Gjeni një zgjidhje për një ekuacion trigonometrik në një segment. Ekuacionet trigonometrike - formula, zgjidhje, shembuj

Ekuacionet trigonometrike- tema nuk është më e thjeshta. Ato janë shumë të ndryshme.) Për shembull, këto:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ahur (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etj...

Por këto (dhe të gjitha të tjerat) përbindësha trigonometrike kanë dy tipare të përbashkëta dhe të detyrueshme. Së pari - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike në ekuacione.) Së dyti: gjenden të gjitha shprehjet me x brenda këtyre funksioneve të njëjta. Dhe vetëm atje! Nëse X shfaqet diku jashtë, Për shembull, sin2x + 3x = 3, ky do të jetë tashmë një ekuacion lloj i përzier. Ekuacione të tilla kërkojnë qasje individuale. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato këtu.

Ekuacionet e liga nuk do të zgjidhim as në këtë mësim.) Këtu do të merremi ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Pse? Po sepse zgjidhja ndonjë ekuacionet trigonometrike përbëhen nga dy faza. Në fazën e parë, ekuacioni i së keqes reduktohet në një të thjeshtë përmes një sërë transformimesh. Në të dytën, zgjidhet ky ekuacion më i thjeshtë. Asnjë rrugë tjetër.

Pra, nëse keni probleme në fazën e dytë, faza e parë nuk ka shumë kuptim.)

Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Këtu A qëndron për çdo numër. Çdo.

Nga rruga, brenda një funksioni mund të mos ketë një X të pastër, por një lloj shprehjeje, si:

cos(3x+π /3) = 1/2

etj. Kjo e ndërlikon jetën, por nuk ndikon në metodën e zgjidhjes së një ekuacioni trigonometrik.

Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike?

Ekuacionet trigonometrike mund të zgjidhen në dy mënyra. Mënyra e parë: duke përdorur logjikën dhe rrethi trigonometrik. Ne do ta shikojmë këtë rrugë këtu. Mënyra e dytë - përdorimi i kujtesës dhe formulave - do të diskutohet në mësimin tjetër.

Mënyra e parë është e qartë, e besueshme dhe e vështirë për t'u harruar.) Është e mirë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pabarazive dhe të gjitha llojeve të ndërlikuara shembuj jo standard. Logjika është më e fortë se kujtesa!)

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur një rreth trigonometrik.

Ne përfshijmë logjikën elementare dhe aftësinë për të përdorur rrethin trigonometrik. Nuk e dini se si? Megjithatë... Do ta keni të vështirë në trigonometri...) Por nuk ka rëndësi. Hidhini një sy mësimeve "Rrethi trigonometrik...... Çfarë është?" dhe "Matja e këndeve në një rreth trigonometrik". Gjithçka është e thjeshtë atje. Ndryshe nga tekstet shkollore...)

Oh, e dini!? Dhe madje zotëroi "Punë praktike me rrethin trigonometrik"!? urime. Kjo temë do të jetë e afërt dhe e kuptueshme për ju.) Ajo që është veçanërisht e këndshme është se rrethit trigonometrik nuk i intereson se çfarë ekuacioni zgjidhni. Sinus, kosinus, tangjent, kotangjent - gjithçka është e njëjtë për të. Ekziston vetëm një parim i zgjidhjes.

Pra marrim çdo ekuacion elementar trigonometrik. Të paktën kjo:

cosx = 0,5

Ne duhet të gjejmë X. Nëse flasim gjuha njerëzore, duhet gjeni këndin (x) kosinusi i të cilit është 0,5.

Si e kemi përdorur më parë rrethin? Ne vizatuam një kënd mbi të. Në gradë ose radianë. Dhe menjëherë pa funksionet trigonometrike të këtij këndi. Tani le të bëjmë të kundërtën. Le të vizatojmë një kosinus në rreth të barabartë me 0,5 dhe menjëherë do ta shohim qoshe. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.) Po, po!

Vizatoni një rreth dhe shënoni kosinusin e barabartë me 0,5. Në boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:

Tani le të vizatojmë këndin që na jep ky kosinus. Zhvendosni miun mbi foto (ose prekni figurën në tabletin tuaj) dhe ju do të shihni pikërisht ky kënd X.

Kosinusi i cilit kënd është 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Disa njerëz do të qeshin skeptikisht, po... A ja vlente të bënit një rreth kur gjithçka është tashmë e qartë... Sigurisht që mund të qeshni...) Por fakti është se kjo është një përgjigje e gabuar. Ose më mirë, e pamjaftueshme. Njohësit e rrethit kuptojnë se këtu ka një grup të tërë këndesh të tjera që japin gjithashtu një kosinus 0.5.

Nëse e ktheni anën lëvizëse OA kthesë e plotë, pika A do të kthehet në pozicionin e saj origjinal. Me të njëjtin kosinus të barabartë me 0.5. ato. këndi do të ndryshojë me 360° ose 2π radiane, dhe kosinus - nr. Këndi i ri 60° + 360° = 420° do të jetë gjithashtu një zgjidhje për ekuacionin tonë, sepse

Të tillë revolucione të plota mund ta vidhosni grup i pafund... Dhe të gjitha këto kënde të reja do të jenë zgjidhje për ekuacionin tonë trigonometrik. Dhe të gjithë duhet të shkruhen disi si përgjigje. Të gjitha. Përndryshe, vendimi nuk llogaritet, po...)

Matematika mund ta bëjë këtë thjesht dhe në mënyrë elegante. Shkruani në një përgjigje të shkurtër grup i pafund vendimet. Ja se si duket për ekuacionin tonë:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Do ta deshifroj. Ende shkruani kuptimishtËshtë më e këndshme sesa të vizatosh marrëzisht disa shkronja misterioze, apo jo?)

π /3 - ky është i njëjti kënd që ne pa në rreth dhe të përcaktuara sipas tabelës së kosinusit.

2π është një revolucion i plotë në radian.

n - ky është numri i të plotëve, d.m.th. e tërë rpm Është e qartë se n mund të jetë e barabartë me 0, ±1, ±2, ±3.... e kështu me radhë. Sic thuhet shënim i shkurtër:

n ∈ Z

n i takon ( ∈ ) grup i numrave të plotë ( Z ). Meqë ra fjala, në vend të letrës n shkronjat mund të përdoren mirë k, m, t etj.

Ky shënim do të thotë që ju mund të merrni çdo numër të plotë n . Të paktën -3, të paktën 0, të paktën +55. Çfarëdo që ju dëshironi. Nëse e zëvendësoni këtë numër në përgjigje, do të merrni një kënd specifik, i cili patjetër do të jetë zgjidhja e ekuacionit tonë të ashpër.)

Ose, me fjalë të tjera, x = π /3 është rrënja e vetme e një bashkësie të pafundme. Për të marrë të gjitha rrënjët e tjera, mjafton të shtoni çdo numër rrotullimesh të plota në π /3 ( n ) në radianë. ato. 2πn radian.

Të gjitha? Nr. E zgjas me qëllim kënaqësinë. Për ta mbajtur mend më mirë.) Ne morëm vetëm një pjesë të përgjigjeve të ekuacionit tonë. Unë do ta shkruaj këtë pjesë të parë të zgjidhjes si kjo:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - jo vetëm një rrënjë, por një seri e tërë rrënjësh, të shkruara në një formë të shkurtër.

Por ka edhe kënde që japin edhe një kosinus 0.5!

Le të kthehemi te fotografia jonë nga e cila kemi shkruar përgjigjen. Këtu është ajo:

Zhvendosni miun mbi imazh dhe ne shohim një kënd tjetër që jep gjithashtu një kosinus prej 0.5. Me çfarë mendoni se është e barabartë? Trekëndëshat janë të njëjtë... Po! Ai e barabartë me këndin X , shtyhet vetëm për drejtim negativ. Ky është këndi -X. Por ne kemi llogaritur tashmë x. π /3 ose 60°. Prandaj, mund të shkruajmë me siguri:

x 2 = - π /3

Epo, natyrisht, ne shtojmë të gjitha këndet që përftohen përmes rrotullimeve të plota:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është e gjitha tani.) Në rrethin trigonometrik ne pa(kush e kupton, sigurisht)) Të gjitha kënde që japin një kosinus 0,5. Dhe shkruani shkurt këto kënde formë matematikore. Përgjigja rezultoi në dy seri të pafundme rrënjësh:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është përgjigja e saktë.

Shpresa, parim i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike përdorimi i një rrethi është i qartë. Shënojmë në rreth kosinusin (sinusin, tangjentën, kotangjenten) nga ekuacioni i dhënë, vizatoni këndet përkatëse dhe shkruani përgjigjen. Natyrisht, ne duhet të kuptojmë se cilat qoshe jemi pa në rreth. Ndonjëherë nuk është aq e qartë. Epo, thashë që logjika kërkohet këtu.)

Për shembull, le të shohim një ekuacion tjetër trigonometrik:

Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk është i vetmi numri i mundshëm në ekuacione!) Është më e përshtatshme për mua ta shkruaj sesa rrënjët dhe thyesat.

Ne punojmë sipas parimit të përgjithshëm. Ne vizatojmë një rreth, shënojmë (në boshtin e sinusit, natyrisht!) 0.5. Ne tërheqim të gjitha këndet që korrespondojnë me këtë sinus menjëherë. Ne marrim këtë foto:

Le të merremi me këndin e parë X në tremujorin e parë. Kujtojmë tabelën e sinuseve dhe përcaktojmë vlerën e këtij këndi. Është një çështje e thjeshtë:

x = π /6

Kujtojmë për revolucionet e plota dhe, me ndërgjegje e pastër, shkruajmë serinë e parë të përgjigjeve:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Gjysma e punës është bërë. Por tani duhet të përcaktojmë këndi i dytë...Është më e ndërlikuar se përdorimi i kosinuseve, po... Por logjika do të na shpëtojë! Si të përcaktohet këndi i dytë përmes x? Po Lehtë! Trekëndëshat në foto janë të njëjta, dhe këndi i kuq X e barabartë me këndin X . Vetëm ai numërohet nga këndi π në drejtim negativ. Prandaj është e kuqe.) Dhe për përgjigjen na duhet një kënd, i matur saktë, nga gjysmëboshti pozitiv OX, d.m.th. nga një kënd prej 0 gradë.

Ne e vendosim kursorin mbi vizatim dhe shohim gjithçka. E hoqa këndin e parë për të mos e komplikuar foton. Këndi që na intereson (i vizatuar në të gjelbër) do të jetë i barabartë me:

π - x

X ne e dimë këtë π /6 . Prandaj, këndi i dytë do të jetë:

π - π /6 = 5π /6

Përsëri kujtojmë shtimin e rrotullimeve të plota dhe shkruajmë serinë e dytë të përgjigjeve:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Kjo eshte e gjitha. Një përgjigje e plotë përbëhet nga dy seri rrënjësh:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ekuacionet tangjente dhe kotangjente mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur të njëjtin parim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Nëse, sigurisht, dini të vizatoni tangjenten dhe kotangjenten në një rreth trigonometrik.

Në shembujt e mësipërm, kam përdorur vlerën e tabelës së sinusit dhe kosinusit: 0.5. ato. një nga ato kuptimet që di nxënësi duhet. Tani le të zgjerojmë aftësitë tona në të gjitha vlerat e tjera. Vendosni, kështu që vendosni!)

Pra, le të themi se duhet të zgjidhim këtë ekuacion trigonometrik:

Një vlerë e tillë kosinus në tabela të shkurtra Nr. Ne e injorojmë ftohtë këtë fakt të tmerrshëm. Vizatoni një rreth, shënoni 2/3 në boshtin e kosinusit dhe vizatoni këndet përkatëse. Ne e marrim këtë foto.

Le të shohim, së pari, këndin në tremujorin e parë. Do të doja ta dija pse e barabartë me x, përgjigja do të ishte shkruar menjëherë! Nuk e dimë... Dështim!? Qetë! Matematika nuk i lë njerëzit e saj në vështirësi! Ajo doli me kosinus me hark për këtë rast. Nuk e di? Më kot. Zbulojeni, është shumë më e lehtë nga sa mendoni. Nuk ka asnjë magji të vetme të ndërlikuar për "funksionet trigonometrike të anasjellta" në këtë lidhje... Kjo është e tepërt në këtë temë.

Nëse jeni në dijeni, thjesht thoni vetes: "X është një kënd kosinusi i të cilit është i barabartë me 2/3". Dhe menjëherë, thjesht nga përkufizimi i kosinusit të harkut, mund të shkruajmë:

Ne kujtojmë revolucionet shtesë dhe shkruajmë me qetësi serinë e parë të rrënjëve të ekuacionit tonë trigonometrik:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Seria e dytë e rrënjëve për këndin e dytë shkruhet pothuajse automatikisht. Gjithçka është e njëjtë, vetëm X (arccos 2/3) do të jetë me një minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dhe kjo eshte! Kjo është përgjigja e saktë. Edhe më lehtë sesa me vlerat e tabelës. Nuk ka nevojë të mbani mend asgjë.) Meqë ra fjala, më të vëmendshmit do të vërejnë se kjo foto tregon zgjidhjen përmes kosinusit të harkut në thelb, nuk ndryshon nga fotografia për ekuacionin cosx = 0.5.

Pikërisht! Parimi i përgjithshëm Kjo është arsyeja pse është e zakonshme! Kam vizatuar qëllimisht dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon këndin X me kosinusin e tij. Është e panjohur për të gjithë nëse është një kosinus tabelor apo jo. Çfarë lloj këndi është ky, π / 3, ose çfarë është kosinusi i harkut - kjo varet nga ne që të vendosim.

E njëjta këngë me sine. Për shembull:

Vizatoni përsëri një rreth, shënoni sinusin e barabartë me 1/3, vizatoni këndet. Kjo është fotografia që marrim:

Dhe përsëri fotografia është pothuajse e njëjtë si për ekuacionin sinx = 0,5. Sërish nisim nga këndi në çerekun e parë. Sa është e barabartë me X nëse sinusi i tij është 1/3? Nuk ka problem!

Tani paketa e parë e rrënjëve është gati:

x 1 = harksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Le të merremi me këndin e dytë. Në shembullin me një vlerë tabele prej 0.5, ishte e barabartë me:

π - x

Pikërisht e njëjta gjë do të jetë edhe këtu! Vetëm x është i ndryshëm, harku 1/3. Edhe çfarë!? Ju mund të shkruani me siguri paketën e dytë të rrënjëve:

x 2 = π - hark 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë. Edhe pse nuk duket shumë e njohur. Por është e qartë, shpresoj.)

Kështu zgjidhen ekuacionet trigonometrike duke përdorur një rreth. Kjo rrugë është e qartë dhe e kuptueshme. Është ai që kursen në ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar, në pabarazitë trigonometrike- ato zakonisht zgjidhen pothuajse gjithmonë në një rreth. Me pak fjalë, në çdo detyrë që është pak më e vështirë se ato standarde.

Le të zbatojmë njohuritë në praktikë?)

Zgjidh ekuacionet trigonometrike:

Së pari, më e thjeshtë, direkt nga ky mësim.

Tani është më e komplikuar.

Këshillë: këtu do të duhet të mendoni për rrethin. Personalisht.)

Dhe tani janë të thjeshta nga jashtë... Quhen edhe raste të veçanta.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Këshillë: këtu duhet të kuptoni në një rreth se ku ka dy seri përgjigjesh dhe ku ka një... Dhe si të shkruani një në vend të dy serive përgjigjesh. Po, në mënyrë që asnjë rrënjë të vetme nga numër i pafund nuk ka humbur!)

Epo, shumë e thjeshtë):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Këshillë: këtu duhet të dini se çfarë janë arksina dhe arkozina? Çfarë është arktangjenti, arkotangjenti? Më së shumti përkufizime të thjeshta. Por mbani mend jo vlerat e tabelës Nuk ka nevojë!)

Përgjigjet janë, natyrisht, një rrëmujë):

x 1= harksin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - hark0.3 + 2

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Lexojeni përsëri mësimin. Vetëm me mendime(ka të tilla fjalë e vjetëruar...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kanë të bëjnë me rrethin. Pa të, trigonometria është si të kalosh rrugën me sy të lidhur. Ndonjëherë funksionon.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Mësim dhe prezantim me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Zgjidhja e problemeve në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë janë ekuacionet trigonometrike?

3. Dy metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Ekuacionet trigonometrike homogjene.
5. Shembuj.

Cilat janë ekuacionet trigonometrike?

Djema, ne kemi studiuar tashmë arksine, arccosine, arctangent dhe arccotangent. Tani le të shohim ekuacionet trigonometrike në përgjithësi.

Ekuacionet trigonometrike janë ekuacione në të cilat ndryshorja gjendet nën shenjën funksioni trigonometrik.

Le të përsërisim formën e zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike:

1) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni cos(x) = a ka një zgjidhje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni i mëkatit(x) = a ka një zgjidhje:

3) Nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a dhe cos(x) = a nuk kanë zgjidhje 4) Ekuacioni tg(x)=a ka një zgjidhje: x=arctg(a)+ πk

5) Ekuacioni ctg(x)=a ka zgjidhje: x=arcctg(a)+ πk

Për të gjitha formulat k është një numër i plotë

Ekuacionet trigonometrike më të thjeshta kanë formën: T(kx+m)=a, T është një funksion trigonometrik.

Zgjidh barazimet: a) sin(3x)= √3/2

Zgjidhja:

A) Le të shënojmë 3x=t, atëherë do ta rishkruajmë ekuacionin tonë në formën:

Zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Nga tabela e vlerave marrim: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Le të kthehemi te ndryshorja jonë: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atëherë x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Përgjigje: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ku n është një numër i plotë. (-1)^n – minus një në fuqinë e n.

Më shumë shembuj të ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidhja:

A) Këtë herë le të kalojmë drejtpërdrejt në llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit menjëherë:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atëherë x/5= πk => x=5πk

Përgjigje: x=5πk, ku k është një numër i plotë.

B) E shkruajmë në formën: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne e dimë se: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Përgjigje: x=2π/9 + πk/3, ku k është një numër i plotë.

Zgjidhini ekuacionet: cos(4x)= √2/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segment.

Zgjidhja:

Ne do të vendosim në pamje e përgjithshme ekuacioni ynë: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tani le të shohim se cilat rrënjë bien në segmentin tonë. Në k Në k=0, x= π/16, jemi në segmentin e dhënë.
Me k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, goditemi sërish.
Për k=2, x= π/16+ π=17π/16, por këtu nuk goditëm, që do të thotë se edhe për k të madh, padyshim që nuk do të godasim.

Përgjigje: x= π/16, x= 9π/16

Dy metoda kryesore të zgjidhjes.

Le të zgjidhim ekuacionin:

Zgjidhja:
Për të zgjidhur ekuacionin tonë, ne do të përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re, që tregon: t=tg(x).

Si rezultat i zëvendësimit marrim: t 2 + 2t -1 = 0

Le të gjejmë rrënjët ekuacioni kuadratik: t=-1 dhe t=1/3

Pastaj tg(x)=-1 dhe tg(x)=1/3, marrim ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë, le të gjejmë rrënjët e tij.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Përgjigje: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Zgjidhini ekuacionet: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të përdorim identitetin: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ekuacioni ynë do të marrë formën: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Le të prezantojmë zëvendësimin t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik janë rrënjët: t=2 dhe t=-1/2

Pastaj cos(x)=2 dhe cos(x)=-1/2.

Sepse kosinusi nuk mund të marrë vlera më të mëdha se një, atëherë cos(x)=2 nuk ka rrënjë.

Për cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Përgjigje: x= ±2π/3 + 2πk

Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Ekuacionet e formës

ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së parë, pjesëtojeni atë me cos(x): Ju nuk mund të ndani me kosinus nëse është e barabartë me zero, le të sigurohemi që nuk është kështu:
Le të cos(x)=0, pastaj asin(x)+0=0 => sin(x)=0, por sinusi dhe kosinusi nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, marrim një kontradiktë, kështu që mund të ndajmë me siguri me zero.

Zgjidhe ekuacionin:
Shembull: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Zgjidhja:

Do ta nxjerrim shumëzues i përbashkët: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atëherë duhet të zgjidhim dy ekuacione:

Cos(x)=0 dhe cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 në x= π/2 + πk;

Konsideroni ekuacionin cos(x)+sin(x)=0 Pjesëtojmë ekuacionin tonë me cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Përgjigje: x= π/2 + πk dhe x= -π/4+πk

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë?
Djema, ndiqni gjithmonë këto rregulla!

1. Shihni me çfarë është i barabartë koeficienti a, nëse a=0 atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), një shembull i zgjidhjes së të cilit është në rrëshqitjen e mëparshme.

2. Nëse a≠0, atëherë duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me kosinusin në katror, ​​marrim:

Ndryshojmë variablin t=tg(x) dhe marrim ekuacionin:

Zgjidh shembullin nr.:3

Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me katrorin kosinus:

Ndryshojmë variablin t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-3 dhe t=1

Atëherë: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Përgjigje: x=-arctg(3) + πk dhe x= π/4+ πk

Zgjidh shembullin nr.:4

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Ne mund të zgjidhim ekuacione të tilla: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Përgjigje: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Zgjidh shembullin nr.:5

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Le të prezantojmë zëvendësimin tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik do të jenë rrënjët: t=-2 dhe t=1/2

Pastaj marrim: tg(2x)=-2 dhe tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Përgjigje: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dhe x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemet për zgjidhje të pavarur.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Zgjidh barazimet: sin(3x)= √3/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segmentin [π/2; π].

3) Zgjidhe ekuacionin: ahur 2 (x) + 2 ahur (x) + 1 =0

4) Zgjidhe ekuacionin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Zgjidhe ekuacionin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Zgjidhe ekuacionin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Ju mund të porositni zgjidhje e detajuar detyra juaj!!!

Një barazi që përmban një të panjohur nën shenjën e një funksioni trigonometrik (`sin x, cos x, tan x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe janë formulat e tyre që do të shqyrtojmë më tej.

Ekuacionet më të thjeshta janë `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjësore për secilën prej tyre.

1. Ekuacioni `sin x=a`.

Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.

Kur `|a| \leq 1` ka numër i pafund vendimet.

Formula e rrënjës: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ekuacioni `cos x=a`

Për `|a|>1` - si në rastin e sinusit, zgjidhjet ndërmjet numra realë nuk ka.

Kur `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë.

3. Ekuacioni `tg x=a`

Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ekuacioni `ctg x=a`

Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë

Për sinusin:
Për kosinusin:
Për tangjenten dhe kotangjenten:
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:

• me ndihmën e shndërrimit të tij në më të thjeshtën;
• zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë të marrë duke përdorur formulat rrënjësore dhe tabelat e shkruara më sipër.

Le të shohim metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.

Metoda algjebrike.

Kjo metodë përfshin zëvendësimin e një ndryshoreje dhe zëvendësimin e saj në një barazi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,

gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizimi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.

Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjitha termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Së pari, ju duhet ta zvogëloni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:

"a mëkat x+b cos x=0" ( ekuacioni homogjen shkalla e parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` - për rastin e parë, dhe me `cos^2 x \ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, e ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, duke rezultuar në `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.

Shkoni në gjysmë qoshe

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulat kënd i dyfishtë, që rezulton në: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Duke zbatuar sa më sipër metodë algjebrike, marrim:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Futja e këndit ndihmës

Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një variabël, ndani të dyja anët me `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe modulet e tyre nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atëherë:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Zgjidhje. Ndani të dyja anët e barazisë me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Le të shënojmë `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pastaj si kënd ndihmës le të marrim `\varphi=arcsin 4/5`. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ekuacionet racionale trigonometrike thyesore

Këto janë barazime me thyesa, numëruesit dhe emëruesit e të cilave përmbajnë funksione trigonometrike.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1+cos x)`. Si rezultat marrim:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.

Le të barazojmë numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.

Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.

Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.

Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Mësimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju jenë të dobishme!

Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje ta nxirrni atë. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shihni vetë duke parë videon.