Si të ndërtoni kënde duke përdorur një busull. Si të ndërtoni një kënd të barabartë me një të dhënë

Në detyrat e ndërtimit do të shqyrtojmë ndërtimin e një figure gjeometrike, e cila mund të bëhet duke përdorur një vizore dhe busull.

Duke përdorur një vizore mund të:

vijë e drejtë arbitrare;

një vijë e drejtë arbitrare që kalon nëpër një pikë të caktuar;

një drejtëz që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Duke përdorur një busull, mund të përshkruani një rreth me një rreze të caktuar nga një qendër e caktuar.

Duke përdorur një busull, mund të vizatoni një segment në një vijë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Le të shqyrtojmë detyrat kryesore të ndërtimit.

Detyra 1. Ndërtoni një trekëndësh me brinjët e dhëna a, b, c (Fig. 1).

Zgjidhje. Duke përdorur një vizore, vizatoni një vijë të drejtë arbitrare dhe merrni një pikë arbitrare B mbi të, duke përdorur një hapje busull të barabartë me a, ne përshkruajmë një rreth me qendër B dhe rreze a. Le të jetë C pika e kryqëzimit të saj me drejtëzën. Me një hapje busull të barabartë me c, ne përshkruajmë një rreth nga qendra B, dhe me një hapje busull të barabartë me b, përshkruajmë një rreth nga qendra C. Le të jetë A pika e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Trekëndëshi ABC ka brinjë të barabarta me a, b, c.

Koment. Në mënyrë që tre segmente të drejtë të shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi, është e nevojshme që më i madhi prej tyre të jetë më i vogël se shuma e dy të tjerëve (dhe< b + с).

Detyra 2.

Zgjidhje. Ky kënd me kulmin A dhe rrezen OM janë paraqitur në figurën 2.

Le të vizatojmë një rreth arbitrar me qendër në kulmin A të këndit të dhënë. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me anët e këndit (Fig. 3, a). Me rreze AB vizatojmë një rreth me qendër në pikën O - pika e fillimit të kësaj rreze (Fig. 3, b). Le ta shënojmë pikën e kryqëzimit të këtij rrethi me këtë rreze si C 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër C 1 dhe rreze BC. Pika B 1 e kryqëzimit të dy rrathëve shtrihet në anën e këndit të dëshiruar. Kjo rrjedh nga barazia Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (shenja e tretë e barazisë së trekëndëshave).

Detyra 3. Ndërtoni përgjysmuesin e këtij këndi (Fig. 4).

Zgjidhje. Nga kulmi A i një këndi të caktuar, si nga qendra, vizatojmë një rreth me rreze arbitrare. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së tij me brinjët e këndit. Nga pikat B dhe C përshkruajmë rrathë me të njëjtën rreze. Le të jetë D pika e tyre e kryqëzimit, e ndryshme nga A. Rrezja AD përgjysmon këndin A. Kjo rrjedh nga barazia Δ ABD = Δ ACD (kriteri i tretë për barazinë e trekëndëshave).

Detyra 4. Vizatoni një përgjysmues pingul në këtë segment (Fig. 5).

Zgjidhje. Duke përdorur një hapje arbitrare, por identike të busullës (më e madhe se 1/2 AB), ne përshkruajmë dy harqe me qendra në pikat A dhe B, të cilët do të kryqëzojnë njëri-tjetrin në disa pika C dhe D. Vija e drejtë CD do të jetë pingulja e dëshiruar. Në të vërtetë, siç shihet nga konstruksioni, secila nga pikat C dhe D është po aq e largët nga A dhe B; prandaj, këto pika duhet të shtrihen në përgjysmuesin pingul me segmentin AB.

Detyra 5. Ndani këtë segment në gjysmë. Zgjidhet në të njëjtën mënyrë si problemi 4 (shih Fig. 5).

Detyra 6. Nëpër një pikë të caktuar vizatoni një drejtëz pingul me drejtëzën e dhënë.

Zgjidhje. Ka dy raste të mundshme:

1) një pikë e dhënë O shtrihet në një drejtëz të dhënë a (Fig. 6).

Nga pika O vizatojmë një rreth me rreze arbitrare që pret drejtëzën a në pikat A dhe B. Nga pikat A dhe B vizatojmë rrathë me të njëjtën rreze. Le të jetë O 1 pika e kryqëzimit të tyre, e ndryshme nga O. Përftojmë OO 1 ⊥ AB. Në fakt, pikat O dhe O 1 janë të barabarta nga skajet e segmentit AB dhe, për rrjedhojë, shtrihen në përgjysmuesin pingul me këtë segment.

Kur ndërtoni ose zhvilloni projekte të projektimit të shtëpisë, shpesh është e nevojshme të ndërtoni një kënd të barabartë me një ekzistues. Modelet dhe njohuritë shkollore të gjeometrisë vijnë në shpëtim.

Udhëzimet

• Një kënd formohet nga dy vija të drejta që dalin nga një pikë. Kjo pikë do të quhet kulm i këndit, dhe vijat do të jenë anët e këndit.
• Përdorni tre shkronja për të paraqitur qoshet: një në krye, dy në anët. Këndi emërtohet duke filluar me shkronjën që qëndron në njërën anë, më pas emërtohet shkronja që qëndron në majë dhe më pas shkronja në anën tjetër. Përdorni mënyra të tjera për të treguar këndet nëse preferoni ndryshe. Ndonjëherë emërtohet vetëm një shkronjë, e cila është në krye. Dhe ju mund të tregoni kënde me shkronja greke, për shembull, α, β, γ.
• Ka situata kur është e nevojshme të vizatoni një kënd në mënyrë që të jetë i barabartë me një kënd tashmë të dhënë. Nëse nuk është e mundur të përdorni një raportor kur ndërtoni një vizatim, mund të kaloni vetëm me një vizore dhe busull. Le të themi se në një vijë të drejtë të shënuar në vizatim me shkronjat MN, duhet të ndërtoni një kënd në pikën K në mënyrë që të jetë i barabartë me këndin B. Pra, nga pika K duhet të vizatoni një vijë të drejtë që formon një kënd me drejtëz MN që do të jetë i barabartë me këndin B.
• Së pari, shënoni një pikë në secilën anë të një këndi të caktuar, për shembull, pikat A dhe C, pastaj lidhni pikat C dhe A me një vijë të drejtë. Merrni trekëndëshin ABC.
• Tani ndërto të njëjtin trekëndësh në vijën MN në mënyrë që kulmi i tij B të jetë në vijën në pikën K. Përdorni rregullin për ndërtimin e një trekëndëshi në tre anët. Hiqeni segmentin KL nga pika K. Duhet të jetë i barabartë me segmentin BC. Merrni pikën L.
• Nga pika K vizatoni një rreth me rreze të barabartë me segmentin BA. Nga L, vizatoni një rreth me rreze CA. Lidhni pikën rezultuese (P) të kryqëzimit të dy rrathëve me K. Merrni trekëndëshin KPL, i cili do të jetë i barabartë me trekëndëshin ABC. Në këtë mënyrë do të merrni këndin K. Do të jetë i barabartë me këndin B. Për ta bërë këtë ndërtim më të përshtatshëm dhe më të shpejtë, vendosni segmente të barabarta nga kulmi B, duke përdorur një hapje busull, pa lëvizur këmbët, përshkruani një rreth me të njëjtën rreze. nga pika K.

Shpesh është e nevojshme të vizatoni ("ndërtoni") një kënd që do të ishte i barabartë me një kënd të caktuar, dhe ndërtimi duhet të bëhet pa ndihmën e një raportuesi, por duke përdorur vetëm një busull dhe një vizore. Duke ditur se si të ndërtojmë një trekëndësh në tre anët, ne mund ta zgjidhim këtë problem. Le të jetë në një vijë të drejtë MN(Fig. 60 dhe 61) kërkohet të ndërtohet në pikë K kënd i barabartë me kënd B. Kjo do të thotë se është e nevojshme nga pika K vizatoni një vijë të drejtë me një komponent MN kënd i barabartë me B.

Për ta bërë këtë, për shembull, shënoni një pikë në secilën anë të një këndi të caktuar A Dhe ME, dhe lidheni A Dhe ME vijë e drejtë. Ne marrim një trekëndësh ABC. Tani le të ndërtojmë në një vijë të drejtë MN ky trekëndësh në mënyrë që kulmi i tij NË ishte në pikën TE: atëherë në këtë pikë do të ndërtohet një kënd i barabartë me këndin NË. Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur tre brinjë VS, VA Dhe AC dimë si: shtyjmë (Fig. 62) nga pika TE segmenti i linjës KL, të barabartë dielli; marrim një pikë L; përreth K, si afër qendrës, përshkruajmë një rreth me rreze VA, dhe përreth L - rreze SA. Ndalesa e plotë R lidhim kryqëzimet e rrathëve me TE dhe Z, marrim një trekëndësh KPL, e barabartë me një trekëndësh ABC; ka një cep në të TE= ug. NË.

Ky ndërtim kryhet më shpejt dhe me lehtësi nëse nga lart NË vendosni segmente të barabarta (me një shpërbërje të busullës) dhe, pa lëvizur këmbët, përshkruani një rreth rreth pikës me të njëjtën rreze TE, si afër qendrës.

Si të ndani një cep në gjysmë

Supozoni se duhet të ndajmë një kënd A(Fig. 63) në dy pjesë të barabarta duke përdorur një busull dhe vizore, pa përdorur një raportor. Ne do t'ju tregojmë se si ta bëni atë.

Nga fillimi A vendosni segmente të barabarta në anët e këndit AB Dhe AC(Diagrami 64; kjo bëhet thjesht duke shpërndarë busullën). Pastaj vendosim majën e busullës në pikat NË Dhe ME dhe të përshkruajnë harqe me rreze të barabarta që kryqëzohen në pikë D. Lidhja e drejtë A dhe D ndan këndin A në gjysmë.

Le të shpjegojmë pse është kjo. Nëse pika D lidheni me NË dhe C (Fig. 65), atëherë ju merrni dy trekëndësha ADC Dhe ADB, y të cilat kanë një anë të përbashkët pas Krishtit; anësor AB e barabartë me anën AC, A VD e barabartë me CD. Trekëndëshat janë të barabartë në tre anët, që do të thotë se këndet janë të barabarta. KEQ Dhe DAC, shtrirë përballë anët e barabarta VD Dhe CD. Prandaj, drejt pas Krishtit ndan këndin JU në gjysmë.

Aplikacionet

12. Ndërtoni një kënd 45° pa raportor. Në 22°30’. Në 67°30'.

Zgjidhja: Duke e ndarë këndin e duhur përgjysmë, marrim një kënd prej 45°. Duke e ndarë këndin 45° në gjysmë, marrim një kënd prej 22°30'. Duke ndërtuar shumën e këndeve 45° + 22°30', marrim një kënd prej 67°30'.

Si të ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre

Supozoni se duhet të zbuloni në terren distancën midis dy piketa A Dhe NË(Djalli 66), i ndarë nga një moçal i pakalueshëm.

Si ta bëjmë atë?

Ne mund ta bëjmë këtë: të zgjedhim një pikë larg kënetës ME, nga ku janë të dukshme të dy piketa dhe mund të maten distancat AC Dhe dielli. Këndi ME matim duke përdorur një pajisje të veçantë gonometrike (që quhet str o l b i e). Sipas këtyre të dhënave, d.m.th., sipas anëve të matura A.C. Dhe dielli dhe qoshe ME mes tyre, le të ndërtojmë një trekëndësh ABC diku në terren të përshtatshëm si më poshtë. Duke matur një anë të njohur në një vijë të drejtë (Fig. 67), për shembull AC, ndërto me të në pikën ME qoshe ME; në anën tjetër të këtij këndi matet brinja e njohur dielli. Skajet e anëve të njohura, pra pikat A Dhe NË lidhur me një vijë të drejtë. Rezultati është një trekëndësh në të cilin dy anët dhe këndi ndërmjet tyre kanë përmasat e përcaktuara paraprakisht.

Nga mënyra e ndërtimit është e qartë se vetëm një trekëndësh mund të ndërtohet duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre. prandaj, nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë të barabarta me dy brinjët e një tjetri dhe këndet ndërmjet këtyre brinjëve janë të njëjtë, atëherë trekëndëshat e tillë mund të mbivendosen me njëri-tjetrin nga të gjitha pikat, pra brinjët e tyre të treta dhe këndet e tjera duhet të jenë të barabarta. Kjo do të thotë se barazia e dy brinjëve të trekëndëshave dhe këndi ndërmjet tyre mund të shërbejë si shenjë e barazisë së plotë të këtyre trekëndëshave. Shkurtimisht:

Trekëndëshat janë të barabartë në të dy anët dhe në këndin ndërmjet tyre.

Objektivat e mësimit:

• Formimi i aftësisë për të analizuar materialin e studiuar dhe aftësitë e zbatimit të tij për zgjidhjen e problemeve;
• Tregoni rëndësinë e koncepteve që studiohen;
• Zhvillimi i veprimtarisë njohëse dhe pavarësia në përvetësimin e njohurive;
• Kultivimi i interesit për temën dhe një ndjenjë e bukurisë.

Objektivat e mësimit:

• Zhvilloni aftësi në ndërtimin e një këndi të barabartë me një të dhënë duke përdorur një vizore peshore, busull, raportor dhe trekëndësh vizatimi.
• Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit:

1. Përsëritje.
2. Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.
3. Analiza.
4. Shembulli i ndërtimit së pari.
5. Shembulli i ndërtimit i dyti.

Përsëritje.

Këndi.

Këndi i sheshtë- një figurë gjeometrike e pakufizuar e formuar nga dy rreze (anët e një këndi) që dalin nga një pikë (kulmi i këndit).

Këndi quhet edhe figura e formuar nga të gjitha pikat e rrafshit të mbyllura ndërmjet këtyre rrezeve (Në përgjithësi, dy rreze të tilla korrespondojnë me dy kënde, pasi ato e ndajnë rrafshin në dy pjesë. Njëri prej këtyre këndeve quhet konvencionalisht i brendshëm, dhe të tjera - të jashtme.
Ndonjëherë, për shkurtësi, këndi quhet masë këndore.

Ekziston një simbol përgjithësisht i pranuar për të treguar një kënd: , i propozuar në 1634 nga matematikani francez Pierre Erigon.

Këndiështë një figurë gjeometrike (Fig. 1), e formuar nga dy rreze OA dhe OB (anët e këndit), që burojnë nga një pikë O (kulmi i këndit).

Një kënd shënohet me një simbol dhe tre shkronja që tregojnë skajet e rrezeve dhe kulmin e këndit: AOB (dhe shkronja e kulmit është ajo e mesme). Këndet maten me sasinë e rrotullimit të rrezes OA rreth kulmit O derisa rrezja OA të zhvendoset në pozicionin OB. Ekzistojnë dy njësi të përdorura gjerësisht për matjen e këndeve: radianet dhe shkallët. Për matjen me rreze të këndeve, shihni më poshtë në paragrafin "Gjatësia e harkut", si dhe në kapitullin "Trigonometria".

Sistemi i shkallës për matjen e këndeve.

Këtu njësia e matjes është një shkallë (përcaktimi i saj është °) - ky është një rrotullim i rrezes me 1/360 të një rrotullimi të plotë. Kështu, një rrotullim i plotë i rrezes është 360 o. Një shkallë ndahet në 60 minuta (simboli '); një minutë – përkatësisht për 60 sekonda (përcaktimi “). Një kënd prej 90° (Fig. 2) quhet i drejtë; një kënd më i vogël se 90° (Fig. 3) quhet akut; një kënd më i madh se 90° (Fig. 4) quhet i mpirë.

Vijat e drejta që formojnë një kënd të drejtë quhen reciprokisht pingul. Nëse drejtëzat AB dhe MK janë pingule, atëherë kjo shënohet: AB MK.

Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.

Para fillimit të ndërtimit ose zgjidhjes së ndonjë problemi, pavarësisht nga lënda, duhet të kryeni analiza. Kuptoni se çfarë thotë detyra, lexoni me mend dhe ngadalë. Nëse pas herës së parë keni dyshime ose diçka nuk ishte e qartë ose e qartë, por jo plotësisht, rekomandohet ta lexoni përsëri. Nëse jeni duke bërë një detyrë në klasë, mund ta pyesni mësuesin. Përndryshe, detyra juaj, të cilën e keni keqkuptuar, mund të mos zgjidhet siç duhet, ose mund të gjeni diçka që nuk është ajo që kërkohet prej jush dhe do të konsiderohet e pasaktë dhe do t'ju duhet ta ribëni. Sa per mua - Është më mirë të shpenzosh pak më shumë kohë duke studiuar detyrën sesa ta ribësh detyrën nga e para.

Analiza.

Le të jetë a rrezja e dhënë me kulmin A dhe këndi (ab) ai i dëshiruar. Le të zgjedhim pikat B dhe C në rrezet a dhe b, përkatësisht. Duke lidhur pikat B dhe C, marrim trekëndëshin ABC. Në trekëndëshat kongruentë, këndet përkatëse janë të barabarta, dhe këtu vijon mënyra e ndërtimit. Nëse në anët e një këndi të caktuar zgjedhim pikat C dhe B në një mënyrë të përshtatshme dhe nga një rreze e caktuar në një gjysmëplan të caktuar ndërtojmë një trekëndësh AB 1 C 1 të barabartë me ABC (dhe kjo mund të bëhet nëse e dimë të gjitha anët e trekëndëshit), atëherë problemi do të zgjidhet.

Gjatë kryerjes së ndonjë ndërtimet Jini jashtëzakonisht të kujdesshëm dhe përpiquni t'i kryeni të gjitha ndërtimet me kujdes. Meqenëse çdo mospërputhje mund të rezultojë në disa lloj gabimesh, devijimesh, të cilat mund të çojnë në një përgjigje të pasaktë. Dhe nëse një detyrë e këtij lloji kryhet për herë të parë, gabimi do të jetë shumë i vështirë për t'u gjetur dhe rregulluar.

Shembulli i ndërtimit së pari.

Le të vizatojmë një rreth me qendër në kulmin e këtij këndi. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me brinjët e këndit. Me rreze AB vizatojmë një rreth me qendër në pikën A 1 - pika e fillimit të kësaj rreze. Le ta shënojmë pikën e kryqëzimit të këtij rrethi me këtë rreze si B 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër në B 1 dhe rreze BC. Pika e kryqëzimit C 1 e rrathëve të ndërtuar në gjysmëplanin e treguar shtrihet në anën e këndit të dëshiruar.

Trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë në tre brinjë. Këndet A dhe A 1 janë këndet përkatëse të këtyre trekëndëshave. Prandaj, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Për qartësi më të madhe, mund të konsideroni të njëjtat ndërtime në më shumë detaje.

Shembulli i dytë i ndërtimit.

Detyra mbetet që gjithashtu të caktohet një kënd i barabartë me një kënd të caktuar nga një gjysmëdrejtë e caktuar në një gjysmërrafsh të caktuar.

Ndërtimi.

Hapi 1. Le të vizatojmë një rreth me një rreze arbitrare dhe qendra në kulmin A të një këndi të caktuar. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me brinjët e këndit. Dhe le të vizatojmë segmentin BC.

Hapi 2. Le të vizatojmë një rreth me rreze AB me qendër në pikën O - pika e fillimit të kësaj gjysmëdrejtëze. Le ta shënojmë pikën e prerjes së rrethit me rreze si B 1 .

Hapi 3. Tani përshkruajmë një rreth me qendër B 1 dhe rreze BC. Le të jetë pika C 1 kryqëzimi i rrathëve të ndërtuar në gjysmëplanin e treguar.

Hapi 4. Le të vizatojmë një rreze nga pika O deri në pikën C 1. Këndi C 1 OB 1 do të jetë këndi i dëshiruar.

Dëshmi.

Trekëndëshat ABC dhe OB 1 C 1 janë trekëndësha kongruentë me brinjë përkatëse. Prandaj, këndet CAB dhe C 1 OB 1 janë të barabarta.

Fakt interesant:

Në numra.

Në objektet e botës përreth, para së gjithash vëreni vetitë e tyre individuale që dallojnë një objekt nga tjetri.

Bollëku i vetive të veçanta, individuale errëson vetitë e përgjithshme të qenësishme në absolutisht të gjitha objektet, dhe për këtë arsye është gjithmonë më e vështirë të zbulohen veti të tilla.

Një nga vetitë më të rëndësishme të përgjithshme të objekteve është se të gjitha objektet mund të numërohen dhe maten. Ne e pasqyrojmë këtë veti të përgjithshme të objekteve në konceptin e numrit.

Njerëzit e zotëruan procesin e numërimit, domethënë konceptin e numrit, shumë ngadalë, gjatë shekujve, në një luftë të vazhdueshme për ekzistencën e tyre.

Për të numëruar, jo vetëm që duhet të ketë objekte që mund të numërohen, por gjithashtu duhet të ketë tashmë aftësinë për të abstraguar kur merren parasysh këto objekte nga të gjitha vetitë e tyre të tjera përveç numrit, dhe kjo aftësi është rezultat i një zhvillimi të gjatë historik të bazuar në përvojën. .

Çdo njeri tani mëson të numërojë me ndihmën e numrave në mënyrë të padukshme në fëmijëri, pothuajse njëkohësisht me kohën kur fillon të flasë, por ky numërim, i njohur për ne, ka kaluar një rrugë të gjatë zhvillimi dhe ka marrë forma të ndryshme.

Ishte një kohë kur vetëm dy numra përdoreshin për të numëruar objektet: një dhe dy. Në procesin e zgjerimit të mëtejshëm të sistemit të numrave, përfshiheshin pjesë të trupit të njeriut, kryesisht gishtat, dhe nëse nuk mjaftonte ky lloj "numri", atëherë edhe shkopinj, guralecë dhe gjëra të tjera.

N. N. Miklouho-Maclay në librin e tij "Udhëtime" flet për një metodë qesharake të numërimit të përdorur nga vendasit e Guinesë së Re:

Pyetje:

1. Përcaktoni këndin?
2. Çfarë lloje këndesh ekzistojnë?
3. Cili është ndryshimi midis diametrit dhe rrezes?

Lista e burimeve të përdorura:

1. Mazur K. I. “Zgjidhja e problemeve kryesore të konkursit në matematikë të koleksionit të redaktuar nga M. I. Skanavi”
2. Njohur matematike. B.A. Kordemsky. Moska.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Gjeometria, 7 - 9: tekst shkollor për institucionet arsimore"

Punoi në mësim:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Ju mund të ngrini një pyetje në lidhje me arsimin modern, të shprehni një ide ose të zgjidhni një problem urgjent në forum arsimor, ku një këshill arsimor i mendimit dhe veprimit të freskët mblidhet ndërkombëtarisht. Duke krijuar blog, Ju jo vetëm që do të përmirësoni statusin tuaj si mësues kompetent, por gjithashtu do të jepni një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e shkollës së së ardhmes. Guildi i Drejtuesve Arsimor hap dyert për specialistë të rangut më të lartë dhe i fton ata të bashkëpunojnë në krijimin e shkollave më të mira në botë.