Si të zgjidhni një matricë duke përdorur metodën Gaussian. Pse fara mund të paraqitet në formë matrice?

Në këtë artikull, metoda konsiderohet si një metodë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare (SLAE). Metoda është analitike, domethënë ju lejon të shkruani një algoritëm zgjidhjeje në një formë të përgjithshme, dhe më pas të zëvendësoni vlerat nga shembuj specifikë atje. Ndryshe nga metoda e matricës ose formula e Cramer-it, kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit, mund të punoni edhe me ato që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Ose nuk e kanë fare.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh duke përdorur metodën Gaussian?

Së pari, ne duhet të shkruajmë sistemin tonë të ekuacioneve në Duket kështu. Merrni sistemin:

Koeficientët shkruhen në formën e një tabele, dhe termat e lirë shkruhen në një kolonë të veçantë në të djathtë. Kolona me terma të lirë ndahet për lehtësi Matrica që përfshin këtë kolonë quhet e zgjeruar.

Më pas, matrica kryesore me koeficientë duhet të reduktohet në një formë trekëndore të sipërme. Kjo është pika kryesore e zgjidhjes së sistemit duke përdorur metodën Gaussian. E thënë thjesht, pas disa manipulimeve, matrica duhet të duket në mënyrë që pjesa e poshtme e saj e majtë të përmbajë vetëm zero:

Pastaj, nëse e shkruani sërish matricën e re si sistem ekuacionesh, do të vini re se rreshti i fundit tashmë përmban vlerën e njërës prej rrënjëve, e cila më pas zëvendësohet në ekuacionin e mësipërm, gjendet një rrënjë tjetër, e kështu me radhë.

Ky është një përshkrim i zgjidhjes me metodën Gaussian në termat më të përgjithshëm. Çfarë ndodh nëse papritmas sistemi nuk ka zgjidhje? Apo ka pafundësisht shumë prej tyre? Për t'iu përgjigjur këtyre dhe shumë pyetjeve të tjera, është e nevojshme të merren parasysh veçmas të gjithë elementët e përdorur në zgjidhjen e metodës Gaussian.

Matricat, vetitë e tyre

Nuk ka asnjë kuptim të fshehur në matricë. Kjo është thjesht një mënyrë e përshtatshme për të regjistruar të dhënat për operacionet e mëvonshme me të. Edhe nxënësit e shkollës nuk kanë nevojë të kenë frikë prej tyre.

Matrica është gjithmonë drejtkëndore, sepse është më e përshtatshme. Edhe në metodën e Gausit, ku gjithçka zbret në ndërtimin e një matrice të një forme trekëndore, një drejtkëndësh shfaqet në hyrje, vetëm me zero në vendin ku nuk ka numra. Zerot mund të mos shkruhen, por nënkuptohen.

Matrica ka një madhësi. "Gjerësia" e tij është numri i rreshtave (m), "gjatësia" është numri i kolonave (n). Atëherë madhësia e matricës A (për t'i treguar ato zakonisht përdoren shkronja të mëdha latine) do të shënohet si A m×n. Nëse m=n, atëherë kjo matricë është katrore dhe m=n është rendi i saj. Prandaj, çdo element i matricës A mund të shënohet me numrat e rreshtave dhe kolonave të saj: a xy ; x - numri i rreshtit, ndryshimet, y - numri i kolonës, ndryshimet.

B nuk është pika kryesore e vendimit. Në parim, të gjitha operacionet mund të kryhen drejtpërdrejt me vetë ekuacionet, por shënimi do të jetë shumë më i rëndë dhe do të jetë shumë më e lehtë të ngatërrohesh në të.

Përcaktues

Matrica ka gjithashtu një përcaktues. Kjo është një karakteristikë shumë e rëndësishme. Nuk ka nevojë të zbuloni tani kuptimin e tij, thjesht mund të tregoni se si llogaritet dhe më pas të tregoni se cilat veçori të matricës përcakton. Mënyra më e lehtë për të gjetur përcaktorin është përmes diagonaleve. Në matricë vizatohen diagonalet imagjinare; elementët e vendosur në secilën prej tyre shumëzohen, dhe më pas shtohen produktet që rezultojnë: diagonalet me një pjerrësi në të djathtë - me një shenjë plus, me një pjerrësi në të majtë - me një shenjë minus.

Është jashtëzakonisht e rëndësishme të theksohet se përcaktori mund të llogaritet vetëm për një matricë katrore. Për një matricë drejtkëndore, mund të bëni sa më poshtë: zgjidhni më të voglin nga numri i rreshtave dhe numri i kolonave (le të jetë k), dhe më pas shënoni në mënyrë të rastësishme k kolona dhe k rreshta në matricë. Elementet në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të zgjedhur do të formojnë një matricë të re katrore. Nëse përcaktori i një matrice të tillë është një numër jo zero, ai quhet minor bazë i matricës origjinale drejtkëndore.

Para se të filloni të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian, nuk është e dëmshme të llogaritni përcaktorin. Nëse rezulton të jetë zero, atëherë mund të themi menjëherë se matrica ka ose një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka fare. Në një rast kaq të trishtuar, duhet të shkoni më tej dhe të mësoni për gradën e matricës.

Klasifikimi i sistemit

Ekziston një gjë e tillë si rangu i një matrice. Ky është rendi maksimal i përcaktorit të tij jozero (nëse kujtojmë për bazën minore, mund të themi se renditja e një matrice është rendi i bazës minore).

Në bazë të situatës me gradë, SLAE mund të ndahet në:

• E përbashkët. U Në sistemet e përbashkëta, rangu i matricës kryesore (i përbërë vetëm nga koeficientët) përkon me gradën e matricës së zgjeruar (me një kolonë termash të lirë). Sisteme të tilla kanë një zgjidhje, por jo domosdoshmërisht një, prandaj, gjithashtu sistemet e përbashkëta ndahen në:
• - të caktuara- duke pasur një zgjidhje të vetme. Në sisteme të caktuara, rangu i matricës dhe numri i të panjohurave (ose numri i kolonave, që është e njëjta gjë) janë të barabarta;
• - e pacaktuar - me një numër të pafund zgjidhjesh. Rangu i matricave në sisteme të tilla është më i vogël se numri i të panjohurave.
• E papajtueshme. U Në sisteme të tilla, radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara nuk përkojnë. Sistemet e papajtueshme nuk kanë zgjidhje.

Metoda e Gausit është e mirë sepse gjatë zgjidhjes lejon që dikush të marrë ose një provë të paqartë të mospërputhjes së sistemit (pa llogaritur përcaktuesit e matricave të mëdha), ose një zgjidhje në formë të përgjithshme për një sistem me një numër të pafund zgjidhjesh.

Transformimet elementare

Para se të vazhdoni drejtpërdrejt me zgjidhjen e sistemit, mund ta bëni atë më pak të rëndë dhe më të përshtatshëm për llogaritjet. Kjo arrihet përmes transformimeve elementare – të tilla që zbatimi i tyre nuk e ndryshon në asnjë mënyrë përgjigjen përfundimtare. Duhet të theksohet se disa nga transformimet elementare të dhëna janë të vlefshme vetëm për matricat, burimi i të cilave ishte SLAE. Këtu është një listë e këtyre transformimeve:

1. Riorganizimi i linjave. Natyrisht, nëse ndryshoni rendin e ekuacioneve në rekordin e sistemit, kjo nuk do të ndikojë në zgjidhjen në asnjë mënyrë. Rrjedhimisht, rreshtat në matricën e këtij sistemi mund të ndërrohen gjithashtu, duke mos harruar, natyrisht, kolonën e termave të lirë.
2. Shumëzimi i të gjithë elementëve të një vargu me një koeficient të caktuar. Shume e dobishme! Mund të përdoret për të reduktuar numrat e mëdhenj në një matricë ose për të hequr zero. Shumë vendime, si zakonisht, nuk do të ndryshojnë, por operacionet e mëtejshme do të bëhen më të përshtatshme. Gjëja kryesore është që koeficienti të mos jetë i barabartë me zero.
3. Heqja e rreshtave me faktorë proporcionalë. Kjo rrjedh pjesërisht nga paragrafi i mëparshëm. Nëse dy ose më shumë rreshta në një matricë kanë koeficientë proporcionalë, atëherë kur një nga rreshtat shumëzohet/pjestohet me koeficientin e proporcionalitetit, fitohen dy (ose, përsëri, më shumë) rreshta absolutisht identikë dhe ato shtesë mund të hiqen, duke lënë vetem nje.
4. Heqja e një rreshti null. Nëse, gjatë transformimit, diku fitohet një rresht në të cilin të gjithë elementët, përfshirë termin e lirë, janë zero, atëherë një rresht i tillë mund të quhet zero dhe të hidhet jashtë matricës.
5. Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve të një tjetri (në kolonat përkatëse), të shumëzuar me një koeficient të caktuar. Transformimi më i padukshëm dhe më i rëndësishëm nga të gjithë. Vlen të ndalemi në të në më shumë detaje.

Shtimi i një vargu të shumëzuar me një faktor

Për lehtësinë e të kuptuarit, ia vlen ta zbërthejmë këtë proces hap pas hapi. Nga matrica merren dy rreshta:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Le të themi se duhet të shtoni të parën tek e dyta, shumëzuar me koeficientin "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Pastaj rreshti i dytë në matricë zëvendësohet me një të ri, dhe i pari mbetet i pandryshuar.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Duhet të theksohet se koeficienti i shumëzimit mund të zgjidhet në atë mënyrë që, si rezultat i shtimit të dy rreshtave, një nga elementët e rreshtit të ri të jetë i barabartë me zero. Prandaj, është e mundur të merret një ekuacion në një sistem ku do të ketë një të panjohur më pak. Dhe nëse merrni dy ekuacione të tilla, atëherë operacioni mund të bëhet përsëri dhe të merrni një ekuacion që do të përmbajë dy më pak të panjohura. Dhe nëse çdo herë që ktheni një koeficient të të gjitha rreshtave që janë nën origjinalin në zero, atëherë mundeni, si shkallët, të zbrisni në fund të matricës dhe të merrni një ekuacion me një të panjohur. Kjo quhet zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën Gaussian.

Në përgjithësi

Le të ketë një sistem. Ka m ekuacione dhe n rrënjë të panjohura. Mund ta shkruani si më poshtë:

Matrica kryesore është përpiluar nga koeficientët e sistemit. Një kolonë me terma falas i shtohet matricës së zgjeruar dhe, për lehtësi, ndahet me një rresht.

• rreshti i parë i matricës shumëzohet me koeficientin k = (-a 21 /a 11);
• shtohen rreshti i parë i modifikuar dhe rreshti i dytë i matricës;
• në vend të rreshtit të dytë, rezultati i shtimit nga paragrafi i mëparshëm futet në matricë;
• tani koeficienti i parë në rreshtin e ri të dytë është 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Tani kryhet e njëjta seri transformimesh, përfshihen vetëm rreshtat e parë dhe të tretë. Prandaj, në çdo hap të algoritmit, elementi a 21 zëvendësohet me një 31. Pastaj gjithçka përsëritet për një 41, ... a m1. Rezultati është një matricë ku elementi i parë në rreshta është zero. Tani duhet të harroni linjën numër një dhe të kryeni të njëjtin algoritëm, duke filluar nga rreshti dy:

• koeficienti k = (-a 32 /a 22);
• rreshti i dytë i modifikuar i shtohet rreshtit "aktual";
• rezultati i shtimit zëvendësohet në rreshtat e tretë, të katërt e kështu me radhë, ndërsa e para dhe e dyta mbeten të pandryshuara;
• në rreshtat e matricës dy elementët e parë tashmë janë të barabartë me zero.

Algoritmi duhet të përsëritet derisa të shfaqet koeficienti k = (-a m,m-1 /a mm). Kjo do të thotë që hera e fundit që u ekzekutua algoritmi ishte vetëm për ekuacionin më të ulët. Tani matrica duket si një trekëndësh, ose ka një formë të shkallëzuar. Në vijën fundore është barazia a mn × x n = b m. Koeficienti dhe termi i lirë janë të njohur dhe rrënja shprehet përmes tyre: x n = b m /a mn. Rrënja që rezulton zëvendësohet në vijën e sipërme për të gjetur x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dhe kështu me radhë për analogji: në secilën rresht tjetër ka një rrënjë të re dhe, pasi të keni arritur "majën" e sistemit, mund të gjeni shumë zgjidhje. Do të jetë e vetmja.

Kur nuk ka zgjidhje

Nëse në një nga rreshtat e matricës të gjithë elementët përveç termit të lirë janë të barabartë me zero, atëherë ekuacioni që i korrespondon kësaj rreshti duket si 0 = b. Nuk ka zgjidhje. Dhe meqenëse një ekuacion i tillë përfshihet në sistem, atëherë grupi i zgjidhjeve të të gjithë sistemit është bosh, domethënë është i degjeneruar.

Kur ka një numër të pafund zgjidhjesh

Mund të ndodhë që në matricën e dhënë trekëndore të mos ketë rreshta me një element koeficient të ekuacionit dhe një term të lirë. Ka vetëm rreshta që, kur rishkruhen, do të duken si një ekuacion me dy ose më shumë ndryshore. Kjo do të thotë që sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Në këtë rast, përgjigja mund të jepet në formën e një zgjidhjeje të përgjithshme. Si ta bëjmë atë?

Të gjitha variablat në matricë ndahen në bazë dhe të lirë. Ato themelore janë ato që qëndrojnë "në skaj" të rreshtave në matricën e hapave. Pjesa tjetër janë falas. Në zgjidhjen e përgjithshme, ndryshoret bazë shkruhen përmes atyre të lira.

Për lehtësi, matrica fillimisht rishkruhet përsëri në një sistem ekuacionesh. Pastaj në të fundit prej tyre, ku saktësisht ka mbetur vetëm një ndryshore bazë, ajo mbetet në njërën anë, dhe gjithçka tjetër transferohet në tjetrën. Kjo bëhet për çdo ekuacion me një ndryshore bazë. Më pas, në ekuacionet e mbetura, ku është e mundur, shprehja e marrë për të zëvendësohet në vend të ndryshores bazë. Nëse rezultati është përsëri një shprehje që përmban vetëm një variabël bazë, ai përsëri shprehet prej andej, dhe kështu me radhë, derisa çdo variabël bazë të shkruhet si një shprehje me ndryshore të lira. Kjo është zgjidhja e përgjithshme e SLAE.

Ju gjithashtu mund të gjeni zgjidhjen bazë të sistemit - jepni variablave të lirë çdo vlerë, dhe më pas për këtë rast specifik llogaritni vlerat e variablave bazë. Ka një numër të pafund zgjidhjesh të veçanta që mund të jepen.

Zgjidhje me shembuj specifik

Këtu është një sistem ekuacionesh.

Për lehtësi, është më mirë të krijoni menjëherë matricën e saj

Dihet se kur zgjidhet me metodën Gaussian, ekuacioni që korrespondon me rreshtin e parë do të mbetet i pandryshuar në fund të transformimeve. Prandaj, do të jetë më fitimprurëse nëse elementi i sipërm i majtë i matricës është më i vogli - atëherë elementët e parë të rreshtave të mbetur pas operacioneve do të kthehen në zero. Kjo do të thotë që në matricën e përpiluar do të jetë e dobishme të vendosni rreshtin e dytë në vend të të parës.

rreshti i dytë: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

rreshti i tretë: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Tani, për të mos u ngatërruar, duhet të shkruani një matricë me rezultatet e ndërmjetme të transformimeve.

Natyrisht, një matricë e tillë mund të bëhet më e përshtatshme për perceptim duke përdorur operacione të caktuara. Për shembull, mund të hiqni të gjitha "minuset" nga rreshti i dytë duke shumëzuar çdo element me "-1".

Vlen gjithashtu të theksohet se në rreshtin e tretë të gjithë elementët janë shumëfish të tre. Pastaj mund ta shkurtoni vargun me këtë numër, duke shumëzuar çdo element me "-1/3" (minus - në të njëjtën kohë, për të hequr vlerat negative).

Duket shumë më bukur. Tani duhet të lëmë të qetë rreshtin e parë dhe të punojmë me të dytën dhe të tretën. Detyra është të shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, të shumëzuar me një koeficient të tillë që elementi a 32 të bëhet i barabartë me zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nëse gjatë disa transformimeve përgjigja nuk rezulton të jetë një numër i plotë, rekomandohet të ruhet saktësia e llogaritjeve për t'u larguar është "siç është", në formën e një thyese të zakonshme, dhe vetëm atëherë, kur të merren përgjigjet, vendosni nëse do të rrumbullakoset dhe do të shndërrohet në një formë tjetër regjistrimi)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrica shkruhet sërish me vlera të reja.

Siç mund ta shihni, matrica që rezulton tashmë ka një formë të shkallëzuar. Prandaj, nuk kërkohen transformime të mëtejshme të sistemit duke përdorur metodën Gaussian. Ajo që mund të bëni këtu është të hiqni koeficientin e përgjithshëm "-1/7" nga rreshti i tretë.

Tani gjithçka është e bukur. Gjithçka që mbetet për të bërë është të shkruani përsëri matricën në formën e një sistemi ekuacionesh dhe të llogarisni rrënjët

x + 2y + 4z = 12 (1)

7v + 11z = 24 (2)

Algoritmi me të cilin do të gjenden rrënjët tani quhet lëvizja e kundërt në metodën Gaussian. Ekuacioni (3) përmban vlerën z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dhe ekuacioni i parë na lejon të gjejmë x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ne kemi të drejtë ta quajmë një sistem të tillë të përbashkët, madje edhe të përcaktuar, domethënë të kesh një zgjidhje unike. Përgjigja shkruhet në formën e mëposhtme:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Një shembull i një sistemi të pasigurt

Varianti i zgjidhjes së një sistemi të caktuar duke përdorur metodën e Gausit është analizuar tani është e nevojshme të merret parasysh rasti nëse sistemi është i pasigurt, domethënë mund të gjenden pafundësisht shumë zgjidhje për të.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Vetë pamja e sistemit është tashmë alarmante, sepse numri i të panjohurave është n = 5, dhe rangu i matricës së sistemit është tashmë saktësisht më i vogël se ky numër, sepse numri i rreshtave është m = 4, domethënë, rendi më i lartë i katrorit përcaktor është 4. Kjo do të thotë se ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe duhet të kërkoni pamjen e përgjithshme të saj. Metoda e Gausit për ekuacionet lineare ju lejon ta bëni këtë.

Së pari, si zakonisht, përpilohet një matricë e zgjeruar.

Rreshti i dytë: koeficienti k = (-a 21 /a 11) = -3. Në rreshtin e tretë, elementi i parë është para transformimeve, kështu që nuk keni nevojë të prekni asgjë, duhet ta lini ashtu siç është. Rreshti i katërt: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë me secilin nga koeficientët e tyre me radhë dhe duke i shtuar ato në rreshtat e kërkuar, marrim një matricë të formës së mëposhtme:

Siç mund ta shihni, rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt përbëhen nga elementë proporcionalë me njëri-tjetrin. E dyta dhe e katërta janë përgjithësisht identike, kështu që njëra prej tyre mund të hiqet menjëherë, dhe ajo e mbetura mund të shumëzohet me koeficientin "-1" dhe të marrë rreshtin numër 3. Dhe përsëri, nga dy rreshta identike, lini një.

Rezultati është një matricë si kjo. Ndërsa sistemi ende nuk është shkruar, është e nevojshme të përcaktohen variablat bazë këtu - ato që qëndrojnë në koeficientët a 11 = 1 dhe a 22 = 1, dhe ato të lira - të gjitha të tjerat.

Në ekuacionin e dytë ka vetëm një ndryshore bazë - x 2. Kjo do të thotë se mund të shprehet prej andej duke e shkruar përmes variablave x 3 , x 4 , x 5 , të cilat janë të lira.

Ne e zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e parë.

Rezultati është një ekuacion në të cilin e vetmja variabël bazë është x 1 . Le të bëjmë të njëjtën gjë me të si me x 2.

Të gjitha variablat bazë, nga të cilat janë dy, janë shprehur në terma të tre variablave të lirë, tani mund të shkruajmë përgjigjen në formë të përgjithshme.

Ju gjithashtu mund të specifikoni një nga zgjidhjet e veçanta të sistemit. Për raste të tilla, zerat zakonisht zgjidhen si vlera për variablat e lirë. Atëherë përgjigja do të jetë:

16, 23, 0, 0, 0.

Një shembull i një sistemi jobashkëpunues

Zgjidhja e sistemeve të papajtueshme të ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit është më e shpejta. Përfundon menjëherë sapo në njërën nga fazat fitohet një ekuacion që nuk ka zgjidhje. Kjo do të thotë, eliminohet faza e llogaritjes së rrënjëve, e cila është mjaft e gjatë dhe e lodhshme. Sistemi i mëposhtëm konsiderohet:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Si zakonisht, matrica është përpiluar:

Dhe reduktohet në një formë hap pas hapi:

k 1 = -2k 2 = -4

Pas transformimit të parë, rreshti i tretë përmban një ekuacion të formës

pa zgjidhje. Rrjedhimisht, sistemi është i paqëndrueshëm dhe përgjigja do të jetë grupi bosh.

Avantazhet dhe disavantazhet e metodës

Nëse zgjidhni cilën metodë për të zgjidhur SLAE në letër me një stilolaps, atëherë metoda që u diskutua në këtë artikull duket më tërheqëse. Është shumë më e vështirë të ngatërrohesh në transformimet elementare sesa nëse duhet të kërkosh manualisht për një përcaktues ose një matricë të ndërlikuar të anasjelltë. Sidoqoftë, nëse përdorni programe për të punuar me të dhëna të këtij lloji, për shembull, fletëllogaritëse, atëherë rezulton se programe të tilla tashmë përmbajnë algoritme për llogaritjen e parametrave kryesorë të matricave - përcaktues, minor, invers, etj. Dhe nëse jeni të sigurt që makina do t'i llogarisë vetë këto vlera dhe nuk do të bëjë gabime, është më e këshillueshme të përdorni metodën e matricës ose formulat e Cramer-it, sepse aplikimi i tyre fillon dhe përfundon me llogaritjen e përcaktuesve dhe matricave të anasjellta. .

Aplikacion

Meqenëse zgjidhja Gaussian është një algoritëm, dhe matrica është në të vërtetë një grup dy-dimensionale, mund të përdoret në programim. Por meqenëse artikulli e pozicionon veten si një udhëzues "për dummies", duhet thënë se vendi më i lehtë për të vendosur metodën janë spreadsheets, për shembull, Excel. Përsëri, çdo SLAE e futur në një tabelë në formën e një matrice do të konsiderohet nga Excel si një grup dy-dimensionale. Dhe për operacionet me to ka shumë komanda të këndshme: mbledhje (mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi!), shumëzim me një numër, shumëzim matricash (gjithashtu me kufizime të caktuara), gjetja e matricave të anasjellta dhe të transpozuara dhe, më e rëndësishmja. , duke llogaritur përcaktorin. Nëse kjo detyrë që kërkon shumë kohë zëvendësohet nga një komandë e vetme, është e mundur të përcaktohet rangu i matricës shumë më shpejt dhe, për rrjedhojë, të përcaktohet përputhshmëria ose papajtueshmëria e saj.

Një nga mënyrat më të thjeshta për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare është një teknikë e bazuar në llogaritjen e përcaktuesve ( Rregulli i Kramerit). Avantazhi i tij është se ju lejon të regjistroni menjëherë zgjidhjen, është veçanërisht i përshtatshëm në rastet kur koeficientët e sistemit nuk janë numra, por disa parametra. Disavantazhi i tij është rëndimi i llogaritjeve në rastin e një numri të madh ekuacionesh, për më tepër, rregulli i Cramer-it nuk është drejtpërdrejt i zbatueshëm për sistemet në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e të panjohurave. Në raste të tilla, zakonisht përdoret Metoda Gaussian.

Quhen sisteme ekuacionesh lineare që kanë të njëjtin grup zgjidhjesh ekuivalente. Natyrisht, grupi i zgjidhjeve të një sistemi linear nuk do të ndryshojë nëse ndonjë ekuacion ndërrohet, ose nëse një nga ekuacionet shumëzohet me ndonjë numër jozero, ose nëse një ekuacion i shtohet një tjetri.

Metoda e Gausit (Metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave) është se me ndihmën e shndërrimeve elementare sistemi reduktohet në një sistem ekuivalent të tipit hap. Së pari, duke përdorur ekuacionin e parë, ne eliminojmë x 1 nga të gjitha ekuacionet pasuese të sistemit. Pastaj, duke përdorur ekuacionin e 2-të, eliminojmë x 2 nga e 3-ta dhe të gjitha ekuacionet pasuese. Ky proces, i quajtur Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian, vazhdon derisa të mbetet vetëm një e panjohur në anën e majtë të ekuacionit të fundit x n. Pas kësaj është bërë e kundërta e metodës Gaussian– duke zgjidhur ekuacionin e fundit, gjejmë x n; pas kësaj, duke përdorur këtë vlerë, llogarisim nga ekuacioni i parafundit x n-1, etj. E gjejmë të fundit x 1 nga ekuacioni i parë.

Është i përshtatshëm për të kryer transformime Gaussian duke kryer transformime jo me vetë ekuacionet, por me matricat e koeficientëve të tyre. Konsideroni matricën:

thirrur matrica e zgjeruar e sistemit, sepse, përveç matricës kryesore të sistemit, ai përfshin një kolonë me terma të lirë. Metoda Gaussian bazohet në reduktimin e matricës kryesore të sistemit në një formë trekëndore (ose formë trapezoidale në rastin e sistemeve jo katrore) duke përdorur transformimet elementare të rreshtave (!) të matricës së zgjeruar të sistemit.

Shembulli 5.1. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur rreshtin e parë, pas kësaj do të rivendosim elementët e mbetur:

marrim zero në rreshtat 2, 3 dhe 4 të kolonës së parë:

Tani na duhen të gjithë elementët në kolonën e dytë poshtë rreshtit të dytë të jenë të barabartë me zero. Për ta bërë këtë, mund të shumëzoni rreshtin e dytë me –4/7 dhe ta shtoni atë në rreshtin e tretë. Sidoqoftë, për të mos u marrë me thyesa, le të krijojmë një njësi në rreshtin e dytë të kolonës së dytë dhe vetëm

Tani, për të marrë një matricë trekëndore, duhet të rivendosni elementin e rreshtit të katërt të kolonës së tretë për ta bërë këtë, mund ta shumëzoni rreshtin e tretë me 8/54 dhe ta shtoni atë në të katërtin. Sidoqoftë, për të mos u marrë me fraksione, ne do të ndërrojmë rreshtat e 3-të dhe të 4-të dhe kolonat e 3-të dhe 4-të dhe vetëm pas kësaj do të rivendosim elementin e specifikuar. Vini re se gjatë riorganizimit të kolonave, variablat përkatëse ndryshojnë vendet dhe kjo duhet mbajtur mend; transformime të tjera elementare me kolona (mbledhja dhe shumëzimi me një numër) nuk mund të kryhen!

Matrica e fundit e thjeshtuar korrespondon me një sistem ekuacionesh ekuivalent me atë origjinal:

Nga këtu, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, gjejmë nga ekuacioni i katërt x 3 = –1; nga e treta x 4 = –2, nga e dyta x 2 = 2 dhe nga ekuacioni i parë x 1 = 1. Në formën e matricës, përgjigja shkruhet si

Shqyrtuam rastin kur sistemi është i caktuar, d.m.th. kur ka vetëm një zgjidhje. Le të shohim se çfarë ndodh nëse sistemi është i paqëndrueshëm ose i pasigurt.

Shembulli 5.2. Eksploroni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit

Ne shkruajmë një sistem të thjeshtuar ekuacionesh:

Këtu, në ekuacionin e fundit rezulton se 0=4, d.m.th. kontradiktë. Për rrjedhojë, sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th. ajo të papajtueshme. à

Shembulli 5.3. Eksploroni dhe zgjidhni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhje. Ne shkruajmë dhe transformojmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Si rezultat i transformimeve, rreshti i fundit përmban vetëm zero. Kjo do të thotë se numri i ekuacioneve është zvogëluar me një:

Kështu, pas thjeshtimeve, kanë mbetur dy ekuacione, dhe katër të panjohura, d.m.th. dy “shtesë” të panjohura. Le të jenë "të tepërta", ose, siç thonë ata, variabla të lirë, do x 3 dhe x 4 . Pastaj

Duke besuar x 3 = 2a Dhe x 4 = b, marrim x 2 = 1–a Dhe x 1 = 2b–a; ose në formë matrice

Një zgjidhje e shkruar në këtë mënyrë quhet të përgjithshme, sepse, duke dhënë parametra a Dhe b vlera të ndryshme, mund të përshkruhen të gjitha zgjidhjet e mundshme të sistemit. a

Thelbi i metodës Gauss është shndërrimi i (1) në një sistem me një matricë trekëndore, nga e cila më pas merren vlerat e të gjitha të panjohurave në mënyrë sekuenciale (në të kundërt). Le të shqyrtojmë një nga skemat llogaritëse. Ky qark quhet qark një ndarje. Pra, le të shohim këtë diagram. Le të ndajë një 11 ≠0 (element kryesor) ekuacionin e parë me një 11. marrim
(2)
Duke përdorur ekuacionin (2), është e lehtë të eliminohen të panjohurat x 1 nga ekuacionet e mbetura të sistemit (për ta bërë këtë, mjafton të zbritet ekuacioni (2) nga secili ekuacion, i shumëzuar më parë me koeficientin përkatës për x 1) , domethënë në hapin e parë marrim
.
Me fjalë të tjera, në hapin 1, çdo element i rreshtave pasues, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me diferencën midis elementit origjinal dhe produktit të "projeksionit" të tij në kolonën e parë dhe rreshtin e parë (të transformuar).
Pas kësaj, duke lënë vetëm ekuacionin e parë, ne kryejmë një transformim të ngjashëm mbi ekuacionet e mbetura të sistemit të marra në hapin e parë: zgjedhim prej tyre ekuacionin me elementin kryesor dhe, me ndihmën e tij, përjashtojmë x 2 nga pjesa e mbetur. ekuacionet (hapi 2).
Pas n hapash, në vend të (1), marrim një sistem ekuivalent
(3)
Kështu, në fazën e parë marrim një sistem trekëndor (3). Kjo fazë quhet goditje përpara.
Në fazën e dytë (e kundërta), gjejmë në mënyrë sekuenciale nga (3) vlerat x n, x n -1, ..., x 1.
Zgjidhjen që rezulton ta shënojmë si x 0. Atëherë diferenca ε=b-A x 0 quhet mbetje.
Nëse ε=0, atëherë zgjidhja e gjetur x 0 është e saktë.

Llogaritjet duke përdorur metodën Gaussian kryhen në dy faza:

1. Faza e parë quhet metoda përpara. Në fazën e parë, sistemi origjinal shndërrohet në një formë trekëndore.
2. Faza e dytë quhet goditje e kundërt. Në fazën e dytë, zgjidhet një sistem trekëndor ekuivalent me atë origjinal.

Qëllimi i metodës së Gausit

Llojet e metodës Gaussian

1. Metoda klasike Gaussian;
2. Modifikimet e metodës së Gausit. Një nga modifikimet e metodës Gaussian është një skemë me zgjedhjen e elementit kryesor. Një tipar i metodës Gauss me zgjedhjen e elementit kryesor është një rirregullim i tillë i ekuacioneve në mënyrë që në hapin k-të elementi kryesor të jetë elementi më i madh në kolonën k-të.
3. Metoda Jordano-Gauss;

Shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën e Gausit
Le të zgjidhim sistemin:

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (2). Shtoni rreshtin e 3-të në rreshtin e dytë

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë

Nga rreshti i parë shprehim x 3:
Nga rreshti i dytë shprehim x 2:
Nga rreshti i tretë shprehim x 1:

Një shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën Jordano-Gauss
Le të zgjidhim të njëjtën SLAE duke përdorur metodën Jordano-Gauss.

Ne do të zgjedhim në mënyrë sekuenciale elementin zgjidhës RE, i cili shtrihet në diagonalen kryesore të matricës.
Elementi i rezolucionit është i barabartë me (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - elementi zgjidhës (1), A dhe B - elementë matricë që formojnë një drejtkëndësh me elementët STE dhe RE.
Le të paraqesim llogaritjen e secilit element në formën e një tabele:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Zbatimi i metodës Gaussian

Duke përdorur metodën Gaussian

Zbatimi i metodës së Gausit në teorinë e lojës

Zbatimi i metodës së Gausit në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale

Zbatimi i metodës Jordano-Gauss në programimin linear

Përkufizimi dhe përshkrimi i metodës Gaussian

Metoda e transformimit Gaussian (e njohur edhe si metoda e eliminimit sekuencial të ndryshoreve të panjohura nga një ekuacion ose matricë) për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare është një metodë klasike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike (SLAE). Kjo metodë klasike përdoret gjithashtu për të zgjidhur probleme të tilla si marrja e matricave të anasjellta dhe përcaktimi i renditjes së një matrice.

Transformimi duke përdorur metodën Gaussian konsiston në kryerjen e ndryshimeve të vogla (elementare) vijuese në një sistem ekuacionesh algjebrike lineare, duke çuar në eliminimin e variablave prej tij nga lart poshtë me formimin e një sistemi të ri trekëndor ekuacionesh që është ekuivalent me origjinalin. një.

Përkufizimi 1

Kjo pjesë e zgjidhjes quhet zgjidhja e përparme Gaussian, pasi i gjithë procesi kryhet nga lart poshtë.

Pas reduktimit të sistemit origjinal të ekuacioneve në një trekëndësh, të gjitha variablat e sistemit gjenden nga poshtë lart (d.m.th., variablat e parë të gjetur janë të vendosura pikërisht në rreshtat e fundit të sistemit ose matricës). Kjo pjesë e zgjidhjes njihet edhe si inversi i zgjidhjes Gaussian. Algoritmi i tij është si më poshtë: së pari, llogariten variablat më afër fundit të sistemit të ekuacioneve ose matricës, pastaj vlerat që rezultojnë zëvendësohen më lart dhe kështu gjendet një variabël tjetër, e kështu me radhë.

Përshkrimi i algoritmit të metodës Gaussian

Sekuenca e veprimeve për zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian konsiston në aplikimin e alternuar të goditjeve përpara dhe prapa në matricë bazuar në SLAE. Sistemi fillestar i ekuacioneve le të ketë formën e mëposhtme:

$\fille(rastet) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \fund(rastet)$

Për të zgjidhur SLAE duke përdorur metodën Gaussian, është e nevojshme të shkruhet sistemi origjinal i ekuacioneve në formën e një matrice:

$A = \fillim(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vpika & … & \vpika \\ a_(m1) & … & a_(mn) \fund(pmatrix)$, $b =\fillimi(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrica $A$ quhet matrica kryesore dhe paraqet koeficientët e variablave të shkruar sipas radhës, dhe $b$ quhet kolona e termave të saj të lirë. Matrica $A$, e shkruar përmes një shiriti me një kolonë termash të lirë, quhet matricë e zgjeruar:

$A = \fillim(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Tani është e nevojshme, duke përdorur transformime elementare në sistemin e ekuacioneve (ose në matricë, pasi kjo është më e përshtatshme), për ta sjellë atë në formën e mëposhtme:

$\fille(rastet) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \fund (rastet)$ (1)

Matrica e përftuar nga koeficientët e sistemit të transformuar të ekuacionit (1) quhet matricë hapash zakonisht kështu duken matricat e hapave:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end (array)$

Këto matrica karakterizohen nga grupi i mëposhtëm i vetive:

1. Të gjitha vijat e tij zero vijnë pas vijave jozero
2. Nëse një rresht i një matrice me numër $k$ është jo zero, atëherë rreshti i mëparshëm i së njëjtës matricë ka më pak zero se ky me numër $k$.

Pas marrjes së matricës së hapit, është e nevojshme të zëvendësohen variablat që rezultojnë në ekuacionet e mbetura (duke filluar nga fundi) dhe të merren vlerat e mbetura të variablave.

Rregullat bazë dhe transformimet e lejuara gjatë përdorimit të metodës Gauss

Kur thjeshtoni një matricë ose sistem ekuacionesh duke përdorur këtë metodë, duhet të përdorni vetëm transformime elementare.

Transformime të tilla konsiderohen si operacione që mund të zbatohen në një matricë ose sistem ekuacionesh pa ndryshuar kuptimin e saj:

• rirregullimi i disa rreshtave,
• duke shtuar ose zbritur nga një rresht i një matrice një rresht tjetër prej saj,
• duke shumëzuar ose pjesëtuar një varg me një konstante jo të barabartë me zero,
• një rresht i përbërë vetëm nga zero, të marra në procesin e llogaritjes dhe thjeshtimit të sistemit, duhet të fshihet,
• Ju gjithashtu duhet të hiqni linjat proporcionale të panevojshme, duke zgjedhur për sistemin të vetmin me koeficientë që janë më të përshtatshëm dhe të përshtatshëm për llogaritjet e mëtejshme.

Të gjitha transformimet elementare janë të kthyeshme.

Analiza e tre rasteve kryesore që lindin gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e transformimeve të thjeshta të Gausit

Ekzistojnë tre raste që lindin kur përdorni metodën Gaussian për zgjidhjen e sistemeve:

1. Kur një sistem është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje
2. Sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje, dhe një unike, dhe numri i rreshtave dhe kolonave jo zero në matricë është i barabartë me njëri-tjetrin.
3. Sistemi ka një numër ose grup të caktuar zgjidhjesh të mundshme, dhe numri i rreshtave në të është më i vogël se numri i kolonave.

Rezultati i një zgjidhjeje me një sistem jokonsistent

Për këtë opsion, kur zgjidhet një ekuacion matricë duke përdorur metodën Gaussian, është tipike të merret një vijë me pamundësinë e përmbushjes së barazisë. Prandaj, nëse ndodh të paktën një barazi e gabuar, sistemi rezultues dhe ai origjinal nuk kanë zgjidhje, pavarësisht nga ekuacionet e tjera që përmbajnë. Një shembull i një matrice jokonsistente:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Në rreshtin e fundit doli një barazi e pamundur: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Një sistem ekuacionesh që ka vetëm një zgjidhje

Këto sisteme, pasi janë reduktuar në një matricë hapash dhe kanë hequr rreshtat me zero, kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash në matricën kryesore. Këtu është shembulli më i thjeshtë i një sistemi të tillë:

$\fillim(raste) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \fund (raste)$

Le ta shkruajmë në formën e një matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Për ta sjellë qelizën e parë të rreshtit të dytë në zero, ne shumëzojmë rreshtin e sipërm me $-2$ dhe e zbresim atë nga rreshti i poshtëm i matricës dhe e lëmë rreshtin e sipërm në formën e tij origjinale, si rezultat kemi sa vijon :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ky shembull mund të shkruhet si sistem:

$\fillimi(rastet) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \fund (rastet)$

Ekuacioni më i ulët jep vlerën e mëposhtme për $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Zëvendësoni këtë vlerë në ekuacionin e sipërm: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, marrim $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Një sistem me shumë zgjidhje të mundshme

Ky sistem karakterizohet nga një numër më i vogël i rreshtave të rëndësishëm sesa numri i kolonave në të (rendet e matricës kryesore merren parasysh).

Variablat në një sistem të tillë ndahen në dy lloje: bazë dhe të lirë. Gjatë transformimit të një sistemi të tillë, variablat kryesore të përfshira në të duhet të lihen në zonën e majtë deri në shenjën "=", dhe variablat e mbetur duhet të zhvendosen në anën e djathtë të barazisë.

Një sistem i tillë ka vetëm një zgjidhje të caktuar të përgjithshme.

Le të analizojmë sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

$\fillim(rastet) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \fund(rastet)$

Le ta shkruajmë në formën e një matrice:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end (vargu)$

Detyra jonë është të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për sistemin. Për këtë matricë, variablat bazë do të jenë $y_1$ dhe $y_3$ (për $y_1$ - pasi vjen e para, dhe në rastin e $y_3$ - ndodhet pas zeros).

Si variabla bazë, ne zgjedhim pikërisht ato që janë të parat në rresht dhe nuk janë të barabarta me zero.

Variablat e mbetur quhen të lirë, ne duhet t'i shprehim ato bazë.

Duke përdorur të ashtuquajturën goditje të kundërt, ne analizojmë sistemin nga poshtë lart për ta bërë këtë, së pari shprehim $y_3$ nga vija e poshtme e sistemit;

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Tani e zëvendësojmë $y_3$ të shprehur në ekuacionin e sipërm të sistemit $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Ne shprehim $y_1$ në terma të variablave të lirë $y_2$ dhe $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Zgjidhja është gati.

Shembulli 1

Zgjidheni llumin duke përdorur metodën Gaussian. Shembuj. Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare të dhëna nga një matricë 3 me 3 duke përdorur metodën Gaussian

$\fillim(rastet) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \fund(rastet)$

Le të shkruajmë sistemin tonë në formën e një matrice të zgjeruar:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end (vargu)$

Tani, për lehtësi dhe praktikë, ju duhet të transformoni matricën në mënyrë që $1$ të jetë në këndin e sipërm të kolonës më të jashtme.

Për ta bërë këtë, në rreshtin e parë duhet të shtojmë rreshtin nga mesi, shumëzuar me $-1$, dhe të shkruajmë vetë vijën e mesme ashtu siç është, rezulton:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \fund (vargu) $

Shumëzoni rreshtat e sipërm dhe të fundit me -1$, dhe ndërroni gjithashtu rreshtat e fundit dhe të mesit:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end (vargu)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end (vargu)$

Dhe ndani rreshtin e fundit me $3 $:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end (vargu)$

Ne marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve, ekuivalent me atë origjinal:

$\fillimi(rastet) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \fund (rastet)$

Nga ekuacioni i sipërm ne shprehim $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Shembulli 2

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi të përcaktuar duke përdorur një matricë 4 me 4 duke përdorur metodën Gaussian

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 dhe 37 \\ \fund (array)$.

Në fillim, ne ndërrojmë linjat e sipërme që ndjekin atë për të marrë $1$ në këndin e sipërm të majtë:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 dhe 37 \\ \fund (array)$.

Tani shumëzojeni vijën e sipërme me -2$ dhe shtojeni në të dytin dhe të tretën. Te 4-ta shtojmë rreshtin e parë, shumëzuar me -3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \fund (array)$

Tani rreshtit numër 3 i shtojmë rreshtin 2 shumëzuar me 4$ dhe rreshtit 4 i shtojmë rreshtin 2 shumëzuar me -1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \fund(array)$

Ne e shumëzojmë rreshtin 2 me $-1$, dhe e ndajmë rreshtin 4 me $3 $ dhe e zëvendësojmë rreshtin 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 dhe 10 \\ \fund (arresë)$

Tani i shtojmë rreshtit të fundit atë të parafundit, shumëzuar me -5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 dhe 0 \\ \fund (array)$

Ne zgjidhim sistemin rezultues të ekuacioneve:

$\fillimi(rastet) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\fund(rastet)$

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që duhet të zgjidhet (gjeni vlera të tilla të të panjohurave xi që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi).

Ne e dimë se një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të:

1) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).
2) Ka pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Keni një zgjidhje të vetme.

Siç kujtojmë, rregulli i Cramer-it dhe metoda e matricës nuk janë të përshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është i paqëndrueshëm. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe më i gjithanshëm për gjetjen e zgjidhjeve për çdo sistem ekuacionesh lineare, e cila në çdo rast do të na çojë në përgjigje! Vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri të përcaktuesve, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojitet vetëm njohuri për veprimet aritmetike, gjë që e bën atë të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollave fillore.

Transformimet e matricës së shtuar ( kjo është matrica e sistemit - një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët e të panjohurave, plus një kolonë me terma të lirë) sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare në metodën e Gausit:

1) Me troki matricat Mund rirregulloj në disa vende.

2) nëse në matricë shfaqen (ose ekzistojnë) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike), atëherë duhet fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica përveç njërit.

3) nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij.

4) një rresht i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër të ndryshëm nga zero.

5) në një rresht të matricës mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero.

Në metodën e Gausit, transformimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve.

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza:

1. "Lëvizja e drejtpërdrejtë" - duke përdorur transformimet elementare, sillni matricën e zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në një formë hapi "trekëndëshi": elementët e matricës së zgjeruar që ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero (lëvizja nga lart-poshtë). Për shembull, për këtë lloj:

Për ta bërë këtë, kryeni hapat e mëposhtëm:

1) Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare dhe koeficienti për x 1 është i barabartë me K. E dyta, e treta, etj. ne i transformojmë ekuacionet si më poshtë: ne ndajmë çdo ekuacion (koeficientët e të panjohurave, duke përfshirë termat e lira) me koeficientin e të panjohurës x 1 në secilin ekuacion, dhe shumëzojmë me K. Pas kësaj, i heqim të parën nga ekuacioni i dytë ( koeficientët e të panjohurave dhe termat e lirë). Për x 1 në ekuacionin e dytë marrim koeficientin 0. Nga ekuacioni i tretë i transformuar zbresim ekuacionin e parë derisa të gjitha ekuacionet përveç të parit, për të panjohurën x 1, të kenë një koeficient 0.

2) Le të kalojmë në ekuacionin tjetër. Le të jetë ky ekuacioni i dytë dhe koeficienti për x 2 i barabartë me M. Ne vazhdojmë me të gjitha ekuacionet "më të ulëta" siç përshkruhet më sipër. Kështu, "nën" të panjohurën x 2 do të ketë zero në të gjitha ekuacionet.

3) Kaloni në ekuacionin tjetër dhe kështu me radhë derisa të mbetet një e panjohur e fundit dhe termi i lirë i transformuar.

1. "Lëvizja e kundërt" e metodës Gauss është të merret një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (lëvizja "nga poshtë-lart"). Nga ekuacioni i fundit "më i ulët" marrim një zgjidhje të parë - të panjohurën x n. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin elementar A * x n = B. Në shembullin e dhënë më sipër, x 3 = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e ardhshëm "të sipërm" dhe e zgjidhim atë në lidhje me të panjohurën tjetër. Për shembull, x 2 – 4 = 1, d.m.th. x 2 = 5. Dhe kështu me radhë derisa të gjejmë të gjitha të panjohurat.

Shembull.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, siç këshillojnë disa autorë:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Le ta bejme kete:
1 hap . Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një veprim shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

Hapi 2 . Rreshti i parë, shumëzuar me 5, u shtua në rreshtin e dytë.

Hapi 3 . Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

Hapi 4 . Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me 2.

Hapi 5 . Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë që tregon një gabim në llogaritjet (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse kemi marrë diçka si (0 0 11 |23) më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë fillore transformimet.

Le të bëjmë të kundërtën në hartimin e shembujve, vetë sistemi shpesh nuk rishkruhet, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Lëvizja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Në këtë shembull, rezultati ishte një dhuratë:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, pra x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Përgjigju:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Le të zgjidhim të njëjtin sistem duke përdorur algoritmin e propozuar. marrim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Pjesëtojmë ekuacionin e dytë me 5 dhe të tretën me 3. Marrim:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Duke shumëzuar ekuacionin e dytë dhe të tretë me 4, marrim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë dhe i tretë, kemi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Shumëzoni ekuacionin e tretë me 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i tretë, marrim një matricë të zgjeruar "të shkallëzuar":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kështu, meqenëse gabimi i grumbulluar gjatë llogaritjeve, marrim x 3 = 0.96 ose afërsisht 1.

x 2 = 3 dhe x 1 = –1.

Duke e zgjidhur në këtë mënyrë, nuk do të ngatërroheni kurrë në llogaritje dhe, pavarësisht gabimeve në llogaritje, do të merrni rezultatin.

Kjo metodë e zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare është lehtësisht e programueshme dhe nuk merr parasysh veçoritë specifike të koeficientëve për të panjohurat, sepse në praktikë (në llogaritjet ekonomike dhe teknike) duhet të merret me koeficientët jo të plotë.

Ju uroj suksese! Shihemi në klasë! Tutor.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.