PROGRAMI I PROVIMIT

në lëndën “Analiza matematikore” (A-5,13,14-13)

1. Bashkësi të kufizuara dhe të pakufizuara. Shembuj.

2. Kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të një grupi numrash. Teorema e ekzistencës

kufi i saktë i sipërm (e saktë i poshtëm) i një grupi.

3. Sekuenca e numrave. Kufiri i sekuencës së numrave.

Marrëdhënia midis sekuencave konvergjente dhe infiniteminale.

4. Sekuenca pafundësisht të vogla dhe vetitë e tyre.

5. Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe lidhja e tyre me ato infiniteminale

sekuencat.

6. Vetitë aritmetike kufijtë e sekuencës.

7. Vetitë e sekuencave konvergjente: unike e kufirit,

kufiri i një sekuence konvergjente.

8. Vetitë e sekuencave konvergjente: kalimi në kufirin në

pabarazitë.

9. Sekuenca monotone. Teorema mbi kufirin e një monotoni

sekuencat.

10. Numri e.

11. Lemë në segmentet e mbivendosur.

12. Pasojat, kufijtë e pjesshëm. Kufizoni komunikimin

sekuenca me kufij të pjesshëm.

13. Teorema Bolzano-Weierstrass.

14. Kriteri Cauchy për konvergjencën e një sekuence numerike.

15. Kufiri i një funksioni: dy përkufizime dhe ekuivalenca e tyre.

16. Vetitë aritmetike të kufijve të funksioneve.

17. Vetitë e kufijve të funksioneve: unike e kufirit; kufizim

funksioni që ka një kufi.

18. Vetitë e kufijve të funksioneve: kalimi në kufirin në pabarazi.

19. Kufijtë e njëanshëm dhe lidhja e tyre me kufirin e një funksioni.

20. Kufiri i parë i mrekullueshëm.

21. Kufiri i dytë i shquar.

22. Funksionet infiniteminale dhe vetitë e tyre.

23. Funksionet pafundësisht të mëdha dhe lidhja e tyre me ato pafundësisht të vogla

funksione.

24. Krahasimi i funksioneve infiniteminale. Shembuj.

25. Funksionet ekuivalente infiniteminale (tabela). Teorema rreth

funksionet ekuivalente infiniteminale.

26. Krahasimi është i pafund funksione të mëdha. Shembuj.

27. Vazhdimësia e një funksioni në një pikë (3 përkufizime). Vetitë e funksionit,

e vazhdueshme në një pikë.

28. Vazhdimësia e një funksioni kompleks.

29. Klasifikimi i pikave të ndërprerjes së funksionit.

30. Pikat e thyerjes së një funksioni monoton.

31. Teorema e parë e Weierstrass.

32. Teorema e dytë e Weierstrass.

33. Teorema mbi zeron e një funksioni të vazhdueshëm.

34. Teorema Bolzano-Cauchy mbi vlerat e ndërmjetme të një vije të vazhdueshme

funksione. Përfundim i teoremës Bolzano-Cauchy.

35. Kriteri për vazhdimësinë e një funksioni monoton.

36. Vazhdimësia e funksionit të anasjelltë.

37. Vazhdimësia e njëtrajtshme e një funksioni. Teorema e Kantorit.

38. Derivat i një funksioni në një pikë. Derivatet funksionet elementare

(shembuj dhe tabela). Kuptimi gjeometrik derivatore.

39. Diferencimi i një funksioni në një pikë (dy përkufizime dhe të tyre

ekuivalencë). Vazhdimësia e një funksioni të diferencueshëm.

40. Vetitë aritmetike të funksioneve të diferencueshëm.

41. Derivat i një funksioni kompleks.

42. Derivat i funksionit të anasjelltë.

43. Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.

44. Derivatet e urdhrave më të lartë. formula e Leibniz-it.

45. Diferencial i një funksioni. Vetitë diferenciale. Invarianca

format e shkrimit të diferencialit të parë.

46. ​​Diferenciale të urdhrave më të lartë. Mospandryshueshmëria e formularit të regjistrimit

diferenciali i dytë.

47. Teorema e Fermatit.

48. Teorema e Rolit.

49. Teorema e Lagranzhit.

50. Teorema e Cauchy-t për funksionet e diferencueshme.

51. Rregulli i L'Hopital.

52. 53. 54. Formula e Taylor-it me term mbetje në trajtën Peano. Formula e Taylor-it me një term të mbetur në formën e Lagranzhit. Formulat e Taylor për funksionet elementare.

55. Shenjë e monotonitetit të një funksioni.

56. Ekstrem lokal funksione. Një kusht i domosdoshëm për lokale

ekstreme.

57. Së pari gjendje e mjaftueshme ekstremi lokal.

58. Kushti i dytë i mjaftueshëm për një ekstrem lokal.

59. Konveksiteti i funksionit. Një kusht i mjaftueshëm për konveksitetin e një funksioni.

60. Lidhja midis konveksitetit të një funksioni dhe tangjentes së grafikut të një funksioni

(formulimi).

64. Pika e lakimit të një funksioni. Një kusht i domosdoshëm për pikën e përkuljes.

65. Kushtet e mjaftueshme për një pikë lakimi (2 teorema).

66. Asimptotat e grafikut të një funksioni.

1. Bashkësi të kufizuara dhe të pakufizuara. Shembuj.

Dëshmi. Pasoja. Shembull.

2. Kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të një grupi numrash. Teorema mbi ekzistencën e një kufiri të saktë të sipërm (të saktë të poshtëm) të një bashkësie.

deklaratë. Dëshmi.

Teorema mbi ekzistencën e një kufiri të saktë të sipërm (të poshtëm).. Dëshmi.

3. Sekuenca e numrave. Kufiri i sekuencës së numrave. Marrëdhënia midis sekuencave konvergjente dhe infiniteminale.

Teorema rreth lidhjes b.m. dhe një sekuencë konvergjente. Dëshmi.

4. Sekuencat infiniteminale dhe vetitë e tyre.

Teorema 1. Dëshmi.

Pasoja.

5. Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe lidhja e tyre me sekuenca pafundësisht të vogla.

Teorema.

Dëshmi.

6. Vetitë aritmetike të kufijve të sekuencës.

Teorema.Dëshmi. Teorema. Dëshmi.

7. Vetitë e sekuencave konvergjente: unike e kufirit, kufizueshmëria e sekuencës konvergjente.

Teorema:(mbi veçantinë e kufirit): Nëse
-konvergjent, atëherë ka vetëm një kufi.

Dëshmi:

Le
,
,
.

Për të qenë të sigurt
ne kemi:

.

<
<

<. <
.

Kontradikta.

Teorema:(në lidhje me kufirin e një sekuence konvergjente): Nëse
-konvergon, pastaj kufizohet.

- konvergjente


:

.

Le ta marrim =1


.

Le të shënojmë atëherë

Pastaj

Prandaj për të dyja rastet

Koment: e kundërta nuk është e vërtetë.

8. Vetitë e sekuencave konvergjente: kalimi në kufirin në pabarazi.

Teorema: (në lidhje me kalimin kufizues në pabarazi):

Le
,
.

. Pastaj
.

Koment:

.

Prova (me kontradiktë):

Le
.

Le ta marrim
.

Le të shënojmë

.

- kontradiktë.

Koment: Nëse elementet e sekuencës janë të kënaqur
, atëherë kjo nuk pason
.


.

=, =,



.

9. Sekuenca monotone. Teorema mbi kufirin e një sekuence monotone.

Përkufizimi:
- në rritje monotonike (monotonike në rënie),

Nëse

(
). Nëse pabarazitë janë strikte, atëherë

sekuencat janë rreptësisht në rritje (në zbritje).

Teorema (në kufirin e një sekuence monotone). Le

Rritet në mënyrë monotonike dhe kufizohet nga lart. Pastaj ajo konvergon, dhe

.

Dëshmi:

i kufizuar nga lart =>nga teorema e ekzistencës së një sipërmeje ekzakte

skajet

. Le ta vërtetojmë këtë
.

: 1)

2)
.

Le të marrim një arbitrare
, tregojnë
nga 2).

1)=>

2)=>
(monot. mosha).

Nga kjo rrjedh se
,
=>

.

Ne kemi provuar një kusht të mjaftueshëm për konvergjencën numerike të sekuencës (monot. dhe limit.)

10. Numri e.

Është e vështirë të vërtetohet se funksioni
në

ka një kufi. Ky kufi tregohet me shkronjë për nder të zbuluesit

matematikani i tij në Shën Petersburg, Leonard Euler. Përcaktoi se

ky është një numër irracional dhe çfarë =2.718281828459…. Formula,

duke përcaktuar numrin tradicionalisht quhet e dyta e mrekullueshme

limit.

. Gjithashtu numri -bazë

logaritmet natyrore.

Le të shqyrtojmë
.

Komplete të kufizuara dhe të pakufizuara. Bashkësi të fundme dhe të pafundme

Bashkësitë me numrin e elementeve mund të jenë të fundme ose të pafundme

Konsideroni një grup arbitrar të pafund numra realë, mund të specifikohet në çfarëdo mënyre. Të tillë

Kompletet janë, për shembull, grupi numrat natyrorë, një tufë me thyesat e duhura, bashkësi numrash realë ndërmjet 0 dhe 1, bashkësi rrënjësh ekuacionet e mëkatit x = ½, etj.

Secilin nga numrat e bashkësisë shënojmë me x dhe vetë bashkësia do të shënohet me X.

Përkufizimet 7.3.

Nëse për një bashkësi X ka një numër M të tillë që për të gjitha x≤M, atëherë bashkësia X quhet e kufizuar sipër (me numrin M), dhe vetë M quhet kufiri i sipërm i X. Për shembull, bashkësia fraksionet natyroreështë i kufizuar nga lart me numrin 1 (dhe në përgjithësi nga çdo numër më i madh ose i barabartë me 1), seria natyrore është e pakufizuar nga lart

Një grup i kufizuar nga poshtë dhe kufiri i poshtëm përcaktohen në mënyrë të ngjashme

Një grup i kufizuar nga lart (nga poshtë) mund të jetë i kufizuar dhe i kufizuar nga poshtë (nga lart). Kështu, grupi i fraksioneve të duhura është i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë, dhe seria natyrore është e kufizuar poshtë, por jo sipër.

Nëse grupi i mësipërm (poshtë) është i pakufizuar, atëherë një numër "i papërshtatshëm" merret si kufiri i tij i sipërm (i poshtëm) Lidhur me këta numra "të pahijshëm" ose "të pafund", supozojmë se cilido qoftë numri real.

Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet (thjesht) kufizuar.

Nëse grupi është i kufizuar nga lart, d.m.th. ka një kufi të sipërm të fundëm në M, atëherë në të njëjtën kohë ai ka një numër të pafund kufijsh të sipërm (pasi, për shembull, çdo numër >M padyshim do të jetë gjithashtu një kufi i sipërm). Nga të gjithë kufijtë e sipërm, ai që është më interesant është ai më i vogli (aka të sakta kufiri i sipërm, supremum, supremum i grupit X, supX (nga latinishtja supremum - më i madhi))

Kufiri i saktë i poshtëm ( buza e poshtme, infinum i bashkësisë X, inf X (nga infinum - më i vogli))

përkufizim '

Numri β quhet kufiri i sipërm i një grupi numrash X nëse:

2’) për çdo ε>0 ekziston i tillë që x > β - ε

Për përkufizimin α=inf X ' formuloni vetë figurën. 7.3 (2).

Le ; Pastaj

sup = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a.

Këta shembuj tregojnë, në veçanti, se fytyrat e poshtme dhe të sipërme mund t'i përkasin ose jo vetë grupit.

Nga vetë përkufizimi i tyre, kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të një grupi janë unikë. Në fakt, nëse në një grup, madje që i përket vijës së zgjeruar të numrave, ekziston një element më i vogël (më i madh), atëherë ai është unik, pasi nga të dy elemente të ndryshme të një grupi, më i madhi prej tyre nuk mund të jetë elementi më i vogël dhe më i vogli nuk mund të jetë më i madhi.

A ka gjithmonë një grup i kufizuar sipër (poshtë) një kufi të saktë të sipërm (të poshtëm)? Në të vërtetë, duke qenë se ka pafundësisht shumë kufij të sipërm (të poshtëm) dhe midis grupit të pafundëm të numrave nuk ka gjithmonë më të madhin (më të voglin), ekzistenca e supremum (infinum) kërkon prova të veçanta.

Teorema 7.3 (1)

Çdo grup jo bosh i kufizuar sipër ka një kufi të sipërm dhe çdo grup jo bosh i kufizuar më poshtë ka një kufi të poshtëm.

Dëshmi

Le të jetë jo bosh grup numrash A është i kufizuar nga lart, B është bashkësia e të gjithë numrave që lidhin nga lart bashkësinë A. Nëse atëherë nga përkufizimi i një numri që kufizohet nga lart

vendosur, rrjedh se a≤b. Prandaj, nga vetia e vazhdimësisë numra realë ekziston një numër β i tillë që pabarazia a≤β≤b vlen për të gjithë. Pabarazi do të thotë që numri β e kufizon bashkësinë A nga lart, dhe pabarazia do të thotë se numri β është më i vogli nga të gjithë numrat që e lidhin bashkësinë A nga lart, pra, β = sup A.

Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se një grup numerik i kufizuar nga poshtë ka një infimum.

Le të shqyrtojmë rregullimin e grafikëve në lidhje me njëri-tjetrin funksionet e anasjellta V Sistemi kartezian koordinon dhe vërteton pohimin e mëposhtëm.

Lema 1.1. Nëse a, b R, atëherë pikat M 1 (a, b), M 2 (b, a) të rrafshit janë simetrike në lidhje me drejtëzën y ​​= x.

Nëse a = b, atëherë pikat M1 dhe M2 përputhen dhe shtrihen në vijën e drejtë y = x. Do të supozojmë se a 6= b. Drejtëza që kalon nëpër pikat M1, M2 ka ekuacionin y = −x+a+b, prandaj është pingul me drejtëzën y ​​= x.

Që nga mesi i segmentit M1 M2 ka koordinata a + 2 b ,a + 2 b ! , Kjo

shtrihet në drejtëzën y ​​= x. Prandaj, pikat M1, M2

Pasoja. Nëse funksionet f: X −→ Y dhe ϕ : Y −→ X janë reciprokisht të anasjelltë, atëherë grafikët e tyre janë simetrik në lidhje me drejtëzën y ​​= x nëse vizatohen në të njëjtin sistem koordinativ.

Le të jenë f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) grafikët e funksioneve f dhe ϕ, respektivisht. Sepse

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

më pas, në bazë të lemës së provuar, grafikët f dhe ϕ simetrike rreth drejtëzës y = x.

1.6 Vetitë e bashkësive numerike

1.6.1 Kompletet e numrave të kufizuar

Përkufizimi 1.26. Le të jetë X një grup numrash jo bosh. Një bashkësi X thuhet se është e kufizuar sipër (poshtë) nëse ka një numër a të tillë që x 6 a (x > a ) për çdo element x X . Në këtë rast, numri a quhet kufiri i sipërm (i poshtëm) i grupit X. Një grup i kufizuar poshtë dhe lart quhet i kufizuar.

Duke përdorur simbole logjike, kufiri i sipërm i një grupi X shkruhet si më poshtë:

a R: x 6 a, x X.

Duke marrë parasysh vetitë e modulit të një numri, mund të japim përkufizimin ekuivalent të mëposhtëm të një bashkësie të kufizuar.

Përkufizimi 1.27. Një grup numrash jo bosh X quhet i kufizuar nëse ka një numër pozitiv M të tillë që

Përkufizimi 1.28. Një element nga një grup numerik X quhet element maksimal (minimal) në X nëse x 6 a (përkatësisht, x > a) për çdo x të X, dhe ata shkruajnë: a = max X (përkatësisht, a = min X) .

Në bazë të aksiomës së rendit (3.b), është e lehtë të tregohet se nëse një grup X në R ka një element maksimal (minimal), atëherë ai është unik.

Vini re se nëse një grup numrash X ka një element maksimal (minimal) a, atëherë ai kufizohet sipër (poshtë) dhe numri a është kufiri i sipërm (i poshtëm) i grupit X. Megjithatë, jo çdo grup numrash i kufizuar sipër (poshtë) ) ka një element maksimal (minimal).

Shembulli 1.5. Le të tregojmë se bashkësia X = )