Cila nga sa vijon është faktorizim i një polinomi. Shembuj të faktorizimit të polinomeve me rrënjë të plota

Kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë, shpesh është e nevojshme të faktorizohet një polinom shkalla e të cilit është tre ose më e lartë. Në këtë artikull do të shikojmë mënyrën më të lehtë për ta bërë këtë.

Si zakonisht, le t'i drejtohemi teorisë për ndihmë.

Teorema e Bezout thotë se pjesa e mbetur kur pjesëtohet një polinom me një binom është .

Por ajo që është e rëndësishme për ne nuk është vetë teorema, por konkluzion prej tij:

Nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë polinomi pjesëtohet me binomin pa mbetje.

Ne jemi përballur me detyrën që disi të gjejmë të paktën një rrënjë të polinomit, pastaj ta ndajmë polinomin me , ku është rrënja e polinomit. Si rezultat, marrim një polinom shkalla e të cilit është një më e vogël se shkalla e asaj origjinale. Dhe pastaj, nëse është e nevojshme, mund ta përsërisni procesin.

Kjo detyrë ndahet në dy: si të gjendet rrënja e një polinomi dhe si të pjesëtohet një polinom me një binom.

Le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre pikave.

1. Si të gjejmë rrënjën e një polinomi.

Së pari, kontrollojmë nëse numrat 1 dhe -1 janë rrënjë të polinomit.

Faktet e mëposhtme do të na ndihmojnë këtu:

Nëse shuma e të gjithë koeficientëve të një polinomi është zero, atëherë numri është rrënja e polinomit.

Për shembull, në një polinom shuma e koeficientëve është zero: . Është e lehtë të kontrollosh se cila është rrënja e një polinomi.

Nëse shuma e koeficientëve të një polinomi me fuqi çift është e barabartë me shumën e koeficientëve me fuqi tek, atëherë numri është rrënja e polinomit. Termi i lirë konsiderohet një koeficient për një shkallë çift, pasi , a është një numër çift.

Për shembull, në një polinom shuma e koeficientëve për fuqitë çift është : , dhe shuma e koeficientëve për fuqitë tek është : . Është e lehtë të kontrollosh se cila është rrënja e një polinomi.

Nëse as 1 dhe as -1 nuk janë rrënjë të polinomit, atëherë vazhdojmë.

Për një polinom të reduktuar të shkallës (d.m.th., një polinom në të cilin koeficienti kryesor - koeficienti në - është i barabartë me unitetin), formula Vieta është e vlefshme:

Ku janë rrënjët e polinomit.

Ekzistojnë edhe formula Vieta në lidhje me koeficientët e mbetur të polinomit, por ne jemi të interesuar për këtë.

Nga kjo formulë Vieta del se nëse rrënjët e një polinomi janë numra të plotë, atëherë ato janë pjesëtues të termit të tij të lirë, i cili gjithashtu është një numër i plotë.

Nisur nga kjo, duhet të faktorizojmë termin e lirë të polinomit dhe në mënyrë sekuenciale, nga më i vogli tek më i madhi, të kontrollojmë se cili prej faktorëve është rrënja e polinomit.

Konsideroni, për shembull, polinomin

Pjesëtuesit e termit të lirë: ;

;

;

Shuma e të gjithë koeficientëve të polinomit është e barabartë me , prandaj, numri 1 nuk është rrënja e polinomit.

Shuma e koeficientëve për fuqitë çift:

Shuma e koeficientëve për fuqitë tek:

Prandaj, numri -1 gjithashtu nuk është rrënjë e polinomit.

Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit: prandaj, numri 2 është rrënja e polinomit. Kjo do të thotë, sipas teoremës së Bezout, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom pa mbetje.

2. Si të ndajmë një polinom në një binom.

Një polinom mund të ndahet në një binom nga një kolonë.

Ndani polinomin me një binom duke përdorur një kolonë: Ekziston një mënyrë tjetër për të ndarë një polinom me një binom - skema e Hornerit.

Shikoni këtë video për të kuptuar

si të ndahet një polinom me një binom me një kolonë dhe duke përdorur diagramin e Hornerit.

Vërej se nëse, kur ndahet me një kolonë, një shkallë e të panjohurës mungon në polinomin origjinal, ne shkruajmë 0 në vend të tij - në të njëjtën mënyrë si kur përpilojmë një tabelë për skemën e Horner. Pra, nëse duhet të ndajmë një polinom me një binom dhe si rezultat i ndarjes marrim një polinom, atëherë mund të gjejmë koeficientët e polinomit duke përdorur skemën e Hornerit: Mund të përdorim edhe

Skema Horner

për të kontrolluar nëse një numër i caktuar është rrënja e një polinomi: nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë pjesa e mbetur kur pjesëtohet polinomi me është e barabartë me zero, domethënë në kolonën e fundit të rreshtit të dytë të Diagrami i Hornerit marrim 0. Duke përdorur skemën e Hornerit, ne "vrasim dy zogj me një gur": në të njëjtën kohë kontrollojmë nëse numri është rrënja e një polinomi dhe e ndajmë këtë polinom me një binom.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin:

1. Të shkruajmë pjesëtuesit e termit të lirë dhe të kërkojmë rrënjët e polinomit ndër pjesëtuesit e termit të lirë.

Pjesëtuesit e 24:

2. Le të kontrollojmë nëse numri 1 është rrënja e polinomit.

Shuma e koeficientëve të një polinomi, pra, numri 1 është rrënja e polinomit.

3. Ndani polinomin origjinal në një binom duke përdorur skemën e Hornerit.

A) Le të shkruajmë koeficientët e polinomit origjinal në rreshtin e parë të tabelës.

Në kolonën e fundit, siç pritej, ne e ndamë polinomin origjinal me një binom pa mbetje. Koeficientët e polinomit që rezultojnë nga ndarja janë paraqitur me blu në rreshtin e dytë të tabelës:

Është e lehtë të kontrollosh që numrat 1 dhe -1 nuk janë rrënjë të polinomit

B) Le të vazhdojmë tabelën. Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit:

Pra, shkalla e polinomit, e cila fitohet si rezultat i pjesëtimit me një, është më e vogël se shkalla e polinomit origjinal, prandaj, numri i koeficientëve dhe numri i kolonave janë një më pak.

Në kolonën e fundit kemi marrë -40 - një numër që nuk është i barabartë me zero, prandaj, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom me një mbetje, dhe numri 2 nuk është rrënja e polinomit.

C) Të kontrollojmë nëse numri -2 është rrënja e polinomit. Meqenëse përpjekja e mëparshme dështoi, për të shmangur konfuzionin me koeficientët, unë do të fshij vijën që korrespondon me këtë përpjekje:

E shkëlqyeshme! Ne morëm zero si mbetje, prandaj, polinomi u nda në një binom pa mbetje, prandaj, numri -2 është rrënja e polinomit. Koeficientët e polinomit që përftohen duke pjesëtuar një polinom me një binom janë paraqitur me ngjyrë të gjelbër në tabelë.

Si rezultat i ndarjes marrim një trinom kuadratik , rrënjët e të cilit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta:

Pra, rrënjët e ekuacionit origjinal janë:

{}

Përgjigje: ( }

Cfare ndodhi faktorizimi? Kjo është një mënyrë për ta kthyer një shembull të papërshtatshëm dhe kompleks në një shembull të thjeshtë dhe të lezetshëm.) Një teknikë shumë e fuqishme! Ai gjendet në çdo hap në matematikën fillore dhe atë të lartë.

Shndërrime të tilla në gjuhën matematikore quhen shndërrime identike të shprehjeve. Për ata që nuk janë në dijeni, hidhini një sy lidhjes. Ka shumë pak, e thjeshtë dhe e dobishme.) Kuptimi i çdo transformimi identitar është regjistrimi i shprehjes në një formë tjetër duke ruajtur thelbin e saj.

Kuptimi faktorizimi jashtëzakonisht e thjeshtë dhe e qartë. Që nga vetë emri. Ju mund të harroni (ose nuk e dini) se çfarë është një shumëzues, por mund të kuptoni se kjo fjalë vjen nga fjala "shumohet"?) Faktoring do të thotë: përfaqësojnë një shprehje në formën e shumëzimit të diçkaje me diçka. Më faltë matematika dhe gjuha ruse...) Kaq.

Për shembull, duhet të zgjeroni numrin 12. Mund të shkruani me siguri:

Pra, ne e paraqitëm numrin 12 si shumëzim të 3 me 4. Ju lutemi vini re se numrat në të djathtë (3 dhe 4) janë krejtësisht të ndryshëm se në të majtë (1 dhe 2). Por ne e kuptojmë shumë mirë se 12 dhe 3 4 njëjtë. Thelbi i numrit 12 nga transformimi nuk ka ndryshuar.

A është e mundur të zbërthehen 12 ndryshe? Lehtë!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Opsionet e dekompozimit janë të pafundme.

Faktorizimi i numrave është një gjë e dobishme. Ndihmon shumë, për shembull, kur punoni me rrënjë. Por faktorizimi i shprehjeve algjebrike nuk është vetëm i dobishëm, por edhe e nevojshme! Vetëm për shembull:

Thjeshtoni:

Ata që nuk dinë të faktorizojnë një shprehje qëndrojnë mënjanë. Ata që dinë - thjeshtojnë dhe marrin:

Efekti është i mahnitshëm, apo jo?) Nga rruga, zgjidhja është mjaft e thjeshtë. Më poshtë do ta shihni vetë. Ose, për shembull, kjo detyrë:

Zgjidhe ekuacionin:

x 5 - x 4 = 0

Meqë ra fjala, vendoset në mendje. Duke përdorur faktorizimin. Këtë shembull do ta zgjidhim më poshtë. Përgjigje: x 1 = 0; x 2 = 1.

Ose, e njëjta gjë, por për të moshuarit):

Zgjidhe ekuacionin:

Në këta shembuj që tregova qellimi kryesor faktorizimi: thjeshtimi i shprehjeve thyesore dhe zgjidhja e disa llojeve të ekuacioneve. Këtu është një rregull i madh për t'u mbajtur mend:

Nëse kemi një shprehje të frikshme thyesore përpara nesh, mund të provojmë të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin. Shumë shpesh fraksioni zvogëlohet dhe thjeshtohet.

Nëse kemi një ekuacion para nesh, ku në të djathtë ka zero, dhe në të majtë - nuk e kuptoj se çfarë, mund të përpiqemi të faktorizojmë anën e majtë. Ndonjëherë ndihmon).

Metodat bazë të faktorizimit.

Këtu janë ato, metodat më të njohura:

4. Zgjerimi i një trinomi kuadratik.

Këto metoda duhet të mbahen mend. Pikërisht në atë rend. Kontrollohen shembuj kompleks për të gjitha metodat e mundshme të zbërthimit. Dhe është më mirë të kontrolloni në mënyrë që të mos ngatërrohemi ... Pra, le të fillojmë me radhë.)

1. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave.

Një mënyrë e thjeshtë dhe e besueshme. Asgjë e keqe nuk vjen prej tij! Ndodh mirë ose aspak.) Prandaj ai vjen i pari. Le ta kuptojmë.

Të gjithë e dinë (besoj!) rregullin:

a(b+c) = ab+ac

Ose, më në përgjithësi:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Të gjitha barazitë funksionojnë si nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas, nga e djathta në të majtë. Ti mund te shkruash:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Kjo është e gjithë pika e nxjerrjes së faktorit të përbashkët jashtë kllapave.

Në anën e majtë A - shumëzues i përbashkët për të gjitha kushtet. Shumëzuar me gjithçka që ekziston). Në të djathtë është më A ndodhet tashmë jashtë kllapave.

Ne do të shqyrtojmë zbatimin praktik të metodës duke përdorur shembuj. Në fillim opsioni është i thjeshtë, madje edhe primitiv.) Por në këtë opsion do të shënoj (me të gjelbër) pika shumë të rëndësishme për çdo faktorizim.

Faktorizoni:

ah+9x

E cila të përgjithshme a shfaqet shumëzuesi në të dy termat? X, sigurisht! Do ta nxjerrim nga kllapat. Le ta bejme kete. Ne shkruajmë menjëherë X jashtë kllapave:

sëpatë+9x=x(

Dhe në kllapa shkruajmë rezultatin e pjesëtimit çdo mandat pikërisht në këtë X. Në mënyrë:

Kjo eshte e gjitha. Natyrisht, nuk ka nevojë ta përshkruajmë me kaq hollësi, kjo bëhet në mendje. Por këshillohet të kuptoni se çfarë është). Ne regjistrojmë në kujtesë:

Faktorin e përbashkët e shkruajmë jashtë kllapave. Në kllapa shkruajmë rezultatet e pjesëtimit të të gjithë termave me këtë faktor të përbashkët. Në rregull.

Pra e kemi zgjeruar shprehjen ah+9x nga shumëzuesit. E ktheu në shumëzim x me (a+9). Vërej se në shprehjen origjinale kishte edhe një shumëzim, madje dy: a·x dhe 9·x. Por ajo nuk u faktorizua! Sepse përveç shumëzimit, kjo shprehje përmbante edhe mbledhje, shenjën “+”! Dhe në shprehje x(a+9) Nuk ka gjë tjetër veç shumëzimit!

Si keshtu!? - Dëgjoj zërin e indinjuar të njerëzve - Dhe në kllapa!?)

Po, ka shtesë brenda kllapave. Por mashtrimi është se ndërsa kllapat nuk hapen, ne i konsiderojmë ato si një shkronjë. Dhe ne i bëjmë të gjitha veprimet tërësisht me kllapa, si me një shkronjë. Në këtë kuptim, në shprehje x(a+9) Nuk ka asgjë përveç shumëzimit. Kjo është e gjithë pika e faktorizimit.

Nga rruga, a është e mundur të kontrollojmë disi nëse kemi bërë gjithçka siç duhet? Lehtë! Mjafton të shumëzoni atë që keni nxjerrë (x) me kllapa dhe të shihni nëse funksionoi origjinale shprehje? Nëse funksionon, gjithçka është e shkëlqyeshme!)

x(a+9)=ax+9x

Ndodhi.)

Nuk ka probleme në këtë shembull primitiv. Por nëse ka disa terma, madje edhe me shenja të ndryshme... Shkurt, çdo i treti student ngatërron). Prandaj:

Nëse është e nevojshme, kontrolloni faktorizimin me shumëzim të anasjelltë.

Faktorizoni:

3ax+9x

Ne po kërkojmë një faktor të përbashkët. Epo, gjithçka është e qartë me X, mund të hiqet. A ka më shumë të përgjithshme faktor? Po! Kjo është një tre. Ju mund ta shkruani shprehjen si kjo:

3ax+3 3x

Këtu është menjëherë e qartë se faktori i përbashkët do të jetë 3x. Këtu e nxjerrim:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Përhapeni.

Çfarë ndodh nëse e hiqni atë vetem x? Asgje speciale:

3ax+9x=x(3a+9)

Ky do të jetë edhe një faktorizim. Por në këtë proces magjepsës, është zakon të shtroni gjithçka në kufi, ndërsa ka një mundësi. Këtu në kllapa ka një mundësi për të nxjerrë një tre. Do të rezultojë:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

E njëjta gjë, vetëm me një veprim shtesë.) Mbani mend:

Kur nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat, përpiqemi ta heqim maksimale faktor i përbashkët.

A do të vazhdojmë argëtimin?)

Faktoroni shprehjen:

3akh+9х-8а-24

Çfarë do të heqim? Tre, X? Jo... Nuk mundesh. Ju kujtoj se mund të hiqni vetëm të përgjithshme shumëzues që është ne te gjithe termat e shprehjes. Prandaj ai të përgjithshme. Këtu nuk ka një shumëzues të tillë... Çfarë, nuk duhet ta zgjeroni!? Epo, po, ishim shumë të lumtur... Njihuni:

2. Grupimi.

Në fakt, grupimi vështirë se mund të quhet një metodë e pavarur e faktorizimit. Kjo është, përkundrazi, një mënyrë për të dalë nga një shembull kompleks.) Duhet të gruponi termat në mënyrë që gjithçka të funksionojë. Kjo mund të tregohet vetëm me shembull. Pra, kemi shprehjen:

3akh+9х-8а-24

Mund të shihet se ka disa shkronja dhe numra të zakonshëm. Por... Gjeneral nuk ka shumëzues që të jetë në të gjitha termat. Të mos humbasim zemrën dhe thyejnë shprehjen në copa. Grupimi. Kështu që çdo pjesë të ketë një faktor të përbashkët, ka diçka për të hequr. Si ta thyejmë atë? Po, kemi vënë vetëm kllapa.

Më lejoni t'ju kujtoj se kllapat mund të vendosen kudo dhe si të dëshironi. Vetëm thelbi i shembullit nuk ka ndryshuar. Për shembull, mund ta bëni këtë:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Ju lutemi kushtojini vëmendje kllapave të dyta! Ata paraprihen nga një shenjë minus, dhe 8a Dhe 24 u kthye pozitiv! Nëse, për të kontrolluar, hapim kllapat prapa, shenjat do të ndryshojnë dhe ne marrim origjinale shprehje. Ato. thelbi i shprehjes nga kllapat nuk ka ndryshuar.

Por nëse thjesht keni futur kllapa pa marrë parasysh ndryshimin e shenjës, për shembull, si kjo:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) - (8a-24 )

do të ishte një gabim. Në të djathtë - tashmë tjera shprehje. Hapni kllapat dhe gjithçka do të bëhet e dukshme. Nuk duhet të vendosni më tej, po...)

Por le të kthehemi te faktorizimi. Le të shohim kllapat e para (3ax+9x) dhe ne mendojmë, a ka ndonjë gjë që mund të nxjerrim? Epo, ne e zgjidhëm këtë shembull më lart, mund ta marrim 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Le të studiojmë kllapat e dyta, mund të shtojmë një tetë atje:

(8a+24)=8(a+3)

E gjithë shprehja jonë do të jetë:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktoruar? Nr. Rezultati i dekompozimit duhet të jetë vetëm shumëzim por tek ne shenja minus prish gjithçka. Por... Të dy termat kanë një faktor të përbashkët! Kjo (a+3). Jo më kot thashë se të gjitha kllapat janë, si të thuash, një shkronjë. Kjo do të thotë që këto kllapa mund të hiqen nga kllapat. Po, kjo është pikërisht ajo që tingëllon.)

Ne bëjmë siç përshkruhet më sipër. Ne shkruajmë faktorin e përbashkët (a+3), në kllapat e dyta shkruajmë rezultatet e pjesëtimit të termave me (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Të gjitha! Nuk ka asgjë në të djathtë përveç shumëzimit! Kjo do të thotë se faktorizimi ka përfunduar me sukses!) Këtu është:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Le të përsërisim shkurtimisht thelbin e grupit.

Nëse shprehja nuk ka të përgjithshme shumëzues për të gjithë terma, e ndajmë shprehjen në kllapa në mënyrë që brenda kllapave të jetë faktori i përbashkët ishte. Ne e nxjerrim atë dhe shohim se çfarë ndodh. Nëse jeni me fat dhe në kllapa kanë mbetur shprehje absolutisht identike, ne i zhvendosim këto kllapa nga kllapat.

Unë do të shtoj se grupimi është një proces krijues). Jo gjithmonë funksionon herën e parë. Është në rregull. Ndonjëherë ju duhet të ndërroni termat dhe të konsideroni opsione të ndryshme grupimi derisa të gjeni një të suksesshëm. Gjëja kryesore këtu është të mos humbasësh zemrën!)

Shembuj.

Tani, pasi të keni pasuruar veten me njohuri, mund të zgjidhni shembuj të ndërlikuar.) Në fillim të mësimit ishin tre nga këto ...

Thjeshtoni:

Në thelb, ne e kemi zgjidhur tashmë këtë shembull. Pa e ditur vetë.) Ju kujtoj: nëse na jepet një thyesë e tmerrshme, përpiqemi të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin. Opsione të tjera thjeshtimi thjesht jo.

Epo, këtu nuk zgjerohet emëruesi, por numëruesi... Ne e kemi zgjeruar tashmë numëruesin gjatë orës së mësimit! Si kjo:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Rezultatin e zgjerimit e shkruajmë në numëruesin e thyesës:

Sipas rregullit të zvogëlimit të thyesave (vetia kryesore e një thyese), mund të ndajmë (njëkohësisht!) numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër, ose shprehje. Fraksion nga kjo nuk ndryshon. Pra, ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin me shprehjen (3x-8). Dhe aty-këtu do të marrim një të tillë. Rezultati përfundimtar i thjeshtimit:

Dua të theksoj veçanërisht: zvogëlimi i një thyese është i mundur nëse dhe vetëm nëse është në numërues dhe emërues, përveç shumëzimit të shprehjeve nuk ka asgje. Kjo është arsyeja pse shndërrimi i shumës (diferencës) në shumëzimi kaq e rëndësishme për thjeshtimin. Sigurisht, nëse shprehjet të ndryshme, atëherë asgjë nuk do të reduktohet. Do te ndodhe. Por faktorizimi jep një shans. Ky shans pa dekompozim thjesht nuk ekziston.

Shembull me ekuacionin:

Zgjidhe ekuacionin:

x 5 - x 4 = 0

Ne nxjerrim faktorin e përbashkët x 4 jashtë kllapave. Ne marrim:

x 4 (x-1)=0

Ne kuptojmë se prodhimi i faktorëve është i barabartë me zero atëherë dhe vetëm atëherë, kur ndonjëri prej tyre është zero. Nëse keni dyshime, më gjeni disa numra jozero që, kur shumëzohen, do të japin zero.) Pra, ne shkruajmë, së pari faktorin e parë:

Me një barazi të tillë, faktori i dytë nuk na shqetëson. Çdokush mund të jetë, por në fund do të jetë ende zero. Çfarë numri i jep fuqisë së katërt zero? Vetëm zero! Dhe asnjë tjetër... Prandaj:

Ne kuptuam faktorin e parë dhe gjetëm një rrënjë. Le të shohim faktorin e dytë. Tani nuk na intereson më faktori i parë.):

Këtu kemi gjetur një zgjidhje: x 1 = 0; x 2 = 1. Secila prej këtyre rrënjëve i përshtatet ekuacionit tonë.

Shënim shumë i rëndësishëm. Ju lutemi vini re se e zgjidhëm ekuacionin pjesë-pjesë!Çdo faktor ishte i barabartë me zero, pavarësisht nga faktorët e tjerë. Meqë ra fjala, nëse në një ekuacion të tillë nuk ka dy faktorë, si i yni, por tre, pesë, sa të doni, ne do të zgjidhim i ngjashëm. Pjesë-pjesë. Për shembull:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Kushdo që hap kllapat dhe shumëzon gjithçka do të mbetet përgjithmonë në këtë ekuacion.) Një student i saktë do të shohë menjëherë se nuk ka asgjë në të majtë përveç shumëzimit dhe zero në të djathtë. Dhe ai do të fillojë (në mendjen e tij!) të barazojë të gjitha kllapat me zero. Dhe ai do të marrë (në 10 sekonda!) zgjidhjen e duhur: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

E ftohtë, apo jo?) Një zgjidhje kaq elegante është e mundur nëse ana e majtë e ekuacionit i faktorizuar. E kuptove sugjerimin?)

Epo, një shembull i fundit, për të moshuarit):

Zgjidhe ekuacionin:

Është disi e ngjashme me atë të mëparshmen, a nuk mendoni?) Sigurisht. Është koha të kujtojmë se algjebra e klasës së shtatë, sinuset, logaritmet dhe çdo gjë tjetër mund të fshihen nën shkronja! Faktoringu funksionon në të gjithë matematikën.

Ne nxjerrim faktorin e përbashkët lg 4 x jashtë kllapave. Ne marrim:

log 4 x=0

Kjo është një rrënjë. Le të shohim faktorin e dytë.

Këtu është përgjigja përfundimtare: x 1 = 1; x 2 = 10.

Shpresoj se e keni kuptuar fuqinë e faktorizimit në thjeshtimin e thyesave dhe zgjidhjen e ekuacioneve.)

Në këtë mësim mësuam për faktorizimin dhe grupimin e përbashkët. Mbetet për të kuptuar formulat për shumëzimin e shkurtuar dhe trinomin kuadratik.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Në këtë mësim, ne do të kujtojmë të gjitha metodat e studiuara më parë të faktorizimit të një polinomi dhe do të shqyrtojmë shembuj të aplikimit të tyre, përveç kësaj, do të studiojmë një metodë të re - metodën e izolimit të një katrori të plotë dhe do të mësojmë se si ta përdorim atë në zgjidhjen e problemeve të ndryshme .

Tema:Polinomet e faktorizimit

Mësim:Polinomet e faktorizimit. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë. Kombinimi i metodave

Le të kujtojmë metodat themelore të faktorizimit të një polinomi që u studiuan më herët:

Metoda e nxjerrjes së një faktori të përbashkët jashtë kllapave, domethënë një faktori që është i pranishëm në të gjitha termat e polinomit. Le të shohim një shembull:

Kujtoni se një monom është prodhim i fuqive dhe numrave. Në shembullin tonë, të dy termat kanë disa elementë të përbashkët, identikë.

Pra, le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

;

Ju kujtojmë se duke shumëzuar faktorin e nxjerrë me një kllapa, mund të kontrolloni korrektësinë e faktorit të nxjerrë.

Metoda e grupimit. Nuk është gjithmonë e mundur të nxirret një faktor i përbashkët në një polinom. Në këtë rast, ju duhet t'i ndani anëtarët e tij në grupe në atë mënyrë që në secilin grup të mund të nxirrni një faktor të përbashkët dhe të përpiqeni ta zbërtheni atë në mënyrë që pas nxjerrjes së faktorëve në grupe, të shfaqet një faktor i përbashkët në të gjithë shprehjen, dhe mund të vazhdoni dekompozimin. Le të shohim një shembull:

Le të grupojmë termin e parë me të katërtin, të dytin me të pestin dhe të tretin me të gjashtën:

Le të nxjerrim faktorët e përbashkët në grupe:

Shprehja tani ka një faktor të përbashkët. Le ta heqim:

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Le të shohim një shembull:

;

Le të shkruajmë shprehjen në detaje:

Natyrisht, ne kemi para nesh formulën për diferencën në katror, ​​pasi ajo është shuma e katrorëve të dy shprehjeve dhe prej saj zbritet produkti i dyfishtë i tyre. Le të përdorim formulën:

Sot do të mësojmë një metodë tjetër - metodën e zgjedhjes së një sheshi të plotë. Ai bazohet në formulat e katrorit të shumës dhe katrorit të diferencës. Le t'i kujtojmë:

Formula për katrorin e shumës (diferencës);

E veçanta e këtyre formulave është se ato përmbajnë katrorët e dy shprehjeve dhe produktin e tyre të dyfishtë. Le të shohim një shembull:

Le të shkruajmë shprehjen:

Pra, shprehja e parë është , dhe e dyta është .

Për të krijuar një formulë për katrorin e një shume ose ndryshimi, nuk mjafton dyfishi i produktit të shprehjeve. Duhet të shtohet dhe të zbritet:

Le të plotësojmë katrorin e shumës:

Le të transformojmë shprehjen që rezulton:

Le të zbatojmë formulën për ndryshimin e katrorëve, kujtojmë se ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është prodhimi dhe shuma e ndryshimit të tyre:

Pra, kjo metodë konsiston, para së gjithash, në identifikimin e shprehjeve a dhe b që janë në katror, ​​pra në përcaktimin se cilat shprehje janë në katror në këtë shembull. Pas kësaj, ju duhet të kontrolloni praninë e një produkti të dyfishtë dhe nëse nuk është aty, atëherë shtoni dhe zbritni atë, kjo nuk do të ndryshojë kuptimin e shembullit, por polinomi mund të faktorizohet duke përdorur formulat për katrorin e shuma ose diferenca dhe diferenca e katrorëve, nëse është e mundur.

Le të kalojmë në zgjidhjen e shembujve.

Shembulli 1 - faktorizoni:

Le të gjejmë shprehjet që janë në katror:

Le të shkruajmë se cili duhet të jetë produkti i tyre i dyfishtë:

Le të shtojmë dhe zbresim dyfishin e produktit:

Le të plotësojmë katrorin e shumës dhe të japim të ngjashëm:

Le ta shkruajmë duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

Shembulli 2 - zgjidhni ekuacionin:

;

Në anën e majtë të ekuacionit është një trinom. Ju duhet ta faktorizoni atë në faktorë. Ne përdorim formulën e diferencës në katror:

Kemi katrorin e shprehjes së parë dhe produktin e dyfishtë, katrori i shprehjes së dytë mungon, le ta shtojmë dhe ta zbresim atë:

Le të palosim një katror të plotë dhe të japim terma të ngjashëm:

Le të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve:

Pra kemi ekuacionin

Ne e dimë se një produkt është i barabartë me zero vetëm nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Le të krijojmë ekuacionet e mëposhtme bazuar në këtë:

Le të zgjidhim ekuacionin e parë:

Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:

Përgjigje: ose

;

Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme me shembullin e mëparshëm - zgjidhni katrorin e ndryshimit.

Faktorizimi i një ekuacioni është procesi i gjetjes së atyre termave ose shprehjeve që, kur shumëzohen, çojnë në ekuacionin fillestar. Faktorizimi është një aftësi e dobishme për zgjidhjen e problemeve bazë të algjebrës dhe bëhet pothuajse thelbësore kur punoni me ekuacione kuadratike dhe polinome të tjera. Faktorizimi përdoret për të thjeshtuar ekuacionet algjebrike për t'i bërë ato më të lehta për t'u zgjidhur. Faktorizimi mund t'ju ndihmojë të eliminoni disa përgjigje të mundshme më shpejt se sa duke zgjidhur një ekuacion me dorë.

Hapat

Faktorizimi i numrave dhe shprehjet algjebrike bazë

1. Numrat e faktorizimit. Koncepti i faktorizimit është i thjeshtë, por në praktikë faktorizimi mund të jetë sfidues (nëse jepet një ekuacion kompleks). Pra, së pari, le të shohim konceptin e faktorizimit duke përdorur numrat si shembull, të vazhdojmë me ekuacione të thjeshta dhe më pas të kalojmë te ekuacionet komplekse. Faktorët e një numri të caktuar janë numrat që, kur shumëzohen, japin numrin origjinal. Për shembull, faktorët e numrit 12 janë numrat: 1, 12, 2, 6, 3, 4, pasi 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Po kështu, ju mund të mendoni për faktorët e një numri si pjesëtues të tij, domethënë numrat me të cilët pjesëtohet numri.
   • Gjeni të gjithë faktorët e numrit 60. Ne shpesh përdorim numrin 60 (për shembull, 60 minuta në një orë, 60 sekonda në një minutë, etj.) dhe ky numër ka një numër mjaft të madh faktorësh.
     • 60 shumëzues: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dhe 60.

2. Mbani mend: mund të faktorizohen edhe termat e një shprehjeje që përmban një koeficient (numër) dhe një ndryshore. Për ta bërë këtë, gjeni faktorët e koeficientit për variablin. Duke ditur se si të faktorizoni termat e ekuacioneve, mund ta thjeshtoni lehtësisht këtë ekuacion.

   • Për shembull, termi 12x mund të shkruhet si prodhim i 12 dhe x. Ju gjithashtu mund të shkruani 12x si 3(4x), 2(6x), etj., duke ndarë 12 në faktorët që funksionojnë më mirë për ju.
     • Mund të merreni 12 herë shumë herë radhazi. Me fjalë të tjera, nuk duhet të ndaleni në 3 (4x) ose 2 (6x); vazhdoni zgjerimin: 3(2(2x)) ose 2(3(2x)) (natyrisht 3(4x)=3(2(2x)), etj.)

3. Zbatoni vetinë shpërndarëse të shumëzimit në ekuacionet algjebrike të faktorëve. Duke ditur si të faktorizoni numrat dhe termat e shprehjes (koeficientët me ndryshore), mund të thjeshtoni ekuacionet e thjeshta algjebrike duke gjetur faktorin e përbashkët të një numri dhe termi shprehës. Në mënyrë tipike, për të thjeshtuar një ekuacion, ju duhet të gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCD). Ky thjeshtim është i mundur për shkak të vetive shpërndarëse të shumëzimit: për çdo numër a, b, c, barazia a(b+c) = ab+ac është e vërtetë.

   • Shembull. Faktoroni ekuacionin 12x + 6. Së pari, gjeni gcd-në e 12x dhe 6. 6 është numri më i madh që pjesëton edhe 12x edhe 6, kështu që mund ta faktorizoni këtë ekuacion me: 6(2x+1).
   • Ky proces është gjithashtu i vërtetë për ekuacionet që kanë terma negativë dhe thyesorë. Për shembull, x/2+4 mund të faktorizohet në 1/2(x+8); për shembull, -7x+(-21) mund të faktorizohet në -7(x+3).

   Faktorizimi i ekuacioneve kuadratike

   1. Sigurohuni që ekuacioni të jepet në formë kuadratike (ax 2 + bx + c = 0). Ekuacionet kuadratike kanë formën: ax 2 + bx + c = 0, ku a, b, c janë koeficientë numerikë të ndryshëm nga 0. Nëse ju jepet një ekuacion me një ndryshore (x) dhe në këtë ekuacion ka një ose më shumë terma me një ndryshore të rendit të dytë , mund të zhvendosni të gjitha termat e ekuacionit në njërën anë të ekuacionit dhe ta vendosni atë të barabartë me zero.

      • Për shembull, duke pasur parasysh ekuacionin: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Kjo mund të shndërrohet në ekuacionin x 2 + 6x + 9 = 0, që është një ekuacion kuadratik.
      • Ekuacionet me variabël x të urdhrave të mëdhenj, për shembull, x 3, x 4, etj. nuk janë ekuacione kuadratike. Këto janë ekuacione kubike, ekuacione të rendit të katërt, e kështu me radhë (përveç nëse ekuacione të tilla mund të thjeshtohen në ekuacione kuadratike me variablin x të ngritur në fuqinë 2).

   2. Ekuacionet kuadratike, ku a = 1, zgjerohen në (x+d)(x+e), ku d*e=c dhe d+e=b. Nëse ekuacioni kuadratik që ju është dhënë ka formën: x 2 + bx + c = 0 (d.m.th., koeficienti i x 2 është 1), atëherë një ekuacion i tillë mund (por nuk është i garantuar) të zgjerohet në faktorët e mësipërm. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni dy numra që, kur shumëzohen, japin "c", dhe kur shtohen, "b". Pasi të gjeni këta dy numra (d dhe e), zëvendësojini me shprehjen e mëposhtme: (x+d)(x+e), e cila, kur hapni kllapat, të çon në ekuacionin origjinal.

      • Për shembull, duke pasur parasysh një ekuacion kuadratik x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dhe 3+2=5, kështu që mund ta faktorizoni këtë ekuacion në (x+3)(x+2).
      • Për terma negativë, bëni ndryshimet e vogla të mëposhtme në procesin e faktorizimit:
        • Nëse një ekuacion kuadratik ka formën x 2 -bx+c, atëherë ai zgjerohet në: (x-_)(x-_).
        • Nëse një ekuacion kuadratik ka formën x 2 -bx-c, atëherë ai zgjerohet në: (x+_)(x-_).
      • Shënim: hapësirat mund të zëvendësohen me thyesa ose dhjetore. Për shembull, ekuacioni x 2 + (21/2)x + 5 = 0 zgjerohet në (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizimi me provë dhe gabim. Ekuacionet e thjeshta kuadratike mund të faktorizohen thjesht duke zëvendësuar numrat në zgjidhjet e mundshme derisa të gjeni zgjidhjen e saktë. Nëse ekuacioni ka formën ax 2 +bx+c, ku a>1, zgjidhjet e mundshme shkruhen në formën (dx +/- _)(ex +/- _), ku d dhe e janë koeficientë numerikë jo zero. , të cilat kur shumëzohen japin a. Ose d ose e (ose të dy koeficientët) mund të jenë të barabartë me 1. Nëse të dy koeficientët janë të barabartë me 1, atëherë përdorni metodën e përshkruar më sipër.

      • Për shembull, duke pasur parasysh ekuacionin 3x 2 - 8x + 4. Këtu 3 ka vetëm dy faktorë (3 dhe 1), kështu që zgjidhjet e mundshme shkruhen si (3x +/- _)(x +/- _). Në këtë rast, duke zëvendësuar hapësirat -2, do të gjeni përgjigjen e saktë: -2*3x=-6x dhe -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dhe -2*-2=4, domethënë, një zgjerim i tillë gjatë hapjes së kllapave do të çojë në termat e ekuacionit origjinal.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.