Si kompozoi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike. Prandaj ekuacioni: (10+x)(10 -x) =96 ose: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Zgjidhja x = -2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë. .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Ekuacionet kuadratike në Indi. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Ekuacionet kuadratike në al-Khorezmi. 1) "Katroret janë rrënjë të barabarta", d.m.th. ax2 + c = bx. 2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. ax2 = c. 3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. sëpatë = c. 4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 + c = bx. 5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 + bx = c. 6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = ax2.

Ekuacionet kuadratike në Evropë në shekujt 13 dhe 17. x2 + bx = c, për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b, c u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Rreth teoremës së Vietës. "Nëse B + D shumëfishohet A - A 2 është e barabartë me BD, atëherë A është e barabartë me B dhe e barabartë me D." Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse (a + b)x - x2 = ab, d.m.th. x2 - (a + b)x + ab = 0, atëherë x1 = a, x2 = b.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. 1. METODA: Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit. Le të zgjidhim ekuacionin x2 + 10 x - 24 = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si vijon: (x + 12)(x - 2) = 0 Meqenëse produkti është zero, atëherë të paktën një nga faktorët e tij është zero. Prandaj, ana e majtë e ekuacionit bëhet zero në x = 2, dhe gjithashtu në x = - 12. Kjo do të thotë se numri 2 dhe - 12 janë rrënjët e ekuacionit x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODA: Metoda e nxjerrjes me katror të plotë. Le të zgjidhim ekuacionin x2 + 6 x - 7 = 0. Zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë shprehjen x2 + 6 x në formën e mëposhtme: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Në shprehjen që rezulton, termi i parë është katrori i numrit x dhe i dyti është dyfishi produkt i x me 3. Prandaj, për të marrë një katror të plotë, duhet të shtoni 32, pasi x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Tani transformojmë anën e majtë të ekuacionit x2 + 6 x - 7 = 0, duke i shtuar dhe duke zbritur 32. Kemi: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Kështu, ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Prandaj, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, ose x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën. Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 me 4 a dhe në mënyrë sekuenciale kemi: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 sëpatë b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 sëpatë + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 sëpatë + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 sëpatë = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës. Siç dihet, ekuacioni kuadratik i reduktuar ka formën x2 + px + c = 0. (1) Rrënjët e tij plotësojnë teoremën e Vietës, e cila për a = 1 ka formën x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 dhe x 2 = 1, pasi q = 2 > 0 dhe p = - 3 0 dhe p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 dhe x 2 = 1, pasi q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 dhe x 2 = - 1, pasi q = - 9

5. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e “hedhjes”. Konsideroni ekuacionin kuadratik ax2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0. Duke shumëzuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin a 2 x2 + abx + ac = 0. Le të jetë ax = y, prej nga x = y/a; atëherë arrijmë në ekuacionin y2 + me + ac = 0, që është ekuivalent me atë të dhënë. Rrënjët e tij y1 dhe y2 i gjejmë duke përdorur teoremën e Vietës. Më në fund marrim x1 = y1/a dhe x1 = y2/a.

Shembull. Të zgjidhim ekuacionin 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Zgjidhje. Le të “hedhim” koeficientin 2 në termin e lirë, si rezultat marrim ekuacionin y2 – 11 y + 30 = 0. Sipas teoremës së Vietës, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2. Përgjigje: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. METODA: Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. A. Le të jepet ekuacioni kuadratik ax2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0. 1) Nëse a + b + c = 0 (d.m.th., shuma e koeficientëve është zero), atëherë x1 = 1, x2 = c/ A. Dëshmi. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me a ≠ 0, fitojmë ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + b/a x + c/a = 0. Sipas teoremës së Vietës, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Sipas kushtit, a – b + c = 0, prej nga b = a + c. Kështu, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), d.m.th. x1 = -1 dhe x2 = c/a, që është çfarë duhej vërtetuar.

B. Nëse koeficienti i dytë b = 2 k është një numër çift, atëherë formula për rrënjët B. ​​Ekuacioni i mësipërm x2 + px + q = 0 përkon me një ekuacion të përgjithshëm në të cilin a = 1, b = p dhe c = q. Prandaj, për ekuacionin kuadratik të reduktuar, formula e rrënjës është

7. METODA: Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik. Nëse në ekuacionin x2 + px + q = 0 zhvendosim termat e dytë dhe të tretë në anën e djathtë, marrim x2 = - px - q. Le të ndërtojmë grafikë të varësisë y = x2 dhe y = - px - q.

Shembulli 1) Të zgjidhim grafikisht ekuacionin x2 - 3 x - 4 = 0 (Fig. 2). Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionin në formën x2 = 3 x + 4. Ndërtoni një parabolë y = x2 dhe një drejtëz y = 3 x + 4. Drejtëza y = 3 x + 4 mund të ndërtohet duke përdorur dy pika M (0; 4) dhe N (3; 13) . Përgjigje: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një busull dhe vizore. gjetja e rrënjëve të një busull dhe vizore katrore (Fig. 5). ekuacionet Pastaj, me teoremën sekante, kemi OB OD = OA OC, prej nga OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 duke përdorur

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës (AS > SK, ose R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram. z 2 + pz + q = 0. Shkalla kurvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave (Fig. 11): Duke supozuar OS = p, ED = q, OE = a (të gjitha në cm), Nga ngjashmëria e trekëndëshave SAN dhe CDF marrim proporcionin

Shembuj. 1) Për ekuacionin z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogrami jep rrënjët z 1 = 8, 0 dhe z 2 = 1, 0 (Fig. 12). 2) Duke përdorur një nomogram, zgjidhim ekuacionin 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Pjesëtojmë koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogrami jep rrënjët z 1 = 4 dhe z 2 = 0, 5. 3) Për ekuacionin z 2 - 25 z + 66 = 0, koeficientët p dhe q janë jashtë shkallës, kryejmë zëvendësimin z = 5 t, marrim ekuacioni t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, të cilin e zgjidhim duke përdorur nomogramet dhe marrim t 1 = 0.6 dhe t 2 = 4. 4, nga i cili z 1 = 5 t 1 = 3. 0 dhe z 2 = 5 t 2 = 22. 0.

10. METODA: Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Shembuj. 1) Të zgjidhim ekuacionin x2 + 10 x = 39. Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39" (Fig. 15). Për anën e kërkuar x të katrorit origjinal marrim

y2 + 6 y - 16 = 0. Zgjidhja është paraqitur në Fig. 16, ku y2 + 6 y = 16, ose y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Zgjidhje. Shprehjet y2 + 6 y + 9 dhe 16 + 9 përfaqësojnë gjeometrikisht të njëjtin katror, ​​dhe ekuacioni origjinal y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 është i njëjti ekuacion. Nga kjo marrim se y + 3 = ± 5, ose y1 = 2, y2 = - 8 (Fig. 16).

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punën e gërmimit të një natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth 2000 vjet para besimit tonë. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike: Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, përkon me atë modern, por nuk dihet se si erdhën babilonasit atje rregullon. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani paraqesin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Pavarësisht nga niveli i lartë i zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Si i kompozoi dhe i zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike “Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96, arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit rezulton se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, sepse po të ishin të barabartë, atëherë prodhimi i tyre nuk do të ishte 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të ishte më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10+X, tjetra është më pak, d.m.th. 10-X. Diferenca midis tyre është 2X, pra X=2. Njëri nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhja X = -2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke njihte vetëm numra pozitivë. EKUACIONI: ose:

Ekuacionet kuadratike në Indi Probleme mbi ekuacionet kuadratike gjenden gjithashtu në traktatin astronomik "Aryabhattiam", i përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta, përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: sëpatë ² +bx=c, a>0 Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara Një tufë majmunësh të egër. , pasi kishin ngrënë me kënaqësi, u argëtuan. Pjesa e tetë e tyre në shesh po argëtohesha në kthinë. Dhe dymbëdhjetë në hardhi... Ata filluan të kërcejnë duke u varur... Sa majmunë kishte, më thuaj, në këtë tufë? Ekuacioni që korrespondon me problemën: Baskara shkruan nën formën: Plotësoi anën e majtë në një katror, 0 Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara Një tufë majmunësh të gjallë, pasi kishin ngrënë me kënaqësi, u argëtuan. Pjesa e tetë e tyre në shesh po argëtohesha në kthinë. Dhe dymbëdhjetë në hardhi... Ata filluan të kërcejnë duke u varur... Sa majmunë kishte, më thuaj, në këtë tufë? Ekuacioni që korrespondon me problemin: Baskara shkruan në formën: Plotësoi anën e majtë në një katror,">

Ekuacionet kuadratike në Azinë e Lashtë Kështu e zgjidhi këtë ekuacion shkencëtari i Azisë Qendrore el-Kuarizmi: Ai shkroi: “Rregulli është: dyfishoni numrin e rrënjëve, x = 2x 5, ju merrni pesë në këtë problem, shumëzoni 5 me këtë të barabartë për të, do të jetë njëzet e pesë, 5 ·5=25 shtoni këtë në tridhjetë e nëntë, do të jenë gjashtëdhjetë e katër, 64 merrni rrënjën nga kjo, do të jetë tetë, 8 dhe nga kjo gjysma zbrisni numrin e rrënjët, d.m.th pesë, 8-5 do të mbeten 3 kjo do të jetë rrënja e katrorit, të cilin ju po kërkoja." Po rrënja e dytë? Rrënja e dytë nuk u gjet, pasi numrat negativë nuk njiheshin. x x = 39

Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII-XVII. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x2+inx+c=0 u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga Stiefel Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në Evropë u deklaruan për herë të parë në vitin 1202 nga matematikani italian Leonard Fibonacci. Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Viète, por Viète njohu vetëm rrënjë pozitive. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Rreth teoremës së Vietës Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëzuar me A-A është e barabartë me BD, atëherë A është e barabartë me B dhe është e barabartë me D." Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend se A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret B, D janë koeficientë për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: Nëse ekuacioni i dhënë kuadratik x 2 +px+q=0 ka rrënjë reale, atëherë shuma e tyre është e barabartë me -p, dhe prodhimi është i barabartë me q, d.m.th. x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë ).

Metoda e faktorizimit sjell një ekuacion të përgjithshëm kuadratik në formën: A(x)·B(x)=0, ku A(x) dhe B(x) janë polinome në lidhje me x. Objektivi: Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave; Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit; Metoda e grupimit. Metodat: Shembull:

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik: Nëse D>0, Nëse D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="Rrënjët e një ekuacioni kuadratik: Nëse D>0, Nëse D"> title="Rrënjët e një ekuacioni kuadratik: Nëse D>0, Nëse D"> !}

X 1 dhe x 2 – rrënjët e ekuacionit Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10, që do të thotë se rrënjët kanë shenja të ndryshme X 1 + X 2 = – 3, që do të thotë rrënja ka një modul më të madh - negativ Me përzgjedhje gjejmë rrënjët: X 1 = – 5, X 2 = 2 Për shembull:

0, me teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi te rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3. Përgjigje: 2.5; 3. Zgjidhja e ekuacionit" title="Zgjidhni ekuacionin: 2x 2 - 11x +15 = 0. Le ta kalojme koeficientin 2 ne termin e lire 2 - 11y +30= 0. D>0, sipas teorema e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi te rrënjët e ekuacionit fillestar: 2.5. Përgjigje: 2.5;" class="link_thumb"> 14 !} Zgjidheni ekuacionin: 2x x +15 = 0. Le të kalojmë koeficientin 2 në termin e lirë y y +30= 0. D>0, sipas teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, atëherë ne kthehu te rrënjët e ekuacionit origjinal: 2, 5; 3. Përgjigje: 2.5; 3. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e “hedhjes”. 0, me teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi te rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3. Përgjigje: 2.5; 3. Zgjidhja e ekuacionit "> 0, sipas teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5; 6, pastaj kthehemi në rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3. Përgjigja: 2.5; 3. Zgjidhja të ekuacioneve duke përdorur metodën e "transferimit"." > 0, me teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi në rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3. Përgjigje: 2.5; 3. Zgjidhja e ekuacionit" title="Zgjidhni ekuacionin: 2x 2 - 11x +15 = 0. Le ta kalojme koeficientin 2 ne termin e lire 2 - 11y +30= 0. D>0, sipas teorema e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi te rrënjët e ekuacionit fillestar: 2.5. Përgjigje: 2.5;"> title="Zgjidheni ekuacionin: 2x 2 - 11x +15 = 0. Le ta kalojmë koeficientin 2 në termin e lirë y 2 - 11y +30= 0. D>0, me teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5; 6, pastaj kthehemi te rrënjët e ekuacioneve origjinale: 2.5; 3. Përgjigje: 2.5; 3. Zgjidhja e ekuacionit"> !}

Nëse në një ekuacion kuadratik a+b+c=0, atëherë njëra prej rrënjëve është e barabartë me 1, dhe e dyta sipas teoremës së Vietës është e barabartë me të dytën nga teorema e Vietës është e barabartë me Nëse në një ekuacion kuadratik a+c=b , atëherë njëra prej rrënjëve është e barabartë me (-1), kurse e dyta sipas teoremës së Vietës është e barabartë me Shembull: Vetitë e koeficientëve të ekuacionit kuadratik 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c. = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Përgjigje: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Përgjigje: 1;

Metoda grafike për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik Pa përdorur formula, një ekuacion kuadratik mund të zgjidhet grafikisht. Le të zgjidhim ekuacionin Për ta bërë këtë, do të ndërtojmë dy grafikë: X Y X 01 Y012 Përgjigje: Abshisat e pikave të prerjes së grafikëve do të jenë rrënjët e ekuacionit. Nëse grafikët kryqëzohen në dy pika, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. Nëse grafikët kryqëzohen në një pikë, atëherë ekuacioni ka një rrënjë. Nëse grafikët nuk kryqëzohen, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. 1)y=x2 2)y=x+1

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me anë të nomogramit Kjo është një metodë e vjetër dhe e pamerituar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f.83 “Tabelat matematikore me katër shifra” Bradis V.M. Tabela XXII. Nomogrami për zgjidhjen e një ekuacioni Ky nomogram lejon, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij. Për ekuacionin, nomogrami jep rrënjët

Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike Në kohët e lashta, kur gjeometria ishte më e zhvilluar se algjebra, ekuacionet kuadratike zgjidheshin jo në mënyrë algjebrike, por gjeometrike. Por, për shembull, si e zgjidhën grekët e lashtë ekuacionin: ose Shprehjet dhe gjeometrikisht përfaqësojnë të njëjtin katror, ​​dhe ekuacioni origjinal është i njëjti ekuacion. Ku të marrim çfarë, ose

Përfundim Këto metoda zgjidhjeje meritojnë vëmendje, pasi nuk janë të gjitha të pasqyruara në tekstet shkollore të matematikës; zotërimi i këtyre teknikave do t'i ndihmojë studentët të kursejnë kohë dhe të zgjidhin ekuacionet në mënyrë efektive; nevoja për një zgjidhje të shpejtë është për shkak të përdorimit të një sistemi testimi për provimet pranuese;

Historia e zhvillimit të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike

Aristoteli

D.I.Mendeleev

Gjeni anët e një fushe në formë drejtkëndëshi nëse sipërfaqja e saj 12 , A

Le të shqyrtojmë këtë problem.

• Le të jetë x gjatësia e fushës, pastaj gjerësia e saj,
• - zona e saj.
• Le të bëjmë një ekuacion kuadratik:
• Papirusi jep rregullin për zgjidhjen e tij: "Ndani 12 me".
• 12: .
• Kështu që, .
• "Gjatësia e fushës është 4", thuhet në papirus.

• Ekuacioni kuadratik i reduktuar
• ku janë ndonjë numër real.

Në një nga problemet babilonase, ishte gjithashtu e nevojshme të përcaktohet gjatësia e një fushe drejtkëndëshe (le ta shënojmë) dhe gjerësinë e saj ().

Duke shtuar gjatësinë dhe dy gjerësinë e një fushe drejtkëndëshe, ju merrni 14 dhe sipërfaqja e fushës është 24. Gjeni anët e saj.

Le të krijojmë një sistem ekuacionesh:

Nga këtu marrim një ekuacion kuadratik.

Për ta zgjidhur atë, ne i shtojmë një numër të caktuar shprehjes,

për të marrë një katror të plotë:

Prandaj, .

Në fakt një ekuacion kuadratik

Ka dy rrënjë:

• DIOPANTI
• Një matematikan i lashtë grek, i cili supozohet se ka jetuar në shekullin III para Krishtit. e. Autor i "Aritmetika" - një libër kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike.
• Në ditët e sotme, "ekuacionet diofantine" zakonisht nënkuptojnë ekuacione me koeficientë të plotë, zgjidhjet e të cilave duhet të gjenden midis numrave të plotë. Diophantus ishte gjithashtu një nga të parët që zhvilloi shënimin matematikor.

"Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Njëri nga numrat do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, pra 10+, ndërsa tjetri do të jetë më i vogël, pra 10-.

Prandaj ekuacioni ()()=96

Le të paraqesim një nga problemet e të famshmëve

Matematikani indian i shekullit të 12-të, Bhaskara:

Një tufë majmunësh të gjallë

Pasi hëngra me kënaqësi, u argëtova.

Pjesa e tetë e tyre në katror

Po argëtohesha në pastrim.

Dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive ...

Ata filluan të kërcejnë, të varen...

Sa majmunë ishin atje?

Më thuaj, në këtë paketë?

• Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.
• Zgjidhja përkatëse e ekuacionit

• Bhaskara shkruan në formë dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ​​shtojmë 32 2 në të dy anët, duke marrë

“AL-JEBR” – RISHTETIM – EL-KHWAZMI E QUAJTE OPERACIONIN E PËRJASHTIMIT TË KUSHTEVE NEGATIVE NGA TË DY PJESËT E EKUACIONIT DUKE SHTUAR KUSHTET TË BARABARTA, POR TË KUNDËRTA NË SHENJË.

“AL-MUKABALAH” – KUNDËRSHTIM – ZGJIDHJA E TERMAVE TË NGJASHME NË PJESË TË NJË EKUACIONI.

RREGULLI "EL-JEBR"

GJATË ZGJIDHJES SË EKUACIONIT

NËSE NË PJESËN E PARË,

NUK KA RRËNDËSI ÇFARË

TAKONI NJË ANËTAR NEGATIVE,

JEMI NË TË DY PJESË

Ne do të japim një anëtar të barabartë,

VETËM ME NJË SHENJË TJETËR,

DHE NE DO TË GJEJMË REZULTATE POZITIV.

1) katrorët janë të barabartë me rrënjët, domethënë;

2) katrorët janë të barabartë me numrat, domethënë;

3) rrënjët janë të barabarta me numrin, domethënë;

4) katrorët dhe numrat janë të barabartë me rrënjët, d.m.th.

5) katrorët dhe rrënjët janë të barabarta me numrin, d.m.th.;

6) rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë, d.m.th.

Detyrë . Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën.

Zgjidhje. Ndani numrin e rrënjëve në gjysmë - merrni 5, shumëzoni 5 në vetvete,

Zbrisni 21 nga produkti, duke lënë 4.

Merrni rrënjën e 4 dhe merrni 2.

Zbrisni 2 nga 5 - merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni atë në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Fibonacci lindi në qendrën tregtare italiane të Pizës, ndoshta në vitet 1170. . Në 1192 ai u emërua për të përfaqësuar koloninë tregtare Pisan në Afrikën e Veriut. Me kërkesën e babait të tij, ai u transferua në Algjeri dhe studioi matematikë atje. Në vitin 1200, Leonardo u kthye në Pizë dhe filloi të shkruante veprën e tij të parë, Libri i Abacus. [ . Sipas historianit të matematikës A.P. Yushkevich Libri i Abacus-it “ngre fort mbi literaturën aritmetike-algjebrike evropiane të shekujve 12-14 me shumëllojshmërinë dhe fuqinë e metodave, pasurinë e problemeve, dëshmitë e paraqitjes... Matematikanët e mëvonshëm nxorrën gjerësisht prej tij si problemet ashtu edhe metodat. për zgjidhjen e tyre ».

Le të vizatojmë funksionin

• Grafiku është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, pasi

2) Koordinatat e kulmit të parabolës

foli W. Sawyer :

“Shpesh është më e dobishme për një person që studion algjebër të zgjidhë të njëjtin problem në tre mënyra të ndryshme sesa të zgjidhë tre ose katër probleme të ndryshme. Duke zgjidhur një problem duke përdorur metoda të ndryshme, mund të zbuloni përmes krahasimeve se cila është më e shkurtër dhe më efikase. Kështu zhvillohet përvoja.”

"Qyteti është një unitet dallimesh"

Aristoteli

"Një numër i shprehur si një shenjë dhjetore mund të lexohet nga një gjerman, një rus, një arab dhe një janki."

a) Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. babilonasit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 2. "Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, pra 10 + x. Tjetra është më pak, pra 10 - x. Diferenca midis tyre është 2x. Prandaj ekuacioni:

(10+x)(10-x) =96,

ose

Prandaj x = 2. Një nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhja x = - 2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhni këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, mund të arrini në një zgjidhje të ekuacionit:

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë.
b) Ekuacionet kuadratike në Indi.

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike

Oh 2 + bx = c, a > 0

Në ekuacion, koeficientët përveç A, mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Detyra 3.

Ekuacioni që i korrespondon problemit 3 është:

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = - 768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ​​shton 32 2 në të dy anët, duke marrë më pas:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Ekuacionet kuadratike nga Al-Khorezmi

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1. 
   "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpata 2 = bx.
2. 
   "Katroret janë të barabartë me numrat", pra sëpatë 2 = c.
3. 
   "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. sëpatë = c.
4. 
   "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", pra sëpatë 2 + c = bx.
5. 
   "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", pra sëpatë 2 + bx = c.
6. 
   "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == sëpatë 2.

Le të japim një shembull.

Problemi 4. “Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën” (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhje: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vete, zbrisni 21 nga produkti, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i Al-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton në mënyrë sistematike klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

d) Ekuacionet kuadratike në Evropë në shekujt XIII-XVII.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës si nga vendet islame ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet për plotësinë dhe qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike

x 2 + bx = c,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b, Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieta, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Origjina e metodave algjebrike për zgjidhjen e problemeve praktike lidhet me shkencën e botës antike. Siç dihet nga historia e matematikës, një pjesë e konsiderueshme e problemeve të natyrës matematikore, të zgjidhura nga skribë-llogaritësit egjiptianë, sumerianë, babilonas (shek. XX-VI p.e.s.), ishin të natyrës llogaritëse. Megjithatë, edhe atëherë, herë pas here, shfaqeshin probleme në të cilat vlera e dëshiruar e një sasie përcaktohej nga disa kushte indirekte që, nga këndvështrimi ynë modern, kërkonin përbërjen e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Fillimisht, metodat aritmetike u përdorën për të zgjidhur probleme të tilla. Më pas, filluan të formohen fillimet e koncepteve algjebrike. Për shembull, kalkulatorët babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin probleme që, nga pikëpamja e klasifikimit modern, mund të reduktohen në ekuacione të shkallës së dytë. U krijua një metodë për zgjidhjen e problemeve me fjalë, e cila më vonë shërbeu si bazë për izolimin e komponentit algjebrik dhe studimin e tij të pavarur.

Ky studim u krye në një epokë tjetër, së pari nga matematikanët arabë (shek. VI-X pas Krishtit), të cilët identifikuan veprime karakteristike me të cilat ekuacionet u sollën në një formë standarde: sjellja e termave të ngjashëm, transferimi i termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrën me një ndryshim i shenjës. Dhe më pas nga matematikanët evropianë të Rilindjes, të cilët, si rezultat i një kërkimi të gjatë, krijuan gjuhën e algjebrës moderne, përdorimin e shkronjave, futjen e simboleve për veprimet aritmetike, kllapat, etj. Në fund të datës 16- shekulli i 17-të. Algjebra si pjesë specifike e matematikës, me lëndën, metodën dhe fushat e veta të zbatimit, tashmë ishte formuar. Zhvillimi i tij i mëtejshëm, deri në kohën tonë, konsistoi në përmirësimin e metodave, zgjerimin e fushës së zbatimit, sqarimin e koncepteve dhe lidhjet e tyre me konceptet e degëve të tjera të matematikës.

Pra, duke pasur parasysh rëndësinë dhe gjerësinë e materialit që lidhet me konceptin e ekuacionit, studimi i tij në metodat moderne të matematikës lidhet me tre fusha kryesore të origjinës dhe funksionimit të tij.

Ministria e Arsimit e Federatës Ruse

Institucion arsimor komunal

"Shkolla e mesme nr 22"

Ekuacionet kuadratike dhe të rendit më të lartë

E përfunduar:

Nxënësit e klasës 8 "B".

Kuznetsov Evgeniy dhe Rudi Alexey

Mbikëqyrësi:

Zenina Alevtina Dmitrievna

mësues i matematikës

Prezantimi

1.1 Ekuacionet në Babiloninë e Lashtë

1.2 Ekuacionet arabe

1.3 Ekuacionet në Indi

Kapitulli 2. Teoria e ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve të rendit më të lartë

2.1 Konceptet bazë

2.2 Formulat për koeficientin çift në x

2.3 Teorema e Vietës

2.4 Ekuacionet kuadratike të një natyre të caktuar

2.5 Teorema e Vietës për polinomet (ekuacionet) të shkallëve më të larta

2.6 Ekuacionet e reduktueshme në kuadratike (biquadratic)

2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike

2.8 Formulat Cordano

2.9 Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë

2.10 Ekuacionet reciproke

2.11 Skema Horner

konkluzioni

Bibliografi

Shtojca 1

Shtojca 2

Shtojca 3

Prezantimi

Ekuacionet zënë një vend kryesor në kursin e algjebrës shkollore. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër. Në të vërtetë, ekuacionet kanë jo vetëm rëndësi të rëndësishme teorike, por shërbejnë edhe për qëllime thjesht praktike. Numri dërrmues i problemeve në lidhje me format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore në botën reale zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Duke përvetësuar mënyrat e zgjidhjes së tyre, gjejmë përgjigje për pyetje të ndryshme nga shkenca dhe teknologjia (transport, bujqësi, industri, komunikim etj.).

Në këtë ese do të doja të shfaqja formula dhe metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Për këtë qëllim jepen ekuacione që nuk studiohen në kurrikulën shkollore. Këto janë kryesisht ekuacione të një natyre të veçantë dhe ekuacione të shkallëve më të larta. Për ta zgjeruar këtë temë, jepen provat e këtyre formulave.

Objektivat e esesë sonë:

Përmirësoni aftësitë për zgjidhjen e ekuacioneve

Zhvilloni mënyra të reja për zgjidhjen e ekuacioneve

Mësoni disa mënyra dhe formula të reja për të zgjidhur këto ekuacione.

Objekti i studimit është algjebra elementare. Objekti i studimit janë ekuacionet. Zgjedhja e kësaj teme u bazua në faktin se ekuacionet përfshihen si në kurrikulën fillore ashtu edhe në çdo klasë pasuese të shkollave të mesme, liceu dhe fakultete. Shumë probleme gjeometrike, probleme në fizikë, kimi dhe biologji zgjidhen duke përdorur ekuacione. Ekuacionet u zgjidhën njëzet e pesë shekuj më parë. Ato krijohen edhe sot - si për përdorim në procesin arsimor, ashtu edhe për provime konkurruese në universitete, për olimpiada të nivelit më të lartë.

Kapitulli 1. Historia e ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve të rendit më të lartë

1.1 Ekuacionet në Babiloninë e Lashtë

Algjebra u ngrit në lidhje me zgjidhjen e problemeve të ndryshme duke përdorur ekuacione. Në mënyrë tipike, problemet kërkojnë gjetjen e një ose më shumë të panjohurave, ndërkohë që dihen rezultatet e disa veprimeve të kryera në sasitë e dëshiruara dhe të dhëna. Probleme të tilla zbresin në zgjidhjen e një ose një sistemi prej disa ekuacionesh, në gjetjen e atyre që kërkohen duke përdorur veprime algjebrike në sasi të dhëna. Algjebra studion vetitë e përgjithshme të veprimeve mbi sasitë.

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë. Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Siç u përmend më herët, ekuacionet kuadratike ishin në gjendje të zgjidheshin rreth vitit 2000 pes nga babilonasit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se ekuacionet kuadratike jo të plota dhe të plota ndodhin në tekstet e tyre kuneiforme.

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me ato moderne, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.

1.2 Ekuacionet arabe

Disa metoda për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe të rendit më të lartë u zhvilluan nga arabët. Kështu, matematikani i famshëm arab Al-Khorezmi në librin e tij "Al-Jabar" përshkroi shumë mënyra për të zgjidhur ekuacione të ndryshme. E veçanta e tyre ishte se Al-Khorezmi përdorte radikale komplekse për të gjetur rrënjët (zgjidhjet) e ekuacioneve. Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla ishte e nevojshme në pyetjet rreth ndarjes së trashëgimisë.

1.3 Ekuacionet në Indi

Ekuacionet kuadratike u zgjidhën gjithashtu në Indi. Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme konike:

aх² + bx= c, ku a > 0

Në këtë ekuacion, koeficientët, përveç a, mund të jenë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ekuacione të ndryshme, si kuadratike ashtu edhe ekuacione të shkallëve më të larta, u zgjidhën nga paraardhësit tanë të largët. Këto ekuacione u zgjidhën në vende shumë të ndryshme dhe të largëta. Nevoja për ekuacione ishte e madhe. Ekuacionet u përdorën në ndërtim, në punët ushtarake dhe në situata të përditshme.

Kapitulli 2. Ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e rendit më të lartë

2.1 Konceptet bazë

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës

ku koeficientët a, b, c janë çdo numër real, dhe a ≠ 0.

Një ekuacion kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti kryesor i tij është 1.

Shembull :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Një ekuacion kuadratik quhet i pareduktuar nëse koeficienti kryesor është i ndryshëm nga 1.

Shembull :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion kuadratik në të cilin të tre termat janë të pranishëm, me fjalë të tjera, është një ekuacion në të cilin koeficientët b dhe c janë jo zero.

Shembull :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë është një ekuacion kuadratik në të cilin të paktën një koeficient b, c është i barabartë me zero.

Kështu, ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1) ax² = 0 (ka dy rrënjë që përputhen x = 0).

2) ax² + bx = 0 (ka dy rrënjë x 1 = 0 dhe x 2 = -)

Shembull :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Përgjigju: x 1 =0, x 2 = -5.

nese -<0 - уравнение не имеет корней.

Shembull :

Përgjigju: Ekuacioni nuk ka rrënjë.

Nëse –> 0, atëherë x 1,2 = ±

Shembull :

Përgjigju: x 1,2 =±

Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur diskriminuesin (b² - 4ac). Zakonisht shprehja b² - 4ac shënohet me shkronjën D dhe quhet diskriminues i ekuacionit kuadratik ax² + bx + c = 0 (ose diskriminues i tre termit kuadratik ax² + bx + c)

Shembull :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Përgjigju: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Në varësi të diskriminuesit, ekuacioni mund ose nuk mund të ketë një zgjidhje.

1) Nëse D< 0, то не имеет решения.

2) Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje që përputhen x 1,2 =

3) Nëse D > 0, atëherë ka dy zgjidhje të gjetura sipas formulës:

x 1,2 =

2.2 Formulat për koeficientin çift në x

Jemi mësuar me faktin se rrënjët e një ekuacioni kuadratik

ax² + bx + c = 0 gjenden me formulë

x 1,2 =

Por matematikanët nuk do të humbasin kurrë mundësinë për të bërë llogaritjet e tyre më të lehta. Ata zbuluan se kjo formulë mund të thjeshtohet në rastin kur koeficienti b është b = 2k, veçanërisht nëse b është një numër çift.

Në fakt, le të jetë koeficienti b i ekuacionit kuadratik ax² + bx + c = 0 b = 2k. Duke zëvendësuar numrin 2k në vend të b në formulën tonë, marrim:

Pra, rrënjët e ekuacionit kuadratik ax² + 2kx + c = 0 mund të llogariten duke përdorur formulën:

x 1,2 =

Shembull :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Avantazhi i kësaj formule është se nga ky katror nuk zbritet numri b, por gjysma e tij, por thjesht ac, dhe së fundi, emëruesi nuk përmban 2a, por thjesht a; .

Nëse jepet ekuacioni kuadratik, atëherë formula jonë do të duket si kjo:

Shembull :

x 2 – 4x + 3 = 0

Përgjigju: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Teorema e Vietës

Një veti shumë interesante e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik u zbulua nga matematikani francez Francois Viète. Kjo veti u quajt teorema e Vieta:

Kështu që numrat x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit:

sëpatë² + bx + c = 0

është e nevojshme dhe e mjaftueshme për të përmbushur barazinë

x 1 + x 2 = -b/a dhe x 1 x 2 = c/a

Teorema e Vietës na lejon të gjykojmë shenjat dhe vlerën absolute të një ekuacioni kuadratik

x² + bx + c = 0

1. Nëse b>0, c>0 atëherë të dyja rrënjët janë negative.

2. Nëse b<0, c>0 atëherë të dyja rrënjët janë pozitive.

3. Nëse b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Nëse b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Ekuacionet kuadratike të një natyre të caktuar

1) Nëse a + b + c = 0 në ekuacionin ax² + bx + c = 0, atëherë

x 1 = 1, dhe x 2 = .

Dëshmi :

Në ekuacionin ax² + bx + c = 0, rrënjët e tij

x 1,2 = (1).

Le të përfaqësojmë b nga barazia a + b + c = 0

Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në formulën (1):

=

Nëse marrim veçmas dy rrënjët e ekuacionit, marrim:

1) x 1 =

2) x 2 =

Nga kjo vijon: x 1 = 1, dhe x 2 =.

1. Shembull :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, pra

2. Shembull :

418x² - 1254x + 836 = 0

Ky shembull është shumë i vështirë për t'u zgjidhur duke përdorur një diskriminues, por duke ditur formulën e mësipërme mund të zgjidhet lehtësisht.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Nëse a - b + c = 0, në ekuacionin ax² + bx + c = 0, atëherë:

x 1 =-1, dhe x 2 =-.

Dëshmi :

Konsideroni ekuacionin ax² + bx + c = 0, rrjedh se:

x 1,2 = (2).

Le të përfaqësojmë b nga barazia a - b + c = 0

b = a + c, zëvendësohet në formulën (2):

=

Marrim dy shprehje:

1) x 1 =

2) x 2 =

Kjo formulë është e ngjashme me atë të mëparshme, por është gjithashtu e rëndësishme sepse... Shembuj të këtij lloji janë të zakonshëm.

1) Shembull :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, pra

2)Shembull :

Përgjigju: x 1 = -1; x 2 = -

3) Metoda " transfertat ”

Rrënjët e ekuacioneve kuadratike y² + nga + ac = 0 dhe ax² + bx + c = 0 lidhen me relacionet e mëposhtme:

x 1 = dhe x 2 =

Dëshmi :

a) Konsideroni ekuacionin ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Konsideroni ekuacionin y² + nga + ac = 0

y 1,2 =

Vini re se diskriminuesit e të dy zgjidhjeve janë të barabarta, le të krahasojmë rrënjët e këtyre dy ekuacioneve. Ato ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një faktor kryesor, rrënjët e ekuacionit të parë janë më të vogla se rrënjët e të dytit me a. Duke përdorur teoremën e Vietës dhe rregullin e mësipërm, nuk është e vështirë të zgjidhen ekuacione të ndryshme.

Shembull :

Kemi një ekuacion kuadratik arbitrar

10x² - 11x + 3 = 0

Le ta transformojmë këtë ekuacion sipas rregullit të dhënë

y² - 11v + 30 = 0

Marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili mund të zgjidhet mjaft lehtë duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të jenë y 1 dhe y 2 rrënjët e ekuacionit y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Duke ditur se rrënjët e këtyre ekuacioneve ndryshojnë nga njëra-tjetra me a, atëherë

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Në disa raste, është e përshtatshme që fillimisht të mos zgjidhet ekuacioni i dhënë ax² + bx + c = 0, por reduktimi y² + me + ac = 0, i cili merret nga koeficienti i "transferimit" a, dhe më pas të ndahet e gjetura. rrënjë nga a për të gjetur ekuacionin origjinal.

2.5 Formula Vieta për polinomet (ekuacionet) e shkallëve më të larta

Formulat e nxjerra nga Viète për ekuacionet kuadratike janë gjithashtu të vërteta për polinomet e shkallëve më të larta.

Le të polinomin

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ka n rrënjë të ndryshme x 1, x 2..., x n.

Në këtë rast, ai ka një faktorizim të formës:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Le t'i ndajmë të dyja anët e kësaj barazie me një 0 ≠ 0 dhe të hapim kllapat në pjesën e parë. Ne marrim barazinë:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Por dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e të njëjtave fuqi janë të barabartë. Nga kjo rrjedh se barazia

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Për shembull, për polinomet e shkallës së tretë

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Ne kemi identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ashtu si me ekuacionet kuadratike, kjo formulë quhet formula e Vieta-s. Anët e majta të këtyre formulave janë polinome simetrike nga rrënjët x 1, x 2 ..., x n të këtij ekuacioni, dhe anët e djathta shprehen përmes koeficientit të polinomit.

2.6 Ekuacionet e reduktueshme në kuadratike (bikuadratike)

Ekuacionet e shkallës së katërt reduktohen në ekuacione kuadratike:

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

quhet biquadratic, dhe a ≠ 0.

Mjafton të vendosim x 2 = y në këtë ekuacion, prandaj,

ay² + nga + c = 0

le të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton

y 1,2 =

Për të gjetur menjëherë rrënjët x 1, x 2, x 3, x 4, zëvendësoni y me x dhe merrni

x² =

x 1,2,3,4 = .

Nëse një ekuacion i shkallës së katërt ka x 1, atëherë ai gjithashtu ka një rrënjë x 2 = -x 1,

Nëse ka x 3, atëherë x 4 = - x 3. Shuma e rrënjëve të një ekuacioni të tillë është zero.

Shembull :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Le të zëvendësojmë ekuacionin në formulën për rrënjët e ekuacioneve bikuadratike:

x 1,2,3,4 = ,

duke ditur se x 1 = -x 2, dhe x 3 = -x 4, atëherë:

x 3,4 =

Përgjigju: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Studimi i ekuacioneve bikuadratike

Le të marrim ekuacionin bikuadratik

sëpatë 4 + bx 2 + c = 0,

ku a, b, c janë numra realë, dhe a > 0. Duke futur të panjohurën ndihmëse y = x², ne shqyrtojmë rrënjët e këtij ekuacioni dhe i futim rezultatet në tabelë (shih Shtojcën Nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Nëse përdorim simbolikën moderne, derivimi i formulës Cardano mund të duket kështu:

x =

Kjo formulë përcakton rrënjët e një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së tretë:

sëpatë 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Kjo formulë është shumë e rëndë dhe komplekse (ajo përmban disa radikale komplekse). Nuk do të zbatohet gjithmonë, sepse... shume e veshtire per tu plotesuar.

2.9 Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë

Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë janë ekuacione të formës

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

ku a dhe b janë dhënë numra, me a¹0.

Le të tregojmë se si ekuacioni ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Ne gjejmë se ekuacioni ( 1 ) është ekuivalente me ekuacionin

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Kjo do të thotë se rrënjët e tij do të jenë rrënjët e ekuacionit

ax² +(b – a)x + a = 0

dhe numri x = -1

ekuacioni ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + sëpatë + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Shembull :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Është e qartë se x 1 = 1, dhe

x 2 dhe x 3 rrënjët e ekuacionit 2x² + 5x + 2 = 0,

Le t'i gjejmë ato përmes diskriminuesit:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Shembull :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Është e qartë se x 1 = -1, dhe

x 2 dhe x 3 rrënjët e ekuacionit 5x² + 26x + 5 = 0,

Le t'i gjejmë ato përmes diskriminuesit:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Ekuacionet reciproke

Ekuacioni reciprok – ekuacioni algjebrik

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

në të cilën a k = a n – k, ku k = 0, 1, 2 …n dhe a ≠ 0.

Problemi i gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni reciprok reduktohet në problemin e gjetjes së zgjidhjeve për një ekuacion algjebrik të një shkalle më të ulët. Termi ekuacione reciproke u prezantua nga L. Euler.

Ekuacioni i shkallës së katërt të formës:

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Reduktimi i këtij ekuacioni në formë

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, dhe y = x + m/x dhe y² - 2m = x² + m²/x²,

nga ku ekuacioni reduktohet në kuadratik

ay² + nga + (c-2 am) = 0.

3x 4 + 5x 3 - 14x 2 - 10x + 12 = 0

Duke e pjesëtuar me x 2 jepet ekuacioni ekuivalent

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, ose

Ku dhe

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, prej nga

y 1 = y 2 = -2, pra

Dhe ku

Përgjigje: x 1,2 = x 3,4 = .

Një rast i veçantë i ekuacioneve reciproke janë ekuacionet simetrike. Më herët folëm për ekuacione simetrike të shkallës së tretë, por ka ekuacione simetrike të shkallës së katërt.

Ekuacionet simetrike të shkallës së katërt.

1) Nëse m = 1, atëherë ky është një ekuacion simetrik i llojit të parë, që ka formën

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 dhe zgjidhet me një zëvendësim të ri

2) Nëse m = -1, atëherë ky është një ekuacion simetrik i llojit të dytë, që ka formën

sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 dhe zgjidhet me një zëvendësim të ri

2.11 Qarku Horner

Për të ndarë polinomet, përdoret rregulli "ndarja sipas këndit" ose skema e Hornerit. . Për këtë qëllim, polinomet renditen në shkallë zbritëse X dhe gjeni termin kryesor të herësit Q(x) nga kushti që kur shumëzohet me anëtarin kryesor të pjesëtuesit D(x), të fitohet termi kryesor i dividendit P(x). Termi i gjetur i herësit shumëzohet, pastaj me pjesëtuesin dhe zbritet nga dividenti. Termi kryesor i herësit përcaktohet nga kushti që, kur shumëzohet me termin kryesor të pjesëtuesit, të japë termin kryesor të polinomit të diferencës, etj. Procesi vazhdon derisa shkalla e diferencës të jetë më e vogël se shkalla e pjesëtuesit (shih shtojcën nr. 2).

Në rastin e ekuacioneve R = 0, ky algoritëm zëvendësohet nga skema e Hornerit.

Shembull :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Gjeni pjesëtuesit e termit të lirë ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Të shënojmë anën e majtë të ekuacionit me f(x). Natyrisht, f(1) = 0, x1 = 1. Pjesëtoni f(x) me x – 1. (shih Shtojcën nr. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Faktorin e fundit e shënojmë me Q(x). Ne zgjidhim ekuacionin Q(x) = 0.

x 2,3 =

Përgjigju : 1; -2; -3.

Në këtë kapitull kemi dhënë disa formula për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Shumica e këtyre formulave për zgjidhjen e ekuacioneve të pjesshme. Këto veti janë shumë të përshtatshme sepse është shumë më e lehtë për të zgjidhur ekuacionet duke përdorur një formulë të veçantë për këtë ekuacion, në vend që të përdorni parimin e përgjithshëm. Ne kemi dhënë një provë dhe disa shembuj për secilën metodë.

konkluzioni

Kapitulli i parë shqyrtoi historinë e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike dhe ekuacioneve të rendit më të lartë. Ekuacione të ndryshme u zgjidhën më shumë se 25 shekuj më parë. Shumë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla u krijuan në Babiloni, Indi. Ka pasur dhe do të vazhdojë të ketë nevojë për ekuacione.

Kapitulli i dytë ofron mënyra të ndryshme për të zgjidhur (gjetur rrënjët) ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e rendit më të lartë. Në thelb, këto janë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të një natyre të veçantë, domethënë, për secilin grup ekuacionesh të bashkuara nga disa veti ose lloj të përbashkët, jepet një rregull i veçantë që vlen vetëm për këtë grup ekuacionesh. Kjo metodë (zgjedhja e formulës suaj për çdo ekuacion) është shumë më e lehtë sesa gjetja e rrënjëve përmes një diskriminuesi.

Në këtë abstrakt, të gjitha qëllimet janë arritur dhe detyrat kryesore janë kryer, formula të reja, të panjohura më parë janë provuar dhe mësuar. Ne kemi punuar me shumë variante shembujsh përpara se t'i përfshinim në abstrakt, kështu që tashmë kemi një ide se si të zgjidhim disa ekuacione. Çdo zgjidhje do të jetë e dobishme për ne në studime të mëtejshme. Kjo ese ndihmoi për të klasifikuar njohuritë e vjetra dhe për të mësuar të reja.

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya. "Algjebra për klasën e 8-të", M., 1995.

2. Galitsky M.L. “Koleksioni i problemeve në algjebër”, M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. “Shtigje dhe labirinte”, M., 1986.

4. Zvavich L.I. “Klasa e 8-të e Algjebrës”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. "Ekuacionet", Kiev 1996.

6. Savin Yu.P. "Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri", M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Klasa e 8-të e Algjebrës”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. "Koleksioni i problemeve në algjebër", M., 1973.

9. Sharygin I.F. "Kurs opsional në algjebër", M., 1989.

Shtojca 1

Studimi i ekuacioneve bikuadratike

Shtojca 2

Pjestimi i një polinomi me një polinom duke përdorur një kënd

Shtojca 3

Skema Horner