Integrali lakor i shembujve të llojit të parë. MA

Problemi i masës së kurbës. Le të specifikohet në secilën pikë të një lakore të materialit të lëmuar pjesë-pjesë L: (AB) densiteti i tij. Përcaktoni masën e kurbës.

Le të vazhdojmë në të njëjtën mënyrë siç bëmë kur përcaktuam masën e një zone të sheshtë ( integral i dyfishtë) dhe një trup hapësinor (integral i trefishtë).

1. Ne organizojmë ndarjen e zonës-harkut L në elemente - harqe elementare në mënyrë që këto elemente të mos kenë të përbashkëta pikat e brendshme Dhe
(kushti A )

2. Le të shënojmë "pikat e shënuara" M i në elementet e ndarjes dhe të llogarisim vlerat e funksionit në to

3. Të ndërtojmë shumën integrale
, Ku - gjatësia e harkut (zakonisht të njëjtat shënime futen për harkun dhe gjatësinë e tij). Kjo është një vlerë e përafërt për masën e kurbës. Thjeshtimi është se ne supozuam se dendësia e harkut ishte konstante në secilin element dhe morëm një numër të kufizuar elementësh.

Lëvizja në kufirin e parashikuar
(kushti B ), marrim një integral lakor të llojit të parë si kufi i shumave integrale:

.

Teorema e ekzistencës 10 .

Lëreni funksionin
është i vazhdueshëm në një hark të lëmuar pjesë-pjesë L 11. Atëherë ekziston një integral i linjës së llojit të parë si kufi i shumave integrale.

Koment. Ky kufi nuk varet nga

metodë për zgjedhjen e një ndarjeje, për sa kohë që plotësohet kushti A

zgjedhja e "pikave të shënuara" në elementët e ndarjes,

metoda e rafinimit të ndarjes, për sa kohë që plotësohet kushti B

Vetitë e një integrali lakor të llojit të parë.

1. Lineariteti a) vetinë e mbivendosjes

b) veti homogjeniteti
.

Dëshmi. Le të shkruajmë shumat integrale për integralet në anën e majtë të barazimeve. Meqenëse shuma integrale ka një numër të kufizuar termash, kalojmë në shumat integrale për anët e djathta të barazive. Pastaj kalojmë në kufi, duke përdorur teoremën për kalimin në kufirin në barazi, marrim rezultatin e dëshiruar.

2. Aditiviteti. Nëse
, Se
=
+

Dëshmi. Le të zgjedhim një ndarje të rajonit L në mënyrë që asnjë nga elementët e ndarjes (fillimisht dhe gjatë rafinimit të ndarjes) të mos i përmbajë njëkohësisht elementët L 1 dhe L 2. Kjo mund të bëhet duke përdorur teoremën e ekzistencës (vërejtje për teoremën). Më pas, vërtetimi kryhet nëpërmjet shumave integrale, si në paragrafin 1.

3.
.Këtu – gjatësia e harkut .

4. Nëse në një hark atëherë pabarazia plotësohet

Dëshmi. Le të shkruajmë pabarazinë për shumat integrale dhe të kalojmë te kufiri.

Vini re se, në veçanti, është e mundur

5. Teorema e vlerësimit.

Nëse ekzistojnë konstante
, diçka

Dëshmi. Integrimi i pabarazisë
(prona 4), marrim
. Nga vetia 1 e konstantes
mund të nxirret nga poshtë integraleve. Duke përdorur vetinë 3, marrim rezultatin e dëshiruar.

6. Teorema e vlerës mesatare(vlera e integralit).

Ka një pikë
, Çfarë

Dëshmi. Që nga funksioni
të vazhdueshme në një të mbyllur grup i kufizuar, atëherë ekziston infimum i tij
dhe buza e sipërme
. Pabarazia është e kënaqur. Duke i ndarë të dyja anët me L, marrim
. Por numri
i mbyllur midis pjesës së poshtme dhe buza e sipërme funksionet. Që nga funksioni
është i vazhdueshëm në një grup të kufizuar të mbyllur L, pastaj në një pikë
funksioni duhet ta pranojë këtë vlerë. Prandaj,
.

Leksioni 5 Integralet kurvilineare Llojet 1 dhe 2, vetitë e tyre..

Problemi i masës së kurbës. Integrali lakor i llojit të parë.

Problemi i masës së kurbës. Le të specifikohet në secilën pikë të një lakore të materialit të lëmuar pjesë-pjesë L: (AB) densiteti i tij. Përcaktoni masën e kurbës.

Le të vazhdojmë në të njëjtën mënyrë siç bëmë kur përcaktojmë masën e një rajoni të sheshtë (integral i dyfishtë) dhe një trupi hapësinor (integral i trefishtë).

1. Ne organizojmë ndarjen e rajonit të harkut L në elemente - harqe elementare në mënyrë që këta elementë të mos kenë pika të brendshme të përbashkëta dhe( kushti A )

3. Le të ndërtojmë shumën integrale , ku është gjatësia e harkut (zakonisht i njëjti shënim futet për harkun dhe gjatësinë e tij). kjo - vlerë e përafërt kurba e masës. Thjeshtimi është se ne supozuam se dendësia e harkut ishte konstante në secilin element dhe morëm një numër të kufizuar elementësh.

Lëvizja në kufirin e parashikuar (kushti B ), marrim një integral lakor të llojit të parë si kufi i shumave integrale:

.

Teorema e ekzistencës.

Le të jetë funksioni i vazhdueshëm në një hark të lëmuar pjesë-pjesë L. Atëherë ekziston një integral drejtëz i llojit të parë si kufiri i shumave integrale.

Koment. Ky kufi nuk varet nga

Vetitë e një integrali lakor të llojit të parë.

1. Lineariteti
a) vetinë e mbivendosjes

b) veti e homogjenitetit .

Dëshmi. Le të shkruajmë shumat integrale për integralet në anën e majtë të barazimeve. Meqenëse shuma integrale ka një numër të kufizuar termash, kalojmë në shumat integrale për anët e djathta të barazive. Pastaj kalojmë në kufi, duke përdorur teoremën për kalimin në kufirin në barazi, marrim rezultatin e dëshiruar.

2. Aditiviteti.
Nëse , Se = +

3. Këtu është gjatësia e harkut.

4. Nëse pabarazia plotësohet në hark, atëherë

Dëshmi. Le të shkruajmë pabarazinë për shumat integrale dhe të kalojmë te kufiri.

Vini re se, në veçanti, është e mundur

5. Teorema e vlerësimit.

Nëse ka konstante që, atëherë

Dëshmi. Integrimi i pabarazisë (prona 4), marrim . Nga vetia 1, konstantet mund të hiqen nga integralet. Duke përdorur vetinë 3, marrim rezultatin e dëshiruar.

6. Teorema e vlerës mesatare(vlera e integralit).

Ka një pikë , Çfarë

Dëshmi. Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në një grup të kufizuar të mbyllur, atëherë ekziston infimum-i i tij dhe buza e sipërme . Pabarazia është e kënaqur. Duke i ndarë të dyja anët me L, marrim . Por numri i mbyllur midis kufijve të poshtëm dhe të sipërm të funksionit. Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në një grup të kufizuar të mbyllur L, atëherë në një moment funksioni duhet të marrë këtë vlerë. Prandaj, .

Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë.

Le të parametrizojmë harkun L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Le të korrespondojë t 0 me pikën A dhe t 1 t'i përgjigjet pikës B. Pastaj integrali i drejtëzës i llojit të parë reduktohet në një integral të caktuar ( - formula e njohur nga semestri i parë për llogaritjen e diferencialit të gjatësisë së harkut):

Shembull. Njehsoni masën e një rrotullimi të një spiraleje homogjene (dendësi e barabartë me k): .

Integrali lakor i llojit të dytë.

Problemi i punës së forcës.

1. Ne organizojmë ndarjen e rajonit-harkut AB në elemente - harqe elementare në mënyrë që këta elementë të mos kenë pika të brendshme të përbashkëta dhe( kushti A )

2. Le të shënojmë "pikat e shënuara" M i në elementet e ndarjes dhe të llogarisim vlerat e funksionit në to

3. Të ndërtojmë shumën integrale , ku është vektori i drejtuar përgjatë kordës që nënshtron -arkun .

4. Shkuarja në kufirin e parashikuar (kushti B ), marrim një integral lakor të llojit të dytë si kufi i shumave integrale (dhe puna e forcës):

. Shpesh shënohet

Teorema e ekzistencës.

Le të jetë funksioni vektorial i vazhdueshëm në një hark të lëmuar pjesë-pjesë L. Atëherë ekziston një integral lakor i llojit të dytë si kufi i shumave integrale.

.

Koment. Ky kufi nuk varet nga

Metoda për zgjedhjen e një ndarjeje, për sa kohë që plotësohet kushti A

Zgjedhja e "pikave të shënuara" në elementët e ndarjes,

Një metodë për rafinimin e ndarjes, për sa kohë që plotësohet kushti B

Vetitë e një integrali lakor të llojit të dytë.

1. Lineariteti
a) vetinë e mbivendosjes

b) veti e homogjenitetit .

Dëshmi. Le të shkruajmë shumat integrale për integralet në anën e majtë të barazimeve. Meqenëse në shumën integrale numri i termave është i fundëm, duke përdorur vetinë produkt me pika, le të kalojmë te shumat integrale për anët e djathta të barazimeve. Pastaj kalojmë në kufi, duke përdorur teoremën për kalimin në kufirin në barazi, marrim rezultatin e dëshiruar.

2. Aditiviteti.
Nëse , Se = + .

Dëshmi. Le të zgjedhim një ndarje të rajonit L në mënyrë që asnjë nga elementët e ndarjes (fillimisht dhe gjatë rafinimit të ndarjes) të mos përmbajë njëkohësisht elementët L 1 dhe elementet L 2 . Kjo mund të bëhet duke përdorur teoremën e ekzistencës (vërejtje për teoremën). Më pas, vërtetimi kryhet nëpërmjet shumave integrale, si në paragrafin 1.

3. Orientueshmëria.

= -

Dëshmi. Integrale mbi hark –L, d.m.th. V drejtim negativ kalimi i harkut është kufiri i shumave integrale në termat e të cilave ekziston (). Duke marrë "minus" nga produkti skalar dhe nga shuma e një numri të fundëm termash dhe duke kaluar në kufi, marrim rezultatin e kërkuar.

Një kurbë AB e përcaktuar nga ekuacionet parametrike quhet e qetë nëse funksionet dhe kanë derivate të vazhdueshme në segment dhe, për më tepër, nëse në numër i kufizuar pikat e segmentit, këto derivate nuk ekzistojnë ose zhduken në të njëjtën kohë, atëherë unë e quaj kurbën pjesë-pjesë të qetë. Le të jetë AB një kurbë e sheshtë, e lëmuar ose e lëmuar pjesë-pjesë. Le të jetë f(M) një funksion i përcaktuar në kurbën AB ose në ndonjë fushë D që përmban këtë kurbë. Le të shqyrtojmë ndarjen e lakores A B në pjesë me pika (Fig. 1). Në secilin prej harqeve zgjedhim A^At+i pikë arbitrare Mk dhe bëni një shumë ku Alt është gjatësia e harkut dhe quajeni shumën integrale për funksionin f(M) mbi gjatësinë e harkut të lakores. Le të jetë D / më e madhja nga gjatësitë e harqeve të pjesshme, d.m.th., Vetitë e integraleve lakorike të llojit të 1-rë për kurbat hapësinore Integrale lakorike të llojit të dytë Llogaritja e një integrali lakor Vetitë Lidhja ndërmjet përkufizimeve. Nëse në shumën integrale (I) ka kufiri përfundimtar , e cila nuk varet as nga metoda e ndarjes së kurbës AB në pjesë, as nga zgjedhja e pikave në secilin nga harqet e ndarjes, atëherë ky kufi quhet integral lakor i llojit \th të funksionit f( M) përgjatë lakores AB (integrale mbi gjatësinë e harkut të lakores) dhe shënohet simboli Në këtë rast, funksioni /(M) thuhet se është i integrueshëm përgjatë lakores ABU, kurba A B quhet kontur i integrimi, A është pika fillestare, B është pika përfundimtare e integrimit. Kështu, sipas përkufizimit, Shembulli 1. Le të shpërndahet një masë me densitet linear të ndryshueshëm J(M) përgjatë një lakoreje të lëmuar L. Gjeni masën m të lakores L. (2) Le ta ndajmë kurbën L në n pjesë arbitrare) dhe të llogarisim përafërsisht masën e secilës pjesë, duke supozuar se në secilën pjesë dendësia është konstante dhe e barabartë me densitetin në cilëndo pikë të saj. , për shembull, në pikën ekstreme të majtë /(Af*). Atëherë shuma ksh ku D/d është gjatësia e pjesës D, do të jetë një vlerë e përafërt e masës m Është e qartë se sa më e vogël të jetë ndarja e lakores, aq më e vogël do të jetë vlera e saktë e masa e të gjithë kurbës L, d.m.th. Nëse 0 është në kurbën AB, atëherë 5. Nëse funksioni është i integrueshëm në kurbën AB, atëherë funksioni || është gjithashtu i integrueshëm në A B, dhe në të njëjtën kohë b. Formula mesatare. Nëse funksioni / është i vazhdueshëm përgjatë kurbës AB, atëherë në këtë kurbë ka një pikë Mc e tillë që ku L është gjatësia e lakores AB. 1.3. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë Le të jepet kurba AB me ekuacione parametrike, me pikën A që korrespondon me vlerën t = to, dhe pikën B me vlerën. Ne do të supozojmë se funksionet) janë të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre dhe pabarazia plotësohet vazhdimisht i diferencueshëm në [a, b] dhe pika A korrespondon me vlerën x = a, dhe pikën B - vlerë x = 6, atëherë, duke marrë x si parametër, marrim 1.4. Integralet lakor të llojit të parë për kthesat hapësinore Përkufizimi i një integrali lakor të llojit të parë, i formuluar më sipër për një kurbë të rrafshët, bartet fjalë për fjalë në rastin kur funksioni f(M) jepet përgjatë një lakore hapësinore AB. Le të jepet kurba AB nga ekuacionet parametrike Vetitë e integraleve lakor të llojit të parë për kthesat hapësinore Integralet kurvilineare të llojit të dytë Llogaritja e një integrali lakor Vetitë Marrëdhënia ndërmjet Pastaj integrali lakor i marrë përgjatë kësaj kurbë mund të reduktohet në një integral të caktuar duke përdorur formula e mëposhtme: Shembulli 2. Llogaritni integralin lakor ku L është kontura e një trekëndëshi me kulme në një pikë* (Fig. 3). Nga vetia e aditivitetit kemi Le të llogarisim secilin nga integralet veç e veç. Meqenëse në segmentin OA kemi: , atëherë në segmentin AN kemi, ku dhe pastaj Fig. Së fundi, Prandaj, Shënim. Gjatë llogaritjes së integraleve kemi përdorur vetinë 1, sipas së cilës. Integralet kurvilineare të llojit të dytë Le të jetë A B një kurbë e orientuar e lëmuar ose pjesë-pjesë e lëmuar në rrafshin xOy dhe le të jetë një funksion vektorial i përcaktuar në një fushë D që përmban kurbën AB. E ndajmë kurbën AB në pjesë me pika, koordinatat e të cilave i shënojmë përkatësisht me (Fig. 4). Në secilin prej harqeve elementare AkAk+\ marrim një pikë arbitrare dhe bëjmë shumën D/ të përkufizimit më të madh. Nëse në shumën (1) ka një kufi të fundëm që nuk varet as nga metoda e ndarjes së kurbës AB dhe as nga zgjedhja e pikave rjk) në harqet elementare, atëherë ky kufi quhet integrali lakor i 2-qytetit të vektorit. funksion përgjatë kurbës AB dhe shënohet me simbolin Pra me përkufizim Teorema 2. Nëse në ndonjë fushë D që përmban kurbën AB funksionet janë të vazhdueshme, atëherë ekziston integrali lakor i 2-qytetit. Le të jetë vektori i rrezes së pikës M(x, y). Atëherë integrandi në formulën (2) mund të paraqitet si produkt skalar i vektorëve F(M) dhe dr. Pra, integrali i llojit të dytë të një funksioni vektorial përgjatë kurbës AB mund të shkruhet shkurtimisht si më poshtë: 2.1. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të dytë Le të përcaktohet kurba AB me ekuacione parametrike, ku funksionet janë të vazhdueshme së bashku me derivatet në segment, dhe një ndryshim në parametrin t nga t0 në t\ korrespondon me lëvizjen e një tregoni përgjatë kurbës AB të pikës A në pikën B. Nëse në ndonjë rajon D, që përmban kurbën AB, funksionet janë të vazhdueshme, atëherë integrali lakor i llojit të dytë reduktohet në integralin e caktuar vijues: Kështu, llogaritja e integrali lakor i llojit të dytë gjithashtu mund të reduktohet në llogaritjen e integralit të caktuar. O) Shembulli 1. Llogarit integralin përgjatë një segmenti të drejtë që lidh pikat 2) përgjatë një parabole që lidh të njëjtat pika) Ekuacioni i një parametri të drejtëzës, nga ku Pra 2) Ekuacioni i drejtëzës AB: Nga këtu pra shembulli i konsideruar lyen që vlera e një integrali të lakuar të llojit të dytë, në përgjithësi, varet nga forma e rrugës së integrimit. 2.2. Vetitë e një integrali lakor të llojit të dytë 1. Lineariteti. Nëse ka Veti të integraleve lakor të llojit 1 për kurbat hapësinore Integralet lakor të llojit të 2-të Llogaritja e një integrali lakor Vetitë Lidhja ndërmjet atëherë për çdo real a dhe /5 ka një integral ku 2. Additenost. Nëse kurba AB ndahet në pjesë AC dhe SB dhe ekziston një integral lakor, atëherë ekziston edhe vetia e fundit e interpretimit fizik të një integrali lakor të llojit të dytë fushë force F përgjatë një rruge të caktuar: kur drejtimi i lëvizjes përgjatë një kurbë ndryshon, puna e fushës së forcës përgjatë kësaj kurbë ndryshon shenjën në të kundërtën. 2.3. Marrëdhënia ndërmjet integraleve të lakuar të llojit të parë dhe të dytë Konsideroni një integral lakor të llojit të dytë ku kurba e orientuar AB (A -. pikënisje, NE - pika fundore) jepet me ekuacionin vektorial (këtu I është gjatësia e lakores, e matur në drejtimin në të cilin është orientuar kurba AB) (Fig. 6). Pastaj dr ose ku r = m(1) - vektor njësi tangjente me lakoren AB në pikën M(1). Pastaj vini re se integrali i fundit në këtë formulë është një integral lakor i llojit të parë. Kur ndryshon orientimi i kurbës AB, vektori njësi i tangjentes r zëvendësohet nga vektori i kundërt (-r), i cili sjell një ndryshim në shenjën e integrandit të tij dhe, rrjedhimisht, shenjën e vetë integralit.

Për rastin kur fusha e integrimit është një segment i një kurbë të caktuar që shtrihet në një rrafsh. Shënimi i përgjithshëm për një integral të linjës është si më poshtë:

Ku f(x, y) është një funksion i dy ndryshoreve, dhe L- kurbë, përgjatë një segmenti AB i cili integrim bëhet. Nëse integrandi është i barabartë me një, atëherë integrali i linjës e barabartë me gjatësinë harku AB .

Si gjithmonë në llogaritja integrale, një integral lakor kuptohet si kufiri i shumave integrale të disa pjesëve shumë të vogla të diçkaje shumë të madhe. Çfarë përmblidhet në rastin e integraleve të lakuar?

Le të ketë një segment në aeroplan AB disa kurbë L, dhe një funksion i dy ndryshoreve f(x, y) të përcaktuara në pikat e kurbës L. Le të kryejmë algoritmin e mëposhtëm me këtë segment të kurbës.

1. Kurbë e ndarë AB në pjesë me pika (fotot më poshtë).
2. Zgjidhni lirisht një pikë në secilën pjesë M.
3. Gjeni vlerën e funksionit në pikat e zgjedhura.
4. Vlerat e funksionit shumëzohen me
   • gjatësitë e pjesëve në rast integrali lakor i llojit të parë ;
   • projeksionet e pjesëve në boshtin koordinativ në rast integrali lakor i llojit të dytë .
5. Gjeni shumën e të gjitha produkteve.
6. Gjeni kufirin e shumës integrale të gjetur me kusht që gjatësia e pjesës më të gjatë të lakores të priret në zero.

Nëse kufiri i përmendur ekziston, atëherë kjo kufiri i shumës integrale dhe quhet integrali lakor i funksionit f(x, y) përgjatë kurbës AB .

lloji i parë

Rasti i një integrali lakor
lloji i dytë

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm.

Mune ( ζ i ; η i)- një pikë me koordinatat e zgjedhura në çdo vend.

fune ( ζ i ; η i)- vlera e funksionit f(x, y) në pikën e përzgjedhur.

Δ si- gjatësia e një pjese të një segmenti kurbë (në rastin e një integrali lakor të llojit të parë).

Δ xi- projeksioni i një pjese të segmentit të kurbës mbi bosht kau(në rastin e një integrali lakor të llojit të dytë).

d= maxΔ s i- gjatësia e pjesës më të gjatë të segmentit të kurbës.

Integralet kurvilineare të llojit të parë

Bazuar në sa më sipër për kufirin e shumave integrale, një integral rreshtor i llojit të parë shkruhet si më poshtë:

.

Një integral rreshtor i llojit të parë ka të gjitha vetitë që ka integral i caktuar. Megjithatë, ka një ndryshim të rëndësishëm. U integral i caktuar Kur kufijtë e integrimit ndërrohen, shenja ndryshon në të kundërtën:

Në rastin e një integrali lakor të llojit të parë, nuk ka rëndësi se cila pikë e lakores AB (A ose B) konsiderohet fillimi i segmentit, dhe cili është fundi, d.m.th

.

Integralet kurvilineare të llojit të dytë

Bazuar në atë që është thënë për kufirin e shumave integrale, një integral lakor i llojit të dytë shkruhet si më poshtë:

.

Në rastin e një integrali lakor të llojit të dytë, kur fillimi dhe fundi i një segmenti kurbë ndërrohen, shenja e integralit ndryshon:

.

Kur përpiloni shumën integrale të një integrali lakor të llojit të dytë, vlerat e funksionit fune ( ζ i ; η i) mund të shumëzohet edhe me projeksionin e pjesëve të një segmenti kurbë mbi bosht Oy. Pastaj marrim integralin

.

Në praktikë, zakonisht përdoret bashkimi i integraleve lakor të llojit të dytë, domethënë dy funksione f = P(x, y) Dhe f = P(x, y) dhe integrale

,

dhe shuma e këtyre integraleve

thirrur integrali lakor i përgjithshëm i llojit të dytë .

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të parë

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të parë reduktohet në llogaritjen e integraleve të përcaktuara. Le të shqyrtojmë dy raste.

Le të jepet një kurbë në aeroplan y = y(x) dhe një segment kurbë AB korrespondon me një ndryshim në ndryshore x nga a te b. Pastaj në pikat e kurbës funksioni i integrandit f(x, y) = f(x, y(x)) ("Y" duhet të shprehet përmes "X"), dhe diferenciali i harkut dhe integrali i linjës mund të llogaritet duke përdorur formulën

.

Nëse integrali është më i lehtë për t'u integruar mbi y, atëherë nga ekuacioni i lakores duhet të shprehim x = x(y) ("x" deri "y"), ku ne llogarisim integralin duke përdorur formulën

.

Shembulli 1.

Ku AB- segment i drejtë midis pikave A(1; −1) dhe B(2; 1) .

Zgjidhje. Le të bëjmë një ekuacion të një drejtëze AB, duke përdorur formulën (ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna A(x1 ; y 1 ) Dhe B(x2 ; y 2 ) ):

Nga ekuacioni drejtvizor shprehim y përmes x :

Atëherë dhe tani mund të llogarisim integralin, pasi na kanë mbetur vetëm "X":

Le të jepet një kurbë në hapësirë

Pastaj në pikat e kurbës funksioni duhet të shprehet përmes parametrit t() dhe diferencial me hark , prandaj integrali lakor mund të llogaritet duke përdorur formulën

Në mënyrë të ngjashme, nëse një kurbë është dhënë në aeroplan

,

atëherë me formulën llogaritet integrali lakor

.

Shembulli 2. Llogarit integralin e vijës

Ku L- pjesë e një vije rrethi

ndodhet në oktantin e parë.

Zgjidhje. Kjo kurbë është një e katërta e vijës rrethore të vendosur në rrafsh z= 3. Ajo korrespondon me vlerat e parametrave. Sepse

atëherë diferenciali i harkut

Le të shprehim funksionin integrand përmes parametrit t :

Tani që kemi gjithçka të shprehur përmes një parametri t, ne mund ta reduktojmë llogaritjen e këtij integrali lakor në një integral të caktuar:

Llogaritja e integraleve kurvilineare të llojit të dytë

Ashtu si në rastin e integraleve kurvilinearë të llojit të parë, llogaritja e integraleve të llojit të dytë reduktohet në llogaritjen e integraleve të përcaktuara.

Lakorja jepet në koordinata drejtkëndore karteziane

Le të jepet një kurbë në një rrafsh nga ekuacioni i funksionit "Y", i shprehur me "X": y = y(x) dhe harku i lakores AB korrespondon me ndryshimin x nga a te b. Më pas e zëvendësojmë shprehjen e "y" përmes "x" në integrand dhe përcaktojmë diferencialin e kësaj shprehjeje të "y" në lidhje me "x": . Tani që gjithçka shprehet në termat "x", integrali i linjës së llojit të dytë llogaritet si një integral i caktuar:

Një integral lakor i llojit të dytë llogaritet në mënyrë të ngjashme kur kurba jepet nga ekuacioni i funksionit "x" i shprehur përmes "y": x = x(y) , . Në këtë rast, formula për llogaritjen e integralit është si më poshtë:

Shembulli 3. Llogarit integralin e vijës

, Nëse

A) L- segment i drejtë O.A., Ku RRETH(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- harku i parabolës y = x² nga RRETH(0; 0) deri në A(1; −1) .

a) Le të llogarisim integralin lakor mbi një segment të drejtë (blu në figurë). Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës dhe të shprehim "Y" me "X":

.

marrim dy = dx. Ne e zgjidhim këtë integral lakor:

b) nëse L- harku i parabolës y = x² , marrim dy = 2xdx. Ne llogarisim integralin:

Në shembullin e sapo zgjidhur, ne morëm të njëjtin rezultat në dy raste. Dhe kjo nuk është një rastësi, por rezultat i një modeli, pasi ky integral plotëson kushtet e teoremës së mëposhtme.

Teorema. Nëse funksionet P(x,y) , P(x,y) dhe derivatet e tyre të pjesshme janë të vazhdueshme në rajon D funksionet dhe në pika në këtë rajon derivatet e pjesshme janë të barabarta, atëherë integrali lakor nuk varet nga rruga e integrimit përgjatë vijës. L ndodhet ne zone D .

Lakorja jepet në formë parametrike

Le të jepet një kurbë në hapësirë

.

dhe në integrandet që zëvendësojmë

duke i shprehur këto funksione nëpërmjet një parametri t. Marrim formulën për llogaritjen e integralit lakor:

Shembulli 4. Llogarit integralin e vijës

,

Nëse L- pjesë e një elipsi

plotësimi i kushtit y ≥ 0 .

Zgjidhje. Kjo kurbë është pjesa e elipsës e vendosur në rrafsh z= 2. Ajo korrespondon me vlerën e parametrit.

ne mund të paraqesim integralin lakor në formën e një integrali të caktuar dhe ta llogarisim atë:

Nëse jepet një integral kurbë dhe Lështë një vijë e mbyllur, atëherë një integral i tillë quhet integral me qark të mbyllur dhe është më i lehtë për t'u llogaritur duke përdorur Formula e Green .

Më shumë shembuj të llogaritjes së integraleve të linjës

Shembulli 5. Llogarit integralin e vijës

Ku L- një segment i drejtë midis pikave të kryqëzimit të tij me boshtet koordinative.

Zgjidhje. Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës me boshtet koordinative. Zëvendësimi i një vije të drejtë në ekuacion y= 0, marrim ,. Zëvendësimi x= 0, marrim ,. Kështu, pika e kryqëzimit me boshtin kau - A(2; 0) , me bosht Oy - B(0; −3) .

Nga ekuacioni drejtvizor shprehim y :

.

, .

Tani mund të paraqesim integralin e linjës si një integral të caktuar dhe të fillojmë ta llogarisim atë:

NË integrand zgjidhni faktorin, hiqni atë nga shenja integrale. Në integrandin që rezulton ne përdorim nënshkrimi i shenjës diferenciale dhe më në fund e marrim.

Minimumi teorik

Curvilinear dhe integrale sipërfaqësore gjenden shpesh në fizikë. Ato vijnë në dy lloje, e para prej të cilave diskutohet këtu. Kjo
lloji i integraleve ndërtohet sipas skema e përgjithshme, me të cilat të caktuara, të dyfishta dhe integrale të trefishta. Le të kujtojmë shkurtimisht këtë skemë.
Ekziston një objekt mbi të cilin kryhet integrimi (një-dimensionale, dy-dimensionale ose tre-dimensionale). Ky objekt është i ndarë në pjesë të vogla,
zgjidhet një pikë në secilën pjesë. Në secilën prej këtyre pikave, vlera e integrandit llogaritet dhe shumëzohet me masën e pjesës që
i takon pikë e dhënë(gjatësia e një segmenti, zona ose vëllimi i një rajoni të pjesshëm). Pastaj të gjitha produktet e tilla përmblidhen dhe kufiri plotësohet
kalimi në thyerjen e objektit në pjesë pafundësisht të vogla. Kufiri që rezulton quhet integral.

1. Përkufizimi i një integrali lakor të llojit të parë

Le të shqyrtojmë një funksion të përcaktuar në një kurbë. Kurba supozohet të jetë e korrigjueshme. Le të kujtojmë se çfarë do të thotë kjo, përafërsisht,
se një vijë e thyer me lidhje të vogla arbitrare mund të futet në një kurbë, dhe në kufi është e pafundme numër i madh lidhjet, gjatësia e vijës së thyer duhet të mbetet
përfundimtar. Lakorja ndahet në harqe të pjesshme të gjatësisë dhe zgjidhet një pikë në secilin prej harqeve. Një vepër po përpilohet
përmbledhja kryhet mbi të gjitha harqet e pjesshme . Pastaj kalimi në kufi kryhet me tendencën e gjatësisë së më të madhes
nga harqet e pjesshme në zero. Kufiri është një integral lakor i llojit të parë
.
Një tipar i rëndësishëm i këtij integrali, që rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i tij, është pavarësia e tij nga drejtimi i integrimit, d.m.th.
.

2. Përkufizimi i integralit sipërfaqësor të llojit të parë

Konsideroni një funksion të përcaktuar në një sipërfaqe të lëmuar ose të lëmuar pjesë-pjesë. Sipërfaqja është e ndarë në zona të pjesshme
me zona, zgjidhet një pikë në secilën zonë të tillë. Një vepër po përpilohet , kryhet përmbledhja
mbi të gjitha zonat e pjesshme . Pastaj kalimi në kufi kryhet me tendencën e diametrit të më të madhit nga të gjitha të pjesshme
zonat në zero. Kufiri është një integral sipërfaqësor i llojit të parë
.

3. Llogaritja e një integrali lakor të llojit të parë

Metoda për llogaritjen e një integrali lakor të llojit të parë mund të shihet tashmë nga shënimi i tij zyrtar, por në fakt rrjedh drejtpërdrejt nga
përkufizimet. Integrali është reduktuar në një të caktuar, ju vetëm duhet të shkruani diferencialin e harkut të kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi.
Le të fillojmë me rast i thjeshtë integrimi përgjatë një kurbë të rrafshët të dhënë nga një ekuacion eksplicit. Në këtë rast, diferenciali i harkut
.
Pastaj një ndryshim i ndryshores kryhet në integrand dhe integrali merr formën
,
ku segmenti i përgjigjet ndryshimit të ndryshores përgjatë asaj pjese të kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi.

Shumë shpesh kurba specifikohet parametrikisht, d.m.th. ekuacionet e formës Pastaj diferenciali i harkut
.
Kjo formulë është shumë thjesht e justifikuar. Në thelb, kjo është teorema e Pitagorës. Diferenciali i harkut është në të vërtetë gjatësia e pjesës infiniteminale të kurbës.
Nëse kurba është e lëmuar, atëherë pjesa e saj infiniteminale mund të konsiderohet drejtvizore. Për një vijë të drejtë kemi relacionin
.
Në mënyrë që ajo të kryhet për një hark të vogël të kurbës, duhet të kalohet nga rritjet e fundme në diferenciale:
.
Nëse kurba specifikohet në mënyrë parametrike, atëherë diferencat llogariten thjesht:
etj.
Prandaj, pas ndryshimit të variablave në integrand, integrali i kurbës llogaritet si më poshtë:
,
ku pjesa e kurbës përgjatë së cilës kryhet integrimi i përgjigjet segmentit të ndryshimit të parametrit.

Situata është disi më e ndërlikuar në rastin kur kurba është e specifikuar në koordinata kurvilineare. Kjo çështje zakonisht diskutohet në kuadër të diferencialit
gjeometria. Le të japim një formulë për llogaritjen e integralit përgjatë kurbës së dhënë koordinatat polare ekuacioni:
.
Ne gjithashtu do të japim një arsyetim për diferencialin e harkut në koordinatat polare. Diskutim i detajuar i ndërtimit të rrjetit sistemi polar koordinatat
cm . Le të zgjedhim një hark të vogël të kurbës të vendosur në lidhje me linjat koordinative siç tregohet në Fig. 1. Për shkak të vogëlsisë së të gjithë atyre të paraqitur
përsëri mund të zbatojmë teoremën e Pitagorës dhe të shkruajmë:
.
Nga këtu vijon shprehja e dëshiruar për diferencialin e harkut.

Me të pastër pikë teorike Nga një këndvështrim vizual, mjafton thjesht të kuptohet se një integral lakor i llojit të parë duhet të reduktohet në rastin e tij të veçantë -
në një integral të caktuar. Në të vërtetë, duke bërë ndryshimin e diktuar nga parametrizimi i lakores përgjatë së cilës llogaritet integrali, ne vendosim
hartëzimi një-për-një ndërmjet një pjese të një kurbë të caktuar dhe një segmenti të ndryshimit të parametrave. Dhe ky është një reduktim në integral
përgjatë një vije të drejtë që përkon me boshti koordinativ- një integral i caktuar.

4. Llogaritja e integralit të sipërfaqes së llojit të parë

Pas pikës së mëparshme, duhet të jetë e qartë se një nga pjesët kryesore të llogaritjes së një integrali sipërfaqësor të llojit të parë është shkrimi i elementit të sipërfaqes,
mbi të cilat kryhet integrimi. Përsëri, le të fillojmë me rastin e thjeshtë të një sipërfaqe të përcaktuar nga një ekuacion eksplicit. Pastaj
.
Bëhet një zëvendësim në integrand dhe integrali i sipërfaqes zvogëlohet në një dyfish:
,
ku është rajoni i rrafshit në të cilin është projektuar pjesa e sipërfaqes mbi të cilën kryhet integrimi.

Megjithatë, shpesh është e pamundur të përcaktohet një sipërfaqe me një ekuacion eksplicit, dhe më pas ajo përcaktohet në mënyrë parametrike, d.m.th. ekuacionet e formës
.
Elementi i sipërfaqes në këtë rast është shkruar më i ndërlikuar:
.
Integrali i sipërfaqes mund të shkruhet në përputhje me rrethanat:
,
ku është zona e ndryshimit të parametrave që korrespondon me pjesën e sipërfaqes mbi të cilën kryhet integrimi.

5. Kuptimi fizik i integraleve curvilineare dhe sipërfaqësore të llojit të parë

Integralet e diskutuara kanë një shumë të thjeshtë dhe të qartë kuptimi fizik. Le të ketë ndonjë kurbë, dendësia lineare e së cilës nuk është
konstante, dhe është një funksion i pikës . Le të gjejmë masën e kësaj kurbe. Le ta ndajmë kurbën në shumë elementë të vegjël,
brenda të cilit dendësia e tij përafërsisht mund të konsiderohet konstante. Nëse gjatësia e një pjese të vogël të kurbës është e barabartë me , atëherë masa e saj
, ku është çdo pikë e pjesës së përzgjedhur të kurbës (ndonjë, pasi dendësia është brenda
kjo pjesë përafërsisht supozohet të jetë konstante). Prandaj, masa e të gjithë kurbës merret duke mbledhur masat e pjesëve të saj individuale:
.
Që barazia të bëhet e saktë, duhet shkuar deri në kufirin e ndarjes së kurbës në pjesë infiniteminale, por ky është një integral lakor i llojit të parë.

Çështja e ngarkesës totale të lakores zgjidhet në mënyrë të ngjashme nëse dihet densiteti i ngarkesës lineare .

Këto argumente mund të transferohen lehtësisht në rastin e një sipërfaqeje të ngarkuar në mënyrë jo uniforme dendësia e sipërfaqes ngarkuar . Pastaj
ngarkesa sipërfaqësore është një integral sipërfaqësor i llojit të parë
.

Shënim. Një formulë e rëndë për një element sipërfaqësor të përcaktuar parametrikisht është e papërshtatshme për t'u mbajtur mend. Një shprehje tjetër është marrë në gjeometrinë diferenciale,
ai përdor të ashtuquajturat së pari formë kuadratike sipërfaqeve.

Shembuj të llogaritjes së integraleve lakor të llojit të parë

Shembulli 1. Integrale përgjatë një linje.
Llogarit integralin

përgjatë një segmenti vije që kalon nëpër pikat dhe .

Së pari, shkruajmë ekuacionin e vijës së drejtë përgjatë së cilës kryhet integrimi: . Le të gjejmë një shprehje për:
.
Ne llogarisim integralin:

Shembulli 2. Integrale përgjatë një kurbë në një plan.
Llogarit integralin

përgjatë një harku parabole nga pika në pikë.

Pikat e vendosjes dhe ju lejon të shprehni një ndryshore nga ekuacioni i parabolës: .

Ne llogarisim integralin:
.

Megjithatë, u bë e mundur të kryheshin llogaritjet në një mënyrë tjetër, duke përfituar nga fakti që kurba jepet nga një ekuacion i zgjidhur në lidhje me variablin.
Nëse marrim një variabël si parametër, kjo do të çojë në ndryshim i vogël shprehjet për diferencialin e harkut:
.
Prandaj, integrali do të ndryshojë pak:
.
Ky integral llogaritet lehtësisht duke zëvendësuar variablin nën diferencial. Rezultati është i njëjti integral si në metodën e parë të llogaritjes.

Shembulli 3. Integral përgjatë një kurbë në një plan (duke përdorur parametrizimin).
Llogarit integralin

përgjatë gjysmës së sipërme të rrethit .

Ju, sigurisht, mund të shprehni një nga variablat nga ekuacioni i një rrethi, dhe pastaj të kryeni pjesën tjetër të llogaritjeve në mënyrën standarde. Por ju gjithashtu mund të përdorni
specifikimi i kurbës parametrike. Siç e dini, një rreth mund të përcaktohet me ekuacione. Gjysmërrethi i sipërm
korrespondon me një ndryshim në parametrin brenda . Le të llogarisim diferencialin e harkut:
.
Kështu,

Shembulli 4. Integral përgjatë një kurbë në një plan të specifikuar në koordinatat polare.
Llogarit integralin

përgjatë lobit të djathtë të lemniskatit .

Vizatimi i mësipërm tregon një lemniskat. Integrimi duhet të kryhet përgjatë lobit të djathtë. Le të gjejmë diferencialin e harkut për kurbën :
.
Hapi tjetër është përcaktimi i kufijve të integrimit mbi këndin polar. Është e qartë se pabarazia duhet të plotësohet, prandaj
.
Ne llogarisim integralin:

Shembulli 5. Integrale përgjatë një kurbë në hapësirë.
Llogarit integralin

përgjatë kthesës së spirales që korrespondon me kufijtë e ndryshimit të parametrave