Disa probleme në matematikë kërkojnë aftësinë për të llogaritur vlerën e rrënjës katrore. Probleme të tilla përfshijnë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë. Në këtë artikull do të paraqesim një metodë efektive për llogaritjen e rrënjëve katrore dhe përdorimin e saj kur punoni me formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik.

Çfarë është një rrënjë katrore?

Në matematikë, ky koncept korrespondon me simbolin √. Të dhënat historike thonë se ajo u përdor për herë të parë rreth gjysmës së parë të shekullit të 16-të në Gjermani (vepra e parë gjermane mbi algjebrën nga Christoph Rudolf). Shkencëtarët besojnë se simboli është një shkronjë latine e transformuar r (radix do të thotë "rrënjë" në latinisht).

Rrënja e çdo numri është e barabartë me vlerën katrori i së cilës korrespondon me shprehjen radikale. Në gjuhën e matematikës, ky përkufizim do të duket kështu: √x = y, nëse y 2 = x.

Rrënja e një numri pozitiv (x > 0) është gjithashtu një numër pozitiv (y > 0), por nëse merrni rrënjën e një numri negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Këtu janë dy shembuj të thjeshtë:

√9 = 3, pasi 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pasi i 2 = -1.

Formula përsëritëse e Heronit për gjetjen e vlerave të rrënjëve katrore

Shembujt e mësipërm janë shumë të thjeshtë, dhe llogaritja e rrënjëve në to nuk është e vështirë. Vështirësitë fillojnë të shfaqen edhe kur gjenden vlerat rrënjësore për çdo vlerë që nuk mund të përfaqësohet si katror i një numri natyror, për shembull √10, √11, √12, √13, për të mos përmendur faktin që në praktikë është e nevojshme për të gjetur rrënjët për numrat jo të plotë: për shembull √(12.15), √(8.5) e kështu me radhë.

Në të gjitha rastet e mësipërme, duhet të përdoret një metodë e veçantë për llogaritjen e rrënjës katrore. Aktualisht, njihen disa metoda të tilla: për shembull, zgjerimi i serisë Taylor, ndarja e kolonave dhe disa të tjera. Nga të gjitha metodat e njohura, ndoshta më e thjeshta dhe më efektive është përdorimi i formulës iterative të Heronit, e cila njihet edhe si metoda babilonase e përcaktimit të rrënjëve katrore (ka dëshmi se babilonasit e lashtë e përdornin atë në llogaritjet e tyre praktike).

Le të jetë e nevojshme të përcaktohet vlera e √x. Formula për gjetjen e rrënjës katrore është si më poshtë:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), ku lim n->∞ (a n) => x.

Le ta deshifrojmë këtë shënim matematikor. Për të llogaritur √x, duhet të merrni një numër të caktuar a 0 (mund të jetë arbitrar, por për të marrë shpejt rezultatin, duhet ta zgjidhni atë në mënyrë që (a 0) 2 të jetë sa më afër x-it. Më pas zëvendësojeni në Formula e treguar për llogaritjen e rrënjës katrore dhe për të marrë një numër të ri a 1, i cili tashmë do të jetë më afër vlerës së dëshiruar. merret saktësia e kërkuar.

Një shembull i përdorimit të formulës iterative të Heronit

Algoritmi i përshkruar më sipër për marrjen e rrënjës katrore të një numri të caktuar mund të duket mjaft i ndërlikuar dhe konfuz për shumë njerëz, por në realitet gjithçka rezulton të jetë shumë më e thjeshtë, pasi kjo formulë konvergon shumë shpejt (veçanërisht nëse zgjidhet një numër i suksesshëm a 0) .

Le të japim një shembull të thjeshtë: duhet të llogarisni √11. Le të zgjedhim një 0 = 3, pasi 3 2 = 9, që është më afër 11 se 4 2 = 16. Duke zëvendësuar në formulë, marrim:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nuk ka kuptim të vazhdojmë llogaritjet, pasi zbuluam se një 2 dhe një 3 fillojnë të ndryshojnë vetëm në shifrën e 5-të dhjetore. Kështu, mjaftoi të zbatohej formula vetëm 2 herë për të llogaritur √11 me një saktësi prej 0,0001.

Në ditët e sotme, llogaritësit dhe kompjuterët përdoren gjerësisht për të llogaritur rrënjët, megjithatë, është e dobishme të mbani mend formulën e shënuar në mënyrë që të mund të llogaritni manualisht vlerën e saktë të tyre.

Ekuacionet e rendit të dytë

Të kuptuarit se çfarë është një rrënjë katrore dhe aftësia për ta llogaritur atë përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Këto ekuacione quhen barazime me një të panjohur, forma e përgjithshme e së cilës është paraqitur në figurën më poshtë.

Këtu c, b dhe a përfaqësojnë disa numra, dhe a nuk duhet të jetë e barabartë me zero, dhe vlerat e c dhe b mund të jenë plotësisht arbitrare, duke përfshirë të barabarta me zero.

Çdo vlerë e x që plotëson barazinë e treguar në figurë quhen rrënjët e saj (ky koncept nuk duhet të ngatërrohet me rrënjën katrore √). Meqenëse ekuacioni në shqyrtim është i rendit të dytë (x 2), atëherë nuk mund të ketë më shumë se dy rrënjë për të. Le të shohim më tej në artikull se si t'i gjejmë këto rrënjë.

Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik (formula)

Kjo metodë e zgjidhjes së llojit të barazive në shqyrtim quhet edhe metoda universale, ose metoda diskriminuese. Mund të përdoret për çdo ekuacion kuadratik. Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit kuadratik është si më poshtë:

Tregon se rrënjët varen nga vlera e secilit prej tre koeficientëve të ekuacionit. Për më tepër, llogaritja e x 1 ndryshon nga llogaritja e x 2 vetëm nga shenja përpara rrënjës katrore. Shprehja radikale, e cila është e barabartë me b 2 - 4ac, nuk është gjë tjetër veçse diskriminuese e barazisë në fjalë. Diskriminuesi në formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik luan një rol të rëndësishëm sepse përcakton numrin dhe llojin e zgjidhjeve. Pra, nëse është e barabartë me zero, atëherë do të ketë vetëm një zgjidhje, nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, dhe së fundi, një diskriminues negativ çon në dy rrënjë komplekse x 1 dhe x 2.

Teorema e Vietës ose disa veti të rrënjëve të ekuacioneve të rendit të dytë

Në fund të shekullit të 16-të, një nga themeluesit e algjebrës moderne, një francez, duke studiuar ekuacionet e rendit të dytë, ishte në gjendje të merrte vetitë e rrënjëve të saj. Matematikisht ato mund të shkruhen si kjo:

x 1 + x 2 = -b / a dhe x 1 * x 2 = c / a.

Të dyja barazitë mund të merren lehtësisht nga kushdo për ta bërë këtë, thjesht duhet të kryeni veprimet e duhura matematikore me rrënjët e marra përmes formulës me diskriminues.

Kombinimi i këtyre dy shprehjeve me të drejtë mund të quhet formula e dytë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, e cila bën të mundur hamendjen e zgjidhjeve të tij pa përdorur një diskriminues. Këtu duhet theksuar se megjithëse të dyja shprehjet janë gjithmonë të vlefshme, është e përshtatshme t'i përdorim ato për të zgjidhur një ekuacion vetëm nëse ai mund të faktorizohet.

Detyra e konsolidimit të njohurive të marra

Le të zgjidhim një problem matematikor në të cilin do të demonstrojmë të gjitha teknikat e diskutuara në artikull. Kushtet e problemit janë si më poshtë: ju duhet të gjeni dy numra për të cilët prodhimi është -13 dhe shuma është 4.

Kjo gjendje na kujton menjëherë teoremën e Vietës, duke përdorur formulat për shumën e rrënjëve katrore dhe produktin e tyre;

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Nëse supozojmë se a = 1, atëherë b = -4 dhe c = -13. Këta koeficientë na lejojnë të krijojmë një ekuacion të rendit të dytë:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Le të përdorim formulën me diskriminuesin dhe të marrim rrënjët e mëposhtme:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Kjo do të thotë, problemi u reduktua në gjetjen e numrit √68. Vini re se 68 = 4 * 17, atëherë, duke përdorur vetinë e rrënjës katrore, marrim: √68 = 2√17.

Tani le të përdorim formulën e konsideruar të rrënjës katrore: a 0 = 4, pastaj:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nuk ka nevojë të llogaritet një 3 pasi vlerat e gjetura ndryshojnë vetëm me 0.02. Kështu, √68 = 8.246. Duke e zëvendësuar atë në formulën për x 1,2, marrim:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 dhe x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Siç mund ta shohim, shuma e numrave të gjetur është me të vërtetë e barabartë me 4, por nëse gjejmë produktin e tyre, atëherë do të jetë e barabartë me -12,999, që i plotëson kushtet e problemit me një saktësi prej 0,001.

Me këtë program matematikor mundeni zgjidhni ekuacionin kuadratik.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu shfaq procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur një diskriminues
- duke përdorur teoremën e Vietës (nëse është e mundur).

Për më tepër, përgjigja shfaqet si e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \(81x^2-16x-1=0\) përgjigjja shfaqet në formën e mëposhtme:

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një polinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet një ekuacion kuadratik, shprehja e paraqitur fillimisht thjeshtohet.
Për shembull: 1/2(y-1)(y+1)-(5v-10&1/2)

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet kuadratike jo të plota

Secili prej ekuacioneve
\(-x^2+6x+1.4=0, \katër 8x^2-7x=0, \katër x^2-\frac(4)(9)=0 \)
duket si
\(ax^2+bx+c=0, \)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a = -1, b = 6 dhe c = 1,4, në të dytin a = 8, b = -7 dhe c = 0, në të tretin a = 1, b = 0 dhe c = 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.

Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratik quhet ekuacion i formës ax 2 +bx+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \(a \neq 0 \).

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b është koeficienti i dytë dhe numri c është termi i lirë.

Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 +bx+c=0, ku \(a\neq 0\), fuqia më e madhe e ndryshores x është katror. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e majtë e tij është një polinom i shkallës së dytë.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti x 2 është i barabartë me 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Për shembull, ekuacionet kuadratike të dhëna janë ekuacionet
\(x^2-11x+30=0, \katër x^2-6x=0, \katër x^2-8=0 \)

Nëse në një ekuacion kuadratik ax 2 +bx+c=0 të paktën njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacion i paplotë kuadratik. Kështu, ekuacionet -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parin b=0, në të dytën c=0, në të tretën b=0 dhe c=0.

Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
1) ax 2 +c=0, ku \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ku \(b \neq 0 \);
3) sëpatë 2 =0.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +c=0 për \(c \neq 0 \), zhvendoseni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dyja anët e ekuacionit me a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Shigjeta djathtas x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Meqenëse \(c \neq 0 \), atëherë \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Nëse \(-\frac(c)(a)>0\), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse \(-\frac(c)(a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +bx=0 me \(b \neq 0 \) faktorizoni anën e majtë të tij dhe merrni ekuacionin
\(x(ax+b)=0 \Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \djathtas. \Rightshigjeta \majtas\( \fillimi (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (array) \djathtas.

Kjo do të thotë që një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 +bx=0 për \(b \neq 0 \) ka gjithmonë dy rrënjë.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë të vetme 0.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të shqyrtojmë tani se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike në të cilat koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero.

Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat marrim formulën për rrënjët. Kjo formulë mund të përdoret më pas për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik ax 2 +bx+c=0

Duke i pjesëtuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin ekuivalent të reduktuar kuadratik
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Le ta transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\djathtas)^2- \left(\frac(b)(2a)\djathtas)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Shigjeta djathtas \)

Shprehja radikale quhet diskriminues i një ekuacioni kuadratik sëpatë 2 +bx+c=0 (“diskriminues” në latinisht - diskriminues). Përcaktohet me shkronjën D, d.m.th.
\(D = b^2-4ac\)

Tani, duke përdorur shënimin diskriminues, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ku \(D= b^2-4ac \)

Është e qartë se:
1) Nëse D>0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D=0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, një ekuacion kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D > 0), një rrënjë (për D = 0) ose nuk ka rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, këshillohet të veproni në mënyrën e mëposhtme:
1) llogaritni diskriminuesin dhe krahasoni atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën e rrënjëve nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x+10=0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi është 10. Shohim që shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën. shenjë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion kuadratik i reduktuar që ka rrënjë e ka këtë veti.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Ato. Teorema e Vietës thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +px+q=0 kanë vetinë:
\(\majtas\( \fillimi(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \fund (array) \djathtas. \)

Në shoqërinë moderne, aftësia për të kryer operacione me ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në zhvillimet shkencore dhe teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në projektimin e anijeve detare dhe lumore, avionëve dhe raketave. Duke përdorur llogaritje të tilla, përcaktohen trajektoret e lëvizjes së një shumëllojshmërie të gjerë trupash, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse flasim në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e treguara, pavarësisht se si duken, gjithmonë mund të sillen në formën kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Duke zëvendësuar vlerat e nevojshme, duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohurat e mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në raste më komplekse. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ky trinom kuadratik është i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrenja katrore

Një rast tjetër i një ekuacioni jo të plotë të rendit të dytë është një shprehje e paraqitur në gjuhën e shkronjave në një mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj rrënja katrore nxirret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë është negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës në ato kohë të largëta ishte përcaktuar kryesisht nga nevoja për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në probleme të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e truallit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Megjithëse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Para së gjithash, ne do të bëjmë transformimet e nevojshme, atëherë pamja e kësaj shprehjeje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë shprehjen në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c= -612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu bëhen llogaritjet e nevojshme sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por përcakton numrin e opsioneve të mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë të barazisë, të bëjmë një transformim, domethënë, do të marrim llojin e ekuacionit që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë atë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën përkatëse të zakonshme dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është e përshtatshme të zgjidhen ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas asaj që jetoi në shekullin e 16-të në Francë dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe prodhimi i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisave

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse 0 merr vlera negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse nuk është e lehtë për të marrë një paraqitje vizuale të një funksioni kuadratik, mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtëve u duheshin llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët e Mesopotamisë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata gjithashtu nuk ishin të njohur me hollësitë e tjera që i njeh çdo nxënës i shkollës moderne.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Institucion arsimor buxhetor komunal shkolla e mesme nr.11

Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë i veprës gjendet në skedën "Work Files" në format PDF

Historia e ekuacioneve kuadratike

Babilonia

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të dytë, në kohët e lashta është shkaktuar nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave, me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit. Rregullat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve të përcaktuara në tekstet babilonase janë në thelb të njëjta me ato moderne, por këtyre teksteve u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Greqia e lashte

Në Greqinë e Lashtë, shkencëtarë si Diofanti, Euklidi dhe Heroni gjithashtu punuan në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Diophantus Diophantus i Aleksandrisë është një matematikan i lashtë grek, i cili me sa duket ka jetuar në shekullin e III pas Krishtit. Vepra kryesore e Diofantit është "Aritmetika" në 13 libra. Euklidi. Euklidi është një matematikan i lashtë grek, autori i traktatit të parë teorik mbi matematikën që na ka ardhur, Heron. Heron - matematikan dhe inxhinier grek i pari në Greqi në shekullin e 1 pas Krishtit. jep një mënyrë thjesht algjebrike për të zgjidhur një ekuacion kuadratik

India

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Në ekuacionin (1) koeficientët mund të jenë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni. Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

“Një tufë majmunësh të gjallë

Dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive, pasi hëngrën me kënaqësinë time, u argëtuan

Ata filluan të kërcejnë, duke u varur

Pjesa e tetë e tyre në katror

Sa majmunë kishte?

Po argëtohesha në pastrim

Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera. Bhaskar shkruan ekuacionin që korrespondon me problemin si x2 - 64x = - 768 dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ​​shton 322 në të dy anët, pastaj merr: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Ekuacionet kuadratike në Evropën e shekullit të 17-të

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas Al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII. Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik

Një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a, b, c janë numra, quhet kuadratik.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik

Numrat a, b, c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a është koeficienti i parë (para x²), a ≠ b është koeficienti i dytë (përpara x);

Cili nga këto ekuacione nuk është kuadratik??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Llojet e ekuacioneve kuadratike

I reduktuar është një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është i barabartë me një. Një ekuacion i tillë mund të merret duke pjesëtuar të gjithë shprehjen me koeficientin kryesor a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Një ekuacion kuadratik quhet i plotë nëse të gjithë koeficientët e tij janë jozero.

Një ekuacion kuadratik quhet i paplotë në të cilin të paktën një nga koeficientët, përveç atij kryesor (qoftë koeficienti i dytë ose termi i lirë), është i barabartë me zero.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Metoda I Formula e përgjithshme për llogaritjen e rrënjëve

Për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik sëpatë 2 + b + c = 0 Në përgjithësi, duhet të përdorni algoritmin e mëposhtëm:

Llogaritni vlerën e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik: kjo është shprehja për të D= b 2 - 4c

Nxjerrja e formulës:

Shënim:Është e qartë se formula për një rrënjë të shumëfishit 2 është një rast i veçantë i formulës së përgjithshme, i marrë duke zëvendësuar barazinë D=0 në të, dhe përfundimi për mungesën e rrënjëve reale në D0, dhe (stil ekrani (sqrt ( -1))=i) = i.

Metoda e paraqitur është universale, por është larg nga e vetmja. Zgjidhja e një ekuacioni të vetëm mund të trajtohet në mënyra të ndryshme, me preferenca që zakonisht varen nga zgjidhësi. Për më tepër, shpesh për këtë qëllim disa nga metodat rezultojnë shumë më elegante, të thjeshta dhe më pak punë intensive se ajo standarde.

Metoda II. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik me koeficient çift b Metoda III. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Metoda IV. Përdorimi i raporteve të pjesshme të koeficientëve

Ka raste të veçanta të ekuacioneve kuadratike në të cilat koeficientët janë në marrëdhënie me njëri-tjetrin, duke i bërë ato shumë më të lehta për t'u zgjidhur.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik në të cilin shuma e koeficientit kryesor dhe termit të lirë është e barabartë me koeficientin e dytë

Nëse në një ekuacion kuadratik sëpatë 2 + bx + c = 0 shuma e koeficientit të parë dhe termit të lirë është e barabartë me koeficientin e dytë: a+b=c, atëherë rrënjët e tij janë -1 dhe numri i kundërt me raportin e termit të lirë me koeficientin kryesor ( -c/a).

Prandaj, përpara se të zgjidhni ndonjë ekuacion kuadratik, duhet të kontrolloni mundësinë e zbatimit të kësaj teoreme në të: krahasoni shumën e koeficientit kryesor dhe termit të lirë me koeficientin e dytë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik shuma e të gjithë koeficientëve të të cilit është zero

Nëse në një ekuacion kuadratik shuma e të gjithë koeficientëve të tij është zero, atëherë rrënjët e një ekuacioni të tillë janë 1 dhe raporti i termit të lirë me koeficientin kryesor ( c/a).

Prandaj, përpara se të zgjidhni një ekuacion duke përdorur metoda standarde, duhet të kontrolloni zbatueshmërinë e kësaj teoreme në të: mblidhni të gjithë koeficientët e një ekuacioni të caktuar dhe shikoni nëse kjo shumë nuk është e barabartë me zero.

Metoda V. Faktorizimi i një trinomi kuadratik në faktorë linearë

Nëse trinomi është i formës (stil ekrani ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) mund të paraqitet disi si produkt i faktorëve linearë (stili i shfaqjes (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), atëherë mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit sëpatë 2 + bx + c = 0- ato do të jenë -m/k dhe n/l, në të vërtetë, në fund të fundit (stili i shfaqjes (kx+m)(lx+n)=0Shigjeta e gjatë e djathtë kx+m=0 filxhan lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, dhe pasi kemi zgjidhur ekuacionet lineare të treguara, marrim sa më sipër. Vini re se trinomi kuadratik jo gjithmonë zbërthehet në faktorë linearë me koeficientë realë: kjo është e mundur nëse ekuacioni përkatës ka rrënjë reale.

Le të shqyrtojmë disa raste të veçanta

Duke përdorur formulën e shumës (diferencës) në katror

Nëse trinomi kuadratik ka formën (stil ekrani (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , atëherë duke zbatuar formulën e mësipërme në të, mund ta faktorizojmë në faktorë linearë dhe Prandaj, gjeni rrënjët:

(sëpatë) 2 + 2abx + b 2 = (sëpatë + b) 2

Izolimi i katrorit të plotë të shumës (diferenca)

Formula e mësipërme përdoret gjithashtu duke përdorur një metodë të quajtur "zgjedhja e katrorit të plotë të shumës (diferencës)." Në lidhje me ekuacionin kuadratik të mësipërm me shënimin e paraqitur më parë, kjo do të thotë si më poshtë:

Shënim: Nëse vini re, kjo formulë përkon me atë të propozuar në seksionin "Rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar", e cila, nga ana tjetër, mund të merret nga formula e përgjithshme (1) duke zëvendësuar barazinë a=1. Ky fakt nuk është thjesht një rastësi: duke përdorur metodën e përshkruar, megjithëse me disa arsyetime shtesë, mund të nxirret një formulë e përgjithshme dhe gjithashtu të vërtetohen vetitë e diskriminuesit.

Metoda VI. Përdorimi i teoremës së drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të Vieta-s

Teorema e drejtpërdrejtë e Vieta-s (shih më poshtë në seksionin me të njëjtin emër) dhe teorema e saj e kundërt ju lejojnë të zgjidhni gojarisht ekuacionet kuadratike të mësipërme, pa përdorur llogaritjet mjaft të rënda duke përdorur formulën (1).

Sipas teoremës së kundërt, çdo çift numrash (numër) (stili i shfaqjes x_(1), x_(2)) x 1, x 2, duke qenë një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve më poshtë, janë rrënjët e ekuacionit

Në rastin e përgjithshëm, domethënë, për një ekuacion kuadratik të pareduktuar ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Një teoremë e drejtpërdrejtë do t'ju ndihmojë të gjeni numra që plotësojnë këto ekuacione gojarisht. Me ndihmën e tij, ju mund të përcaktoni shenjat e rrënjëve pa i ditur vetë rrënjët. Për ta bërë këtë, duhet të ndiqni rregullin:

1) nëse termi i lirë është negativ, atëherë rrënjët kanë shenja të ndryshme, dhe më i madhi në vlerë absolute të rrënjëve ka një shenjë të kundërt me shenjën e koeficientit të dytë të ekuacionit;

2) nëse termi i lirë është pozitiv, atëherë të dy rrënjët kanë të njëjtën shenjë, dhe kjo është shenja e kundërt me shenjën e koeficientit të dytë.

Metoda VII. Mënyra e transferimit

E ashtuquajtura metodë "transferimi" ju lejon të zvogëloni zgjidhjen e ekuacioneve të pareduktuara dhe të pakalueshme në formën e ekuacioneve të reduktuara me koeficientë të plotë duke i ndarë ato me koeficientin kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të reduktuara me koeficientë të plotë. Është si më poshtë:

Më pas, ekuacioni zgjidhet gojarisht në mënyrën e përshkruar më sipër, më pas ata kthehen në variablin origjinal dhe gjejnë rrënjët e ekuacioneve (stil ekrani y_(1)=ax_(1)) y 1 =sëpatë 1 Dhe y 2 =sëpatë 2 .(stil ekrani y_(2)=ax_(2))

Kuptimi gjeometrik

Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) e një ekuacioni kuadratik janë abshisat e pikave të prerjes së parabolës me boshtin e abshisave. Nëse parabola e përshkruar nga një funksion kuadratik nuk e pret boshtin x, ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Nëse një parabolë pret boshtin x në një pikë (në kulmin e parabolës), ekuacioni ka një rrënjë reale (ekuacioni thuhet gjithashtu se ka dy rrënjë që përputhen). Nëse parabola kryqëzon boshtin x në dy pika, ekuacioni ka dy rrënjë reale (shih imazhin në të djathtë.)

Nëse koeficienti (stili i shfaqjes a) a pozitive, degët e parabolës janë të drejtuara lart dhe anasjelltas. Nëse koeficienti (stili i shfaqjes b) bpozitive (nëse është pozitive (stili i shfaqjes a) a, nëse është negative, anasjelltas), atëherë kulmi i parabolës shtrihet në gjysmëplanin e majtë dhe anasjelltas.

Zbatimi i ekuacioneve kuadratike në jetë

Ekuacioni kuadratik përdoret gjerësisht. Përdoret në shumë llogaritje, struktura, sporte dhe gjithashtu rreth nesh.

Le të shqyrtojmë dhe japim disa shembuj të zbatimit të ekuacionit kuadratik.

Sporti. Kërcimet lart: gjatë ngritjes së kërcyesit, llogaritjet në lidhje me parabolën përdoren për të arritur ndikimin më të qartë të mundshëm në shiritin e ngritjes dhe fluturimin lart.

Gjithashtu, llogaritje të ngjashme nevojiten në hedhje. Gama e fluturimit të një objekti varet nga ekuacioni kuadratik.

Astronomi. Trajektorja e planetëve mund të gjendet duke përdorur një ekuacion kuadratik.

Fluturim me aeroplan. Nisja e aeroplanit është komponenti kryesor i fluturimit. Këtu marrim llogaritjen për rezistencën e ulët dhe përshpejtimin e ngritjes.

Ekuacionet kuadratike përdoren edhe në disiplina të ndryshme ekonomike, në programe për përpunimin e grafikave audio, video, vektoriale dhe rasterike.

konkluzioni

Si rezultat i punës së bërë, rezultoi se ekuacionet kuadratike tërhoqën shkencëtarët në kohët e lashta, ata i kishin hasur tashmë kur zgjidhnin disa probleme dhe u përpoqën t'i zgjidhnin ato. Duke parë mënyra të ndryshme për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, arrita në përfundimin se jo të gjitha janë të thjeshta. Sipas mendimit tim, mënyra më e mirë për të zgjidhur ekuacionet kuadratike është zgjidhja e tyre duke përdorur formula. Formulat janë të lehta për t'u mbajtur mend, kjo metodë është universale. Hipoteza se ekuacionet përdoren gjerësisht në jetë dhe në matematikë u konfirmua. Pas studimit të temës, mësova shumë fakte interesante për ekuacionet kuadratike, përdorimin e tyre, zbatimin, llojet, zgjidhjet. Dhe do të jem i lumtur të vazhdoj t'i studioj ato. Shpresoj se kjo do të më ndihmojë të dal mirë në provimet e mia.

Lista e literaturës së përdorur

Materialet e faqes:

Wikipedia

Mësim i hapur.rf

Manuali i Matematikës Fillore Vygodsky M. Ya.

“, pra ekuacione të shkallës së parë. Në këtë mësim do të shikojmë ai që quhet ekuacion kuadratik dhe si ta zgjidhim atë.

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

E rëndësishme!

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga shkalla më e lartë në të cilën qëndron e panjohura.

Nëse fuqia maksimale në të cilën e panjohura është "2", atëherë ju keni një ekuacion kuadratik.

Shembuj të ekuacioneve kuadratike

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

E rëndësishme!

Forma e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

• "a", "b" dhe "c" janë dhënë numra.
• “a” është koeficienti i parë ose më i lartë;
• “b” është koeficienti i dytë;

"c" është një anëtar i lirë.

Për të gjetur "a", "b" dhe "c", duhet të krahasoni ekuacionin tuaj me formën e përgjithshme të ekuacionit kuadratik "ax 2 + bx + c = 0".

• −x 2 + x +
• a = -1
• b = 1

  1

  3

• x 2 + 0,25x = 0
• a = 1
• b = 0,25

• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = -8

Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike Ndryshe nga ekuacionet lineare, një metodë e veçantë përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike..

formula për gjetjen e rrënjëve

Mbani mend!

• Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik ju duhet:
• sillni ekuacionin kuadratik në formën e përgjithshme “ax 2 + bx + c = 0”. Kjo do të thotë, vetëm "0" duhet të mbetet në anën e djathtë;

Përdorni formulën për rrënjët:

Le të shohim një shembull se si të përdorim formulën për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Le të zgjidhim një ekuacion kuadratik.

Ekuacioni “x 2 − 3x − 4 = 0” tashmë është reduktuar në formën e përgjithshme “ax 2 + bx + c = 0” dhe nuk kërkon thjeshtime shtesë. Për ta zgjidhur atë, ne vetëm duhet të aplikojmë formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të përcaktojmë koeficientët "a", "b" dhe "c" për këtë ekuacion.

Mund të përdoret për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Në formulën "x 1; 2 = " shprehja radikale shpesh zëvendësohet
“b 2 − 4ac” për shkronjën “D” dhe quhet diskriminues. Koncepti i diskriminuesit diskutohet më në detaje në mësimin “Çfarë është diskriminuesi”.

Le të shohim një shembull tjetër të një ekuacioni kuadratik.

x 2 + 9 + x = 7x

Në këtë formë, është mjaft e vështirë të përcaktohen koeficientët "a", "b" dhe "c". Le të reduktojmë fillimisht ekuacionin në formën e përgjithshme "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Tani mund të përdorni formulën për rrënjët.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Ka raste kur ekuacionet kuadratike nuk kanë rrënjë. Kjo situatë ndodh kur formula përmban një numër negativ nën rrënjë.