Pika kritike (matematika). Punim kërkimor në matematikë

MKOOUST SANATORIUM SHKOLLA - KONTAKT

Forma pikash dhe gjeometrike.

Punë kërkimore në matematikë.

Përfundoi: Anatoli Vasiliev, nxënës i klasës së III-të

Shefi i punës:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

mësuese e shkollës fillore.

Tommot, 2013

1. Përmbledhje e shkurtër. ................................................ ......................2
2. Shënim. ................................................ ......................................3
3. Artikull kërkimor. ................................................ ..........................6
4. konkluzioni................................................ ................................................7

Bibliografi.

Përmbledhje e shkurtër.

Puna shqyrton pikat dhe figurat gjeometrike: drejtëza, rreze, segmenti, këndi, trekëndëshi, katërkëndëshi, rrethi dhe rrethi, si dhe roli i pikës në përbërjen dhe ndërtimin e këtyre figurave.

Shënim.

Qëllimi i studimit:zbuloni se çfarë nënkuptohet me konceptet e pikës dhe nga cilat figura gjeometrike përbëhen: drejtëz, rreze, kënd, katërkëndësh, trekëndësh, rreth.

Objekti i studimit:pika dhe përkufizimet e figurave gjeometrike: drejtëz, rreze, kënd, katërkëndësh, trekëndësh, rreth.

Lënda e studimit:pika dhe figurat gjeometrike: drejtëz, rreze, kënd, katërkëndësh, trekëndësh, rreth.

Hipoteza e hulumtimit:një pikë është e vetmja figurë gjeometrike, dhe të gjitha të tjerat përbëhen nga shumë pika.

Objektivat e kërkimit:

1. materiale studimore me temë: “Figura me pikë dhe gjeometrike: drejtëz, rreze, kënd, katërkëndësh, trekëndësh, rreth.”;
2. të gjejë përkufizimet e pikës, drejtëzës, katërkëndëshit, trekëndëshit, këndit, rrezes, rrethit;
3. paraqitni analizat dhe reflektimet tuaja për këtë temë;
4. ofrojnë një prezantim të bazuar në këtë punë kërkimore.

Metodat e hulumtimit:studimi i letërsisë, puna me fjalorë, analiza kërkimore, përfundimi.

Artikull kërkimor.

Matematika lindi në kohët e lashta nga nevojat praktike të njerëzve. Askush nuk do të debatojë për lashtësinë e matematikës, por ka një mendim tjetër për atë që i shtyu njerëzit ta studionin atë. Sipas tij, matematika, ashtu si poezia, piktura, muzika, teatri dhe arti në përgjithësi, është sjellë në jetë nga nevojat shpirtërore të njeriut, nga dëshira e tij, ndoshta ende e pa realizuar plotësisht, për dije dhe bukuri.

A keni menduar ndonjëherë se çfarë është një pikë dhe nga cilat forma gjeometrike përbëhen?

Në pamje të parë, gjithçka është e qartë këtu: një pikë është një pikë, një vijë e drejtë është një vijë e drejtë, çfarë mund të jetë e pakuptueshme këtu? Epo, prapëseprapë, si mund t'ia shpjegojmë këtë dikujt që nuk e di fare këtë dhe, për më tepër, i kupton gjithçka fjalë për fjalë? A është vërtet kaq e thjeshtë? Rezulton aspak!

Gjatë mësimeve të punës, kur studionim teknikën e izofijes, pata supozimin se të gjitha figurat gjeometrike përbëhen nga pika. Pikërisht kësaj teme vendosa t'i kushtoj punën time kërkimore.

"Unë e di që nuk di asgjë," tha Sokrati dhe përmes dialogut me bashkëbiseduesin e tij u përpoq të zbulonte se çfarë dinte saktësisht. Kjo është arsyeja pse vendosa që së pari të zbuloj atë që di për format gjeometrike.

Pra, le të shohim përkufizimet e formave gjeometrike të përcaktuara nga tema e punës sime kërkimore.

1. Pika - kjo është një shenjë, një shenjë nga një prekje, një injeksion me diçka të mprehtë; njollë e vogël e rrumbullakët, njollë; diçka shumë e vogël, mezi e dukshme. Një pikë është një figurë gjeometrike bazë

1. Linjë- ky është një grup pikash. Nëse baza për ndërtimin e gjeometrisë është koncepti i distancës midis pikave në hapësirë, atëherë një vijë e drejtë mund të përkufizohet si një vijë përgjatë së cilës distanca midis dy pikave është më e shkurtra. Direkt - ekziston një vijë që ndodhet në mënyrë të barabartë në raport me të gjitha pikat e saj. Termi "vijë" vjen nga latinishtja linum - "liri, fije liri".

_________________________________________________

1. Ray është një pjesë e një drejtëze që përbëhet nga të gjitha pikat e kësaj drejtëze që shtrihen në njërën anë të një pike të caktuar.

1. Segmenti i linjës është një pjesë e një drejtëze që përbëhet nga të gjitha pikat e kësaj drejtëze që shtrihen midis dy pikave të dhëna.

1. këndi- Kjo është një figurë që përbëhet nga pika kulmore e këndit dhe dy gjysmëdrejtëza të ndryshme që zbresin nga kjo pikë, anët e këndit.

1. Katërkëndëshështë një figurë që përbëhet nga katër pika dhe katër segmente të njëpasnjëshme që i lidhin ato.

1. Trekëndëshi - një figurë e përbërë nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, të lidhura me segmente.

1. rretho -

Rretho është një figurë që përbëhet nga të gjitha pikat e rrafshit të barabarta nga një pikë e caktuar. Një vijë e mbyllur rreth një rrethi.

PËRFUNDIM.

Konceptet e një pike dhe një vijë të drejtë gjenden kudo në jetën tonë. Për shembull, nëse shikoni gjuhën ruse, një pikë është një shenjë pikësimi (.) që ndan një fjali të plotë. Gjithashtu në gjuhën ruse ka shenja të tilla pikësimi si pikëpresje, dy pika, elipsë.

Në fizikë, një pikë është një vlerë specifike e një sasie.

Në gjeografi, një pikë konsiderohet si një vendndodhje specifike në hapësirë.

Në biologji, kjo është pika e rritjes së bimëve.

Në kimi - pika e ngrirjes, pika e vlimit, pika e shkrirjes.

Në muzikë, një pikë është një shenjë që është një nga elementët kryesorë të shënimit muzikor.

Në matematikë, një pikë është një figurë gjeometrike bazë; kryqëzimi i dy drejtëzave, kufiri i një segmenti të vijës, fillimi i një rrezeje etj.

Për të ndërtuar ndonjë figurë, na duhet një pikë. Bazuar në përkufizimin e një vije të drejtë,NJË RINJË ËSHTË SHUMË PIKA, dhe nga përkufizimet, ne e dimë se çdo figurë është ndërtuar duke përdorur një pikë dhe një drejtëz, prandaj të gjitha figurat përbëhen nga pika.

Në jetën tonë, një pikë është një ikonë injeksioni, një pikë e vogël.

Puna ime kërkimore më lejon të konkludoj se pika është e vetmja figurë gjeometrike. Gjithçka fillon me një pikë dhe mbaron me të dhe ende nuk dihet se çfarë lloj zbulimi do të shërbejë si fillim.

Literatura:

1 .Aksenova M.D. Enciklopedi për fëmijë. T.11. - Matematika, M.: Avanta+, 1999. Faqe 575.

2 .Atanasyan L.S., gjeometria, 7-9: tekst shkollor për institucionet arsimore / botimi i 12-të. - M.: Arsimi, 2002. Fq. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., gjeometri, 10-11: tekst shkollor për institucionet arsimore / botimi i 15-të, shtesë. - M.: Arsimi, 2006. fq 5-7.

4 .Vinogradov I.M., enciklopedi matematikore/M.: enciklopedi sovjetike. Faqe 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Fjalori i gjuhës ruse. - M.: Arsimi, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fizikë: materiale referuese. - M.: Arsimi, 1991.

7 Kramer G. Metodat matematikore të statistikave, përkthim nga anglishtja, botimi i dytë, M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Fjalori shpjegues shkollor i gjuhës ruse. - M.: Arsimi, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Fjalor i madh enciklopedik. - M.: Arsimi, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Fjalor enciklopedik matematikor. - M.: Arsimi, 1998.

11 .Savin A.P. Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri. - M.: Pedagogjia, 1985, f.

12 Sharygin I.F. Gjeometria vizuale. - M.: Arsimi, 1995.

Pika- një objekt abstrakt në hapësirë ​​që nuk ka asnjë karakteristikë të matshme (objekt me dimensione zero). Një pikë është një nga konceptet themelore në matematikë.

Pika në gjeometrinë Euklidiane

Euklidi e përkufizoi një pikë si "një objekt që nuk ka pjesë". Në aksiomatikën moderne të gjeometrisë Euklidiane, një pikë është një koncept parësor, i përcaktuar vetëm nga një listë e vetive të saj - aksiomat.

Në sistemin e zgjedhur të koordinatave, çdo pikë në hapësirën dydimensionale Euklidiane mund të përfaqësohet si një çift i renditur ( x; y) numra realë. Po kështu, pikë n-hapësira dimensionale Euklidiane (si dhe hapësira vektoriale ose afine) mund të përfaqësohet si një tufë ( a 1 , a 2 , … , a n) nga n numrat.

Lidhjet

• Pika(anglisht) në faqen e internetit të PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Point (anglisht) në faqen e internetit Wolfram MathWorld.

çështja është:

Modeli i pikave. | Pika e injektimit. | Qyteti tregohet në hartë me një pikë të vogël dhe mund të merret me mend vetëm prania e një rruge anashkalimi.

2. Pika- kjo është diçka shumë e vogël, e vështirë për t'u parë për shkak të distancës ose arsye të tjera.

Një pikë në horizont. | Ndërsa topi iu afrua horizontit në qiellin perëndimor, ai filloi të zvogëlohej ngadalë në madhësi derisa u bë një pikë.

3. Pika- një shenjë pikësimi që vendoset në fund të një fjalie ose gjatë shkurtimit të fjalëve.

Bëj një pikë. | Mos harroni të vendosni një pikë në fund të fjalisë

4. Në matematikë, gjeometri dhe fizikë pika- kjo është një njësi që ka një pozicion në hapësirë, kufirin e një segmenti të linjës.

Pika matematikore.

5. Pika emërtoni një vend të caktuar në hapësirë, në tokë ose në sipërfaqen e diçkaje.

Pika e vendosjes. | Pika e dhimbjes.

6. Pika ata e quajnë vendin ku ndodhet ose kryhet diçka, një nyje specifike në një sistem ose rrjet të disa pikave.

Çdo pikë shitje me pakicë duhet të ketë shenjën e vet.

7. Pika Ata e quajnë kufirin e zhvillimit të diçkaje, një nivel ose moment të caktuar zhvillimi.

Piket me te larta. | Pika në zhvillim. | Gjendja e punëve ka arritur në një pikë kritike. | Kjo është pika më e lartë e shfaqjes së fuqisë shpirtërore të njeriut.

8. Pika Ata e quajnë kufirin e temperaturës në të cilin ndodh transformimi i një substance nga një gjendje grumbullimi në një tjetër.

Pikë vlimi. | Pika e ngrirjes. | Pika e shkrirjes. | Sa më e madhe të jetë lartësia, aq më e ulët është pika e vlimit të ujit.

9. Pikëpresje (;) quhet një shenjë pikësimi që përdoret për të ndarë pjesë të zakonshme, më të pavarura të një fjalie komplekse.

Në anglisht përdoren pothuajse të njëjtat shenja pikësimi si në rusisht: pikë, presje, pikëpresje, vizë, apostrof, kllapa, elipsë, pikëpyetje dhe pikëçuditëse, vizë ndarëse.

10. Kur flasin për pikepamje, nënkupton mendimin e dikujt për një problem të caktuar, një mënyrë për t'i parë gjërat.

Një këndvështrim tjetër, më parë i pranuar pothuajse universalisht, tani është më pak i popullarizuar. | Askush nuk e ndan këtë këndvështrim në kohën tonë.

11. Nëse thonë për njerëzit që kanë pikat e kontaktit, që do të thotë se ata kanë interesa të përbashkëta.

Ndoshta mund të gjejmë gjuhën e përbashkët.

12. Nëse thuhet diçka pikë për pikë, nënkuptojmë një përputhje absolutisht të saktë.

Pikë më pikë, në vendin ku tregohej ishte një makinë ngjyrë kafeje.

13. Nëse thonë për një person se ai arriti në pikën Kjo do të thotë se ai ka arritur kufirin ekstrem në shfaqjen e disa cilësive negative.

Kemi arritur pikën! Nuk mund të jetosh më kështu! | Nuk mund t'i thuash se shërbimet speciale kanë arritur pikën nën udhëheqjen e tij të mençur.

14. Nëse dikush i jep fund në ndonjë biznes, do të thotë se ai e ndalon atë.

Pastaj u kthye nga emigracioni në atdheun e tij, në Rusi, në Bashkimin Sovjetik dhe me këtë u dha fund të gjitha kërkimeve dhe mendimeve të tij.

15. Nëse dikush pikat "i"-të(ose mbi i), që do të thotë se ai i sjell gjërat në përfundimin e tyre logjik dhe nuk lë gjë pa thënë.

Le të pikasim të gjitha unë. Nuk dija asgjë për iniciativën tuaj.

16. Nëse dikush godet një pikë, që do të thotë se ai i përqendroi të gjitha përpjekjet e tij në arritjen e një qëllimi.

Kjo është arsyeja pse imazhet e tij janë kaq të qarta; ai godet gjithmonë në të njëjtën pikë, duke mos u tërhequr kurrë nga detajet e vogla. | Ai e kupton shumë mirë se cila është detyra e biznesit të tij dhe me qëllim godet një pikë.

17. Nëse dikush goditi në vend, do të thotë se ai tha ose bëri pikërisht atë që duhej, mendoi drejt.

Letra e parë që erdhi në raundin tjetër të konkursit i befasoi këndshëm redaktorët - në një nga opsionet e listuara, lexuesi ynë goditi menjëherë gozhdën në kokë!

Akupresura.

Fjalor shpjegues i gjuhës ruse nga Dmitriev. D. V. Dmitriev. 2003.

Pika

Pika Mund të thotë:

• Një pikë është një objekt abstrakt në hapësirë ​​që nuk ka karakteristika të matshme përveç koordinatave.
• Një pikë është një diakritikë që mund të vendoset sipër, poshtë ose në mes të një shkronje.
• Një pikë është një njësi e matjes së distancës në sistemet e masave ruse dhe angleze.
• Një pikë është një nga paraqitjet e një ndarësi dhjetor.
• Dot (teknologjitë e rrjetit) - përcaktimi i domenit rrënjë në hierarkinë e domenit të rrjetit global.
• Tochka - zinxhir i dyqaneve elektronike dhe argëtuese
• Tochka - albumi i grupit "Leningrad"
• The Point është një film rus i vitit 2006 i bazuar në historinë me të njëjtin emër nga Grigory Ryazhsky.
• Tochka është albumi i dytë në studio i rap artistit Stan.
• Tochka - kompleksi i raketave divizioni.
• Tochka - revista nënkulturore rinore Krasnoyarsk.
• Tochka është një klub dhe vend koncerti në Moskë.
• Pika është një nga simbolet e kodit Morse.
• Pika është vendi i detyrës luftarake.
• Pika (përpunimi) - procesi i përpunimit, kthimit, mprehjes.
• POINT - Program informativ dhe analitik në NTV.
• Tochka është një grup rock nga Norilsk i themeluar në 2012.

Toponimi

Kazakistani

• Pika- deri në vitin 1992, emri i fshatit Bayash Utepov në rrethin Ulan të rajonit të Kazakistanit Lindor.

Rusia

• Tochka është një fshat në rrethin Sheksninsky të rajonit Vologda.
• Tochka është një fshat në rrethin Volotovsky të rajonit të Novgorodit.
• Tochka është një fshat në rrethin Lopatinsky të rajonit të Penzës.

A mund të përcaktoni koncepte të tilla si pikë dhe vijë?

Shkollat ​​dhe universitetet tona nuk i kishin këto përkufizime, megjithëse janë kyçe për mendimin tim (nuk e di se si është në vendet e tjera). Ne mund t'i përkufizojmë këto koncepte si "të suksesshme dhe të pasuksesshme" dhe të shqyrtojmë nëse kjo është e dobishme për zhvillimin e të menduarit.

Mundës

Është e çuditshme, por ata na dhanë një përkufizim të një pike. Ky është një objekt (konventë) abstrakt i vendosur në hapësirë ​​që nuk ka dimensione. Kjo është gjëja e parë që na ra në kokë në shkollë - një pikë nuk ka dimensione, është një objekt "zero-dimensionale". Një koncept i kushtëzuar, si çdo gjë në gjeometri.

Është edhe më e vështirë me një vijë të drejtë. Para së gjithash, kjo është një linjë. Së dyti, është një grup pikash të vendosura në hapësirë ​​në një mënyrë të caktuar. Në përkufizimin e saj më të thjeshtë, është një vijë e përcaktuar nga dy pika nëpër të cilat kalon.

Medivh

Një pikë është një lloj objekti abstrakt. Një pikë ka koordinata, por nuk ka masë ose dimensione. Në gjeometri, gjithçka fillon pikërisht me një pikë. Një vijë e drejtë është distanca midis dy pikave.

Leonid Kutniy

Çdo gjë mund të përcaktohet në çfarëdo mënyre. Por ekziston një pyetje: a do të "funksionojë" ky përkufizim në një shkencë specifike? Bazuar në atë që kemi, nuk ka kuptim të japim një përkufizim të një pike, një drejtëze dhe një plani. Më pëlqyen shumë komentet e Arthurit, do të doja të shtoja se një pikë ka shumë veti: nuk ka gjatësi, gjerësi, lartësi, nuk ka masë apo peshë, etj. Por vetia kryesore e një pike është se ajo tregon qartë vendndodhjen e saj. një objekt, një objekt në plan, në hapësirë. Prandaj na duhet një pikë, por një lexues i zgjuar do të thotë se atëherë mund të merret si pikë një libër, një karrige, një orë dhe gjëra të tjera. Absolutisht e drejtë! Prandaj, nuk ka kuptim të jepet një përkufizim i një pike. Sinqerisht, L.A. Kutniy

Një vijë e drejtë është një nga konceptet themelore të gjeometrisë.

Pika është një shenjë pikësimi kur shkruani në shumë gjuhë.

Gjithashtu, një pikë është një nga simbolet e kodit Morse

Kaq shumë përkufizime: D

Përkufizimet e një pike, një vijë të drejtë dhe një plani janë dhënë nga unë në fund të viteve '80 dhe në fillim të viteve '90 të shekullit të 20-të. Po jap linkun:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Vëllimi prej 328 faqesh përshkruan në një aspekt krejtësisht të ri thelbin njohës të këtyre koncepteve, të cilat shpjegohen në bazë të një botëkuptimi real fizik dhe ndjenjës "Unë jam", që do të thotë "unë" ekzistoj, ashtu si vetë Universi. që unë i përkas ekziston.

Gjithçka e shkruar në këtë vepër konfirmohet nga njohuritë e njerëzimit për natyrën dhe vetitë e saj që janë zbuluar prej kohësh dhe janë ende duke u eksploruar në këtë moment në kohë. Matematika është bërë kaq e vështirë për t'u kuptuar dhe konceptuar në mënyrë që të zbatohen imazhet e saj abstrakte në praktikën e përparimeve teknologjike. Duke zbuluar themelet, të cilat janë parimet themelore, është e mundur t'i shpjegohen edhe një nxënësi të shkollës fillore arsyet që qëndrojnë në themel të ekzistencës së Universit. Lexoni dhe afrohuni me të Vërtetën. Merr zemër, bota në të cilën ne ekzistojmë po hapet para jush në një dritë të re.

A ka një përkufizim të konceptit "pikë" në matematikë dhe gjeometri.

Mikhail Levin

A është "koncepti i papërcaktuar" një përkufizim?

Në fakt, është pikërisht pasiguria e koncepteve që bën të mundur aplikimin e matematikës në objekte të ndryshme.

Një matematikan madje mund të thotë "me një pikë unë do të kuptoj rrafshin Euklidian, me një plan - një pikë Euklidiane" - kontrolloni të gjitha aksiomat dhe merrni gjeometri të re ose teorema të reja.

Fakti është se për të përcaktuar termin A, duhet të përdorni termin B. Për të përcaktuar B, ju duhet termi C. Dhe kështu me radhë ad infinitum. Dhe për të shpëtuar nga kjo pafundësi, duhet të pranojmë disa terma pa përkufizime dhe të ndërtojmë përkufizime të të tjerëve mbi to. ©

Grigory Piven

Në matematikë Piven Gregory Një pikë është një pjesë e hapësirës që në mënyrë abstrakte (pasqyruar) merret si një segment minimal me gjatësi të barabartë me 1, i cili përdoret për të matur pjesët e tjera të hapësirës. Prandaj, një person zgjedh shkallën e një pike për lehtësi, për një proces matje produktiv: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. vit. etj.

Shihni gjithashtu: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Për dy mijëvjeçarë e gjysmë, matematika ka përdorur abstraksionin e një pike pa dimension, e cila bie ndesh jo vetëm me sensin e përbashkët, por edhe me njohuritë për botën përreth nesh, të marra nga shkenca të tilla si fizika, kimia, mekanika kuantike dhe shkenca kompjuterike.

Ndryshe nga abstraksionet e tjera, abstragimi i një pike matematikore pa dimensione nuk e idealizon realitetin, duke thjeshtuar njohuritë e tij, por e shtrembëron qëllimisht, duke i dhënë kuptimin e saktë të kundërt, gjë që, në veçanti, e bën thelbësisht të pamundur kuptimin dhe studimin e hapësirave të dimensionit më të lartë!

Përdorimi i abstraksionit të pikës pa dimension në matematikë mund të krahasohet me përdorimin e një njësie të monedhës bazë me vlerë zero në llogaritjet ekonomike. Për fat të mirë, ekonomia nuk e mendoi këtë.

Le të provojmë absurditetin e abstraksionit të një pike pa dimension.

Teorema. Një pikë matematikore është vëllimore.

Dëshmi.

Ashtu si në matematikë

madhësia e pikës = 0,

Për një segment me gjatësi të fundme (jo zero) kemi

Madhësia_e segmentit = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Madhësia zero që rezulton e segmentit, si një sekuencë e pikave përbërëse të tij, bie ndesh me kushtin që gjatësia e segmentit të jetë e fundme. Për më tepër, madhësia e pikës zero është absurde në atë që shuma e zerove nuk varet nga numri i termave, domethënë, numri i pikave "zero" në një segment nuk ndikon në madhësinë e segmentit.

Prandaj, supozimi fillestar për madhësinë zero të pikës matematikore është i gabuar.

Kështu, mund të argumentohet se një pikë matematikore ka një madhësi jo zero (të fundme). Meqenëse pika nuk i përket vetëm segmentit, por edhe hapësirës në të cilën ndodhet segmenti, ajo ka dimensionin e hapësirës, ​​domethënë pika matematikore është vëllimore. Q.E.D.

Pasoja.

Prova e mësipërme, e kryer duke përdorur aparatin matematikor të grupit të ri të një kopshti, ngjall krenari për mençurinë e pakufishme të priftërinjve dhe adhuruesve të "mbretëreshës së të gjitha shkencave", të cilët arritën të kalojnë mijëvjeçarët dhe të ruajnë për pasardhësit në forma e tij origjinale iluzion i lashtë i njerëzimit.

Shqyrtime

I dashur Aleksandër! Unë nuk jam i zoti në matematikë, por ndoshta TI mund të më thoni ku dhe nga kush thuhet se pika është e barabartë me zero? Një gjë tjetër është se ka një vlerë infinite të vogël, deri në pikën e konvencionit, por aspak zero. Kështu, çdo segment mund të konsiderohet zero, pasi ekziston një segment tjetër që përmban një numër të pafund segmentesh origjinale, përafërsisht. Ndoshta nuk ka nevojë të ngatërroni matematikën dhe fizikën. Matematika është shkenca e ekzistencës, fizika është shkenca e ekzistencës. Sinqerisht.

E përmenda Akilin dy herë në detaje dhe shumë herë kalimthi:
"Pse Akili nuk e arrin breshkën"
"Akili dhe breshka - një paradoks në kubi"

Ndoshta një zgjidhje për paradoksin e Zenonit është se hapësira është diskrete dhe koha është e vazhdueshme. Ai besonte, si ju, se të dyja janë diskrete. Një trup mund të qëndrojë në një pikë në hapësirë ​​për ca kohë. Por ai nuk mund të jetë në vende të ndryshme në të njëjtën kohë në të njëjtën kohë. E gjithë kjo, natyrisht, është amatorizëm, si i gjithë dialogu ynë. Sinqerisht.
Nga rruga, nëse një pikë është tre-dimensionale, cilat janë dimensionet e saj?

Diskretiteti i kohës vjen, për shembull, nga aporia "Shigjeta". Vetëm një elektron mund të "qëndrojë në vende të ndryshme në të njëjtën kohë" për fizikantët, të cilët në parim nuk kuptojnë dhe nuk pranojnë as strukturën e eterit dhe as strukturën e hapësirës 4-dimensionale. Unë nuk di shembuj të tjerë të këtij fenomeni. Unë nuk shoh ndonjë "amatorizëm" në bisedën tonë. Përkundrazi, gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë: një pikë është ose pa dimensione ose ka një madhësi; vazhdimësia dhe pafundësia ose ekzistojnë ose nuk ekzistojnë. Nuk ka zgjedhje të tretë - ose E VËRTETË ose E rreme! Parimet themelore të matematikës, për fat të keq, janë ndërtuar mbi dogma të rreme të adoptuara nga injoranca 2500 vjet më parë.

Madhësia e pikës varet nga kushtet e problemit që zgjidhet dhe nga saktësia e kërkuar. Për shembull, nëse po dizajnoni një ingranazh për një orë dore, atëherë saktësia mund të kufizohet nga madhësia e atomit, domethënë tetë shifra dhjetore. Vetë atomi këtu do të jetë një analog fizik i një pike matematikore. Ndoshta diku do të kërkohet saktësi deri në 16 shifra; atëherë rolin e një pike do ta luajë një grimcë eteri. Ju lutemi vini re se të folurit për saktësinë e supozuar "të pafund" në praktikë kthehet në marrëzi të egër, ose, për ta thënë butë, absurditet.

Unë ende nuk e kuptoj: a ekziston pika? Nëse ekziston objektivisht, pra ka një vlerë të caktuar fizike, nëse ekziston subjektivisht, në formën e një abstraksioni të mendjes sonë, atëherë ka një vlerë matematikore. Zero nuk ka asgjë, nuk ekziston, ky është një përkufizim abstrakt i Mosekzistencës në matematikë apo zbrazëtisë në fizikë. Një pikë nuk ekziston më vete jashtë marrëdhënieve. Sapo të shfaqet pika e dytë, shfaqet një segment - Diçka, etj. Kjo temë mund të zhvillohet pafundësisht. Me uv.

Më dukej se dhashë një shembull të qartë, por ndoshta jo mjaftueshëm të detajuar. Objektivisht, ekziston një botë që shkenca e njeh, dhe aktualisht ajo e njeh kryesisht duke përdorur metoda matematikore. Matematika e kupton botën duke ndërtuar modele matematikore. Për të ndërtuar këto modele përdoren abstraksione themelore matematikore, në veçanti, si: pika, vija, vazhdimësia, pafundësia. Këto abstraksione janë themelore sepse nuk është më e mundur të fragmentohen dhe thjeshtohen më tej. Secila prej abstraksioneve bazë mund të jetë ose adekuate për realitetin objektiv (e vërtetë) ose jo (e rreme). Të gjitha abstraksionet e mësipërme janë në thelb të rreme, sepse ato kundërshtojnë njohuritë më të fundit për botën reale. Kjo do të thotë se këto abstraksione pengojnë një kuptim të saktë të botës reale. Kjo mund të tolerohej disi ndërsa shkenca studionte botën 3-dimensionale. Megjithatë, abstraksionet e pikës pa dimension dhe të vazhdimësisë i bëjnë të gjitha botët e dimensionit më të lartë në parim të panjohura!

Tulla e universit - një pikë - nuk mund të jetë bosh. Të gjithë e dinë se asgjë nuk vjen nga zbrazëtia. Fizikanët, pasi e kishin shpallur eterin inekzistent, e mbushën botën me zbrazëti. Besoj se matematika me pikën e saj boshe i shtyu në këtë marrëzi. Nuk po flas as për atome-pika të botëve me dimensione më të larta se 4D. Pra, për çdo dimension, rolin e një pike matematikore të pandashme (me kusht) e luan një atom (kushtësisht) i pandashëm i kësaj bote (hapësirë, lëndë). Për 3D - një atom fizik, për 4D - një grimcë eteri, për 5D - një atom astral, për 6D - një atom mendor dhe kështu me radhë. Sinqerisht,

Pra, a ka tulla e universit një lloj vlere absolute? Dhe si duket, sipas jush, në botën eterike apo mendore. Kam frikë të pyes edhe për vetë botët. Me interes...

Grimcat eterike (këto nuk janë atome!) janë çifte elektron-pozitron, në të cilat vetë grimcat rrotullohen në raport me njëra-tjetrën me shpejtësinë e dritës. Kjo shpjegon plotësisht strukturën e të gjithë nukleoneve, përhapjen e lëkundjeve elektromagnetike dhe të gjitha efektet e të ashtuquajturit vakum fizik. Struktura e atomit të mendimit është e panjohur për askënd. Ka vetëm dëshmi se TË GJITHA botët më të larta janë materiale, domethënë ato kanë atomet e tyre. Deri në çështjen e Absolutes. Gjithsesi po ironizoni kot. A ju duken më të besueshme vrimat e krimbave dhe shpërthimet e mëdha?

Çfarë ironie këtu, unë mbeta pak i befasuar pas një orteku të tillë informacioni. Ndryshe nga ju, unë nuk jam profesionist dhe e kam të vështirë të them diçka për pesë apo gjashtë dimensionalitetin e hapësirave. E kam fjalën për pikën tonë të shumëvuajtur... Me sa kuptoj, ju jeni kundër vazhdimësisë materiale dhe periudhës, keni një atom vërtet ekzistues “demokratik”. "Tulla e Universit". Ndoshta kam qenë i pavëmendshëm, por megjithatë, do të ishte e vështirë të përsërisja se cila është struktura, parametrat fizikë, dimensionet etj.
Dhe gjithashtu përgjigjuni, a ekziston njësia në vetvete, si e tillë, jashtë çdo marrëdhënieje? Faleminderit.

Pasi të kemi kuptuar se cilat janë njësitë e matjes dhe dimensionit, tani mund të kalojmë në matjet aktuale. Në matematikën shkollore përdoren dy instrumente matëse - (1) një vizore për matjen e distancave dhe (2) një raportor për matjen e këndeve.

Pika

Distanca matet gjithmonë midis dy pikave. Në terma praktike, një pikë është një pikë e vogël që mbetet në letër kur shpohet me laps ose stilolaps. Një mënyrë tjetër, më e preferuar për të përcaktuar një pikë është të vizatoni një kryq me dy vija të holla, gjë që rezulton në përcaktimin pika kryqëzimet e tyre. Në vizatimet në libra, pika shpesh përshkruhet si një rreth i vogël i zi. Por këto janë të gjitha vetëm imazhe vizuale të përafërta, dhe në një kuptim të rreptë matematikor, pika - është një objekt imagjinar madhësia e të cilit në të gjitha drejtimet është zero. Për matematikanët, e gjithë bota përbëhet nga pika. Pikat janë kudo. Kur futim një stilolaps në letër ose vizatojmë një kryq, ne nuk krijojmë një pikë të re, por vetëm vendosim një shenjë në një ekzistuese për të tërhequr vëmendjen e dikujt ndaj saj. Nëse nuk përcaktohet ndryshe, supozohet se pikat janë të palëvizshme dhe nuk ndryshojnë pozicionet e tyre relative. Por nuk është e vështirë të imagjinohet një pikë lëvizëse që lëviz nga një vend në tjetrin, sikur të bashkohet me një pikë fikse, pastaj me një tjetër.

Drejt

Duke vendosur një vizore në dy pika, ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre, dhe për më tepër e vetmja mënyrë. Matematikore imagjinare drejt, i tërhequr përgjatë një vizore ideale imagjinare, ka trashësi zero dhe shtrihet në të dy drejtimet deri në pafundësi. Në një vizatim real, kjo strukturë imagjinare merr formën:

Në fakt, gjithçka në këtë vizatim është e gabuar. Trashësia e vijës këtu është qartësisht më e madhe se zero, dhe nuk ka asnjë mënyrë për të thënë se vija shtrihet në pafundësi. Sidoqoftë, vizatime të tilla të parregullta janë shumë të dobishme si mbështetje për imagjinatën, dhe ne do t'i përdorim ato vazhdimisht. Për ta bërë më të përshtatshëm dallimin e një pike nga një tjetër, ato zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Në këtë figurë, për shembull, pikat tregohen me shkronja A Dhe B. Vija që kalon nëpër pika A Dhe B, merr automatikisht emrin “drejt AB" Për shkurtësi, shënimi ( AB), ku fjala “drejt” hiqet dhe shtohen kllapa. Vijat e drejta mund të shënohen edhe me shkronja të vogla. Në figurën e mësipërme, vija e drejtë AB treguar nga letra n.

Përtej pikave A Dhe B në një vijë të drejtë n ka një numër të madh pikash të tjera, secila prej të cilave mund të përfaqësohet si një kryqëzim me ndonjë vijë tjetër. Në të njëjtën pikë mund të vizatohen shumë vija të ndryshme të drejta.

Nëse dimë se në një drejtëz ka pika që nuk përputhen A, B, C Dhe D, atëherë me të drejtë mund të caktohet jo vetëm si ( AB), por edhe si ( A.C.), (BD), (CD) dhe kështu me radhë.

Segmenti i linjës. Gjatësia e segmentit. Distanca midis pikave

Pjesa e drejtëzës e kufizuar nga dy pika quhet segment. Edhe këto pika kufizuese i përkasin segmentit dhe quhen të tij përfundon. Një segment, skajet e të cilit bien në pika A Dhe B, i shënuar si "segment AB"ose, disi më e shkurtër, [ AB].

Çdo segment karakterizohet gjatësia- numri (ndoshta i pjesshëm) i "hapave" që duhet të ndërmerren përgjatë segmentit për të kaluar nga një skaj në tjetrin. Në këtë rast, gjatësia e vetë "hapit" është një vlerë rreptësisht fikse, e cila merret si njësi matëse. Është më e përshtatshme për të matur gjatësinë e segmenteve të vizatuara në një fletë letre centimetra. Nëse skajet e segmentit bien mbi pikat A Dhe B, atëherë gjatësia e saj shënohet si | AB|.

Nën largësia ndërmjet dy pikave është gjatësia e segmentit që i lidh ato. Në fakt, megjithatë, nuk ka nevojë të vizatoni një segment për të matur distancën - mjafton të bashkëngjitni një sundimtar në të dy pikat (në të cilat janë paracaktuar gjurmët e "hapave"). Meqenëse në matematikë një pikë është një objekt fiktive, asgjë nuk na pengon të përdorim në imagjinatën tonë një vizore ideale që mat distancën me saktësi absolute. Sidoqoftë, nuk duhet harruar se një vizore e vërtetë e aplikuar në pikat ose qendrat e kryqeve në letër ju lejon të vendosni distancën vetëm afërsisht - me një saktësi prej një milimetri. Distanca është gjithmonë jo negative.

Pozicioni i një pike në një vijë

Le të na jepet një vijë e drejtë. Le të shënojmë një pikë arbitrare në të dhe ta caktojmë me shkronjën O. Le të vendosim numrin 0 pranë tij Le ta quajmë një nga dy drejtimet e mundshme përgjatë vijës së drejtë "pozitive", dhe atë të kundërt - "negativ". Zakonisht drejtimi pozitiv merret nga e majta në të djathtë ose nga poshtë lart, por kjo nuk është e nevojshme. Le të shënojmë drejtimin pozitiv me një shigjetë, siç tregohet në figurë:

Tani për çdo pikë të vendosur në një vijë, ne mund ta përcaktojmë atë pozicion. Pozicioni i pikës A jepet nga një vlerë që mund të jetë negative, zero ose pozitive. Vlera e tij absolute është e barabartë me distancën midis pikave O Dhe A(d.m.th., gjatësia e segmentit OA), dhe shenja përcaktohet nga drejtimi nga pika O ju duhet të lëvizni për të arritur në pikën A. Nëse keni nevojë të lëvizni në një drejtim pozitiv, atëherë shenja është pozitive. Nëse është negative, atëherë shenja është negative. Në vend të fjalës "pozicion" fjala "përdoret shpesh" koordinoj».

Numrat irracionalë dhe realë

Kur kemi të bëjmë me një vizatim real dhe përcaktojmë pozicionin e një pike reale në një hapje reale duke përdorur një vizore shkollore, marrim një vlerë të rrumbullakosur në milimetrin më të afërt. Me fjalë të tjera, rezultati është një vlerë e marrë nga seritë e mëposhtme:

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm etj.

Rezultati nuk mund të jetë i barabartë, për shembull, 1/3 cm, sepse, siç e dimë, një e treta e një centimetri mund të përfaqësohet si një fraksion periodik i pafund.

0,333333333... cm,

i cili pas rrumbullakimit duhet të bëhet i barabartë me 0.3 cm.

Është një çështje tjetër kur ne manipulojmë objekte ideale matematikore në imagjinatën tonë.

Së pari, në këtë rast mund të hidhni lehtësisht njësitë matëse dhe të veproni ekskluzivisht me sasi pa dimensione. Më pas vijmë te ndërtimi gjeometrik me të cilin u njohëm kur kaluam numrat racionalë dhe të cilin e quajtëm rreshti numerik:

Meqenëse fjala "drejt" në gjeometri është tashmë shumë "e ngarkuar", i njëjti ndërtim shpesh quhet boshti numerik ose thjesht boshti.

Së dyti, ne mund të imagjinojmë mirë që koordinata e një pike jepet nga një thyesë dhjetore periodike, si p.sh

Për më tepër, ne mund të imagjinojmë një pafundësi jo periodike fraksion - të tilla si, për shembull,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Numra të tillë imagjinarë, të paraqitur si thyesa dhjetore të pafundme jo periodike, quhen irracionale. Numrat irracionalë, së bashku me numrat racionalë tashmë të njohur për ne, formojnë të ashtuquajturat e vlefshme numrat. Në vend të fjalës “e vërtetë” do të përdorim edhe fjalën “ reale" Çdo pozicion i imagjinueshëm i një pike në një drejtëz mund të shprehet si një numër real. Dhe anasjelltas, nëse na jepet një numër real x, ne gjithmonë mund të imagjinojmë një pikë X, pozicioni i të cilit përcaktohet nga numri x.

Paragjykim

Le a- koordinata e pikës A, A b- koordinata e pikës B. Pastaj vlera

v = b − a

është zhvendosje, që përkthen pikën A pikërisht B. Kjo bëhet veçanërisht e dukshme nëse barazia e mëparshme rishkruhet në formë

b = a + v.

Ndonjëherë në vend të fjalës "zhvendosje" ata përdorin fjalën " vektoriale" Është e lehtë të shihet se situata x pikë arbitrare X- kjo nuk është asgjë më shumë se një kompensim që përkthen pikën O(me koordinatë të barabartë me zero) në një pikë X:

x= 0 + x.

Kompensimet mund t'i shtohen njëra-tjetrës dhe gjithashtu të zbriten nga njëra-tjetra. Pra, nëse kompensimi ( b − a) përkthen pikën A pikërisht B, dhe kompensimi ( c − b) pikë B pikërisht C, pastaj kompensimi

(b − a) + (c − b) = c − a

përkthen pikë A pikërisht C.

Shënim. Logjikisht, do të ishte e nevojshme të sqarohej se si të mblidhen dhe zbriten numrat irracionalë, pasi zhvendosja mund të rezultojë e paarsyeshme. Natyrisht, matematikanët u kujdesën të zhvillonin procedurat e duhura formale, por në praktikë nuk do ta bëjmë këtë, pasi llogaritjet e përafërta me vlera të rrumbullakosura janë gjithmonë të mjaftueshme për të zgjidhur problemet praktike. Tani për tani, ne thjesht do ta marrim me besim se konceptet e "shtimit" dhe "zbritjes" - si dhe "shumëzimi" dhe "pjestimi" - janë përcaktuar saktë për çdo dy numra realë (me paralajmërimin, megjithatë, që ju nuk mund të pjesëtohet me zero).

Këtu, ndoshta, do të ishte e përshtatshme të vërehet ndryshimi delikat midis koncepteve të "zhvendosjes" dhe "distancës". Distanca është gjithmonë jo negative. Në fakt përfaqëson një zhvendosje të marrë në vlerë absolute. Pra, nëse kompensimi

v = b − a

përkthen pikë A pikërisht B, pastaj distanca s ndërmjet pikave A Dhe B barazohet

s = |v| = |b − a|.

Kjo barazi mbetet e vlefshme pavarësisht se cili nga dy numrat është më i madh - a ose b.

Aeroplan

Në një kuptim praktik, një aeroplan është një copë letre në të cilën ne vizatojmë modelet tona gjeometrike. Imagjinare rrafshi matematikor ndryshon nga një fletë letre në atë që ka trashësi zero dhe një sipërfaqe të pakufizuar që shtrihet në drejtime të ndryshme deri në pafundësi. Përveç kësaj, ndryshe nga një fletë letre, një aeroplan matematikor është absolutisht i ngurtë: ai kurrë nuk përkulet ose rrudhet - edhe nëse është i grisur nga tavolina dhe është vendosur në hapësirë ​​në çfarëdo mënyre.

Vendndodhja e aeroplanit në hapësirë ​​përcaktohet në mënyrë unike nga tre pika (përveç nëse ato shtrihen në ndonjë vijë të drejtë). Për ta imagjinuar këtë më qartë, le të nxjerrim tre pika arbitrare, O, A Dhe B, dhe vizatoni dy vija të drejta nëpër to O.A. Dhe O.B., siç tregohet në foto:

"Zgjatja" e një rrafshi në imagjinatën tuaj në dy vija të drejta të kryqëzuara është disi më e lehtë sesa "mbështetja" e tij në tre pika. Por për qartësi edhe më të madhe, le të bëjmë disa ndërtime shtesë. Le të marrim disa pika në mënyrë të rastësishme: një kudo në linjë O.A., dhe tjetra - kudo në vijën e drejtë O.B.. Le të vizatojmë një vijë të re përmes këtij çifti pikash. Më pas, në të njëjtën mënyrë, zgjidhni një palë tjetër pikash dhe vizatoni një vijë tjetër të drejtë përmes tyre. Duke e përsëritur këtë procedurë shumë herë, marrim diçka si rrjeta e merimangës:

Tashmë është mjaft e thjeshtë të imponosh një aeroplan në një strukturë të tillë - veçanërisht pasi kjo rrjetë imagjinare mund të bëhet aq e trashë sa të mbulojë të gjithë rrafshin pa boshllëqe.

Vini re se nëse marrim një palë pika divergjente në një plan dhe vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre, atëherë kjo vijë e drejtë do të shtrihet domosdoshmërisht në të njëjtin rrafsh.

Abstrakt

Pika (A, B, etj.): një objekt imagjinar madhësia e të cilit në të gjitha drejtimet është zero.

Drejt (n, m ose ( AB)): një vijë pafundësisht e hollë; është tërhequr përmes dy pikave ( A Dhe B) përgjatë vijës në mënyrë të paqartë; shtrihet në të dy drejtimet deri në pafundësi.

Segmenti i linjës ([AB]): pjesë e një vije të kufizuar nga dy pika ( A Dhe B) - skajet e segmentit, të cilat gjithashtu konsiderohen se i përkasin segmentit.

Gjatësia e seksionit(|AB|): (fraksional) numri i centimetrave (ose njësi tjetër matëse) që përshtaten midis skajeve ( A Dhe B).

Distanca midis dy pikave: gjatësia e segmentit me skajet në këto pika.

Pozicioni i një pike në një vijë (koordinoj): distanca nga një pikë në një qendër të përzgjedhur paraprakisht (gjithashtu e shtrirë në një vijë të drejtë) me një shenjë të caktuar plus ose minus, në varësi të cilës anë të qendrës ndodhet pika.

Përcaktohet pozicioni i një pike në një vijë e vlefshme(reale)numri, domethënë një thyesë dhjetore, e cila mund të jetë ose (1) periodike e fundme ose e pafundme ( numrat racionalë), ose (2) joperiodike e pafundme ( numrat irracionalë).

Paragjykim, që përkthen pikën A(me koordinatë a) saktësisht B(me koordinatë b): v = b − a.

Distanca është e barabartë me zhvendosjen e marrë në vlerë absolute: | AB| = |b − a|.

Aeroplan: fletë letre pafundësisht e hollë që shtrihet në anët e ndryshme deri në pafundësi; përkufizohet në mënyrë unike nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë.

Koncepti i një pike kritike mund të përgjithësohet në rastin e pasqyrimeve të diferencueshme dhe në rastin e hartave të diferencueshme të manifoldeve arbitrare f: N n → M m (\style ekrani f:N^(n)\në M^(m)). Në këtë rast, përkufizimi i një pike kritike është se rangu i matricës jakobiane të hartës f (\displaystyle f) ai përmban më pak se vlera maksimale e mundshme e barabartë me .

Pikat kritike të funksioneve dhe hartave luajnë një rol të rëndësishëm në fusha të tilla të matematikës si ekuacionet diferenciale, llogaritja e variacioneve, teoria e stabilitetit, si dhe në mekanikë dhe fizikë. Studimi i pikave kritike të pasqyrave të lëmuara është një nga pyetjet kryesore të teorisë së katastrofës. Koncepti i një pike kritike përgjithësohet gjithashtu në rastin e funksioneve të përcaktuara në hapësira funksionale me dimensione të pafundme. Gjetja e pikave kritike të funksioneve të tilla është një pjesë e rëndësishme e llogaritjes së variacioneve. Pikat kritike të funksionaleve (të cilat, nga ana tjetër, janë funksione) quhen Sportet ekstreme.

Përkufizimi formal

Kritike(ose e veçantë ose stacionare) pika e një harte të diferencueshme vazhdimisht f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) pika në të cilën thirret diferenciali i këtij pasqyrimi f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))është i degjeneruar transformimi linear i hapësirave tangjente përkatëse T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) Dhe T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), domethënë dimensioni i imazhit të transformimit f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) më pak min (n, m) (\style ekrani \min\(n,m\)). Në shënimin koordinativ kur n = m (\displaystyle n=m) kjo do të thotë se jakobiani është përcaktuesi i matricës jakobiane të hartëzimit f (\displaystyle f), i përbërë nga të gjitha derivatet e pjesshme ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\pjesshëm x_(i))))- bëhet zero në një pikë. Hapësirat dhe R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) në këtë përkufizim mund të zëvendësohet nga varietetet N n (\displaystyle N^(n)) Dhe M m (\displaystyle M^(m)) të njëjtat dimensione.

Teorema e Sardit

Vlera e hartës në pikën kritike quhet e saj vlerë kritike. Sipas teoremës së Sardit, grupi i vlerave kritike të çdo hartimi mjaft të qetë f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) ka zero masën e Lebesgue (edhe pse mund të ketë çdo numër pikash kritike; për shembull, për një hartë identiteti, çdo pikë është kritike).

Shfaq renditje të vazhdueshme

Nëse në afërsi të një pike x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\në \mathbb (R) ^(n)) rangu i hartës së vazhdueshme të diferencueshme f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) e barabartë me të njëjtin numër r (\displaystyle r), pastaj në afërsi të kësaj pike x 0 (\displaystyle x_(0)) ka koordinata lokale të përqendruara në x 0 (\displaystyle x_(0)), dhe në afërsi të imazhit të saj - pikë y 0 = f (x 0) (\style ekrani y_(0)=f(x_(0)))- ka koordinata lokale (y 1 , … , y m) (\stili i shfaqjes (y_(1),\ldot ,y_(m))) me qendër në f (\displaystyle f) jepet nga relacionet:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\stil ekrani y_(1)=x_(1),\ \dots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \pika ,\ y_(m)=0.)

Në veçanti, nëse r = n = m (\displaystyle r=n=m), atëherë ka koordinata lokale (x 1 , … , x n) (\stil ekrani (x_(1),\ldots ,x_(n))) me qendër në x 0 (\displaystyle x_(0)) dhe koordinatat lokale (y 1 , … , y n) (\stili i shfaqjes (y_(1),\ldots ,y_(n))) me qendër në y 0 (\displaystyle y_(0)), të tillë që në to hartëzimi f (\displaystyle f)është identike.

Po ndodh m = 1

Në këtë rast, ky përkufizim do të thotë se gradienti ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) në këtë pikë zhduket.

Le të supozojmë se funksioni f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\në \mathbb (R) ) ka një klasë butësi jo më të ulët C 3 (\displaystyle C^(3)). Pika kritike e një funksioni f thirrur jo i degjeneruar, nëse përmban një Hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) të ndryshme nga zero. Në afërsi të një pike kritike jo të degjeneruar ka koordinata në të cilat funksioni f ka trajtë normale kuadratike (lema Morse).

Një përgjithësim i natyrshëm i lemës së Morse për pikat kritike të degjeneruara është Teorema e Tujronit: në fqinjësi të pikës kritike të degjeneruar të funksionit f, i diferencueshëm një numër i pafund herë () me shumësi të fundme μ (\displaystyle \mu) ekziston një sistem koordinativ në të cilin funksioni i lëmuar ka formën e një polinomi të shkallës μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(si P μ + 1 (x) (\style ekrani P_(\mu +1)(x)) mund të marrim polinomin Taylor të funksionit f (x) (\displaystyle f(x)) në një pikë të koordinatave origjinale).

Në m = 1 (\displaystyle m=1) Ka kuptim të pyesësh për maksimumin dhe minimumin e një funksioni. Sipas një deklarate të njohur të analizës matematikore, një funksion vazhdimisht i diferencueshëm f (\displaystyle f), të përcaktuara në të gjithë hapësirën R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ose në nëngrupin e tij të hapur, mund të arrijë një maksimum lokal (minimum) vetëm në pikat kritike, dhe nëse pika është jo e degjeneruar, atëherë matrica (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\i pjesshëm x_(i)\i pjesshëm x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\shfaqja e stilit i,j=1,\lds ,n,) duhet të jetë i caktuar negativ (pozitiv). Kjo e fundit është gjithashtu një kusht i mjaftueshëm për një maksimum lokal (përkatësisht, një minimum).

Po ndodh n = m = 2

Kur n=m=2 ne kemi një ekran f rrafsh me rrafsh (ose manifold dydimensional në një manifold tjetër dydimensional). Le të supozojmë se hartëzimi f i diferencueshëm një numër i pafund herë ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Në këtë rast, pikat tipike kritike të hartës f janë ato në të cilat përcaktori i matricës jakobiane është i barabartë me zero, por rangu i tij është i barabartë me 1, dhe për këtë arsye diferenciali i hartës f në pika të tilla ka një bërthamë njëdimensionale. Kushti i dytë i tipitetit është që në afërsi të pikës në fjalë në planin prototip grupi i pikave kritike të formojë një kurbë të rregullt. S, dhe pothuajse në të gjitha pikat e kurbës S bërthamë ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) nuk ka të bëjë S, dhe pikat ku nuk është kështu janë të izoluara dhe tangjenca në to është e rendit të parë. Pikat kritike të tipit të parë quhen pikat e palosjes, dhe lloji i dytë - pikat e grumbullimit. Palosjet dhe montimet janë të vetmet tipe të veçorive të hartave plan-për-rrafsh që janë të qëndrueshme në lidhje me shqetësimet e vogla: për perturbimet e vogla, pikat e palosjes dhe të grumbullimit lëvizin vetëm pak së bashku me deformimin e kurbës. S, por mos u zhduk, mos degjenero dhe mos shkërmoqet në tipare të tjera.