thjeshtuar" shprehjen origjinale. Sepse nëse rrënja ka një numër negativ dhe eksponenti i saj është çift, marrim një mori problemesh.

Sidoqoftë, të gjitha këto probleme janë të rëndësishme vetëm për treguesit madje.

Heqja e shenjës minus nën shenjën e rrënjës

Natyrisht, edhe rrënjët me eksponentë tek kanë veçorinë e tyre, e cila në parim nuk ekziston me çiftin. Gjegjësisht:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Me pak fjalë, ju mund të hiqni minusin nga nën shenjën e rrënjëve të shkallëve të çuditshme. Kjo është një pronë shumë e dobishme që ju lejon të "hedhni" të gjitha disavantazhet:

\[\fillim(radhis) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \djathtas)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fund (radhis)\]

Kjo veçori e thjeshtë thjeshton shumë llogaritjet. Tani nuk keni nevojë të shqetësoheni: po sikur një shprehje negative të fshihej nën rrënjë, por shkalla në rrënjë doli të ishte e barabartë? Mjafton vetëm të "hedhni" të gjitha minuset jashtë rrënjëve, pas së cilës ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën, të ndahen dhe në përgjithësi të bëjnë shumë gjëra të dyshimta, të cilat në rastin e rrënjëve "klasike" garantohen të na çojnë në një gabim.

Dhe këtu del në skenë një përkufizim tjetër - i njëjti me të cilin në shumicën e shkollave ata fillojnë studimin e shprehjeve irracionale. Dhe pa të cilën arsyetimi ynë do të ishte i paplotë. Na takoni!

Rrënja aritmetike

Le të supozojmë për një moment se nën shenjën e rrënjës mund të ketë vetëm numra pozitivë ose, në raste ekstreme, zero. Le të harrojmë për treguesit çift/tek, harrojmë të gjitha përkufizimet e dhëna më lart - do të punojmë vetëm me numra jo negativë. Po pastaj?

Dhe pastaj do të marrim një rrënjë aritmetike - ajo pjesërisht mbivendoset me përkufizimet tona "standarde", por ende ndryshon prej tyre.

Përkufizimi. Një rrënjë aritmetike e shkallës $n$të të një numri jonegativ $a$ është një numër jonegativ $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$.

Siç mund ta shohim, ne nuk jemi më të interesuar për barazi. Në vend të kësaj, u shfaq një kufizim i ri: shprehja radikale tani është gjithmonë jo-negative, dhe vetë rrënja është gjithashtu jo-negative.

Për të kuptuar më mirë se si ndryshon rrënja aritmetike nga ajo e zakonshme, hidhini një sy grafikëve të parabolës katrore dhe kubike me të cilat jemi njohur tashmë:

Siç mund ta shihni, tani e tutje ne jemi të interesuar vetëm për ato pjesë të grafikëve që ndodhen në tremujorin e parë të koordinatave - ku koordinatat $x$ dhe $y$ janë pozitive (ose të paktën zero). Nuk keni më nevojë të shikoni treguesin për të kuptuar nëse kemi të drejtë të vendosim një numër negativ nën rrënjë apo jo. Sepse numrat negativë nuk konsiderohen më në parim.

Ju mund të pyesni: "Epo, pse na duhet një përkufizim kaq i sterilizuar?" Ose: "Pse nuk mund t'ia dalim me përkufizimin standard të dhënë më lart?"

Epo, unë do të jap vetëm një pronë për shkak të së cilës përkufizimi i ri bëhet i përshtatshëm. Për shembull, rregulli për fuqizimin:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Ju lutemi vini re: ne mund ta ngremë shprehjen radikale në çdo fuqi dhe në të njëjtën kohë të shumëzojmë eksponentin e rrënjës me të njëjtën fuqi - dhe rezultati do të jetë i njëjti numër! Këtu janë shembuj:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \fund (rreshtoj)\]

Pra, çfarë është puna e madhe? Pse nuk mund ta bënim këtë më parë? Ja pse. Le të shqyrtojmë një shprehje të thjeshtë: $\sqrt(-2)$ - ky numër është mjaft normal në kuptimin tonë klasik, por absolutisht i papranueshëm nga pikëpamja e rrënjës aritmetike. Le të përpiqemi ta konvertojmë atë:

$\begin(lidh) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\majtas(-2 \djathtas))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \fund (rreshtoj)$

Siç mund ta shihni, në rastin e parë hoqëm minusin nga poshtë radikalit (kemi të drejtë, pasi eksponenti është tek), dhe në rastin e dytë kemi përdorur formulën e mësipërme. ato. Nga pikëpamja matematikore, gjithçka bëhet sipas rregullave.

WTF?! Si mund të jetë i njëjti numër pozitiv dhe negativ? Në asnjë mënyrë. Thjesht formula për fuqizimin, e cila funksionon mirë për numrat pozitivë dhe zero, fillon të prodhojë herezi të plotë në rastin e numrave negativë.

Pikërisht për të hequr qafe një paqartësi të tillë u shpikën rrënjët aritmetike. Një mësim i veçantë i madh u kushtohet atyre, ku ne i konsiderojmë të gjitha pronat e tyre në detaje. Kështu që ne nuk do të ndalemi në to tani - mësimi tashmë ka rezultuar shumë i gjatë.

Rrënja algjebrike: për ata që duan të dinë më shumë

Kam menduar gjatë nëse këtë temë ta vendos në një paragraf të veçantë apo jo. Në fund vendosa ta lë këtu. Ky material është menduar për ata që duan të kuptojnë rrënjët edhe më mirë - jo më në nivelin mesatar "shkollor", por në atë afër nivelit të Olimpiadës.

Pra: përveç përkufizimit "klasik" të rrënjës $n$th të një numri dhe ndarjes së lidhur në eksponentë çift dhe tek, ekziston një përkufizim më "i rritur" që nuk varet aspak nga barazia dhe hollësitë e tjera. Kjo quhet rrënjë algjebrike.

Përkufizimi. Rrënja algjebrike $n$th e çdo $a$ është bashkësia e të gjithë numrave $b$ të tillë që $((b)^(n))=a$. Nuk ka asnjë përcaktim të përcaktuar për rrënjë të tilla, kështu që ne thjesht do të vendosim një vizë sipër:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\majtas\( b\majtas| b\in \mathbb(R);((b)^(n)=a \djathtas. \djathtas\) \]

Dallimi thelbësor nga përkufizimi standard i dhënë në fillim të mësimit është se një rrënjë algjebrike nuk është një numër specifik, por një grup. Dhe duke qenë se ne punojmë me numra realë, ky grup vjen në vetëm tre lloje:

1. Komplet bosh. Ndodh kur ju duhet të gjeni një rrënjë algjebrike të një shkalle çift nga një numër negativ;
2. Një grup i përbërë nga një element i vetëm. Të gjitha rrënjët e fuqive tek, si dhe rrënjët e fuqive çift zero, bëjnë pjesë në këtë kategori;
3. Së fundi, grupi mund të përfshijë dy numra - të njëjtët $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))=-((x)_(1))$ që pamë në grafik funksion kuadratik. Prandaj, një rregullim i tillë është i mundur vetëm kur nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga një numër pozitiv.

Rasti i fundit meriton shqyrtim më të detajuar. Le të numërojmë disa shembuj për të kuptuar ndryshimin.

Shembull. Vlerësoni shprehjet:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Zgjidhje. Shprehja e parë është e thjeshtë:

\[\overline(\sqrt(4))=\majtas\( 2;-2 \djathtas\)\]

Janë dy numra që janë pjesë e grupit. Sepse secila prej tyre në katror jep një katër.

\[\overline(\sqrt(-27))=\majtas\( -3 \djathtas\)\]

Këtu shohim një grup të përbërë nga vetëm një numër. Kjo është mjaft logjike, pasi eksponenti i rrënjës është i çuditshëm.

Më në fund, shprehja e fundit:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Morëm një grup bosh. Sepse nuk ka asnjë numër të vetëm real që, kur të ngrihet në fuqinë e katërt (d.m.th., çift!), të na japë numrin negativ -16.

Shënim përfundimtar. Ju lutemi vini re: jo rastësisht vura re kudo se ne punojmë me numra realë. Sepse ka edhe numra kompleksë - është mjaft e mundur të llogaritet $\sqrt(-16)$ atje, dhe shumë gjëra të tjera të çuditshme.

Sidoqoftë, numrat kompleksë pothuajse kurrë nuk shfaqen në kurset moderne të matematikës shkollore. Ato janë hequr nga shumica e teksteve shkollore sepse zyrtarët tanë e konsiderojnë temën "shumë të vështirë për t'u kuptuar".