Pabarazitë lineare. Teori e detajuar me shembuj

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

1 . Nëse a>b, Kjo b< a ; përkundrazi, nëse A< b , Kjo b > a.

Shembull. Nëse 5x – 1 > 2x + 1, Kjo 2x +1< 5x — 1 .

2 . Nëse a>b Dhe b > c, Kjo a > c. E njëjta gjë A< b Dhe b< с , Kjo a< с .

Shembull. Nga pabarazitë x > 2у, 2v > 10 rrjedh se x > 10.

3 . Nëse a > b, Se a + c > b + c Dhe a – c > b – c. Nëse A< b , Kjo a + c Dhe a - c , ato. ju mund të shtoni (ose zbritni) të njëjtën sasi në të dy anët e pabarazisë

Shembulli 1. Duke pasur parasysh pabarazinë x + 8>3. Duke zbritur numrin 8 nga të dy anët e pabarazisë, gjejmë x > - 5.

Shembulli 2. Duke pasur parasysh pabarazinë x – 6< — 2 . Duke shtuar 6 në të dyja anët, gjejmë X< 4 .

4 . Nëse a>b Dhe c > d, Se a + c >b + d; saktësisht e njëjta gjë nëse A< b Dhe Me< d , Kjo a + c< b + d , d.m.th., dy pabarazi me të njëjtin kuptim) mund të shtohen term pas termi. Kjo është e vërtetë për çdo numër pabarazish, për shembull nëse a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, Kjo a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Shembulli 1. Pabarazitë — 8 > — 10 Dhe 5 > 2 janë të vërteta. Duke i shtuar ato term pas termi, gjejmë pabarazinë e vërtetë — 3 > — 8 .

Shembulli 2. Duke pasur parasysh një sistem pabarazish ( 1/2)x + (1/2) y< 18 ; (1/2)x - (1/2)v< 4 . Duke i mbledhur ato term pas termi, gjejmë x< 22 .

Koment. Dy pabarazi me të njëjtin kuptim nuk mund të zbriten nga njëra-tjetra term me term, pasi rezultati mund të jetë i vërtetë, por mund të jetë edhe i pasaktë. Për shembull, nëse nga pabarazia 10 > 8 2 > 1 , atëherë marrim pabarazinë e saktë 8 > 7 por nëse nga pabarazia e njëjtë 10 > 8 zbres pabarazinë term pas termi 6 > 1 , atëherë kemi absurditet. Krahasoni pikën tjetër.

5 . Nëse a>b Dhe c< d , Kjo a – c > b – d; Nëse A< b Dhe c - d, Kjo a - c< b — d , pra nga një pabarazi mund të zbritet term pas termi një pabarazi tjetër me kuptim të kundërt), duke lënë shenjën e pabarazisë nga e cila është zbritur tjetra.

Shembulli 1. Pabarazitë 12 < 20 Dhe 15 > 7 janë të vërteta. Duke zbritur termin e dytë me term nga i pari dhe duke lënë shenjën e të parit, marrim pabarazinë e saktë — 3 < 13 . Duke zbritur të parën nga termi i dytë me term dhe duke lënë shenjën e të dytit, gjejmë pabarazinë e saktë 3 > — 13 .

Shembulli 2. Duke pasur parasysh një sistem pabarazish (1/2)x + (1/2) y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Duke zbritur të dytën nga pabarazia e parë, gjejmë y< 10 .

6 . Nëse a > b Dhe m atëherë është një numër pozitiv ma > mb Dhe a/n > b/n, pra të dyja anët e pabarazisë mund të pjesëtohen ose të shumëzohen me të njëjtin numër pozitiv (shenja e pabarazisë mbetet e njëjtë nëse). a>b Dhe n atëherë është një numër negativ na< nb Dhe a/n< b/n , pra, të dy anët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, por shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën.

Shembulli 1. Ndarja e të dy anëve të pabarazisë së vërtetë 25 > 20 në 5 , marrim pabarazinë e saktë 5 > 4 . Nëse ndajmë të dyja anët e pabarazisë 25 > 20 në — 5 , atëherë duhet të ndryshoni shenjën > në < , dhe pastaj marrim pabarazinë e saktë — 5 < — 4 .

Shembulli 2. Nga pabarazia 2x< 12 rrjedh se X< 6 .

Shembulli 3. Nga pabarazia -(1/3)х — (1/3)х > 4 rrjedh se x< — 12 .

Shembulli 4. Duke pasur parasysh pabarazinë x/k > y/l; prej tij rezulton se lx > ky, nëse shenjat e numrave l Dhe k janë të njëjta, pra çfarë lx< ky , nëse shenjat e numrave l Dhe k përballë.

Pabarazitë luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë. Në shkollë kryesisht merremi me pabarazitë numerike, me përkufizimin e të cilit do të fillojmë këtë artikull. Dhe pastaj do të rendisim dhe justifikojmë vetitë e inekuacioneve numerike, mbi të cilin bazohen të gjitha parimet e punës me pabarazitë.

Le të vërejmë menjëherë se shumë veti të pabarazive numerike janë të ngjashme. Prandaj, materialin do ta paraqesim sipas të njëjtës skemë: formulojmë një veti, japim arsyetimin dhe shembujt e saj, pas së cilës kalojmë në vetinë tjetër.

Navigimi i faqes.

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Kur prezantuam konceptin e pabarazisë, vumë re se pabarazitë shpesh përcaktohen nga mënyra se si janë shkruar. Pra, ne i quajtëm pabarazi shprehje algjebrike kuptimplote që përmbajnë shenja jo të barabarta me ≠, më pak se<, больше >, më e vogël ose e barabartë me ≤ ose më e madhe se ose e barabartë me ≥. Bazuar në përkufizimin e mësipërm, është e përshtatshme të jepet një përkufizim i një pabarazie numerike:

Takimi me inekuacionet numerike ndodh në mësimet e matematikës në klasën e parë menjëherë pas njohjes me numrat e parë natyrorë nga 1 deri në 9 dhe njohjes me veprimin e krahasimit. Vërtetë, atje ato quhen thjesht pabarazi, duke lënë jashtë përkufizimin e "numerike". Për qartësi, nuk do të dëmtonte të jepnim disa shembuj të pabarazive numerike më të thjeshta nga ajo fazë e studimit të tyre: 1<2 , 5+2>3 .

Dhe më tej nga numrat natyrorë, njohuritë shtrihen në llojet e tjera të numrave (numrat e plotë, racionalë, realë), studiohen rregullat për krahasimin e tyre, dhe kjo zgjeron ndjeshëm shumëllojshmërinë e llojeve të pabarazive numerike: -5>-72, 3> −0,275 (7−5, 6) ,.

Vetitë e mosbarazimeve numerike
Në praktikë, puna me pabarazi lejon një numër të vetitë e inekuacioneve numerike. Ato rrjedhin nga koncepti i pabarazisë që ne prezantuam. Në lidhje me numrat, ky koncept jepet nga deklarata e mëposhtme, e cila mund të konsiderohet si një përkufizim i marrëdhënieve "më pak se" dhe "më shumë se" në një grup numrash (shpesh quhet përkufizimi i ndryshimit të pabarazisë):

Përkufizimi.

numri a është më i madh se b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është një numër pozitiv;

numri a është më i vogël se numri b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është numër negativ;

numri a është i barabartë me numrin b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është zero.

Ky përkufizim mund të ripërpunohet në përkufizimin e marrëdhënieve "më pak se ose e barabartë me" dhe "më e madhe se ose e barabartë me". Ja formulimi i tij:

Përkufizimi.

numri a është më i madh ose i barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo negativ;

a është më e vogël ose e barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo pozitiv.

Ne do t'i përdorim këto përkufizime kur vërtetojmë vetitë e pabarazive numerike, në një rishikim të të cilave ne vazhdojmë.

Vetitë themelore

Ne e fillojmë rishikimin me tre vetitë kryesore të pabarazive. Pse janë ato themelore? Sepse ato janë pasqyrim i vetive të pabarazive në kuptimin më të përgjithshëm, dhe jo vetëm në raport me pabarazitë numerike.

Pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenja< и >, karakteristike:

Për sa u përket pabarazive numerike të shkruara duke përdorur shenjat e dobëta të pabarazisë ≤ dhe ≥, ato kanë vetinë e refleksivitetit (dhe jo antirefleksivitetit), pasi pabarazitë a≤a dhe a≥a përfshijnë rastin e barazisë a=a. Ato karakterizohen gjithashtu nga antisimetria dhe kalueshmëria.

Pra, pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenjat ≤ dhe ≥ kanë vetitë e mëposhtme:

refleksiviteti a≥a dhe a≤a janë pabarazi të vërteta;

antisimetria, nëse a≤b, atëherë b≥a, dhe nëse a≥b, atëherë b≤a.

kalueshmëria, nëse a≤b dhe b≤c, atëherë a≤c, dhe gjithashtu, nëse a≥b dhe b≥c, atëherë a≥c.

Prova e tyre është shumë e ngjashme me ato të dhëna tashmë, kështu që ne nuk do të ndalemi në to, por do të kalojmë në vetitë e tjera të rëndësishme të pabarazive numerike.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Le të plotësojmë vetitë themelore të pabarazive numerike me një sërë rezultatesh që kanë një rëndësi të madhe praktike. Metodat për vlerësimin e vlerave të shprehjeve bazohen në to; zgjidhje për pabarazitë etj. Prandaj, këshillohet që t'i kuptoni mirë.

Në këtë pjesë, ne do të formulojmë vetitë e pabarazive vetëm për një shenjë të pabarazisë strikte, por vlen të kihet parasysh se vetitë e ngjashme do të vlejnë për shenjën e kundërt, si dhe për shenjat e pabarazive jo të rrepta. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull. Më poshtë formulojmë dhe vërtetojmë vetinë e mëposhtme të pabarazive: nëse a
nëse a>b atëherë a+c>b+c ;

nëse a≤b atëherë a+c≤b+c ;

nëse a≥b, atëherë a+c≥b+c.

Për lehtësi, ne do t'i paraqesim vetitë e pabarazive numerike në formën e një liste, ndërsa do të japim deklaratën përkatëse, do ta shkruajmë zyrtarisht duke përdorur shkronja, do të japim një provë dhe më pas do të tregojmë shembuj të përdorimit. Dhe në fund të artikullit do të përmbledhim të gjitha vetitë e pabarazive numerike në një tabelë. Le të shkojmë!

Shtimi (ose zbritja) e ndonjë numri në të dy anët e një pabarazie të vërtetë numerike prodhon një mosbarazim të vërtetë numerik. Me fjalë të tjera, nëse numrat a dhe b janë të tillë që a
Për ta vërtetuar atë, le të bëjmë dallimin midis anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë së fundit numerike dhe të tregojmë se është negative në kushtin a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Meqenëse nga kushti a
Ne nuk ndalemi në vërtetimin e kësaj vetie të pabarazive numerike për zbritjen e një numri c, pasi në bashkësinë e numrave realë zbritja mund të zëvendësohet duke shtuar -c.

Për shembull, nëse shtoni numrin 15 në të dy anët e mosbarazimit të saktë numerik 7>3, ju merrni mosbarazimin e saktë numerik 7+15>3+15, që është e njëjta gjë, 22>18.

Nëse të dyja anët e një pabarazie numerike të vlefshme shumëzohen (ose pjesëtohen) me të njëjtin numër pozitiv c, ju merrni një pabarazi numerike të vlefshme. Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër negativ c, dhe shenja e pabarazisë është e kundërt, atëherë pabarazia do të jetë e vërtetë. Në trajtë fjalëpërfjalore: nëse numrat a dhe b plotësojnë pabarazinë a b·c.

Dëshmi. Le të fillojmë me rastin kur c>0. Le të bëjmë dallimin ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë numerike që vërtetohet: a·c−b·c=(a−b)·c . Meqenëse nga kushti a 0 , atëherë prodhimi (a−b)·c do të jetë një numër negativ si prodhim i një numri negativ a−b dhe një numri pozitiv c (i cili vjen nga ). Prandaj, a·c−b·c<0 , откуда a·c
Ne nuk ndalemi te vërtetimi i vetive të shqyrtuara për pjesëtimin e të dy anëve të një pabarazie të vërtetë numerike me të njëjtin numër c, pasi pjesëtimi mund të zëvendësohet gjithmonë me shumëzim me 1/c.

Le të tregojmë një shembull të përdorimit të vetive të analizuara në numra të caktuar. Për shembull, mund të keni të dyja anët e pabarazisë numerike të saktë 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Nga vetia e sapo diskutuar e shumëzimit të të dy anëve të një barazie numerike me një numër, pasojnë dy rezultate praktikisht të vlefshme. Pra, ne i formulojmë ato në formën e pasojave.

Të gjitha vetitë e trajtuara më sipër në këtë paragraf i bashkon fakti se fillimisht jepet një mosbarazim numerik i saktë dhe prej tij, nëpërmjet disa manipulimeve me pjesët e mosbarazimit dhe të shenjës, fitohet një tjetër jobarazim numerik i saktë. Tani do të paraqesim një bllok vetish në të cilin fillimisht jepen jo një, por disa pabarazi numerike të sakta dhe nga përdorimi i përbashkët i tyre fitohet një rezultat i ri pas mbledhjes ose shumëzimit të pjesëve të tyre.

Nëse numrat a, b, c dhe d plotësojnë pabarazitë a
Le të vërtetojmë se (a+c)−(b+d) është një numër negativ, kjo do të vërtetojë se a+c
Me induksion, kjo veti shtrihet në mbledhjen term pas termi të tre, katër dhe, në përgjithësi, të çdo numri të fundëm të pabarazive numerike. Pra, nëse për numrat a 1, a 2, …, a n dhe b 1, b 2, …, b n pabarazitë e mëposhtme janë të vërteta: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Për shembull, na janë dhënë tre pabarazi numerike të sakta të së njëjtës shenjë −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Ju mund të shumëzoni pabarazitë numerike të së njëjtës shenjë term me term, të dyja anët e të cilave përfaqësohen me numra pozitiv. Në veçanti, për dy pabarazi a
Për ta vërtetuar atë, mund të shumëzoni të dyja anët e pabarazisë a
Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për shumëzimin e çdo numri të fundëm të pabarazive numerike të vërteta me pjesë pozitive. Kjo do të thotë, nëse a 1, a 2, ..., a n dhe b 1, b 2, ..., b n janë numra pozitivë, dhe a 1 a 1 a 2…a n .

Më vete, vlen të përmendet se nëse shënimi për pabarazitë numerike përmban numra jo pozitiv, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi mund të çojë në pabarazi numerike të pasakta. Për shembull, pabarazitë numerike 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Pasoja. Shumëzimi termik i pabarazive të vërteta identike të formës a

Në fund të artikullit, siç premtuam, do të mbledhim të gjitha pronat e studiuara në tabela e vetive të inekuacioneve numerike:

Referencat.

Moro M.I.. Matematika. Libër mësuesi për 1 klasë. fillimi shkolla Në 2 orë Pjesa 1. (Gjysma e parë e vitit) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - M.: Arsimi, 2006. - 112 f.: i sëmurë.+Shto. (2 të veçanta l. i sëmurë). - ISBN 5-09-014951-8.

Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Pabaraziaështë një rekord në të cilin numrat, variablat ose shprehjet lidhen me një shenjë<, >, ose . Kjo do të thotë, pabarazia mund të quhet një krahasim i numrave, ndryshoreve ose shprehjeve. Shenjat < , > , ⩽ Dhe ⩾ quhen shenjat e pabarazisë.

Llojet e pabarazive dhe si lexohen ato:

Siç shihet nga shembujt, të gjitha pabarazitë përbëhen nga dy pjesë: majtas dhe djathtas, të lidhura me një nga shenjat e pabarazisë. Në varësi të shenjës që lidh pjesët e pabarazive, ato ndahen në të rrepta dhe jo të rrepta.

Pabarazi të rrepta- pabarazitë pjesët e të cilave lidhen me një shenjë< или >. Pabarazitë jo të rrepta- pabarazitë në të cilat pjesët lidhen me shenjën ose.

Le të shqyrtojmë rregullat themelore të krahasimit në algjebër:

Çdo numër pozitiv më i madh se zero.

Çdo numër negativ është më i vogël se zero.

Nga dy numra negativë, ai vlera absolute e të cilit është më i vogël është më i madh. Për shembull, -1 > -7.

a Dhe b pozitive:
a - b > 0,
Se a më shumë b (a > b).

Nëse ndryshimi i dy numrave të pabarabartë a Dhe b negative:
a - b < 0,
Se a më pak b (a < b).

Nëse numri është më i madh se zero, atëherë ai është pozitiv:
a> 0, që do të thotë a- numër pozitiv.

Nëse numri është më i vogël se zero, atëherë ai është negativ:
a < 0, значит a- numër negativ.

Pabarazitë ekuivalente- pabarazitë që janë pasojë e pabarazive të tjera. Për shembull, nëse a më pak b, Kjo b më shumë a:

a < b Dhe b > a- pabarazitë ekuivalente

Vetitë e pabarazive

Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e një pabarazie ose zbrisni të njëjtin numër nga të dyja anët, ju merrni një pabarazi ekuivalente, d.m.th.
Nëse a > b, Kjo a + c > b + c Dhe a - c > b - c
Nga kjo rrjedh se është e mundur të transferohen termat e pabarazisë nga një pjesë në tjetrën me shenjën e kundërt. Për shembull, duke shtuar në të dy anët e pabarazisë a - b > c - d Nga d, marrim:
a - b > c - d

a - b + d > c - d + d

a - b + d > c

Nëse të dy anët e pabarazisë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë fitohet një pabarazi ekuivalente, d.m.th.

Nëse të dy anët e inekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, atëherë do të fitohet mosbarazimi i kundërt me atë të dhënë, pra, kur shumëzohen ose pjesëtohen të dyja pjesët e pabarazisë me një numër negativ, shenja e pabarazia duhet të ndryshohet në të kundërtën.
Kjo veti mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e të gjithë termave të një pabarazie duke shumëzuar të dyja anët me -1 dhe duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën:
-a + b > -c

(-a + b) · -1< (-c) · -1

a - b < c
Pabarazia -a + b > -c baraz me pabarazi a - b < c