Si të krahasoni dy segmente: gjeometria argëtuese. Krahasimi i segmenteve dhe këndeve

Një segment është një pjesë e një vije të kufizuar nga dy pika, distanca më e shkurtër midis këtyre pikave. Ka disa mënyra për të krahasuar figurat gjeometrike, zgjedhja e kësaj metode shpesh varet jo vetëm nga kushtet e problemit, por edhe nga mundësitë. Ne do t'ju tregojmë se si të krahasoni segmentet në këtë artikull.

Mënyrat për të krahasuar dy segmente

Në gjeometri, dy figura që kanë të njëjtën madhësi dhe formë quhen të barabarta. Krahasimi i shifrave bën të mundur që të dallohet nëse janë të njëjta. Një mënyrë është mbivendosja. Nëse shifrat mund të kombinohen me mbivendosje, ato konsiderohen të barabarta.

Krahasimi i shifrave nënkupton përcaktimin se cili prej tyre është më i gjatë ose më i shkurtër. Përgjigja duhet të jetë e prerë, nuk mund të thuhet se një segment është më i gjatë ose i barabartë me të dytin. Në matematikë, një përgjigje e tillë është e pasaktë, ajo mund të barazohet me mungesën e një përgjigjeje.

Shkruani rezultatin e krahasimit duke përdorur shenjat më të mëdha se, më të vogla dhe të barabarta (>;<; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ >AB.

Ju mund të krahasoni shifrat në mënyra të ndryshme, zgjedhja e të cilave varet nga aftësitë ose kushtet:

metoda vizuale;
matje;
krahasim me mbivendosje;
krahasimi i rrjetit.

Është më mirë nëse ato ndryshojnë në gjatësi vizualisht, dhe vetëm duke i parë ato mund të dalloni se cila është më e gjatë. Por kjo nuk ndodh gjithmonë.

Matja e gjatësisë

Mënyra më e lehtë është matja. Për ta bërë këtë, ju mund të përdorni një vizore thjesht duke matur gjatësinë e segmentit, ne do të kuptojmë se cili është më i gjatë. Nëse nuk ka vizore, por ato janë vizatuar në një fletë letre në një katror, mund të numëroni katrorët për të matur gjatësinë e tyre . Në një centimetër ka dy qeliza. Kjo është një metodë krahasimi duke matur gjatësitë, por ekziston edhe një metodë e krahasimit me mbivendosje.

Mbivendosja

Si ndodh kombinimi i AB dhe VG:

Ju duhet të kombinoni fundin A të njërës prej tyre me skajin B të tjetrit, nëse skajet e tjera të këtyre segmenteve - B dhe D - gjithashtu përkojnë, atëherë ato janë të barabarta, gjë që shkruhet duke përdorur shenjën e barabartë.
Nëse jo, atëherë njëri prej tyre është më i gjatë se tjetri, dhe kjo shkruhet gjithashtu duke përdorur shenjat matematikore më të mëdha se ose më pak se (> ose<).

Ndodh që kur një segment mbivendoset mbi një tjetër, saktësisht gjysma e njërit prej tyre do të kombinohet me tjetrin. Pika që e ndan në dy pjesë të barabarta quhet pika e mesme. Dhe nëse kemi një pikë të mesme B, atëherë AB=BB.

Përafërsisht në të njëjtën mënyrë, jo vetëm linjat e drejta, por edhe forma të tjera gjeometrike, si dhe këndet, krahasohen me mbivendosje.

Ju mund të bëni një "vizore" nga një rrip letre, dhe një sundimtar i tillë nuk ka nevojë të rreshtohet, mjafton të shënoni fillimin dhe fundin e një prej segmenteve; Pastaj aplikoni një vizore të improvizuar në të dytin, duke e lidhur fillimin e tij me shenjën e parë dhe duke krahasuar vendndodhjen e shenjës së dytë në lidhje me fundin e saj. Në këtë mënyrë, mund të krahasoni edhe shifra mjaft të mëdha, për shembull, distancën midis shtyllave të gardhit, por është më mirë të përdorni një litar dhe jo një shirit letre.

Dy segmente thuhet se janë të barabartë, nëse mund të kombinohen me mbivendosje. Nëse mund t'i vendosni pranë njëri-tjetrit, thjesht shikoni se cili është më i gjatë. Por kjo nuk mund të bëhet gjithmonë.

Nëse keni një busull pranë, vendosni njërën këmbë të busullës në fillim dhe tjetrën në fund të segmentit të parë. Pastaj, pa lëvizur këmbët e busullës, instaloni njërën prej tyre në fillim të sekondës dhe shikoni nëse këmba e dytë e busullës është në pikën që tregon fundin - ato janë të barabarta. Nëse këmba e dytë është në vijën më të drejtë, segmenti i parë është më i vogël, nëse pas tij, segmenti i parë është më i madh.

Krahasimi i rrjetit

Le të supozojmë se kemi dy segmente, koordinatat e të cilëve i dimë - a (X1, Y1; X2, Y2) dhe b (X3, Y3; X4, Y4).

Gjëja e parë që duhet bërë është jepni koordinatat vlera numerike:

Gjatësia, a - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
Gjatësia b - Db = √((X3 - X4)² + (Y3 - Y4)²).

Le të X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Ne marrim:

Da = √ ((-7 - 3)² + (4 - (-4))²) = √ (-10² + 8²) = √ 100 + 64 = √ 164

Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73

√ 164 > √ 73, që do të thotë Da > Db.

Ju gjithashtu mund të krahasoni segmentet e vendosura në një sistem koordinativ tredimensional, ju duhet të merrni parasysh jo dy, por tre koordinata të secilës prej tyre.

Shembuj

Le të shqyrtojmë një krahasim duke përdorur metodën e mbivendosjes. Kemi dy segmente - AB dhe VG.

Për të zbuluar nëse ato janë të barabarta apo jo, ne thjesht i zbatojmë ato me njëra-tjetrën në mënyrë që "fillimet" e tyre të jenë në të njëjtën pikë, domethënë të kombinojmë pikat A dhe B.

Nëse shohim se AB është pjesë e VG, do të thotë se është më e vogël, pra AB< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.

Tani le të shohim krahasimin e segmenteve duke matur. Duke përdorur një vizore ne llogarisim gjatësinëçdo segment. Për shembull, gjatësia AB = 2 cm, dhe CD = 8 cm 8>2, që do të thotë CD>AB, domethënë segmenti CD është më i gjatë se AB.

Një person vazhdimisht duhet të krahasojë objektet sipas madhësisë. Për të kombinuar pjesë, për të bërë një model saktësisht sipas madhësisë ose për të blerë mobilje që do të përshtaten patjetër në banesën tuaj, duhet të dini nëse parametrat e artikujve të ndryshëm korrespondojnë me njëri-tjetrin. Kjo do të thotë që ju duhet të krahasoni gjatësinë e dy segmenteve.

Do t'ju duhet

- segmentet e specifikuara;
- vizore dhe instrumente të tjera matëse;
- busull.

Udhëzimet

Mos harroni se çfarë është një segment. Kjo është një pjesë e një vije të drejtë, e kufizuar nga të dyja anët me pika. Le të themi se ju janë dhënë 2 segmente të vendosura në të njëjtin rrafsh paralel me njëri-tjetrin dhe në të njëjtën kohë pingulja e rënë nga pika e fillimit të njërit prej tyre do të jetë saktësisht në fillim të tjetrit. Në këtë rast, përdorni metodën e shtrirjes. Nga pika fundore e segmentit të parë, ulni një pingul tjetër drejt të dytës. Nëse kjo vijë e re kryqëzon segmentin e dytë, kjo do të thotë se e para është më e shkurtër se e dyta dhe e dyta është më e gjatë se e para.
Shumë më shpesh duhet të kemi të bëjmë me krahasime të segmenteve joparalele. Në këtë rast, përdorni një busull matës. Përhapni këmbët e saj në një distancë që korrespondon me gjatësinë e një prej segmenteve. Pastaj vendosni njërën këmbë në pikën fillestare të segmentit të dytë. E dyta duhet të jetë ose në segment ose në vazhdimin e tij. Kjo metodë përdoret kur nuk keni nevojë të dini gjatësinë e të dy segmenteve, por thjesht duhet të përcaktoni se cili prej tyre është më i shkurtër ose më i gjatë.
Për të krahasuar segmentet që nuk janë në të njëjtin plan, përdorni metodën standarde. Standardi më i thjeshtë është një vizore e zakonshme shkolle me ndarje. Por në këtë kapacitet mund të përdoren edhe instrumente të tjera matëse. Për të krahasuar dy segmente të vizatuara në një fletë, lidhni vrimën zero të vizores në pikën fillestare të njërit prej tyre. Matni gjatësinë e segmentit të parë dhe më pas matni të dytin në të njëjtën mënyrë. Në këtë rast, së pari gjeni vlerën numerike të gjatësisë së segmentit të parë, pastaj të dytit dhe në fund krahasoni këto vlera.
Çdo objekt mjaft i gjatë mund të përdoret si referencë e përkohshme. Kjo mund të jetë, për shembull, një litar ose një shkop. Kjo metodë matjeje përdoret kur është e nevojshme të krahasohen segmentet, por vlera numerike nuk luan një rol të madh. Për shembull, duhet të përcaktoni nëse një dollap do të përshtatet midis një divani dhe një tavoline apo jo. Lidhni një nyjë në litar. Shënoni një pikë në mur ose dërrasë bazë pranë tavolinës ose divanit. Vendosni litarin rreptësisht horizontalisht dhe lidhni një nyjë të dytë. Në dyqan do t'ju duhet vetëm të matni kabinetin sipas gjerësisë së këtij litari.

Si të krahasohen segmentet?

Çfarë do të thotë të krahasosh dy segmente? Kjo do të thotë krahasimi i gjatësisë së tyre, përcaktimi se cila është më e gjatë (ose më e shkurtër). Nëse keni një vizore pranë, nuk ka asgjë më të thjeshtë: përdorni atë për të matur gjatësitë e të dy segmenteve dhe menjëherë do të bëhet e qartë se cili është më i gjatë. Më poshtë do t'ju tregojmë se çfarë të bëni nëse nuk ka vizore pranë jush.

Si të krahasoni dy segmente vijash pa vizore

Nëse segmentet vizatohen nga qelizat, mund t'i numëroni qelizat. Megjithatë, kjo nuk është gjithmonë rasti. Nëse nuk ka qeliza, mund të përdorni një busull. Së pari ju duhet të instaloni hapjen e busullës në skajet e një segmenti, dhe më pas, pa lëvizur këmbët e saj, instaloni gjilpërën në fund të një segmenti tjetër dhe shikoni nëse hapja e busullës është më e gjerë se segmenti i dytë, apo më e ngushtë.

Nëse nuk keni një busull, mund të bëni diçka si një vizore nga një rrip letre. Nuk është e nevojshme të vizatoni ndarje mbi të, mjafton të shënoni fillimin dhe fundin e një segmenti, pastaj të kombinoni një shenjë me fillimin e segmentit të dytë dhe të krahasoni.

Në këtë mënyrë mund të krahasoni edhe segmentet e vizatuara në tokë, për shembull, në mënyrë që të caktoni vende për shtyllat për një stol në distanca të barabarta nga muri i shtëpisë. Vetëm në këtë rast do t'ju duhet të përdorni jo një rrip letre, por një tabelë ose litar.

Si të krahasoni dy segmente në një rrjet koordinativ

Për të krahasuar segmentet, duhet të dini gjatësinë e tyre. Në artikull, ne shpjeguam se si të gjejmë gjatësinë e një segmenti nëse tregohen koordinatat e tij në një aeroplan ose në hapësirë. Le të marrim segmente në rrafsh me koordinata: segmenti a = (x 1,y 1;x 2,y 2) dhe segmenti b = (x 3,y 3;x 4,y 4).

Sigurisht, tashmë është e qartë se segmenti i dytë është më i shkurtër se i pari, por në matematikë "është e dukshme" nuk llogaritet, ju duhet ta vërtetoni atë. Prandaj, do të shkruajmë një formulë për llogaritjen e gjatësive të segmenteve dhe do t'u japim koordinatave vlera numerike. Pas kësaj, ju lehtë mund të shpjegoni se si të krahasoni dy segmente.

Gjatësia e segmentit a d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)²)
Gjatësia e segmentit b d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)²)

Le të x 1 = -6, y 1 = 5; x 2 = 4, y 2 = -3; x 3 = -2, y 3 = -4; x 4 = 1, y 4 = -2. Do të thotë:

d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)²) = d1 = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))²) = √( (-10)² + 8²) = √164
d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √ ((-3)² + 2²) = √13
√164 > √13, që do të thotë d1 > d2.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të krahasoni segmentet në koordinata tre-dimensionale, vetëm atëherë do t'ju duhet të merrni parasysh edhe koordinatat e treta: segmenti a = (x 1, y 1,z 1; x 2, y 2,z 2) dhe segmenti b = (x 3, y 3 , z 3; x 4, y 4, z 4).

Formulat janë të ngjashme me ato që kemi shkruar për një rrjet koordinativ në një plan:

Gjatësia e segmentit a d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)² + (z 1 - z 2)²)
Gjatësia e segmentit b d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)² + (z 3 - z 4)²)

Le të x 1 = -6, y 1 = 5, z 1 = 1; x 2 = 4, y 2 = -3, z 2 = 2; x 3 = -2, y 3 = -4, z 3 = 3; x 4 = 1, y 4 = -2, z 4 = -11.

d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)² + (z 1 - z 2)² = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3) )² + (1 - 2)²) = √((-10)² + 8² + (-1)²) = √165
d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)² + (z 3 - z 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))² + (3 - (-11))²) = √((-3)² + 2² + 14²) = √(9 + 4 + 196) = √209
√209 > √165

Kjo do të thotë se në këtë rast segmenti i dytë doli të ishte më i madh se i pari.

Të krahasosh dy segmente do të thotë të përcaktosh gjatësinë e cilit prej tyre është më i madh ose më i vogël se tjetri. Në botën reale, shumë prej nesh kryejnë operacione të tilla pa e vënë re. Krahasojmë gjatësitë e rrugëve në hartë për të zgjedhur një shteg më të shkurtër, përcaktojmë gjatësinë e vëllezërve duke matur dhe krahasuar lartësinë e tyre, dhe në një linjë ose në një fabrikë, përdoren krahasime të gjatësive me vlera të ngjashme. gjatë gjithë kohës. Detyra jonë është të jemi në gjendje të ndërtojmë një model matematikor për çdo problem, të jemi në gjendje ta zgjidhim atë saktë. Ju gjithashtu mund të krahasoni dy segmente me sy ose me mjetet e disponueshme. Le të themi se çfarë është më e gjatë: një shkrepëse apo një kapak stilolapsi? Duke matur gjatësinë e ndeshjes me një busull dhe duke e aplikuar atë në kapak, ne mund të marrim menjëherë përgjigjen e pyetjes.

Por si të krahasohen dy segmente nëse gjatësia e tyre nuk dallohet me sy? Nëse nuk është e mundur të përdoren mjetet në dispozicion, dhe na jepen vetëm koordinatat e segmentit? Në rastin e hapësirës njëdimensionale, mund të krahasoni dy segmente duke gjetur gjatësinë e tyre. Në një vijë të drejtë, gjatësia e një segmenti është ndryshimi në vlerat e koordinatave të skajeve të tij, të marra me një shenjë plus. Për shembull: jepet një segment AB me koordinatat A(2), B(3) dhe një segment CD me koordinatat C(5,1) dhe D(6). Përcaktoni se cili nga segmentet është më i gjatë. Gjatësia AB do të jetë e barabartë me 3-2 = 1, dhe gjatësia CD do të jetë e barabartë me 6-5,1 = 0,9. Nga kjo rezulton se segmenti AB është më i madh se CD. Le të shqyrtojmë një problem tjetër. Janë dhënë koordinatat e segmentit KL: përkatësisht 0 dhe 4. Janë dhënë edhe koordinatat e fillimit të segmentit MN M(-3) dhe koordinata e mesit të këtij segmenti (-1). Krahasoni gjatësitë e segmenteve KL dhe MN.

Për të zgjidhur një problem të tillë, duhet të dini se si të gjeni koordinatat e mesit të një segmenti. Koordinata e mesit të një segmenti është mesatarja aritmetike e koordinatave të skajeve të tij. Për problemin tonë, rezulton se koordinata M(-3) plus koordinata e panjohur N(x) kur ndahet në gjysmë do të japë -1. Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin. (-3+x) /2 = -1. Le t'i shumëzojmë të dyja anët me -2: -3+x= -2. Le të kalojmë -3 në anën e djathtë të ekuacionit, duke ndryshuar shenjën: x=1. Konstatojmë se koordinata N është e barabartë me 1. Gjeni gjatësinë e segmentit MN: 1-(-3) =1+3=4. Në mënyrë të ngjashme, gjatësia KL = 4-0 = 4. Siç mund ta shihni, gjatësitë e segmenteve janë të njëjta, prandaj segmentet janë të barabarta.

Për problemet gjeometrike, shpesh është e rëndësishme të dihet emri i segmentit që lidh dy pika të caktuara. Ndonjëherë kjo do të ndihmojë për të shmangur zgjidhjen e problemit në formë të përgjithshme dhe për të zbatuar teoremën dhe një metodë të thjeshtuar për zgjidhjen e problemit. Megjithatë, le të zgjidhim problemin ku përdoret formula e përgjithshme për gjetjen e gjatësisë së një segmenti përmes koordinatave të skajeve të tij. Për një plan, gjatësia e një segmenti është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të diferencave midis koordinatave përkatëse të skajeve të tij. Kjo formulë është një përgjithësim për hapësirën njëdimensionale, e cila. nga ana tjetër, është një rast i veçantë i formulës për tre-dimensionale dhe kështu me radhë. Duke ditur se si të përdorni formula të tilla, ju mund të gjeni gjatësinë e një segmenti në një aeroplan dhe në hapësirë. Le të kalojmë drejtpërdrejt në detyrë.

Detyrë. Pika C me koordinata (-3;2) është fillimi i përbashkët i segmenteve NE dhe CA. Pika A ka koordinata (0;0), dhe pika B ka koordinata (1;4). Krahasoni segmentet NE dhe CA. Zgjidhje. Le të llogarisim gjatësinë e segmentit SA duke përdorur formulën e përshkruar më sipër: rrënja e -3-0 = -3 në katror, kjo vlerë është e barabartë me 9,2-0 = 2, duke kuadruar dy ne marrim 4. Shuma e këtyre diferencave në katror është 13, prandaj gjatësia e SA është e barabartë me rrënjën e 13. Duke zbatuar veprime të ngjashme aritmetike për të gjetur gjatësinë e CB, gjejmë se gjatësia e këtij segmenti është -3-1 = -4. -4*-4=6,2-4 = -2. -2*-2 = 4,6+4 = 20, pra gjatësia e segmentit CB është e barabartë me rrënjën e 20. Rrënja e 20 është më e madhe se rrënja e 13, prandaj segmenti CB është më i madh se segmenti CA. Problemi është zgjidhur.