N han në pjesore. Drejtshkrimi nn dhe n në pjesore dhe mbiemra foljorë

Marrëdhëniet midis kryesore funksionet trigonometrike– jepen sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksione trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksione të një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të zvogëloni shkallën, e katërta - shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.

Në këtë artikull ne do të rendisim me radhë të gjitha kryesoret formulat trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit dhe do t'i vendosim në tabela.

Navigimi i faqes.

Identitetet bazë trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike Përcaktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik në terma të çdo funksioni tjetër.

Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembujt e aplikimit, shihni artikullin.

Formulat e reduktimit

Formulat e reduktimit vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë, si dhe vetinë e zhvendosjes me këndi i dhënë. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.

Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.

Formulat e shtimit

Formulat e mbledhjes trigonometrike të tregojë se si funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve shprehen në funksion të funksioneve trigonometrike të atyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (ato quhen edhe formula këndore të shumëfishta) tregojnë se si funksionet trigonometrike të dyfishit, trefishit, etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.

Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. këndi

Formulat e gjysmëkëndit

Formulat e gjysmëkëndit tregojnë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.

Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.

Formulat e reduktimit të shkallës

Formulat trigonometrike për reduktimin e shkallëve kanë për qëllim të lehtësojnë kalimin nga shkallë natyrore funksionet trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por kënde të shumta. Me fjalë të tjera, ato ju lejojnë të zvogëloni fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

Qëllimi kryesor formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrikeështë të shkosh te produkti i funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohet shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhje ekuacionet trigonometrike, pasi ato ju lejojnë të faktorizoni shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve.

Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinus për kosinus

Kalimi nga produkti i funksioneve trigonometrike në një shumë ose diferencë kryhet duke përdorur formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes së internetit, duke përfshirë materialet e brendshme dhe pamjen, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.

Shembuj:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argumenti dhe kuptimi

Kosinusi i një këndi akut

Kosinusi i një këndi akut mund të përcaktohet duke përdorur një trekëndësh kënddrejtë - është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Shembull :

1) Le të jepet një kënd dhe duhet të përcaktojmë kosinusin e këtij këndi.

2) Le të plotësojmë çdo trekëndësh kënddrejtë në këtë kënd.

3) Duke matur, palët e nevojshme, mund të llogarisim kosinusin.

Kosinusi i një numri

Rrethi i numrave ju lejon të përcaktoni kosinusin e çdo numri, por zakonisht gjeni kosinusin e numrave disi të lidhur me: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Për shembull, për numrin \(\frac(π)(6)\) - kosinusi do të jetë i barabartë me \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Dhe për numrin \(-\)\(\frac(3π)(4)\) do të jetë i barabartë me \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (përafërsisht \ (-0 ,71\)).

Për kosinusin për numrat e tjerë që hasen shpesh në praktikë, shih.

Vlera e kosinusit qëndron gjithmonë në rangun nga \(-1\) në \(1\). Në këtë rast, kosinusi mund të llogaritet për absolutisht çdo kënd dhe numër.

Kosinusi i çdo këndi

Falë rrethi i numrave ju mund të përcaktoni kosinusin jo vetëm kënd akut, por edhe i hapur, negativ dhe madje më i madh se \(360°\) ( kthesë e plotë). Si ta bëni këtë është më e lehtë për t'u parë një herë sesa për të dëgjuar \(100\) herë, kështu që shikoni foton.

Tani një shpjegim: supozojmë se duhet të përcaktojmë kosinusin e këndit KOA Me masë shkallë në \(150°\). Kombinimi i pikës RRETH me qendrën e rrethit dhe anën OK– me boshtin \(x\). Pas kësaj, lini mënjanë \(150°\) në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Pastaj ordinata e pikës A do të na tregojë kosinusin e këtij këndi.

Nëse jemi të interesuar për një kënd me masë shkallë, për shembull, në \(-60°\) (kënd KOV), bëni të njëjtën gjë, por vendosni \(60°\) në drejtim të akrepave të orës.

Dhe së fundi, këndi është më i madh se \(360°\) (këndi CBS) - gjithçka është e ngjashme me budallallëkun, vetëm pasi të shkojmë në drejtim të akrepave të orës një kthesë të plotë, ne shkojmë në rrethin e dytë dhe "marrim mungesën e gradave". Konkretisht, në rastin tonë, këndi \(405°\) paraqitet si \(360° + 45°\).

Është e lehtë të merret me mend se për të vizatuar një kënd, për shembull, në \(960°\), duhet të bëni dy kthesa (\(360°+360°+240°\)), dhe për një kënd në \(2640 °\) - shtatë të plota.

Si mund të zëvendësoni kosinusin e një numri dhe kosinusin kënd arbitrar përkufizohet pothuajse në mënyrë identike. Ndryshon vetëm mënyra se si gjendet pika në rreth.

Shenjat e kosinusit sipas tremujorëve

Duke përdorur boshtin e kosinusit (d.m.th., boshtin e abshisës, i theksuar me të kuqe në figurë), është e lehtë të përcaktohen shenjat e kosinuseve përgjatë rrethit numerik (trigonometrik):

Kur vlerat në bosht janë nga \(0\) në \(1\), kosinusi do të ketë një shenjë plus (çereku I dhe IV - zona e gjelbër),
- ku vlerat në bosht janë nga \(0\) në \(-1\), kosinusi do të ketë një shenjë minus (çereku II dhe III - zona vjollcë).

Lidhja me funksionet e tjera trigonometrike:

Zgjidhja e ekuacionit \(\cos⁡x=a\)

Zgjidhja e ekuacionit \(\cos⁡x=a\), ku \(a\) është një numër jo më i madh se \(1\) dhe jo më i vogël se \(-1\), d.m.th. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Nëse \(a>1\) ose \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Le të zgjidhim ekuacionin duke përdorur rrethin e numrave. Për ta bërë këtë:
1) Le të ndërtojmë sëpatat.
2) Le të ndërtojmë një rreth.
3) Në boshtin kosinus (boshti \(y\)) shënoni pikën \(\frac(1)(2)\) .
4) Vizatoni një pingul me boshtin kosinus përmes kësaj pike.
5) Shënoni pikat e kryqëzimit të pingulës dhe rrethit.
6) Le të nënshkruajmë vlerat e këtyre pikave: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Le të shkruajmë të gjitha vlerat që korrespondojnë me këto pika duke përdorur formulën \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Përgjigje: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funksioni \(y=\cos(x)\)

Nëse vizatojmë këndet në radiane përgjatë boshtit \(x\), dhe vlerat e kosinusit që korrespondojnë me këto kënde përgjatë boshtit \(y\), marrim grafikun e mëposhtëm:

Ky grafik quhet dhe ka vetitë e mëposhtme:

Domeni i përkufizimit është çdo vlerë e x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- varg vlerash - nga \(-1\) në \(1\) përfshirëse: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- çift: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodike me periodë \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative:
boshti i abshisave: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ku \(n ϵ Z\)
Boshti Y: \((0;1)\)
- intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës:
funksioni është pozitiv në intervalet: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), ku \(n ϵ Z\)
funksioni është negativ në intervalet: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ku \(n ϵ Z\)
- intervalet e rritjes dhe uljes:
funksioni rritet në intervalet: \((π+2πn;2π+2πn)\), ku \(n ϵ Z\)
funksioni zvogëlohet në intervalet: \((2πn;π+2πn)\), ku \(n ϵ Z\)
- maksimalet dhe minimumet e funksionit:
funksioni ka një vlerë maksimale \(y=1\) në pikat \(x=2πn\), ku \(n ϵ Z\)
funksioni ka një vlerë minimale \(y=-1\) në pikat \(x=π+2πn\), ku \(n ϵ Z\).

Sinus këndi akut α trekëndësh kënddrejtëështë një qëndrim përballë këmbë në hipotenuzë.
Ajo shënohet si më poshtë: sin α.

Kosinusi Këndi akut α i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Përcaktohet si më poshtë: cos α.

Tangjente këndi akut α është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.
Është caktuar si më poshtë: tg α.

Kotangjente këndi akut α është raporti këmbën ngjitur tek e kundërta.
Përcaktohet si më poshtë: ctg α.

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi varen vetëm nga madhësia e këndit.

Rregullat:

Identitetet themelore trigonometrike në një trekëndësh kënddrejtë:

(α – kënd akut përballë këmbës b dhe ngjitur me këmbën a . Anësore Me – hipotenuzë. β – këndi i dytë akut).

Me rritjen e këndit akutsin α dhetan α rritje, dhecos α zvogëlohet.

Për çdo kënd akut α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = mëkat α

Shembull-shpjegim:

Lëreni një trekëndësh kënddrejtë ABC
AB = 6,
BC = 3,
këndi A = 30º.

Le të zbulojmë sinusin e këndit A dhe kosinusin e këndit B.

Zgjidhje .

1) Së pari, gjejmë vlerën e këndit B. Gjithçka është e thjeshtë këtu: pasi në një trekëndësh kënddrejtë shuma e këndeve akute është 90º, atëherë këndi B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Le të llogarisim mëkatin A. Ne e dimë atë sinus e barabartë me raportin anën e kundërt me hipotenuzën. Për këndin A, ana e kundërt është ana BC. Pra:

para Krishtit 3 1
mëkat A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tani le të llogarisim cos B. Ne e dimë se kosinusi është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën. Për këndin B, këmba ngjitur është e njëjta anë BC. Kjo do të thotë që ne përsëri duhet të ndajmë BC me AB - domethënë, të kryejmë të njëjtat veprime si kur llogaritim sinusin e këndit A:

para Krishtit 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultati është:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Nga kjo rrjedh se në një trekëndësh kënddrejtë, sinusi i një këndi akut është i barabartë me kosinusin e këndit tjetër akut - dhe anasjelltas. Kjo është pikërisht ajo që nënkuptojnë dy formulat tona:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = mëkat α

Le të sigurohemi përsëri për këtë:

1) Le të jetë α = 60º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e sinusit, marrim:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Le të a = 30º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e kosinusit, marrim:
cos (90° – 30º) = mëkat 30º.
cos 60° = mëkat 30º.

(Për më shumë informacion rreth trigonometrisë, shihni seksionin Algjebër)

Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjentja e një këndi do t'ju ndihmojë të kuptoni një trekëndësh kënddrejtë.

Si quhen brinjët e trekëndëshit kënddrejtë? Kjo është e drejtë, hipotenuza dhe këmbët: hipotenuza është ana që shtrihet përballë këndit të duhur (në shembullin tonë kjo është ana \(AC\)); këmbët janë dy anët e mbetura \(AB\) dhe \(BC\) (ato ngjitur me këndin e duhur), dhe nëse marrim parasysh këmbët në lidhje me këndin \(BC\), atëherë këmba \(AB\) është këmba ngjitur, dhe këmba \(BC\) është e kundërt. Pra, tani le t'i përgjigjemi pyetjes: çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi?

Sinusi i këndit– ky është raporti i këmbës së kundërt (të largët) me hipotenuzën.

Në trekëndëshin tonë:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinusi i këndit- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me hipotenuzën.

Në trekëndëshin tonë:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangjentja e këndit- ky është raporti i anës së kundërt (të largët) me atë ngjitur (të afërt).

Në trekëndëshin tonë:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangjentja e këndit- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me të kundërtën (larg).

Në trekëndëshin tonë:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Këto përkufizime janë të nevojshme mbaj mend! Për ta bërë më të lehtë të mbani mend se cilën këmbë të ndani në çfarë, duhet ta kuptoni qartë këtë tangjente Dhe kotangjent vetëm këmbët ulen, dhe hipotenuza shfaqet vetëm në sinusit Dhe kosinusi. Dhe pastaj mund të dilni me një zinxhir shoqatash. Për shembull, ky:

Kosinus→prek→prek→ ngjitur;

Kotangjent→prek→prek→ ngjitur.

Para së gjithash, duhet të mbani mend se sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja pasi raportet e brinjëve të një trekëndëshi nuk varen nga gjatësitë e këtyre brinjëve (në të njëjtin kënd). Nuk më besoni? Pastaj sigurohuni duke parë foton:

Konsideroni, për shembull, kosinusin e këndit \(\beta \) . Sipas përkufizimit, nga një trekëndësh \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), por mund të llogarisim kosinusin e këndit \(\beta \) nga trekëndëshi \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). E shihni, gjatësitë e brinjëve janë të ndryshme, por vlera e kosinusit të një këndi është e njëjtë. Kështu, vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës varen vetëm nga madhësia e këndit.

Nëse i kuptoni përkufizimet, atëherë vazhdoni dhe konsolidoni ato!

Për trekëndëshin \(ABC \) të paraqitur në figurën më poshtë, gjejmë \(\sin \ \alfa,\ \cos \\alfa,\ tg\ \alfa,\ ctg\ \alfa \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alfa =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alfa =\dfrac(3)(4)=0,75\fund(arresë) \)

Epo, e kuptove? Pastaj provojeni vetë: llogarisni të njëjtën gjë për këndin \(\beta \) .

Përgjigjet: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Rrethi njësi (trigonometrik).

Duke kuptuar konceptet e shkallëve dhe radianeve, ne konsideruam një rreth me një rreze të barabartë me \(1\) . Një rreth i tillë quhet beqare. Do të jetë shumë e dobishme kur studioni trigonometrinë. Prandaj, le ta shohim atë pak më në detaje.

Siç mund ta shihni, ky rreth është ndërtuar në sistemin koordinativ kartezian. Rrezja e rrethit është e barabartë me një, ndërsa qendra e rrethit qëndron në origjinën e koordinatave, pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është i fiksuar përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit \(x\) (në shembullin tonë, kjo është rrezja \(AB\)).

Çdo pikë në rreth korrespondon me dy numra: koordinata përgjatë boshtit \(x\) dhe koordinata përgjatë boshtit \(y\). Cilët janë këta numra koordinativ? Dhe në përgjithësi, çfarë lidhje kanë ato me temën në fjalë? Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë për trekëndëshin kënddrejtë të konsideruar. Në figurën e mësipërme, mund të shihni dy trekëndësha të tërë kënddrejtë. Konsideroni trekëndëshin \(ACG\) . Ai është drejtkëndor sepse \(CG\) është pingul me boshtin \(x\).

Çfarë është \(\cos \ \alfa \) nga trekëndëshi \(ACG \)? Kjo është e drejtë \(\cos \\alfa =\dfrac(AG)(AC) \). Përveç kësaj, ne e dimë se \(AC\) është rrezja rrethi njësi, që do të thotë \(AC=1\) . Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në formulën tonë për kosinusin. Ja çfarë ndodh:

\(\cos \ \alfa =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Me çfarë është \(\sin \ \alfa \) nga trekëndëshi \(ACG \)? Epo sigurisht \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Zëvendësoni vlerën e rrezes \(AC\) në këtë formulë dhe merrni:

\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Pra, a mund të thoni se çfarë koordinatash ka pika \(C\) që i përket rrethit? Epo, në asnjë mënyrë? Po sikur të kuptoni se \(\cos \ \alpha \) dhe \(\sin \alpha \) janë thjesht numra? Me çfarë koordinate korrespondon \(\cos \alpha \)? Epo, sigurisht, koordinata \(x\)! Dhe çfarë koordinate korrespondon \(\sin \alpha \)? Është e drejtë, koordino \(y\)! Pra, pika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alfa) \).

Atëherë me çfarë janë \(tg \alpha \) dhe \(ctg \alpha \) të barabarta? Është e drejtë, le të përdorim përkufizimet përkatëse të tangjentes dhe kotangjentes dhe ta marrim atë \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

Po sikur këndi të jetë më i madh? Për shembull, si në këtë foto:

Çfarë ka ndryshuar në këtë shembull? Le ta kuptojmë. Për ta bërë këtë, le të kthehemi përsëri në një trekëndësh kënddrejtë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : kënd (si ngjitur me këndin \(\beta \) ). Sa është vlera e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për një kënd \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Kjo është e drejtë, ne i përmbahemi përkufizimeve përkatëse të funksioneve trigonometrike:

\(\fillimi(grupi)(l)\sin \këndi ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \këndi ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kënd ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kënd ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\fund(array) \)

Epo, siç mund ta shihni, vlera e sinusit të këndit ende i korrespondon koordinatës \(y\) ; vlera e kosinusit të këndit - koordinata \(x\) ; dhe vlerat e tangjentes dhe kotangjentes me raportet përkatëse. Kështu, këto marrëdhënie zbatohen për çdo rrotullim të vektorit të rrezes.

Është përmendur tashmë se pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit \(x\). Deri më tani ne e kemi rrotulluar këtë vektor në drejtim të kundërt të akrepave të orës, por çfarë ndodh nëse e rrotullojmë në drejtim të akrepave të orës? Asgjë e jashtëzakonshme, do të merrni edhe një kënd me një vlerë të caktuar, por vetëm ai do të jetë negativ. Kështu, kur rrotullojmë vektorin e rrezes në drejtim të kundërt të akrepave të orës, marrim kënde pozitive, dhe kur rrotullohet në drejtim të akrepave të orës - negative.

Pra, ne e dimë se i gjithë rrotullimi i vektorit të rrezes rreth rrethit është \(360()^\circ \) ose \(2\pi \) . A është e mundur të rrotullohet vektori i rrezes me \(390()^\circ \) ose me \(-1140()^\circ \)? Epo, sigurisht që mundesh! Në rastin e parë, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), pra, vektori i rrezes do të bëjë një rrotullim të plotë dhe do të ndalet në pozicionin \(30()^\circ \) ose \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Në rastin e dytë, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), domethënë, vektori i rrezes do të bëjë tre rrotullime të plota dhe do të ndalet në pozicionin \(-60()^\circ \) ose \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kështu, nga shembujt e mësipërm mund të konkludojmë se këndet që ndryshojnë me \(360()^\circ \cdot m\) ose \(2\pi \cdot m\) (ku \(m \) është çdo numër i plotë), korrespondojnë me të njëjtin pozicion të vektorit të rrezes.

Figura më poshtë tregon këndin \(\beta =-60()^\circ \) . I njëjti imazh korrespondon me këndin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etj. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto kënde mund të shkruhen me formulën e përgjithshme \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ose \(\beta +2\pi \cdot m \) (ku \(m \) është çdo numër i plotë)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\fund(array) \)

Tani, duke ditur përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike dhe duke përdorur rrethin e njësisë, përpiquni të përgjigjeni se cilat janë vlerat:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\tekst(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\tekst(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\tekst(ctg)\ 450()^\circ =?\fund(array) \)

Këtu është një rreth njësi për t'ju ndihmuar:

Keni vështirësi? Atëherë le ta kuptojmë. Pra, ne e dimë se:

\(\fillimi(array)(l)\sin \alfa =y;\\cos\alfa =x;\\tg\alfa =\dfrac(y)(x);\\ctg\alfa =\dfrac(x )(y).\fund(array)\)

Nga këtu, ne përcaktojmë koordinatat e pikave që korrespondojnë me masa të caktuara të këndit. Epo, le të fillojmë me radhë: këndi brenda \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) korrespondon me një pikë me koordinata \(\left(0;1 \djathtas) \) , prandaj:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightshigjeta \text(tg)\ 90()^\circ \)- nuk ekziston;

\(\tekst(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Më tej, duke iu përmbajtur të njëjtës logjikë, zbulojmë se qoshet në \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) korrespondojnë me pikat me koordinata \(\majtas(-1;0 \djathtas),\tekst( )\majtas(0;-1 \djathtas),\tekst( )\left(1;0 \djathtas),\tekst( )\majtas(0 ;1 \djathtas) \), respektivisht. Duke e ditur këtë, është e lehtë të përcaktohen vlerat e funksioneve trigonometrike në pikat përkatëse. Provojeni vetë fillimisht dhe më pas kontrolloni përgjigjet.

Përgjigjet:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Djathtas \text(ctg)\ \pi \)- nuk ekziston

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Djathtas \text(tg)\ 270()^\circ \)- nuk ekziston

\(\tekst(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\tekst(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Djathtas \text(ctg)\ 2\pi \)- nuk ekziston

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \djathtas)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \djathtas)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \djathtas)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Shigjeta djathtas \text(tg)\ 450()^\circ \)- nuk ekziston

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \djathtas)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kështu, mund të bëjmë tabelën e mëposhtme:

Nuk ka nevojë të mbani mend të gjitha këto vlera. Mjafton të mbani mend korrespondencën midis koordinatave të pikave në rrethin e njësisë dhe vlerave të funksioneve trigonometrike:

\(\ majtas. \fillim(array)(l)\sin \alfa =y;\\cos \alfa =x;\\tg \alfa =\dfrac(y)(x);\\ctg \alfa =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Duhet ta mbani mend ose të jeni në gjendje ta nxirrni atë!! \) !}

Por vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve në dhe \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dhënë në tabelën e mëposhtme, duhet të mbani mend:

Mos kini frikë, tani do t'ju tregojmë një shembull të një memorizimi mjaft të thjeshtë të vlerave përkatëse:

Për të përdorur këtë metodë, është jetike të mbani mend vlerat e sinusit për të tre masat e këndit ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3)\)), si dhe vlerën e tangjentes së këndit në \(30()^\circ \) . Duke ditur këto vlera \(4\), është mjaft e thjeshtë të rivendosësh të gjithë tabelën - vlerat e kosinusit transferohen në përputhje me shigjetat, domethënë:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \fund (vargu) \)

\(\tekst(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), duke e ditur këtë, ju mund të rivendosni vlerat për \(\tekst(tg)\ 45()^\circ , \tekst(tg)\ 60()^\circ \). Numëruesi "\(1 \)" do të korrespondojë me \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) dhe emëruesi "\(\sqrt(\text(3)) \)" do të korrespondojë me \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \\) . Vlerat kotangjente transferohen në përputhje me shigjetat e treguara në figurë. Nëse e kuptoni këtë dhe mbani mend diagramin me shigjeta, atëherë do të jetë e mjaftueshme të mbani mend vetëm vlerat \(4\) nga tabela.

Koordinatat e një pike në një rreth

A është e mundur të gjesh një pikë (koordinatat e saj) në një rreth, duke ditur koordinatat e qendrës së rrethit, rrezen e tij dhe këndin e rrotullimit? Epo, sigurisht që mundesh! Le të nxjerrim një formulë të përgjithshme për gjetjen e koordinatave të një pike. Për shembull, këtu është një rreth para nesh:

Na është dhënë kjo pikë \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është \(1.5\) . Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës \(P\) të marra duke rrotulluar pikën \(O\) me \(\delta \) gradë.

Siç shihet nga figura, koordinata \(x\) e pikës \(P\) i përgjigjet gjatësisë së segmentit \(TP=UQ=UK+KQ\) . Gjatësia e segmentit \(UK\) korrespondon me koordinatën \(x\) të qendrës së rrethit, domethënë është e barabartë me \(3\) . Gjatësia e segmentit \(KQ\) mund të shprehet duke përdorur përkufizimin e kosinusit:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Atëherë kemi që për pikën \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Duke përdorur të njëjtën logjikë, gjejmë vlerën e koordinatës y për pikën \(P\) . Kështu,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Pra, në përgjithësi, koordinatat e pikave përcaktohen nga formula:

\(\fillimi(grupi)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Ku

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinatat e qendrës së rrethit,

\(r\) - rrezja e rrethit,

\(\delta \) - këndi i rrotullimit të rrezes vektoriale.

Siç mund ta shihni, për rrethin e njësisë që po shqyrtojmë, këto formula janë zvogëluar ndjeshëm, pasi koordinatat e qendrës janë të barabarta me zero dhe rrezja është e barabartë me një:

\(\fillimi(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \fund (array) \)

Unë mendoj se ju meritoni më shumë se kjo. Këtu është çelësi im i trigonometrisë:

• Vizatoni kupolën, murin dhe tavanin
• Funksionet trigonometrike nuk janë gjë tjetër veçse përqindje e këtyre tre formave.

Metafora për sinusin dhe kosinusin: kube

Në vend që të shikoni vetë trekëndëshat, imagjinoni ato në veprim duke gjetur një shembull specifik të jetës reale.

Imagjinoni se jeni në mes të një kupole dhe dëshironi të varni një ekran filmi projektor. Ju drejtoni gishtin drejt kupolës në një kënd të caktuar "x" dhe ekrani duhet të pezullohet nga kjo pikë.

Këndi ku tregoni përcakton:

• sine (x) = sin (x) = lartësia e ekranit (nga dyshemeja në pikën e montimit të kupolës)
• kosinus (x) = cos (x) = distanca nga ju në ekran (sipas katit)
• hipotenuza, distanca nga ju në majë të ekranit, gjithmonë e njëjtë, e barabartë me rrezen e kupolës

Dëshironi që ekrani të jetë sa më i madh? Vareni direkt mbi ju.

Dëshironi që ekrani të varet sa më larg nga ju? Vareni drejt pingul. Ekrani do të ketë lartësi zero në këtë pozicion dhe do të varet më larg, siç keni kërkuar.

Lartësia dhe distanca nga ekrani janë në përpjesëtim të zhdrejtë: sa më afër të varet ekrani, aq më e madhe është lartësia e tij.

Sinusi dhe kosinusi janë përqindje

Askush gjatë viteve të studimit, mjerisht, nuk më shpjegoi se funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi nuk janë gjë tjetër veçse përqindje. Vlerat e tyre variojnë nga +100% në 0 në -100%, ose nga një maksimum pozitiv në zero në një maksimum negativ.

Le të themi se kam paguar një taksë prej 14 rubla. Ju nuk e dini se sa është. Por nëse thua se kam paguar 95% taksë, do ta kuptosh që thjesht jam zhveshur.

Lartësia absolute nuk do të thotë asgjë. Por nëse vlera e sinusit është 0,95, atëherë e kuptoj që televizori është i varur pothuajse në majë të kupolës suaj. Shumë shpejt ajo do të arrijë lartësinë e saj maksimale në qendër të kupolës dhe më pas do të fillojë të bjerë përsëri.

Si mund ta llogarisim këtë përqindje? Është shumë e thjeshtë: ndani lartësinë aktuale të ekranit me maksimumin e mundshëm (rrezja e kupolës, e quajtur gjithashtu hipotenuzë).

Kjo është arsyeja pse na thuhet se "kosinus = ana e kundërt / hipotenuza". Gjithçka ka të bëjë me marrjen e interesit! Është më mirë të përkufizohet sinusi si "përqindja e lartësisë aktuale nga maksimumi i mundshëm". (Sinusi bëhet negativ nëse këndi juaj tregon "nën tokë". Kosinusi bëhet negativ nëse këndi drejtohet drejt pikës së kupolës pas jush.)

Le të thjeshtojmë llogaritjet duke supozuar se jemi në qendër të rrethit të njësisë (rrezja = 1). Mund ta kapërcejmë ndarjen dhe thjesht të marrim sinusin të barabartë me lartësinë.

Çdo rreth është në thelb një rreth i vetëm, i shkallëzuar lart ose poshtë në madhësinë e dëshiruar. Pra, përcaktoni lidhjet e rrethit të njësisë dhe zbatoni rezultatet në madhësinë tuaj specifike të rrethit.

Eksperimentoni: merrni ndonjë cep dhe shikoni se sa përqindje e lartësisë në gjerësi shfaq:

Grafiku i rritjes së vlerës së sinusit nuk është vetëm një vijë e drejtë. 45 gradët e para mbulojnë 70% të lartësisë, por 10 gradët e fundit (nga 80° në 90°) mbulojnë vetëm 2%.

Kjo do ta bëjë më të qartë për ju: nëse ecni në një rreth, në 0° ngriheni pothuajse vertikalisht, por ndërsa i afroheni majës së kupolës, lartësia ndryshon gjithnjë e më pak.

Tangjente dhe sekante. Muri

Një ditë një fqinj ndërtoi një mur pikërisht pranë njëri-tjetrit te kupola juaj. Qau pamjen tuaj nga dritarja dhe një çmim i mirë për rishitje!

Por a është e mundur të fitosh disi në këtë situatë?

Sigurisht që po. Po sikur të varnim një ekran filmi mu në murin e fqinjit tonë? Ju synoni këndin (x) dhe merrni:

• tan(x) = tan(x) = lartësia e ekranit në mur
• distanca nga ju në mur: 1 (kjo është rrezja e kupolës suaj, muri nuk lëviz askund nga ju, apo jo?)
• secant(x) = sec(x) = "gjatësia e shkallës" nga ju që qëndroni në qendër të kupolës deri në majë të ekranit të varur

Le të sqarojmë disa pika në lidhje me tangjentën ose lartësinë e ekranit.

• fillon në 0 dhe mund të shkojë pafundësisht lart. Mund ta shtrini ekranin lart e më lart në mur për të krijuar një kanavacë të pafund për të parë filmin tuaj të preferuar! (Për një të tillë të madh, natyrisht, do të duhet të shpenzoni shumë para).
• tangjenta është vetëm një version më i madh i sinusit! Dhe ndërsa rritja e sinusit ngadalësohet ndërsa lëvizni drejt majës së kupolës, tangjentja vazhdon të rritet!

Sekansu gjithashtu ka diçka për t'u mburrur:

• Seanca fillon nga 1 (shkalla është në dysheme, nga ju në mur) dhe fillon të ngrihet prej andej
• Sekanti është gjithmonë më i gjatë se tangjentja. Shkalla e pjerrët që përdorni për të varur ekranin tuaj duhet të jetë më e gjatë se vetë ekrani, apo jo? (Me përmasa joreale, kur ekrani është shumë i gjatë dhe shkalla duhet të vendoset pothuajse vertikalisht, madhësitë e tyre janë pothuajse të njëjta. Por edhe atëherë sekanti do të jetë pak më i gjatë).

Mos harroni, vlerat janë për qind. Nëse vendosni të varni ekranin në një kënd prej 50 gradë, tan(50)=1.19. Ekrani juaj është 19% më i madh se distanca nga muri (rrezja e kupolës).

(Fut x=0 dhe kontrollo intuitën tënde - tan(0) = 0 dhe sec(0) = 1.)

Kotangjent dhe kosekant. Tavani

Në mënyrë të pabesueshme, fqinji juaj tani ka vendosur të ndërtojë një çati mbi kupolën tuaj. (Çfarë nuk shkon me të? Me sa duket ai nuk do që ta spiunoni ndërsa ai ecën në oborr lakuriq...)

Epo, është koha për të ndërtuar një dalje në çati dhe për të folur me fqinjin tuaj. Ju zgjidhni këndin e prirjes dhe filloni ndërtimin:

• distanca vertikale midis daljes së çatisë dhe dyshemesë është gjithmonë 1 (rrezja e kupolës)
• cotangent(x) = cot(x) = distanca ndërmjet majës së kupolës dhe pikës së daljes
• cosecant(x) = csc(x) = gjatësia e shtegut tuaj deri në çati

Tangjenta dhe sekanti përshkruajnë murin, dhe COtangenta dhe COsekantja përshkruajnë tavanin.

Përfundimet tona intuitive këtë herë janë të ngjashme me ato të mëparshme:

• Nëse merrni këndin e barabartë me 0°, dalja juaj në çati do të zgjasë përgjithmonë, pasi nuk do të arrijë kurrë në tavan. Problem.
• "Shkalla" më e shkurtër në çati do të merret nëse e ndërtoni atë në një kënd prej 90 gradë në dysheme. Kotangjenti do të jetë i barabartë me 0 (ne nuk lëvizim fare përgjatë çatisë, dalim rreptësisht pingul), dhe kosekanti do të jetë i barabartë me 1 ("gjatësia e shkallës" do të jetë minimale).

Vizualizoni lidhjet

Nëse të tre rastet vizatohen në një kombinim kube-mur-tavan, rezultati do të jetë si më poshtë:

Epo, është ende i njëjti trekëndësh, i rritur në madhësi për të arritur në mur dhe në tavan. Kemi brinjë vertikale (sinus, tangjente), brinjë horizontale (kosinus, kotangjent) dhe “hipotenuse” (sekant, kosekant). (Nga shigjetat mund të shihni se ku arrin çdo element. Kosekanti është distanca totale nga ju deri në çati).

Pak magji. Të gjithë trekëndëshat ndajnë të njëjtat barazi:

Nga teorema e Pitagorës (a 2 + b 2 = c 2) shohim se si janë të lidhura brinjët e çdo trekëndëshi. Për më tepër, raportet "lartësia ndaj gjerësisë" duhet të jenë gjithashtu të njëjta për të gjithë trekëndëshat. (Thjesht lëvizni nga trekëndëshi më i madh në atë më të vogël. Po, madhësia ka ndryshuar, por proporcionet e brinjëve do të mbeten të njëjta).

Duke ditur se cila anë në çdo trekëndësh është e barabartë me 1 (rrezja e kupolës), mund të llogarisim lehtësisht se "sin/cos = tan/1".

Gjithmonë jam përpjekur t'i kujtoj këto fakte përmes vizualizimit të thjeshtë. Në foto i shihni qartë këto varësi dhe kuptoni se nga vijnë ato. Kjo teknikë është shumë më e mirë se memorizimi i formulave të thata.

Mos harroni për kënde të tjera

Psst... Mos u ngecni në një grafik, duke menduar se tangjentja është gjithmonë më e vogël se 1. Nëse rritni këndin, mund të arrini në tavan pa arritur në mur:

Lidhjet e Pitagorës funksionojnë gjithmonë, por madhësitë relative mund të ndryshojnë.

(Ju mund të keni vënë re se raportet e sinusit dhe kosinusit janë gjithmonë më të voglat sepse ato gjenden brenda kupolës).

Për ta përmbledhur: çfarë duhet të kujtojmë?

Për shumicën prej nesh, unë do të thoja se kjo do të jetë e mjaftueshme:

• trigonometria shpjegon anatominë e objekteve matematikore si rrathët dhe intervalet e përsëritura
• Analogjia kube/mur/çati tregon lidhjen ndërmjet funksioneve të ndryshme trigonometrike
• Funksionet trigonometrike rezultojnë në përqindje, të cilat ne i zbatojmë në skriptin tonë.

Nuk keni nevojë të mësoni përmendësh formula si 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ato janë të përshtatshme vetëm për teste të trashë, në të cilat njohja e një fakti kalohet si kuptim i tij. Merrni një minutë për të vizatuar një gjysmërreth në formën e një kube, një mur dhe një çati, etiketoni elementët dhe të gjitha formulat do t'ju vijnë në letër.

Aplikimi: Funksionet e anasjellta

Çdo funksion trigonometrik merr një kënd si parametër hyrës dhe e kthen rezultatin në përqindje. sin(30) = 0.5. Kjo do të thotë se një kënd prej 30 gradë zë 50% të lartësisë maksimale.

Funksioni trigonometrik i anasjelltë shkruhet si sin -1 ose arcsin. Asin gjithashtu shkruhet shpesh në gjuhë të ndryshme programimi.

Nëse lartësia jonë është 25% e lartësisë së kupolës, cili është këndi ynë?

Në tabelën tonë të përmasave mund të gjeni një raport ku sekanti pjesëtohet me 1. Për shembull, sekanti me 1 (hipotenuza në horizontale) do të jetë e barabartë me 1 pjesëtuar me kosinusin:

Le të themi se sekanti ynë është 3.5, d.m.th. 350% e rrezes së një rrethi njësi. Me cilin kënd të prirjes ndaj murit korrespondon kjo vlerë?

Shtojca: Disa shembuj

Një detyrë e mërzitshme. Le ta komplikojmë "gjeni sinusin" banal në "Sa është lartësia si përqindje e maksimumit (hipotenuzë)?"

Së pari, vini re se trekëndëshi është rrotulluar. Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Trekëndëshi gjithashtu ka një lartësi, ai tregohet në të gjelbër në figurë.

Me çfarë është e barabartë hipotenuza? Sipas teoremës së Pitagorës, ne e dimë se:

3 2 + 4 2 = hipotenuzë 2 25 = hipotenuzë 2 5 = hipotenuzë

Mirë! Sinusi është përqindja e lartësisë nga ana më e gjatë e trekëndëshit, ose hipotenuzës. Në shembullin tonë, sinusi është 3/5 ose 0,60.

Sigurisht, ne mund të shkojmë në disa mënyra. Tani e dimë që sinusi është 0.60, thjesht mund të gjejmë harkun:

Asin(0.6)=36.9

Këtu është një qasje tjetër. Vini re se trekëndëshi është "përballë murit", kështu që ne mund të përdorim tangjentën në vend të sinusit. Lartësia është 3, distanca nga muri është 4, kështu që tangjentja është ¾ ose 75%. Ne mund të përdorim arktangjentin për të shkuar nga një vlerë përqindjeje përsëri në një kënd:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Shembull: A do të notosh deri në breg?

Jeni në një varkë dhe keni karburant të mjaftueshëm për të udhëtuar 2 km. Tani jeni 0,25 km nga bregu. Në çfarë këndi maksimal ndaj bregut mund të notoni deri në të në mënyrë që të keni karburant të mjaftueshëm? Shtesë në deklaratën e problemit: kemi vetëm një tabelë të vlerave të kosinusit të harkut.

Çfarë kemi ne? Vija bregdetare mund të përfaqësohet si një "mur" në trekëndëshin tonë të famshëm dhe "gjatësia e shkallës" e ngjitur në mur është distanca maksimale e mundshme për t'u mbuluar me varkë deri në breg (2 km). Shfaqet një sekant.

Së pari, duhet të shkoni te përqindjet. Ne kemi 2 / 0,25 = 8, domethënë mund të notojmë një distancë që është 8 herë më e madhe se distanca e drejtë deri në breg (ose në mur).

Shtrohet pyetja: "Cili është sekanti i 8?" Por ne nuk mund t'i përgjigjemi, pasi kemi vetëm kosinus me hark.

Ne përdorim varësitë tona të derivuara më parë për të lidhur sekantin me kosinusin: "sek/1 = 1/cos"

Sekanti i 8 është i barabartë me kosinusin e ⅛. Një kënd kosinusi i të cilit është ⅛ është i barabartë me acos(1/8) = 82,8. Dhe ky është këndi më i madh që mund të përballojmë në një varkë me sasinë e caktuar të karburantit.

Jo keq, apo jo? Pa analogjinë kube-mur-tavan, do të kisha humbur në një mori formulash dhe llogaritjesh. Vizualizimi i problemit thjeshton shumë kërkimin për një zgjidhje, dhe është gjithashtu interesante të shihet se cili funksion trigonometrik do të ndihmojë përfundimisht.

Për çdo problem, mendoni kështu: A jam i interesuar për kupolën (sin/cos), murin (tan/sec) apo tavanin (krevat/csc)?

Dhe trigonometria do të bëhet shumë më e këndshme. Llogaritje të lehta për ju!