Fillimisht doja të përfshija teknikat e emëruesve të përbashkët në seksionin Shtimi dhe Zbritja e Thyjeve. Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.
Pra, le të themi se kemi dy thyesa me emërues të ndryshëm. Dhe ne duam të sigurohemi që emëruesit të bëhen të njëjtë. Vetia themelore e një fraksioni vjen në shpëtim, e cila, më lejoni t'ju kujtoj, tingëllon si kjo:
Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.
Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet reduktim në një emërues të përbashkët. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, quhen faktorë shtesë.
Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:
- Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
- Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
- Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.
Ka shumë mënyra për të gjetur numra që, kur shumëzohen me ta, do t'i bëjnë emëruesit e thyesave të barabartë. Ne do të shqyrtojmë vetëm tre prej tyre - në mënyrë që të rritet kompleksiteti dhe, në një farë kuptimi, efektiviteti.
Shumëzim kryq
Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:
Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:
Po, është kaq e thjeshtë. Nëse sapo keni filluar të studioni fraksionet, është më mirë të punoni duke përdorur këtë metodë - në këtë mënyrë do të siguroheni nga shumë gabime dhe do të jeni të garantuar të merrni rezultatin.
E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.
Metoda e pjesëtuesit të përbashkët
Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:
- Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
- Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
- Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje nga tjetri, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:
Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!
Nga rruga, unë nuk i mora rastësisht thyesat në këtë shembull. Nëse jeni të interesuar, provoni t'i numëroni duke përdorur metodën e kryqëzuar. Pas reduktimit, përgjigjet do të jenë të njëjta, por do të ketë shumë më tepër punë.
Kjo është fuqia e metodës së pjesëtuesve të përbashkët, por, përsëri, mund të përdoret vetëm kur njëri prej emërtuesve është i pjesëtueshëm me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.
Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë
Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, në thelb po përpiqemi të gjejmë një numër që është i pjesëtueshëm me secilin emërues. Pastaj sjellim emëruesit e të dy thyesave në këtë numër.
Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të emëruesve të thyesave origjinale, siç supozohet në metodën "kryq".
Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se produkti 8 · 12 = 96.
Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët (LCM).
Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet me LCM(a ; b) . Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorët 2 dhe 3 janë të përbashkët (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Tani le t'i sjellim thyesat në emërues të përbashkët:
Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:
- Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
- Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, pra, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.
Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni të njëjtët shembuj duke përdorur metodën e kryqëzuar. Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.
Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!
Problemi i vetëm është se si ta gjejmë këtë NOC. Ndonjëherë gjithçka mund të gjendet në disa sekonda, fjalë për fjalë "me sy", por në përgjithësi kjo është një detyrë komplekse llogaritëse që kërkon shqyrtim të veçantë. Ne nuk do ta prekim atë këtu.
Kjo metodë ka kuptim nëse shkalla e polinomit nuk është më e ulët se dy. Në këtë rast, faktori i përbashkët mund të jetë jo vetëm një binom i shkallës së parë, por edhe i shkallëve më të larta.
Për të gjetur një të përbashkët faktor termat e polinomit, është e nevojshme të kryhen një sërë transformimesh. Binomi ose monomi më i thjeshtë që mund të hiqet nga kllapat do të jetë një nga rrënjët e polinomit. Natyrisht, në rastin kur një polinom nuk ka një term të lirë, do të ketë një të panjohur në shkallën e parë - polinomi, i barabartë me 0.
Më e vështirë për të gjetur një faktor të përbashkët është rasti kur termi i lirë nuk është i barabartë me zero. Pastaj zbatohen metodat e përzgjedhjes ose grupimit të thjeshtë. Për shembull, le të jenë racionale të gjitha rrënjët e polinomit, dhe të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Shkruani të gjithë pjesëtuesit e plotë të termit të lirë. Nëse një polinom ka rrënjë racionale, atëherë ato janë ndër to. Si rezultat i përzgjedhjes, përftohen rrënjët 2 dhe -3. Kjo do të thotë se faktorët e përbashkët të këtij polinomi do të jenë binomet (y - 2) dhe (y + 3).
Metoda e zakonshme e faktorizimit është një nga komponentët e faktorizimit. Metoda e përshkruar më sipër është e zbatueshme nëse koeficienti i shkallës më të lartë është 1. Nëse nuk është kështu, atëherë fillimisht duhet të kryhen një sërë transformimesh. Për shembull: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Bëni një zëvendësim të formës t = 2³·y³. Për ta bërë këtë, shumëzojini të gjithë koeficientët e polinomit me 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pas zëvendësimit: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Tani, në gjeni faktorin e përbashkët, ne aplikojmë metodën e mësipërme.
Për më tepër, një metodë efektive për gjetjen e një faktori të përbashkët janë elementët e një polinomi. Është veçanërisht e dobishme kur metoda e parë nuk e bën këtë, d.m.th. Polinomi nuk ka rrënjë racionale. Megjithatë, grupimet nuk janë gjithmonë të dukshme. Për shembull: Polinomi y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nuk ka rrënjë të plota.
Përdorni grupimin: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1 Faktori i përbashkët i elementeve të këtij polinomi është (y² - 2).
Shumëzimi dhe pjesëtimi, ashtu si mbledhja dhe zbritja, janë veprime themelore aritmetike. Pa mësuar të zgjidhë shembuj të shumëzimit dhe pjesëtimit, një person do të hasë shumë vështirësi jo vetëm kur studion degë më komplekse të matematikës, por edhe në punët më të zakonshme të përditshme. Shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura ngushtë, dhe komponentët e panjohur të shembujve dhe problemeve që përfshijnë njërin prej këtyre operacioneve llogariten duke përdorur operacionin tjetër. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të kuptohet qartë se kur zgjidhni shembuj, nuk ka absolutisht asnjë ndryshim se cilat objekte ndani ose shumëzoni.
Do t'ju duhet
- - tabela e shumëzimit;
- - makinë llogaritëse ose fletë letre dhe laps.
Udhëzimet
Shkruani shembullin që ju nevojitet. Etiketoni të panjohurën faktor si një X. Një shembull mund të duket kështu: a*x=b. Në vend të faktorit a dhe prodhimit b në shembull, mund të ketë ndonjë ose numra. Mos harroni parimin bazë të shumëzimit: ndryshimi i vendeve të faktorëve nuk e ndryshon produktin. Kaq e panjohur faktor x mund të vendoset absolutisht kudo.
Për të gjetur të panjohurën faktor në një shembull ku ka vetëm dy faktorë, ju vetëm duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo do të thotë, kjo bëhet si më poshtë: x=b/a. Nëse e keni të vështirë të operoni me sasi abstrakte, përpiquni ta imagjinoni këtë problem në formën e objekteve konkrete. Ju, keni vetëm mollë dhe sa prej tyre do të hani, por nuk e dini sa mollë do të marrin të gjithë. Për shembull, ju keni 5 anëtarë të familjes dhe ka 15 mollë. Përcaktoni numrin e mollëve të destinuara për secilën si x. Atëherë ekuacioni do të duket kështu: 5(mollë)*x=15(mollë). E panjohur faktor gjendet njëlloj si në ekuacionin me shkronjat, pra ndani 15 mollë në pesë anëtarë të familjes, në fund rezulton se secili prej tyre ka ngrënë nga 3 mollë.
Në të njëjtën mënyrë gjendet e panjohura faktor me numrin e faktorëve. Për shembull, shembulli duket si a*b*c*x*=d. Në teori, gjeni me faktorështë e mundur në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëvonshëm: x=d/a*b*c. Por ju mund ta sillni ekuacionin në një formë më të thjeshtë duke treguar produktin e faktorëve të njohur me një shkronjë tjetër - për shembull, m. Gjeni sa barazohet m duke shumëzuar numrat a, b dhe c: m=a*b*c. Atëherë i gjithë shembulli mund të paraqitet si m*x=d, dhe sasia e panjohur do të jetë e barabartë me x=d/m.
Nëse dihet faktor dhe prodhimi janë thyesa, shembulli zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si me . Por në këtë rast duhet të mbani mend veprimet. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen. Gjatë pjesëtimit të thyesave, numëruesi i dividentit shumëzohet me emëruesin e pjesëtuesit, dhe emëruesi i dividentit shumëzohet me numëruesin e pjesëtuesit. Kjo do të thotë, në këtë rast shembulli do të duket kështu: a/b*x=c/d. Për të gjetur një sasi të panjohur, duhet ta ndani produktin me të njohurin faktor. Kjo është, x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video mbi temën
shënim
Kur zgjidhen shembuj me thyesa, thyesa e një faktori të njohur thjesht mund të kthehet mbrapsht dhe veprimi të kryhet si shumëzim i thyesave.
Një polinom është shuma e monomëve. Një monom është produkt i disa faktorëve, të cilët janë një numër ose një shkronjë. Diplomë i panjohur është numri i herëve që shumëzohet me vetveten.
Udhëzimet
Ju lutemi jepni nëse nuk është bërë tashmë. Monome të ngjashëm janë monome të të njëjtit lloj, pra monomë me të panjohura të njëjta të së njëjtës shkallë.
Merrni, për shembull, polinomin 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ky polinom ka dy të panjohura - x dhe y.
Lidhni monomë të ngjashëm. Monomet me fuqinë e dytë të y dhe fuqinë e tretë të x do të vijnë në formën y²*x³, dhe monomët me fuqinë e katërt të y do të anulohen. Rezulton y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Merrni y si shkronjën kryesore të panjohur. Gjeni shkallën maksimale për y të panjohur. Ky është një monom y²*x³ dhe, në përputhje me rrethanat, shkalla 2.
Nxirrni një përfundim. Diplomë polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² në x është e barabartë me tre, dhe në y është e barabartë me dy.
Gjeni shkallën polinom√x+5*y nga y. Është e barabartë me shkallën maksimale të y, domethënë një.
Gjeni shkallën polinom√x+5*y në x. E panjohura x ndodhet, që do të thotë se shkalla e saj do të jetë një fraksion. Meqenëse rrënja është rrënjë katrore, fuqia e x është 1/2.
Nxirrni një përfundim. Për polinom√x+5*y fuqia x është 1/2 dhe fuqia y është 1.
Video mbi temën
Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit më të lartë, diferencimin dhe integrimin. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor mbrapa kllapa.
Shumica e veprimeve me thyesa algjebrike, si mbledhja dhe zbritja, kërkojnë fillimisht reduktimin e këtyre thyesave në të njëjtët emërues. Emërues të tillë shpesh quhen edhe "emërues të përbashkët". Në këtë temë, ne do të shikojmë përkufizimin e koncepteve "emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike" dhe "emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrike (LCD)", shqyrtojmë algoritmin për gjetjen e emëruesit të përbashkët pikë për pikë dhe zgjidhim disa probleme në temë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike
Nëse flasim për thyesa të zakonshme, atëherë emëruesi i përbashkët është një numër që është i pjesëtueshëm me cilindo nga emëruesit e thyesave origjinale. Për thyesat e zakonshme 1 2 Dhe 5 9 numri 36 mund të jetë një emërues i përbashkët, pasi ndahet me 2 dhe 9 pa mbetje.
Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike përcaktohet në mënyrë të ngjashme, në vend të numrave përdoren vetëm polinomet, pasi ata janë numëruesit dhe emëruesit e thyesës algjebrike.
Përkufizimi 1
Emëruesi i përbashkët i një thyese algjebrikeështë një polinom që pjesëtohet me emëruesin e çdo thyese.
Për shkak të veçorive të thyesave algjebrike, të cilat do të diskutohen më poshtë, ne shpesh do të merremi me emërues të përbashkët të përfaqësuar si prodhim dhe jo si polinom standard.
Shembulli 1
Polinom i shkruar si produkt 3 x 2 (x + 1), korrespondon me një polinom të formës standarde 3 x 3 + 3 x 2. Ky polinom mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike 2 x, - 3 x y x 2 dhe y + 3 x + 1, për faktin se është i pjesëtueshëm me x, në x 2 dhe me radhë x+1. Informacioni mbi pjesëtueshmërinë e polinomeve është i disponueshëm në temën përkatëse të burimit tonë.
Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD)
Për thyesat e dhëna algjebrike, numri i emëruesve të përbashkët mund të jetë i pafund.
Shembulli 2
Le të marrim si shembull thyesat 1 2 x dhe x + 1 x 2 + 3. Emëruesi i përbashkët i tyre është 2 x (x 2 + 3), si dhe − 2 x (x 2 + 3), si dhe x (x 2 + 3), si dhe 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), si dhe − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, dhe kështu me radhë.
Kur zgjidhni probleme, mund ta lehtësoni punën tuaj duke përdorur një emërues të përbashkët, i cili ka formën më të thjeshtë midis të gjithë grupit të emëruesve. Ky emërues shpesh përmendet si emëruesi më i ulët i përbashkët.
Përkufizimi 2
Emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrikeështë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike, i cili ka formën më të thjeshtë.
Nga rruga, termi "emëruesi më i ulët i përbashkët" nuk pranohet përgjithësisht, kështu që është më mirë të kufizohemi në termin "emëruesi i përbashkët". Dhe kjo është arsyeja pse.
Më herët ne e përqendroëm vëmendjen tuaj në frazën "emëruesi i llojit më të thjeshtë". Kuptimi kryesor i kësaj fraze është si vijon: emëruesi i formës më të thjeshtë duhet të ndahet pa mbetje me ndonjë emërues tjetër të përbashkët të të dhënave në kushtin e problemit të thyesave algjebrike. Në këtë rast, në produktin, i cili është emëruesi i përbashkët i thyesave, mund të përdoren koeficientë të ndryshëm numerikë.
Shembulli 3
Le të marrim thyesat 1 2 · x dhe x + 1 x 2 + 3 . Ne kemi zbuluar tashmë se do të jetë më e lehtë për ne të punojmë me një emërues të përbashkët të formës 2 · x · (x 2 + 3). Gjithashtu, emëruesi i përbashkët për këto dy thyesa mund të jetë x (x 2 + 3), i cili nuk përmban një koeficient numerik. Pyetja është se cili nga këta dy emërues të përbashkët konsiderohet si emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave. Nuk ka asnjë përgjigje të caktuar, prandaj është më e saktë të flasim thjesht për emëruesin e përbashkët dhe të punojmë me opsionin me të cilin do të jetë më i përshtatshëm për të punuar. Pra, ne mund të përdorim emërues të tillë të përbashkët si x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ose − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, të cilat kanë një pamje më komplekse, por mund të jetë më e vështirë për të kryer veprime me to.
Gjetja e emëruesit të përbashkët të thyesave algjebrike: algoritmi i veprimeve
Supozoni se kemi disa thyesa algjebrike për të cilat duhet të gjejmë një emërues të përbashkët. Për të zgjidhur këtë problem mund të përdorim algoritmin e mëposhtëm të veprimeve. Së pari duhet të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Më pas ne hartojmë një vepër në të cilën përfshijmë në mënyrë sekuenciale:
- të gjithë faktorët nga emëruesi i thyesës së parë së bashku me fuqitë;
- të gjithë faktorët e pranishëm në emëruesin e thyesës së dytë, por që nuk janë në prodhimin e shkruar ose shkalla e tyre është e pamjaftueshme;
- të gjithë faktorët që mungojnë nga emëruesi i thyesës së tretë, e kështu me radhë.
Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike.
Si faktorë të prodhimit, ne mund të marrim të gjithë emëruesit e thyesave të dhëna në deklaratën e problemit. Megjithatë, shumëzuesi që do të marrim në fund do të jetë larg NCD në kuptim dhe përdorimi i tij do të jetë irracional.
Shembulli 4
Përcaktoni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 x 2 y, 5 x + 1 dhe y - 3 x 5 y.
Zgjidhje
Në këtë rast, nuk kemi nevojë të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Prandaj, do të fillojmë të zbatojmë algoritmin duke kompozuar veprën.
Nga emëruesi i thyesës së parë marrim shumëzuesin x 2 v, nga emëruesi i thyesës së dytë shumëzuesi x+1. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1).
Emëruesi i thyesës së tretë mund të na japë një shumëzues x 5 v, megjithatë, produkti që përpiluam më parë tashmë ka faktorë x 2 Dhe y. Prandaj, ne shtojmë më shumë x 5 − 2 = x 3. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1) x 3, e cila mund të reduktohet në formë x 5 y (x + 1). Kjo do të jetë NOZ-ja jonë e thyesave algjebrike.
Përgjigje: x 5 · y · (x + 1) .
Tani le të shohim shembuj të problemeve ku emëruesit e thyesave algjebrike përmbajnë faktorë numerikë me numër të plotë. Në raste të tilla, ne ndjekim edhe algoritmin, duke i zbërthyer më parë faktorët numerikë të plotë në faktorë të thjeshtë.
Shembulli 5
Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 12 x dhe 1 90 x 2.
Zgjidhje
Duke i ndarë numrat në emëruesit e thyesave në faktorë të thjeshtë, marrim 1 2 2 · 3 · x dhe 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Tani mund të kalojmë në përpilimin e një emëruesi të përbashkët. Për ta bërë këtë, nga emëruesi i fraksionit të parë marrim produktin 2 2 3 x dhe shtojini faktorët 3, 5 dhe x nga emëruesi i thyesës së dytë. marrim 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ky është emëruesi ynë i përbashkët.
Përgjigje: 180 x 2.
Nëse shikoni me vëmendje rezultatet e dy shembujve të analizuar, do të vini re se emëruesit e përbashkët të thyesave përmbajnë të gjithë faktorët e pranishëm në zgjerimet e emëruesve, dhe nëse një faktor i caktuar është i pranishëm në disa emërues, atëherë merret me eksponentin më të madh në dispozicion. Dhe nëse emëruesit kanë koeficientë të plotë, atëherë emëruesi i përbashkët përmban një faktor numerik të barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre koeficientëve numerik.
Shembulli 6
Emëruesit e të dy thyesave algjebrike 1 12 x dhe 1 90 x 2 kanë një faktor x. Në rastin e dytë, faktori x është në katror. Për të krijuar një emërues të përbashkët, duhet ta marrim këtë faktor në masën më të madhe, d.m.th. x 2. Nuk ka shumëzues të tjerë me variabla. Koeficientët numerikë të plotë të thyesave origjinale 12 Dhe 90 , dhe shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është 180 . Rezulton se emëruesi i përbashkët i dëshiruar ka formën 180 x 2.
Tani mund të shkruajmë një algoritëm tjetër për gjetjen e faktorit të përbashkët të thyesave algjebrike. Për këtë ne:
- faktorizoni emëruesit e të gjitha thyesave;
- ne hartojmë produktin e të gjithë faktorëve të shkronjave (nëse ka një faktor në disa zgjerime, marrim opsionin me eksponentin më të madh);
- produktit që rezulton i shtojmë LCM-në e koeficientëve numerikë të zgjerimeve.
Algoritmet e dhëna janë ekuivalente, kështu që secili prej tyre mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve. Është e rëndësishme t'i kushtoni vëmendje detajeve.
Ka raste kur faktorët e përbashkët në emëruesit e thyesave mund të jenë të padukshëm pas koeficientëve numerikë. Këtu këshillohet që së pari të vendosen koeficientët numerikë në fuqi më të larta të variablave jashtë kllapave në secilin prej faktorëve të pranishëm në emërues.
Shembulli 7
Çfarë emëruesi të përbashkët kanë thyesat 3 5 - x dhe 5 - x · y 2 2 · x - 10?
Zgjidhje
Në rastin e parë, minus një duhet të hiqet nga kllapat. Ne marrim 3 - x - 5 . Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me - 1 për të hequr qafe minusin në emërues: - 3 x - 5.
Në rastin e dytë, i vendosim të dy jashtë kllapave. Kjo na lejon të marrim thyesën 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Është e qartë se emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave algjebrike - 3 x - 5 dhe 5 - x · y 2 2 · x - 5 është 2 (x − 5).
Përgjigje:2 (x − 5).
Të dhënat në kushtin e problemit të fraksionit mund të kenë koeficientë thyesorë. Në këto raste, së pari duhet të shpëtoni nga koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me një numër të caktuar.
Shembulli 8
Thjeshtoni thyesat algjebrike 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 dhe më pas përcaktoni emëruesin e përbashkët të tyre.
Zgjidhje
Le të heqim qafe koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin në rastin e parë me 14, në rastin e dytë me 3. Ne marrim:
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Pas transformimeve, bëhet e qartë se emëruesi i përbashkët është 2 (x 2 + 2).
Përgjigje: 2 (x 2 + 2).
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Për të zgjidhur shembuj me thyesa, duhet të jeni në gjendje të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin
Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD), me fjalë të thjeshta, është numri minimal që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha thyesave në një shembull të dhënë. Me fjalë të tjera, quhet shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM). NOS përdoret vetëm nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm.
Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - shembuj
Le të shohim shembuj të gjetjes së NOC.
Llogaritni: 3/5 + 2/15.
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Shikojmë emëruesit e thyesave, sigurohemi që të jenë të ndryshëm dhe shprehjet të jenë sa më të shkurtuara.
- Gjejmë numrin më të vogël që pjesëtohet edhe me 5 edhe me 15. Ky numër do të jetë 15. Kështu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ne e kuptuam emëruesin. Çfarë do të jetë në numërues? Një shumëzues shtesë do të na ndihmojë ta kuptojmë këtë. Një faktor shtesë është numri i marrë duke pjesëtuar NZ me emëruesin e një fraksioni të caktuar. Për 3/5, faktori shtesë është 3, pasi 15/5 = 3. Për fraksionin e dytë, faktori shtesë është 1, pasi 15/15 = 1.
- Pasi kemi zbuluar faktorin shtesë, ne e shumëzojmë atë me numëruesit e thyesave dhe shtojmë vlerat që rezultojnë. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Përgjigje: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Nëse në shembull nuk shtohen ose zbriten 2, por 3 ose më shumë thyesa, atëherë NCD duhet të kërkohet për aq fraksione sa janë dhënë.
Llogaritni: 1/2 – 5/12 + 3/6
Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):
- Gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët. Numri minimal i pjesëtueshëm me 2, 12 dhe 6 është 12.
- Marrim: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Ne jemi duke kërkuar për shumëzues shtesë. Për 1/2 – 6; për 5/12 – 1; për 3/6 – 2.
- Ne shumëzojmë me numëruesit dhe caktojmë shenjat përkatëse: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Përgjigje: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Për t'i reduktuar thyesat në emëruesin më të vogël të përbashkët, duhet: 1) të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave të dhëna, ai do të jetë emëruesi më i vogël i përbashkët. 2) gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin e ri me emëruesin e secilës thyesë. 3) shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin e saj shtesë.
Shembuj. Zvogëloni thyesat e mëposhtme në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.
Ne gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve: LCM(5; 4) = 20, pasi 20 është numri më i vogël që pjesëtohet me 5 dhe 4. Gjeni për thyesën e parë një faktor shtesë 4 (20 : 5=4). Për thyesën e dytë, faktori shtesë është 5 (20 : 4=5). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 4, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 5. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 20 ).
Emëruesi më i ulët i përbashkët i këtyre thyesave është numri 8, pasi 8 është i pjesëtueshëm me 4 dhe me vetveten. Nuk do të ketë faktor shtesë për thyesën e parë (ose mund të themi se është i barabartë me një), për thyesën e dytë faktori shtesë është 2 (8 : 4=2). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 2. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 8 ).
Këto fraksione nuk janë të pakalueshme.
Le të zvogëlojmë thyesën e parë me 4 dhe të zvogëlojmë thyesën e dytë me 2. ( shih shembuj për reduktimin e thyesave të zakonshme: Harta e faqes → 5.4.2. Shembuj të reduktimit të thyesave të zakonshme). Gjeni LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Shumëzuesi shtesë për thyesën e parë është 5 (80 : 16=5). Faktori shtesë për thyesën e dytë është 4 (80 : 20=4). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 5, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 4. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 80 ).
Ne gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët NCD(5 ; 6 dhe 15)=NOK(5 ; 6 dhe 15)=30. Faktori shtesë për thyesën e parë është 6 (30 : 5=6), faktori shtesë në thyesën e dytë është 5 (30 : 6=5), faktori shtesë në thyesën e tretë është 2 (30 : 15=2). Numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë e shumëzojmë me 6, numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 5, numëruesin dhe emëruesin e thyesës së tretë me 2. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 30 ).
Faqja 1 nga 1 1
